Integrais de Trajet´oria
Notas de Aula
Maria Teresa Thomaz
1997
1
`A todos aqueles que se sentem capazes
de lutar para realizar seus sonhos.
2
Pref´acio
... o segredo ´e inimigo da ciˆencia e a liberdade
de comunica¸c˜ao e de pesquisa s˜ao vitais para
o seu floresci...
Aula. Como as reclama¸c˜oes sobre a entrega das notas de aula digitadas con-
tinuaram, nada melhor do que colocar quem rec...
Pref´acio da Segunda Vers˜ao
Gostaria de agradecer ao Jos´e Abdalla pelo convite para apresentar este
mini-curso aos aluno...
Contents
1 Proposta de Feynman Para uma Nova Formula¸c˜ao da Mecˆanica
Quˆantica de Uma Part´ıcula 7
1.1 Sistema Quˆantico...
1 Proposta de Feynman Para uma Nova For-
mula¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica de Uma Part´ıcula
• Referˆencias Originais:
P.A....
q(t)|q0(t0) = e
i
¯h
t
t0
Ldt
, (1)
onde L ´e a lagrangeana do sistema, e a trajet´oria escolhida para calcular
a a¸c˜ao ´...
b) Dinˆamica do vetor de estado: Seja |ψ(t) S um vetor que descreve
um estado quˆantico na representa¸c˜ao de Schr¨odinger...
d|ψ H
dt
= 0. (8)
Essa afirmativa deve ser entendida no seguinte sentido: se o sistema est´a
no instante t0 no estado |ψ H,...
´e que os operadores variam de instante para instante, de forma que o
conjunto completo de seus autovetores tamb´em deve v...
Seja F(q , t ; q, t) a amplitude de probabilidade da part´ıcula, estando na
posi¸c˜ao q no instante t, ser encontrada na p...
No limite → 0, a exponencial do operador hamiltoniano pode ser aproxi-
mada por:
e−iH
= e−i(H0+V )
= 1 − i H0 − i V + O( 2...
1l =
∞
−∞
dp|p p|, (27)
o produto escalar do l.d. da eq.(26) passa a ser escrito como:
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =
∞
−∞
dp
∞
−...
t’
1
2
q(0)
ε
q(t)
t
1
2 q’(t’)
t t tt tt N-1N-2 N1 2 3
t’
1
2
ε
t
1
t t tt tt N-1N-2 N1 2 3
p(t)
2
. . . . . .
Figure 1: ...
Voltando `a situa¸c˜ao em que o tempo evolui continuamente, → 0, e
reconhecendo que
dq(t)
dt
= lim →0
q(t + ) − q(t)
, (34...
p ˙q − H = L. (40)
Uma vez que conhecemos a dependˆencia do operador hamiltoniano em
termos do operador momento, sabemos c...
∞
−∞
Dp(t)ei
t
t
[ ˙q(t)p(t)− p2
2m
]dt
=
N
i=0
∞
−∞
dpie
−i(
pi√
2m
−
√
m(qi+1−qi)
√
2
)2
e
im
2
(
qi+1−qi
)2
,
(45)
a in...
|ψ H num instante posterior. Desta forma, desejamos obter o produto escalar:
H ψ, t |φ, t H, para t > t, na forma de uma i...
f´ısico. Por exemplo, no caso da Mecˆanica Quˆantica n˜ao-relativ´ıstica de uma
part´ıcula unidimensional, a dinˆamica da ...
E[f(t)] =
∞
−∞
dt δ(t − t )f(t ), (54)
sendo δ(t − t ) a fun¸c˜ao delta de Dirac.
Consideremos agora a derivada funcional....
nenhuma mudan¸ca no valor da a¸c˜ao S[q(t)], uma vez que ´e uma modifica¸c˜ao
num espa¸co de dimens˜ao nula na vari´avel de...
Ex[f] = dx K(x, x )f(x ). (60)
Ent˜ao,
δEx[f]
δf(y)
= lim
→0
dx K(x, x )[f(x ) + δ(y − x )] − dx K(x, x )f(x )
= lim
→0
dx...
Outras propriedades interessantes das derivadas , e que possuem an´alogo
nas derivadas usuais de fun¸c˜oes, s˜ao:
i) Sejam...
t
1
t
2
t
F(t)
Figure 2: Perfil da for¸ca externa F(t)
no instante t ser encontrado no estado |q , t H no instante t . Ness...
δ[ei
t
t
F(t)q(t)dt
]
δF(t1)
= lim
→0
ei
t
t
[F(t)+ δ(t−t1)]q(t)dt
− ei
t
t
F(t)q(t)dt
= lim
→0
ei
t
t
F(t)q(t)dt
ei q(t1)...
Assim,
Z[F] = Z[F = 0] +
∞
n=1
t
t
dt1 . . . dtn
1
n!
G(n)
(t1, . . . , tn)F(t1) . . . F(tn), (77)
onde
G(n)
(t1, . . . , ...
Vamos escrever o elemento de matriz H q , t |ˆqH(tk)|q, t H na representa¸c˜ao
de Schr¨odinger. Para isso usaremos a rela¸...
Note que para obtermos a express˜ao (86) n˜ao seria suficiente conhecermos
apenas os elementos diagonais da representa¸c˜ao...
2 Rela¸c˜ao entre a Mecˆanica Estat´ıstica e as
Integrais de Caminho
2.1 Fun¸c˜ao de Parti¸c˜ao e o Funcional Gerador das ...
como9
Z(β, Ω) =
|n
n|e−βH
|n = Tr[e−βH
], (94)
onde H ´e o operador hamiltoniano do sistema. Como o tra¸co (Tr) de qualque...
S xf |e−iH(tf −ti)
|xi S. (97)
Comparando os elementos de matriz de (96) e (97) vemos que β faz o
papel de um tempo imagin...
onde LE(x, ˙x; τ) ´e a lagrangeana do sistema no espa¸co euclideano e ˙x ≡ dx
dτ
.
Portanto, a integral funcional da fun¸c...
onde β ≥ τn ≥ τn−1 . . . τ2 ≥ τ1. Essas fun¸c˜oes est˜ao associadas aos coefi-
cientes da s´erie de Taylor de Z[F]. Usando ...
Im(t)
Re(t)
Figure 3: Representa¸c˜ao esquem´atica do plano complexo t = Re(t)+iIm(t),
onde o eixo real positivo correspon...
iremos praticar um abuso de linguagem quando utilizamos a nota¸c˜ao GE para
exprimir a extens˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao de...
(−i)n
G(n)
(zτ1, . . . , zτn) = Dq(τ)eiz
τ
τ
dτL(x, ˙x;zτ)
q(τ1) . . . q(τn). (114)
Lembre-se de que τ serve apenas como ´...
formas definidas no espa¸co e que podem variar com o tempo. Para fixarmos
id´eia, podemos pegar uma folha de papel e solt´a-...
H q , t |q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t)Dp(t)ei
t
t
(p ˙q−H)dt
, (119)
onde H ´e a hamiltoniana total do sistema.
Quando o sist...
sendo que ˙φα(t) = ∂φα
∂t
, e N ´e o n´umero de c´elulas espaciais de volume 3
.
Da Mecˆanica Cl´assica, temos que o momen...
Em Teoria Quˆantica de Campos, estamos interessados em calcular a am-
plitude de probabilidade do sistema estando no estad...
Apesar de dizermos que essas duas maneiras de tratar o problema d˜ao um
significado matem´atico `a integral de caminho, ain...
=
φ(x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)ε3
Dπα(t)ei d4x (πα(x) ˙φα(x)−H)
×
×
1
(i)n
δn
ei d4xJ(x,t)φ(x,t)
δJ(x1, t1) . . . δJ(xn, tn)...
Z[J] = Z[0] + i d4
x1J(x1) Dφ(x)Dπ(x)φ(x1)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H]
+
+
(i)2
2!
d4
x1d4
x2J(x1)J(x2) Dφ(x)Dπ(x)φ(x1)φ(x2)ei d4x...
V (φ) ´e a parte de auto-intera¸c˜ao dos campos reais e ´e uma fun¸c˜ao de φ
limitada inferiormente.
´E importante lembrar...
Portanto, para as densidades de lagrangeana usuais, temos que
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ei d4x L
. (...
Todos estes termos do l.d. da eq.(150) podem ser obtidos a partir da aplica¸c˜ao
de derivadas funcionais ao funcional
Z0[J...
e,
˜J(p) =
1
(2π)2
d4
x eipx
J(x),
J(x) =
1
(2π)2
d4
p e−ipx ˜J(p). (156)
Estamos usando a nota¸c˜ao: px ≡ pµxµ
.
A a¸c˜ao...
Calculando explicitamente, obtemos que
1
2
˜φ (p)[p2
− (m2
− i 2
)]˜φ (−p) −
1
2
˜J(p)
1
p2 − (m2 − i 2)
˜J(−p) =
=
1
2
˜φ...
S =
1
2
d4
p
1
(2π)4
d4
x1d4
x2eipx1
φ (x1)(p2
− (m2
− i 2
)) e−ipx2
φ (x2) −
−
1
2
d4
p
1
(2π)4
d4
x1d4
x2eipx1
J(x1)
1
p...
−
1
2
d4
x1d4
x2J(x1)∆(x1 − x2)J(x2). (170)
De forma que, voltando `a express˜ao (152), temos que
Z0[J] = Dφ (x)e
i
2
d4x ...
−e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= lim →0e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
×
×
e− i
2
d4x1J(x1)∆(y−x1)− i
2
d4x2J(x2)∆...
Usamos a representa¸c˜ao gr´afica abaixo para um v´ertice no ponto espa¸co-
temporal x, de onde saem quatro pernas para rep...
Este ´e o termo de ordem λ0
, e portanto, n˜ao h´a qualquer v´ertice. O se-
gundo termo do l. d. da eq.(174) ´e obtido cal...
onde N1 e N2 s˜ao os fatores de simetria. Os gr´aficos (a) e (b) s˜ao chama-
dos de gr´aficos conexos, e o gr´afico (c) ´e de...
G(2)
(x1, x2)
Z0[0]
=
2X
1n n2
n2XX
1n
2X
X1
X1
...
( XX
(
1 + + + ...)
)++ ...+1 +
+
(178)
e mostra-se que n1 = N1, n2 = ...
+
X1 X2
X4
X3
X1 X2
X4
X3
X1 X2
X4
X3
X1 X2
X4
X3
X
M1
X1 X2
X4
X3
+M2
X1 X2
X4
X3
+ ...3
M
+ ++ +
(180)
onde M1, M2, · · ...
No entanto, ´e poss´ıvel definir o funcional W[J] tal que ele seja a fun¸c˜ao
geratriz das fun¸c˜oes de Green de n pontos q...
o m´ınimo do potencial V (φ) = λ
4!
φ4
+ m2
2
φ2
´e em φ(x) = 0. De forma que:
G(1)
(x1) = G(1)
(x2) = 0.
Usando m´etodo d...
5 Fun¸c˜oes de V´ertice, ou Gr´aficos 1PI (One
Particle Irreducible)
Referˆencias:
• Mark S. Swanson, Path Integrals and Qu...
G(1)
c (x1) =
1
i
1
Z[J]
δZ[J]
δJ(x1)
|J=0 =
1
i
1
Z[0]
δZ[J]
δJ(x1)
|J=0. (196)
Devemos lembrar que
G(1)
(x1) =
1
i
1
Z[0...
, (200)
onde a bolha cheia representa a contribui¸c˜ao dos gr´aficos irredut´ıveis de dois
pontos em todas as ordens em teo...
transformada de Legendre (203) ´e cont´ınua, pois envolve parˆametros cujos
´ındices variam continuamente (J(x)). O gerado...
Z0[J] = eiW0[J]
. (211)
Calculando o logaritmo da express˜ao (211), obtemos:
W0[J] = −ilnZ0[0] −
1
2
d4
x1d4
x2J(x1)∆(x1 −...
(∂2
+ m2
)¯φ(x) = J(x). (215)
Na eq.(215) temos J(x) como um funcional de ¯φ(x), como desejamos.
Para obtermos Γ0[¯φ], tem...
Integrando por partes o segundo termo do l.d. da eq. (219), encontramos
que
−
1
2
d4
x ¯φ(x)(∂2
+ m2
)¯φ(x) = −
1
2
d4
x [...
ou,
δΓ[¯φ]
δ ¯φ(x)
= J(x) = 0. (224)
Como estamos trabalhando com teorias que por hip´otese n˜ao possuem quebra
espontˆane...
e
¯φ(x) =
δW[J]
δJ(x)
, J(x) = −
δΓ[¯φ]
δ ¯φ(x)
. (229)
Assim,
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
=
δ ¯φ(x)
δJ(y)
, (230)
e
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(...
Note que ´e a unidade fundamental, a partir da qual todos os outros
gr´aficos conexos podem ser obtidos. Ent˜ao,
1
[
1 -
1 ...
Derivando funcionalmente a express˜ao anterior com rela¸c˜ao a J(w) encon-
tramos
d4
x
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)δ ¯φ(z)
δ3
W[J]
δJ(...
Ent˜ao, como δ2Γ
δ ¯φ(x1)δ ¯φ(x2)
´e o inverso do propagador, a fun¸c˜ao de v´ertice
Γ(3)
´e a fun¸c˜ao de Green conexa am...
Γ[¯φ] =
∞
n=0
1
n!
d4
x1 . . . d4
xn Γ(n)
(x1, . . . , xn)¯φ(x1) . . . ¯φ(xn). (244)
Como a teoria deve ser invariante sob...
Expandindo ˜Γ(n)
(p1, . . . , pn) em torno da configura¸c˜ao p1 = . . . = p2 = 0,
ou seja,
˜Γ(n)
(p1, . . . , pn) = ˜Γ(n)
(...
Vamos considerar cada integral em separado:
a)
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ×...
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
δ(p1 + . . . + pn)ei(p1x1+...+pnxn)
×
ׯφ(x1) . . .
∂ ¯φ(xi)
∂xi
. ....
6 Apˆendice I: M´etrica
O produto escalar no espa¸co de Minkowski em 4-dimens˜oes espa¸co-temporal
´e definido como:
a · b ...
e
∂
∂xµ
≡ ∂µ
= (
∂
∂t
, − ). (259)
A rela¸c˜ao (257) entre os vetores covariante e contra-variante continua
v´alida para o...
|n
|n n| = 1l. (264)
Qualquer operador quˆantico ˆO, pode ser escrito como:
ˆO = 1l ˆO1l =
n,m
|n n| ˆO|m m|. (265)
Definim...
=
1
Z n,m
n| ˆO|m m|e−βH
|n =
1
Z n
n| ˆOe−βH
|n
=
Tr[ ˆOe−βH
]
Tr[e−βH]
. (269)
Portanto, a m´edia est´ıstica e quˆantica...
Aplicamos o operador ∂2
+ m2
`a fun¸c˜ao ∆(x2 − x1):
(∂2
1 + m2
)∆(x2 − x1) =
1
(2π)2
d4
p
1
(2π)2
(
∂2
∂t2
1
− 2
1 + m2
)...
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Integrais de Trajetória

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A integral de trajetória passou a integrar o conjunto de formalismos possíveis para o estudo de sistemas quânticos a partir do final da década de 40 quando Richard Feynmann propôs a descrição de desses sistemas a partir de uma formulação lagrangeana. As formulações lagrangeanas têm a importante propriedade de serem relativisticamente invariantes. Hoje as integrais de trajetória são amplamente utilizadas em todas as áreas da Física para descrever tanto sistemas relativísticos quanto sistemas não-relativísticos. As integrais de trajetória trazem dentro de si a facilidade de trabalharmos diretamente com funções ao invés de trabalharmos com operadores que nem sempre comutam entre si.

Começamos monografia apresentando a construção da integral de trajetória do sistema quântico mais simples, que é um sistema não-relativístico conservativo com um (1) grau de liberdade. Obtemos as funções de Green do problema e as
amplitudes de probabilidade com que trabalhamos usualmente na Mecânica Quântica.

Duas aplicações para integrais de trajetória se destacam: sistemas em equilíbrio termodinâmico e modelos em Teoria
Quântica de Campos. Mostramos como escrever a função de partição de qualquer modelo em Mecânica Quântica, que
esteja em equilíbrio termodinâmico com um reservatório, como uma integral de trajetória. Estendemos os resultados do
primeiro seminário para um grau de liberdade para o caso em que temos N graus de liberdade. Mostramos como
escrever a transição vácuo-vácuo como uma integral de trajetória para modelos em Teoria Quântica de Campos (N
tende a infinito). Como exemplo consideramos o modelo lambda phi^4..

