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Sociedade de Engenharia de Áudio

Artigo de Convenção
Apresentado na XI Convenção Nac...
Caixa Refletora de Graves
Excitada por Fonte de Corrente
Introdução
Alto-falantes e caixas acústicas são tradicionalmente ...
Quando essa resistência interna tender para infinito, o comportamento do circuito será o de uma fonte ideal
de corrente.
D...
Fig. 3 – Circuito equivalente, simplificado, de uma caixa refletora de graves, alimentada por fonte de tensão.

Fig. 4 – C...
Na Fig. 5 vemos o circuito equivalente
da Fig. 3, com o lado elétrico refletido para o
mecânico, onde podemos ver que as
c...
Fig. 8a
Fig. 8b
Determinação da velocidade de curto circuito, Vsc, com fonte de tensão.

A força do gerador no lado mecâni...
Qts e Fonte de Corrente

No caso de um alto-falante, alimentado por amplificador tipo fonte de corrente, os componentes
2
...
(1.16)

Fsc = β L ⋅ Ig = 0

∴

I → 0
Zme =

(1.17)

⇒

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∴

Vsc = ∞

Foc
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=
= 0
∞
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Análise do Sist...
O Lado Mecânico
(1.27)

Zms = Rms + s ⋅ Mms +

1
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s ⋅ Cms
s ⋅ Cms
Fig. 12 – O lado me...
Gerador de Força
(1.38)
(1.39)

Fg = Eg ⋅

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(Com fonte de tensão)

Fg = βLI = Fgi

(Com fonte de corrente...
Zes =

(1.46)

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2

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Mms

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2

1
1
1
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s ⋅ Lces

Rms

Ond...
Fig. 18a
Fig. 18b
Circuito equivalente simplificado da caixa refletora de graves, visto pelo lado elétrico do falante, com...
Fig. 19a – Circuito equivalente acústico, da caixa refletora
de graves, excitada por fonte de tensão.

Fig. 19b – Circuito...
Fonte de Tensão
Gerador de Tensão

Gerador de Força
βL
Fg = Eg ⋅
Rg + Ze

Eg

Qes =

Mms / Cms

( βL )

2

⋅ RE

Zme =

Re...
Fonte de Corrente
Gerador de Corrente

Gerador de Força

Ig

Fg = Ig ⋅ βL

Qes = ∞

Fatores de Qualidade
Mms / Cms
Qms =
R...
UP = UD ⋅

(1.75)

UL = UD ⋅

(1.76)

Como

Zab
U D s ⋅ Map
UD
=
⋅
=
s ⋅ Map
s ⋅ Map G L(S)
G L( S)

ωb ⋅ Map
1
=
R AL
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...
(1.86)
D(S)

2
⎛ s2
⎞ ⎛ s2
⎞ ⎛ s2
⎞
s 1
s
1
s 1
⎟+⎜
⎟⋅⎜
⎟ + α⋅ s
⎜
⎟ ⎜ 2 +
⎟ ⎜ 2 +
⎟
= (s ⋅ Zme ⋅ Cms) ⋅ ⎜ 2 +
⋅
+ 1⎟
⋅
+ ...
Como, no caso de excitação por fonte de tensão, Pge = Eg ⋅

POe(S)

(1.94)

)

Sd ⋅ Rg + Ze

, vem:

s4 / ω4
b
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2
2
= − E...
(1.105)

(1.106)

(1.107)

POi(S)

s4 / ω4
b
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2
= − Ig ⋅
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⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅
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Di(S)

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s4 / ω4
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2
= −...
0.014
0.012

| UOe |
| UOi /10 |

| UO |

0.01
0.008
0.006
0.004
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1
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Freqüência em Hz
Fig. 24 – Velocidade...
0.012
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| UOe |
| UOi /10 |

| UO |

0.008
0.006
0.004
0.002
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Fig. 27 – O mesmo que na Fi...
Modulo e Fase de Zvc BR4

150

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Módulo
Fase
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Freqüência em Hz
Fig. 30 – Imp...
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| UDe |
| UDi /10 |

| UD |

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Fig. 32 – Velocidades...
| UO | e suas Componentes

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| UDe |
| UPe |
| ULe |
| UOe |

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0.002
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10

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10
Freqüên...
POe em dB e suas Componentes

100
90
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| PDe |
| PPe |
| PLe |
| POe |

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50
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30
20
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2

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Freqüência em Hz
Fi...
POi em dB e suas Componentes

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100
90
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Freqüência em Hz
Fig. 41 – ...
3

Velocidades Volumetricas em m / s

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UPe
UDe
UPe − UDe

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POe em dB e suas Componentes

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Freqüência em Hz
Fig. 4...
Fig. 51 – Impedância na caixa protótipo, com o duto
tampado, com e sem material absorvente na caixa.

Fig. 52 – Impedância...
A atenuação na resposta foi insignificante, sem eliminar o pico existente no extremo inferior da faixa, que
sofreu uma lig...
Para entender o resultado acima foram combinadas as equações (1.61), (1.75) e (1.77) que levaram a
(1.108), que se transfo...
Agradecimentos:

Os Autores agradecem :
À Eletrônica Selenium S. A. pelos recursos colocados à disposição dos Autores, que...
Apêndice 1 – Análise do Circuito Equivalente Acústico da Caixa, Com e Sem Perdas
Sem Perdas :

Zab =

(1.111)

Como Map ⋅ ...
s
s
⋅ Qp
⋅ Qp
1 +
ωb
ωb ⋅ Map
ωb
=
⋅ 2
Zab = Rap ⋅ 2
s
s 1
s
s 1
Qp
+
⋅
+ 1
+
⋅
+ 1
2
2
ωb
ωb Q p
ωb
ωb Q p
1 +

(1.119)

...
( Rap + s ⋅ Map ) ⋅ ( s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1)
Rap + s ⋅ Map
=
s ⋅ Cab ⋅ ( Rap + s ⋅ Map )
s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1 + s ⋅ Cab ⋅ ( Rap +...
Zab( jω)

ω2 1
ω ⎛
1 1 ⎞
1
⋅
+ j ⋅ ⋅ ⎜1 +
⋅
⎟+
2
ωb Q b
ωb ⎜
Qb Qp ⎟ Qp
⎝
⎠
= ωb ⋅ Map ⋅
2
⎛ 1
⎞
ω
ω
1
− 2 + j⋅ ⋅ ⎜
+
+1
⎜...
⎡
⎤
⎛
⎞
⎡
⎤
⎢
⎥
⎜
⎟
⎢ 1
⎛ 1
⎞⎥
1
1 ⎟
1
1 ⎥
2
2
2
2
−
= ωb ⋅ ⎢
−
= ωb ⋅ ⎢
⋅ ⎜ 2 − 1⎟ ⎥
(1.147) ωO = ωb ⋅ ⎜ 2
⎟⎥
⎢ 2 ⎛ 1
⎥
1...
(1.152)

s2 1
s ⎛
1 ⎞
1
⋅
+
⋅ ⎜1 +
⎟+
2
Qb ⋅ Qp ⎟ Qp
ωb Q b ωb ⎜
α
⎝
⎠
Zab =
⋅
2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms 1 ⎡ s 2 1
⎤ s2
s ⎛
1 ⎞
1
s
...
(1.160)
2
2
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⎛
ω2 ⎛
ωO
ωO 1 ⎛ 1
1 ⎞
1
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1
1
1
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⋅ ⎜1 +
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+
+
⎟
⎟ +1− 2 ⋅
⎟ = 2 − 2⋅
2
ωb ⎝
Qb ⋅ QL ⎠
ωb Q...
Apêndice 2 – Circuito RLC Paralelo, Com Perdas Indutivas

(1.165)

Z1 = R L + s ⋅ L

(1.167)

Zab =

(1.168)

Zab =

;

1
...
Apêndice 3 – Circuito RLC Paralelo, Com Perdas Indutivas e Capacitivas

(1.177)

Z1 = R L + s ⋅ L

(1.178)

Z2 = R C +

(1...
⎛
1 ⎞
Se ⎜ R L = R C =
⎟ a freqüência de ressonância será indeterminada, podendo assumir qualquer valor.
ωR ⋅ C ⎠
⎝

