SlideShare uma empresa Scribd logo

الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية

•
•
Dr Abd Allah Mousa
Dr Abd Allah Mousa
1 de 65
Baixar para ler offline
‫المملكة العربية السعودية‬ ‫وزارة التعليم العالي‬ ‫جامعة الطائف‬ ‫إدارة النشر العلمي‬ ‫املعادالت التفاضلية‬ ‫النظرية والتطبيق‬ ‫الدكتور‬ ‫الدكتور‬ ‫عبد هللا عبد هللا موسى‬ ‫بخيت نفيع المطرفي‬ ‫الطبعة األولى‬ ‫1133هـ- 2312 م‬
‫المعادالت التفاضلية : النظرية والتطبيق‬ ‫د. بخيت نفيع مرزوق المطرفي‬ ‫د. عبد اهلل عبد اهلل محمد موسى‬ ‫© حقوق النشر محفوظة لجامعة الطائف‬ ‫جامعة الطائف- الحوية‬ ‫رمز بريدي: 21974‬ ‫المملكة العربية السعودية‬ ‫(ح) جامعة الطائف 1127هـ‬ ‫فهرسة مكتبة الملك فهد الوطنية أثناء النشر‬ ‫المطرفي، بخيت نفيع مرزوق‬ ‫المع ــادالت التفاض ــلية: النظري ــة والتطبي ــق. / بخي ــت نفي ــع م ــرزوق المطرف ــي،‬ ‫عبد اهلل عبد اهلل موسى- الطائف، 1127هـ‬ ‫091 ص، 17×24س‬ ‫ردمك : 6-99-1603-106-319‬ ‫المعادالت التفاضلية أ. موسى، عبداهلل عبداهلل (مؤلف مشارك)‬ ‫ب- العنوان‬ ‫9312/1127‬ ‫ديوي 565‬ ‫رقم اإليداع: 9312/1127‬ ‫ردمك : 6-99-1603-106-319‬ ‫التصميم المعلوماتي والج افيكي د/مجدي حسين النحيف‬ ‫ر‬ ‫الطبعة األولى: 1127ه/4704م‬
‫المقدمة‬ ‫مقدمــــــــة‬ ‫بســم اهلل الــرحمن الــرحيم، الحمــد هلل رب العــالمين، والص ـ و والس ـ م علــى خيــر خلــق‬ ‫اهلل أجمعــين محمــد بــن عبــد اهلل، الرســوا الصــادق الوعــد األمــين صــلى اهلل عليـ وعلــى لـ‬ ‫وصحب أجمعين .. أما بعد‬ ‫فهـ ا هــو أحــد المؤلفــات فــي سلســلة مؤلفــات عربيــة نســما اهلل أن يوف نــا إلكمالهــا وهــو‬ ‫مؤل ــف بلاتن ــا العربي ــة ، تل ــك اللا ــة الثري ــة ف ــي مفرداته ــا الاني ــة ف ــي ألفاظه ــا .. لاــة ال ــرن‬ ‫الكـريم، لاــة العــرب ولاــة العلــم. وأننــا ا ا ن ــدم هـ ا الجهــد المتواضــع الـ ي نضــيف الــى مــا‬ ‫كتــب باللاــة العربيــة فــي علــم الرياضــيات البــد أن نـ كر أن هـ ا الكتــاب ال يـ احم أقرنـ فــى‬ ‫ا‬ ‫ز‬ ‫ه ا المضمار، وانما يضيف اليهم أفكار جديدو ومتطو و، فعلى ال مم مـن وجـود العديـد مـن‬ ‫ـر‬ ‫ر‬ ‫اً‬ ‫ع ه ا المؤلف اال أننا نحسب ه ا الكتـاب قـد يسـد بعـق ال صـور‬‫الكتب العربية عن موضو‬ ‫الموجود في بعق المواضيع وكـ لك معالجـة بعـق المواضـيع األخـر التـي لـم يـتم تناولهـا‬ ‫باإلضافة الى ث ائ باألمثلة المتنوعة التي ح العديد من األفكار.‬ ‫تطر‬ ‫ر‬ ‫وب لك ظهر الكتاب في صورت ه ه والتـي نظنهـا ناقصـة وتفت ـر الـى الكمـاا والكمـاا‬ ‫هلل وحـده .. وحسـبنا أننـا حاولنـا واجتهــدنا فـي وضـع فـي صــو و الئ ـة. ومـا هـ ا الكتــاب اال‬ ‫ر‬ ‫طيل ــة س ــنوات ع ــدو‬ ‫ثمـ ـ و جه ــد دؤوب وعم ــا متواص ــا م ــن التحص ــيا والت ــدريس والبحـ ـ‬ ‫ر‬ ‫للمــؤلفين، ويعــد ه ـ ا الكتــاب مرجع ـاً هام ـاً فــي المعــادالت التفاضــلية العاديــة، وه ـ ا الكتــاب‬ ‫د‬ ‫موجـ ـ اساسـ ـاً لطـ ـ ب المرح ــا المتوس ــطة والمت ــمخ و م ــن كلي ــات الهندس ــة والمعاه ــد الفني ــة‬ ‫ر‬ ‫ا‬ ‫العليا. كما أن يتج أيضاً لط ب العلوم التطبي ية األخر من رياضيات وفيزيـاء وكيميـاء.‬ ‫ك ـ لك يتضــمن الكتــاب أج ـ اء كثي ـ و يمكــن أن تصــلم منهاج ـاً لط ـ ب الدرســات العليــا فــى‬ ‫ا‬ ‫زً ر‬ ‫التخصصات الهندسية المختلفـة وكـ لك تخصصـات العلـوم التطبي يـة. ول ـد اعينـا أن تكـون‬ ‫ر‬ ‫معالج ــة المس ــائا العلمي ــة بطري ـ ـة رتيب ــة منهجي ــة تب ــدأ بالص ــيامة والنم ج ــة ث ــم تنت ــا ال ــي‬ ‫اإلجـ ـ اءات والح ــا ث ــم أخيـ ـر تنته ــي بتفس ــير النت ــائل ومحاول ــة اعطائه ــا التفس ــير الهندس ــي‬ ‫اً‬ ‫ر‬ ‫والفيزيائي‬ ‫يبتدئ الكتاب بعرق لمفهوم المعادالت التفاضلية وتبسـيط كـا المفـاهيم الخاصـة بهـا‬ ‫ومحاولة ج ب ال ئ لها، من خ ا تحليا بسيط وتتابع شيق. فـى األبـواب الثـاني والثالـ‬ ‫ار‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫- هـ-‬
‫المقدمة‬ ‫والربــع تــم ت ــديم المعــادالت التفاضــلية مــن الرتبــة األولــى والدرجــة األولــى، وك ـ لك الرتــب‬ ‫ا‬ ‫العليــا وأيضــا المعــادالت التفاضــلية مــن الــدرجات العليــا وطــرق حلهــا مــع ت ــديم العديــد مــن‬ ‫التطبي ــات الفيزيائيــة والهندســية لجعــا المحتــو أكثــر تشــوي ا وأقــرب لتحليــا ومحاكــاو نظــم‬ ‫هندســية ومشــاكا واقعيــة عــن كونـ أداو لحــا مســائا رياضــية ، و يلنــا تلــك األبـواب بالعديــد‬ ‫من التمارين العامة المتنوعة.