´                  Campos de calibre classicos: Maxwell                                              M.T. Thomaz          ...
¸˜                                         Apresentacao:        ı        ı      ¸˜1. Princ´pio de m´nima acao        ˜    ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNature...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNature...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNature...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNature...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNature...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNature...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                        ´                          ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                        ´                          ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                        ´                          ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                        ´                          ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell          ´                           ´Campos eletr...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell          ´                           ´Campos eletr...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell          ´                           ´Campos eletr...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell          ´                           ´Campos eletr...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell          ´                           ´Campos eletr...
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´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                       ¸˜3. Lei de Faraday (inducao...
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´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellComo a igualdade                                   ...
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´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                                                   ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell            ´A lei de Ampere modificada pela corrent...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell            ´A lei de Ampere modificada pela corrent...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell            ´A lei de Ampere modificada pela corrent...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                                         ¸˜        ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                                         ¸˜        ...
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´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                                         ¸˜        ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                 ´Campos Eletromagneticos:         ...
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´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellLembrando:                                         ...
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´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell        ´Campo eletrico:                           ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell        ´Campo eletrico:                           ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell        ´Campo eletrico:                           ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell        ´Campo eletrico:                           ...
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´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                                                   ...
´           ¸˜             Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell                                                   ...
Espaco de Minkowski                                             ¸                                         Espaco de Minkow...
Espaco de Minkowski                                             ¸                                         Espaco de Minkow...
Espaco de Minkowski                                             ¸                                         Espaco de Minkow...
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Espaco de Minkowski                                             ¸                                         Espaco de Minkow...
Espaco de Minkowski                                             ¸Exemplo de escalares no espaco Euclideano                ...
Espaco de Minkowski                                             ¸Exemplo de escalares no espaco Euclideano                ...
Espaco de Minkowski                                             ¸Exemplo de escalares no espaco Euclideano                ...
Espaco de Minkowski                                             ¸Exemplo de escalares no espaco Euclideano                ...
Espaco de Minkowski                                             ¸                                         ¸˜              ...
Espaco de Minkowski                                             ¸                                         ¸˜              ...
Segundo seminario: Teoria de campos clássicos
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A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das
equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o
aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noção de tensores que utilizaremos para descrever
as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante).
Finalmente discutiremos os campos elétrico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre
é implementada nestes campos.

Apresentação:
. Campos eletromagnéticos: equações de Maxwell
. Espaço de Minkowski

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Segundo seminario: Teoria de campos clássicos

  1. 1. ´ Campos de calibre classicos: Maxwell M.T. Thomaz mariateresa.thomaz@gmail.com Instituto de F´sica, UFF ı Resumo: ı ı ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜A partir do princ´pio de m´nima acao reobtemos as equacoes de movimento classicas reescritas atraves das equacoes ¸˜ ´de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´pio para obter as equacoes de movimento dos campos classicos ı ´e o aplicamos ao caso dos campos eletromagneticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, ¸˜ ¸˜estudaremos a nocao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformacao da Relatividade Restrita e ¸˜escrever as equacoes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos ´ ´ ˆ ´eletrico e magnetico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariancia de calibre e implementadanestes campos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 1 / 36
  2. 2. ¸˜ Apresentacao: ı ı ¸˜1. Princ´pio de m´nima acao ˜ ´ ´2. Revisao de topicos em Matematica ´ ¸˜3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell4. Espaco de Minkowski ¸ ´5. Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´ ´6. Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 2 / 36
  3. 3. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNatureza? ´O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma ¸ ı ´part´cula teste de massa m e: ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36
  4. 4. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNatureza? ´O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma ¸ ıpart´cula teste de massa m e: ı ´ Gm · M Fgrav = , r2 ˆsendo r a distancia entre as massas M e m.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36
  5. 5. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNatureza? ´O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma ¸ ıpart´cula teste de massa m e: ı ´ Gm · M Fgrav = , r2 ˆsendo r a distancia entre as massas M e m. ´ ´O modulo da forca gerada por uma carga eletrica Q sobre uma part´cula ¸ ı ´ ´teste de carga eletrica q e:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36
  6. 6. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNatureza? ´O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma ¸ ıpart´cula teste de massa m e: ı ´ Gm · M Fgrav = , r2 ˆsendo r a distancia entre as massas M e m. ´ ´O modulo da forca gerada por uma carga eletrica Q sobre uma part´cula ¸ ı ´ ´teste de carga eletrica q e: K|q| · |Q| Felet = , r2 ´ ˆonde r e a distancia entre essas part´culas. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36
  7. 7. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNatureza? ´O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma ¸ ıpart´cula teste de massa m e: ı ´ Gm · M Fgrav = , r2 ˆsendo r a distancia entre as massas M e m. ´ ´O modulo da forca gerada por uma carga eletrica Q sobre uma part´cula ¸ ı ´ ´teste de carga eletrica q e: K|q| · |Q| Felet = , r2 ´ ˆonde r e a distancia entre essas part´culas. ı ˜ As constantes G e K sao diferentes. Qual a grande diferenca entre as forcas ¸ ¸ ´ eletrica e gravitacional?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36
  8. 8. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellPor que precisamos de campos para descrever aNatureza? ´O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma ¸ ıpart´cula teste de massa m e: ı ´ Gm · M Fgrav = , r2 ˆsendo r a distancia entre as massas M e m. ´ ´O modulo da forca gerada por uma carga eletrica Q sobre uma part´cula ¸ ı ´ ´teste de carga eletrica q e: K|q| · |Q| Felet = , r2 ´ ˆonde r e a distancia entre essas part´culas. ı ˜ As constantes G e K sao diferentes. Qual a grande diferenca entre as forcas ¸ ¸ ´ eletrica e gravitacional?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36
  9. 9. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´ O sentido da forca eletrica gerada pela presenca da carga eletrica ¸ ¸Q sobre a carga q, depende do sinal da carga q.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 36
  10. 10. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´ O sentido da forca eletrica gerada pela presenca da carga eletrica ¸ ¸Q sobre a carga q, depende do sinal da carga q. Que quantidade f´sica usamos de maneira que levamos em ı ¸˜conta apenas as modificacoes no espaco pela presenca da carga ¸ ¸ ´eletrica Q?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 36
  11. 11. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´ O sentido da forca eletrica gerada pela presenca da carga eletrica ¸ ¸Q sobre a carga q, depende do sinal da carga q. Que quantidade f´sica usamos de maneira que levamos em ı ¸˜conta apenas as modificacoes no espaco pela presenca da carga ¸ ¸ ´eletrica Q? Seja FQ→q a forca que a carga Q faz sobre a part´cula de carga ¸ ıeletrica q. Definimos o campo eletrico gerado pela carga Q com ´ ´sendo:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 36