Como ...
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  1. 1. ___________________________________ Sociedade de Engenharia de Áudio Artigo de Convenção Apresentado na XI Convenção Nacional 21 - 23 de Maio de 2007, São Paulo, SP Este artigo foi reproduzido do original entregue pelo autor, sem edições, correções e considerações feitas pelo comitê técnico deste evento. Outros artigos podem ser adquiridos através da Audio Engineering Society, 60 East 42nd Street, New York, New York 10165-2520, USA, www.aes.org. Informações sobre a seção brasileira podem ser obtidas em www.aesbrasil.org. Todos os direitos reservados. Não é permitida a reprodução total ou parcial deste artigo sem autorização expressa da AES Brasil. ___________________________________ Caixa Refletora de Graves Excitada por Fonte de Corrente Homero Sette Silva homero@selenium.com.br REVISÃO 18 – 05 – 07 Eletrônica Selenium S. A. www.selenium.com.br RESUMO Alto-falantes e caixas acústicas são tradicionalmente alimentados por amplificadores que se aproximam de uma fonte de tensão ideal. A situação dual, ou seja, o uso de amplificadores que simulam uma fonte ideal de corrente traz fatos novos no desempenho das caixas acústicas e no comportamento dos alto-falantes. Os amplificadores de corrente variam a tensão na saída de modo a manter a corrente inalterada mesmo com diferentes impedâncias de carga. Assim, a corrente circulando na bobina do falante torna-se independente das componentes da bobina, que são não lineares (variam com a freqüência). Alem da eliminação dessa fonte de distorção (presente mesmo com pequenos sinais) surgem outros benefícios, como uma resposta estendida nas baixas e altas freqüências. No entanto alguns problemas precisam ser contornados para que a resposta de freqüência resultante seja adequada à maioria das aplicações. O presente trabalho explica os motivos que determinam as diferenças que ocorrem nas respostas de caixas acústicas alimentadas por fontes de tensão e por fontes de corrente, alem das modificações que podem ser efetuadas nos alto-falantes para que os resultados obtidos sejam adequados.
  2. 2. Caixa Refletora de Graves Excitada por Fonte de Corrente Introdução Alto-falantes e caixas acústicas são tradicionalmente alimentados por amplificadores que se aproximam de uma fonte de tensão ideal, onde a amplitude na saída é mantida aproximadamente constante, mesmo com a impedância de carga variando dentro de amplos limites. A situação dual, ou seja, o uso de amplificadores que simulam uma fonte ideal de corrente traz fatos novos no desempenho das caixas acústicas e no comportamento dos alto-falantes. Os amplificadores de corrente variam a tensão na saída de modo a manter a corrente inalterada mesmo com diferentes impedâncias de carga. Assim, a corrente circulando na bobina do falante torna-se independente das componentes da bobina, que são não lineares (variam com a freqüência). Alem da eliminação dessa fonte de distorção (presente mesmo com pequenos sinais) surgem outros benefícios, como uma resposta estendida nas baixas e altas freqüências. No entanto alguns problemas precisam ser contornados para que a resposta de freqüência resultante seja adequada à maioria das aplicações. O presente trabalho explica os motivos que determinam as diferenças que ocorrem nas respostas de caixas acústicas alimentadas por fontes de tensão e por fontes de corrente, alem das modificações que podem ser efetuadas nos alto-falantes para que os resultados obtidos sejam adequados. Fundamentos A Fig. 1a mostra a representação simplificada de um amplificador como fonte de tensão, com força eletro motriz Eg e resistência interna Rg, alimentando uma carga R L . Eg ⋅ RL (1.1) . A tensão de saída é dada por E O = Rg + R L . Fig. 1a – Fonte de Tensão Fig. 1b – Fonte de Corrente Equivalente Fig. 1c – Fonte Ideal de Corrente No caso de uma fonte ideal de tensão, Rg é nula e a tensão de saída E O será sempre igual a Eg, para qualquer valor de corrente no circuito, ou seja, independente de R L . Na prática, os amplificadores de tensão apresentam Rg << R L o que implica em E O Eg , ou seja, a tensão na saída será um pouco menor que aquela obtida sem carga, ou seja, Eg. Se Rg >> R L a corrente Ig será aproximadamente igual a Eg/Rg , ou seja, pouco dependente do valor Eg ⋅ RL . de R L . Nesta situação, a tensão de saída será, aproximadamente, dada por E O Rg Em função do que foi acima exposto podemos entender uma fonte de corrente constante como sendo aproximadamente igual a uma fonte de tensão, dotada de resistência interna muito elevada. 2
  3. 3. Quando essa resistência interna tender para infinito, o comportamento do circuito será o de uma fonte ideal de corrente. Devemos ressaltar que corrente constante não é sinônimo de corrente continua, sendo constante no sentido de que o valor médio eficaz (RMS) não varia, pois é independente da carga. Aplicando o teorema de Norton podemos transformar o circuito fonte de tensão da Fig. 1a no equivalente, usando fonte de corrente, mostrado na Fig. 1b, a partir do qual chegamos facilmente ao circuito da Fig. 1c, que representa uma fonte de corrente ideal Ig, alimentando uma carga R L . A passagem de 1b para 1c implicou em Rg = ∞ , que é a premissa básica para uma fonte ideal de corrente. Calculando a expressão da tensão de saída, no circuito da Fig. 1b, vemos que os resultados das equações (1.1) e (1.2) são exatamente iguais o que demonstra serem duas formas diferentes, porem equivalentes, de retratar a mesma situação: uma com fonte de tensão e a outra com fonte de corrente. E O = Ig ⋅ 1 1 1 + Rg RL = Eg 1 Eg Eg ⋅ = = ⋅ RL Rg Rg 1 + 1 Rg + R L 1+ Rg RL RL (1.2) Implementar uma fonte de corrente associando uma resistência de valor elevado, em série com uma fonte de tensão, embora seja algo simples, tem o grave inconveniente da elevada potência dissipada nesse resistor. Na prática o que se faz é modificar o elo de realimentação de um amplificador de tensão, de modo que ele mantenha a corrente na saída constante mesmo para diferentes valores de impedância de carga, conforme a Fig. 2. Se R L aumenta, a realimentação eleva a Fig. 2 – Amplificador Fonte de Corrente. tensão E O de modo que o cociente E O / R L fique inalterado, acontecendo o inverso caso a carga diminua de valor. A corrente é diretamente proporcional ao sinal de entrada Ein e inversamente proporcional ao valor de Rp, o que torna esse circuito um conversor tensão-corrente onde amplas variações na carga não influenciam o valor da corrente Ig, como mostra a equação (1.3) . Para que este comportamento seja conseguido basta que Rp seja muito menor que R. Alem disso, tudo se passa como se a resistência interna da fonte fosse igual a R. Escolhendo R = 1 MΩ consegue-se uma resistência interna do circuito igual a R, que é muito maior que as impedâncias de carga oferecidas por falantes e caixas acústicas, garantindo, um comportamento quase ideal da fonte de corrente. Ig = (1.3) Ein Rp ; E O = Ig ⋅ R L = Ein ⋅ RL Rp Fonte de Corrente e as Componentes Não Lineares da Bobina As componentes resistiva e indutiva, da bobina de um alto-falante, variam com a freqüência, conforme as equações (1.4) e (1.5) o que caracteriza uma não linearidade, que acontece mesmo para pequenos sinais aplicados. (1.4) Le = Kxm ⋅ ω( Exm − 1) ∴ X Le = Kxm ⋅ ωExm (1.5) Re = R E + Re d onde Re d = Krm ⋅ ωErm Na Fig. 3 temos o análogo elétrico de uma caixa refletora de graves alimentada por um amplificador tipo fonte de tensão e na Fig. 4 o correspondente com fonte de corrente. 3
  4. 4. Fig. 3 – Circuito equivalente, simplificado, de uma caixa refletora de graves, alimentada por fonte de tensão. Fig. 4 – Circuito equivalente, simplificado, de uma caixa refletora de graves, alimentada por fonte de corrente. Fig. 5 – Circuito equivalente da Fig. 3, refletido para o lado mecânico (fonte de tensão). 4
  5. 5. Na Fig. 5 vemos o circuito equivalente da Fig. 3, com o lado elétrico refletido para o mecânico, onde podemos ver que as componentes da bobina foram refletidas como impedâncias e afetaram, também, o gerador de força. Isso fará com que as não linearidades da bobina influenciem (prejudicialmente) o resultado acústico do sistema. No caso de um amplificador fonte de Fig. 6 – Circuito equivalente da Fig. 4, refletido para o lado corrente (Fig. 4) as componentes da bobina não mecânico (fonte de corrente). aparecem refletidas no lado mecânico e o gerador de força só depende de BL e da corrente Ig, fornecida pela fonte de corrente, conforme a Fig. 6. Esta é uma grande vantagem da excitação com amplificador tipo fonte de corrente: as não linearidades da bobina (componentes resistiva e indutiva) são virtualmente eliminadas da resposta por não serem refletidas para o lado mecânico e daí não influenciarem no acústico. Qts e Fonte de Tensão A resposta acústica dos sistemas de radiação direta é função do fator de qualidade total do sistema, Qt, muitas vezes aproximadamente igual ao fator de qualidade total do falante, denominado Qts, que é o inverso do fator de amortecimento do falante, resultado da combinação dos fatores de qualidade elétrico e mecânico, conforme as equações (1.6), (1.7) e (1.8), onde: Qts = (1.6) (1.7) Qms = 1 1 1 + Qms Qes 2π ⋅ Fs ⋅ Mms Rms Qes para Qms >> Qes ; Qes = 2π ⋅ Fs ⋅ Mms ( BL ) 2 (1.8) RE Qts, Qes e Qms são, respectivamente, os fatores de qualidade total, elétrico e mecânico do falante; Fs = freqüência de ressonância mecânica do falante ; Mms = massa móvel do falante ; βL = fator de força ; R E = Resistência da bobina em corrente continua. Para entendermos a reflexão do lado elétrico para o mecânico vamos aplicar o teorema de Thevenin no lado mecânico do falante, conforme vemos nas Figs. 7a e 7b. Este procedimento permite representar um circuito, entre dois de seus pontos, por um gerador equivalente, em série com uma impedância equivalente denominados, respectivamente, gerador de Thevenin e impedância de Thevenin. O teorema de Norton, por nós já utilizado, é o dual do teorema de Thevenin. Fig. 7a Fig. 7b Determinação do gerador de força à circuito aberto, Foc, com fonte de tensão. 5
