Nascimento da Mecˆnica Quˆntica
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Jorge Andr´ Swieca
             e          A.F.R. de Toledo Piza


       Este semin´rio ´ dedicado ao
                 a ...
1. A pergunta milenar ...
Uma proposta que veio antes da era de Cristo: o ´tomo.
                                         ...
2. As certezas, novidades e d´ vidas da F´
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s´culo XIX
 e
  As certezas:
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As leis de Newton descrevem exatamente a Natureza.




                         Sir Isaac Newton

Eletricidade:    fil´sofo...
Lei de Coulomb: intera¸˜o entre duas cargas el´tricas
                      ca                      e
pontuais.




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Magnetismo:       a magnetita era conhecida pelos gregos
antes da era de Cristo. Esta pedra vinha de regi˜o da
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Optica geom´trica:
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Euclides ( 280 A.C.): a luz se propaga em linha reta. Ele
tamb´m formulou a lei da reflex...
Lei da refra¸˜o de Snell:
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As novidades do s´culo XIX:
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Teoria cin´tica dos gases:
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Eletromagnetismo:
Lei de indu¸˜o de Faraday (1831): varia¸˜o de fluxo de
           ca                          ca
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Consequˆncias das 4 equa¸˜es de Maxwell:
       e                co
• Em 1862, Maxwell mostra que a velocidade de
propaga¸...
Tabela Peri´dica de Elementos (1869):
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Dmitri I. Mendeleiev dispˆs os elementos qu´
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Radioatividade espontˆnea: foi descoberta por Antoine H.
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Becquerel em 1896.




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Problemas em aberto no s´culo XIX:
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• Radia¸˜o de corpo negro: a radia¸˜o emitida por fornos
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• Linhas espectrais: linhas de emiss˜o e absor¸˜o do ´tomo
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de hidro...
3. Desenhando o ´tomo: a descoberta do el´tron
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Joseph J. Thomson estudando os r...
Espalhamento de part´ ıculas α por filmes finos de ouro:
No per´ıodo de 1909-1911, Ernest Rutherford, Hans Geiger e
Ernest M...
Modelo planet´rio de Rutherford para o ´tomo de
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Ap´s a interpreta¸˜o de Rutherford dos resultado
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experimentais, passamos a “conhecer“ o que ´ o ´tomo,...
4. F´
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• Max Planck em 1900: prop˜e a quantiza¸˜o da energia ...
Express˜o de Planck
       a
para a densidade de
energia da cavidade:


             8πhc     1
E(λ, T ) =    λ5     hc
  ...
• Efeito Fotoel´trico: A corrente medida possui uma
               e
frequˆncia de corte e esta n˜o depende da intensidade...
Energia do f´ton:
            o       E = hν , sendo ν   a frequˆncia da luz.
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• Atomo de Bohr- Rutherford:
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As energias estacion´rias do
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Um meio conserto para o modelo de Bohr-Rutherford:
W. Wilson (1915) e Arnold J.W. Sommerfeld (1916):
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O templo      da F´
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O Instituto de F´
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• A onda de mat´ria de Louis de Broglie
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Na tese de doutorado do Pr´ıncipe Louis Victor de Broglie
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As ´rbitas de Bohr no
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Com Einstein em 1905 e de Broglie em 1924 passamos a
saber que a Natureza ´ sim´trica/dual:
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Reconhecimento da comunidade cient´  ıfica aos primeiros
desbravadores do interior do ´tomo: concess˜o de Prˆmios
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5. Mecˆnica ondulat´ria × Mecˆnica das matrizes
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Em 1926, Schr¨dinger (35 anos) prop˜e sua equa¸˜o de
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ondas de mat´ria:
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• Werner Karl Heisenberg


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Id´ia central de Heisenberg: abandonar os conceitos
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cl´ssicos, substituindo-os por ingredientes novos com rela¸˜o
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Em novembro de 1925, Wolfgang Pauli obteve o espectro do
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6. Uma Mecˆnica Quˆntica
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Interpreta¸˜o de G¨ttingen- Copenhagen: Max Born (1926)
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Rea¸˜o de Schr¨dinger ` interpreta¸˜o de G¨ttingen-
    ca           o      a           ca      o
Copenhagen: rejei¸˜o. Pa...
7. A pergunta foi respondida? Uma estrada a
percorrer...
Hoje temos a Mecˆnica Quˆntica que descreve a dinˆmica
          ...
Para Dem´crito a palavra ´tomo significa o indivis´
        o                a                       ıvel.




