Apostila trigonometria 5

7.135 visualizações

Publicada em

0 comentários
3 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
7.135
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
15
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
115
Comentários
0
Gostaram
3
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Apostila trigonometria 5

  1. 1. APOSTILA DE TRIGONOMETRIAPor: Danilo Menezes de Oliveira Machado 1
  2. 2. Introdução à TrigonometriaPara obter uma ideia do que realmente é trigonometria, falaremos sobre arco decircunferência, ângulo central e comprimento de circunferência. Os dois pontos em vermelho representam as Extremidades do arco destacado em mesma cor.Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por doisde seus pontos. B P Q ANestas duas representações temos os arcos: . No caso do primeiro arco asextremidades deste coincidem com a extremidade do diâmetro, assim chamada desemicircunferência. A O B A P O B QO arco e possuem o mesmo ângulogerador logo são proporcionais, variando em relaçãoao raio.Comprimento de circunferência é dado por , pois: 2
  3. 3. Para o entendimento maior de ângulos, temos o ciclo trigonométrico definido no centro dosistema cartesiano xy, e possui raio um. Este ciclo possui quatro quadrantes, cada um com 90°graus ou radianos: II I 90° ou rad II I 180° ou rad III IV III IV II I II I 270° ou rad 360° ou rad III IV III IV Seno e CossenoCada ângulo possui um valor para seno e cosseno, mas afinal o que representa o valor do senoe do cosseno?SenoPara entender o valor do seno usaremos o software winplot com arquivo: Ciclo trigonométricoseno.A função seno é representada no eixo y, onde é definido pela projeção do raio sobre este eixo:Veja o raio em azul, produzindo uma projeção no eixo y, em verde. Esta projeção em verde é ovalor do seno do ângulo representado por este arco em vermelho. 3
  4. 4. Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor do seno dos seguintes ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos): a) 30° g) l) 120° r) w) 260° b) 45° m) 135° x) 315° h) s) c) 50° n) 234° y) 350° d) 60° i) o) 290° t) z) 270° e) 5° j) p) u) f) k) q) v) 2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de seus senos através de sua calculadora científica: 3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.CossenoPara o entendimento de cosseno usaremos o mesmo software com arquivo: Ciclotrigonométrico cosseno.Porém o cosseno de um ângulo é representado no eixo x como a projeção do segmento quedefine o ângulo:Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor do cosseno dos seguintes ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos): a) 30° h) n) 234° t) z) 270° b) 45° o) 290° i) u) c) 50° p) d) 60° j) v) q) e) 5° k) w) 260° f) r) x) 315° l) 120° g) m) 135° s) y) 350° 4
  5. 5. 2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de seus cossenos através de sua calculadora científica: 3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.Com entendimento de seno e cosseno, abra no software o arquivo ciclo trigonométrico seno ecosseno.Simetria de Seno e CossenoAo classificar valores de ângulos percebemos que existe certa simetria nos valores dos senos ecossenos para alguns ângulos.Existem ângulos que possuem o mesmo valor de seno ou de cosseno, este fenômeno é dadopela simetria do ciclo trigonométrico: 5
  6. 6. Após utilizar o software para melhor visualização da simetria de senos e cossenos, pode-seobservar que podemos reduzir ângulos do segundo, terceiro e do quarto quadrante para oprimeiro.Estudo do sinal dos senos e cossenos + seno + seno - cosseno + cosseno - seno - seno - cosseno + cossenoExercícios: 1- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º. a) 100° i) 281° q) w) b) 145° j) 299° r) x) c) 172° k) 307° d) 196° l) 312° s) y) e) 219° m) 329° t) z) f) 247° n) 357° u) g) 251° o) h) 273° v) p) 2- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule o seno e o cosseno dos seguintes ângulos. a) 130° e) 195° h) k) b) 245° f) l) 120° i) c) 450° m) 135° g) j) d) 760° n) 234° 6