  6. 6. Fig. 8a Fig. 8b Determinação da velocidade de curto circuito, Vsc, com fonte de tensão. A força do gerador no lado mecânico, a circuito aberto, Foc, análoga à tensão de Thevenin, será dada pela equação (1.9), onde I é a corrente circulando pela bobina. No lado elétrico temos a fonte de tensão controlada pela velocidade. Como o lado mecânico está a circuito aberto, a velocidade será nula, o que implica em uma força contra eletro motriz igual a zero, na fonte controlada de tensão, o que é equivalente ao curto circuito, mostrado na Fig. 7b. Para determinar Vsc, ou seja, a velocidade no lado mecânico, colocamos um curto nos terminais do gerador de força o que leva a Fsc = 0, condição que implica em um circuito aberto na bobina (I = 0) o que faz com que a tensão nos terminais da bobina seja igual a Eg, o que está mostrado nas Figs. 8a e 8b. (1.9) Foc = βL ⋅ I Fsc = β L ⋅ I = 0 (1.11) βL ⋅ V = β L ⋅ Voc = β L ⋅ 0 = 0 ; ∴ I = 0 ⇒ (1.10) β L ⋅ Vsc = Eg De acordo com o teorema de Thevenin, a impedância interna do gerador Foc, que denominaremos Zme (impedância mecânica refletida da parte elétrica) será dada pelo cociente entre Foc e Vsc. ( βL ) Foc βL βL = Eg ⋅ ⋅ = Vsc Rg + Re + s ⋅ Le Eg Rg + Re + s ⋅ Le 2 (1.12) Zme = Manipulando algebricamente a expressão de Zme podemos constatar, na equação (1.13) que o circuito elétrico, em série com a bobina, transformou-se em um circuito mecânico paralelo, cuja impedância equivalente é dada pelo inverso da soma dos inversos de cada uma das impedâncias. 2 Além disso, a indutância elétrica transformou-se em uma compliância mecânica igual a Le / ( β L ) . (1.13) 2 ( βL ) Zme = = Rg + Re + s ⋅ Le 1 Rg Re Le 2 + 2 + s⋅ 2 ( βL ) ( βL ) ( βL ) = 1 1 1 Le 2 + 2 + s⋅ 2 (βL ) ( βL ) (β L ) Rg Re Outro fato relevante, resultante da análise acima, e que merece ser ressaltado, é o seguinte: um curto circuito, aplicado no lado mecânico, reflete-se como um circuito aberto, no lado elétrico; um circuito aberto, no lado mecânico, é sentido como um curto, no lado elétrico. O recíproco também ocorre do lado elétrico para o mecânico. Esse comportamento é caracterizado pelo girador, componente que pode ser usado no lugar das fontes controladas, para fazer o acoplamento entre os lados elétrico e mecânico do falante . 6
  7. 7. Qts e Fonte de Corrente No caso de um alto-falante, alimentado por amplificador tipo fonte de corrente, os componentes 2 elétricos da bobina não se refletem para o lado mecânico. Assim sendo, a componente ( BL ) / Re é nula, o que implica em um valor infinito para o fator de qualidade elétrico Qes, o que torna Qts = Qms. Este é um fato de suma importância, responsável por muitas das grandes diferenças que serão encontradas nas respostas dos sistemas alimentados com fontes de corrente. No caso de amplificadores de tensão, o amortecimento total é quase totalmente dado pela componente resistiva da bobina, sendo a influencia de Qms normalmente desprezível. Os falantes geralmente empregados no uso profissional têm Qts baixo, em torno de 0,4. Com amplificadores de corrente o amortecimento do sistema é exclusivamente dado pelo lado mecânico, ou seja, por Qms, que normalmente é um valor muito elevado (geralmente maior que 10), se comparado com Qes. Os baixos valores de amortecimento, provocados por um fator de qualidade do sistema igual a Qms, produzirão elevados picos na resposta que, normalmente, precisarão ser corrigidos. Adiante mostraremos uma das possibilidades para fazer-se isso. No entanto, devemos ressaltar que o fator de qualidade Qts, do falante, não foi alterado pela fonte de corrente, tendo esta modificado o fator de qualidade do sistema, que ao invés de aproximadamente igual a Qts, tornou-se igual a Qms, geralmente muito maior que Qts. Fig. 9a Fig. 9b Determinação do gerador de força à circuito aberto, Foc, com fonte de corrente. Fig. 10a Fig. 10b Determinação do gerador de força à circuito aberto, Foc, com fonte de corrente. Com fonte de corrente, um circuito aberto no lado mecânico também provocará um curto circuito no lado elétrico, onde a corrente será igual a Ig, o que produzirá um gerador de força, no lado mecânico, dado por (1.15). Com um curto no lado mecânico a velocidade Vsc tenderá para infinito. O curto circuito no lado mecânico provocará um circuito aberto no lado elétrico, onde a tensão nos terminais da fonte ideal de corrente tenderá para infinito, no sentido de manter a corrente Ig circulando pela resistência infinita do circuito aberto, conforme mostra a equação (1.16), sendo o cociente Foc/Vsc igual a zero, conforme (1.17) . (1.14) βL ⋅ V = βL ⋅ Voc = βL ⋅ 0 = 0 7 ; Foc = βL ⋅ Ig (1.15)
  8. 8. (1.16) Fsc = β L ⋅ Ig = 0 ∴ I → 0 Zme = (1.17) ⇒ β L ⋅ Vsc = ∞ ∴ Vsc = ∞ Foc βL ⋅ Ig = = 0 ∞ Vsc Análise do Sistema Refletor de Graves Segue-se abaixo a análise detalhada da caixa refletora de graves (bass reflex). Alguns conceitos enunciados anteriormente serão utilizados e até mesmo revistos, no sentido de proporcionar um perfeito entendimento do assunto abordado. O Lado Acústico Desprezando a impedância de radiação do ar, no lado acústico temos a presença do circuito equivalente da caixa refletora de graves, mostrada na Fig. 11. (1.18) Zab = (1.19) Zab = 1 R AL 1 s ⋅ Map + R AL + s 2 ⋅ Map ⋅ Cab ⋅ R AL s ⋅ Map ⋅ R AL (1.20) Map ⋅ Cab = (1.21) Zab = (1.22) (1.23) 1 1 + + s ⋅ Cab s ⋅ Map 1 ω2 b onde Fig. 11 – Representação Acústica simplificada da caixa refletora de graves. ωb = 2π ⋅ Fb s ⋅ Map ⋅ R AL s ⋅ Map = 2 Map s ⋅ Map + R AL + s ⋅ Map ⋅ Cab ⋅ R AL + 1 s 2 ⋅ Map ⋅ Cab + s ⋅ R AL s ⋅ Map s ⋅ Map Zab = 2 = 2 s s ωb ⋅ Map s s ωb ⋅ Map + ⋅ + 1 + ⋅ + 1 2 2 ωb ωb R AL ωb ωb R AL ωb ⋅ Map 1 = R AL QL (1.24) Zab = s ⋅ Map s s 1 + ⋅ + 1 2 ωb ωb Q L 2 Onde QL é o fator de qualidade que representa as perdas por vazamentos. (1.26) α ω ⋅ Sd 2 ⋅ Cms Cas Vas = Cab Vb s ωb s α α Zab = 2 ⋅ 2 = ⋅ 2 2 2 s 1 s 1 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s + ⋅ + 1 + ⋅ + 1 2 2 ωb ωb Q L ωb ωb Q L (1.25) Map = onde 2 b 8 α =
  9. 9. O Lado Mecânico (1.27) Zms = Rms + s ⋅ Mms + 1 s ⋅ Rms ⋅ Cms + s 2 ⋅ Mms ⋅ Cms + 1 = s ⋅ Cms s ⋅ Cms Fig. 12 – O lado mecânico do falante. (1.28) (1.29) (1.30) 1 2 ωS Mms ⋅ Cms = Zms = onde ωS = 2π ⋅ Fs s 2 ⋅ Mms ⋅ Cms + s ⋅ Rms ⋅ Cms + 1 = s ⋅ Cms ωS ⋅ Rms ⋅ Cms = 1 Qms (1.31) s2 s + ⋅ ωS ⋅ Rms ⋅ Cms + 1 2 ωS ωS s ⋅ Cms Zms = s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωS ωS Qms s ⋅ Cms O Lado Elétrico do Falante (1.32) Ze = R E + Re d + s ⋅ Le Fig. 13 – O lado elétrico do falante. (1.33) Ze = R E + Krm ⋅ ωErm + s ⋅ Kxm ⋅ ω( Exm −1) No Lado Mecânico do Falante No lado mecânico do falante alem dos componentes mecânicos Rms, Mms e Cms, que ali são nativos, podemos ter os componentes elétricos e acústicos, para ali refletidos. Refletindo o Lado Acústico para o Mecânico (1.34) Zmb = Sd 2 ⋅ Zab (1.35) s ωb α Zmb = ⋅ 2 s 1 ωb ⋅ Cms s + ⋅ + 1 2 ωb ωb Q L Fig. 14 – A caixa refletora de graves, no lado mecânico. Refletindo o Lado Elétrico para o Mecânico Impedâncias Mecânicas 2 (1.36) ( βL ) Zme = Rg + Ze (Com fonte de tensão) (1.37) Zme = 0 (Com fonte de corrente) 9 Fig. 15 – O lado elétrico refletido para o lado mecânico.
  10. 10. Gerador de Força (1.38) (1.39) Fg = Eg ⋅ βL = Fge Rg + Ze (Com fonte de tensão) Fg = βLI = Fgi (Com fonte de corrente) Topologia do Circuito Conforme o desenvolvimento abaixo, o circuito elétrico série, transforma-se em um circuito paralelo, no 2 lado mecânico. Alem disso, o indutor Le assume a forma da capacitância Le / ( β L ) . (1.40) 2 ( βL ) Zme = = Rg + Re + s ⋅ Le 1 Rg Re Le 2 + 2 + s⋅ 2 ( βL ) ( βL ) (βL ) = 1 2 (βL ) Rg 1 1 Le + 2 + s⋅ 2 ( βL ) (β L ) Re No Lado Elétrico do Falante No lado elétrico do falante alem dos componentes elétricos Eg, Rg, RE, Red e Le, que ali são nativos, podemos ter os componentes mecânicos e acústicos, para ali refletidos. Refletindo o Lado Mecânico para o Elétrico (1.41) (βL ) 2 = ZE ⋅ ZM Zeb = (1.42) (1.43) ∴ Zes = (βL ) 2 ZE = (βL ) ⋅ Cms ⋅ (βL ) 2 ZM 2 Zmb s 2 s s 1 + ⋅ + 1 2 ωS ωS Qms Zes = ωS ⋅ ( βL ) ⋅ Cms ⋅ s ωS 2 (1.44) Fig. 16 – O lado mecânico refletido para o elétrico. s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωS ωS Qms Topologia do Circuito O circuito RLC série, existente no lado mecânico, reflete-se como um circuito RLC paralelo, no lado elétrico. A massa Mms transforma-se na capacitância Cmes e a compliância Cms converte-se na indutância Lces, conforme mostra o desenvolvimento abaixo. (1.45) Zes = (βL ) 2 Rms + s ⋅ Mms + 1 s ⋅ Cms = Rms ( βL ) 10 2 + s⋅ 1 Mms (βL ) 2 + 1 s ⋅ ( β L ) ⋅ Cms 2