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Integrais de Trajetória

  1. 1. Integrais de Trajet´oria Notas de Aula Maria Teresa Thomaz 1997 1
  2. 2. `A todos aqueles que se sentem capazes de lutar para realizar seus sonhos. 2
  3. 3. Pref´acio ... o segredo ´e inimigo da ciˆencia e a liberdade de comunica¸c˜ao e de pesquisa s˜ao vitais para o seu florescimento. H. Moys´es Nussenzveig Curso de F´ısica B´asica; 1-Mecˆanica Estas Notas de Aula sobre Integrais de Trajet´oria, foram apresentadas, num curso informal, a v´arios alunos do Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da UFF no primeiro semestre de 1995. Este conjunto de aulas surgiu da minha incapacidade de continuar resistindo as reclama¸c˜oes da Iraziet (Iraziet da Cunha Charret) de que apesar de eu ter as notas prontas sobre o t´opico, me negar a apresent´a-las na forma de um mini-curso. ´E claro, que reclama¸c˜ao n˜ao tem estado fundamental, e logo em seguida surgiram as reclama¸c˜oes, n˜ao s´o da Iraziet, de que as notas que estavam escritas a l´apis eram dif´ıceis de serem xerocadas, dada a minha letra,ser pequena e n˜ao ter margem nas folhas escritas. A´ı surgiu o Toninho (Antˆonio Tavares da Costa Jr.), que com um pouco de press˜ao come¸cou a digitar essas notas. Ele n˜ao ´e respons´avel por nenhuma incorre¸c˜ao de conte´udo no texto, mas com a sua paciˆencia, modificou parte do texto manuscrito de forma a que tiv´essemos no final um texto menos informal. Sem a participa¸c˜ao do Toninho, essas notas jamais teriam as figuras que fazem parte do seu corpo!!! O tempo foi passando, o mini-curso terminou, as notas n˜ao ficaram prontas. O Toninho foi criando imunidade as minhas press˜oes, n˜ao completava as corre¸c˜oes necess´arias na digita¸c˜ao e no conte´udo das Notas de Aula. Foi a´ı que o Antonio (Antonio Cesar Aguiar Pinto) e Onofre (Onofre Rojas dos Santos) fizeram a loucura de suas vidas: trabalhar no Mestrado comigo. Ora, nada melhor para um futuro campista do que come¸car a estudar Integrais de Trajet´oria! Os dois ent˜ao fizeram revis˜ao de pelo menos metade das Notas de 3
  4. 4. Aula. Como as reclama¸c˜oes sobre a entrega das notas de aula digitadas con- tinuaram, nada melhor do que colocar quem reclama para trabalhar. Desta forma, a Iraziet fez a revis˜ao da parte das notas que ainda faltava. Essas Notas sobre Integrais de Trajet´otria tˆem por objetivo mostrar os c´alculos simples, mas trabalhosos para definir as integrais de trajet´oria. As integrais de trajet´oria s˜ao hoje ferramentas b´asicas nas diversas ´areas da F´ısica. N˜ao procure nesta nota, nada sofisticado, mas o passo a passo que precisamos fazer para definir e tratar essas integrais. Essas notas foram escritas, pois apesar de termos hoje in´umeros textos excelentes sobre este t´opico, ao estud´a-los, eu sempre senti falta de um texto que desse o detalhe dos c´alculos. Certamente, as Notas de Aula sobre Integrais de Trajet´oria ainda tˆem muitas corre¸c˜oes a serem feitas. Se vocˆe que as ler tiver algumas corre¸c˜oes a sugerir, lhe serei muito grata, j´a que esta ´e a primeira vers˜ao das notas. No futuro pr´oximo quando novamente eu tiver a oportunidade de rea- presentar este mini-curso, espero fazer novas modifica¸c˜oes inclusive de conte´u- do. Por ´ultimo, gostaria de agradecer a todos que insistiram que eu apresen- tasse o mini-curso, pois s´o assim essas notas foram resgatadas do seu futuro de amarelo-arquivo. N˜ao h´a como deixar de agradecer muito a todo o esfor¸co do Toninho na digita¸c˜ao dessas notas, e a ajuda inestim´avel ao Antonio, Iraziet e Onofre que fizeram a segunda revis˜ao de todo o texto. Niter´oi, 26 de mar¸co de 1996. Maria Teresa Climaco dos Santos Thomaz Instituto de F´ısica, UFF 4
  5. 5. Pref´acio da Segunda Vers˜ao Gostaria de agradecer ao Jos´e Abdalla pelo convite para apresentar este mini-curso aos alunos da Coordena¸c˜ao de Forma¸c˜ao Cient´ıfica do Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas /CNPq. Desta forma tive a oportunidade de rever as minhas notas, no que modifiquei 40% do conte´udo original. En- tretanto, continua o seguinte mist´erio: temos um n´umero finito de palavras e f´ormulas, mas infinitos erros!!! Por favor, me avise dos erros que vocˆe encontrar nessas notas. Niter´oi, 2 de julho de 1997. Maria Teresa Climaco dos Santos Thomaz Instituto de F´ısica, UFF 5
  6. 6. Contents 1 Proposta de Feynman Para uma Nova Formula¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica de Uma Part´ıcula 7 1.1 Sistema Quˆantico de Uma Part´ıcula: Representa¸c˜ao de Schr¨odinger e Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 No¸c˜oes de Derivadas Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Fun¸c˜oes de Green de Uma Part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Rela¸c˜ao entre a Mecˆanica Estat´ıstica e as Integrais de Cam- inho 30 2.1 Fun¸c˜ao de Parti¸c˜ao e o Funcional Gerador das Fun¸c˜oes de Green T´ermicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Rela¸c˜ao entre as Fun¸c˜oes de Green T´ermicas e as Fun¸c˜oes de Green do Espa¸co Euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Integral de Caminho na Teoria de Campos 37 4 Fun¸c˜oes de Green Conexas e Desconexas 42 4.1 Modelo λφ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Fun¸c˜oes de V´ertice, ou Gr´aficos 1PI (One Particle Irreducible) 60 6 Apˆendice I: M´etrica 76 7 Apˆendice II: Prolegomena de Mecˆanica Est´ıstica 77 8 Apˆendice III: Fun¸c˜ao de Green da Teoria Livre 79 6
  7. 7. 1 Proposta de Feynman Para uma Nova For- mula¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica de Uma Part´ıcula • Referˆencias Originais: P.A.M. Dirac, Physik Z. Sowjetunion 3, 64 (1933). R.P. Feynman , Rev. Mod. Phys. 20, 267 (1948); Phys. Rev. 80. 440 (1950) • Outras Referˆencias: E.S. Abers, B.W. Lee, Phys. Rep. 9C, 1 (1973). H.M. Nussenzveig,Integrais de Trajet´oria, Escola de Ver˜ao Jorge Andr´e Swieca, Part´ıculas e Campos, 1981 (p´ag. 127). Obs.: Os artigos originais est˜ao contidos no livro Selected Papers on Quantum Electrodynamics, editado por J. Schwinger. 1.1 Sistema Quˆantico de Uma Part´ıcula: Representa- ¸c˜ao de Schr¨odinger e Heisenberg A descri¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica (MQ) `a la Schr¨odinger e Heisenberg ´e feita atrav´es da hamiltoniana do sistema. Entretanto, em 1933, Dirac apresenta uma formula¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica usando a lagrangeana do sistema. Dirac afirma que, classicamente, as formula¸c˜oes lagrangeana e hamiltoniana s˜ao equivalentes, e que, portanto, essa equivalˆencia deve aparecer na M.Q. Al´em disso, a formula¸c˜ao lagrangeana ´e covariante, uma vez que a a¸c˜ao ´e um escalar de Lorentz, enquanto a formula¸c˜ao hamiltoniana n˜ao o ´e. A formula¸c˜ao lagrangeana poderia ser mais facilmente utilizada para se tratar sistemas quˆanticos relativ´ısticos. Basicamente, a proposta de Dirac ´e que, no limite em que ¯h → 0 a am- plitude de probabilidade de uma part´ıcula que se encontra no estado |q0(t0) no instante t0 ser encontrada no estado |q(t) no instante t ´e dada por 7
  8. 8. q(t)|q0(t0) = e i ¯h t t0 Ldt , (1) onde L ´e a lagrangeana do sistema, e a trajet´oria escolhida para calcular a a¸c˜ao ´e a trajet´oria CL´ASSICA que tenha como condi¸c˜ao de contorno as posi¸c˜oes q(t0) e q(t) como estados inicial e final respectivamente. Na formula¸c˜ao de Feynman, como iremos ver, para um intervalo de tempo finito, temos que considerar todos os poss´ıveis caminhos que levam da posi¸c˜ao q(t0) em t = t0 at´e a posi¸c˜ao q(t), no instante t. A contribui¸c˜ao de cada caminho para o processo quˆantico ´e dada por e i ¯h t t0 Ldt , (2) onde a a¸c˜ao ´e calculada tomando-se aquela dada trajet´oria. Na formula¸c˜ao de Schr¨odinger e Heisenberg para a MQ, trabalhamos com operadores que agem sobre vetores de estado, enquanto que na for- mula¸c˜ao de Feynman trabalharemos apenas com fun¸c˜oes. As trˆes formula¸c˜oes (Schr¨odinger, Heisenberg e Feynman) da M.Q. s˜ao equivalentes. Na MQ de operadores existem duas representa¸c˜oes que s˜ao as mais usa- das: a representa¸c˜ao de Schr¨odinger e a representa¸c˜ao de Heisenberg. Vamos fazer uma pequena revis˜ao do que s˜ao essas duas representa¸c˜oes1 . i) Representa¸c˜ao de Schr¨odinger: a) Dinˆamica dos operadores: Seja OS um operador na representa¸c˜ao de Schr¨odinger. Na representa¸c˜ao de Schr¨odinger o operador n˜ao varia no tempo: dOS dt = 0. (3) 1 Estaremos, de agora em diante, usando as unidades naturais, nas quais ¯h = c = 1. 8
  9. 9. b) Dinˆamica do vetor de estado: Seja |ψ(t) S um vetor que descreve um estado quˆantico na representa¸c˜ao de Schr¨odinger. A dinˆamica dos vetores de estado nesta representa¸c˜ao ´e dada por: i d|ψ(t) S dt = H|ψ(t) S, (4) onde H ´e a hamiltoniana total do sistema. Por hip´otese, faremos a descri¸c˜ao quˆantica de sistemas fechados, de maneira que H ´e uma cons- tante do movimento. Usando a equa¸c˜ao de Schr¨odinger (4) e o fato de que H ´e constante no tempo, podemos escrever formalmente que, |ψ(t) S = e−iH(t−t0) |ψ(t0) S. (5) O ´ındice S est´a presente para lembrar que as quantidades est˜ao sendo descritas na representa¸c˜ao de Schr¨odinger. ii) Representa¸c˜ao de Heisenberg: a) Dinˆamica dos operadores: Seja OH um operador na representa¸c˜ao de Heisenberg. A dinˆamica dos operadores, que n˜ao dependem explici- tamente do tempo, nesta representa¸c˜ao ´e dada por: dOH dt = i[H, OH], (6) onde H ´e a hamiltoniana do sistema. Formalmente, esta equa¸c˜ao tem como solu¸c˜ao: OH(t) = eiHt OH(0)e−iHt . (7) b) Dinˆamica do vetor de estado: Seja |ψ H um vetor de estado na representa¸c˜ao de Heisenberg. Nesta representa¸c˜ao os vetores de estado n˜ao variam com o tempo: 9
  10. 10. d|ψ H dt = 0. (8) Essa afirmativa deve ser entendida no seguinte sentido: se o sistema est´a no instante t0 no estado |ψ H, no instante t ele estar´a no mesmo vetor de estado |ψ H. No entanto, o fato do vetor de estado que descreve o sistema n˜ao evoluir com o tempo n˜ao impede que t apare¸ca como um ´ındice. Vejamos: seja OH(t) um operador na representa¸c˜ao de Heisenberg, que no instante inicial t0 tenha como autovetores |o, t0 , ou seja, OH(t0)|o, t0 = o|o, t0 . (9) Supondo que a dinˆamica do operador OH seja unit´aria2 , isto ´e, seja dada pela eq.(7), aplicamos o operador eiH(t−t0) no l.d. dos dois termos da eq.(9) e obtemos que: eiH(t−t0) O(t0)e−iH(t−t0) eiH(t−t0) |o, t0 = oeiH(t−t0) |o, t0 . (10) Comparando a equa¸c˜ao anterior com a eq.(7), escrevemos que OH(t)|o, t = o|o, t , (11) sendo que |o, t ´e definido como: |o, t = eiH(t−t0) |o, t0 . (12) Da eq.(11) vemos que |o, t ´e autovetor do operador OH(t) com auto- valor o. Os autovalores s˜ao independentes do tempo. O que ocorre 2 Transforma¸c˜ao unit´aria: se U ´e um operador unit´ario, ent˜ao UU† = U† U = 1l ⇔ U† = U−1 , sendo 1l, o operador identidade. 10
  11. 11. ´e que os operadores variam de instante para instante, de forma que o conjunto completo de seus autovetores tamb´em deve variar de instante a instante. Se num instante t0 |o, t0 ´e autovetor de OH(t0) com au- tovalor o, no instante t, |o, t0 n˜ao ´e mais um autovetor de OH(t), e sua decomposi¸c˜ao espectral na base dos autoestados do operador neste instante ´e |o, t0 = o at|o, t . (13) As representa¸c˜oes de Schr¨odinger e Heisenberg est˜ao ligadas atrav´es de uma tranforma¸c˜ao unit´aria, |ψ(t) S = e−iHt |ψ, t H, (14) e QS = e−iHt QH(t)eiHt . (15) No nosso caso, a matriz de transforma¸c˜ao unit´aria ´e: U(t, 0) = e−iHt . (16) A hamiltoniana total do sistema, H, ´e a mesma nas duas representa¸c˜oes. O objeto que nos d´a informa¸c˜oes f´ısicas sobre o sistema s˜ao as probabi- lidades. Entretanto, a MQ nos d´a a evolu¸c˜ao dinˆamica das amplitudes de probabilidade. Vamos ent˜ao obter as amplitudes de probabilidade nas duas representa¸c˜oes.Apenas para simplificar a nota¸c˜ao, vamos tratar do problema quˆantico de uma part´ıcula em uma dimens˜ao espacial e uma dimens˜ao tem- poral. 11
  12. 12. Seja F(q , t ; q, t) a amplitude de probabilidade da part´ıcula, estando na posi¸c˜ao q no instante t, ser encontrada na posi¸c˜ao q no instante t . Temos ent˜ao H q , t |q, t H = F(q , t ; q, t), (17) que, escrita na representa¸c˜ao de Schr¨odinger, fica3 F(q , t ; q, t) =H q , t |q, t H = q (t )|e−iH(t −t) |q(t) . (18) Vamos agora manipular a amplitude de probabilidade F(q , t ; q, t) = H q , t |q, t H. Usando o fato de que, em cada instante ti, o conjunto de autovetores |qi, ti H do operador posi¸c˜ao ´e completo, ∞ −∞ dqi|qi, ti HH qi, ti| = 1l, (19) e, subdividindo o intervalo t − t em sub-intervalos infinitesimais , ou seja, tn = n + t, n = 0, 1, 2, . . . , N + 1, (20) onde t0 = t e tN+1 = t = (N + 1) + t, temos F(q , t ; q, t) = ∞ −∞ dq1 . . . ∞ −∞ dqN H q , t |qN , tN HH qN , tN |qN−1, tN−1 H × ×H qN−1, tN−1|qN−2, tN−2 H . . .H q1, t1|q, t H. (21) Entretanto4 , H qi, ti|qi−1, ti−1 H =S qi(ti)|e−iH |qi−1(ti−1) S, (22) 3 Note que H q , t |q, t H =S q (t )|q(t) S, pois o produto escalar ´e o mesmo em todas as representa¸c˜oes obtidas umas das outras atrav´es de uma representa¸c˜ao unit´aria apenas se os vetores de estado est˜ao definidos no mesmo instante. 4 Por constru¸c˜ao, o vetor de estado: |qi, ti H ´e autoestado do operador ˆqH(ti). A rela¸c˜ao entre autoestados deste operador nas representa¸c˜oes de Schr¨odinger e Heisenberg ´e definida pela eq.(14): 12