  12. 12. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´ O sentido da forca eletrica gerada pela presenca da carga eletrica ¸ ¸Q sobre a carga q, depende do sinal da carga q. Que quantidade f´sica usamos de maneira que levamos em ı ¸˜conta apenas as modificacoes no espaco pela presenca da carga ¸ ¸ ´eletrica Q? Seja FQ→q a forca que a carga Q faz sobre a part´cula de carga ¸ ıeletrica q. Definimos o campo eletrico gerado pela carga Q com ´ ´sendo: FQ→q ≡ qE(x, t), ´ ´ ´onde E(x, t) e o campo eletrico gerado pela carga eletrica Q, indepen- ´ ¸˜dente do valor da carga eletrica q que vai sentir a sua acao.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 36
  13. 13. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´Campos eletricos gerados por cargas eletricaspontuais:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36
  14. 14. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´Campos eletricos gerados por cargas eletricaspontuais: ´ ´ Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36
  15. 15. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´Campos eletricos gerados por cargas eletricaspontuais: ´ ´ Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. ´ ´ Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36
  16. 16. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´Campos eletricos gerados por cargas eletricaspontuais: ´ ´ Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. ´ ´ Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas. ´ ´ ˆNo campo eletrico E(x, t) temos que x e um parametro, que representatodos os pontos do espaco¸M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36
  17. 17. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´Campos eletricos gerados por cargas eletricaspontuais: ´ ´ Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. ´ ´ Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas. ´ ´ ˆNo campo eletrico E(x, t) temos que x e um parametro, que representatodos os pontos do espaco ⇒ E(x, t) e um campo. ¸ ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36
  18. 18. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´Campos eletricos gerados por cargas eletricaspontuais: ´ ´ Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. ´ ´ Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas. ´ ´ ˆNo campo eletrico E(x, t) temos que x e um parametro, que representatodos os pontos do espaco ⇒ E(x, t) e um campo. ¸ ´Em cada ponto do espaco x temos um vetor E(x, t) criado pela ¸ ´presenca da carga eletrica pontual Q. ¸M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36
  19. 19. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´Campos eletricos gerados por cargas eletricaspontuais: ´ ´ Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. ´ ´ Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas. ´ ´ ˆNo campo eletrico E(x, t) temos que x e um parametro, que representatodos os pontos do espaco ⇒ E(x, t) e um campo. ¸ ´Em cada ponto do espaco x temos um vetor E(x, t) criado pela ¸ ´ ¸˜presenca da carga eletrica pontual Q. O que estudamos: a evolucao ¸ ¸˜e/ou acao deste vetor em cada ponto do espaco. ¸M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36
  20. 20. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´No caso geral, temos campos eletrico, E(x, t), e ´magnetico, B(x, t):M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 36
  21. 21. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´No caso geral, temos campos eletrico, E(x, t), e ´magnetico, B(x, t): ¸˜ ´Equacao de movimento de uma part´cula com carga eletrica, na presenca ı ¸ ´ ´de campos eletricos e magneticos: d2 x(t) v(t) m = eE(x, t) + e × B(x, t), dt2 c ´ ´ ¸˜ ´onde c e a velocidade da luz, x(t) e o vetor posicao onde esta a part´cula. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 36
  22. 22. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´No caso geral, temos campos eletrico, E(x, t), e ´magnetico, B(x, t): ¸˜ ´Equacao de movimento de uma part´cula com carga eletrica, na presenca ı ¸ ´ ´de campos eletricos e magneticos: d2 x(t) v(t) m = eE(x, t) + e × B(x, t), dt2 c ´ ´ ¸˜ ´onde c e a velocidade da luz, x(t) e o vetor posicao onde esta a part´cula. ı Temos os campos: E(x, t) :campo eletrico ´ ´ Campos eletromagneticos B(x, t) :campo magnetico ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 36
  23. 23. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´No caso geral, temos campos eletrico, E(x, t), e ´magnetico, B(x, t): ¸˜ ´Equacao de movimento de uma part´cula com carga eletrica, na presenca ı ¸ ´ ´de campos eletricos e magneticos: d2 x(t) v(t) m = eE(x, t) + e × B(x, t), dt2 c ´ ´ ¸˜ ´onde c e a velocidade da luz, x(t) e o vetor posicao onde esta a part´cula. ı Temos os campos: E(x, t) :campo eletrico ´ ´ Campos eletromagneticos B(x, t) :campo magnetico ´ ˆ ´ x e t: parametros nos campos eletromagneticos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 36
  24. 24. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜ Equacoes de Maxwell ˆEstudaremos a dinamica dos campos E(x, t) e B(x, t) na presenca de ¸ ´cargas e correntes eletricas conhecidas.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 36