  11. 11. Zes = (1.46) 1 (βL ) 2 + s⋅ 1 Mms (βL ) 2 + = 1 s ⋅ ( β L ) ⋅ Cms 2 1 1 1 + s ⋅ Cmes + Re s s ⋅ Lces Rms Onde: Res = ( βL ) 2 Cmes = ; Rms Mms (βL ) Lces = ( β L ) ⋅ Cms 2 ; 2 Refletindo o Lado Acústico para o Elétrico (1.47) (1.48) Zeb = ( βL ) 2 Sd 2 ⋅ Zab Zeb = (βL ) 2 s ωb α ⋅ 2 s 1 ωb ⋅ Cms s + ⋅ + 1 2 ωb ωb Q L s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ( βL ) ⋅ ωb ⋅ Cms ⋅ ωb ωb Q L Zeb = s α ωb 2 (1.49) Fig. 17 – O lado acústico, refletido para o elétrico. Topologia do circuito O circuito RLC paralelo, existente no lado acústico, reflete-se como um circuito RLC série, no lado elétrico. A massa Map transforma-se na capacitância Cmep e a compliância Cab converte-se na indutância Lceb, conforme mostra o desenvolvimento abaixo. (1.50) Zeb = (1.51) ( βL ) 2 Sd 2 ⋅ Zab Zeb = Onde: R EL = ( βL ) = (βL ) 2 Sd 2 ( βL ) 2 Sd 2 ⋅ R AL ⎛ 1 ⎞ ( βL ) + ( βL ) (βL ) ⋅ Cab 1 ⋅⎜ + + s ⋅ Cab ⎟ = + s⋅ 2 2 s ⋅ Map Sd ⋅ R AL s ⋅ Sd ⋅ Map Sd 2 ⎝ R AL ⎠ 2 ( βL ) ⋅ Cab = R + 1 + s ⋅ Lceb 1 + + s⋅ EL s ⋅ Sd 2 ⋅ Map Sd 2 s ⋅ Cmep 2 (βL ) 2 2 Sd 2 ⋅ R AL ; Cmep = Sd 2 ⋅ Map ( βL ) ; 2 Lceb = Impedância Vista Pela Bobina (1.52) 2 Zvc = Ze + Zes + Zeb 11 ( βL ) Sd 2 2 ⋅ Cab 2
  12. 12. Fig. 18a Fig. 18b Circuito equivalente simplificado da caixa refletora de graves, visto pelo lado elétrico do falante, com fonte de tensão. No Lado Acústico do Falante No lado acústico do falante alem dos seus componentes nativos, como a impedância de radiação do ar (aqui desconsiderada), e a impedância da caixa, temos os componentes elétricos e mecânicos, para ali refletidos. Refletindo o Lado Elétrico para o Acústico Impedâncias Acústicas Zme Sd2 (1.53) Zae = (1.54) Zae = 0 (Com fonte de tensão) (Com fonte de corrente) Gerador de Pressão (1.55) Pg = Eg ⋅ (1.56) Pg = Ig ⋅ ( βL Sd ⋅ Rg + Ze ) = Pge (Com fonte de tensão) βL = Pgi Sd (Com fonte de corrente) Refletindo o Lado Mecânico para o Acústico (1.57) Zas = Zms Sd2 Impedâncias Refletidas para o Lado Acústico (1.58) Zae + Zas (com fonte de tensão) e 12 Zas (com fonte de corrente)
  13. 13. Fig. 19a – Circuito equivalente acústico, da caixa refletora de graves, excitada por fonte de tensão. Fig. 19b – Circuito equivalente acústico, da caixa refletora de graves, excitada por fonte de corrente. PERDAS Análise do Circuito Equivalente Acústico PERDAS UL UD FALANTE PÓRTICO FALANTE UL UD UO UB CAIXA UP DUTO Fig. 20 – Componentes acústicas no interior da caixa UP Fig. 21 – Componentes acústicas no exterior da caixa Velocidades Volumétricas (1.59) UD = Pg Zae + Zas + Zab UD = UB + UP + UL (1.60) (1.61) UO = − UD + UP + UL = − ( UB + UP + UL ) + UP + UL (1.62) UO = − UB (resultante, na saída) Onde U D , U B , U P e U L são, respectivamente, as velocidades volumétricas no driver (falante), na caixa (box), no duto (pórtico) e nas perdas por vazamentos (leakage). 13 Fig. 22 – Circuito da caixa refletora de graves, visto pelo lado acústico, para o cálculo de Ud.
  14. 14. Fonte de Tensão Gerador de Tensão Gerador de Força βL Fg = Eg ⋅ Rg + Ze Eg Qes = Mms / Cms ( βL ) 2 ⋅ RE Zme = Re d = R E + Krm ⋅ ωErm Le = s ⋅ Kxm ⋅ ω( Exm −1) Lado Mecânico Lado Acústico α s ⋅ 2 ω ⋅ Sd ⋅ Cms ωb Zab = 2 b s s 1 + ⋅ + 1 2 ωb ωb Q L (1.64) GS(S) = (βL ) Zae = Zas = s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωS ωS Qms s ⋅ Sd 2 Cms Do Acústico para o Elétrico s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωb Q L 2 ωb Zeb = ( β L ) ⋅ α ⋅ Sd 2 s ⋅ 2 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms ωb Pg s s 1 s + ⋅ + 1 2 α ω ωS Qms ωb Zae + S + ⋅ 2 2 2 s 1 s ⋅ Sd ⋅ Cms ω b ⋅ Sd ⋅ Cms s + ⋅ + 1 2 ωb ω b QL s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωS ωS Qms ; (1.65) GL(S) = s ⋅ Sd ⋅ Cms ⋅ Zae + GS(S) + α ⋅ U B(S) = U D ⋅ Zab ⋅ s ⋅ Cab UB(S) = Pg ⋅ s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωb ω b QL Pg ⋅ s ⋅ Sd2 ⋅ Cms UD(S) = 2 (1.69) Sd 2 R E + Re d + s ⋅ Le Do Mecânico para o Acústico 2 ⋅ Cms ⋅ s Zes = s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωS ωS Qms Do Acústico para o Mecânico α ⋅ Sd 2 s ⋅ 2 ω ⋅ Sd ⋅ Cms ωb Zmb = 2 b s s 1 + ⋅ + 1 2 ωb ωb Q L 2 2 (1.66) (1.67) 1 1 1 + Qes Qms (βL ) 2 R E + Re d + s ⋅ Le (βL ) ) Do Elétrico para o Acústico Do Mecânico para o Elétrico s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωS ωS Qms s ⋅ Cms UD(S) = Qts = Impedâncias Do Elétrico para o Mecânico Ze = R E + Re d + s ⋅ Le (1.63) ( Fatores de Qualidade Mms / Cms Qms = Rms Lado Elétrico Zms = Gerador de Pressão Acústica βL Pg = Eg ⋅ Sd ⋅ Rg + Ze Zab ⋅ s ⋅ Cab Zae + Zas + Zab s2 / ω2 b GL(S) (1.68) (1.70) 14 U B(S) = Pg ⋅ Cms ⋅ S2 D Cab = α Cms ⋅ S2 s ⋅ Zab D ⋅ α Zae + Zas + Zab
  15. 15. Fonte de Corrente Gerador de Corrente Gerador de Força Ig Fg = Ig ⋅ βL Qes = ∞ Fatores de Qualidade Mms / Cms Qms = Rms Impedâncias Do Elétrico para o Mecânico Do Elétrico para o Acústico Zme = 0 Zae = 0 Do Mecânico para o Elétrico Do Mecânico para o Acústico Lado Elétrico Ze = R E + Re d + s ⋅ Le Re d = R E + Krm ⋅ ωErm Le = s ⋅ Kxm ⋅ ω( Exm −1) Lado Mecânico Zms = s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωS ωS Qms s ⋅ Cms Lado Acústico α s ⋅ 2 ω ⋅ Sd ⋅ Cms ωb Zab = 2 b s s 1 + ⋅ + 1 2 ωb ωb Q L (βL ) Qts = Qms 2 ⋅ Cms ⋅ s Zes = 2 s s 1 + ⋅ + 1 2 ωS ωS Qms Do Acústico para o Mecânico α ⋅ Sd 2 s ⋅ 2 ω ⋅ Sd ⋅ Cms ωb Zmb = 2 b s s 1 + ⋅ + 1 2 ωb ωb Q L Pg ⋅ s ⋅ Sd2 ⋅ Cms ⋅ (1.71) Gerador de Pressão Acústica βL Pg = Ig ⋅ Sd UB(S) = Zas = Do Acústico para o Elétrico s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωb Q L 2 ωb Zeb = ( β L ) ⋅ α ⋅ Sd 2 s ⋅ 2 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms ωb s / ωb α ⋅ ⋅ s ⋅ Cab ωb ⋅ Sd2 ⋅ Cms GL(S) 2 s ⋅ Sd ⋅ Cms ⋅ Zae + GS(S) + α ⋅ Pg ⋅ s ⋅ Sd2 ⋅ Cms ⋅ (1.72) UB(S) = s2 / ω2 b GL(S) s / ωb Cms ⋅ S2 α D ⋅ ⋅s⋅ ωb ⋅ Sd2 ⋅ Cms GL(S) α s ⋅ Zme ⋅ Cms + GS(S) + α ⋅ 2 Pg ⋅ ωb ⋅ Sd ⋅ Cms ⋅ (1.73) s2 / ω 2 b GL(S) s3 / ω3 b UB(S) = GL(S) s ⋅ Zme ⋅ Cms + GS(S) + α ⋅ s2 / ω2 b GL(S) Como U O = − U B , temos: 2 Pg ⋅ ωb ⋅ Sd ⋅ Cms ⋅ (1.74) s2 s 1 + ⋅ + 1 2 ωS ωS Qms s ⋅ Sd 2 Cms UO(S) = − s3 / ω3 b GL(S) s ⋅ Zme ⋅ Cms + GS(S) + α ⋅ 15 s2 / ω2 b GL(S)
  16. 16. UP = UD ⋅ (1.75) UL = UD ⋅ (1.76) Como Zab U D s ⋅ Map UD = ⋅ = s ⋅ Map s ⋅ Map G L(S) G L( S) ωb ⋅ Map 1 = R AL QL Map 1 = R AL ωb ⋅ Q L então UL = UD ⋅ (1.77) U D s ⋅ Map Zab = ⋅ R AL R AL G L(S) s / ωb ⋅ Q L s ⋅ UD Zab 1 = ⋅ = UD ⋅ R AL ωb ⋅ Q L G L(S) G L( S) Pressões Acústicas (1.78) PP = ρ ρ Zab ⋅ s ⋅ UP = ⋅ ⋅ Ud 2π 2π Map PO(S) = (1.80) PL = (1.79) ρ ⋅ s ⋅ UL 2π ρ ⋅ s ⋅ UO(S) 2π s3 / ω3 b ρ Pg ⋅ ωb ⋅ Sd ⋅ Cms ⋅ ⋅s⋅ 2π GL(S) 2 PO(S) = − (1.81) s 2 / ω2 b s ⋅ Zme ⋅ Cms + GS(S) + α ⋅ 4 4 ρ s / ωb Pg ⋅ Sd ⋅ ω ⋅ Cms ⋅ ⋅ 2π GL(S) 2 PO(S) = − (1.82) GL(S) 2 b s ⋅ Zme ⋅ Cms + GS(S) + α ⋅ s 2 / ω2 b GL(S) ρ s4 ⋅ 2π ω4 b = − 2 ⎛ ⎞ ⎛ s2 ⎞ s 1 s2 ⎜s ⋅ Zme ⋅ Cms + s + s ⋅ 1 + 1⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ 2 + ⎟ ⋅ + 1⎟ + α ⋅ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ω2 ωS Qms ω b QL ωb ⎝ ⎠ ⎝ ωb ⎠ S Pg ⋅ Sd2 ⋅ ω2 ⋅ Cms ⋅ b (1.83) PO(S) (1.84) ρ s4 ⋅ 2π ω4 b ⎛ s2 ⎞ ⎛ s2 ⎞ s 1 s 1 s2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ +⎜ 2 + ⋅ + 1⎟ ⋅ ⎜ 2 + ⋅ + 1⎟ + α ⋅ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ωS Qms ω b QL ωb ⎝ ωS ⎠ ⎝ ωb ⎠ − Pg ⋅ Sd2 ⋅ ω2 ⋅ Cms ⋅ b PO(S) = (1.85) ⎛ s2 ⎞ s 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ + 1⎟ (s ⋅ Zme ⋅ Cms) ⋅ ⎜ 2 + ⎜ ωb ⎟ ω b QL ⎝ ⎠ PO(S) s4 / ω4 b ρ 2 2 = − Pg ⋅ ⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅ 2π D(S) 16
  17. 17. (1.86) D(S) 2 ⎛ s2 ⎞ ⎛ s2 ⎞ ⎛ s2 ⎞ s 1 s 1 s 1 ⎟+⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ + α⋅ s ⎜ ⎟ ⎜ 2 + ⎟ ⎜ 2 + ⎟ = (s ⋅ Zme ⋅ Cms) ⋅ ⎜ 2 + ⋅ + 1⎟ ⋅ + 1⎟ ⋅ + 1⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ωb ω b QL ωS Qms ω b QL ω2 ⎝ ⎠ ⎝ ωS ⎠ ⎝ ωb ⎠ b (1.87) ⎛ s3 ⎞ ⎛ s2 ⎞ s2 1 s ⎞ ⎛ s2 s 1 s 1 s2 ⎟+⎜ ⎟ ⎜ 2 + ⎟ ⎜ ⎟ D(S) = (ωb ⋅ Zme ⋅ Cms) ⋅ ⎜ 3 + 2 ⋅ + ⋅ + 1⎟ ⋅ ⎜ 2 + ⋅ + 1⎟ + α ⋅ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ω ⎟ ⎟ ⎟ ω b QL ω b ⎠ ⎝ ωS ωS Qms ω b QL ωb ⎝ b ⎠ ⎝ ωb ⎠ Excitação com Fonte de Tensão Zme = (1.88) ( βL ) R E + Re d + s ⋅ Le Zme ⋅ ωb ⋅ Cms = (1.89) (1.90) De(S) (βL ) 2 2 RE = 1 ωS ⋅ Cms ⋅ Qes ωb ⋅ Cms ωb = ωS ⋅ Cms ⋅ Qes ωS ⋅ Qes 2 ⎛ s3 ⎞ ⎛ s2 ⎞ ωb s2 1 s ⎞ ⎛ s2 s 1 s 1 ⎟+⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ + α⋅ s ⎜ ⎟ ⎜ = ⋅⎜ + 2 ⋅ + + ⋅ + 1⎟ ⎜ 2 + ⋅ + 1⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ωS ⋅ Qes ⎜ ω 3 ω b QL ω b ⎠ ⎝ ω2 ωS Qms ω b QL ω2 ⎝ b ⎠ ⎝ ωb ⎠ S b (1.91) De(S) = s3 1 s2 1 s 1 s2 s4 s3 1 s2 ⋅ + ⋅ + ⋅ + α⋅ 2 + 2 2 + ⋅ + 2 + ... ω2 ⋅ ωS Qes ω b ⋅ ωS Qes ⋅ QL ωS Qes ωb ω b ⋅ ωS ω b ⋅ ω2 QL ωS b S ... + s3 1 s2 1 s 1 s2 s 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ + 2 + ⋅ +1 2 ω b ⋅ ωS Qms ωb ⋅ ωS QL ⋅ Qms ωS Qms ωb ω b QL De(S) (1.92) ⎛ 1 s4 1 1 1 1 1 ⎞ ⎟ + ... ⎟ = 2 2 + s3 ⋅ ⎜ 2 ⋅ + ⋅ + 2 ⋅ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ω ⋅ ω Qes ⎟ ωb ⋅ ωS ω b ⋅ ω S QL ω b ⋅ ωS Qms ⎠ ⎝ b S ⎛ 1 ⎞ 1 1 1 1 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ + α⋅ 2 + 2 + 2 + ⋅ ... + s2 ⋅ ⎜ ⎟ + ... ⎜ ω ⋅ ω Qes ⋅ Q ⎟ ωb ωS ωb ω b ⋅ ωS QL ⋅ Qms ⎠ ⎝ b S L ⎛1 1 1 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ + ⋅ + ⋅ ... + s ⋅ ⎜ ⋅ ⎟+1 ⎜ ω Qes ω Qms ⎟ ω b QL ⎠ ⎝ S S Como 1 1 1 = + , vem: Qts Qes Qms De(S) = (1.93) ⎛ 1 s4 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ + s3 ⋅ ⎜ 2 ⋅ + ⋅ 2 2 2 ⎟ + ... ⎜ ω ⋅ ω Qts ⎟ ω b ⋅ ωS ω b ⋅ ω S QL ⎠ ⎝ b S ⎛ 1 1+α 1 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ... + s2 ⋅ ⎜ ⋅ + + 2 ⎟ + ... ⎜ ω ⋅ ω Qts ⋅ Q ⎟ ⎜ b S ω2 ωS ⎠ ⎝ L b ⎛1 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ... + s ⋅ ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟+1 ⎜ ω Qts ⎟ ω b QL ⎠ ⎝ S 17