  13. 13. No limite → 0, a exponencial do operador hamiltoniano pode ser aproxi- mada por: e−iH = e−i(H0+V ) = 1 − i H0 − i V + O( 2 ) = e−iH0 e−iV (q) + O( 2 ), (23) onde H0 = p2 2m . Assim, mantendo termos de at´e primeira ordem em , temos que e−iH ≈ e−iH0 e−iV (q) . (24) Levando estes resultados na equa¸c˜ao (22) ficamos com H qi, ti|qi−1, ti−1 H =S qi(ti)|e−iH0 e−iV (q) |qi−1(ti−1) S. (25) Nos casos em que o potencial s´o envolver o operador de posi¸c˜ao, temos que H qi, ti|qi−1, ti−1 H =S qi(ti)|e−iH0 |qi−1(ti−1) Se−iV (qi−1) , (26) onde, agora, V (qi−1) ´e uma fun¸c˜ao da coordenada qi−1(ti−1). Como estamos tratando sistema quˆantico n˜ao-relativ´ıstico em que H0 s´o envolve o operador momentum, vamos mudar de base para calcular o produto escalar do l.d. da eq.(26). Usando a completeza dos autovetores do operador momento, |qi(ti) S = e−iHti |qi, ti H. Lembrando que |qi(ti) S ´e o autovetor do operador ˆqS no instante t, ou seja, ˆqS|qi(ti) S = qi|qi(ti) S. 13
  14. 14. 1l = ∞ −∞ dp|p p|, (27) o produto escalar do l.d. da eq.(26) passa a ser escrito como: H qi, ti|qi−1, ti−1 H = ∞ −∞ dp ∞ −∞ dp S qi(ti)|p S × ×S p|e−iH0 |p S S p |qi−1(ti−1) S e−iV (qi−1) . (28) Entretanto, sabemos que S qi(ti)|p S = eiqip √ 2π , (29) S p|e−iH0 |p S = e−i p2 2m δ(p − p ). (30) Usando estes resultados em (28) obtemos H qi, ti|qi−1, ti−1 H = 1 2π ∞ −∞ dp ∞ −∞ dp eiqip e−iqi−1p e−i p2 2m e−iV (qi−1) δ(p − p ) = 1 2π ∞ −∞ dp e−i p2 2m e−iV (qi−1) ei(qi−qi−1)p , (31) ou seja5 , H qi, ti|qi−1, ti−1 H = 1 2π ∞ −∞ dpei (qi−qi−1)p e−iH . (32) Notemos que para cada produto escalar do l.d. da eq.(18) introduzimos uma integral sobre a vari´avel momento. Voltando `a express˜ao da amplitude de probabilidade temos que 5 Note que podemos somar os argumentos das exponenciais, j´a que agora s´o temos exponenciais de fun¸c˜oes. 14
  15. 15. t’ 1 2 q(0) ε q(t) t 1 2 q’(t’) t t tt tt N-1N-2 N1 2 3 t’ 1 2 ε t 1 t t tt tt N-1N-2 N1 2 3 p(t) 2 . . . . . . Figure 1: A) Trajet´orias da part´ıcula entre os pontos q, t e q , t ; B) Tra- jet´orias no espa¸co dos momentos, que n˜ao possuem condi¸c˜oes inicial e final. F(q , t ; q, t) = ∞ −∞ dq1 . . . dqN H q , t |qN , tN HH qN , tN |qN−1, tN−1 H . . . × ×H q2, t2|q1, t1 HH q1, t1|q, t H = 1 (2π)N+1 ∞ −∞ dq1 . . . dqN ∞ −∞ dp0 . . . dpN e−i p2 N 2m −i V (qN )+i (q −qN ) pN × × . . . × e−i p2 1 2m −i V (q1)+i (q2−q1) p1 e−i p2 0 2m −i V (q0)+i (q1−q0) p0 , (33) onde q0 = q. Na eq.(33) integramos no intervalo (−∞, ∞) sobre as N + 1 vari´aveis de momento. O que estamos fazendo com essas integra¸c˜oes m´ultiplas ´e: dentre as poss´ıveis trajet´orias no espa¸co dos q s e p s, est˜ao inclu´ıdas todas as tra- jet´orias “quebradas”. No limite em que N → ∞ ( → 0) as vari´aveis de posi¸c˜ao deixam de ser indexadas pelo ´ındice discreto i, passando a serem fun¸c˜ao do parˆametro cont´ınuo t. Na integral de q(t) todas as trajet´orias partem da posi¸c˜ao q(t) e todas tˆem que alcan¸car a posi¸c˜ao q (t ). A integral sobre p(t) j´a n˜ao possui restri¸c˜oes(veja figura 1). 15
  16. 16. Voltando `a situa¸c˜ao em que o tempo evolui continuamente, → 0, e reconhecendo que dq(t) dt = lim →0 q(t + ) − q(t) , (34) temos que, ap´os tomarmos o limite do cont´ınuo, a amplitude de probabilidade fica sendo H q , t |q, t H = 1 (2π)N+1 q (t ) q(t) Dq(t) ∞ −∞ Dp(t)e−i t t Hdt+i t t ˙q(t)p(t)dt . (35) Estamos definindo Dq(t) e Dp(t) como sendo: Dq(t) = N i=1 dqi(ti) (36) e Dp(t) = N i=0 dpi(ti) (37) Portanto, no caso geral, a amplitude de probabilidade ´e dada por H q , t |q, t H = 1 (2π)N+1 q (t ) q(t) Dq(t) ∞ −∞ Dp(t)ei t t ( ˙q(t)p(t)−H)dt . (38) Apesar de q(t) e p(t) serem autovalores de operadores canonicamente conjugados, ´e importante ressaltar que q(t) e p(t) s˜ao duas vari´aveis inde- pendentes, e, por causa disso, ´e falso afirmar que: p = ∂L ∂ ˙q , (39) sendo L a fun¸c˜ao lagrangeana do sistema. De forma que n˜ao podemos escrever diretamente a transforma¸c˜ao de Legendre 16
  17. 17. p ˙q − H = L. (40) Uma vez que conhecemos a dependˆencia do operador hamiltoniano em termos do operador momento, sabemos como a fun¸c˜ao H depende da vari´avel p e realizar a integral funcional em Dp(t) para encontrar a lagrangeana efetiva que aparece na eq.(38). Vamos considerar a situa¸c˜ao usual da M.Q. n˜ao-relativ´ıstica em que H(q, p) = p2 2m + V (q). (41) Neste caso, a integral de caminho do modelo quˆantico fica H q , t |q, t H = 1 (2π)N+1 q (t ) q(t) Dq(t) ∞ −∞ Dp(t)ei t t [ ˙q(t)p(t)− p2 2m −V (q)]dt . (42) Vamos realizar a integral funcional em p(t) na eq.(38), ∞ −∞ N i=0 dpi(ti)ei N i=1 [pi qi+1−qi − p2 i 2m ] = N i=0 ∞ −∞ dpiei[pi qi+1−qi − p2 i 2m ] , (43) onde (N + 1) + t = t , usando o truque tradicional de completar quadrados. Para escrevermos cada integral sobre as vari´aveis pi como uma gaussiana, completamos o seguinte quadrado: p2 i 2m − pi (qi+1 − qi) = ( pi √ 2m − √ m(qi+1 − qi) √ 2 )2 − m 2 (qi+1 − qi)2 2 . (44) A integral gaussiana em pi tem como resultado π2m i . Portanto, como 17
  18. 18. ∞ −∞ Dp(t)ei t t [ ˙q(t)p(t)− p2 2m ]dt = N i=0 ∞ −∞ dpie −i( pi√ 2m − √ m(qi+1−qi) √ 2 )2 e im 2 ( qi+1−qi )2 , (45) a integral funcional sobre a vari´avel p(t) ´e igual a: Dp(t)ei t t [p(t) ˙q(t)− p2(t) 2m ]dt = ( π2m i ) N+1 2 N i=0 e im 2 (qi+1−qi)2 2 = ( −iπ2m ) (N+1) 2 ei t t m ˙q2(t) 2 dt . (46) Pelo resultado (46) sentimos as dificuldades no c´alculo de integrais de caminho, uma vez que, no limite do cont´ınuo, a constante multiplicativa ´e divergente!!! Voltando `a amplitude de probabilidade de transi¸c˜ao, eq.(38), temos que H q , t |q, t H = lim →0( m 2πi ) N+1 2 q (t ) q(t) Dq(t)ei t t (m ˙q2 2 −V (q))dt . (47) Como a express˜ao da lagrangeana cl´assica ´e L = m ˙q2 2 − V (q), ent˜ao H q , t |q, t H = lim →0( m 2πi ) N+1 2 q (t ) q(t) Dq(t)ei t t Ldt . (48) Na situa¸c˜ao em que a dependˆencia da hamiltoniana em p seja apenas quadr´atica, podemos escrever diretamente a igualdade acima. Nesse caso, a a¸c˜ao de cada trajet´oria d´a o peso estat´ıstico da mesma para o fenˆomeno quˆantico. Em geral, os sistemas quˆanticos se encontram em estados |φ H, que n˜ao s˜ao auto-estados do operador posi¸c˜ao. Al´em disso, desejamos determinar a amplitude de probabilidade do sistema ser encontrado no estado quˆantico 18
  19. 19. |ψ H num instante posterior. Desta forma, desejamos obter o produto escalar: H ψ, t |φ, t H, para t > t, na forma de uma integral de trajet´oria. Usando a completeza da base dos autovetores do operador posi¸c˜ao nos instantes t e t (eq.19), ou seja, ∞ −∞ dq |q , t H H q , t | = 1l e ∞ −∞ dq|q, t H H q, t| = 1l, (49) o produto escalar H ψ, t |φ, t H passa a ser escrito como: H ψ, t |φ, t H = ∞ −∞ dq dq H ψ, t |q , t HH q , t |q, t HH q, t|φ, t H = lim →0( m 2πi ) N+1 2 ∞ −∞ dq dq ψ∗ (q , t )φ(q, t) q (t ) q(t) Dq(t)ei t t Ldt . (50) 1.2 No¸c˜oes de Derivadas Funcionais Referˆencias: • C. Nash, Relativistic Quantum Fields, cap. 1. • H. M. Nussenzweig,Integrais de Trajet´oria. Escola de Ver˜ao Jorge Andr´e Swieca, Part´ıculas e Campos, 1981, p´ag. 127. • Mark S. Swanson, Path Integrals and Quantum Processes. Para a MQ n˜ao -relativ´ıstica, ´e suficiente o conhecimento das amplitudes de probabilidade dadas pelas integrais de caminho. No entanto, em Teoria Quˆantica de Campos, as chamadas fun¸c˜oes de Green s˜ao as quantidades que conseguimos calcular atrav´es de m´etodos perturbativos e n˜ao-perturbativos. Para falarmos em fun¸c˜oes de Green, precisamos mencionar a parte de integrais e derivadas funcionais. Continuaremos a tratar o problema quˆantico de uma part´ıcula, apenas para exemplificar. Estamos acostumados a tratar com fun¸c˜oes que s˜ao solu¸c˜oes das equa¸c˜oes que d˜ao a dinˆamica das vari´aveis usadas para descrever um dado sistema 19
  20. 20. f´ısico. Por exemplo, no caso da Mecˆanica Quˆantica n˜ao-relativ´ıstica de uma part´ıcula unidimensional, a dinˆamica da fun¸c˜ao de onda (F.O.) ´e dada pela equa¸c˜ao de Schr¨odinger: − 1 2m ∂2 ψ(x, t) ∂x2 + V (x)ψ(x, t) = i ∂ψ(x, t) ∂t . (51) Note que para cada valor do par de parˆametros (x, t) associamos um n´umero ψ(x, t) que denominamos de fun¸c˜ao no ponto x no instante t. O mesmo ocorre quando descrevemos a dinˆamica cl´assica de uma part´ıcula, assim como v´arios outros fenˆomenos f´ısicos. No entanto, ao observar as eqs. (47) e (48), vemos que temos novo objeto matem´atico na exponencial do integrando dessas equa¸c˜oes, ou seja, S[q, ˙q; t, t ] = t t dt [ m 2 ˙q(t)2 − V (q(t))], (52) que ´e a a¸c˜ao associada a trajet´oria q(t), que tem pontos extremos fixados pelo problema quˆantico. Para cada trajet´oria (fun¸c˜ao) q(t) associamos um n´umero. Ao contr´ario do primeiro exemplo desta se¸c˜ao, n˜ao ´e suficiente conhecer o valor do parˆametro (tempo) num ´unico ponto. ´E necess´ario con- hecer os valores que a fun¸c˜ao assume num intervalo de valores do parˆametro. Dizemos que S ´e um funcional da trajet´oria (fun¸c˜ao) q(t). No caso de fun¸c˜oes f(t), ao variarmos o valor do parˆametro t, em geral, mudamos o valor da fun¸c˜ao f. No caso de funcionais E[f], ao se mudar a fun¸c˜ao f(t), em geral modificamos o valor do funcional E. Seja E[f(x)] um funcional de f(x), um exemplo de funcional ´e E[f(t)] = f(t), (53) que ´e um funcional muito particular. No entanto, o resultado final da ex- press˜ao (53) depende da escolha que fazermos da fun¸c˜ao f(x), da´ı dizer que esta express˜ao ´e um funcional. De qualquer maneira, a igualdade (53) sempre pode ser escrita como, 20
  21. 21. E[f(t)] = ∞ −∞ dt δ(t − t )f(t ), (54) sendo δ(t − t ) a fun¸c˜ao delta de Dirac. Consideremos agora a derivada funcional. A sua defini¸c˜ao operacional n˜ao ´e ´unica, por´em vamos usar a defini¸c˜ao do Nash, que ´e a mesma do Moys´es: δE[f(x)] δf(y) = lim →0 E[f(x) + δ(y − x)] − E[f(x)] . (55) Para entendermos a necessidade da presen¸ca da fun¸c˜ao delta de Dirac, δ(y − x), na defini¸c˜ao da derivada funcional, fa¸camos analogia com a derivada de fun¸c˜oes. Seja f(x) uma fun¸c˜ao do parˆametro x. A derivada dessa fun¸c˜ao em rela¸c˜ao a x ´e: df(x) dx = lim →0 f(x + ) − f(x) . (56) Ao variarmos o valor do parˆametro para um valor definido x atrav´es de um incremento , em geral, o valor da fun¸c˜ao f no ponto x + difere do valor desta fun¸c˜ao no ponto x. Se a fun¸c˜ao f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em torno na vizinhan¸ca do ponto x, ent˜ao a sua varia¸c˜ao devido a varia¸c˜ao no valor do parˆametro tamb´em tende a zero quando → 0. A derivada da fun¸c˜ao f(x) no ponto x corresponde a calcular o limite da raz˜ao entre duas quantidades que v˜ao simultaneamente a zero quando → 0. Neste tipo de derivada variamos apenas o valor de um ´unico valor do parˆametro. No caso de funcionais desejamos calcular como eles variam quando seu argumento (fun¸c˜ao) varia para um ´unico valor do argumento (parˆametro). Ou seja, a deforma¸c˜ao da fun¸c˜ao corresponde a mudar o seu valor num ´unico ponto do seu argumento. Em geral, os funcionais envolvem integra¸c˜ao so- bre fun¸c˜oes, como por exemplo ´e o caso da a¸c˜ao cl´assica associada a uma trajet´oria q(t) (veja eq.(52)). Neste caso o parˆametro ´e o tempo t. Se vari- amos a trajet´oria q(t) para um ´unico valor de t, esta varia¸c˜ao n˜ao leva a 21
  22. 22. nenhuma mudan¸ca no valor da a¸c˜ao S[q(t)], uma vez que ´e uma modifica¸c˜ao num espa¸co de dimens˜ao nula na vari´avel de integra¸c˜ao: q (t) = q(t), t ∈ (−∞, ¯t − ) ∪ (¯t + , ∞) q(¯t) + ∆q(¯t), t ∈ (¯t − , ¯t + ) (57) onde estamos considerando o limite em que → 0. A modifica¸c˜ao da fun¸c˜ao q(t) definida pela rela¸c˜ao (57) implica na seguinte varia¸c˜ao no valor da a¸c˜ao cl´assica da part´ıcula: ∆S[q(t)] = ¯t+ ¯t− dt 1 2 m ˙q(t)2 − V (q(t)) lim →0 × 1 2 m∆ ˙q(¯t)2 − (V (q (¯t)) − V (q(¯t)) = 0, (58) uma vez que multiplica uma quantidade finita. Para variarmos a fun¸c˜ao q(t) para um ´unico valor do parˆametro t e ela ainda dar uma varia¸c˜ao no funcional, ou seja, a modifica¸c˜ao do funcional ocorre devido a uma varia¸c˜ao num espa¸co de dimens˜ao nula na vari´avel de integra¸c˜ao, ent˜ao a varia¸c˜ao da fun¸c˜ao neste ´unico ponto tem que ser singular. A fun¸c˜ao que tem essa caracter´ıstica ´e a fun¸c˜ao delta de Dirac, que ´e usada na defini¸c˜ao da derivada de funcionais (eq.(55)). Para exemplificar a aplica¸c˜ao de derivadas funcionais, consideremos o fun- cional E[f(x)] = f(x). Ent˜ao: δE[f(x)] δf(y) = lim →0 f(x) + δ(y − x) − f(x) = δ(y − x) ⇒ δE[f(x)] δf(y) = δ(x − y). (59) Como um segundo exemplo, consideremos: 22