  25. 25. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜ Equacoes de Maxwell ˆEstudaremos a dinamica dos campos E(x, t) e B(x, t) na presenca de ¸ ´cargas e correntes eletricas conhecidas.Relembrando: • E(x, t) e B(x, t): campos (variaveis) ´ • x e t: parametros. ˆM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 36
  26. 26. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜ Equacoes de Maxwell ˆEstudaremos a dinamica dos campos E(x, t) e B(x, t) na presenca de ¸ ´cargas e correntes eletricas conhecidas.Relembrando: • E(x, t) e B(x, t): campos (variaveis) ´ • x e t: parametros. ˆ ¸˜ Vamos obter as 4 equacoes de Maxwell locais a partir das ˜ suas expressoes globais.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 36
  27. 27. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜ Equacoes de Maxwell ˆEstudaremos a dinamica dos campos E(x, t) e B(x, t) na presenca de ¸ ´cargas e correntes eletricas conhecidas.Relembrando: • E(x, t) e B(x, t): campos (variaveis) ´ • x e t: parametros. ˆ ¸˜ Vamos obter as 4 equacoes de Maxwell locais a partir das ˜ suas expressoes globais. James Clerk MaxwellM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 36
  28. 28. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellEquacoes de Maxwell: eq. globais ⇒ eq. locais ¸˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 36
  29. 29. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellEquacoes de Maxwell: eq. globais ⇒ eq. locais ¸˜ ´1. Lei de Gauss do campo eletrico: ˆ E(x, t) · nds = 4πQ(t) S ´ sendo Q(t) a carga eletrica total contida no volume V Q(t) = d3 x ρ(x, t), V ´ e ρ(x, t) e a densidade de ´ carga eletrica em x no instante t.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 36
  30. 30. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo eletrico como:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36
  31. 31. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo eletrico como: ˆ E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)] S VM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36
  32. 32. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo eletrico como: ˆ E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)] S V = 4π Q(t) = 4π d3 x ρ(x, t), V ´sendo S a area fechada que delimita o volume V.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36
  33. 33. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo eletrico como: ˆ E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)] S V = 4π Q(t) = 4π d3 x ρ(x, t), V ´sendo S a area fechada que delimita o volume V. Portanto: d3 x ∇ · E(x, t) − 4πρ(x, t) = 0. VM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36
  34. 34. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo eletrico como: ˆ E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)] S V = 4π Q(t) = 4π d3 x ρ(x, t), V ´sendo S a area fechada que delimita o volume V. Portanto: d3 x ∇ · E(x, t) − 4πρ(x, t) = 0. V ´ ˜Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer volume V, entao,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36
  35. 35. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo eletrico como: ˆ E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)] S V = 4π Q(t) = 4π d3 x ρ(x, t), V ´sendo S a area fechada que delimita o volume V. Portanto: d3 x ∇ · E(x, t) − 4πρ(x, t) = 0. V ´ ˜Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer volume V, entao, ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t),M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36
  36. 36. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo eletrico como: ˆ E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)] S V = 4π Q(t) = 4π d3 x ρ(x, t), V ´sendo S a area fechada que delimita o volume V. Portanto: d3 x ∇ · E(x, t) − 4πρ(x, t) = 0. V ´ ˜Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer volume V, entao, ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t), ´ ˜ ´ ´So temos fluxo nao nulo de linhas de campo eletrico atraves de uma ´ ´area fechada que engloba x se temos carga eletrica neste ponto. As ´ ´linhas de campo eletrico comecam e terminam em cargas eletricas. ¸M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36
  37. 37. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´2. Lei de Gauss do campo magnetico: ˆ B(x, t) · nds = 0 S sendo S uma superf´cie fechada. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36
  38. 38. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´2. Lei de Gauss do campo magnetico: ˆ B(x, t) · nds = 0 S sendo S uma superf´cie fechada. ıO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo magnetico como:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36
  39. 39. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´2. Lei de Gauss do campo magnetico: ˆ B(x, t) · nds = 0 S sendo S uma superf´cie fechada. ıO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo magnetico como: ˆ B(x, t) · nds = d3 x [∇ · B(x, t)] S VM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36
  40. 40. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´2. Lei de Gauss do campo magnetico: ˆ B(x, t) · nds = 0 S sendo S uma superf´cie fechada. ıO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo magnetico como: ˆ B(x, t) · nds = d3 x [∇ · B(x, t)] S V = 0,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36