  18. 18. Como, no caso de excitação por fonte de tensão, Pge = Eg ⋅ POe(S) (1.94) ) Sd ⋅ Rg + Ze , vem: s4 / ω4 b ρ 2 2 = − Eg ⋅ ⋅ ⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅ De(S) Sd ⋅ Rg + Ze 2π βL ( POe(S) (1.95) ( βL (1.96) ) s4 / ω4 b ρ βL 2 = − Eg ⋅ ⋅ ⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅ 2π Rg + Ze De(S) POe (dB SPL) ⎛ POe ⎞ ⎟ ⎟ = 20 ⋅ Log ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 20 ⋅ 10−6 ⎠ ⎟ ⎝ Excitação com Fonte de Corrente (1.97) ⎛ s3 ⎞ ⎛ s2 ⎞ s2 1 s ⎞ ⎛ s2 s 1 s 1 s2 ⎟+⎜ ⎟ ⎜ 2 + ⎟ ⎜ ⎟ + ⋅ + 1⎟ ⋅ ⎜ 2 + ⋅ + 1⎟ + α ⋅ 2 D(S) = (ωb ⋅ Zme ⋅ Cms) ⋅ ⎜ 3 + 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ωb ω b QL ω b ⎠ ⎝ ωS ωS Qms ω b QL ωb ⎝ ⎠ ⎝ ωb ⎠ (1.98) Zme = 0 ; Di(S) = α ⋅ βL Sd s2 s4 s3 1 s2 + 2 2 + ⋅ + 2 + ... ω2 ω b ⋅ ωS ω b ⋅ ω2 Q L ωS b S ... + (1.101) s3 1 s2 1 s 1 s2 s 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ + 2 + ⋅ +1 2 ωb ⋅ ωS Qms ω b ⋅ ωS QL ⋅ Qms ωS Qms ωb ω b QL Di(S) = s4 s3 1 s3 1 s2 s2 + ⋅ + 2 ⋅ + α ⋅ 2 + 2 + ... ω2 ⋅ ω2 ω b ⋅ ω2 Q L ω b ⋅ ωS Qms ωb ωS b S S ... + (1.102) Di(S) (1.104) Pgi = Ig ⋅ ⎛ s2 ⎞ ⎛ s2 ⎞ s 1 s 1 s2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ Di(S) = ⎜ 2 + ⋅ + 1⎟ ⋅ ⎜ 2 + ⋅ + 1⎟ + α ⋅ 2 ⎜ω ⎟ ⎜ ⎟ ωS Qms ω b QL ωb ⎝ S ⎠ ⎝ ωb ⎠ (1.100) (1.103) (1.99) s2 1 s2 s 1 s 1 ⋅ + 2 + ⋅ + ⋅ +1 ωb ⋅ ωS QL ⋅ Qms ωb ωS Qms ω b QL ⎛ 1 s4 1 1 1 ⎞ ⎟ + ... ⎟ = 2 2 + s3 ⋅ ⎜ ⋅ + 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ω ⋅ ω2 Q ⎟ ω b ⋅ ωS ω b ⋅ ωS Qms ⎠ ⎝ b S L ⎛1 + α ⎞ 1 1 1 ⎟+ s ⋅ 1 + s ⋅ 1 +1 ⎟ ... + s2 ⎜ + 2 + ⋅ ⎜ ⎟ ω Qms 2 ⎜ ⎟ ⎜ ωb ωS ωb ⋅ ωS QL ⋅ Qms ⎠ ω b QL ⎝ S POi(S) s4 / ω4 b ρ 2 2 = − Pgi ⋅ ⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅ 2π Di(S) 18
  19. 19. (1.105) (1.106) (1.107) POi(S) s4 / ω4 b βL ρ 2 2 = − Ig ⋅ ⋅ ⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅ Sd 2π Di(S) POi(S) s4 / ω4 b ρ 2 = − Ig ⋅ ⋅ βL ⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅ 2π Di(S) POi (dB SPL) ⎛ POi ⎞ ⎟ ⎟ = 20 ⋅ Log ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 20 ⋅ 10−6 ⎠ ⎟ ⎝ Respostas Simuladas com Fontes de Tensão e de Corrente O comportamento de uma caixa refletora de graves, com 50 litros de volume, sintonizada em 40 Hz, foi simulado com excitações por tensão e por corrente. Nos dois casos os sinais de entrada produziam 0,5 Watt em 8 Ohms, ou seja, aplicavam uma tensão de 2 Volts ou uma corrente igual a 0,25 Amperes. Na Fig. 24 vemos um comparativo entre as velocidades volumétricas, U Oe e U Oi , respectivamente nas saídas de um sistema refletor de graves, alimentado com fonte de tensão e com fonte de corrente onde podemos verificar que U Oi foi muito maior que U Oe , tendo sido necessário dividir U Oi por 10, de modo a poder ser representada adequadamente no mesmo gráfico. Alem disso, U Oi apresentou picos acentuados em duas diferentes freqüências. A causa desses fatos deve-se à reflexão dos componentes da bobina para os lados elétricos e mecânicos, ou seja, Zme = Zae = 0. O deslocamento do cone, com excitação por corrente, foi maior que aquele com fonte de tensão, apresentando picos acentuados nas mesmas freqüências em que isso ocorreu com a velocidade volumétrica, conforme mostra a Fig. 25. Fato semelhante aconteceu com a pressão acústica, na saída do sistema, alimentado por fonte de corrente, como vemos na Fig. 26. Para contornar o problema dos picos na resposta inicialmente tentou-se o uso de material absorvente, colocado de forma convencional no interior da caixa, o que não deu o resultado desejado, pois houve uma atenuação quase uniforme do sinal de saída, permanecendo os picos Fig. 23 – Falante envolvido em tecido absorvente. bastante proeminentes. Quando apenas a parte traseira do falante foi envolvida com material absorvente, conforme a Fig. 23, resultados muito superiores foram encontrados e podem ser vistos nas Figs 27 a 29 . Os picos, embora ainda presentes, foram significativamente reduzidos. 19
  20. 20. 0.014 0.012 | UOe | | UOi /10 | | UO | 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 24 – Velocidades volumétricas, com excitação por tensão e por corrente, esta ultima dividida por 10. 3 10 12 XBR4 em mm 10 Xe Xi 8 6 4 2 0 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 25 – Deslocamento do cone, com excitação por tensão e por corrente. 3 10 120 POe e POi em dB 110 100 90 80 | POe | | POi | 70 60 50 40 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 26 – Pressão acústica, em dB, com excitação por tensão e por corrente. 20 3 10
  21. 21. 0.012 0.01 | UOe | | UOi /10 | | UO | 0.008 0.006 0.004 0.002 0 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 27 – O mesmo que na Fig. 24, mas com a parte traseira do falante envolvida em tecido absorvente. 3 10 3 XBR4 em mm 2.5 Xe Xi 2 1.5 1 0.5 0 1 10 2 3 10 10 Freqüência em Hz Fig. 28 – O mesmo que na Fig. 25, mas com a parte traseira do falante envolvida em tecido absorvente. 110 POe e POi em dB 100 90 80 | POe | | POi | 70 60 50 40 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 29 – O mesmo que na Fig. 26, mas com a parte traseira do falante envolvida em tecido absorvente. 21 3 10
  22. 22. Modulo e Fase de Zvc BR4 150 100 Módulo Fase 50 0 −50 −100 20 40 60 80 100 120 140 Freqüência em Hz Fig. 30 – Impedância e fase na bobina do falante, instalado em uma caixa refletora de graves com Vb = 50 L e Fb = 40 Hz. Modulo e Fase de Zvc BR4 60 40 Módulo Fase 20 0 −20 −40 20 40 60 80 100 120 140 Freqüência em Hz Fig. 31 – O mesmo que na Fig. 30, mas com a parte traseira do falante envolvida em tecido absorvente. O reforço nas respostas de baixas e altas freqüências foi muito significativo, conforme podemos ver nas Figs. 26 e 29, sendo que nesta ultima os picos apresentaram-se de forma menos pronunciada. Nas Figs. 30 e 31 vemos que as freqüências onde ocorreram os picos na velocidade volumétrica, no deslocamento do cone e na pressão acústica na saída da caixa refletora de graves, excitada por fonte de corrente, são as mesmas dos picos que normalmente existem na curva de impedância, desse tipo de sistema, respectivamente denominados FL e FH. O envolvimento do falante em material absorvente diminui a amplitude dos picos da impedância vista pela bobina. Na freqüência de sintonia do sistema, Fb, a impedância é mínima e nas três freqüências citadas a fase é nula. Este mínimo é dado pelo circuito equivalente da caixa refletora de graves que, no lado elétrico, corresponde a um circuito ressonante série, na freqüência Fb, como mostra a Fig. 18a . A freqüência FL é o resultado de uma ressonância decorrente das componentes Mms e Cms, refletidas do lado mecânico para o elétrico. A influência dos demais componentes, refletidos para o lado elétrico, é que a torna diferente de Fs. Já a ressonância em FH deve-se, principalmente, a Cmes e Lceb, respectivamente a massa Mms, refletida para o lado elétrico, e à compliância da caixa, refletida para o lado elétrico. Os demais componentes do circuito também dão a sua parcela de contribuição. As Figs. 32 a 41 mostram outras componentes acústicas, simuladas na caixa de 50 litros, sintonizada em 40 Hz, excitada com fontes de tensão e de corrente. 22
  23. 23. 0.012 0.01 | UDe | | UDi /10 | | UD | 0.008 0.006 0.004 0.002 0 1 10 2 3 10 10 Freqüência em Hz Fig. 32 – Velocidades volumétricas do falante, na caixa refletora de graves, excitada por tensão e corrente. −3 8 x 10 7 6 | UDe | | UDi /10 | | UD | 5 4 3 2 1 0 1 10 2 3 10 10 Freqüência em Hz Fig. 33 – O mesmo que na Fig. 32, mas com a parte traseira do falante envolvida em tecido absorvente. | UO | e suas Componentes 0.014 0.012 | UDe | | UPe | | ULe | | UOe | 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 1 10 2 3 10 10 Freqüência em Hz Fig. 34 – Componentes da velocidade volumétrica UO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido. 23
  24. 24. | UO | e suas Componentes 0.012 0.01 | UDe | | UPe | | ULe | | UOe | 0.008 0.006 0.004 0.002 0 1 10 2 3 10 10 Freqüência em Hz Fig. 35 – Componentes da velocidade volumétrica UO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante amortecido. | UO | e suas Componentes 0.16 0.14 | UDi | | UPi | | ULi | | UOi | 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 36 – Componentes de UO, no refletor de graves, excitado por corrente, falante não amortecido. 3 10 | UO | e suas Componentes 0.04 0.035 0.03 | UDi | | UPi | | ULi | | UOi | 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 37 – Componentes de UO, no refletor de graves, excitado por corrente, falante amortecido. 24 3 10
  25. 25. POe em dB e suas Componentes 100 90 80 | PDe | | PPe | | PLe | | POe | 70 60 50 40 30 20 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 38 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido. 3 10 POe em dB e suas Componentes 100 90 80 | PDe | | PPe | | PLe | | POe | 70 60 50 40 30 20 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 39 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante amortecido. 3 10 POi em dB e suas Componentes 120 100 | PDi | | PPi | | PLi | | POi | 80 60 40 20 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 40 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por corrente, falante não amortecido. 25 3 10