‬ ‫وقــد أع ــب لــك البــاب الخــامس وفي ـ تــم درســة حــا المعــادالت التفاضــلية بــالطرق‬ ‫ا‬ ‫الت ريبية ( استخدام المتسلس ت )، و لك عوضا عن حلها تحليليـاً، وتـم فـي البـاب السـادس‬ ‫درســة حــا المعــادالت التفاضــلية عــددياً و لــك حــين يصــعب ايجــاد حــا تحليلــي لهــا، وتــم‬ ‫ا‬ ‫توظيف برنامل "المـات ب" ‪ MATLAB‬مـن خـ ا عمـا بـ امل لحـا المعـادالت التفاضـلية‬ ‫ر‬ ‫عددياً وك لك استخدام لتوقيع تلك الحلوا بيانياً، وتـم سـرد العديـد مـن الطـرق، و يـا هـ ان‬ ‫البابان بالعديد من التمـارين العامـة المتنوعـة. و فـي البـاب السـابع واألخيـر تـم ت ـديم تحويـا‬ ‫يعــد تحويــا البـ س‬ ‫البـ س لمــا لـ مــن أهميــة بالاــة فــي حــا المعــادالت التفاضــلية، حيـ‬ ‫من أقو األدوات المسـتخدمة لحـا المعـادالت التفاضـلية الخطيـة، وتـم تـ ييا البـاب بالعديـد‬ ‫من التمارين العامة المتنوعة.‬ ‫وختمنا الكتاب بملحق يحتوي على مرشد وجيـز فـي "المـات ب" ‪ ،MATLAB‬ولـيس‬ ‫درجـات السـلم التـي البـد أن يرت يهـا‬ ‫يـر الباحـ‬ ‫ه ا سو مرشد لينير بداية الطريق بحيـ‬ ‫يريد، ونرجو أن يكون ه ا الكتاب فاتحة لسلسلة مـن المؤلفـات التـي نسـما‬ ‫ليصا الى حي‬ ‫ها خدمة للعلم واث اء للمعرفة .‬ ‫ر‬ ‫اهلل تعالى أن يساعدنا على انجاز‬ ‫واهلل تعالى من و اء ال صد .....وهو ولي التوفيق.‬ ‫ر‬ ‫المؤلفان‬ ‫الطائف – محرم 1127هـ‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫- وـ-‬
‫الفهـــــــــارس‬
‫فهرس المحتويات‬ ‫أوًا:ًفهرسًالمحتوياتً‬ ‫ل‬ ‫هـ-ًو‬ ‫المقدمــــــــةًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫71-1ً‬ ‫البابًاألول:ً المبادىءًاألساسيةًوتصنيفًالمعادلتًالتفاضلية ً‬ ‫79-91ً‬ ‫البابًالثانى:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًاألولىًوالدرجةًاألولىًًًً‬ ‫21‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫11‬ ‫‌ لا : فصل المتغي ات )‪(Separation of variables‬‬ ‫ر‬ ‫أو‬ ‫82‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت يمكن تحويلها إلى معادلت يتم حلها بفصل‬ ‫المتغي ات‬ ‫ر‬ ‫23‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : المعادلت التفاضلية ذات المعامالت المتجانسة‬ ‫63‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت تفاضلية تؤول إلى معادلت تفاضلية متجانسة‬ ‫ر‬ ‫14‬ ‫‌ خامس ا : المعادلة التفاضلية التامة (‪)Exact‬‬ ‫54‬ ‫‌ سادسا : معادلت تفاضلية تُحول إلى تامة عن طريق عامل المكاملة‬ ‫75‬ ‫‌ سابع ـ ا : المعادلت التفاضلية الخطية‬ ‫06‬ ‫‌ ثامنـ ـ ـ ا : معادلت تؤول إلى معادلت تفاضلية خطية‬ ‫76‬ ‫‌ تاسع ا : معادلة ريكاتي‬ ‫07‬ ‫‌ عاشر : طريقة تغيير البا امت ات (‪)Variation of Parameters‬‬ ‫ر ر‬ ‫ا‬ ‫27‬ ‫‌ الحادي عشر : تبديل المتغي ات المستقلة مكان المتغي ات التابعة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫67‬ ‫‌ الثاني عشر : تطبيقات على المعادلت التفاضلية‬ ‫971-99ً‬ ‫المعادلتًالتفاضليةًالخطيةًمنًالرتبًالعليا ً‬ ‫البابًالثالث:ً‬ ‫101‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫901‬ ‫‌ لا : المعادلت التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت الثابتة‬ ‫أو‬ ‫711‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طرق إيجاد الحل الخاص (‪) Particular Solution‬‬ ‫711‬ ‫(2-1) طريقة المؤثر التفاضلي العكسي‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫031‬ ‫(1-1) طريقة تغيير البارمت ات‬ ‫ا ر‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫141‬ ‫(3-1) طريقة المعامالت غير المحددة‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ط-‬ ‫‌‬
‫فهرس المحتويات‬ ‫251‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت المتغي ة‬ ‫ر‬ ‫122‬ ‫(2-3) معادلة كوشي أويلر )‪)Cauchy-Euler‬‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫522‬ ‫(1-3) معادلة ليجندر الخطية‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫602‬ ‫(3-3) طريقة التحليل )‪(Method of Factorization‬‬ ‫‌‬ ‫302‬ ‫(4-3) تخفيض الرتبة )‪(Reduction of order‬‬ ‫‌‬ ‫471‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية اآلنية‬ ‫ر‬ ‫971-181ً‬ ‫البابًال ابع:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًًاألولىًوالدرجاتًالعلياً‬ ‫ر‬ ‫382‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫481‬ ‫‌ لا : معادلت تفاضلية تُستبدل بمعادلت تفاضلية من الدرجة األولى‬ ‫أو‬ ‫681‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة إلى ‪x‬‬ ‫881‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة الى ‪y‬‬ ‫191‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلة كليرو )‪(Clairaut Equation‬‬ ‫ر‬ ‫491‬ ‫‌ خامس ا: معادلة لج انج )‪(Lagrange's Equation‬‬ ‫ر‬ ‫البابًالخامس:ً حلًالمعادلتًالتفاضليةًباستخدامًالمتسلسالتًالالنهائيةًًًً 240-771ً‬ ‫102‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫502‬ ‫‌ لا : مفكوك تيلور (‪)Taylor‬‬ ‫أو‬ ‫012‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : الحل قرب النقطة العادية‬ ‫222‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: الحل قرب النقطة الشاذة المنتظمة (فروبينيس) (‪)Frobenius‬‬ ‫البابًالسادس: ً الحلولًالعدديةًللمعادلتًالتفاضليةًالعاديةًًًًًًًًًًًً 880-140ً‬ ‫341‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫442‬ ‫‌ لا : طريقة أويلر( ‪ )Euler‬لحل المعادلت التفاضلية العادية‬ ‫أو‬ ‫352‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادلت التفاضلية‬ ‫362‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة‬ ‫ر‬ ‫172‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل مجموعة من‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫المعادلت التفاضلية ذات الرتبة األولى‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ي-‬ ‫‌‬
‫فهرس المحتويات‬ ‫372‬ ‫‌ خامس ا : طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل المعادلت التفاضلية‬ ‫ر‬ ‫من الرتبة الثانية‬ ‫082‬ ‫‌ سادس ا : طريقة الفروق المحدودة لحل المعادلت التفاضلية العادية‬ ‫933-780ً‬ ‫ًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫البابًالسابع :ً تحويالتًًلبالسًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫192‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫492‬ ‫‌ لا : تحويالت لبالس لبعض الدوال‬ ‫أو‬ ‫892‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : خواص تحويالت لبالس‬ ‫013‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس العكسي‬ ‫523‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس لحل المعادلت التفاضلية الخطية العادية‬ ‫ر‬ ‫ذات المعامالت الثابتة‬ ‫133‬ ‫‌ خامس ا: حل مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية‬ ‫333‬ ‫‌ سادسا : معادلة فولتر التكاملية (‪)Volterra integral equation‬‬ ‫ا‬ ‫443-733ً‬ ‫الـملحق : المرشدًالوجيزًفيً‪ًًًًًًًًًًًًًًًًً ًًًًًًًMATLAB‬‬ ‫203‬ ‫الم اجع ً‬ ‫ر‬ ‫963‬ ‫دليلًالمصطلحاتًً‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ك-‬ ‫‌‬
‫فهرس األشكال‬ ‫ثانيـــــــــــــً:ًفهرسًاألشكالً‬ ‫ا‬ ‫3‬ ‫شكلً(1-1): عائلة الدوال ‪ y  x 2  c‬لقيم مختلفة من الثابت ‪c‬‬ ‫12‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪ y  ce‬لقيم 3‪ً c  1, 2, ‬‬ ‫2‬ ‫شكل(0-1):ًعائلة الدوال‬ ‫41‬ ‫شكلً(1-0): قانون نيوتن الثاني للحركةً‬ ‫01‬ ‫عة مع الزمنً‬‫شكلً(0-0): منحنى السر‬ ‫05‬ ‫شكلً(3-0): سقوط جسمً‬ ‫95‬ ‫شكلً(4-2): هبوط الجهد لكل من المكثف والملف والمقاومةً‬ ‫68‬ ‫شكلً(5-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف‬ ‫ر‬ ‫28‬ ‫شكلً(4-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة مكثف.‬ ‫ر‬ ‫18‬ ‫شكلً(9-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف.‬ ‫ر‬ ‫08‬ ‫شكلً(8-0): مشكلة تخفيف التركيز‬ ‫58‬ ‫شكلً(7-0): تحت المماس وتحت العمودى‬ ‫88‬ ‫شكلً(21-0): عائلة المنحنيات التي تمثل المعادلة ) ‪x  4(y  c‬‬ ‫2‬ ‫98‬ ‫شكلً(11-0): المسا ات المتعامدة‬ ‫ر‬ ‫29‬ ‫شكلً(01-0): تمثيل المسا ات المتعامدة‬ ‫ر‬ ‫09‬ ‫شكلً(31-0):ًدائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف‬ ‫ر‬ ‫061‬ ‫شكلً(1-5): العالقة ما بين الحل التحليلي والحل بمفكوك تيلور‬ ‫861‬ ‫شكلً(2-5): العالقة مابين الحل بالطرق العددية والحل بمفكوك تيلورً‬ ‫611‬ ‫ليجندر ) ‪Pn (x‬‬ ‫شكلً(3-5): كثي ات حدود‬ ‫ر‬ ‫241‬ ‫شكلً(1-6): الخطوة األولى باستخدام طريقة أويلر‬ ‫041‬ ‫شكلً(2-6): العالقة التكررية باستخدام طريقة أويلر‬ ‫ا‬ ‫941‬ ‫شكلً(3-6): مقارنة الحل التقريبيي عند 2.0 ‪ h ‬بالحل التام‬ ‫941‬ ‫شكلً(4-4): تأثير تغير طول الخطوة على دقة الحل باستخدام طريقةًأويل.ً‬ ‫221‬ ‫شكلً(5-4): الحل التقريبي باستخدام طريقة أويلر والحل التحليلي.‬ ‫821‬ ‫شكلً(4-4): مقارنة الحل التقريبي بطريقة هينز، عند 1.0 ‪ h ‬بالحل التام‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-س-‬ ‫‌‬
‫فهرس األشكال‬ ‫101‬ ‫شكلً(9-4): مقارنة الحل التقريبي للثالثة طرق بطول خطوة مقدا ه 2.0 ‪h ‬‬ ‫ر‬ ‫201‬ ‫شكلً(8-4): نتائج الحل باستخدام طريقة رونج من الرتبة ال ابعة والحل التام‬ ‫ر‬ ‫651‬ ‫شكلً(7-4): تغير درجة الحر ة بالكلفن مع الزمن‬ ‫ار‬ ‫551‬ ‫شكلً(21-4): العالقة مابين كل من ‪ y,v‬مع ‪x‬‬ ‫551‬ ‫شكلً(11-4): وصف حركة البندول‬ ‫951‬ ‫شكلً(01-6): الحركة المخمدة لحركة البندول‬ ‫281‬ ‫شكلً(31-4): عتب مثبت على دعامات‬ ‫281‬ ‫شكلً(41-4):الفروق المحدوده باستخدام طريقة التقريب الفرقي المقسم األوسط‬ ‫181‬ ‫شكلً(51-6): الفروق المحدوده من 0 ‪ x ‬إلى 57 ‪ x ‬باستخدام 52 ‪h ‬‬ ‫481‬ ‫شكلً(61-6): الفروق المحدوده من 0 ‪ x ‬إلى 1 ‪ x ‬باستخدام 52.0 ‪h ‬‬ ‫191‬ ‫شكلً(1-7): التصال المجز‬ ‫أ‬ ‫491‬ ‫شكلً(2-7): دالة خطوة الوحدة‬ ‫491‬ ‫شكلً(3-7): حالة خاصة من دالة خطوة الوحدة‬ ‫663‬ ‫شكلً(4-7): الدالة )‪ G (t‬كدالة في دالة خطوة الوحدة‬ ‫563‬ ‫شكلً(5-7): دالة دورية دورتها 0>‪ p‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫863‬ ‫شكلً(6-7): دالة دورية دورتها 1= ‪ p‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫963‬ ‫شكلً(9-9): دالة دورية دورتها ‪ p = 2‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫143‬ ‫شكل(م-1): ظهر أيقونة البرنامج فور إعداده‬ ‫343‬ ‫شكل(م-0): الواجهة األساسية للبرنامج فور تشغيلة‬ ‫443‬ ‫شكل(م-3): نافذة األوامرً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-4): نافذة فضاء العملً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-5): نافذة فضاء العملً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-4): نافذة المسار الحاليً‬ ‫243‬ ‫شكل(م-9): نافذة الوامروفضاء العمل لدخال بعض المتغي اتً‬ ‫ر‬ ‫243‬ ‫شكل(م-8): التخصيصً‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ع-‬ ‫‌‬
‫فهرس األشكال‬ ‫043‬ ‫شكل(م-7):ًبناء دوال لالدخالً‬ ‫043‬ ‫شكل(م-21):ًبناء متجهً‬ ‫543‬ ‫شكل(م-11):ًإدخال متغيرين هما ‪a,b‬‬ ‫543‬ ‫شكل(م-01):ًنافذة الوامروفضاء العمل للمتغي اتً‬ ‫ر‬ ‫543‬ ‫شكل(م-31):ًبناء ملف بيانات وتحميلة فى فضاء العمل‬ ‫843‬ ‫شكل(م-41):ًفضاء العمل‬ ‫943‬ ‫شكل(م-51):ًعمليات غير تقليدية على المصفوفات‬ ‫623‬ ‫شكل(م-41):ًالستعانة ‪ help‬الخاص ‪matlab‬‬ ‫223‬ ‫شكل(م-91): الدالة ‪ max‬إليجاد أكبر قيمة‬ ‫323‬ ‫شكل(م-81):ًجملة ‪For‬‬ ‫323‬ ‫شكل(م-71):ًصو ة ى لجملة ‪For‬‬ ‫ر أخر‬ ‫423‬ ‫شكل(م-20): بناء مسا ات متداخلة‬ ‫ر‬ ‫423‬ ‫شكل(م-10): جملة ‪while‬‬ ‫223‬ ‫شكل(م-00): جملة ‪If‬‬ ‫523‬ ‫شكل(م-30): بناء ‪Script file‬‬ ‫823‬ ‫شكل(م-40): تنفيذ ‪Script file‬‬ ‫823‬ ‫شكل(م-50): تنفيذ ‪ Script file‬مباش ة‬ ‫ر‬ ‫923‬ ‫شكل(م-40): بناء دالة بسيطة لتقوم بإيجاد جذور معادلة تربيعية‬ ‫923‬ ‫شكل(م-90): إيجاد جذور المعادلة التربيعية 0 ‪x 2  2x  3 ‬‬ ‫603‬ ‫شكل(م-80): بناء الملف وادخال المتغي ات 3 ‪v1,v 2 ,v‬‬ ‫ر‬ ‫203‬ ‫شكل(م-70): منحنى المتغي ات 2 ‪v1,v‬‬ ‫ر‬ ‫203‬ ‫شكل(م-23):ًأستخدام المر ‪ًhold on‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-13):ًرسمً 2 ‪ v1,v‬وكذلك 3 ‪v1,v‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-03):ًأستخدام المرً‪Subplot‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-33):ًتقسم نافذة الرسم الى نافذتينً )2 ‪(1 ‬‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ف-‬ ‫‌‬
‫فهرس األشكال‬ ‫303‬ ‫شكل(م-43):ًتخصيص المتغي ات الرمزية‬ ‫ر‬ ‫403‬ ‫شكل(م-53):ًبناء دالة بإستخدام المتغي ات الرمزية‬ ‫ر‬ ‫403‬ ‫شكل(م-43):ًأيجاد التفاضل والتكامل لدالة رمزية‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ص-‬‫‌‬
‫فهرس الجداول‬ ‫ثالثــــــــــــــ اً:ًفهرسًالجداولً‬ ‫342‬ ‫جدولً(1-3): مجموعة الدوال األساسية لمجموعة من الدوال‬ ‫821‬ ‫جدولً(1-4): مثال على طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة‬ ‫ر‬ ‫591‬ ‫جدولً(1-9)ً:ًتحويالت لبالس لمجموعة من الدوالًً‬ ‫943‬ ‫جدول(م-1):ًالعمليات التى يمكن إج اؤها على المصفوفاتً‬ ‫ر‬ ‫623‬ ‫جدول(م-0):ًدوال تتعامل مع كميات قياسية‬ ‫223‬ ‫جدول(م-3):ًدوال تتعامل مع كميات متجهة‬ ‫123‬ ‫جدول(م-4):ًبعضًدوال المصفوفات‬ ‫023‬ ‫جدول(م-5): العالقات فى ‪Matlab‬‬ ‫023‬ ‫جدول(م-4): العالقات المنطقية فى ‪ًMatlab‬‬ ‫203‬ ‫جدول(م-9): عالمات للتحكم في ع ولون ونقشة خط الرسمً‬ ‫نو‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‌‬ ‫‌‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ش-‬ ‫‌‬
‫الباب السادس‬ ‫احللول العددية‬ ‫للمعادالت التفاضلية العادية‬
‫الباب السادس‬ ‫مقدمة‬ ‫عح ي تييطلطرق‬ ‫حلحلطلييأم تييطلطرق حلحعأمأم ي‬ ‫لييمن اييل حل ييال عييل اييل حلا ييطرق‬ ‫م ي اح أ يأ قناط م ي . لي ح اييطل قتيير اييل حلتعي‬ ‫ييل طرمييق حييرل حلعييل أ ي‬ ‫حلحقرمتمي‬ ‫لييع نيير ح ييأنط ح ي‬ ‫حلحلطلييأم ،‬ ‫ييل طييرق خ ي إل جمدييطر عأ ي ل حقرمتم ي لا ي م حلا ييطرق‬ ‫ر‬ ‫حلحقرمتي . عيير ييك حأييع حلطييرق ي طييرق حلعأي ل حل ررمي‬ ‫حلعصي ل أي عأاييط حلييرلمق‬ ‫مأي يير لعي ييل حلا ي ييطرق‬ ‫متي يير ي ي ح حلتي ييطو تحقي ييرمك طرمق ي ي‬ ‫‪ Numerical‬عم ي ي‬ ‫‪Solution‬‬ ‫حيك‬ ‫حلحلطلأم ال حلرحت حق ل ، م قو لع طرمق ر نج ا حط ال حلررد حلثطنم حل حت ي ،‬ ‫ر‬ ‫حلحلطليأم‬ ‫حلحلطلأم ال حلرحت حأل ل ، مليط عيل حلا يطرق‬ ‫ال حلا طرق‬ ‫عل ادا‬ ‫إ ييحخرحك طرمقي ي حلل يير ق حلاع يير رم لع ييل‬ ‫ا ييل حلرحتي ي حلثطنمي ي . حط ييرق حلت ييطو مل ييط إلي ي‬ ‫حخأييل ي ح حلتييطو حقييرمك حل رميير اييل حلت ي حاج حلاصيياا تتم ي‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي‬ ‫حلا ييطرق‬ ‫حلدار حلاطأ و لع طتاط.