1. Vectores Libres y Biyección entre el conjunto V3
de los vectores libres de R3
Para saber sobre Vectores Libres primero tenemos que saber que es
Magnitud Vectorial, las magnitudes vectoriales son aquéllas que no
quedan completamente determinadas por su valor (cantidad y unidad),
sino que requieren además el conocimiento de la dirección y el sentido
de su actuación y su punto de aplicación.
Entre las magnitudes vectoriales están:
Velocidad
Aceleración
Fuerza
Es importante tener siempre en mente la distinción entre cantidades
escalares y vectoriales, ya que no pueden sumarse o igualarse
cantidades de diferente tipo. Para señalar el carácter vectorial debe
indicarse en la notación algún rasgo distintivo, normalmente una flecha
sobre la cantidad.
Vector
Es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud
física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación)
y su sentido (que distingue el origen del extremo).
Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar
geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el
plano R2 o en el espacio R3
Se llama VECTOR LIBRE al conjunto de todos los vectores que son
equipolentes entre sí.

2. Se suelen denotar con letra minúscula y la flecha como símbolo de
vector. El conjunto de todos los vectores libres del plano se
denomina V2.
También podemos decir que cualquier vector libre puede ser
representado mediante un vector fijo que tenga su origen o su extremo
en un punto cualquiera del plano.
Un vector libre es, pues, el conjunto de los vectores del plano
que tienen mismo módulo, misma dirección y mismo sentido. Y
cada vector fijo que pertenezca al vector libre lo llamaremos
representante de dicho vector libre.
•
Modulo: Es la longitud del segmento.
•
Dirección: Es la orientación de la recta.
•
Sentido: Indica cual es el origen y cual es el extremo final de la
recta.
Para sumar dos vectores libres
y
se
escogen como representantes dos vectores
tales que el extremo de uno coincida con
el origen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen
en común, se trazan rectas paralelas a los
vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal
coincide con la suma de los vectores
Para sumar dos vectores se suman
sus respectivas componentes.

3. Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
+ (
+
) = (
Elemento neutro
+
) +
+
Conmutativa
+
=
=
Elemento opuesto
+
+ (−
) =
Resta de vectores
Para restar dos vectores
libres
y
opuesto de
se suma
con el
.
Las componentes del vector
resta se obtienen restando las
componentes de los vectores.

4. Producto por un escalar
El producto de un vector libre, por un escalar, λ (número real),
se define como un nuevo vector libre, cuyo módulo es
igual al producto del escalar (en valor absoluto) por el módulo
del
vector original, cuya dirección es la misma que la del vector
original, y cuyo sentido es el mismo o el opuesto al del vector
original según el escalar sea positivo o negativo,
respectivamente.
Esta operación presenta las siguientes propiedades algebraicas:
Asociativa respecto al producto por escalar
Distributiva respecto a la suma de vectores
Distributiva respecto a la suma de escalares
Existencia de escalar unidad
Combinando estas propiedades con las de la suma obtenemos,
entre otras propiedades
Normalización
Una vez definido el producto por un escalar, podemos obtener
el vector unitario (de módulo unidad) en la dirección dada por un
vector como el vector

5. Bases
Combinación lineal
Uniendo las propiedades de la suma de vectores y el
producto de un vector por un escalar, podemos definir
una combinación lineal de n vectores mediante la
expresión
En este caso se dice que el vector es linealmente
dependiente de los vectores
. Si no existe tal
combinación lineal para obtener el vector se dice que
éste es linealmente independiente del conjunto.
Sistema generador
Un conjunto de vectores que permiten obtener todos los
demás mediante combinaciones lineales se
denomina sistema generador del espacio.
Base
Un sistema generador cuyos vectores componentes son
todos linealmente independientes entre sí (ninguno se
puede poner como combinación lineal del resto) se
denomina una base.

6. Coordenadas de un punto
Los puntos del espacio pueden etiquetarse mediante letras, O,
P, Q,… Sin embargo, para operar con ellos, es conveniente
emplear coordenadas, que no son más
que etiquetas numéricas que
identifican cada punto de forma
unívoca.
Existen muchos sistemas de
coordenadas posibles. Las más
sencillas son las coordenadas
cartesianas
Biyección
Una función es biyectiva si es al mismo
tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos
del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto
de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada
le corresponde un elemento del conjunto de salida.
Si establecemos una correspondencia entre el espacio o y el
conjunto de los vectores libres de
encontramos las siguientes
características:
- La correspondencia de f de
en
es una función, ya que
para cada terna de
es posible asociarle un único vector
libre.
f( ,
,
) = Vector Libre.
- Como a dos ternas distintas de números reales ( , , ) y
( , , ) le corresponden vectores libres diferentes,
decimos que la función es inyectiva.

7. - Todo vector libre es imagen de, al menos una terna de
números reales. Esta condición nos indica que la función es
sobreyectiva
Estas 3 características cumplidas nos permiten decir que la
función definida
f: :
, es biyectiva
Concluimos que existe una biyección entre el conjunto
los vectores libres y
de los números reales.
de

8. Biografía
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