A busca ao i...
8. Bibliografia
Este semin´rio ´ baseado nos livros:
          a    e




Agrade¸o as horas agrad´veis de leitura que tive ...
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Visitamos a Física clássica de I. Newton a J.C. Maxwell até o aparecimento do problema de "corpo negro". Apresentamos a solução deste problema proposta por M. Planck, levando ao nascimento da Física Quântica. Mostramos a evolução da velha para a nova Mecânica Quântica.

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Seminário: Nascimento da Mecânica Quântica

  1. 1. Nascimento da Mecˆnica Quˆntica a a Maria Teresa Thomaz Roteiro da apresenta¸˜o: ca 1. A pergunta milenar ... 2. As certezas, novidades e d´ vidas da F´ u ısica do s´culo XIX e 3. Desenhando o ´tomo: a descoberta do el´tron a e 4. F´ ısica atˆmica fenomenol´gica o o 5. Mecˆnica ondulat´ria × Mecˆnica das matrizes a o a 6. Uma Mecˆnica Quˆntica a a 7. A pergunta foi respondida? Uma estrada a percorrer... 8. Bibliografia
  2. 2. Jorge Andr´ Swieca e A.F.R. de Toledo Piza Este semin´rio ´ dedicado ao a e Prof. Jorge Andr´ Swieca e ao e Prof. Antˆnio Fernando R. de Toledo Piza, o meus professores de Mecˆnica Quˆntica. a a
  3. 3. 1. A pergunta milenar ... Uma proposta que veio antes da era de Cristo: o ´tomo. a “Por conven¸˜o existe a cor, ca por conven¸˜o existe a do¸ura, ca c por conven¸˜o existe o amargo, ca mas na realidade existe ´tomos e espa¸o” a c Dem´crito (400 A.C.) o O que ´ o ´tomo? e a
  4. 4. 2. As certezas, novidades e d´ vidas da F´ u ısica do s´culo XIX e As certezas: Mecˆnica: a “Principia, The Mathematical Principle of Natural of Phylosophy” (1687) As 3 leis de Newton: descrevem o movimento de part´ ıculas pontuais ⇒ Corpo r´ ıgido: conjunto de part´ ıculas pontuais.
  5. 5. As leis de Newton descrevem exatamente a Natureza. Sir Isaac Newton Eletricidade: fil´sofos gregos 600 A.C. sabiam que o esfregando peda¸os de ˆmbar eles atraiam peda¸os de palha. c a c Eletrost´tica: Lei de Coulomb (1785) a Charles Augustin de Coulomb
  6. 6. Lei de Coulomb: intera¸˜o entre duas cargas el´tricas ca e pontuais. q1 q2 |F | = k r2
  7. 7. Magnetismo: a magnetita era conhecida pelos gregos antes da era de Cristo. Esta pedra vinha de regi˜o da a Gr´cia chamada de Magn´sia. e e • 2.700 A.C.: b´ ssula r´ stica dos chineses feitas de u u “lodestone”. • 1.000 D.C. - 1.200 D.C.: b´ ssulas para navega¸˜o u ca • 1.600 D.C.: William Gilbert, o “Pai do Magnetismo” “A Terra ´ um grande ´ a.” e ım˜ William Gilbert
  8. 8. ´ Optica geom´trica: e Euclides ( 280 A.C.): a luz se propaga em linha reta. Ele tamb´m formulou a lei da reflex˜o. e a Willebrod Snell (1621) e Ren´ Descartes (1637): lei da e refra¸˜o. ca
  9. 9. Lei da refra¸˜o de Snell: ca n1 sen(θ1 ) = n2 sen(θ2 ).
  10. 10. As novidades do s´culo XIX: e Teoria cin´tica dos gases: e tratamento estat´ ıstico das mol´culas que comp˜em os gases (∼ 1866). e o Esta teoria foi formulada independentemente por L. Boltzmann e J.C. Maxwell ⇒ nascimento da Mecˆnicaa Estat´ ıstica, que foi proposta separadamente por Ludwig Boltzmann e Josiah W. Gibbs. Ludwig Boltzmann Josiah W. Gibbs