  7. 7. o) 290° r) u) y) 350° p) z) 270° s) v) q) w) 260° t) x) 315° 3- Calcule o valor das expressões:a) d) e)b) f)c) Gráficos da função seno e cosseno Analisando o ciclo trigonométrico podemos notar que para , temos que o ângulo é dado por x que varia de 0 a , enquanto y varia de -1 a 1. Logo, Para a função cosseno notamos que a variação de x e de y é a mesma da função seno. Logo, Para melhor visualização das duas funções veja a função ao lado do ciclo trigonométrico: SENO: 7
  8. 8. COSSENO:Analisando os gráficos podemos notar que a função seno é impar e a função cosseno é par: e eExercícios: 1- Construa o gráfico das funções, com : a) l) b) m) c) n) d) e) o) f) p) g) q) r) h) s) i) t) j) u) k) 2- Dados os gráficos identifique a função: a) 8
  9. 9. b) c) d) TangenteÉ definido como tangente o prolongamento da aresta (azul) – que define o comprimento doarco em relação ao eixo x – até a reta , representando o valor da tangente pela coramarela:Analisando o gráfico, temos seno do ângulo formado pelo arco em vermelho de , assim osegmento vermelho sobre o eixo x é o cosseno deste ângulo, o segmento verde sobre o eixo yé o seno do mesmo ângulo, enquanto o segmento amarelo sobre a reta x=1 é a tangente.Por semelhança de triângulos, provamos que: 9
  10. 10. 1° quadrante a tangente é positiva 2° quadrante a tangente é negativa 3° quadrante a tangente é positiva 4° quadrante a tangente é negativaAssim como o seno e o cosseno, a tangente também possui simetria entre os quadrantes:Com uma peculiaridade, pois as tangentes dos quadrantes pares são positivas e as dosquadrantes impares são negativas.Gráfico da função tangente:O gráfico da função é definida por uma imagem pertencente aos reais. 10
  11. 11. Associando o ciclo trigonométrico com a função , temos:Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor da tangente dos seguintes ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos): a) 30° h) n) 234° t) z) 270° b) 45° o) 290° i) u) c) 50° p) d) 60° j) v) q) e) 5° k) w) 260° f) r) x) 315° l) 120° g) m) 135° s) y) 350° 2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de suas tangentes através de sua calculadora científica: 3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta. 4- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º. a) 100° i) 281° q) w) b) 145° j) 299° r) x) c) 172° k) 307° d) 196° l) 312° s) y) e) 219° m) 329° t) z) f) 247° n) 357° u) g) 251° o) h) 273° v) p) 5- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule o seno e o cosseno dos seguintes ângulos. a) 130° f) j) o) 290° b) 245° p) g) k) c) 450° l) 120° q) d) 760° h) e) 195° m) 135° r) i) n) 234° 11
  12. 12. s) u) x) 315° y) 350° t) v) z) 270° w) 260° 6- Calcule o valor das expressões:a) e) f)b) g)c) h)d) 7- Construa o gráfico das funções, com : a) f) b) g) c) h) d) e) Cotangente Nota-se que a cotangente é o inverso da tangente graficamente. Veja que a tangente tem sua reta de valor paralela ao eixo y enquanto a cotangente é medida por uma reta paralela ao eixo x, . Assim, podemos notar que: Veja os sinais da cotangente em cada quadrante, note que são os mesmos sinais da tangente: 12
  13. 13. 1° quadrante a cotangente é positiva 2° quadrante a cotangente é negativa 3° quadrante a cotangente é positiva 4° quadrante a cotangente é negativaGráfico da função cotangente:O gráfico da função é definida por uma imagem pertencente aos reais.Associando o ciclo trigonométrico com a função , temos: Secante e cossecanteTraçando uma reta tangente a circunferência no ponto onde intercepta a reta azul que defineo ângulo de forma ortogonal. Esta reta tangente gera o valor da secante e da cossecante, noseixos x e y respectivamente. 13
  14. 14. SECANTE COSSECANTEOs sinais da secante e cossecante são o mesmo do cosseno e seno respectivamente, pois sãofunções inversas:Função secante e cossecante: Função secante função cossecante 14