  23. 23. Ex[f] = dx K(x, x )f(x ). (60) Ent˜ao, δEx[f] δf(y) = lim →0 dx K(x, x )[f(x ) + δ(y − x )] − dx K(x, x )f(x ) = lim →0 dx K(x, x )δ(y − x ) = K(x, y). (61) Assim, δEx[f] δf(y) = K(x, y). (62) Da mesma forma que vocˆe pode escrever s´eries de potˆencias para fun¸c˜oes comuns em termos de suas vari´aveis, F(x) = ∞ n=0 anxn , (63) existe a s´erie de Taylor funcional que corresponde a expans˜ao do funcional em termos da sua fun¸c˜ao argumento. Seja P[f] um funcional de f(x), ent˜ao P[f] pode ser escrito como: Px[f] = K0(x) + K1(x; x1)f(x1)dx1 + + K2(x; x1, x2)f(x1)f(x2)dx1dx2 + . . . , (64) Se Kn(x; x1, x2, . . . , xn) ´e uma fun¸c˜ao sim´etrica nas vari´aveis x1, x2, . . ., xn, ent˜ao temos que Kn(x; x1, x2, . . . , xn) = 1 n! δn P[f] δf(x1) . . . δf(xn) |f(x)≡0. (65) 23
  24. 24. Outras propriedades interessantes das derivadas , e que possuem an´alogo nas derivadas usuais de fun¸c˜oes, s˜ao: i) Sejam F e G funcionais da fun¸c˜ao g(x), ent˜ao, δ(F[g]G[g]) δg(x) = δF[g] δg(x) · G[g] + F[g] · δG[g] δg(x) . (66) ii) Regra da cadeia para derivadas funcionais: F[g(f)] δf(y) = dx δF[g] δg(x) · δg(x) δf(y) . (67) ii) Se F[g] ≡ F[g1, · · · , gn], sendo gi, i = 1, 2, · · · , n, fun¸c˜oes do parˆametro x, ent˜ao, δF[g1, · · · , gn] = dx δF[g] δgj(x) · δgj(x), (68) onde estamos usando a conven¸c˜ao de soma impl´ıcita para os´ındices repetidos j. 1.3 Fun¸c˜oes de Green de Uma Part´ıcula Estamos considerando uma part´ıcula quˆantica unidimensional n˜ao-relativ´ıstica. A integral de caminho neste caso ´e6 H q , t |q, t H = q (t ) q(t) Dq(t)ei t t Ldt , (69) onde L = T − V (q). Considerando que o nosso sistema est´a sob a a¸c˜ao de uma for¸ca externa F(t), durante um certo intervalo de tempo t2 ≤ t ≤ t1 (ver figura 2), quere- mos saber a amplitude de probabilidade do sistema estando no estado |q, t H 6 Dentro da defini¸c˜ao de Dq(t) j´a est´a contida a constante multiplicativa. 24
  25. 25. t 1 t 2 t F(t) Figure 2: Perfil da for¸ca externa F(t) no instante t ser encontrado no estado |q , t H no instante t . Nesse caso, ficamos com7 , H q , t |q, t F H = q (t ) q(t) Dq(t) ei t t dtL+i t t F(t)q(t)dt ≡ Z[F]. (70) A amplitude de probabilidade passa a ser um funcional da for¸ca externa aplicada F(t). Calculando a derivada funcional de ei t t F(t)q(t)dt em rela¸c˜ao a F(t1), en- contramos que, 7 No caso de uma part´ıcula cl´assica, a sua equa¸c˜ao de movimento na presen¸ca de uma for¸ca extrena F(t) ´e: m¨q = − dV (q) dq + F(t). Esta equa¸c˜ao ´e obtida a partir da lagrangeana: LF = T − V (q) + qF(t). 25
  26. 26. δ[ei t t F(t)q(t)dt ] δF(t1) = lim →0 ei t t [F(t)+ δ(t−t1)]q(t)dt − ei t t F(t)q(t)dt = lim →0 ei t t F(t)q(t)dt ei q(t1) − ei t t F(t)q(t)dt = ei t t F(t)q(t)dt lim →0 1 + i q(t1) − 1 = iq(t1)ei t t F(t)q(t)dt . (71) Portanto, δ[ei t t F(t)q(t)dt ] δF(t1) = iq(t1)ei t t F(t)q(t)dt . (72) Usando o resultado (72), ´e f´acil mostrar que δn [ei t t F(t)q(t)dt ] δF(t1) . . . δF(tn) = (i)n q(t1) . . . q(tn)ei t t F(t)q(t)dt . (73) Voltamos para a express˜ao de Z[F] e expandimos a parte da exponencial que depende de F(t): Z[F] = q (t ) q(t) Dq(t)ei t t Ldt + t t dt1 q (t ) q(t) Dq(t)iq(t1)ei t t Ldt F(t1) + + 1 2! t t dt1dt2 q (t ) q(t) Dq(t)(i)2 q(t1)q(t2)ei t t Ldt F(t1)F(t2) + . . . , (74) onde podemos identificar q (t ) q(t) Dq(t)iq(t1)ei t t Ldt = δZ[F] δF(t1) |F=0 (75) q (t ) q(t) Dq(t)(i)2 q(t1)q(t2)ei t t Ldt = δ2 Z[F] δF(t1)δF(t2) |F=0 (76) ... 26
  27. 27. Assim, Z[F] = Z[F = 0] + ∞ n=1 t t dt1 . . . dtn 1 n! G(n) (t1, . . . , tn)F(t1) . . . F(tn), (77) onde G(n) (t1, . . . , tn) = δn Z[F] δF(t1) . . . F(tn) |F=0, (78) s˜ao as chamadas fun¸c˜oes de Green de n pontos. Se conhecemos as infinitas fun¸c˜oes de Green de n pontos, temos toda a informa¸c˜ao sobre um determi- nado sistema quˆantico, pois conhecemos a expans˜ao funcional em s´erie de Taylor de Z[F]. A ´ultima coisa que nos resta ´e relacionar as fun¸c˜oes de Green de n pontos com elementos de matriz de operadores: H q , t |ˆqH(t1) . . . ˆqH(tn)|q, t H, onde ˆqH(ti) ´e o operador posi¸c˜ao na representa¸c˜ao de Heisenberg no instante ti. Seja t < tk < t , k = 1, 2, · · · , N. Ent˜ao, H q , t |ˆqH(tk)|q, t H = dq1 . . . dqk . . . dqN H q , t |qN , tN H × × H qN , tN |qN−1, tN−1 H . . .H qk+1, tk+1|qk, tk H × ×H qk, tk|ˆq(tk)|qk−1, tk−1 H . . .H q1, t1|q, t H. (79) Como qk, tk|ˆq(tk) = q(tk) qk, tk|, o elemento de matriz (79) ´e igual a: H q , t |ˆqH(tk)|q, t H = q (t ) q(t) Dq(t)q(tk)ei t t Ldt . (80) Portanto, H q , t |ˆqH(tk)|q, t H = −i δZ[F] δF(tk) |F=0. (81) 27
  28. 28. Vamos escrever o elemento de matriz H q , t |ˆqH(tk)|q, t H na representa¸c˜ao de Schr¨odinger. Para isso usaremos a rela¸c˜ao entre as representa¸c˜oes de Heisenberg e Schr¨odinger dada pelas eqs. (14) e (15), |ψ, t H = eiHt |ψ(t) S (82) e QH(t) = eiHt QS e−iHt . (83) Substituindo essas igualdades no bracket (81), obtemos que, H q , t |ˆqH(tk)|q, t H = S q (t )|e−iHt eiHtk ˆqSe−iHtk eiHt |q(t) S = S q (t )|eiH(tk−t ) ˆqSe−iH(tk−t) |q(t) S. (84) Usando a eq. (5), reescrevemos a igualdade acima como: H q , t |ˆqH(tk)|q, t H =S q (tk)|ˆqS|q(tk) S. (85) O l.d. da eq. (85) d´a a representa¸c˜ao matricial do operador ˆqS no espa¸co das posi¸c˜oes, inclusive os elementos fora da diagonal. Para obtermos o valor m´edio da posi¸c˜ao da part´ıcula que est´a no estado quˆantico ψ(tk) S, no instante tk, precisamos calcular o elemento de matriz: S ψ(tk)|ˆqS|ψ(tk) S = = ∞ −∞ dq (tk)dq(tk) S ψ(tk)|q (tk) SS q (tk)|ˆqS|q(tk) SS q(tk)|ψ(tk) S = ∞ −∞ dq (tk)dq(tk) ψ(qk, tk)∗ ψ(qk, tk)S q (tk)|ˆqS|q(tk) S = ∞ −∞ dq (tk)dq(tk) ψ(qk, tk)∗ ψ(qk, tk) q (t ) q(t) Dq(t)q(tk) ei t t Ldt . (86) 28
  29. 29. Note que para obtermos a express˜ao (86) n˜ao seria suficiente conhecermos apenas os elementos diagonais da representa¸c˜ao matricial do operador ˆqS. Consideremos agora, t < tk < tj < t . Ent˜ao, H q , t |ˆqH(tj)ˆqH(tk)|q, t H = dq1 . . . dqk . . . dqj . . . dqN × × q , t |qN , tN qN , tN |qN−1, tN−1 . . . × × . . . qj+1, tj+1|qj, tj qj, tj|ˆq(tj)|qj−1, tj−1 . . . × × . . . qk+1, tk+1|qk, tk qk, tk|ˆq(tk)|qk−1, tk−1 . . . × × . . . q1, t1|q, t . (87) Assim, H q , t |ˆqH(tj)ˆqH(tk)|q, t H = q (t ) q(t) Dq(t)q(tj)q(tk)ei t t Ldt , (88) para t > tj > tk > t . Seja T o operador que ordena os operadores no tempo em ordem decres- cente, da esquerda para a direita, ent˜ao, H q , t |T[ˆqH(tj)ˆqH(tk)]|q, t H = (−i)2 δ2 Z[F] δF(tj)δF(tk) |F=0. (89) Usando os resultados das eqs. (5) e (14), temos que: H q , t |ˆqH(tj)ˆqH(tk)|q, t H =S q (tj)|e−iHtj ˆqSeiH(tj−tk) ˆqSeiHtk |q(tk S. (90) No caso geral, encontramos que H q , t |T[ˆqH(t1) . . . ˆqH(tn)]|q, t H = q (t ) q(t) Dq(t) q(t1) . . . q(tn)ei t t Ldt = (−i)n δn Z[F] δF(t1) . . . δF(tn) |F=0 = (−i)n G(n) (t1, . . . , tn). (91) 29
  30. 30. 2 Rela¸c˜ao entre a Mecˆanica Estat´ıstica e as Integrais de Caminho 2.1 Fun¸c˜ao de Parti¸c˜ao e o Funcional Gerador das Fun¸c˜oes de Green T´ermicas Estamos interessados em descrever sistemas em equil´ıbrio termodinˆamico. Podemos entender um sistema em equil´ıbrio termodinˆamico como sendo aquele no qual os processos r´apidos, comparados com o tempo de relaxa¸c˜ao do sistema, j´a ocorreram, e que processos lentos comparados com o tempo de relaxa¸c˜ao do sistema ainda n˜ao ocorreram. (R.P. Feynman, Statistical Mechanics - A Set of Lectures, p´ag.1). Estando o sistema descrito pela hamiltoniana H em equil´ıbrio termodinˆamico com um reservat´orio, a probabilidade do sistema ser encontrado no estado quˆantico |n , onde H|n = En|n ´e, Pn = e−βEn A , (92) onde β = 1/kT, sendo k a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta do reservat´orio em que o sistema est´a em equil´ıbrio t´ermico. A ´e a constante de normaliza¸c˜ao. Define-se a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema como sendo Z ≡ |n e−βEn , (93) onde |n s˜ao todos os autoestados, incluindo a parte cont´ınua8 , da hamilto- niana H do sistema quˆantico. A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (93) pode ser reescrita 8 Estamos usando o s´ımbolo de soma na eq.(93) apenas por conveniˆencia de nota¸c˜ao. Devemos lembrar que a somat´oria ´e substitu´ıda por uma integral na parte cont´ınua do espectro de energia do sistema quˆantico. 30
  31. 31. como9 Z(β, Ω) = |n n|e−βH |n = Tr[e−βH ], (94) onde H ´e o operador hamiltoniano do sistema. Como o tra¸co (Tr) de qualquer operador independe da base utilizada para calcul´a-lo, podemos escolher a base que nos ´e mais conveniente para calcular Z. Ω ´e o volume ocupado pelo universo no qual o sistema est´a imerso. Uma vez obtida a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema, todas as outras grandezas termodinˆamicas s˜ao derivadas. Em particular, a energia livre de Helmholtz ´e dada por, F(β, Ω) = − 1 β lnZ(β, Ω). (95) O limite termodinˆamico ´e obtido tomando-se limΩ → ∞. 2.2 Rela¸c˜ao entre as Fun¸c˜oes de Green T´ermicas e as Fun¸c˜oes de Green do Espa¸co Euclideano J´a vimos que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de um sistema quˆantico pode ser escrita como: Z(β, Ω) = Tr(e−βH ) = |x x|e−βH |x . (96) Os vetores x| e |x s˜ao definidos no mesmo instante, e, nesse caso, o produto escalar ´e independente da representa¸c˜ao que escolhemos. Al´em disso, estamos somando sobre todos os estados |x . Para calcularmos o produto escalar dos termos da eq. (96), vamos fazer um truque an´alogo ao que fizemos no caso da Mecˆanica Quˆantica de uma part´ıcula para calcularmos a amplitude de probabilidade: 9 Apesar de estar sendo escrita na forma de uma somat´oria, |n est´a somando tamb´em sobre os autoestados da parte cont´ınua do espectro de energia do operador H. 31
  32. 32. S xf |e−iH(tf −ti) |xi S. (97) Comparando os elementos de matriz de (96) e (97) vemos que β faz o papel de um tempo imagin´ario, ou seja, β = i(tf − ti). Com isso vemos que, se nas express˜oes que obtivemos na Mecˆanica Quˆantica de uma part´ıcula, fazemos a identifica¸c˜ao τ = it e xf = xi ent˜ao, o resultado ´e igual aos termos que contribuem para a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema. A diferen¸ca entre a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao e a amplitude de probabilidade ´e que os estados inicial e final s˜ao os mesmos no caso da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, al´em de somarmos sobre todos os poss´ıveis estados iniciais. No caso da Mecˆanica Quˆantica de uma part´ıcula encontramos que: S xf |e−iH(tf −ti) |xi S = xf xi Dx(t)e i tf ti L(x, ˙x;t)dt , (98) sendo que para uma part´ıcula n˜ao-relativ´ıstica, temos que L = m 2 ( dx dt )2 − V (x). (99) Na Mecˆanica Estat´ıstica, fazendo a substitui¸c˜ao t = −iτ na eq. (98), obtemos que Z = x(0) x(0)=x(β) Dx(τ)ei β 0 L(x,−iτ)d(−iτ) , (100) onde τ ´e um parˆametro real definido no intervalo [0, β]. Como t = −iτ, estamos fazendo a extens˜ao anal´ıtica da eq.(98) para tempos imagin´arios. ´E usual chamarmos este formalismo de tempo imagin´ario. A lagrangeana escrita em termos de τ fica L = m 2 ( dx dt )2 − V (x) = − m 2 ( dx dτ )2 − V (x) ≡ −LE(x, ˙x; τ), (101) 32
  33. 33. onde LE(x, ˙x; τ) ´e a lagrangeana do sistema no espa¸co euclideano e ˙x ≡ dx dτ . Portanto, a integral funcional da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema ´e, Z(β, Ω) = x(0) x(0)=x(β) Dx(τ)e− β 0 LE(x,τ)dτ , (102) onde LE ´e dada pela eq.(101). Note que, se L(x, ˙x; t) ´e a lagrangeana do sistema, por exemplo eq.(99), ou tamb´em chamada de lagrangeana no espa¸co de Minkowski10 , ent˜ao L(x, ˙x; t = −iτ) = −LE(x, ˙x; τ), (103) onde τ ´e real. No caso de part´ıcula n˜ao relativ´ıstica cuja lagrangeana ´e dada pela express˜ao (99), temos que LE(x, ˙x; τ) ´e igual a energia total da part´ıcula. Da mesma maneira que no caso da MQ de uma part´ıcula, podemos aplicar uma fonte externa F(τ) ao sistema, de forma que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao fica sendo Z[F(τ)] = x(0) x(0)=x(β) Dx(τ)e− β 0 (LE(x,τ)−F(τ)x(τ))dτ . (104) Expandindo a exponencial funcional e β 0 F(τ)x(τ)dτ , obtemos a s´erie de Tay- lor do funcional Z[F(τ)]. Usando o resultado (73), os coeficientes desta s´erie podem ser escritos como derivadas funcionais de Z[F] em rela¸c˜ao a F(τ). Em analogia ao que fizemos na MQ de uma part´ıcula, definimos a fun¸c˜ao de Green no espa¸co euclideano x(0) x(0)=x(β) Dx(τ) x(τn) . . . x(τ2)x(τ1)e− β 0 LE(x,τ)dτ ≡ ≡ ˆxH(τn) . . . ˆxH(τ2)ˆxH(τ1) , (105) 10 Precisamos notar que ˙x possui significado diferente em L e em LE. Na lagrangeana no espa¸co de Minkowski, L(x, ˙x; t), temos que: ˙x ≡ dx dt , enquanto que na lagrangeana no espa¸co euclideano, LE(x, ˙x; τ), temos que: ˙x ≡ dx dτ . 33