  11. 11. Eletromagnetismo: Lei de indu¸˜o de Faraday (1831): varia¸˜o de fluxo de ca ca campo magn´tico no tempo geram campos el´tricos. e e Lei de Amp`re (1835): campos magn´ticos s˜o gerados por e e a cargas el´tricas em movimento. e James Clerk Maxwell (1855- 1856): formula¸˜o matem´tica ca a da lei de indu¸˜o de Faraday e introduziu o termo de ca corrente de deslocameno na lei de Amp`re =⇒ a unifica¸˜o e ca dos fenˆmenos el´tricos e magn´ticos explicados pelas 4 eqs. o e e do Eletromagnetismo. James Clerk Maxwell
  12. 12. Consequˆncias das 4 equa¸˜es de Maxwell: e co • Em 1862, Maxwell mostra que a velocidade de propaga¸˜o das ondas eletromagn´ticas ≈ velocidade da luz ca e =⇒ a luz ´ uma onda eletromagn´tica. e e • Em 1866, Heinrich Hertz detectou as ondas de r´dio. a ◮ No entanto: mesmo Maxwell supunha a existˆncia do ´ter e e como meio de propaga¸˜o das ondas eletromagn´ticas no ca e v´cuo. a
  13. 13. Tabela Peri´dica de Elementos (1869): o Dmitri I. Mendeleiev dispˆs os elementos qu´ o ımicos conhecidos num quadro em ordem crescente de suas massas atˆmicas e segundo suas propriedades. Ele previu a o existˆncia de novos elementos. e Dmitri Ivanovitch Mendeleiev
  14. 14. Radioatividade espontˆnea: foi descoberta por Antoine H. a Becquerel em 1896. Antoine Henri Becquerel Em 1898, atrav´s dos estudos dos ”raios de Becquerel”, e Pierre e Marie Curie descobriram o radium e o polonium, que possuem radioatividade natural. Pierre e Marie Curie
  15. 15. Problemas em aberto no s´culo XIX: e • Radia¸˜o de corpo negro: a radia¸˜o emitida por fornos ca ca tem a seguinte distribui¸˜o por comprimento de onda: ca A F´ısica Cl´ssica prevˆ que a intensidade da radia¸˜o a e ca emitida cresce com a frequˆncia (”cat´strofe do e a ultravioleta”, ν → ∞ e λ → 0):
  16. 16. • Linhas espectrais: linhas de emiss˜o e absor¸˜o do ´tomo a ca a de hidrogˆnio. e Johann Balmer (1885): “adivinhou“ a f´rmula que descreve o um conjunto de linhas de absor¸˜o/ emiss˜o do ´tomo de ca a a hidrogˆnio: e cte × m2 λ= 2−4 , m = 3, 4, 5, 6 e 7, cte = 3654, 6 × 10−8 cm m
  17. 17. 3. Desenhando o ´tomo: a descoberta do el´tron a e Joseph J. Thomson estudando os raios cat´dicos, descobriu o o el´tron em 1897. e Joseph John Thomson Proposta de Thomson para o ´tomo: pudim de ameixas a
  18. 18. Espalhamento de part´ ıculas α por filmes finos de ouro: No per´ıodo de 1909-1911, Ernest Rutherford, Hans Geiger e Ernest Marsden realizaram a experiˆncia do espalhamento e de part´ ıculas α por filmes finos de ouro: A interpreta¸˜o de Rutherford dos dados experimentais ca permitiu a resposta a pergunta milenar: O que ´ oe ´tomo? a Ernest Rutherford
  19. 19. Modelo planet´rio de Rutherford para o ´tomo de a a hidrogˆnio: e Raio atˆmico: 10−10 m , o Raio nuclear: 10−15 a 10−14 m. Instabilidade do ´tomo de Rutherford: a Eletromagnetismo Cl´ssico: cargas el´tricas aceleradas a e irradiam. Tempo para o el´tron cair no n´ cleo no modelo e u planet´rio de Rutherford: 10−9 s!!!!!! a
  20. 20. Ap´s a interpreta¸˜o de Rutherford dos resultado o ca experimentais, passamos a “conhecer“ o que ´ o ´tomo, mas e a que teoria descreve corretamente a dinˆmica dos fenˆmenos na escala de a o 10−10 m (dentro do ´tomo) ? a A descri¸˜o completa das part´ ca ıculas que comp˜em o ´tomo o a s´ ocorreu quando foram descobertos: o • Pr´ton em 1918 por Ernest Rutherford o • Neutron em 1932 por James Chadwick