‬ ‫"حلاطحالو" لاعطاطة ا ظك طرق حلعل تاط م حر حل ل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-342-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫أوالا : طريقة أويلر(‪ )Euler‬لحل المعادالت التفاضلية العادية‬ ‫حلحلطليأم حل طرمي حلحي حاي ل أي‬ ‫لعيل حلا يطرق‬ ‫ررمي‬ ‫طرمق‬ ‫مأر‬ ‫طرمق‬ ‫حلص ة‬ ‫ر‬ ‫‪dy‬‬ ‫)1.6( --------------- 0‪ f  x , y  , y  x 0   y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلررد ي حأل ل ي ،‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي اييل حلرحت ي حأل ل ي‬ ‫ي ت ي لع حح طاييل اييال حلا ييطرق‬ ‫حلا طرلي ي حلحلطلييأم لححنط ييو اييال حلصيي ة‬ ‫ر‬ ‫ن ي ر نييط حلحناميير نييد قت يير اييل إ ييطرة صييمطت‬ ‫مأر.‬ ‫(6.6) عح مح ن عأاط تط حخرحك طرمق‬ ‫مأر‬ ‫أ ص ة طرمق‬ ‫ر‬ ‫مثال (1-6) : احو حلا طرل حلحلطلأم حآلحم‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ 2y  e  x , y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6) ل ي ح نعييط ل إ ييطرة صييمطتحاط‬ ‫ر‬ ‫نالعييظ ل حلا طرل ي حلحلطلييأم لم ي‬ ‫لحا ل أ حلص ة (6.6) ااط مأ‬ ‫ر‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ e  x  2y, y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫تاقطرنحاط تطلص ة (6.6) ندر ل ‪f  x, y   e x  2 y‬‬ ‫ر‬ ‫مأر‬ ‫أ ص ة ا طرل‬ ‫ر‬ ‫مثال (2-6) : حاحو حلا طرل حلحلطلأم حآلحم‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ey‬‬ ‫5 ‪ x 2y 2  2Sin (3x ), y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أي ي حلصي ي ة (6.6) لي ي ح نع ييط ل إ ييطرة ص ييمطتحاط‬ ‫ر‬ ‫نالع ييظ ل حلا طرلي ي حلحلطل ييأم لم ي ي‬ ‫لحا ل أ حلص ة (6.6) ااط مأ‬ ‫ر‬ ‫2 ‪dy 2Sin (3x )  x 2y‬‬ ‫‪‬‬ ‫5 ‪, y  0 ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ey‬‬ ‫2 ‪2Sin (3x )  x 2y‬‬ ‫‪ f  x , y  ‬حآلل ي ي ي ي ي ي يينعط ل‬ ‫تاقطرنحاط تطلص ة (6.6) ندر ل‬ ‫ر‬ ‫‪ey‬‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي ، تلييرل ل عييل حلا طرل ي‬ ‫مأيير لعييل حلا ييطرق‬ ‫حعأمييل رر ي طرمق ي‬ ‫ح‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-442-‬
‫الباب السادس‬ ‫ل 0‪ y  y‬ن ي يير‬ ‫محلي ي ي‬ ‫ي ي ي حلرحلي ي ي ) ‪ y(x‬اا ي ييط حي ي ي حل ي ييال (6-6) عمي ي ي‬ ‫حلحلطل ي ييأم‬ ‫أي ي إححي ي حل ل 0 ‪ . x 0 ‬تاي ي ح حي ي ل حلام ييل لي ييأرحل ) ‪ y(x‬ي ي ‪، f  x , y ‬‬ ‫ر‬ ‫0‪. x  x‬‬ ‫إل اييال اييل‬ ‫ع ييو حل الل ي (6.6) تا ي ح ح ي ل حلامييل نيير 0 ‪ x  x‬ي ‪ f  x 0 , y0 ‬عم ي‬ ‫0‪. y  x 0   y‬‬ ‫0‪ y0 ، x‬ا أ ا ال حل رط حقتحرح‬ ‫مأر‬ ‫شكل (1-6) : حلخط ة حأل ل تط حخرحك طرمق‬ ‫0‪y1  y‬‬ ‫حلح ي ن ييحطمال‬ ‫أ ي حلص ي ة‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫اييل حل ييال نديير ل حلامييل نيير 0 ‪x  x‬‬ ‫0 ‪x1  x‬‬ ‫اناط حلعص ل أ حل الل‬ ‫0‪y1  y‬‬ ‫‪f  x 0 , y0  ‬‬ ‫‪ y1  y0  f  x 0 , y0  x1  x 0 ‬‬ ‫0 ‪x1  x‬‬ ‫أ إ حتطر ننط لانط تح ام 0‪ x1  x‬تط ل حلخطي ة مرايل ليد تيطلرال ‪ ، h‬لنعصيل أي‬ ‫حل الل‬ ‫)2.6( --------------------- ‪y1  y0  f  x 0 , y0  h‬‬ ‫1‪ y‬ح تر يل حلقماي حلحقرمتمي (‪ )approximate value‬ل ي ) ‪ y(x‬نير 1‪x  x‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫(‪ ،)Predicted value‬لع ييطو 2 ‪y‬‬ ‫حلاح ل ي ي‬ ‫عمطنييط مطأ ييق أماييط حلقماي ي حلحنتؤم ي‬ ‫لي ) ‪ y(x‬نر 2 ‪x  x‬‬ ‫حلقما حلحقرمت‬ ‫)3.6( --------------------- ‪y2  y1  f  x1, y1  h‬‬ ‫‪x 2  x1  h‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫حل الل حل طا‬ ‫ح حاطرح أ اط تق ال حل اللحمل (6.6) (3.6) ماال حلح صل إل‬ ‫حلحطلم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-542-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪y(xi 1 )  y(xi )  f  xi , yi  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xi 1  xi  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حلح ماال إخحصطر احطتحاط أ حل ال حلحطل‬ ‫ح‬ ‫‪yi 1  y  xi   f  xi , yi  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)4.6( ---------------- ‪‬‬ ‫‪xi 1  xi  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫مأر ا‬ ‫أماط‬ ‫عمطنط مطأق‬ ‫مأر،‬ ‫حل الل حلحاررم (4.6) تطرمق‬ ‫ح‬ ‫ح ا‬ ‫(‪ )Euler-Cauchy method‬حل ال حلحطل م ل حأع حل الل حلحاررم‬ ‫ح‬ ‫مأر‬ ‫شكل (2-6) : حل الل حلحاررم تط حخرحك طرمق‬ ‫ح‬ ‫ني يير 1 ‪ x ‬تا أ ام ي ي‬ ‫‪y  y  x‬‬ ‫مثااااال (3-6) : دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم‬ ‫1 ‪y(0) ‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫حلرردي‬ ‫ي ا طرلي حلطليأم خطمي اييل حلرحتي حأل لي‬ ‫ل حأييع حلا طرلي‬ ‫ايل حل حلي‬ ‫ليع اايط حي حلتيطو حلثيطن‬ ‫ن حطمال عأاط أ إ حتطر ناط ا طرل حلطلأم خطم‬ ‫حأل ل‬ ‫ما ل عأاط أ حل ال حلحطل‬ ‫)5.6( ------------------------ ‪y( x)  x  1  2e x‬‬ ‫يل‬ ‫ا رحي ايرإل رلي حأيع حلطرمقي ،‬ ‫حآلل نق ك تعأاط ررمط لحنامر ح طلمي حلطرمقي‬ ‫ماال لمطرة حلرل لاط امف ماال لع ؟‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-642-‬