  34. 34. onde β ≥ τn ≥ τn−1 . . . τ2 ≥ τ1. Essas fun¸c˜oes est˜ao associadas aos coefi- cientes da s´erie de Taylor de Z[F]. Usando a analogia com a eq.(90), o l.e. da eq.(105) ´e reescrito na forma de elemento de matriz do operador: ˆxH(τn) . . . ˆxH(τ2)ˆxH(τ1) ≡ x(0) x(0)|eHτn ˆxS(0)e−Hτn · · · × ×eHτ2 ˆxS(0)e−Hτ2 eHτ1 ˆx(0)e−Hτ1 |x(0 . (106) Continuando a usar a analogia com a eq.(15), a partir da eq.(106), definimos a rela¸c˜ao entre operadores de posi¸c˜ao nas representa¸c˜oes de Schr¨odinger e Heisenberg, a temperatura finita, isto ´e, ˆxH(τ) = eHτ ˆxS(0)e−Hτ . (107) Ao fazermos a identifica¸c˜ao (107) a partir da eq.(15), estamos usando a ex- tens˜ao do parˆametro tempo para valores imagin´arios11 : t = −iτ. Usando o resultado da derivada funcional (eq. (72)), podemos reescrever as fun¸c˜oes de Green no espa¸co euclideano como ˆxH(τn) . . . ˆxH(τ2) ˆxH(τ1) = δn Z[F] δF(τn) . . . F(τ1) |F(τ)=0 ≡ G (n) E (τn, . . . , τ1). (108) Da mesma forma que na MQ de uma part´ıcula, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e um funcional da fonte externa F(τ) aplicada, de maneira que pode ser escrita como Z[F(τ)] = Z[0] + ∞ n=1 1 n! β 0 dτ1 . . . dτnG (n) E (τ1, . . . , τn)F(τ1) . . . F(τn). (109) 11 Para ver a discuss˜ao de fun¸c˜oes de Green a temperatura finita, veja a referˆencia: A.A. Abrikosov, L.P. Gorkov and I.E. Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics, Dover Publ., NY(1963). 34
  35. 35. Im(t) Re(t) Figure 3: Representa¸c˜ao esquem´atica do plano complexo t = Re(t)+iIm(t), onde o eixo real positivo corresponde `a MQ de 1 part´ıcula, e o eixo imagin´ario negativo corresponde `a Mecˆanica Estat´ıstica. Vimos que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao Z ´e a continua¸c˜ao anal´ıtica da express˜ao da amplitude de probabilidade da MQ para τ = it, onde τ ∈ [0, β], de forma que t ∈ [0, −iβ] (veja figura 3). Desejamos relacionar as continua¸c˜oes anal´ıticas das fun¸c˜oes de Green no espa¸co de Minkowski realizando a rota¸c˜ao do desenho da figura 3, e as fun¸c˜oes de Green no espa¸co euclideano, G (n) E (τ1, . . . , τn), como definimos na (108). Quando definimos as fun¸c˜oes de Green no espa¸co de Minkowski, o fizemos da seguinte forma (veja eq.(90): H q , t |T[ˆqH(t1) . . . ˆqH(tn)]|q, t H = (−i)n G(n) (t1, . . . , tn), (110) onde os estados final e inicial s˜ao quaisquer. Vamos considerar as fun¸c˜oes de Green de uma part´ıcula na MQ para q = q . Na defini¸c˜ao da fun¸c˜ao de Green no espa¸co euclideano (veja eq.(108)), estamos somando sobre todos os valores que x(0) pode assumir, uma vez que calculamos um tra¸co. No entanto, 35
  36. 36. iremos praticar um abuso de linguagem quando utilizamos a nota¸c˜ao GE para exprimir a extens˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao de Green no espa¸co de Minkowski j´a que estamos fixando um ´unico valor para os estados inicial e final. No entanto, em Teoria Quˆantica de Campos estamos interessados em calcular os elementos de matriz no v´acuo da teoria. Devemos lembrar que o vetor de estado que representa o v´acuo, |0 , possui a propriedade: H|0 = 0. De agora em diante, quando for mencionada a fun¸c˜ao de Green, ser´a no sentido de que os estados inicial e final s˜ao os estados de v´acuo da teoria. O que vamos fazer de agora em diante n˜ao ´e uma demonstra¸c˜ao, mas simplesmente uma mostra¸c˜ao, usando argumentos de plausibilidade. O resultado j´a foi mostrado exatamente. Na representa¸c˜ao de Heisenberg, o operador posi¸c˜ao em qualquer instante t ´e (eq.(7)): ˆqH(t) = eiHt ˆqH(0)e−iHt , (111) de forma que (−i)n G(n) (t1, . . . , tn) =H 0|ˆqH(0)e−iHt1 eiHt2 ˆqH(0)e−iHt2 . . . eiHtn ˆqH(0)|0 H, (112) onde t1 > t2 > . . . > tn. Fazendo a substitui¸c˜ao ti = zτi, onde z ´e uma constante complexa e τi ´e real, a fun¸c˜ao de Green passa a ser (−i)n G(n) (zτ1, . . . , zτn) =H 0|ˆqH(0)e−izH(τ1−τ2) ˆqH(0)e−izH(τ2−τ3) × . . . × e−ziH(τn−1−τn) ˆqH(0)|0 H. (113) Veja que o elemento de matriz (113) est´a numa forma em que podemos introduzir rela¸c˜oes de completeza, de maneira que a fun¸c˜ao de Green passa a ser escrita atrav´es de uma integral de caminho (basta seguir os mesmos passos que na MQ de uma part´ıcula). Portanto, 36
  37. 37. (−i)n G(n) (zτ1, . . . , zτn) = Dq(τ)eiz τ τ dτL(x, ˙x;zτ) q(τ1) . . . q(τn). (114) Lembre-se de que τ serve apenas como ´ındice para as vari´aveis q. Como pela mudan¸ca de vari´avel apenas τi est´a variando, este serve como o novo ´ındice para as vari´aveis q. No caso em que z = −i temos ent˜ao que (−i)n G(n) (−iτ1, . . . , −iτn) = Dq(τ)e τ τ dτL(x, ˙x;−iτ) q(τ1) . . . q(τn). (115) No entanto, j´a vimos pelas eqs.(101) e (103) que L(x, ˙x; −iτ) = −LE(x, ˙x; τ). Portanto (−i)n G(n) (−iτ1, . . . , −iτn) = Dq(τ)e− τ τ dτLE(x, ˙x;τ) q(τ1) . . . q(τn) = G (n) E (τ1, . . . , τn). (116) Logo, (−i)n G(n) (−iτ1, . . . , −iτn) = G (n) E (τ1, . . . , τn). (117) 3 Integral de Caminho na Teoria de Campos Referˆencias: • E.S. Abers, B.W. Lee, Phys. Rep. 9C, 1(1973), se¸c˜ao 12, p´ag. 71. • P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, cap. 3, p´ag. 88. At´e ent˜ao tratamos o sistema quˆantico de uma part´ıcula. Nesse caso, x representa a posi¸c˜ao da part´ıcula em diferentes instantes, sendo ent˜ao uma vari´avel dinˆamica. O parˆametro tempo t, nesse caso, serve apenas como um ´ındice para a vari´avel x. No caso de campos cont´ınuos, queremos estudar 37
  38. 38. formas definidas no espa¸co e que podem variar com o tempo. Para fixarmos id´eia, podemos pegar uma folha de papel e solt´a-la, de maneira a ver como ela muda a sua forma de instante a instante. Em cada instante t, verificamos se na posi¸c˜ao (x, y, z) existe algum peda¸co do papel, e com isso vamos deter- minando a forma da folha instante a instante. Vemos ent˜ao que, no caso de campos cont´ınuos, tanto o espa¸co como o tempo servem como ´ındices para definir as formas que estamos estudando. A Teoria de Campos trabalha com configura¸c˜oes extensas, e passamos a calcular amplitudes de probabilidade do sistema ser encontrado numa certa configura¸c˜ao. Passamos a falar em configura¸c˜ao, porque estamos estudando campos, como, por exemplo, o campo eletromagn´etico, o campo gravita- cional, etc... Agora, os nossos vetores de estado passam a conter a informa¸c˜ao sobre configura¸c˜oes. A correspondˆencia entre vetores de estado na Mecˆanica Quˆantica e na Teoria Quˆantica de Campos ´e: |x, t H −→ |φ(x); t H, (118) onde φop(x, t)|φ(x), t H = φ(x)|φ(x), t H, sendo φ(x) a fun¸c˜ao que d´a a con- figura¸c˜ao do campo em todo o espa¸co, φop(x, t) o operador de campo e |φ(x), t H o auto-estado do operador de campo no instante t na representa¸c˜ao de Heisenberg. Apesar da rela¸c˜ao ter sido escrita na representa¸c˜ao de Heisen- berg, ela tamb´em ´e verdadeira em qualquer representa¸c˜ao. As dinˆamicas dos vetores de estado e operadores nas representa¸c˜oes de Heisenberg e Schr¨odinger ainda s˜ao dadas pelas mesmas rela¸c˜oes que na MQ de uma part´ıcula, assim como a rela¸c˜ao entre as diferentes representa¸c˜oes que podemos utilizar para descrever os sistemas quˆanticos. Daqui por diante, apenas por quest˜ao de simplicidade, restringir-nos- emos a campos escalares, que satisfazem `a ´algebra usual e n˜ao possuem graus de liberdade internos. Vamos estender gradativamente os resultados que obtivemos na MQ de uma part´ıcula: 38
  39. 39. H q , t |q, t H = q (t ) q(t) Dq(t)Dp(t)ei t t (p ˙q−H)dt , (119) onde H ´e a hamiltoniana total do sistema. Quando o sistema possui M graus de liberdade q1(t), . . . , qM (t); p1(t), . . . , pM (t), a express˜ao acima passa a ser escrita como: H q1, . . . , qM , t |q1, . . . , qM , t H = = {q (t )} {q(t)} M α=1 Dqα(t)Dpα(t)ei t t ( M α=1 pα ˙qα−H)dt . (120) onde {q(t)} d´a os valores dos M graus de liberdade no instante t e {q (t )} os seus valores no instante t . Para se obter esta express˜ao basta proceder de maneira an´aloga ao que fizemos no caso da MQ de uma part´ıcula. Vamos estender ainda mais a express˜ao acima. Dividimos o espa¸co em cubinhos de volume ε3 . No limite de ε → 0, definimos o campo na posi¸c˜ao no centro do cubo de volume infinitesimal como sendo φα(t) = 1 ε3 d3 x φ(x, t), (121) onde α ´e o ´ındice associado `a c´elula espacial que cont´em o volume ε3 . Como estamos trabalhando com campos cont´ınuos, a lagrangeana do sis- tema passa a ser escrita como L = V∞ d3 x L(φ(x, t), ∂µφ(x, t); t), (122) sendo L a densidade lagrangeana do sistema. Quando discretizamos o espa¸co, a lagrangeana (122) fica, L = N α=1 ε3 Lα(φα(t), ˙φα(t), φα±s(t); t), (123) 39
  40. 40. sendo que ˙φα(t) = ∂φα ∂t , e N ´e o n´umero de c´elulas espaciais de volume 3 . Da Mecˆanica Cl´assica, temos que o momento canonicamente conjugado `a vari´avel φα(t) ´e: pα = ∂L ∂ ˙φα(t) = ε3 ∂Lα ∂ ˙φα(t) ≡ ε3 πα(t), (124) onde πα(t) = ∂Lα ∂ ˙φα(t) . A hamiltoniana total do sistema ´e H = N α=1 pα(t) ˙φα(t) − L ≡ N α=1 ε3 Hα, (125) sendo que N α=1 ε3 Hα = N α=1 ε3 πα(t) ˙φα(t) − N α=1 ε3 Lα(φα(t), ˙φα(t), φα±s(t); t) ⇒ ⇒ Hα = πα(t) ˙φα(t) − Lα(φα(t), ˙φα(t), φα±s(t); t). Na express˜ao anterior, temos a rela¸c˜ao entre densidades: densidade de la- grangeana, densidade de hamiltoniana e densidade de momento canonica- mente conjugado. Voltando para a express˜ao da amplitude de probabilidade temos que H φ (x), t |φ(x), t H = φ (x,t ) φ(x,t) N α=1 Dφα(t)Dpα(t) × ×ei t t [ N α=1 pα(t) ˙φα(t)− N α=1 3H]dt . (126) Por´em, pα(t) = ε3 πα(t), e, al´em disso, limε→0 N α=1 ε3 = ∞ −∞ dxdydz. Por- tanto, a eq. (126) pode ser escrita como H φ (x), t |φ(x), t H = φ (x,t ) φ(x,t) N α=1 Dφα(t)ε3N Dπα(t)e i t t dt V∞ d3x (πα(t) ˙φα(t)−H) . (127) 40
  41. 41. Em Teoria Quˆantica de Campos, estamos interessados em calcular a am- plitude de probabilidade do sistema estando no estado de mais baixa energia (o v´acuo) em tempos anteriores ao acoplamento com uma fonte externa, volte a ser encontrado no estado de mais baixa energia do sistema ap´os a fonte externa ter sido desligada, ou seja, H 0, t → ∞|0, t → −∞ J H = = φ(x,t ) φ(x,t) N α=1 Dφα(t)ε3N Dπα(t)ei d4x(πα(t) ˙φα(t)−H+J(x,t)φ(x,t)) ≡ Z[J], (128) onde N ´e o n´umero de pontos na rede espacial, |0, t → ±∞ representa o vetor associado ao estado de mais baixa energia (v´acuo) no instante t → ±∞, res- pectivamente. Assumimos que esses estados s˜ao representados pelos campos φ(x, t) e φ(x, t ) nos instantes t → −∞ e t → ∞. A amplitude de transi¸c˜ao v´acuo-v´acuo ´e uma quantidade mal definida, pois ela representa a superposi¸c˜ao de fases. Para dar um significado a essas integrais, temos as seguintes op¸c˜oes: 1. No argumento da exponencial introduzir um termo da forma i d4 x 2 φ2 (x, t), (129) onde ´e um parˆametro para o qual ser´a tomado o limite → 0. 2. Realizar uma rota¸c˜ao de Wick, it = τ → t = −iτ, (130) onde τ ´e real. Nestes casos teremos no integrando exponenciais decrescentes. 41
  42. 42. Apesar de dizermos que essas duas maneiras de tratar o problema d˜ao um significado matem´atico `a integral de caminho, ainda existem infinitos embuti- dos nas amplitudes de probabilidade, os quais ainda devem ser retirados. No caso dos infinitos associados a pequenas distˆancias temos a renormaliza¸c˜ao. Apesar de sabermos que temos que introduzir o termo (129) para dar sentido `a integral de caminho, n˜ao vamos escrevˆe-lo explicitamente, mas devemos ter em mente que ele continua fazendo parte do argumento da ex- ponencial. 4 Fun¸c˜oes de Green Conexas e Desconexas Analogamente ao caso da MQ de uma part´ıcula, H 0|T[φH(x1, t1) . . . φH(xn, tn)]|0 H = φ(x,t ) φ(x,t) N α=1 Dφα(t)ε3N Dπα(t) × ×φ(x1, t1) . . . φ(xn, tn)ei d4x (πα(x) ˙φα(x)−H) , (131) sendo T um operador de ordena¸c˜ao temporal, onde os tempos s˜ao ordenados da direita para a esquerda em ordem crescente: tn < tn−1 < · · · < t2 < t1. Estamos usando a nota¸c˜ao: x ≡ (t, x). Usando os resultados conhecidos de derivadas funcionais, temos que12 φ(x,t ) φ(x,t) N α=1 Dφα(t) ε3N Dπα(t)φ(x1, t1) . . . φ(xn, tn)ei d4x(πα(x) ˙φα(x)−H) = 12 Neste caso, em que estamos num espa¸co tridimensional e temos o tempo tamb´em como parˆametro, a derivada funcional (55) fica sendo: δE[J] δJ(x1, t1) = lim →0 E[J(x, t) + δ(3) (x − x1)δ(t − t1)] − E[J(x, t)] . 42
  43. 43. = φ(x,t ) φ(x,t) N α=1 Dφα(t)ε3 Dπα(t)ei d4x (πα(x) ˙φα(x)−H) × × 1 (i)n δn ei d4xJ(x,t)φ(x,t) δJ(x1, t1) . . . δJ(xn, tn) |J=0. (132) Ao contr´ario do que fizemos anteriormente, chamamos de fun¸c˜ao de Green de n pontos a G(n) (x1, t1; . . . ; xn, tn) =H 0|T[φH(x1, t1), . . . , φH(xn, tn)]|0 H. (133) Comparando a express˜ao acima com a anterior encontramos que in G(n) (x1, t1; . . . ; xn, tn) = δZ[J] δJ(x1, t1) . . . δJ(xn, tn) |J=0, (134) que s˜ao as chamadas fun¸c˜oes de Green conexas e desconexas. Num exemplo espec´ıfico, veremos o porque do nome. A amplitude de v´acuo-v´acuo ´e um funcional da fonte externa, Z[J] = Dφ(x)Dπ(x)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H+J(x)φ(x)] , (135) onde x ≡ (x, t) e absorvemos a constante ε3N na defini¸c˜ao das medidas Dφ(x) e Dπ(x). Realizando a expans˜ao da exponencial13 ei Jφ , temos que Z[J] = Dφ(x)Dπ(x)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H] × [1 + i d4 xJ(x)φ(x) + + (i)2 2! d4 x1d4 x2J(x1)J(x2)φ(x1)φ(x2) + . . .]. (136) Ent˜ao, 13 Estamos usando a conven¸c˜ao: Jφ = d4 x J(x)φ(x). 43