  41. 41. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´2. Lei de Gauss do campo magnetico: ˆ B(x, t) · nds = 0 S sendo S uma superf´cie fechada. ıO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo magnetico como: ˆ B(x, t) · nds = d3 x [∇ · B(x, t)] S V = 0, ´Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer superf´cie ı ˜fechada S, entao,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36
  42. 42. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´2. Lei de Gauss do campo magnetico: ˆ B(x, t) · nds = 0 S sendo S uma superf´cie fechada. ıO Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o ´campo magnetico como: ˆ B(x, t) · nds = d3 x [∇ · B(x, t)] S V = 0, ´Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer superf´cie ı ˜fechada S, entao, ∇ · B(x, t) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36
  43. 43. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e: ∇ · B(x, t) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 36
  44. 44. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e: ∇ · B(x, t) = 0. ´Obtemos que o fluxo de linhas de campo magnetico atraves de´ ´qualquer superf´cie fechada e nulo. Portanto as linhas de campo ı ´ ˜ ˜magnetico sao fechadas. Nao temos fontes de pontuais de campos ´magneticos. Nao˜ temos monopolos magneticos. ´ ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 36
  45. 45. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e: ∇ · B(x, t) = 0. ´Obtemos que o fluxo de linhas de campo magnetico atraves de´ ´qualquer superf´cie fechada e nulo. Portanto as linhas de campo ı ´ ˜ ˜magnetico sao fechadas. Nao temos fontes de pontuais de campos ´magneticos. Nao˜ temos monopolos magneticos. ´ ´ ¸˜ ´Configuracoes de campo magnetico:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 36
  46. 46. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e: ∇ · B(x, t) = 0. ´Obtemos que o fluxo de linhas de campo magnetico atraves de´ ´qualquer superf´cie fechada e nulo. Portanto as linhas de campo ı ´ ˜ ˜magnetico sao fechadas. Nao temos fontes de pontuais de campos ´magneticos. Nao˜ temos monopolos magneticos. ´ ´ ¸˜ ´Configuracoes de campo magnetico: ´ Campo magnetico gerado por um fio retil´neo. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 36
  47. 47. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´ ´A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e: ∇ · B(x, t) = 0. ´Obtemos que o fluxo de linhas de campo magnetico atraves de´ ´qualquer superf´cie fechada e nulo. Portanto as linhas de campo ı ´ ˜ ˜magnetico sao fechadas. Nao temos fontes de pontuais de campos ´magneticos. Nao˜ temos monopolos magneticos. ´ ´ ¸˜ ´Configuracoes de campo magnetico: ´ Campo magnetico gerado por um fio retil´neo. ı ´ ´ Varios campos magneticos gerados por correntes.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 36
  48. 48. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜3. Lei de Faraday (inducao): 1 d E(x, t) · dˆ = − l ˆ B(x, t) · nds , Γ c dt S sendo Γ um caminho fechado e ˜ orientado. A regra da mao direita ao longo do caminho Γ determina o ˆ ´ sentido do vetor n. S e qualquer area delimitada por contorno Γ. ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 36
  49. 49. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜3. Lei de Faraday (inducao): 1 d E(x, t) · dˆ = − l ˆ B(x, t) · nds , Γ c dt S sendo Γ um caminho fechado e ˜ orientado. A regra da mao direita ao longo do caminho Γ determina o ˆ ´ sentido do vetor n. S e qualquer area delimitada por contorno Γ. ´ ¸˜O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de inducao deFaraday como:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 36
  50. 50. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜3. Lei de Faraday (inducao): 1 d E(x, t) · dˆ = − l ˆ B(x, t) · nds , Γ c dt S sendo Γ um caminho fechado e ˜ orientado. A regra da mao direita ao longo do caminho Γ determina o ˆ ´ sentido do vetor n. S e qualquer area delimitada por contorno Γ. ´ ¸˜O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de inducao deFaraday como: E(x, t) · dl = ˆ ds n · [∇ × E(x, t)] Γ SM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 36
  51. 51. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜3. Lei de Faraday (inducao): 1 d E(x, t) · dˆ = − l ˆ B(x, t) · nds , Γ c dt S sendo Γ um caminho fechado e ˜ orientado. A regra da mao direita ao longo do caminho Γ determina o ˆ ´ sentido do vetor n. S e qualquer area delimitada por contorno Γ. ´ ¸˜O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de inducao deFaraday como: E(x, t) · dl = ˆ ds n · [∇ × E(x, t)] Γ S 1 d = − ˆ B(x, t) · nds . c dt SM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 36
  52. 52. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellComo a igualdade 1 ∂ ˆ ds n · ∇ × E(x, t) − B(x, t) =0 S c ∂t ´ ˜tem que ser valida para qualquer superf´cie S, entao, ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 36
  53. 53. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellComo a igualdade 1 ∂ ˆ ds n · ∇ × E(x, t) − B(x, t) =0 S c ∂t ´ ˜tem que ser valida para qualquer superf´cie S, entao, ı 1 ∂ B(x, t) ∇ × E(x, t) = − . c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 36