‫الباب السادس‬ ‫يال ا طرلي‬ ‫أي‬ ‫نق ك تلرل حل 2.0 ‪ h ‬نق ك ت لال حلا طرل حلحلطلأم‬ ‫ح حلترحم‬ ‫أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫مأر لحصت‬ ‫‪y  y  x  y  x  y‬‬ ‫تا ح ح ل ‪ f (x, y )  x  y‬حلح مل ح حل الل (4.6) نعصل أ‬ ‫)2.0( ‪yi 1  yi  f  xi , yi  h  yi 1  yi   xi  yi ‬‬ ‫اناط نعصل أ حل الل حلحطلم‬ ‫‪yi 1  0.8yi  (0.2)  xi ‬‬ ‫‪, i  0,1, 2, 3, 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 ‪y(0) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حآلل ن ل ل 4 ,3 ,2 ,1,0 ‪ i ‬ح حل الل حل طتق لنعصل أ‬ ‫8.0 ‪y1  (0.8)y 0  (0.2)x 0  (0.8)(1)  (0.2)(0) ‬‬ ‫86.0 ‪y 2  (0.8)y1  (0.2)x1  (0.8)(0.8)  (0.2)(0..2) ‬‬ ‫426.0 ‪y3  (0.8)y 2  (0.2)x 2  (0.8)(0.68)  (0.2)(0.4) ‬‬ ‫916.0 ‪y 4  (0.8)y3  (0.2)x 3  (0.8)(0.624)  (0.2)(0.6) ‬‬ ‫556.0 ‪y5  (0.8)y 4  (0.2)x 4  (0.8)(0.691)  (0.2)(0.8) ‬‬ ‫تا ح ح ل حلعل حل رري لأا طرل حلحلطلأم تا أ ام 2.0 ‪h ‬‬ ‫1 ‪y ( x  0) ‬‬ ‫8.0 ‪y ( x  0.2) ‬‬ ‫86.0 ‪y ( x  0.4) ‬‬ ‫426.0 ‪y ( x  0.6) ‬‬ ‫916.0 ‪y ( x  0.8) ‬‬ ‫556.0 ‪y ( x  1) ‬‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6) عم ي‬ ‫ر‬ ‫حآلل يينق ك تحصييامك ترنييطاج جمدييطر عييل ي ا طرل ي حلطلييأم‬ ‫ااط مأ‬ ‫إرخطل ت ل حلتمطنط‬ ‫معحطج حلترنطاج إل‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة مرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخطل حلرحل ) ‪ f (x , y‬لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫لما ال ال 0 ‪. y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-742-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪Y(i+1)=Y(i)+h*subs(f‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫مأر‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (1-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫‪the function f(x,y)=x-y‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫1=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫0086.0 0008.0 0000.1‬ ‫0426.0‬ ‫2916.0‬ ‫4556.0‬ ‫>>‬ ‫حل طرمي اايط حير‬ ‫حلقمك حلح عصأنط أمايط ايل حلع يطتط‬ ‫نالعظ نط ل لمك حلرحل ‪y‬‬ ‫حلدايير حل ل ي . حل ييال (3-6) م ل ي حلعييل حل ييرري حلحقرمت ي (‪ )Approximate‬حلعييل‬ ‫اط حاثأ حلا طرل (5.6)‬ ‫حلحطك (‪ )Exact‬لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-842-‬
‫الباب السادس‬ ‫1‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫‪y‬‬ ‫57.0‬ ‫‪Exact solution‬‬ ‫7.0‬ ‫56.0‬ ‫)2.0=‪approximated solution(h‬‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫نر 2.0 ‪ h ‬تطلعل حلحطك لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫شكل (3-6): اقطرن حلعل حلحقرمتم‬ ‫حآلل نق ك تحغممر لما ط ل حلخط ة ‪ h‬لا رح ارإل حنثمر ط أ حلعل حلي ي عصيأنط‬ ‫لييمك ي 6.2 ، 6.2 ، 52.2 حييك حلعص ي ل أ ي‬ ‫ط ي ل حلخط ي ة ثييال‬ ‫أم يد، ليير خ ي‬ ‫ليع ااييط حي حل ييال‬ ‫حيك حي لم اك أي نليين حلاعيط ر‬ ‫حليثال‬ ‫حلعيل حي اييل ايل حلعييطق‬ ‫ي عييل حقرمت ي ( ت ميير‬ ‫(4-6)، اييط ح نالعييظ اييل ي ح حل ييال ؟ حلعييل نيير 2.0 ‪ h ‬ي‬ ‫نير 50.0 ‪، h ‬‬ ‫ل لما حلعيل حلحيطك) حي عيمل ل ليرتاك لأعيل حلحيطك ي حلعيل حلحقرمتي‬ ‫لرو اط ما ل لأعيل‬ ‫تاط م ن اأاط صغر لما ط ل حلخط ة ‪ h‬اأاط اطل حلعل حلحقرمت‬ ‫حلصييلر ح ي ل حلعييل حلحقرمت ي محقييطرو اييل حلعييل‬ ‫نييد نييراط حييؤ ل ‪ h‬إل ي‬ ‫ي ح م ني‬ ‫حلحييطك،‬ ‫حلحطك.‬ ‫1‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫‪y‬‬ ‫57.0‬ ‫‪Exact solution‬‬ ‫7.0‬ ‫)50.0=‪(h‬‬ ‫56.0‬ ‫)1.0=‪(h‬‬ ‫)2.0=‪(h‬‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫مل.‬ ‫شكل (4-6): حنثمر حغمر ط ل حلخط ة أ رل حلعل تط حخرحك طرمق‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-942-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫مثااال (4-6) : تط ييحخرحك ط ي ل خط ي ة 50.0، ديير حلعييل حل ييرري لأا طرل ي حلحلطلييأم‬ ‫أمييد ايال حلعييل‬ ‫مأيير، ليطرل حلعيل حلي ي عصيأ‬ ‫حلحطلمي لقيمك 1 ‪ 0  x ‬تط ييحخرحك طرمقي‬ ‫2 ‪ y  x‬لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫حلحعأمأ‬ ‫0 ‪y  e y - e x  2x , y(0) ‬‬ ‫2‬ ‫حلعل‬ ‫ل‬ ‫أ حلص ة (6.5) تا ن‬ ‫ر‬ ‫حلا طرل حلحلطلأم‬ ‫‪y   e y - e x  2x‬‬ ‫2‬ ‫ندر ل 0 ‪y0  0 ، x 0 ‬‬ ‫ال حل رط حقتحرح‬ ‫ل عر ر حلاحغمير ‪ x‬ي 6 تايط‬ ‫حلاطأ و ع طو لما حلعل ح حللح ة 1 ‪ 0  x ‬تا ن‬ ‫ر‬ ‫م ن حل حلاحغمر 1 ‪xf ‬‬ ‫حآلل نق ك تححلم حلترنطاج حل طتق اال ت ل حلح رمل لمق ك تطلر ك .‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪Y(i+1)=Y(i)+h*subs(f‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪plot (X,Y,'r.') % numerical solution‬‬ ‫;2^.‪Y1=X‬‬ ‫‪hold on‬‬ ‫‪plot (X,Y1,'b*') % analytical solution‬‬ ‫مأر اال‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (2-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫اقطرنحد تطلعل حلحعأمأ‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-052-‬
‫الباب السادس‬ ‫مقي ك حلترنيطاج‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطحي ة حلحطلمي‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫تح لمال حل ال (5-6)‬ ‫50.0=‪step size‬‬ ‫‪the function f(x,y)=exp(y)-exp(x^2)+2*x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫0=0‪y‬‬ ‫1=‪xf‬‬ ‫>>‬ ‫1‬ ‫‪Anlytical solution‬‬ ‫9.0‬ ‫‪Numerical Solution‬‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫‪y‬‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫مأر حلعل حلحعأمأ .‬ ‫شكل (5-6): حلعل حلحقرمت تط حخرحك طرمق‬ ‫ن يير 2 ‪t ‬‬ ‫حلحلطل ييأم حآلحمي ي‬ ‫مثاااال (5-6) : د يير حلع ييل حلحقرمتي ي لادا ي ي حلا ييطرق‬ ‫مأر تط ل خط ة 5.0‬ ‫تط حخرحك طرمق‬ ‫‪dx‬‬ ‫, ‪y‬‬ ‫1 ‪x (0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫,‪ 0.5x  0.5y‬‬ ‫2 ‪y(0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫مأ يير أي ي حلنعي ي‬ ‫مأ يير(4.5) أي ي حلا ييطرلحمل نعص ييل أي ي ا ييطرق‬ ‫تحطتمي يق ا طرلي ي‬ ‫حلحطل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-152-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪xi 1  xi  hyi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  h  0.5xi  0.5yi  ‬‬ ‫‪ti 1  ti  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ق : نر 0 ‪ i ‬ح ل 2 ‪ x 0  1, y0 ‬اناط ح ل‬ ‫2 ‪x1  x 0  0.5y0  1  0.5(2) ‬‬ ‫57.1 ‪y1  y0  0.5  0.5x 0  0.5y0  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 5.0 ‪t ‬‬ ‫1‪x1, y‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫ثطنمط : نر 1 ‪ i ‬ح ل 57.1 ‪ x1  2, y1 ‬اناط ح ل‬ ‫578.2 ‪x 2  x1  0.5y1 ‬‬ ‫5218.1 ‪y2  y1  0.5  0.5x1  0.5y1  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 1 ‪t ‬‬ ‫إل 2‪x 2 , y‬‬ ‫عم‬ ‫ثطلثط : نر 2 ‪ i ‬ح ل 587.2 ‪ x 2  2.875, y 2 ‬اناط ح ل‬ ‫52187.3 ‪x 3  x 2  0.5y2 ‬‬ ‫521870.2 ‪y3  y2  0.5  0.5x 2  0.5y2  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 5.1 ‪t ‬‬ ‫إل 3‪x 3 , y‬‬ ‫عم‬ ‫حت ط : نر 3 ‪ i ‬ح ل 521870.2 ‪ x3  3.78125, y 3 ‬اناط ح ل‬ ‫ر‬ ‫3028.4 ‪x 3  x 3  0.5y3 ‬‬ ‫9305.2 ‪y4  y3  0.5  0.5x 3  0.5y3  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 2 ‪t ‬‬ ‫إل 4‪x 4 , y‬‬ ‫عم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-252-‬
‫الباب السادس‬ ‫ثانيا : طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادالت التفاضلية‬ ‫ررمي‬ ‫طرمق‬ ‫طرمق ر نج ا حط ال حلرحت حلثطنم (‪)Runge-Kutta 2nd Order‬‬ ‫ح يحخرك لعيل حلا يطرق‬ ‫مرال لاط تطلرال 2‪ RK‬حلح‬ ‫حلحلطلأم حل طرم‬ ‫لعل حلا طرق‬ ‫أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫‪dy‬‬ ‫0‪ f  x , y  , y  0   y‬‬ ‫)6.6( ------------‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلص ي ة‬ ‫ر‬ ‫ااييط نالعييظ قتيير ل ححع ي ل حلا طرل ي حلحلطلييأم حل طرم ي اييل حلرحت ي حأل ل ي إل ي‬ ‫مأر.‬ ‫لع ح طرمق‬ ‫(6.6) ااط تق ح لم‬ ‫إل‬ ‫حلصي ي ة ‪ yi 1  yi  f  xi , yi  h‬عمي ي‬ ‫ر‬ ‫أي ي‬ ‫مأ يير ي ي‬ ‫حي ي ار ل ا طرلي ي‬ ‫يينقرك إ ييحنحطدط‬ ‫‪ ، h  xi 1  xi‬لاي ي نلا ييك ا ييط ي ي طرمقي ي ر ن ييج ا ح ييط لأرحتي ي حلثطنمي ي‬ ‫لع ااط مأ‬ ‫مأر تط حخرحك الا ع حمأ ر )‪)Taylor Expansion‬‬ ‫لطرمق‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪1 d y‬‬ ‫2‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪ xi 1  xi  ‬‬ ‫‪ xi 1  xi ‬‬ ‫2‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫2 ‪2 ! dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫‪1 d 3y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi 1  xi ‬‬ ‫... ‪‬‬ ‫3‬ ‫3 ‪3 ! dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫نعصل أ‬ ‫عم إل ‪ f  x , y ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪ yi  f (xi , yi )  xi 1  xi   f '(xi , yi )  xi 1  xi   ...