  44. 44. Z[J] = Z[0] + i d4 x1J(x1) Dφ(x)Dπ(x)φ(x1)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H] + + (i)2 2! d4 x1d4 x2J(x1)J(x2) Dφ(x)Dπ(x)φ(x1)φ(x2)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H] + . . . (137) Assim, Z[J] = Z[0] + ∞ n=1 (i)n n! d4 x1 . . . d4 xnG(n) (x1, . . . , xn)J(x1) . . . J(xn), (138) onde G(n) (x1, t1; . . . ; xn, tn) = H 0|T[φH(x1, t1) . . . φH(xn, tn)]|0 H = Dφ(x)Dπ(x) φ(x1) . . . φ(xn)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H] , (139) ´e a fun¸c˜ao de Green de n pontos vestida. Note que na eq.(139) aparece a hamiltoniana completa que descreve o sistema quˆantico. 4.1 Modelo λφ4 Referˆencias: • P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd ed. (Revised Print- ing), Addison-Wesley (1990). • C. Nash,Relativistic Quantum Field, Academic Press (1978), cap. 1. Para exemplificarmos como tratar as fun¸c˜oes de Green de n pontos, consideramos a densidade de hamiltoniana de part´ıculas escalares reais, H(φ, ∂iφ, π; x, t) = π2 (x, t) 2 + 1 2 ( φ(x, t))2 + 1 2 m2 φ2 (x, t) + V (φ). (140) 44
  45. 45. V (φ) ´e a parte de auto-intera¸c˜ao dos campos reais e ´e uma fun¸c˜ao de φ limitada inferiormente. ´E importante lembrar que, na integral funcional, estamos integrando so- bre todas as poss´ıveis configura¸c˜oes de π(x, t), e que n˜ao estamos impondo a restri¸c˜ao π(x) = ∂L ∂(∂φ(x) ∂t ) = ∂φ(x) ∂t . (141) Voltando para a integral funcional da fun¸c˜ao de Green de n pontos, G(n) (x1, . . . , xn) = Dφ(x)Dπ(x) φ(x1) . . . φ(xn) × ×ei d4x[−π2 2 +π ˙φ] e−i d4x[ 1 2 ( φ)2+1 2 m2φ2+V (φ)] . (142) Lembrando que: π2 2 − π ˙φ = 1 2 [π2 − 2 ˙φ2 π] = 1 2 [(π − ˙φ)2 − ˙φ2 ] e que Dπ(x)e−i d4x[−π ˙φ+π2 2 ] 2 = ei d4x ˙φ2 2 Dπ(x)e− i 2 d4x(π− ˙φ)2 . (143) A integral funcional sobre π(x) no l. d. da equa¸c˜ao acima, ´e apenas uma constante multiplicativa. Portanto, G(n) (x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn)ei d4x[1 2 ( ∂φ ∂t )2−1 2 ( φ)2−1 2 m2φ2−V (φ)] = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ei d4x L , (144) onde L = 1 2 ∂µ φ∂µφ − 1 2 m2 φ2 − V (φ), (145) sendo que14 : ∂µ∂µ = ∂2 ∂t2 − 2 . Absorvemos na defini¸c˜ao de Dφ(x) a constante que vem da integral funcional funcional sobre π(x). 14 A defini¸c˜ao da m´etrica est´a no Apˆendice I. 45
  46. 46. Portanto, para as densidades de lagrangeana usuais, temos que G(n) (x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ei d4x L . (146) Para mostrar que G(n) (x1, . . . , xn) s˜ao as fun¸c˜oes de Green de n pontos conexas e desconexas, vamos tomar, por simplicidade, o modelo λφ4 , ou seja, L = 1 2 ∂µφ∂µ φ − 1 2 m2 φ2 − λ 4! φ4 . (147) Para este modelo, a fun¸c˜ao de Green de n pontos vestida fica sendo G(n) (x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ei d4x[ 1 2 ∂µφ∂µφ−1 2 m2φ2− λ 4! φ4] . (148) A integral funcional ´e de quarta ordem nos campos φ, e, assim como n˜ao sabemos resolver a integral indefinida em zero dimens˜oes, dxe−(x4+ax2+bx) , (149) n˜ao se tem esperan¸cas de obter o resultado anal´ıtico da integral funcional (148). O que se faz ´e utilizar teoria de perturba¸c˜ao na constante de acopla- mento do potencial, se esta constante ´e pequena. Neste caso, a fun¸c˜ao de Green de n pontos fica: G(n) (x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) × ×[1 + (− iλ 4! ) dy1φ4 (y1) + 1 2! ( −iλ 4! )2 dy1dy2 φ4 (y1)φ4 (y2) + + 1 3! (− iλ 4! )3 dy1dy2dy3 φ4 (y1)φ4 (y2)φ4 (y3) + . . .] × ×ei d4x[1 2 ∂µφ∂µφ−1 2 m2φ2] . (150) 46
  47. 47. Todos estes termos do l.d. da eq.(150) podem ser obtidos a partir da aplica¸c˜ao de derivadas funcionais ao funcional Z0[J] = Dφ(x)ei d4x[ 1 2 ∂µφ∂µ−1 2 m2φ2+J(x)φ(x)] . (151) em rela¸c˜ao a J(x). Calculamos Z0[J] introduzindo o termo de amortecimento, ou seja, Z0[J] = Dφ(x)ei d4x[ 1 2 ∂µφ∂µφ−1 2 (m2−i 2)φ2+J(x)φ(x)] . (152) Para obter as fun¸c˜oes de Green de n pontos a partir de Z0[J], precisamos explicitar a dependˆencia em J(x) de Z0[J], pois as derivadas funcionais s˜ao calculadas em rela¸c˜ao a J(x). Apesar Z0[J] ser quadr´atico nos campos φ(x), o resultado desta integral n˜ao ´e ´obvio, pois nessa representa¸c˜ao, a a¸c˜ao n˜ao ´e diagonal em φ(x). Para ter isso claro, note que a densidade de lagrangeana, em uma dimens˜ao espacial, depende de derivadas espaciais dos campos, ou seja, ∂φ(x) ∂x = lim ∆x→0 φ(x + ∆x) − φ(x) ∆x , (153) de maneira que a a¸c˜ao envolve φ(x+∆x) e φ(x). Uma maneira de diagonalizar a a¸c˜ao cl´assica S = d4 x[ 1 2 ∂µφ∂µ φ − 1 2 (m2 − i 2 )φ2 + J(x)φ(x)], (154) ´e reescrever o integrando em termos das transformadas de Fourier do campo e da corrente. As rela¸c˜oes entre as transformadas de Fourier do campo e da corrente s˜ao: ˜φ(p) = 1 (2π)2 d4 x eipx φ(x), φ(x) = 1 (2π)2 d4 p e−ipx ˜φ(p), (155) 47
  48. 48. e, ˜J(p) = 1 (2π)2 d4 x eipx J(x), J(x) = 1 (2π)2 d4 p e−ipx ˜J(p). (156) Estamos usando a nota¸c˜ao: px ≡ pµxµ . A a¸c˜ao S escrita em termos das transformadas de Fourier do campo e da corrente fica, S = d4 x[ 1 2(2π)4 d4 p1d4 p2(−i)2 p1µpµ 2 ˜φ(p1)˜φ(p2)e−i(p1+p2)x − − 1 2 (m2 − i 2 ) (2π)4 d4 p1d4 p2 ˜φ(p1)˜φ(p2)e−i(p1+p2)x + + 1 (2π)4 d4 p1d4 p2 ˜J(p1)˜φ(p2)e−i(p1+p2)x ]. (157) Como, 1 (2π)4 d4 x e−i(p1+p2)x = δ(p1 + p2), (158) a a¸c˜ao S fica sendo S = d4 p[ 1 2 pµpµ ˜φ(p)˜φ(−p) − 1 2 (m2 − i 2 )˜φ(p)˜φ(−p) + ˜J(p)˜φ(−p)]. (159) Realizamos uma mudan¸ca de vari´avel em ˜φ(p), de maneira a reescrevermos a express˜ao acima na forma de quadrados, ou seja, ˜φ (p) = ˜φ(p) + ˜J(p) (p2 − (m2 − i 2)) . (160) 48
  49. 49. Calculando explicitamente, obtemos que 1 2 ˜φ (p)[p2 − (m2 − i 2 )]˜φ (−p) − 1 2 ˜J(p) 1 p2 − (m2 − i 2) ˜J(−p) = = 1 2 ˜φ(p)[p2 − (m2 − i 2 )]˜φ(−p) + 1 2 ˜J(p)˜φ(−p) + ˜J(−p)˜φ(p) . (161) No entanto, ao fazermos a mudan¸ca nas vari´aveis de integra¸c˜ao: p → −p e p0 → −p0 , na integral da a¸c˜ao, obtemos que: d4 p ˜J(−p)˜φ(p) = d4 p ˜J(p)˜φ(−p), (162) de forma que usando os resultados (161) e (162), reobtemos a a¸c˜ao S. Portanto, a a¸c˜ao (157) pode ser reescrita como S = 1 2 d4 p ˜φ (p)(p2 − (m2 − i 2 ))˜φ (−p) − − 1 2 d4 p ˜J(p) 1 p2 − (m2 − i 2) ˜J(−p), (163) onde foi utilizada a mudan¸ca de vari´avel (160). No espa¸co das quadri- coordenadas, esta mudan¸ca de vari´aveis corresponde a: φ (x) = φ(x) + F(x), (164) onde F(x) ´e uma fun¸c˜ao independente do campo φ(x), de forma que a medida da integral funcional ´e invariante sob essa mudan¸ca de vari´avel, Dφ (x) = Dφ(x). (165) A dependˆencia da a¸c˜ao na fonte externa J(x) foi separada na eq.(163). Reescrevendo a a¸c˜ao no espa¸co das quadri-coordenadas: 49
  50. 50. S = 1 2 d4 p 1 (2π)4 d4 x1d4 x2eipx1 φ (x1)(p2 − (m2 − i 2 )) e−ipx2 φ (x2) − − 1 2 d4 p 1 (2π)4 d4 x1d4 x2eipx1 J(x1) 1 p2 − (m2 − i 2) J(x2)e−ipx2 = = 1 2 d4 x1d4 x2 1 (2π)4 d4 p φ (x1)[−∂2 2e−ipx2 − (m2 − i 2 )e−ipx2 ]φ (x2)eipx1 − − 1 2 d4 x1d4 x2J(x1)J(x2) 1 (2π)2 d4 p 1 (2π)2 e−ip(−x1+x2) p2 − (m2 − i 2) , (166) onde ∂2 2 = ∂ ∂x2µ ∂ ∂xµ 2 . Definimos, ∆(x1 − x2) ≡ 1 (2π)2 d4 p 1 (2π)2 e−ip(x2−x1) p2 − (m2 − i 2) , (167) que ´e a transformada de Fourier do propagador livre. Como estamos inte- grando sobre d4 p, temos da defini¸c˜ao acima que ∆(x1 − x2) = ∆(x2 − x1). Al´em disso, 1 (2π)4 dp(−∂2 2e−ipx2 )eipx1 = −∂2 2[ 1 (2π)4 dpeip(x1−x2) ] = −∂2 2δ(x1 − x2), (168) e 1 (2π)4 dpe−ip(x1−x2) = δ(x1 − x2). (169) Portanto, a a¸c˜ao S fica sendo S = 1 2 d4 x1d4 x2[ −φ (x1)φ (x2)∂2 2δ(x2 − x1) − −(m2 − i 2 )φ (x1)φ (x2)δ(x1 − x2)] − 1 2 d4 x1d4 x2J(x1)∆(x1 − x2)J(x2) ⇒ ⇒ S = 1 2 d4 x φ (x)(−∂2 − (m2 − i 2 ))φ (x) − 50
  51. 51. − 1 2 d4 x1d4 x2J(x1)∆(x1 − x2)J(x2). (170) De forma que, voltando `a express˜ao (152), temos que Z0[J] = Dφ (x)e i 2 d4x φ (x)(−∂2−(m2−i 2))φ (x) e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) = Z0[J = 0]e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) . (171) Note que Z0[0] ´e uma constante independente da fonte externa J(x) apli- cada. A express˜ao da fun¸c˜ao de Green de n pontos ´e dada por (150) G(n) (x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) 1 + (− iλ 4! ) d4 y1φ4 (y1) + + 1 2! ( −iλ 4! )2 d4 y1d4 y2 φ4 (y1)φ4 (y2) + + 1 3! ( −iλ 4! )3 d4 y1d4 y2d4 y3 φ4 (y1)φ4 (y2)φ4 (y3) + + . . . × ei d4x[1 2 ∂µφ∂µφ−1 2 m2φ2] , (172) cujos termos podem ser obtidos atrav´es das derivadas funcionais de (171) em rela¸c˜ao a J(x) e calculadas para as correntes externas nulas (J(x) = 0). Para conhecer as derivadas funcionais do funcional: e− i 2 dx1dx2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) ,em rela¸c˜ao a corrente J(x). A partir da defini¸c˜ao de derivada funcional (55), temos que, δ δJ(y) e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) = = lim →0 1 e− i 2 d4x1d4x2[J(x1)+ δ(x1−y)]∆(x1−x2)[J(x2)+ δ(x2−y)] − −e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) = = lim →0 1 e− i 2 d4x1d4x2∆(x1−x2)[J(x1)J(x2)+ δ(x1−y)J(x2)+ δ(x2−y)J(x1)+O( 2)] − 51
  52. 52. −e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) = = lim →0e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) × × e− i 2 d4x1J(x1)∆(y−x1)− i 2 d4x2J(x2)∆(y−x2)+O( 2) − 1 = = −i d4 x∆(y − x)J(x)e− i 2 d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2) , onde usamos que a fun¸c˜ao ∆(x1 − x2) ´e par. Assim, δ δJ(y) e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) = = −i dx ∆(y − x)J(x)e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) . A derivada funcional de segunda ordem deste funcional ´e: δ2 δJ(y)δJ(z) e− i 2 d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2) = = −i∆(y − z)e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) + +(−i)2 d4 x1d4 x2 ∆(y − x1)∆(z − x2)J(x1)J(x2) × ×e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) . (173) Para vermos como isso tudo funciona, consideremos o caso da fun¸c˜ao de Green n = 2. Ent˜ao, G(2) (x1, x2) = Dφ(x) φ(x1)φ(x2)[1 − iλ 4! d4 y1φ4 (y1) + . . .] × ×ei d4x [ 1 2 ∂µφ∂µφ−1 2 (m2−i )φ2] . Note que temos no integrando uma expans˜ao em potˆencias de λ. Para cada ordem de λ na expans˜ao temos potˆencias do termo dxφ4 (x). Neste caso, no ponto x temos 4 operadores de campo, e estamos somando sobre todas as poss´ıveis posi¸c˜oes x. Utilizamos gr´aficos para representar os termos que aparecem ordem a ordem na expans˜ao da constante de acoplamento. 52
  53. 53. Usamos a representa¸c˜ao gr´afica abaixo para um v´ertice no ponto espa¸co- temporal x, de onde saem quatro pernas para representar que temos quatro campos escalares com argumento x: X1 X1 V´ertice da teoria λφ4 . Al´em disso, vemos da express˜ao (151) para Z0[J] que os termos de G(2) (x1, x2) podem ser escritos como derivadas funcionais deste funcional, ou seja, G(2) (x1, x2) = 1 i2 δ2 Z0[J] δJ(x1)δJ(x2) |J=0 − iλ 4! 1 i6 d4 x δ6 Z0[J] δJ(x1)δJ(x2)δ4J(x) |J=0 + . . . . Substituindo Z0[J] pela sua express˜ao (171), a fun¸c˜ao de Green G(2) (x1, x2) ´e escrita como: G(2) (x1, x2) Z0[0] = 1 i2 δ2 δJ(x1)δJ(x2) |J=0 − iλ 4! 1 i6 d4 x δ6 δJ(x1)δJ(x2)δ4J(x) |J=0 + + . . . × e− i 2 d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2) . (174) O primeiro termo do l. d. da eq.(174) foi calculado explicitamente na eq.(173), e vimos que resulta: −i∆(x1 − x2). XX2X1X1 Representa¸c˜ao gr´afica de −i∆(x1 − x2) 53
  54. 54. Este ´e o termo de ordem λ0 , e portanto, n˜ao h´a qualquer v´ertice. O se- gundo termo do l. d. da eq.(174) ´e obtido calculando-se explicitamente as derivadas funcionais, ou reconhecendo que os termos obtidos da derivada fun- cional apresentam todos os poss´ıveis gr´aficos que obtemos ligando os pontos x1, x2 e x, e que da posi¸c˜ao x saem 4 linhas. X 1 X X 2 (a) X 1 X X 2 (b) Gr´aficos referentes a (a) (−i)2 d4 x∆(x1 − x)∆(x − x2)∆(x − x) e (b) ∆(x1 − x2) d4 x∆2 (x − x) Como nas posi¸c˜oes x1 e x2 temos apenas um campo, de cada um desses pontos parte apenas uma linha. No caso de λφ4 (x), temos v´arios campos idˆenticos na mesma posi¸c˜ao x, e, para as derivadas funcionais, as li- nhas que saem de x s˜ao distintas. Logo, cada gr´afico ´e multiplicado por uma constante, chamada fator de simetria, que varia de gr´afico para gr´afico. Quando multiplicamos as express˜oes associadas aos gr´aficos pelos fatores de simetria, fazemos uma rela¸c˜ao um a um entre os gr´aficos e os termos na expans˜ao de ordem λ nas fun¸c˜oes de Green de n pontos. Assim, G(2) (x1, x2) Z0[0] = XX2 XX11 XX XX2 X1 X1 XX X1X1 XX2 + N1 + N2 (c)(b)(a) (175) 54
  55. 55. onde N1 e N2 s˜ao os fatores de simetria. Os gr´aficos (a) e (b) s˜ao chama- dos de gr´aficos conexos, e o gr´afico (c) ´e denominado de gr´afico desconexo. Al´em disso, como o gr´afico (c) tem linhas que se fecham sobre si mesmas, sem estarem ligadas a pontos externos, estes gr´aficos s˜ao bolhas de flutua¸c˜ao de v´acuo. Os gr´aficos que envolvem bolhas de flutua¸c˜ao de v´acuo n˜ao con- tribuem para as fun¸c˜oes de Green, pois s˜ao normalizadas de forma a cancelar a contribui¸c˜ao das bolhas de v´acuo. Para termos uma id´eia de como eles se cancelam, vamos definir a fun¸c˜ao geratriz dos gr´aficos conexos e desconexos Z[J]: Z[J] = Dφ(x) ei d4x [1 2 ∂µφ∂µφ−1 2 (m2−i )φ2− λ 4! φ4]+i d4xJ(x)φ(x) . (176) Notemos que Z[0] = Dφ(x) ei d4x[1 2 ∂µφ∂µφ−1 2 (m2−i )φ2− λ 4! φ4] = = Dφ(x) 1 + (−i λ 4! ) d4 x φ4 (x) + 1 2! ( −iλ 4! )2 d4 x1d4 x2 φ4 (x1)φ4 (x2)+ + . . . × ei d4x[ 1 2 ∂µφ∂µφ−1 2 (m2−i )φ2] , que representam os gr´aficos sem pernas externas, pois todos os pontos xi est˜ao sendo integrados. A representa¸c˜ao gr´afica de Z[0] ´e: Z[0] = Z0[0] × + N3[x ]+ ...1 + 2N+ N1 + N4 (177) onde Nj s˜ao os fatores de simetria. Estes gr´aficos s˜ao divergentes. Quando voltamos para a fun¸c˜ao de Green de n pontos, e tomamos o caso particular n = 2, n˜ao ´e dif´ıcil ver que 55