  26. 26. POi em dB e suas Componentes 110 100 90 | PDi | | PPi | | PLi | | POi | 80 70 60 50 40 2 10 Freqüência em Hz Fig. 41 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por corrente, falante amortecido. 3 10 0.014 3 Velocidades Volumetricas em m / s 30 1 10 0.012 UPe UDe UPe − UDe 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 1 10 2 3 3 Velocidades Volumetricas em m / s 10 10 Freqüência em Hz Fig. 42 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido. 0.16 0.14 UPi UDi UPi − UDi 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 43 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por corrente, falante não amortecido. 26
  27. 27. 3 Velocidades Volumetricas em m / s 0.012 0.01 UPe UDe UPe − UDe 0.008 0.006 0.004 0.002 0 1 10 2 3 3 Velocidades Volumetricas em m / s 10 10 Freqüência em Hz Fig. 44 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por tensão, falante amortecido. 0.04 0.035 UPi UDi UPi − UDi 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 1 10 2 10 Velocidades Volumetricas em m3 / s Freqüência em Hz Fig. 45 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por corrente, falante amortecido. 0.2 0.15 UPe UDe UPe − UDe 0.1 0.05 0 1 10 2 3 10 10 Freqüência em Hz Fig. 46 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido, sem a reflexão das componentes elétricas para os lados mecânicos e acústicos. 27
  28. 28. POe em dB e suas Componentes 120 | PDe | | PPe | | PLe | | POe | 100 80 60 40 20 1 10 2 10 Freqüência em Hz Fig. 47– Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido, sem a reflexão das componentes elétricas para os lados mecânicos e acústicos. 3 10 Fig. 48 – SPL na caixa protótipo, com o duto tampado, sem amortecimento no falante e com e sem absorvente na caixa. Fig. 49 – Como na Fig. 48, mas com o interior da caixa totalmente preenchido com material absorvente. Fig. 50 – SPL na caixa protótipo, com o duto tampado, sem material absorv. na caixa e com e sem amort. no falante. Analisando as Figs. 42 a 45, que mostram as U P − U D , que representam a componentes componente U O , na ausência de perdas por vazamento, vemos que, no caso de fonte de corrente, essas componentes apresentam picos acentuados, que se repetem na pressão acústica de saída, PO , e diminuem de amplitude quando o falante é revestido com material absorvente. As Figs. 46 e 47 comprovam que os picos encontrados na excitação por corrente são provocados pela não reflexão das componentes elétricas para os lados mecânico e acústico. Na Fig. 48 vemos o nível de pressão acústica, medido na caixa protótipo, com o duto fechado, ou seja, funcionando como caixa selada (closed box), excitada por fonte de corrente, com as paredes internas revestidas de lã de rocha. 28
  29. 29. Fig. 51 – Impedância na caixa protótipo, com o duto tampado, com e sem material absorvente na caixa. Fig. 52 – Impedância na caixa protótipo, com o duto livre, com e sem material absorvente no falante. Fig. 53 – SPL na caixa protótipo, com o duto aberto, sem amortecimento no falante e com e sem absorvente na caixa. Fig. 54 – SPL na caixa protótipo, com o duto aberto, sem material absorvente na caixa e com e sem amort. no falante. Fig. 55 – SPL na caixa protótipo, com o duto destampado, sem material absorvente na caixa, e sem e com amort. no falante e com amortecimento no falante e no duto. Fig. 56 – SPL e IMP na caixa protótipo, sem absorvente na caixa e com amortecimento no falante, com e sem amortecimento no duto. 29
  30. 30. A atenuação na resposta foi insignificante, sem eliminar o pico existente no extremo inferior da faixa, que sofreu uma ligeira redução em sua freqüência, talvez devida ao pequeno aumento virtual no volume, produzido pelo material absorvente (no qual o som propaga-se com menor velocidade e a caixa parece ser maior do que realmente é). A resposta com excitação por tensão, obtida sem material absorvente na caixa, foi usada como referência. Aumentando a quantidade de material absorvente no interior da caixa selada, de modo que ela fique quase totalmente preenchida com lã de rocha, vemos na Fig. 49, que a redução no pico indesejável da resposta, ali presente, sem material absorvente, em torno de 60 Hz, foi significativamente atenuado. Alem disso o referido pico passou a ocorrer em 50 Hz, com a atenuação, provavelmente devido ao aumento virtual do volume da caixa, devido ao preenchimento, conforme dito anteriormente. Este tipo de preenchimento, quase total, não foi usado na caixa refletora de graves devido a possíveis problemas de interação com o duto. Amortecendo o Falante Outra solução encontrada consistiu no envolvimento da parte traseira do falante com material absorvente, o que provocou uma acentuada elevação em Rms, ou seja, na resistência mecânica da suspensão, sem que os demais parâmetros (exceto Qms) sofressem alteração significativa, conforme podemos comprovar na Tabela 1. Ali temos os parâmetros do alto-falante SELENIUM, modelo 15SW2P, usado nas experiências, em seu estado normal e com o amortecimento causado pelo envolvimento de toda a parte traseira, por 12 voltas de tecido não impregnado, usado na confecção de aranhas. Tabela 1 - Falante Usado nos Testes Assim, com o aumento da resistência Rms, devido às 15SW2P perdas introduzidas pelo amortecimento, o valor de Qms caiu Parâmetros Normal Amortecido Unidade de 17,15 para 1,75. Como o fator de qualidade do sistema, com fonte de RE 5,72 5,66 Ohm corrente, é dado por Qms, o abaixamento do valor do mesmo, Krm 0,0065 0,0069 provoca a redução dos picos de baixas freqüências na resposta Erm 0,83 0,83 do sistema. Kxm 0,0305 0,0294 De fato, removendo o material absorvente, colocado Exm 0,77 0,78 no interior da caixa, e envolvendo a parte traseira do falante em tecido, o pico nas baixas freqüências foi grandemente Fs 34,4 34,9 Hz atenuado, sem que o nível nas demais freqüências sofresse Qms 17,15 1,75 qualquer alteração perceptível, como vemos na Fig. 50, onde a Qes 0,33 0,33 resposta com excitação por tensão foi obtida com o falante Qts 0,33 0,28 normal, sem amortecimento. As Figs. 51 e 52 mostram a influência do material Mms 174,925 181,563 g absorvente, aplicado no falante, nas curvas de impedância, Mmd 161,78 168,42 g respectivamente para as condições caixa selada e refletora de Rms 2,204 22,714 Kg/s graves (bass reflex). Cms 0,12 0,11 mm/N Repetindo o procedimento anterior, com o duto aberto, Vas 114,863 107,268 L ou seja, na situação de caixa bass reflex, vemos na Fig. 53 que o resultado da aplicação de material absorvente, revestindo as BL 25,48 26,00 Tm paredes da caixa, provocou um resultado pouco pronunciado, ηO tal como no caso da caixa selada (Fig. 48). Posteriormente foi 1,349 1,318 % verificado Já a aplicação de amortecimento ao redor do falante, Fig. 54, contrariamente ao que ocorreu na caixa selada, não solucionou o problema da redução do pico na resposta em torno dos 70 Hz. Este fato obrigou que se pesquisasse outra solução, que veio na colocação de material absorvente no duto, através da aplicação de algumas camadas, do mesmo tecido usado no revestimento do falante, só que na frente do duto. A eficácia desse procedimento pode ser constatada na Fig. 55 onde se conseguiu uma atenuação no pico da região de graves semelhante à obtida na caixa fechada. Para isso, alem do tecido usado no revestimento no falante, este mesmo tecido foi aplicado na frente do duto. A Fig. 56 mostra a influência dos picos da impedância na curva de resposta. 30
  31. 31. Para entender o resultado acima foram combinadas as equações (1.61), (1.75) e (1.77) que levaram a (1.108), que se transforma em (1.109), quando as perdas por vazamentos forem desprezadas ( Q L = ∞ ) , indicando que as velocidades volumétricas na saída e no driver são diretamente proporcionais entre si. s / ωb ⋅ Q L UD e UL = UD ⋅ , vem: Como U P = G L( S) G L( S) (1.108) UO = UP − UD + UL = (1.109) GL(S) = UO UD ⋅ 1 − G L( S ) G L( S) s / ωb ⋅ Q L UD − UD + UD ⋅ = UD ⋅ G L( S) G L( S ) U P ⋅ G L( S ) ⋅ 1 − G L( S) G L( S ) s2 s 1 + ⋅ + 1 ; para QL = ∞ 2 ωb ω b QL (1.110) UO U P ⋅ ⎡1 − G L(S) ⎤ ⎣ ⎦ U P ⋅ ⎡1 − G L(S) ⎤ ⎣ ⎦ ⇒ GL(S) = ⎛ ⎞ s2 U P ⋅ ⎜ 1 − 2 − 1⎟ ωb ⎝ ⎠ s ωb ⋅ Q L 1 − G L( S) + G L( S) QL = ∞ para s2 + 1 ω2 b − UP ⋅ s2 2 ωb UP ⋅ ω2 2 ωb Então, a equação (1.109) transforma-se em (1.110), onde podemos verificar que, para Q L = ∞ , ou seja, com baixas perdas no duto, a velocidade volumétrica total, U O , que irá determinar a pressão acústica fornecida pela caixa, é diretamente proporcional à velocidade volumétrica no duto, U P . (Poderíamos, também, afirmar que nas condições acima especificadas, a velocidade volumétrica total é proporcional à derivada segunda da velocidade volumétrica no duto). Assim, a aplicação de qualquer dispositivo que altere a vazão no duto interferirá diretamente na resposta da caixa. Isto pode explicar os resultados obtidos nas Figs. 55 e 56. Na caixa selada, U O = U D , de modo que a velocidade volumétrica na saída atravessa o material absorvente, que envolve a parte traseira do falante, atenuando o pico na resposta. Acreditamos ter explicado a razão do amortecimento do falante ter sido eficaz na caixa selada e inócuo na refletora de graves onde foi necessária a aplicação de amortecimento no duto. Conclusão: A utilização de amplificadores fonte de corrente traz os benefícios de reforçar a resposta de freqüência nos dois extremos do espectro e de eliminar a distorção produzida pelas componentes não lineares da bobina. No entanto, a presença de picos elevados na resposta, e no deslocamento do cone, situados nas freqüências em que a impedância da bobina passa por valores máximos, exige que providências sejam tomadas no sentido de reduzi-los. Foram demonstradas técnicas baseadas no amortecimento do falante e do duto, que se mostraram eficientes. Isso não descarta a utilização, isolada ou combinada, de processamento eletrônico, o que poderá ser assunto de futura investigação. 31