  15. 15. Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor da secante, cossecante e cotangente dos seguintes ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos): a) 30° h) n) 234° t) z) 270° b) 45° o) 290° i) u) c) 50° p) d) 60° j) v) q) e) 5° k) w) 260° f) r) x) 315° l) 120° g) m) 135° s) y) 350° 2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de suas secantes, cossecantes e cotangentes através de sua calculadora científica: 3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta. 4- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida calcule a secante e cossecante. a) 100° i) 281° q) w) b) 145° j) 299° r) x) c) 172° k) 307° d) 196° l) 312° s) y) e) 219° m) 329° t) z) f) 247° n) 357° u) g) 251° o) h) 273° v) p) 5- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule a secante, a cossecante e cotangente dos seguintes ângulos. a) 130° h) o) 290° u) b) 245° p) i) v) c) 450° q) w) 260° d) 760° j) e) 195° r) x) 315° k) y) 350° f) l) 120° s) z) 270° g) m) 135° t) n) 234° 6- Calcule o valor das expressões, quando existirem valores reais:a) e) f)b) g)c) h)d) 15
  16. 16. a) e) f)b) g)c) h)d) 7- Construa o gráfico das funções, com : a) n) b) o) c) p) d) e) q) f) r) s) g) t) h) u) i) v) j) w) k) x) l) m) Relação trigonométrica fundamental Através do teorema de Pitágoras 16
  17. 17. Exercícios: 1- Dado , com , calcular 2- Dado , com , calcule 3- Dada , com , calcular . 4- Dada , com , calcular . 5- Para que valores de temos, simultaneamente, e . 6- Simplifique a expressão: a) b) c)Baseando na relação trigonométrica fundamental:Temos:Exercícios: 1- Sabendo-se que , calcule o valor da expressão . 2- Sabendo-se que e , calcule . 3- Sendo ,com , calcule . 4- Sabendo que e , calcule o valor da expressão . 5- Sabendo que e , calcular o valor de . 17
  18. 18. 6- Sabendo que e x é do primeiro quadrante, calcule o valor da expressão . Propriedades de arcos complementares Arcos complementares, são aqueles que quando somados (unidos) produzem um arco com ângulo de 90 graus. Assim os ângulos de medida e são complementares. Winplot: ciclo trigonométrico arcos complementaresExercícios: 1- Simplifique a expressão . 2- Demonstre que . 3- Simplifique a expressão . 4- Simplifique a expressão . 5- Simplifique a expressão . 6- Resolva a equação . 7- Resolva a equação , para . 8- Resolva a equação . 9- Resolva a equação . 10- Determine o conjunto solução da equação . Adição ou subtração de ArcosSejam e dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cuja soma pertence ao primeiroquadrante, ou seja: 18
  19. 19. No caso de senos e cossenos:Para subtração de arcos o sistema é o mesmo:No caso da tangente temos:Exercícios: 1- Calcule os senos, cossenos e tangentes dos seguintes arcos: a) 105° b) 135° c) 15° d) 75° e) f) g) 2- Determine o conjunto solução da equação . 3- Quais são os arcos, de 0° a 180°, que satisfazem a equação . 4- Resolva o sistema: , com . 5- Faça as demonstrações: a) b) 6- Sabendo que e , calcule . 7- Utilizando todas as formulas já conhecidas, e sabendo que e . Calcule: a) b) c) d) e) f) 19
  20. 20. Multiplicação e divisão de arcosNo caso da multiplicação é apenas uma aplicação das fórmulas da adição de doisarcos. Nelas faremos , obtendo as fórmulas para o arco .Assim,No caso da divisão, obteremos as formulas por outro processo, que nos permitem calcular , e .Sabendo queLogo,Tendo,De maneira análoga temos:Enquanto a tangente:Exercícios: 1- Conhecendo-se , , calcule: a) f) j) b) g) c) k) d) h) l) e) i) m) 20
  21. 21. 2- Demonstre que . 3- Dados e , com e no 1º quadrante, calcule . 4- Resolva a equação . 5- Se , calcule . 6- Dado , calcule: a) f) j) b) g) c) k) d) h) l) e) i) m) 7- Calcule , de 2 maneiras diferentes, no mínimo. 8- Resolva a equação . 9- Sendo no com no terceiro quadrante. Calcule . 10- Demonstre as identidades: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 11- Prove que: a) b) c) Transformação de soma em produtoAtravés de soma e subtração de arcos, podemos encontrar : 21
  22. 22. Exercícios: 1- Fatorar, ou transformar em produto, a expressão . 2- Fatorar 3- Transformar em produto a expressão 4- Resolver a equação 5- Fatore a expressão 6- Simplifique a expressão 7- Resolva a equação 8- Simplifique a expressão . 9- Calcule o valor da expressão . 10- Calcule: a) b) c) d) e) 22

×