  54. 54. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellComo a igualdade 1 ∂ ˆ ds n · ∇ × E(x, t) − B(x, t) =0 S c ∂t ´ ˜tem que ser valida para qualquer superf´cie S, entao, ı 1 ∂ B(x, t) ∇ × E(x, t) = − . c ∂t ¸˜ ´ A lei de inducao Faraday nos mostra que induzimos campo eletrico ´ ¸˜ ´ ¸˜atraves da variacao de campo magnetico. Variacoes de campos ´ ˜ ´magneticos sao fontes de campos eletricos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 36
  55. 55. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell `4. Lei de Ampere modificada por J.C. Maxwell: 1 d B(x, t) · dl = ˆ E(x, t) · nds Γ c dt S 4π + ˆ (x, t) · nds, c S sendo Γ um caminho fechado e ˜ orientado. A regra da mao direita ao longo do caminho Γ determina o ˆ ´ sentido do vetor n. S e qualquer area delimitada por contorno Γ. ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 36
  56. 56. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell `4. Lei de Ampere modificada por J.C. Maxwell: 1 d B(x, t) · dl = ˆ E(x, t) · nds Γ c dt S 4π + ˆ (x, t) · nds, c S sendo Γ um caminho fechado e ˜ orientado. A regra da mao direita ao longo do caminho Γ determina o ˆ ´ sentido do vetor n. S e qualquer area delimitada por contorno Γ. ´ ¸˜ A relacao entre a densidade de corrente ´ (x, t) e a corrente I e: S=A (x, t) ˆ · nds = I.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 36
  57. 57. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell `O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Amperemodificada por J.C. Maxwell como:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 36
  58. 58. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell `O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Amperemodificada por J.C. Maxwell como: B(x, t) · dˆ = l ˆ ds n · [∇ × B(x, t)] Γ SM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 36
  59. 59. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell `O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Amperemodificada por J.C. Maxwell como: B(x, t) · dˆ = l ˆ ds n · [∇ × B(x, t)] Γ S 1 d 4π = ˆ E(x, t) · nds + ˆ (x, t) · nds, c dt S c SM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 36
  60. 60. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell `O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Amperemodificada por J.C. Maxwell como: B(x, t) · dˆ = l ˆ ds n · [∇ × B(x, t)] Γ S 1 d 4π = ˆ E(x, t) · nds + ˆ (x, t) · nds, c dt S c SAssim, 1 ∂ 4π ˆ ds n · ∇ × B(x, t)] − E(x, t) − (x, t) = 0 S c ∂t c ´A igualdade anterior tem que ser valida para qualquer superf´cie S ıdelimitada pelo contorno Γ. Logo,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 36
  61. 61. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell `O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Amperemodificada por J.C. Maxwell como: B(x, t) · dˆ = l ˆ ds n · [∇ × B(x, t)] Γ S 1 d 4π = ˆ E(x, t) · nds + ˆ (x, t) · nds, c dt S c SAssim, 1 ∂ 4π ˆ ds n · ∇ × B(x, t)] − E(x, t) − (x, t) = 0 S c ∂t c ´A igualdade anterior tem que ser valida para qualquer superf´cie S ıdelimitada pelo contorno Γ. Logo, 1 ∂ E(x, t) 4π ∇ × B(x, t) = + (x, t). c ∂t c ¸˜ termo de correcao de MaxwellM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 36
  62. 62. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´A lei de Ampere modificada pela corrente de deslocamento de Maxwellfica:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 36
  63. 63. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´A lei de Ampere modificada pela corrente de deslocamento de Maxwellfica: 1 ∂ E(x, t) 4π ∇ × B(x, t) = + (x, t). c ∂t cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 36
  64. 64. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´A lei de Ampere modificada pela corrente de deslocamento de Maxwellfica: 1 ∂ E(x, t) 4π ∇ × B(x, t) = + (x, t). c ∂t c ¸˜ ´ ´ ˜Esta equacao nos da que as fontes do campo magnetico sao: correntes ¸˜ ´e variacoes do campo eletrico.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 36
  65. 65. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜ As equacoes de Maxwell ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t), ∇ · B(x, t) = 0, 1 ∂ B(x, t) ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) 4π ∇ × B(x, t) = + (x, t). c ∂t cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 36
  66. 66. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜ As equacoes de Maxwell ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t), ∇ · B(x, t) = 0, 1 ∂ B(x, t) ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) 4π ∇ × B(x, t) = + (x, t). c ∂t c ¸˜ ´A evolucao no tempo dos campos E(x, t) B(x, t) e governada pelas 4eqs. de Maxwell acopladas.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 36
  67. 67. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜ As equacoes de Maxwell ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t), ∇ · B(x, t) = 0, 1 ∂ B(x, t) ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) 4π ∇ × B(x, t) = + (x, t). c ∂t c ¸˜ ´A evolucao no tempo dos campos E(x, t) B(x, t) e governada pelas 4 ˜ ¸˜eqs. de Maxwell acopladas. Esses campos sao diferentes manifestacoes ´de um mesmo campo: campo eletromagnetico.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 36