  32. 32. Agradecimentos: Os Autores agradecem : À Eletrônica Selenium S. A. pelos recursos colocados à disposição dos Autores, que a eximem de quaisquer responsabilidades quanto às informações aqui veiculadas, de inteira responsabilidade dos Autores. Aos jovens estagiários de engenharia, da Eletrônica Selenium S.A., Marcio Lumertz Rocha, Guilherme Campos Neukamp, Renan Arthur de Carvalho Lopes e Rodrigo Bello Righi que montaram e desmontaram o sistema diversas vezes, respirando alguma lã de rocha (não será descontada do salário) e obtiveram inúmeras curvas utilizando o equipamento Klippel Distortion Analyzer 2 e pensaram (tanto quanto possível a um estagiário) e discutiram a respeito do sistema, até surpreendendo positivamente os Autores (não muitas vezes, é claro). Bibliografia 1 - An Empirical Model for Loudspeaker Motor Impedance J. R. Wright Journal of the Audio Engineering Society Vol. 38 N° 10, Outubro de 1990 2 - Loudspeakers in Vented Boxes, Partes I e II Neville Thiele Journal of the Audio Engineering Society Vol. 19 N° 5 e 6, de Jun/Jul 1971 3 - Direct Radiator Electrodynamic Loudspeaker Systems Richard H. Small Tese para o grau de Doutor em Filosofia, apresentada na Universidade de Sidney, Austrália, em maio de 1972 4 - Direct Radiator Loudspeaker System Analysis Richard H. Small Journal of the Audio Engineering Society Vol. 20 N° 5, Junho de 1972 5 - Vented-Boxes Loudspeaker System Partes I, II, III e IV Richard H. Small Journal of the Audio Engineering Society Vol. 21 N° 5, 6, 7 e 8, de Jun, Jul/Ago, Set e Out 1973 6 - Loudspeakers’ Electric Models for Study of the Efforts in Audio Power Amplifiers Rosalfonso Bortoni e Homero Sette Silva Apresentado na 115ª Convenção da Audio Engineering Society de 10 a 13 de Outubro de 2003, em N.Y. 32
  33. 33. Apêndice 1 – Análise do Circuito Equivalente Acústico da Caixa, Com e Sem Perdas Sem Perdas : Zab = (1.111) Como Map ⋅ Cab = 1 1 + s ⋅ Cab s ⋅ Map = s ⋅ Map 1 + s 2 ⋅ Map ⋅ Cab 1 , vem: ω2 b s ωb s ⋅ Map = ωb ⋅ Map ⋅ 2 s2 s 1 + 2 +1 ωb ω2 b α Como ωb ⋅ Map = , temos: 2 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms Zab = (1.112) Zab = (1.113) s ωb Sem perdas. ω ωb α = ⋅ 2 ω2 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms 1 − 2 ωb j⋅ α ⋅ 2 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s 2 +1 ω2 b ; (1.114) Zab( jω) Como Zab tende para infinito quando ω = ωb , vemos que esta é a freqüência de ressonância da caixa, Fb, que torna infinita a impedância do circuito ressonante acústico, paralelo e sem perdas. Perdas no Duto (1.115) 1 Zab = s ⋅ Cab + 1 Rap + s ⋅ Map = Rap + s ⋅ Map s ⋅ Cab ⋅ ( Rap + s ⋅ Map ) + 1 s ⋅ ωb ⋅ Map ωb Rap + s ⋅ Map Zab = = s s2 s ⋅ Rap ⋅ Cab + s 2 ⋅ Map ⋅ Cab + 1 ⋅ ωb ⋅ Rap ⋅ Cab + 2 + 1 ωb ωb Rap + (1.116) 1 + (1.117) Zab = Rap ⋅ Como Q p = (1.118) ωb ⋅ Map Rap Qp = s ωb ⋅ Map ⋅ ωb Rap s2 s + ⋅ ωb ⋅ Rap ⋅ Cab + 1 2 ωb ωb ∴ Rap = ωb ⋅ Map Qp e ωb ⋅ Map ⋅ Cab 1 1 , vem: = ∴ Rap ⋅ Cab = Rap ⋅ Cab ωb ⋅ Rap ⋅ Cab ωb ⋅ Q p 33 Perdas no duto.
  34. 34. s s ⋅ Qp ⋅ Qp 1 + ωb ωb ⋅ Map ωb = ⋅ 2 Zab = Rap ⋅ 2 s s 1 s s 1 Qp + ⋅ + 1 + ⋅ + 1 2 2 ωb ωb Q p ωb ωb Q p 1 + (1.119) (1.120) (1.121) Zab = ωb ⋅ Map ⋅ 1 s + ωb Qp s2 s 1 + ⋅ +1 2 ωb ωb Q p Zab( jω) = ωb ⋅ Map ⋅ 1 ω + j Qp ωb 1 − ω2 ω 1 + j ⋅ 2 ωb ωb Q p Para determinar a freqüência em que Zab entra em ressonância, basta verificar a condição em que as fases do numerador e do denominador, de seu polinômio, são iguais o que é dado pela igualdade dos respectivos cocientes entre as partes imaginária e real, conforme abaixo: (1.122) ωO ⋅ Qp = ωb (1.123) Q p = (1.124) ωO 1 ⋅ ωb Q p = ω2 1 − O ω2 b ωO 1 ⋅ ωb Q p 2 2 ωb − ωO ω2 b 2 ωO 1 ωb = ⋅ ⋅ 2 ωb Q p ω2 − ωO b ω2 ω2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⋅ 2 b 2 ∴ Q p = 2 b 2 ∴ Q p ⋅ ωb − Q p ⋅ ωO = ωb ∴ Q p ⋅ ωb − ωb = Q p ⋅ ωO Q p ωb − ωO ωb − ωO ω = 2 O Q 2 ⋅ ω2 − ω2 p b b 2 Qp = ω ⋅ 2 b Q2 − 1 p 2 Qp ⎛ 1 ⎞ 2 = ωb ⋅ ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎜ Qp ⎟ ⎝ ⎠ A equação acima indica que, com perdas no duto, a freqüência de ressonância da caixa não será exatamente igual a Fb. Além disso, para que exista uma freqüência de fase nula (ressonância), é necessário Q p > 1. Podemos também constatar que as perdas no duto produzem uma freqüência de ressonância menor que Fb. Perdas no Duto e na Caixa : (1.125) Z1 = Rap + s ⋅ Map (1.126) Z2 = Rab + (1.127) Zab = 1 s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1 = s ⋅ Cab s ⋅ Cab 1 1 1 + Z1 Z2 = 1 1 s ⋅ Cab + Rap + s ⋅ Map s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1 34 Perdas no duto e na caixa.
  35. 35. ( Rap + s ⋅ Map ) ⋅ ( s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1) Rap + s ⋅ Map = s ⋅ Cab ⋅ ( Rap + s ⋅ Map ) s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1 + s ⋅ Cab ⋅ ( Rap + s ⋅ Map ) 1+ s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1 (1.128) Zab = (1.129) Zab = (1.130) s 2 ⋅ Rab ⋅ Map ⋅ Cab + s ⋅ ( Rab ⋅ Rap ⋅ Cab + Map ) + Rap Zab = s 2 ⋅ Map ⋅ Cab + s ⋅ ( Rab ⋅ Cab + Rap ⋅ Cab ) + 1 (1.131) s2 ⋅ Rab + ω2 Zab = b 2 s + ω2 b (1.132) s 2 Rab s ⎛ Map ⎞ ⋅ + ⋅ ⎜ ωb ⋅ Rab ⋅ Cab + ωb ⋅ + 1 2 Rap ⎟ ωb Rap ωb ⎝ ⎠ Zab = Rap ⋅ 2 s s + ⋅ ( ωb ⋅ Rab ⋅ Cab + ωb ⋅ Rap ⋅ Cab ) + 1 2 ωb ωb Como Q p = (1.133) Q ωb ⋅ Map Rab 1 o que leva a , Qb = = p , vem: ωb ⋅ Rab ⋅ Cab Rap Rap Qb ωb ⋅ Map ω ⋅ Map ⋅ Cab 1 1 = b = então ωb ⋅ Rap ⋅ Cab = . Logo, Rap Rap ⋅ Cab ωb ⋅ Rap ⋅ Cab Qp ⎞ s2 Qp s ⎛ 1 ⋅ + ⋅⎜ + Qp ⎟ + 1 2 ω Qb ωb ⎝ Q b ⎠ Zab = Rap ⋅ b 2 s s ⎛ 1 1 ⎞ + ⋅⎜ + ⎟ + 1 2 Qp ⎟ ωb ωb ⎜ Q b ⎝ ⎠ Como Q p = (1.135) s ⋅ ( ωb ⋅ Rab ⋅ Rap ⋅ Cab + ωb ⋅ Map ) + Rap ωb s ⋅ ( ωb ⋅ Rab ⋅ Cab + ωb ⋅ Rap ⋅ Cab ) + 1 ωb ⎞ s2 Qp s ⎛ 1 ⋅ + ⋅⎜ + Qp ⎟ + 1 2 ω Qb ωb ⎝ Q b ⎠ Zab = Rap ⋅ 2 b ⎛ 1 ⎞ s s + ⋅⎜ + ωb ⋅ Rap ⋅ Cab ⎟ + 1 2 ωb ωb ⎝ Q b ⎠ Como Q p = (1.134) s ⋅ Rab ⋅ Rap ⋅ Cab + Rap + s 2 ⋅ Rab ⋅ Map ⋅ Cab + s ⋅ Map s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1 + s ⋅ Cab ⋅ Rap + s 2 ⋅ Map ⋅ Cab ωb ⋅ Map ω ⋅ Map , então, Rap = b o que leva a: Rap Qp s2 1 s ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⋅ + ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟+ 2 ⎜ ⎟ Qp ωb Q b ωb ⎝ Qb Qp ⎠ Zab = ωb ⋅ Map ⋅ s2 s ⎛ 1 1 ⎞ + ⋅⎜ + ⎟ +1 2 ωb ωb ⎜ Q b Q p ⎟ ⎝ ⎠ 35
  36. 36. Zab( jω) ω2 1 ω ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⋅ + j ⋅ ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎟+ 2 ωb Q b ωb ⎜ Qb Qp ⎟ Qp ⎝ ⎠ = ωb ⋅ Map ⋅ 2 ⎛ 1 ⎞ ω ω 1 − 2 + j⋅ ⋅ ⎜ + +1 ⎜ Qb Qp ⎟ ⎟ ωb ωb ⎝ ⎠ Zab( jω) ω2 1 ω ⎛ 1 − 2⋅ + j ⋅ ⋅ ⎜1 + ωb Q b ωb ⎜ Qp ⎝ = ωb ⋅ Map ⋅ 2 ⎛ 1 ω ω + 1 − 2 + j⋅ ⋅ ⎜ ωb ωb ⎜ Q b ⎝ − (1.136) (1.137) 1 1 ⎞ ⋅ ⎟ Qb Qp ⎟ ⎠ ⎞ 1 ⎟ Qp ⎟ ⎠ Verificando a condição em que as fases do numerador e do denominador, do polinômio da impedância são iguais, para determinar a freqüência em que Zab entra em ressonância, temos: (1.138) ⎛ ωO ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎞ 1 1 1 1 ⋅ ⎜1 + ⋅ ⋅⎜ + 1+ ⋅ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Qb Qp ⎟ ⎟ Qb Qp ⎠ ωb ⎝ Qb Qp Qb Qp ⎝ ⎠ ∴ = = 2 2 2 ω 1 ω ω 1 ω2 1 1 − O⋅ − O − O⋅ − O 1 1 2 2 2 2 ωb Q b ωb ωb Q b ωb Qp Qp ωO ωb (1.139) ⎛ ⎛ 1 ω2 ⎞ ω2 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⋅ − O⋅ + ⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜1 − O ⎟ = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ 2 2 ⎜ ⎜ Qp ωb ⎠ ωb Q b ⎟ ⎜ Q b Q p ⎟ Qb Qp ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.140) 1 − (1.141) 2 ωO 1 − 2 ωb 2 ωO ω2 1 1 ω2 1 ⎛ 1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞ + ⋅ − O⋅ ⋅ = ⋅⎜ + − O⋅ + ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 Qb Qp Qp ⎜ Qb Qp ⎟ ωb ωb Q b Q p ωb Q b ⎜ Q b Q p ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ ωO 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞ ⋅ ⎜1 + ⋅ ⋅ = ⋅⎜ + + ⎟ + ⎟ − 2⋅ ⎜ ⎟ ⎜ Qb Qp ⎟ Qb Qp Qp ⎜ Qb Qp ⎟ ωb Q b ⎜ Q b Q p ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.142) 2 ωO 1 ⎛ 1 ω2 ⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 ⋅ + ⋅ ⋅⎜ + ⋅ ⎜ ⎟ − O ⋅ ⎜1 + ⎟ = ⎟ − 1− 2 2 ⎜ Qb Qp ⎟ Qp ⎜ Qb Qp ⎟ Qb Qp ωb Q b ⎜ Q b Q p ⎟ ωb ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ (1.143) 2 ωO ω2 b ⎡ 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⋅⎢ ⎜ + ⎟− ⎢ Qb ⎜ Qb Qp ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ (1.144) 2 ωO ω2 b ⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ 1 ⋅⎜ 2 + ⋅ − 1 − ⋅ ⎟ = 2 − 1 ⎜ Qb ⎟ Qb Qp Qb Qp ⎠ Qp ⎝ (1.145) 2 2 2 2 2 1 − Q2 1 − Qp ⎞ ωO ⎛ 1 ωO ⎛ 1 − Q b ⎞ 1 p 2 2 Qb ⋅ 2 − 1⎟ = 2 − 1 ∴ ⋅ ∴ ωO = ωb ⋅ 2 ⋅ ⎟ = 2 ⎜ 2 ⎜ 2 2 2 Qp Qp Qp 1 − Qb ωb ⎝ Q b ωb ⎝ Q b ⎠ ⎠ (1.146) ω =ω ⋅ 2 O 2 b Q2 − Q2 ⋅ Q2 b b p Q2 − Q2 ⋅ Q2 p b p ⎛ 1 1 ⎞⎤ 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ + − 1− ⋅ ⎜1 + ⎟⎥ = 2 ⎜ ⎟⎥ Qb Qp ⎠⎦ Qb Qp Qp Qb Qp ⎝ ⎛ ⎞ Q2 ⋅ Q2 Q2 b = ω ⋅⎜ 2 − 2 b 2p 2 ⎟ ⎜ Qp − Q2 ⋅ Q2 Qp − Qb ⋅ Qp ⎟ b p ⎝ ⎠ 2 b 36