  56. 56. G(2) (x1, x2) Z0[0] = 2X 1n n2 n2XX 1n 2X X1 X1 ... ( XX ( 1 + + + ...) )++ ...+1 + + (178) e mostra-se que n1 = N1, n2 = N2, . . . , nj = Nj, . . ., de forma que esses termos divergentes desaparecem, e tomamos a quantidade G(2) (x1, x2) Z[0] = +1X1 XX2 2 XX11 XX N1 X 2 XX11 XX N2+ +... +X (179) A express˜ao (179) ´e chamada de propagador vestido. Consideremos agora a fun¸c˜ao de Green de 4 pontos. Representamos grafi- camente o que obtemos atrav´es de derivadas funcionais com rela¸c˜ao a J(x). Ent˜ao, G(4) (x1, x2, x3, x4) Z[0] = 56
  57. 57. + X1 X2 X4 X3 X1 X2 X4 X3 X1 X2 X4 X3 X1 X2 X4 X3 X M1 X1 X2 X4 X3 +M2 X1 X2 X4 X3 + ...3 M + ++ + (180) onde M1, M2, · · · s˜ao os fatores de simetria de cada gr´afico na expans˜ao. Note que, na fun¸c˜ao de Green G(4) Z[0] , temos gr´aficos conexos e desconexos. Para eliminar os gr´aficos de auto-energia (flutua¸c˜ao do v´acuo) e n˜ao ter- mos que escrever sempre a constante Z[0], redefinimos a fun¸c˜ao de Green de n pontos (134) como sendo: G(n) (x1, . . . , xn) ≡ Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn)ei d4x L Dφ(x) ei d4x L . (181) No modelo λφ4 que temos considerado explicitamente, a densidade de lagrangeana ´e dada pela eq.(147), L = 1 2 ∂µφ∂µ φ − 1 2 m2 φ2 − λ 4! φ4 . (182) Podemos reescrever a fun¸c˜ao geratriz Z[J] como uma s´erie de Taylor funcional em termos da corrente externa J(x). Os coeficientes da s´erie de Taylor funcional s˜ao as fun¸c˜oes de Green, ou seja, Z[J] = Z[0] 1 + ∞ n=1 in n! d4 x1 . . . d4 xnG(n) (x1, . . . , xn)J(x1) . . . J(xn) , (183) onde as fun¸c˜oes de Green envolvidas incluem gr´aficos conexos e desconexos. 57
  58. 58. No entanto, ´e poss´ıvel definir o funcional W[J] tal que ele seja a fun¸c˜ao geratriz das fun¸c˜oes de Green de n pontos que s´o envolvem gr´aficos conexos. Seja Z[J] = eiW[J] . (184) Neste caso, usando a s´erie de Taylor para o funcional W[J], temos que W[J] = W[0] + ∞ n=1 in n! d4 x1 . . . d4 xn G(n) c (x1, . . . , xn)J(x1) . . . J(xn), (185) onde in G(n) c (x1, . . . , xn) = δn W[J] δJ(x1) . . . δJ(xn) |J=0. (186) Pela igualdade (184), temos que G(n) c (x1, . . . , xn) = 1 in+1 δn lnZ[J] δJ(x1) . . . δJ(xn) |J=0. (187) Para vermos que para as novas fun¸c˜oes de Green contribuem apenas os gr´aficos conexos, consideremos o caso particular de n = 2. Ent˜ao, i2+1 G(2) c (x1, x2) = δ2 lnZ[J] δJ(x1)δJ(x2) |J=0 = δ δJ(x1) 1 Z[J] δZ[J] δJ(x2) |J=0 = = − 1 Z[J]2 δZ[J] δJ(x1) δZ[J] δJ(x2) |J=0 + 1 Z[J] δ2 Z[J] δJ(x1)δJ(x2) |J=0. Portanto, G(2) c (x1, x2) = G(2) (x1, x2) − G(1) (x1)G(1) (x2). A fun¸c˜ao de Green G(1) (x) ´e igual ao valor m´edio do campo escalar no v´acuo. Como estamos considerando o caso em que m > 0 e λ > 0, ent˜ao 58
  59. 59. o m´ınimo do potencial V (φ) = λ 4! φ4 + m2 2 φ2 ´e em φ(x) = 0. De forma que: G(1) (x1) = G(1) (x2) = 0. Usando m´etodo de recorrˆencia, ´e poss´ıvel mostrar que, G(n) c (x1, . . . , xn) = G(n) (x1, . . . , xn) − <φ(x1)...φ(xn)> < φ . . . >c . . . < φ . . . >c, (188) onde a soma ´e sobre todas as poss´ıveis parti¸c˜oes de φ(x1) . . . φ(xn) em sub- conjuntos. Desta forma, s´o restam em G(n) c os gr´aficos conexos, ou seja G(2) c (x1, x2) = ++ N1 N2 + ... (189) G(4) (x1, x2, x3, x4) = X1 X2 X4 X3 X + X1 X2 X4 X3 + ... M1 (190) Um gr´afico poss´ıvel para G(2) c ´e X1 X2 Y2Y1 (191) que ´e um gr´afico conexo; por´em se cortarmos a linha que liga os pontos y1 e y2, ele se quebra em dois outros gr´aficos poss´ıveis. Este tipo de gr´afico ´e dito redut´ıvel. O funcional W[J] ´e denominado de geratriz das fun¸c˜oes de Green conexas. 59
  60. 60. 5 Fun¸c˜oes de V´ertice, ou Gr´aficos 1PI (One Particle Irreducible) Referˆencias: • Mark S. Swanson, Path Integrals and Quantum Processes, Academic Press Inc. (1992), section 8.1. • C. Nash, Relativistic Quantum Fields, Academic Press (1978), cap. 1. • Daniel J. Amit, Field Theory, the Renormalization Group and Critical Phenomena, McGraw-Hill (1978). Come¸camos a estudar as fun¸c˜oes de Green atrav´es de Z[J] que d´a a amplitude de transi¸c˜ao v´acuo-a-v´acuo na presen¸ca de uma corrente J(x). As fun¸c˜oes de Green normalizadas (eq.(181)), in G(n) (x1, . . . , xn) = 1 Z[0] δn Z[J] δJ(x1) . . . δJ(xn) |J=0, (192) incluem contribui¸c˜ao dos gr´aficos conexos e desconexos. Para nos livrarmos da parte n˜ao conexa das fun¸c˜oes de Green (192), definimos a transforma¸c˜ao (184), ou seja, Z[J] = eiW[J] ⇒ W[J] = −ilnZ[J]. (193) As fun¸c˜oes de Green associadas ao funcional gerador W[J] s˜ao (eq.(187)): in+1 G(n) c (x1, . . . , xn) = δn W[J] δJ(x1) . . . δJ(xn) |J=0. (194) Os gr´aficos associados a G(n) c s˜ao todos conexos. Uma coisa interessante de se notar ´e que G(1) (x1) = G(1) c (x1), isto ´e, G(1) (x1) = 1 i 1 Z[0] δZ[J] δJ(x1) |J=0 (195) e 60
  61. 61. G(1) c (x1) = 1 i 1 Z[J] δZ[J] δJ(x1) |J=0 = 1 i 1 Z[0] δZ[J] δJ(x1) |J=0. (196) Devemos lembrar que G(1) (x1) = 1 i 1 Z[0] Dφ(x) φ(x1) ei d4x L φ(x1) = 1 Z[0] 0|φ(x1)|0 = G(1) c (x1), (197) onde 0|φ(x1)|0 ´e a configura¸c˜ao m´edia do campo escalar no estado funda- mental do sistema para J(x) = 0. Vejamos a representa¸c˜ao gr´afica das fun¸c˜oes de Green que contribuem para W[J]. Tomemos, por exemplo, os seguintes gr´aficos, presentes em G(2) c (x1, x2): (a) (b) (c) (198) A diferen¸ca entre os gr´aficos (a), (b) e (c) est´a em que, se cortarmos a linha que liga as duas bolhas na figura (b), a figura se quebra em duas: (199) o que n˜ao acontece com as figuras (a) e (c). Se retirarmos qualquer uma das retas dos gr´aficos (a) ou (c), o gr´afico resultante continua ainda sendo um ´unico gr´afico conexo. Os gr´aficos (a) e (c) s˜ao chamados gr´aficos irre- dut´ıveis, enquanto que o gr´afico (b) ´e denominado de gr´afico redut´ıvel. A importˆancia dos gr´aficos irredut´ıveis est´a em que qualquer gr´afico re- dut´ıvel pode ser obtido ligando propagadores da teoria livre a gr´aficos irre- dut´ıveis. Por exemplo, temos: 61
  62. 62. , (200) onde a bolha cheia representa a contribui¸c˜ao dos gr´aficos irredut´ıveis de dois pontos em todas as ordens em teoria de perturba¸c˜ao, ou seja, ...= + + +( ) -1 (201) Nos gr´aficos irredut´ıveis amputamos os propagadores externos, que no espa¸co dos momentos tˆem a representa¸c˜ao gr´afica : 1 p2 − (m2 − i ) = p =⇒ p2 − (m2 − i ) = ( p )−1 (202) Definimos a transformada de Legendre do funcional gerador W[J] e que- remos mostrar que esta transformada de Legendre ´e o funcional gerador dos gr´aficos irredut´ıveis. Seja o funcional Γ[¯φ] definido como, Γ[¯φ] = W[J] − d4 y J(y)¯φ(y), (203) onde ¯φ(x) = δW[J] δJ(x) = G(1) c (x), (204) ou seja, pela eq.(197) temos que ¯φ(x) = 0|φ(x1)|0 J , sendo |0 o vetor de estado do v´acuo do sistema na presen¸ca de uma fonte externa J(x). A 62
  63. 63. transformada de Legendre (203) ´e cont´ınua, pois envolve parˆametros cujos ´ındices variam continuamente (J(x)). O gerador Γ[¯φ] ´e um funcional de ¯φ(x) e n˜ao depende explicitamente de J(x). Calculemos a varia¸c˜ao funcional de Γ[¯φ] em termos de ¯φ, ou seja, Γ[¯φ] δ ¯φ(x) = δW[J] δ ¯φ(x) − d4 y δJ(y) δ ¯φ(x) ¯φ(y) − J(x). (205) Por´em, usando a regra da cadeia para derivadas funcionais (eq.(67)), temos que δW[J] δ ¯φ(x) = d4 y δW[J] δJ(y) δJ(y) δ ¯φ(x) ⇒ δW[J] δ ¯φ(x) = d4 y ¯φ(y) δJ(y) δ ¯φ(x) . (206) Substituindo o resultado (206) na express˜ao (205), encontramos que δΓ[¯φ] δ ¯φ(x) = −J(x). (207) Resumindo, a transformada de Legendre (203), ´e definida como: Γ[¯φ] = W[J] − d4 y J(y)¯φ(y), (208) sendo que ¯φ(x) = δW[J] δJ(x) e J(x) = − δΓ[¯φ] δ ¯φ(x) . (209) O funcional Γ[¯φ] ´e conhecido como a a¸c˜ao efetiva do sistema. Para en- tendermos o porque do nome, vamos calcular exatamente este funcional na ´unica teoria em que podemos fazˆe-lo exatamente: a teoria livre. Obtivemos anteriormente (eq. (171)) que: Z0[J] = Z0[0]e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) . (210) Da rela¸c˜ao (193) temos que 63
  64. 64. Z0[J] = eiW0[J] . (211) Calculando o logaritmo da express˜ao (211), obtemos: W0[J] = −ilnZ0[0] − 1 2 d4 x1d4 x2J(x1)∆(x1 − x2)J(x2). Entretanto, para se obter Γ[¯φ] apenas em fun¸c˜ao de ¯φ(x) ´e necess´ario encon- trar J = J(¯φ). No caso da teoria livre, sabemos tamb´em calcular exatamente ¯φ(x) na presen¸ca de uma fonte externa qualquer, ou seja, ¯φ(x) = 0|φ(x)|0 J = 1 iZ0[J] δZ0[J] δJ(x) = − i Z0[J] δ δJ(x) e− i 2 d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2) Z0[0] = − d4 y∆(x − y)J(y)e− i 2 d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2) Z0[0] Z0[J] . Mas, pela eq.(171) temos que e− i 2 d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2) Z0[0] Z0[J] = 1. (212) Portanto, ¯φ(x) = − d4 y∆(x − y)J(y). (213) Entretanto, precisamos inverter a eq.(213) uma vez que precisamos de: J = J(¯φ). Uma maneira de inverter a equa¸c˜ao acima ´e aplicar o operador ∂2 + m2 a ¯φ(x), ou seja, (∂2 + m2 )¯φ(x) = − d4 y[(∂2 x + m2 )∆(x − y)]J(y), (214) que usando o resultado do apˆendice III (eq.(278)), temos que 64
  65. 65. (∂2 + m2 )¯φ(x) = J(x). (215) Na eq.(215) temos J(x) como um funcional de ¯φ(x), como desejamos. Para obtermos Γ0[¯φ], temos ent˜ao Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] − 1 2 d4 x1d4 x2 J(x1)∆(x1 − x2)J(x2) − − d4 y J(y)¯φ(y). (216) Substituindo o resultado (215) na express˜ao (216), ficamos com Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] − − 1 2 d4 x1d4 x2 [(∂2 1 + m2 )¯φ(x1)]∆(x1 − x2)[(∂2 2 + m2 )¯φ(x2)] − − d4 y [(∂2 y + m2 )¯φ(y)]¯φ(y). (217) Integrando a eq.(217) por partes, e, usando o fato de que as fun¸c˜oes de ¯φ(x) tendem a zero na fronteira da regi˜ao considerada, ent˜ao d4 x1 [(∂2 1 + m2 )¯φ(x1)]∆(x1 − x2) = = d4 x1 [(∂2 1 + m2 )∆(x1 − x2)]¯φ(x2) = −¯φ(x2). (218) Assim, voltando a eq. (216), ficamos com Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] + 1 2 d4 x2 ¯φ(x2)[(∂2 2 + m2 )¯φ(x2)] − − d4 x2 ¯φ(x2)(∂2 + m2 )¯φ(x2) ⇒ ⇒ Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] − 1 2 d4 x ¯φ(x)(∂2 + m2 )¯φ(x). (219) 65
  66. 66. Integrando por partes o segundo termo do l.d. da eq. (219), encontramos que − 1 2 d4 x ¯φ(x)(∂2 + m2 )¯φ(x) = − 1 2 d4 x [−∂µ ¯φ∂µ ¯φ + m2 ¯φ(x)]. (220) Logo, Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] + d4 x L(¯φ(x), ∂µ ¯φ(x)), (221) onde L(¯φ(x), ∂µ ¯φ(x)) = 1 2 ∂µ ¯φ(x) ∂µ ¯φ(x) − 1 2 m2 ¯φ(x), (222) que coincide com a densidade de lagrangeana (147) quando λ = 0. Vemos que Γ0[¯φ] ´e, essencialmente, a a¸c˜ao do sistema, para a configura¸c˜ao de v´acuo ¯φ(x). No caso geral em que temos intera¸c˜ao n˜ao ´e conhecida a express˜ao exata de Γ[¯φ], mas ainda assim identificamo-la com a a¸c˜ao efetiva do sistema. No caso geral, usamos m´etodos aproximados ou expans˜oes para obter a express˜ao de Γ[¯φ]. Temos dois tipos de expans˜oes em ¯φ(x): uma ´e a expans˜ao n˜ao local, com a qual estamos mais acostumados e aparecem as fun¸c˜oes de v´ertice. A outra ´e a expans˜ao local, na qual aparece o potencial efetivo. Da mesma maneira que Z[J] e W[J] s˜ao funcionais da corrente externa J(x) e tˆem s´eries de Taylor funcionais associadas, tamb´em Γ[¯φ] ´e um funcional de ¯φ(x), e tem associada a si uma s´erie de Taylor funcional. N˜ao discutire- mos aqui o caso em que existe quebra espontˆanea de simetria (veja o livro do Amit, p´ag. 91). Temos ent˜ao a expans˜ao em torno da configura¸c˜ao de v´acuo da teoria, quando J(x) = 0, ou seja, ¯φ(x) = δW[J] δJ |J=0, (223) 66
  67. 67. ou, δΓ[¯φ] δ ¯φ(x) = J(x) = 0. (224) Como estamos trabalhando com teorias que por hip´otese n˜ao possuem quebra espontˆanea de simeteria (no nosso caso, m2 > 0), ent˜ao, ¯φ(x) = δW[J] δJ |J=0 = 0, (225) e Γ[¯φ] pode ser escrita como uma expans˜ao n˜ao local da forma Γ[¯φ] = ∞ n=0 1 n! d4 x1 . . . d4 xn Γ(n) (x1, . . . , xn) ¯φ(x1) . . . ¯φ(xn), (226) onde ¯φ(x) = δW[J] δJ(x) para J(x) = 0. As fun¸c˜oes Γ(n) (x1, . . . , xn) s˜ao as chamadas fun¸c˜oes de v´ertice, ou, fun¸c˜oes pr´oprias de v´ertice. A rela¸c˜ao entre Γ(n) (x1, . . . , xn) e o funcional gerador Γ[¯φ(x)] ´e: Γ(n) (x1, . . . , xn) = δn Γ[¯φ] δ ¯φ(x1) . . . δ ¯φ(xn) |J=0. (227) As derivadas funcionais s˜ao calculadas na configura¸c˜ao em que temos J(x) = 0. A situa¸c˜ao mais simples (que ´e a que estamos considerando), ´e aquela na qual ¯φ(x; J = 0) = 0. Formalmente, conhecemos Γ[¯φ] e as fun¸c˜oes pr´oprias Γ(n) (x1, . . . , xn), mas, na verdade, s´o ´e poss´ıvel obter estas quantidades aproximadamente. Precisamos relacion´a-las `as express˜oes perturbativas que temos para G(n) e G(n) c . Para tanto, usamos as rela¸c˜oes formais conhecidas (eqs.(208) e (209)): Γ[¯φ] = W[J] − d4 y J(y)¯φ(y), (228) 67