  68. 68. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ¸˜ As equacoes de Maxwell ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t), ∇ · B(x, t) = 0, 1 ∂ B(x, t) ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) 4π ∇ × B(x, t) = + (x, t). c ∂t c ¸˜ ´A evolucao no tempo dos campos E(x, t) B(x, t) e governada pelas 4 ˜ ¸˜eqs. de Maxwell acopladas. Esses campos sao diferentes manifestacoes ´de um mesmo campo: campo eletromagnetico. Temos uma primeira ¸˜unificacao de campos na Natureza.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 36
  69. 69. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´Campos Eletromagneticos: E(x, t) ⇒ 6 componentes B(x, t)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 36
  70. 70. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´Campos Eletromagneticos: E(x, t) ⇒ 6 componentes B(x, t) ˆ ´Interpendencia dos campos eletromagneticos: E(x, t) e B(x, t), 1d E(x, t) · dl = − ˆ B(x, t) · nds Γ c dt Se 1d 4π B(x, t) · dl = ˆ E(x, t) · nds + ˆ (x, t) · nds Γ c dt S c Sonde S e qualquer area aberta, cuja borda e a linha Γ. ´ ´ ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 36
  71. 71. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´Campos Eletromagneticos: E(x, t) ⇒ 6 componentes B(x, t) ˆ ´Interpendencia dos campos eletromagneticos: E(x, t) e B(x, t), 1d E(x, t) · dl = − ˆ B(x, t) · nds Γ c dt Se 1d 4π B(x, t) · dl = ˆ E(x, t) · nds + ˆ (x, t) · nds Γ c dt S c Sonde S e qualquer area aberta, cuja borda e a linha Γ. ´ ´ ´ ˜ ˜Nao temos 6 graus de liberdade: Porque nao trabalhar com camposcom menos graus de liberdade?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 36
  72. 72. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell Campos Auxiliares ´Lei de Gauss para o campo magnetico: ∇ · B(x, t) = 0 =⇒ B(x, t) = ∇ × A(x, t), ´onde A(x, t) e o potencial vetor.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 36
  73. 73. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell Campos Auxiliares ´Lei de Gauss para o campo magnetico: ∇ · B(x, t) = 0 =⇒ B(x, t) = ∇ × A(x, t), ´onde A(x, t) e o potencial vetor. ¸˜Lei de inducao de Faraday: 1 ∂ B(x, t) 1 ∂ A(x, t) ∇ × E(x, t) = − =⇒ ∇ × E(x, t) + = 0. c ∂t c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 36
  74. 74. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell Campos Auxiliares ´Lei de Gauss para o campo magnetico: ∇ · B(x, t) = 0 =⇒ B(x, t) = ∇ × A(x, t), ´onde A(x, t) e o potencial vetor. ¸˜Lei de inducao de Faraday: 1 ∂ B(x, t) 1 ∂ A(x, t) ∇ × E(x, t) = − =⇒ ∇ × E(x, t) + = 0. c ∂t c ∂t ¸˜Solucao geral: 1 ∂ A(x, t) E(x, t) + = −∇A0 (x, t), c ∂tonde A0 (x, t) e o potencial escalar. ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 36
  75. 75. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell Campos Auxiliares ´Lei de Gauss para o campo magnetico: ∇ · B(x, t) = 0 =⇒ B(x, t) = ∇ × A(x, t), ´onde A(x, t) e o potencial vetor. ¸˜Lei de inducao de Faraday: 1 ∂ B(x, t) 1 ∂ A(x, t) ∇ × E(x, t) = − =⇒ ∇ × E(x, t) + = 0. c ∂t c ∂t ¸˜Solucao geral: 1 ∂ A(x, t) E(x, t) + = −∇A0 (x, t), c ∂tonde A0 (x, t) e o potencial escalar. ´Graus de liberdade: (E(x, t), B(x, t)): 6 graus de liberdade (A0 (x, t), A(x, t)): 4 graus de liberdade.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 36
  76. 76. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellLembrando: 1 ∂ A(x, t) B(x, t) = ∇ × A(x, t) e E(x, t) = − − ∇A0 (x, t). c ∂tPara cada conjunto de campos f´sicos (E(x, t), B(x, t)), os campos ıauxiliares (A0 (x, t), A(x, t)) sao unicos? ˜ ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 36
  77. 77. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellLembrando: 1 ∂ A(x, t) B(x, t) = ∇ × A(x, t) e E(x, t) = − − ∇A0 (x, t). c ∂tPara cada conjunto de campos f´sicos (E(x, t), B(x, t)), os campos ıauxiliares (A0 (x, t), A(x, t)) sao unicos? ˜ ´Como: ∇ × (∇G(x, t)) = 0, entao se ˜ A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),obtemos ∇ × A′ (x, t) = ∇ × A(x, t) + ∇ × (∇G(x, t)) = ∇ × A(x, t) = B(x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 36
  78. 78. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de MaxwellLembrando: 1 ∂ A(x, t) B(x, t) = ∇ × A(x, t) e E(x, t) = − − ∇A0 (x, t). c ∂tPara cada conjunto de campos f´sicos (E(x, t), B(x, t)), os campos ıauxiliares (A0 (x, t), A(x, t)) sao unicos? ˜ ´Como: ∇ × (∇G(x, t)) = 0, entao se ˜ A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),obtemos ∇ × A′ (x, t) = ∇ × A(x, t) + ∇ × (∇G(x, t)) = ∇ × A(x, t) = B(x, t).Os potenciais A(x, t) e A′ (x, t) geram o mesmo campo magnetico!!!!! ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 36
  79. 79. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´Campo eletrico: 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = − − ∇A0 (x, t). c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 36
  80. 80. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´Campo eletrico: 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = − − ∇A0 (x, t). c ∂tPotenciais vetores A(x, t) e A′ (x, t), onde A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t) ˜ ´nao geram o mesmo campo eletrico,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 36