  21. 21. 4. F´ ısica atˆmica fenomenol´gica o o • Max Planck em 1900: prop˜e a quantiza¸˜o da energia dos o ca osciladores harmˆnicos que descrevem as paredes internas o do corpo negro para resolver o problema da radia¸˜o do ca corpo negro: En = hνn . Max Planck Na express˜o da quantiza¸˜o da energia do oscilador a ca harmˆnico, nasce uma nova constante na F´ o ısica: −34 h = 6, 63 × 10 Js. A constante h tem dimens˜o de momento angular. a
  22. 22. Express˜o de Planck a para a densidade de energia da cavidade: 8πhc 1 E(λ, T ) = λ5 hc e λkT −1
  23. 23. • Efeito Fotoel´trico: A corrente medida possui uma e frequˆncia de corte e esta n˜o depende da intensidade da e a luz incidente. Em 1905 Albert Einstein usa a quantiza¸˜o da energia ca proposta por Planck para tratar a luz como part´ ıcula (f´ton). Ele prop˜e que o f´ton ´ absorvido completamente o o o e e instantaneamente pelo el´tron do meio material. e
  24. 24. Energia do f´ton: o E = hν , sendo ν a frequˆncia da luz. e Ec : energia cin´tica do el´tron ejetado do metal. e e W : fun¸˜o trabalho do metal (independente de ν). ca V0 : ddp para que o el´tron ejetado alcance a placa do e amper´ ımetro com velocidade zero. Express˜o de Einstein para o efeito fotoel´trico: a e conserva¸˜o de energia. ca Ec = hν − W hν = eV0 =⇒ V0 = −W e A dependˆncia linear do efeito fotoel´trico com a e e frequˆncia da luz incidente foi obtida experimentalmente e por R. A. Millikan em 1916.
  25. 25. ´ • Atomo de Bohr- Rutherford: Em 1913 Niels Henrick David Bohr, propˆs o 4 postulados para garantir a estabilidade do modelo planet´rio de a Rutherford para o ´tomo a de hidrogˆnio. e Postulados de Bohr: 1o : Existe um conjunto discreto de energias estacion´rias, calculadas a pela F´ısica Cl´ssica. As ´rbitas dos el´trons s˜o circulares. a o e a 2o : O el´tron atˆmico s´ pode fazer transi¸˜o entre 2 ´rbitas de e o o ca o energia estacion´ria (salto quˆntico). a a 3o : A energia se conserva nos fenˆmenos atˆmicos. A frequˆncia de o o e Bohr ν: ν = En −Em . h 4o : Quantiza¸˜o do momento angular: l = nh , n = 1, 2, 3 · · · . ca z 2π
  26. 26. As energias estacion´rias do a ´tomo de Bohr-Rutherford a para o hidrogˆnio: e me4 En = − 2n2 2 , n = 1, 2, 3, · · · h sendo = 2π , e h a constante de Planck. Acertos do ´tomo de Bohr-Rutherford: a ⇑ obt´m as linhas espectrais da s´rie de Balmer. e e 4 ⇑ o ´tomo ´ est´vel: possui um estado fundamental, Ef un = − me2 . a e a 2 Desacertos do ´tomo de Bohr-Rutherford: a ⇓ n˜o explica as linhas de absor¸˜o do ´tomo de hidrogˆnio sob a a¸˜o a ca a e ca de um campo el´trico (efeito Stark). e ⇓ a intensidade I da luz emitida numa transi¸˜o eletrˆnica entre dois ca o ıveis ´: I ∝ r1 . Qual raio usar se temos 2 raios de trajet´ria num n´ e 2 o salto quˆntico? a
  27. 27. Um meio conserto para o modelo de Bohr-Rutherford: W. Wilson (1915) e Arnold J.W. Sommerfeld (1916): trajet´rias el´ o ıpiticas s˜o tamb´m poss´ a e ıveis para o el´tron no e ´tomo de hidrogˆnio: a e Arnold J.W. Sommerfeld Regra de quantiza¸˜o de Sommerfeld ca para o momento angular: pi dqi = ni h, i = x, y, z. =⇒ as linhas de absor¸˜o do efeito Stark s˜o obtidas pela ca a nova regra de quantiza¸˜o do momento angular. ca
