O documento discute o cálculo do comprimento de arcos de curvas planas. Ele apresenta três métodos: 1) Usando a equação cartesiana da curva, dividindo o intervalo em subintervalos e somando as distâncias entre pontos; 2) Usando a definição de integral definida, onde o comprimento é dado pela integral da raiz quadrada da soma dos quadrados das derivadas; 3) Para curvas dadas parametricamente, fazendo mudança de variável na integral definida.

1. Aplicações da Integral
Definida

2. Comprimento de arco de
uma curva plana usando a
sua equação cartesiana

3. Seja y=f(x) uma função contínua e derivável em [a,b].
Vamos encontrar o comprimento da curva C formada
pelo gráfico de f(x), de x=a até x=b.

4. Dividimos o intervalo [a,b] em n sub-intervalos tal que
a = x0 < x1 < x2 <...< xn = b. Sejam Q0, Q1, ...,Qn os pontos
correspondentes sobre a curva C. Seja ∆xj=xj-xj-1 o
comprimento do intervalo [xj-1,xj]. Seja cj∈[xj-1,xj].

5. Unindo os pontos Q0, Q1, ...,Qn obtemos uma poligonal
cujo comprimento nos dá uma aproximação do
comprimento de arco da curva C.

6. ( xi − xi −1 ) 2 + ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) 2
xi −1 xi
O comprimento da poligonal, denotado por s n,é dado por:
n
sn = ∑ ( xi − xi − 1 )2 + ( f ( xi ) − f ( xi − 1 )) 2
i=1
Distância entre
dois pontos

7. Como f é derivável em [a,b] podemos aplicar o Teorema do Valor
Médio (para derivada!) em cada intervalo [xi-1,xi], i=1,2,3,...,n e
f ( xi ) − f ( xi −1 ) = f '(ci )( xi − xi −1 )
temos:
n
sn = ∑ ( xi − xi −1 ) 2 + ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) 2
i =1
n
sn = ∑ ( xi − xi −1 ) 2 + ( f '(ci )( xi − xi −1 ) )
i =1
(
n
sn = ∑ ( xi − xi −1 ) 2 1 + ( f '(ci ) )
i =1
n
sn = ∑
i =1
n
sn = ∑
i =1
( 1 + ( f '(c ) ) ) ( x − x
2
i
i
( 1 + ( f '(c ) ) ) ∆x
2
i
i
i −1
2
)
)
2

8. A medida que n cresce muito e cada ∆xj, j=1,2,3,...,n
torna-se pequeno, sn aproxima-se do que
intuitivamente entendemos como o comprimento de
arco da curva C de a até b.
n
sn = ∑
i =1
(
)
1 + ( f '(ci ) ) ∆xi
2

9. Definição
Definição: Seja C uma curva de equação y=f(x), onde
f é uma função contínua e derivável em [a,b]. O
comprimento de arco de curva C, do ponto (a,f(a)) ao
ponto (b,f(b)), é dado por:
s = lim
n
max ∆x j → 0
∑
j =1
1 + [ f '(ci ) ] ∆xi
se este limite existir.
Pode-se mostrar que se f’(x) é contínua em [a,b], este
limite existe e, então, pela definição de integral definida
temos:
s=∫
b
a
1 + [ f '( x) ] dx
2

10. Podem ocorrer situações em que a curva C é dada por
x=g(y) em vez de y=f(x). Neste caso o comprimento do
arco da curva C de (g(c),c) até (g(d),d) é dado por:
s=∫
d
c
1 + [ g '( y ) ] dy
2

11. Exemplos

12. Comprimento de arco de
uma curva plana dada por
suas equações paramétricas

13. Vamos calcular o comprimento de um arco de uma
curva C, dada na forma paramétrica pela equações:
 x = x(t )
, t ∈ [ t0 , t1 ]

 y = y (t )
onde x=x(t) e y=y(t) são contínuas com derivadas
contínuas, e x’(t)≠0 para todo t∈(t0,t1)
Estas equações definem uma função y=f(x), cuja
derivada é dada por:
dy y '(t )
=
dx x '(t )

14. Sabemos que o comprimento de arco de uma curva
plana usando a sua equação cartesiana é:
s=∫
b
a
1 + [ f '( x) ] dx
2
Vamos fazer uma mudança de variáveis, substituindo
x=x(t) e dx=x’(t)dt obtemos:
s=∫
t1
s=∫
t1
t0
t0
2
 y '(t ) 
1+ 
 x '(t )dt , onde x (t0 ) = a e x (t1 ) = b
 x '(t ) 
[ x '(t )] + [ y '(t )] dt
2
2

15. Exemplos