  81. 81. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´Campo eletrico: 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = − − ∇A0 (x, t). c ∂tPotenciais vetores A(x, t) e A′ (x, t), onde A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t) ˜ ´nao geram o mesmo campo eletrico, a menos que simultaneamente: 0 1 ∂G(x, t) A′ (x, t) ≡ A0 (x, t) − . c ∂tNeste caso: 0 1 ∂ A′ (x, t) 1 ∂ A(x, t) −∇A′ (x, t) − = −∇A0 (x, t) − c ∂t c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 36
  82. 82. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell ´Campo eletrico: 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = − − ∇A0 (x, t). c ∂tPotenciais vetores A(x, t) e A′ (x, t), onde A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t) ˜ ´nao geram o mesmo campo eletrico, a menos que simultaneamente: 0 1 ∂G(x, t) A′ (x, t) ≡ A0 (x, t) − . c ∂tNeste caso: 0 1 ∂ A′ (x, t) 1 ∂ A(x, t) −∇A′ (x, t) − = −∇A0 (x, t) − c ∂t c ∂t = E(x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 36
  83. 83. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell 0Os potenciais (A0 (x, t), A(x, t)) e (A′ (x, t), A′ (x, t)) relacionados atraves ´ ¸˜das transformacoes de calibre: 0 1 ∂G(x, t) A′ (x, t) ≡ A0 (x, t) − c ∂t ′ A (x, t) ≡ A(x, t) + ∇G(x, t)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 36
  84. 84. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell 0Os potenciais (A0 (x, t), A(x, t)) e (A′ (x, t), A′ (x, t)) relacionados atraves ´ ¸˜das transformacoes de calibre: 0 1 ∂G(x, t) A′ (x, t) ≡ A0 (x, t) − c ∂t ′ A (x, t) ≡ A(x, t) + ∇G(x, t)geram os mesmos campos f´sicos: E(x, t) e B(x, t). ı ˜ Por que E(x, t) e B(x, t) sao chamados de campos f´sicos? ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 36
  85. 85. ´ ¸˜ Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell 0Os potenciais (A0 (x, t), A(x, t)) e (A′ (x, t), A′ (x, t)) relacionados atraves ´ ¸˜das transformacoes de calibre: 0 1 ∂G(x, t) A′ (x, t) ≡ A0 (x, t) − c ∂t ′ A (x, t) ≡ A(x, t) + ∇G(x, t)geram os mesmos campos f´sicos: E(x, t) e B(x, t). ı ˜ Por que E(x, t) e B(x, t) sao chamados de campos f´sicos? ı ı ´Uma part´cula com carga eletrica, na presenca de campos ¸ ´eletromagneticos sente a forca de Lorentz: ¸ d2 x(t) v(t) m = eE(x, t) + e × B(x, t). dt2 cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 36
  86. 86. Espaco de Minkowski ¸ Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 36
  87. 87. Espaco de Minkowski ¸ Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais. ˆ <Mecanica relativ´stica: v ∼ c. ı ´ ´Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 36
  88. 88. Espaco de Minkowski ¸ Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais. ˆ <Mecanica relativ´stica: v ∼ c. ı ´ ´Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.Evento f´sico: caracterizado por x e t. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 36
  89. 89. Espaco de Minkowski ¸ Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais. ˆ <Mecanica relativ´stica: v ∼ c. ı ´ ´Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.Evento f´sico: caracterizado por x e t. ı ´ ´A velocidade das ondas eletromagneticas (luz) e c em todos osreferenciais ⇒ sistema relativ´stico. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 36
  90. 90. Espaco de Minkowski ¸ Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais. ˆ <Mecanica relativ´stica: v ∼ c. ı ´ ´Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.Evento f´sico: caracterizado por x e t. ı ´ ´A velocidade das ondas eletromagneticas (luz) e c em todos osreferenciais ⇒ sistema relativ´stico. ı ´H. Minkowski (1908): formalismo matematico em que o espaco e o ¸ ˜ ¸˜tempo formam um espaco em 4-dimensoes: quadri-vetor posicao: (ct, x). ¸M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 36
  91. 91. Espaco de Minkowski ¸Exemplo de escalares no espaco Euclideano ¸ ´vetor: e independente dos eixos coordenados escolhidos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 36
  92. 92. Espaco de Minkowski ¸Exemplo de escalares no espaco Euclideano ¸ ´vetor: e independente dos eixos coordenados escolhidos. ´escalar: um numero que e o mesmo em qualquer conjunto de eixos ´coordenados.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 36
  93. 93. Espaco de Minkowski ¸Exemplo de escalares no espaco Euclideano ¸ ´vetor: e independente dos eixos coordenados escolhidos. ´escalar: um numero que e o mesmo em qualquer conjunto de eixos ´coordenados.Exemplos:i) modulo de um vetor: |x| ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 36
  94. 94. Espaco de Minkowski ¸Exemplo de escalares no espaco Euclideano ¸ ´vetor: e independente dos eixos coordenados escolhidos. ´escalar: um numero que e o mesmo em qualquer conjunto de eixos ´coordenados.Exemplos:i) modulo de um vetor: |x| ´ii) produto escalar entre dois vetores u e v u · v = |u||v| cos α = ux vx + uy vy = u′ v′ + u′ v′ , x x y y ˆsendo α o angulo entre os vetores u e v.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 36
  95. 95. Espaco de Minkowski ¸ ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 36
  96. 96. Espaco de Minkowski ¸ ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x: 0 1 x′ = γ(x0 − βx1 ) e x′ = γ(−βx0 + x1 ), 0sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e V β= cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 36

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