Matrizes - Completo com exercícios

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Aqui temos a introdução do assunto matrizes e exercícios para vocês tentarem resolver, qualquer dúvida é só comentar aqui que eu explico o exercício. Obrigada!

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Matrizes - Completo com exercícios

  1. 1.  Origem da matriz:  O primeiro vestígio de matrizes foi escrito durante a dinastia Han entre  200 a.C e 300 a.C no texto texto “Nove Capítulos da Arte Matemática”. Mas o 1º a usar o termo “matriz” foi Sylvester em 1850 que ao voltar a Inglaterra conheceu Cayley e compartilharam seus interesses na matemática. Cayley percebeu rapidamente o significado do conceito de matriz e por volta de 1853, Cayley havia publicado uma nota apresentando pela primeira vez a inversa de uma matriz.
  2. 2.  O uso das matrizes no dia-a-dia: • Imagens de internet (GIF, JPEG)
  3. 3. • Planilhas eletrônicas (Excel)
  4. 4.  Uma matriz pode ser representada de três formas: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Colchetes Parênteses Barra dupla
  5. 5. Elemento Coluna Coluna Coluna Linha Linha
  6. 6.  Vamos ver algumas definições úteis: Matriz A ( m linha e n colunas ) Elemento qualquer que está na linha i e na coluna j
  7. 7.  Uma matriz pode ser descrita também através de uma lei de formação. Exemplo: A = (a ) onde a = i + j: ij 2x3 ij A = (a )ij 2x3 a = i + j ij A = =
  8. 8.  Matriz linha: Só tem uma linha. Exemplo:
  9. 9.  Exercício - Matriz linha:  a) Escreva a matriz linha do tipo 1x4 tal que aij = 2i + 3j.
  10. 10.  Matriz coluna: Só tem uma coluna  Exemplo: A =
  11. 11.  Matriz quadrada: m = n  Exemplo 1: Exemplo 2:
  12. 12.  Exercícios – Matriz quadrada  (PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. 
  13. 13.  Matriz triangular inferior: Matriz em que os elementos acima da diagonal são iguais a zero.  Exemplo 1: Exemplo 2:
  14. 14.  Matriz triangular superior: Matriz em que os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.  Exemplo 1: Exemplo 2: A =
  15. 15.  Matriz diagonal Exemplo 1: Exemplo 2:
  16. 16. Exercício – Matriz diagonal Escreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição aij = i - 3j.
  17. 17.  Matriz identidade: os elementos que pertencem à diagonal principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.   Exemplo: Matriz de ordem 2: Matriz de ordem 3:
  18. 18.  Matriz nula: é qualquer matriz onde todos os elementos são 0.  A =
  19. 19.  Se A = B, então: • a= • b= • c= • d= A = 1 2 3 4 B = a c b d
  20. 20.  Exercício: Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais:
  21. 21.  Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta somarmos os elementos correspondentes. Exemplo: A = 1 2 3 4 5 6 B = 2 5 4 1 2 9 A + B = =
  22. 22.  Exercício:  Determine a matriz C, resultado da soma da matriz A e B:  A = 2 0 -4 B = 2 3 2 10 7 1 0 4 7 C = C =
  23. 23.  Exemplo: 2 . 1 2 3 4 =
  24. 24.  Considerando a matriz: -2 3 4 -5 , determine: a) 4 . ( A + B) A= E B= 1 0 2 1
  25. 25.  Exercício: Determine a matriz oposta de e depois determine (–A + A):
  26. 26.  Para calcular A-B as matrizes devem ser da mesma ordem.  Exemplo: Dada a matriz A =  e a matriz B = , se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos: 
  27. 27.  Para que seja possível: colunas da 1ª matriz deve ser igual ao nº de linhas da segunda. Exemplo: B = 2 1 3 2 4 5 A = 1 2 3 3 1 1
  28. 28.  Exercício: Seja A= 1 4 e B= 1 : 2 5 3 6 2 a) Existe o produto AB? Justifique: b) Existe o produto BA? Justifique: c) Calcule o produto AB:
  29. 29.  Exemplo 1:  Exemplo 2: B =
  30. 30.  Exercício: a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que aij = i.3 + 3j. b) Determine a matriz transposta da obtida no item A.
  31. 31.  É quando uma matriz e sua transposta são iguais. Exemplo: Dada a matriz A = , sua transposta será?  Toda matriz identidade é simétrica.
  32. 32.  A . A = In e A . A = In  A= 5 1 4 1 -1 -1

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