  68. 68. e ¯φ(x) = δW[J] δJ(x) , J(x) = − δΓ[¯φ] δ ¯φ(x) . (229) Assim, δ2 W[J] δJ(x)δJ(y) = δ ¯φ(x) δJ(y) , (230) e δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(y)¯φ(z) = − δJ(y) δ ¯φ(z) . (231) A partir das eqs.(230) e (231), decorre que d4 y δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(y)δ ¯φ(z) δ2 W[J] δJ(x)δJ(y) = − d4 y δ ¯φ(x) δJ(y) δJ(y) δ ¯φ(z) = − δ ¯φ(x) δ ¯φ(z) = −δ(x − z) ⇒ d4 y δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(y)δ ¯φ(z) δ2 W[J] δJ(x)δJ(y) = −δ(x − z). (232) Portanto, − δ2Γ[¯φ] δ ¯φ(y)δ ¯φ(z) ´e o inverso de δ2W[J] δJ(x)δJ(y) , para qualquer que seja o valor da corrente externa. Em particular, temos que δ2W[J] δJ(x)δJ(y) |J=0 = G(2) c (x, y), que ´e a fun¸c˜ao de dois pontos conexa da teoria, tamb´em chamada de propagador vestido. Como nesta fun¸c˜ao de dois pontos s´o temos gr´aficos conexos, ent˜ao graficamente, podemos escrever, no espa¸co dos momenta: G(2) c = ...+++ (233) 68
  69. 69. Note que ´e a unidade fundamental, a partir da qual todos os outros gr´aficos conexos podem ser obtidos. Ent˜ao, 1 [ 1 - 1 + =...++ ] = (234) onde estamos supondo que o gr´afico no denominador do lado direito ´e menor que um, para que a s´erie seja convergente. A figura nos d´a a representa¸c˜ao gr´afica de G(2) c . Dividindo por p , temos que G(2) c = - 1 ( ) -1 (235) Como no espa¸co dos momenta, G(2) c Γ(2) = −1 ⇒ Γ(2) = − (p2 − m2 ) (236) Vemos que a Γ(2) est˜ao associados os gr´aficos de dois pontos. Note que a fun¸c˜ao de dois pontos irredut´ıvel n˜ao possui pernas externas, da´ı serem estas fun¸c˜oes chamadas de fun¸c˜oes de Green amputadas. Vejamos o que acontece com Γ(3) . J´a vimos da eq. (232) que d4 x δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(x)δ ¯φ(z) δ2 W[J] δJ(x)δJ(y) = −δ(y − z). 69
  70. 70. Derivando funcionalmente a express˜ao anterior com rela¸c˜ao a J(w) encon- tramos d4 x δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(x)δ ¯φ(z) δ3 W[J] δJ(x)δJ(y)δJ(w) + + d4 x δ3 Γ[¯φ] δ ¯φ(x)δ ¯φ(z)δJ(w) δ2 W[J] δJ(x)δJ(y) = 0 ⇒ ⇒ d4 x δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(x)δ ¯φ(z) δ3 W[J] δJ(x)δJ(y)δJ(w) + + d4 x1d4 x2 δ3 Γ[¯φ] δ ¯φ(x1)δ ¯φ(z)δ ¯φ(x2) δ ¯φ(x2) δJ(w) δ2 W[J] δJ(x1)δJ(y) = 0, (237) com δ ¯φ(x2) δJ(w) = δ2W[J] δJ(x2)δJ(w) . Multiplicando cada um dos termos da eq.(237) por δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(y)δ ¯φ(X) δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(w)δ ¯φ(Y ) , (238) e integrando sobre y e w, ficamos com d4 xd4 yd4 w δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(y)δ ¯φ(X) δ3 W[J] δJ(x)δJ(y)δJ(w) δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(x)δ ¯φ(z) δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(w)δ ¯φ(Y ) + + d4 x1d4 x2 d4 y δ2 W[J] δJ(x1)δJ(y) δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(y)δ ¯φ(X) δ3 Γ[¯φ] δ ¯φ(x1)δ ¯φ(z)δ ¯φ(x2) × × d4 w δ2 W[J] δJ(x2)δJ(w) δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(w)δ ¯φ(Y ) = 0. (239) Os termos entre colchetes resultam, respectivamente, em −δ(x1−X) e −δ(Y − x2). Portanto, Γ(3) (X, Y, t) ≡ δ3 Γ[¯φ] δ ¯φ(X)δ ¯φ(z)δ ¯φ(Y ) = = − d4 xd4 yd4 w δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(y)δ ¯φ(X) δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(w)δ ¯φ(Y ) δ3 W[J] δJ(x)δJ(y)δJ(w) δ2 Γ[¯φ] δ ¯φ(x)δ ¯φ(z) . (240) 70
  71. 71. Ent˜ao, como δ2Γ δ ¯φ(x1)δ ¯φ(x2) ´e o inverso do propagador, a fun¸c˜ao de v´ertice Γ(3) ´e a fun¸c˜ao de Green conexa amputada do propagador vestido nas pernas externas. Diagramaticamente, Γ (3) W = (241) De forma que Γ(3) ´e a soma dos gr´aficos de 3 pontos irredut´ıveis. Assim, generalizando para qualquer n, Γ(n) ´e igual `a soma dos gr´aficos irredut´ıveis amputados com n pontos externos. Finalmente, vejamos a expans˜ao local do funcional gerador dos gr´aficos 1PI. Fazemos uma expans˜ao de Γ[¯φ(x)] em torno de uma configura¸c˜ao espe- c´ıfica ¯φ(x): −Γ[¯φ] = dx V (¯φ(x)) + 1 2 dx Z(¯φ(x))(∂ ¯φ(x))2 + . . . , (242) onde V e Z s˜ao fun¸c˜oes ordin´arias de ¯φ(x), e apenas de ¯φ(x), nunca de suas derivadas. V (¯φ) ´e chamado de potencial efetivo do sistema. Quando a configura¸c˜ao m´edia ´e independente da posi¸c˜ao, ¯φ(x) = ¯φ = cte, −Γ[¯φ] = V (¯φ)Ω, (243) onde Ω = d4 x. ´E importante ressaltar que, uma vez que sabemos a de- pendˆencia funcional de V com ¯φ = cte., sabemos que essa dependˆencia ´e v´alida para qualquer ¯φ(x), pois V n˜ao envolve derivadas de ¯φ(x). O potencial efetivo ´e dado pela soma das fun¸c˜oes irredut´ıveis com mo- mentum externo nulo. Par vermos isto, consideramos o funcional da a¸c˜ao efetiva do modelo λφ4 na ausˆencia de quebra espontˆanea de simetria, 71
  72. 72. Γ[¯φ] = ∞ n=0 1 n! d4 x1 . . . d4 xn Γ(n) (x1, . . . , xn)¯φ(x1) . . . ¯φ(xn). (244) Como a teoria deve ser invariante sob transla¸c˜oes, temos que Γ(n) (x1, . . . , xn) = Γ(n) (x2 − x1, x3 − x1, . . . , xn − x1). (245) Consideremos o caso n = 4; ent˜ao, Γ(4) (x1, x2, x3, x4) = Γ(4) (x2 − x1, x3 − x1, x4 − x1). (246) Mas Γ(4) (x2 − x1, x3 − x1, x4 − x1) = = 1 [(2π)4]3 d4 p2ei(x2−x1)p2 d4 p3ei(x3−x1)p3 d4 p4 ei(x4−x1)p4 ˜Γ(4) (p2, p3, p4) = 1 [(2π)4]3 d4 p2d4 p3d4 p4 eix2p2 eix3p3 eix4p4 e−ix1(p2+p3+p4) ˜Γ(4) (p2, p3, p4). (247) Logo, Γ(4) (x1, x2, x3, x4) = = 1 [(2π)4]3 d4 p1d4 p2d4 p3d4 p4 δ(p1 + p2 + p3 + p4) × ×eip1x1 eix2p2 eix3p3 eix4p4 ˜Γ(4) (p2, p3, p4). (248) Substituindo esta express˜ao na eq. (244) temos Γ[¯φ] = ∞ n=0 1 n! d4 x1 . . . d4 xn d4 p1 d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 ¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) × ×ei(p1x1+...+pnxn) δ(p1 + . . . + pn)˜Γ(n) (p1, . . . , pn). (249) 72
  73. 73. Expandindo ˜Γ(n) (p1, . . . , pn) em torno da configura¸c˜ao p1 = . . . = p2 = 0, ou seja, ˜Γ(n) (p1, . . . , pn) = ˜Γ(n) (0, . . . , 0) + pi ∂˜Γ(n) ∂pi |{0} + + 1 2! pipj ∂2 ˜Γ(n) ∂pi∂pj |{0},i≥j + . . . , (250) onde estamos usando a conven¸c˜ao de soma sobre os´ındices repetidos. Voltando `a express˜ao (244), temos Γ[¯φ] = ∞ n=0 1 n! d4 x1 . . . d4 xn d4 p1 d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 ¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) × ×ei(p1x1+...+pnxn) δ(p1 + . . . + pn)˜Γ(n) (0, . . . , 0) + + ∞ n=0 1 n! d4 x1 . . . d4 xn d4 p1 d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 ¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) × ×ei(p1x1+...+pnxn) δ(p1 + . . . + pn)pi ∂˜Γ(n) ∂pi |{0} + . . . Assim, Γ[¯φ] = ∞ n=0 ˜Γ(n) (0, . . . , 0) n! d4 x1 . . . d4 xn d4 p1 d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 × ×¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ei(p1x1+...+pnxn) δ(p1 − (−p2 − . . . − pn)) + + ∞ n=0 1 n! ∂˜Γ(n) ∂pi |{0} d4 x1 . . . d4 xn d4 p1 d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 ¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) × ×ei(p1x1+...+pnxn) δ(p1 + . . . + pn)pi + . . . . 73
  74. 74. Vamos considerar cada integral em separado: a) d4 x1 . . . d4 xn d4 p1 d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 ¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) × ×ei(p1x1+...+pnxn) δ(p1 − (−p2 − . . . − pn)) = = d4 x1 . . . d4 xn ¯φ(x1) . . . ¯φ(xn)δ(x2 − x1)δ(x3 − x1) . . . δ(xn − x1) = d4 x1 ¯φn (x1). b) d4 x1 . . . d4 xn d4 p1 d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 ¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) × ×ei(p1x1+...+pnxn) δ(p1 + . . . + pn)pi = d4 x1 . . . d4 xn d4 p1 d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 δ(p1 + . . . + pn) ∂ ∂xi ei(p1x1+...+pnxn) × ×¯φ(x1) . . . ¯φ(xi) . . . ¯φ(xn). Mas, ∂ ∂xi [ei(p1x1+...+pnxn) ¯φ(x1) . . . ¯φ(xi) . . . ¯φ(xn)] = = ∂ei(p1x1+...+pnxn) ∂xi ¯φ(x1) . . . ¯φ(xi) . . . ¯φ(xn) + +ei(p1x1+...+pnxn) ¯φ(x1) . . . ∂ ¯φ(xi) ∂xi . . . ¯φ(xn). (251) O termo do l.e. da eq.(251) ´e um termo de superf´ıcie, e, supondo que ϕc(x) v´a a zero para x → ∞, este n˜ao contribui para a integral (b). Sendo assim, a integral (b) fica 74
  75. 75. d4 x1 . . . d4 xn d4 p1 d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 δ(p1 + . . . + pn)ei(p1x1+...+pnxn) × ×¯φ(x1) . . . ∂ ¯φ(xi) ∂xi . . . ¯φ(xn) = = − d4 x1 . . . d4 xn d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 eip2(x2−x1) eip3(x3−x1) . . . eipn(xn−x1) × ×¯φ(x1) . . . ∂ ¯φ(xi) ∂xi . . . ¯φ(xn) = − d4 x1 ¯φn−1 (x1) ∂ ¯φ(x1) ∂x1 . Assim, d4 x1 . . . d4 xn d4 p2 (2π)4 . . . d4 pn (2π)4 piδ(p1 + . . . + pn) × ×¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ei(p1x1+...+pnxn) = = − d4 x1 ¯φn−1 (x1) ∂ ¯φ(x1) ∂x1 . Voltando `a express˜ao (244) temos Γ[¯φ] = ∞ n=0 ˜Γ(n) (0, . . . , 0) (n)! d4 x1 ¯φn (x1) − − ∞ n=0 1 (n)! ∂˜Γ(n) ∂pi |{0} d4 x1 ¯φn−1 (x1) ∂ ¯φ(x1) ∂x1 + . . . . (252) A primeira derivada de ˜Γ ´e nula, pelo menos no caso em que n˜ao h´a quebra espontˆanea de simetria. Entretanto, a forma na qual as derivadas superi- ores dos campos aparecem nesta express˜ao ´e a mesma que obtivemos para a primeira derivada. 75
  76. 76. 6 Apˆendice I: M´etrica O produto escalar no espa¸co de Minkowski em 4-dimens˜oes espa¸co-temporal ´e definido como: a · b = aµbµ = gµν aµbν, µ, ν = 0, 1, 2, 3, (253) onde o tensor m´etrico gµν ´e escolhido como: gµν = gµν =      1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1      . (254) Para escrever a m´etrica de forma suscinta, usamos a nota¸c˜ao: gµν = diag(1, −1, −1, −1). Na eq.(253) usamos a conven¸c˜ao de soma impl´ıcita em que somamos sobre ´ındices repetidos. Continuaremos a usar esta con- ven¸c˜ao nestas notas. Os vetores contra-variantes s˜ao definidos como: xµ = (t, x), (255) enquanto que os vetores covariantes s˜ao definidos como: xµ = (t, −x), (256) Relacionamos os vetores contra-variantes e covariantes atrav´es do tensor m´etrico: xµ = gµνxν e xµ = gµν xν. (257) Os 4-vetores diferenciais s˜ao definidos como: ∂ ∂xµ ≡ ∂µ = ( ∂ ∂t , ), (258) 76
  77. 77. e ∂ ∂xµ ≡ ∂µ = ( ∂ ∂t , − ). (259) A rela¸c˜ao (257) entre os vetores covariante e contra-variante continua v´alida para o 4-vetores diferenciais, ∂µ = gµν∂ν e ∂µ = gµν ∂ν. (260) O operador diferencial d’Alambertiano ´e um escalar de Lorentz: ∂2 ≡ ∂µ∂µ = ∂2 ∂t2 − 2 = . (261) 7 Apˆendice II: Prolegomena de Mecˆanica Est´ıstica Seja {|n }, o conjunto de auto-vetores da hamiltoniana H, que descreve o sistema quˆantico, H|n = En|n , (262) onde En s˜ao os autovalores correspondentes. Os estados |n s˜ao escolhidos ortonormais, n|m = δnm. (263) Assumimos que os autoestados da hamiltoniana H formam uma base com- pleta, de forma que satisfazem a rela¸c˜ao de completeza, 77
  78. 78. |n |n n| = 1l. (264) Qualquer operador quˆantico ˆO, pode ser escrito como: ˆO = 1l ˆO1l = n,m |n n| ˆO|m m|. (265) Definimos os elementos da representa¸c˜ao matricial do operador ˆO na base dos auto-vetores da hamiltoniana como: onm ≡ n| ˆO|m . (266) O valor m´edio da quantidade f´ısica associada ao operador ˆO, em qualquer auto-estado da energia, ´e: l| ˆO|l = n,m l|n n| ˆO|m m|l = oll. (267) que d´a os elementos da diagonal da respresenta¸c˜ao matricial de ˆO na base dos vetores de estado com energia definida. Quando o sistema quˆantico est´a em equil´ıbrio termodinˆamico, a proba- bilidade dele ser encontrado no estado |n , que ´e auto-estado de energia com autovalor En, ´e: Pn = e−βEn n e−βEn , (268) de forma que a m´edia estat´ıstica e quˆantica ´e igual a: ˆO T = onne−βEn n e−βEn = 1 Z n n| ˆO|n e−βEn 78
  79. 79. = 1 Z n,m n| ˆO|m m|e−βH |n = 1 Z n n| ˆOe−βH |n = Tr[ ˆOe−βH ] Tr[e−βH] . (269) Portanto, a m´edia est´ıstica e quˆantica, de qualquer operador quˆantico ´e: ˆO T = Tr[ ˆOe−βH ] Tr[e−βH] . (270) 8 Apˆendice III: Fun¸c˜ao de Green da Teoria Livre O propagador da teoria livre ´e dado por ∆(x2 − x1) = 1 (2π)2 d4 p 1 (2π)2 e−ip(x2−x1) p2 − (m2 − i ) , (271) onde estamos usando a conven¸c˜ao: px ≡ pµxµ . Queremos mostrar que ∆(x2 − x1) ´e a fun¸c˜ao de Green da teoria livre. Para isso, consideremos a equa¸c˜ao de movimento do campo livre. A densidade de Lagrangeana da teoria livre ´e: L = 1 2 ∂µφ∂µ φ − 1 2 m2 φ2 . (272) A equa¸c˜ao de Euler-Lagrange ´e ent˜ao ∂L ∂φ − ∂µ( ∂L ∂(∂µφ) ) = 0 ⇒ ∂µ∂µ φ + m2 φ2 = 0. (273) Definindo ∂2 ≡ ∂µ∂µ , a equa¸c˜ao cl´assica fica: ∂2 φ + m2 φ = 0. (274) 79
  80. 80. Aplicamos o operador ∂2 + m2 `a fun¸c˜ao ∆(x2 − x1): (∂2 1 + m2 )∆(x2 − x1) = 1 (2π)2 d4 p 1 (2π)2 ( ∂2 ∂t2 1 − 2 1 + m2 ) e−ip(x2−x1) p2 − (m2 − i ) , (275) onde p2 = p2 0 − p 2 . Ent˜ao, ( ∂2 ∂t2 1 − 2 1)e−ip(x2−x1) = (−p2 0 + p 2 )e−ip(x2−x1) = −p2 e−ip(x2−x1) . (276) Assim, (∂2 1 + m2 )∆(x2 − x1) = 1 (2π)4 d4 p −p2 + m2 p2 − (m2 − i ) e−ip(x2−x1) = = −δ(x2 − x1). (277) O i que aparece no denominador da express˜ao (277), n˜ao contribui, pois, de uma maneira bastante heur´ıstica, vemos que o numerador e o denomi- nador v˜ao a zero na mesma regi˜ao de momento e, portanto, o quociente dos dois ´e finito. Encontramos desta forma que ∆(x2 −x1) ´e a fun¸c˜ao de Green da equa¸c˜ao de movimento cl´assica da teoria livre, (∂2 + m2 )∆(x2 − x1) = −δ(x2 − x1), (278) e que a prescri¸c˜ao do i ´e utilizada para escolher as condi¸c˜oes de contorno que da ∆(x1 − x2) deve satisfazer. 80

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