  28. 28. O templo da F´ ısica Atˆmica: o O Instituto de F´ ısica Te´rica foi inaugurado por Niels Bohr o em Mar¸o de 1921 em Copenhagen. c Hoje ´: e Niels Bohr Institute Blegdamsvej 17 2100 Copenhagen ∅ Dinamarca
  29. 29. • A onda de mat´ria de Louis de Broglie e Na tese de doutorado do Pr´ıncipe Louis Victor de Broglie (1924): os el´trons se comportam como ondas, com e comprimento λ: h mv = . λ
  30. 30. As ´rbitas de Bohr no o ´tomo de hidrogˆnio s˜o a e a aquelas cujo o comprimento corresponde a um n´ mero u inteiro de comprimentos de ondas de mat´ria (λ). e A tese de doutorado de de Broglie era t˜o original, que foi a solicitada a avalia¸˜o de Albert Einstein. A sua opini˜o ca a sobre a tese: ”Ela levanta uma ponta do grande v´u.” e =⇒ a tese foi aprovada!!!!
  31. 31. Com Einstein em 1905 e de Broglie em 1924 passamos a saber que a Natureza ´ sim´trica/dual: e e luz : onda ⇋ part´ ıcula el´trons : part´ e ıcula ⇋ onda Aqui termina a era da fenomenologia da F´ ısica para distˆncias a 10−10 m.
  32. 32. Reconhecimento da comunidade cient´ ıfica aos primeiros desbravadores do interior do ´tomo: concess˜o de Prˆmios a a e Nobel: • Joseph J. Thomson: F´ ısica (1906)- pelas investiga¸˜es te´ricas e co o experimentais sobre a condu¸˜o de eletricidade nos gases. ca • Ernest Rutherford: Qu´ımica (1908)- pelas investiga¸˜es sobre a co desintegra¸˜o de elementos e a qu´ ca ımica de materias radioativos. • Max Planck: F´ ısica (1918) - pela descoberta dos quanta de energia. • Albert Einstein: F´ ısica (1921) - descoberta da lei do efeito fotoel´trico. e • Niels H. D. Bohr: F´ ısica (1922) - pelas investiga¸˜es sobre a co estrutura dos ´tomos e a radia¸˜o emitida por eles. a ca • Pr´ ıncipe Louis V. de Broglie: F´ ısica (1929)- pela descoberta da natureza ondulat´ria dos el´trons. o e
  33. 33. 5. Mecˆnica ondulat´ria × Mecˆnica das matrizes a o a ısica Cl´ssica: nasce a F´ Uma ruptura com a F´ a ısica Quˆntica!!!! a • Erwin Rudolf Josef Alexander Schr¨dinger o Em novembro de 1925 Schr¨dinger apresenta um semin´rio o a sobre a tese de doutorado de de Broglie. Schr¨dinger o relembra a observa¸˜o de Peter Debye: “... aquela forma de ca fazer as coisas lhe parece algo infantil; como aluno de Sommerfeld, tinha aprendido que, para lidar decentemente com ondas, ´ preciso que se tenha uma equa¸˜o de ondas.“ e ca
  34. 34. Em 1926, Schr¨dinger (35 anos) prop˜e sua equa¸˜o de o o ca ondas de mat´ria: e 2 2 ∂ψ(x, t) − ∇ ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) = i , Mecˆnica Ondulat´ria a o 2m ∂t sendo ψ(x, t) uma onda de mat´ria. e A partir desta equa¸˜o, Schr¨dinger obt´m o espectro de ca o e energia do ´tomo de hidrogˆnio: a e 13.6 En = − 2 eV, n = 1, 2, 3 · · · n assim como o espectro de energia do efeito Stark. A Mecˆnica Ondulat´ria parece n˜o ter saltos quˆnticos. a o a a Em 1926, na solu¸˜o do efeito Stark, Schr¨dinger ca o reinterpreta |ψ(x, t)|2 como a densidade espacial de carga el´trica. e