  37. 37. ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢ 1 ⎛ 1 ⎞⎥ 1 1 ⎟ 1 1 ⎥ 2 2 2 2 − = ωb ⋅ ⎢ − = ωb ⋅ ⎢ ⋅ ⎜ 2 − 1⎟ ⎥ (1.147) ωO = ωb ⋅ ⎜ 2 ⎟⎥ ⎢ 2 ⎛ 1 ⎥ 1 1 ⎜ Qp ⎟ ⎞ ⎢ 1 − 1 ⎜ Qp 2 ⎝ ⎠ − 1⎟ − 1⎥ Q p ⋅ ⎜ 2 − 1⎟ − Qp ⎢ ⎜ 2 ⎢ Q2 ⎥ Q2 Q2 b b ⎣ b ⎦ ⎢ ⎥ ⎝ Qb ⎠ ⎝ Qb ⎠ ⎣ ⎦ (1.148) 1 1 1 − 2 − 1 2 Qp Qp 2 2 2 ωO = ωb ⋅ = ωb ⋅ 1 1 − 1 1 − 2 2 Qb Qb 1 Q2 p ωO = ωb ⋅ 1 1 − 2 Qb 1 − ∴ A equação acima indica que se as perdas no duto igualarem as perdas na caixa, a freqüência de ressonância da caixa será exatamente igual a Fb. Fora a condição acima, para existir uma freqüência de fase nula (ressonância), é necessário que os fatores de qualidade, que representam as perdas no duto e na caixa, sejam ambos maiores que 1 ou ambos menores que 1. Podemos também constatar que se as perdas no duto forem maiores que aquelas na caixa ( Q p < Q b ) , a freqüência de ressonância será menor que Fb, ocorrendo o contrario se ( Q p > Q b ) . Perdas no Duto, na Caixa e por Vazamento : (1.149) Zab = 1 s2 s ⎛ 1 1 ⎞ + ⋅⎜ + ⎟ +1 ω2 ωb ⎜ Q b Q p ⎟ 1 b ⎝ ⎠ + R AL ⎡ s2 1 s ⎛ 1 ωb ⋅ Map ⋅ ⎢ 2 ⋅ + ⋅ ⎜1 + ⎜ Qb ⋅ Qp ⎢ ωb Q b ωb ⎝ ⎣ ⎞ 1 ⎤ ⎟+ ⎟ Q ⎥ p ⎥ ⎠ ⎦ (1.150) ⎡ s2 1 s ⎛ 1 ⎞ 1 ⎤ ωb ⋅ Map ⋅ ⎢ 2 ⋅ + ⋅ ⎜1 + ⎥ ⎟+ ⎜ Qb ⋅ Qp ⎟ Qp ⎥ ⎢ ωb Q b ωb ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Zab = ωb ⋅ Map ⎡ s 2 1 s ⎛ 1 ⎞ 1 ⎤ s2 s ⎛ 1 1 ⎞ ⋅⎢ 2 ⋅ + ⋅ ⎜1 + ⋅⎜ + ⎥+ 2 + ⎟+ ⎟ +1 ⎜ R AL Q b ⋅ Q p ⎟ Q p ⎥ ωb ωb ⎜ Q b Q p ⎟ ⎢ ωb Q b ωb ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ωb ⋅ Map 1 = R AL QL (1.151) ; ωb ⋅ Map = Caixa com perdas. α 2 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s2 1 s ⎛ 1 ⎞ 1 ⋅ + ⋅ ⎜1 + ⎟+ 2 ⎜ ⎟ Q Qb ⋅ Qp ⎠ ωb Q b ωb ⎝ p Zab = ωb ⋅ Map ⋅ 2 2 1 ⎡s 1 s ⎛ 1 ⎞ 1 ⎤ s s ⋅⎢ 2 ⋅ + ⋅ ⎜1 + + + ⎟+ ⎜ ⎟ Q ⎥ ω2 ω Q L ⎢ ωb Q b ωb ⎝ Qb ⋅ Qp ⎠ p ⎥ b b ⎣ ⎦ 37 ⎛ 1 1 ⎞ ⋅⎜ + ⎟+1 ⎜Q ⎟ ⎝ b Qp ⎠
  38. 38. (1.152) s2 1 s ⎛ 1 ⎞ 1 ⋅ + ⋅ ⎜1 + ⎟+ 2 Qb ⋅ Qp ⎟ Qp ωb Q b ωb ⎜ α ⎝ ⎠ Zab = ⋅ 2 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms 1 ⎡ s 2 1 ⎤ s2 s ⎛ 1 ⎞ 1 s ⋅⎢ 2 ⋅ + ⋅ ⎜1 + ⎥+ 2 + ⎟+ Q L ⎢ ωb Q b ωb ⎜ Q b ⋅ Q p ⎟ Q p ⎥ ωb ωb ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ 1 1 ⎞ ⋅⎜ + ⎟ +1 ⎜Q Qp ⎟ b ⎝ ⎠ (1.153) s2 1 s ⎛ 1 ⎞ 1 ⋅ + ⋅ ⎜1 + ⎟+ 2 ⎜ ⎟ Qp ωb Q b ωb ⎝ Qb ⋅ Qp ⎠ α Zab = ⋅ 2 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s 2 ⎞ 1 s ⎛ 1 1 1 s2 s ⎛ 1 1 ⎞ ⋅ + ⋅⎜ + + + 2 + ⋅⎜ + ⎟ ⎟ +1 2 ωb Q b ⋅ Q L ωb ⎜ Q L Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎟ Q L ⋅ Q p ωb ωb ⎜ Q b Q p ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.154) s2 1 s ⎛ 1 ⎞ 1 ⋅ + ⋅ ⎜1 + ⎟+ 2 ⎜ ⎟ Qp ωb Q b ωb ⎝ Qb ⋅ Qp ⎠ α ⋅ Zab = 2 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s 2 ⎛ ⎞ 1 ⎞ s ⎛ 1 1 1 1 1 ⋅ 1+ ⋅⎜ + + + +1 ⎟+ ⎟+ 2 ⎜ ωb ⎝ Q b ⋅ Q L ⎠ ωb ⎜ Q b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎟ Q L ⋅ Q p ⎝ ⎠ (1.155) Zab( jω) 2 ωO 1 ω ⎛ 1 1 ⎞ − 2⋅ + j ⋅ O ⋅ ⎜1 + ⎟ Qp Qb ⋅ Qp ⎟ ωb Q b ωb ⎜ α ⎝ ⎠ = ⋅ 2 2 ωb ⋅ Sd ⋅ Cms ⎞ ω ⎛ ωO ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 1 1 − O ⋅ ⎜1 + ⋅⎜ + + + ⎟ ⎟ + 1 + j⋅ 2 ⎜ ⎟ QL ⋅ Qp Qb ⋅ QL ⎠ ωb ⎝ ωb ⎝ Q b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎠ Verificando a condição em que as fases do numerador e do denominador, do polinômio da impedância são iguais, para determinar a freqüência em que Zab entra em ressonância, temos: (1.156) ⎛ 1 ⋅ ⎜1 + ⎜ Qb ⋅ Qp ⎝ ω2 1 1 − O⋅ Qp ω2 Q b b ωO ωb 1+ (1.157) 1 Qb ⋅ Qp ω2 1 1 − O⋅ ω2 Q b Qp b = ⎞ ⎞ ωO ⎛ 1 1 1 1 ⋅⎜ + + + ⎟ ⎟ ⎟ ⎜Q ⎟ ⎠ = ωb ⎝ b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎠ ω2 ⎛ 1 1 ⎞ − O ⋅ ⎜1 + ⎟ +1 2 QL ⋅ Qp Qb ⋅ QL ⎠ ωb ⎝ 1 1 1 1 + + + Qb QL Qp Qb ⋅ QL ⋅ Qp ω2 1 − O ω2 QL ⋅ Qp b ⎛ 1 ⎞ ⋅ ⎜1 + ⎟ +1 Qb ⋅ QL ⎠ ⎝ (1.158) ⎛ ⎤ ⎛ 1 ⎞ ω2 ⎛ ω2 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎡ 1 1 ⎞ 1 1 1 − O ⋅ ⎜1 + + 1⎥ = ⎜ − O⋅ + + + ⎜1 + ⎟⋅⎢ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎟ 2 2 ⎜ ⎜ Qp ⎟ ⎜ ⎟ Qb ⋅ Qp ⎟ ⎣ QL ⋅ Qp ωb ⎝ Qb ⋅ QL ⎠ ωb Q b ⎠ ⎝ Q b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ (1.159) ω2 1 − O QL ⋅ Qp ω2 b ⎛ ω2 1 ⎞ 1 1 ⋅ ⎜1 + +1+ − O⋅ ⎟ 2 2 Qb ⋅ QL ⎠ Qb ⋅ QL ⋅ Qp ωb Q b ⋅ Q p ⎝ ⎛ 1 ⎞ 1 ⋅ ⎜1 + = ... ⎟+ Qb ⋅ QL ⎠ Qb ⋅ Qp ⎝ ⎞ ω2 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 + + 2 + − O⋅ ⋅⎜ + + + ⎟ 2 2 Qb ⋅ Qp QL ⋅ Qp Qp Qb ⋅ QL ⋅ Qp ωb Q b ⎜ Q b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎟ ⎝ ⎠ 38
  39. 39. (1.160) 2 2 ⎞ ⎛ ω2 ⎛ ωO ωO 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 ⎞ 1 1 1 1 − O ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎜1 + ⋅⎜ + + + ⎟ ⎟ +1− 2 ⋅ ⎟ = 2 − 2⋅ 2 ωb ⎝ Qb ⋅ QL ⎠ ωb Q b ⋅ Q p ⎝ Qb ⋅ QL ⎠ Qp ωb Q b ⎜ Q b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎟ ⎝ ⎠ (1.161) 2 ωO ω2 b ⎡ 1 ⋅⎢ ⎢ Qb ⎣ (1.162) 2 ωO ω2 b ⎡ 1 ⎤ 1 1 1 1 1 1 1 ⋅⎢ 2 + + + 2 −1− − − 2 ⎥ = 2 −1 Qb ⋅ QL Qb ⋅ Qp Qb ⋅ QL ⋅ Qp ⎥ Qp ⎢ Qb Qb ⋅ QL Qb ⋅ Qp Qb ⋅ QL ⋅ Qp ⎣ ⎦ (1.163) ω ω ⎛ 1 ⎞ 1 ⋅ ⎜ 2 − 1⎟ = 2 − 1 Qp ⎝ Qb ⎠ ∴ 1 Q2 p 2 = ωb ⋅ 1 1 − 2 Qb 1 Q2 p ωO = ωb ⋅ 1 1 − 2 Qb 2 O 2 b ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⋅⎜ + + + ⎟ − ⎜1 + ⎜Q ⎟ Qb ⋅ QL ⎝ b QL Qp Qb ⋅ QL ⋅ Qp ⎠ ⎝ 1 − (1.164) 2 ωO ω ω 2 O 2 b ⎞ 1 ⎟− ⎠ Qb ⋅ Qp ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⋅ ⎜1 + ⎟⎥ = 2 − 1 Qb ⋅ QL ⎠⎥ Qp ⎝ ⎦ 1 1 −1 1 − 2 2 Q Qp = p = 1 1 −1 1 − 2 2 Qb Qb 1 − ∴ A equação acima mostra que as perdas por vazamentos não interferem na freqüência de ressonância acústica da caixa (o que é perfeitamente admissível), sendo válidas as mesmas considerações feitas para o caso em que existiam perdas no duto e na caixa. 39
  40. 40. Apêndice 2 – Circuito RLC Paralelo, Com Perdas Indutivas (1.165) Z1 = R L + s ⋅ L (1.167) Zab = (1.168) Zab = ; 1 1 s⋅C 1 = 1 1 + Z1 Z2 Z2 = (1.166) RL 1 + s⋅C + s⋅L RL + s ⋅ L RL + s ⋅ L = 1 + s ⋅ C ⋅ ( R L + s ⋅ L) 1 + s ⋅ R L ⋅ C + s2 ⋅ L ⋅ C Circuito RLC com perdas no ramo indutivo. RL + s ⋅ L s ⋅ L ⋅C + s ⋅ RL ⋅C + 1 (1.169) Zab = (1.170) Zab( jω) = (1.171) ωO ⋅ L ωO ⋅ R L ⋅ C = 2 RL 1 − ωO ⋅ L ⋅ C ∴ R2 ⋅C L L ∴ 2 R L + j ⋅ ω⋅ L R L + j ⋅ ω⋅ L = 2 − ω ⋅ L ⋅ C + j ⋅ ω⋅ R L ⋅ C + 1 1 − ω ⋅ L ⋅ C + j ⋅ ω⋅ R L ⋅ C 2 (1.172) 2 1 − ωO ⋅ L ⋅ C = (1.173) 2 2 2 ωO = ωR − ωR ⋅ R2 ⋅C L L (1.174) ωO = ωR ⋅ 1 − R2 ⋅C L L L RL ⋅C = 2 RL 1 − ωO ⋅ L ⋅ C 2 ωO ⋅ L ⋅ C = 1 − 2 2 L ⋅ (1 − ωO ⋅ L ⋅ C ) = R L ⋅ C ∴ R2 ⋅C L L ∴ 2 ωO = R2 ⋅C 1 L − L⋅C L⋅L⋅C R2 ⋅C ⎞ 2 2 ⎛ ωO = ωR ⋅ ⎜1 − L ⎟ L ⎠ ⎝ ∴ Para existir ressonância, R2 ⋅C L ≤ 1 L Se R 2 ⋅ C = L a ressonância ocorrerá em uma freqüência igual a zero, ou seja, em corrente continua. L Como RL RL ⋅C 1 = = QL ωR ⋅ L ωR ⋅ L ⋅ C = ωR ⋅ R L ⋅ C , temos : (1.175) ωO = ωR ⋅ 1 − (1.176) R2 ⋅C R 2 ⋅ C2 2 2 2 L = ωR ⋅ 1 − L = ωR ⋅ 1 − ωR ⋅ R L ⋅ C2 = ωR ⋅ 1 − ( ωR ⋅ R L ⋅ C ) L L⋅C ωO = ωR ⋅ 1 − Para existir ressonância, 1 − 1 Q2 L 1 ≥ 0 Q2 L ∴ 1 ≥ 1 Q2 L ∴ Q2 ≥ 1 L Se Q L = 1 a ressonância ocorrerá em uma freqüência igual a zero, ou seja, em corrente continua. 40
  41. 41. Apêndice 3 – Circuito RLC Paralelo, Com Perdas Indutivas e Capacitivas (1.177) Z1 = R L + s ⋅ L (1.178) Z2 = R C + (1.179) Zab = 1 1 1 + Z1 Z2 1 = 1 s⋅C + + s⋅L s ⋅ RC ⋅ C + 1 RL ( R L + s ⋅ L ) ⋅ ( s ⋅ R C ⋅ C + 1) RL + s ⋅ L = Zab = s ⋅ C ⋅ (R L + s ⋅ L) s ⋅ RC ⋅ C + 1 + s ⋅ C ⋅ (R L + s ⋅ L) 1+ s ⋅ RC ⋅ C + 1 (1.180) (1.181) s ⋅ RC ⋅ C + 1 1 = s⋅C s⋅C Circuito RLC com perdas indutivas e capacitivas. s2 ⋅ R C ⋅ L ⋅ C + s ⋅ ( R C ⋅ R L ⋅ C + L ) + R L s ⋅ R C ⋅ R L ⋅ C + R L + s2 ⋅ R C ⋅ L ⋅ C + s ⋅ L Zab = = s ⋅ R C ⋅ C + 1 + s ⋅ C ⋅ R L + s2 ⋅ L ⋅ C s2 ⋅ L ⋅ C + s ⋅ C ⋅ ( R C + R L ) + 1 (1.182) Zab( jω) = R L − ω2 ⋅ R C ⋅ L ⋅ C + j ⋅ ω⋅ ( R C ⋅ R L ⋅ C + L ) 1 − ω2 ⋅ L ⋅ C + j ⋅ ω⋅ C ⋅ ( R C + R L ) (1.183) ωO ⋅ ( R C ⋅ R L ⋅ C + L ) = 2 R L − ωO ⋅ R C ⋅ L ⋅ C (1.184) (RC ⋅ RL ⋅ C (1.185) 2 2 2 ωO ⋅ R C ⋅ L ⋅ C2 − ωO ⋅ L2 ⋅ C = R C ⋅ R L ⋅ C + R 2 ⋅ C − R C ⋅ R L ⋅ C − L L (1.186) 2 2 2 ωO ⋅ L ⋅ C ⋅ ( R C ⋅ C − L ) = R L ⋅ C − L (1.187) 2 ωO = (1.188) ωO ⋅ C ⋅ ( R C + R L ) ( RC ⋅ R L ⋅ C + L) = ∴ 2 2 1 − ωO ⋅ L ⋅ C R L − ωO ⋅ R C ⋅ L ⋅ C 2 2 + L ) ⋅ (1 − ωO ⋅ L ⋅ C ) = C ⋅ ( R C + R L ) ⋅ ( R L − ωO ⋅ R C ⋅ L ⋅ C ) 2 R2 ⋅C − L 2 R ⋅C − L L = ωR L2 2 RC ⋅C − L L ⋅ C (R C ⋅ C − L) ωO = ωR ⋅ R ⋅C − L = ωR ⋅ R ⋅C − L ωO = ωR ⋅ ( ωR ⋅ R L ⋅ C ) 2 ( ωR ⋅ R C ⋅ C ) 2 L 2 C 2 (1.189) C ⋅(RC + RL ) 2 1 − ωO ⋅ L ⋅ C pois R2 ⋅C L − 1 L = ωR ⋅ 2 RC ⋅ C − 1 L 1 = ω2 R L⋅C R 2 ⋅ C2 L − 1 L⋅C = ωR ⋅ 2 R C ⋅ C2 − 1 L⋅C ω2 ⋅ R 2 ⋅ C2 − 1 R L 2 2 ωR ⋅ R C ⋅ C2 − 1 − 1 − 1 Para existir a ressonância é necessário que o radical seja positivo. Isso poderá ocorrer em duas situações: a) numerador e denominador ambos positivos; b) numerador e denominador ambos negativos, ou seja: ( ωR ⋅ R L ⋅ C > 1 e ωR ⋅ R C ⋅ C > 1) ou ( ωR ⋅ R L ⋅ C < 1 e ωR ⋅ R C ⋅ C < 1) . 41
  42. 42. ⎛ 1 ⎞ Se ⎜ R L = R C = ⎟ a freqüência de ressonância será indeterminada, podendo assumir qualquer valor. ωR ⋅ C ⎠ ⎝ Como Q L = ωR ⋅ L ω ⋅L⋅C = R RL RL ⋅C = ( ωR ⋅ R L ⋅ C ) 2 ( ωR ⋅ R C ⋅ C ) 2 (1.190) ωO = ωR ⋅ 1 ωR ⋅ R L ⋅ C − 1 − 1 = ωR ⋅ e 1 = ωR ⋅ R C ⋅ C QC 1 1 1 − 2 − 1 2 QL QL = ωR ⋅ 1 1 − 1 1 − 2 2 QC QC Para existir a ressonância é necessário que o radical seja positivo. Isso poderá ocorrer para duas situações: a) numerador e denominador ambos positivos ; b) numerador e denominador ambos negativos, ou seja: ( Q L > 1 e QC > 1) ou ( Q L < 1 e QC < 1) . Se Q L = Q C = 1 a freqüência de ressonância será indeterminada, podendo assumir qualquer valor. Fica claro, também, que apenas diante da inexistência de perdas em ambos os ramos, ou seja, ( QL = QC = ∞ ) é que teremos ωO = ωR , onde ωR é a freqüência angular de ressonância, sem perdas, e ωO o equivalente, com perdas. A equipe SELENIUM, da esquerda para a direita: Homero, Guilherme, Rodrigo, Renan e Marcio. 42

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