  35. 35. • Werner Karl Heisenberg W. Heisenber foi orientado por A. Sommerfeld na sua gradua¸˜o ca na Univ. de Munique. Sommerfeld convida Heisenberg em 1922 para ir na Univ. de G¨ttingen, onde N. Bohr vai apresentar um conjunto de palestras. o Neste encontro, N. Bohr convida Heisenberg (21 anos) para passar uma temporada no Instituto de F´ısica Te´rica em Copenhagen. o Visita de Heisenberg ` Bohr em Copenhagen: a • primavera de 1924 • ano de 1924: setembro de 1924 a maio de 1925 (Bolsa da Funda¸˜o ca Rockfeller)
  36. 36. Id´ia central de Heisenberg: abandonar os conceitos e cl´ssicos, substituindo-os por ingredientes novos com rela¸˜o a ca direta com as propriedades observ´veis dos ´tomos. a a Candidato: saltos quˆnticos a Em junho de 1925, Heisenberg (23 anos) decide trabalhar com objetos com 2 ´ ındices e formula a dinˆmica de sistemas a quˆnticos: a • distˆncia: rEn ,Em ⇒ rn,m a Mecˆnica das Matrizes: a =⇒ o espectro do pˆndulo e • momento: pEn ,Em ⇒ pn,m quˆntico a Max Born e Pascual Jordan reconhecem que os objetos que Heisenberg usava para descrever a F´ ısica do ´tomo eram a matrizes!!!!!
  37. 37. Em novembro de 1925, Wolfgang Pauli obteve o espectro do ´tomo de hidrogˆnio a partir da Mecˆnica de Matrizes de a e a Heisenberg. De janeiro a fevereiro de 1926: Schr¨dinger mostrou a o equivalˆncia matem´tica de sua Mecˆnica Ondulat´ria com e a a o a Mecˆnica das Matrizes de Heisenberg. a O primeiro encontro entre Schr¨dinger e Heisenberg ocorre o em 1926: Sommerfeld convida Schr¨dinger para apresentar o um semin´rio na Univ. de Munique. Heisenberg est´ na a a plat´ia com cr´ e ıticas!!! O ponto da disc´rdia: os saltos quˆnticos o a
  38. 38. 6. Uma Mecˆnica Quˆntica a a Interpreta¸˜o de G¨ttingen- Copenhagen: Max Born (1926) ca o |ψ(x, t)|2 : densidade de probabilidade associada ` posi¸˜o do el´tron. a ca e Os el´trons s˜o encontrados e a pontos definidos no espa¸o. c Max Born Com a interpreta¸˜o de Born a Mecˆnica Quˆntica passa a ca a a ser uma teoria probabil´ ıstica.
  39. 39. Rea¸˜o de Schr¨dinger ` interpreta¸˜o de G¨ttingen- ca o a ca o Copenhagen: rejei¸˜o. Para Schr¨dinger as ondas ca o representadas por ψ(x, t) deveriam representar uma realidade f´ ısica compar´vel ` dos campos eletromagn´ticos. a a e 1927: Heisenberg demonstrou o Princ´ ıpio da Incerteza a partir da Mecˆnica de Matrizes: a ∆x ∆p ≥ =⇒ n˜o existem trajet´rias na MQ!!!!! a o 2 Desde a d´cada de 30 sabemos que a Mecˆnica Ondulat´ria e a o e a Mecˆnica das Matrizes s˜o duas maneiras diferentes de a a escrever a mesma dinˆmica da F´ a ısica do ´tomo!!!! a
  40. 40. 7. A pergunta foi respondida? Uma estrada a percorrer... Hoje temos a Mecˆnica Quˆntica que descreve a dinˆmica a a a de sistemas quˆnticos na escala atˆmica (∼ 10−10 m). a o Ser´ que Dem´crito est´ satisfeito a o a com a nossa resposta ` pergunta: a O que ´ o ´tomo? e a
  41. 41. Para Dem´crito a palavra ´tomo significa o indivis´ o a ıvel. A busca ao indivis´ ıvel continua... “Quando os reis constroem, os oper´rios tˆm o que fazer.“ a e F. von Schiller
  42. 42. 8. Bibliografia Este semin´rio ´ baseado nos livros: a e Agrade¸o as horas agrad´veis de leitura que tive aos autores c a amigos!!!

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