‬‬ ‫2‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫)7.6( --- ‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫... ‪ yi  f  xi , yi  h  f   x i , yi  h ‬‬ ‫2‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ااط نالعظ ند ت اطل حلعر ر إتحرحءح ال حلعر حلثطل ، نعصل أ حلا طرل حلحطلم‬ ‫‪yi 1  yi  f  xi , yi  h‬‬ ‫ناييط طرمق ي ر نييج ا حييط لأرحت ي‬ ‫مأيير أ ي‬ ‫مأيير ت ي لع مااييل ح ييام طرمق ي‬ ‫ي ا طرل ي‬ ‫ي ايل حلعير ر حلحي‬ ‫ي م حلطرمقي‬ ‫حأل لي (‪ )Runge-Kutta 1st order‬ماي ل حلخطين حي‬ ‫حك ع حاط‬ ‫3 ‪f   xi , yi  2 f   xi , yi ‬‬ ‫‪Et ‬‬ ‫‪h ‬‬ ‫... ‪h ‬‬ ‫)8.6( -----------‬ ‫!2‬ ‫!3‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-352-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫نعصييل أ ي‬ ‫ي ف ننخ ي عييرح حلييطحمط تا ن ي‬ ‫جظاييطر طرمق ي ر نييج ا حييط لأرحت ي حلثطنم ي‬ ‫ثالث عر ر اطلحطل‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  f  x i , yi  h ‬‬ ‫‪f   x i , yi  h 2 ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫)9.6( --------- ‪‬‬ ‫2 1‬ ‫‪‬‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫‪ yi  hf i  h f i ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫اأا ييط، تل ييرل‬ ‫أي ي اث ييطل ييرري لنح ييرف أي ي املمي ي‬ ‫ر ن ييط حآلل نن ييطلل حأ ييع حلطرمقي ي‬ ‫حلا طرل حلحلطلأم حلحطلم‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ e 2 x  3y, y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫انا ي ييط ماي ي ي ل ‪ f  x , y   e 2x  3y‬نالع ي ييظ ل ‪ f  x , y ‬رحلي ي ي حي ي ي ‪ x , y‬حاي ي ي ل‬ ‫حلا حق حأل ل لاط أ حلنع حلحطل‬ ‫‪f  x , y  f  x , y  dy‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)01.6( ------------‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ثك تطلح مل تقما حلرحل ‪f  x , y   e 2 x  3y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e 2x  3y    e 2x  3y  e 2x  3y ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2e 2 x  (3) e 2 x  3y   5e 2 x  9y‬‬ ‫تطلح مل تطلا حق حأل ل ح حل الل (9.6) نعصل أ‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  e 2 xi  3yi h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫2 ‪5e 2 xi  9yi h‬‬ ‫‪‬‬ ‫لأعصي ل‬ ‫تا ح عصأنط أ حل الل حلاطأ تي ، لايل يل قعظي اقرح حلا يق حلحي تي ل‬ ‫ذ‬ ‫ر‬ ‫ليع اايط‬ ‫ل صمطت ال لحأيع حل اللي‬ ‫أ حلا حق حأل ل ‪ ، f   x , y ‬ل ح نتع‬ ‫مأ :‬ ‫أ حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫ماال احطت حلا حق حأل ل‬ ‫‪f  x , y  f  x , y  dy‬‬ ‫‪ dy ‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f   f x  fy ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ dx ‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-452-‬
‫الباب السادس‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ f   f x  f y f‬تيطلح مل نايط‬ ‫نعصيل أي‬ ‫تط حخرحك حل الل ‪ f  x , y ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ح حل الل (6.6) لنعصل أ‬ ‫‪h  f x  fy f‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 1‬ ‫‪yi 1  yi  hf i ‬‬ ‫!2‬ ‫‪i‬‬ ‫حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫حلح ححع ل إل‬ ‫2‪h‬‬ ‫2‪h‬‬ ‫‪yi 1  yi  hf i ‬‬ ‫)11.6( --------- ‪ f x i   f y i f i‬‬ ‫!2‬ ‫!2‬ ‫نق ك تلرل حلا طرل حلحطلم لحاثل ا طرل ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫حآلل‬ ‫‪yi 1  yi  a1k1  a 2k 2  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(66.6) --- ‪‬‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  xi  p1h , yi  q11k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫حلص ة )21.6(‬ ‫ر‬ ‫نعط ل لال حلا طرل )11.6( أ‬ ‫ء حلحطل‬ ‫ح حلدل‬ ‫ق: ر نط حآلل نق ك تلع حلاقرحر 2 ‪ k‬تط حخرحك الا ع حمأ ر‬ ‫‪k2  f  xi  p1h , yi  q11 k1  h   f i  p1h  f x i  q11  f i  h  f y ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ثطنمط : تطلح مل ل لما 2 ‪ k‬ح حلا طرل (66.6) نعصل أ‬ ‫‪yi 1  yi  a1k1  a 2k 2  h  yi 1  yi  a1 k1  h  a 2 k 2  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  a1  f i  h  a 2 f i  p1h  f x i  q11  f i  h  f y  h‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  a1  a 2  h  f i   a 2 p1h 2  f x i  a 2q11h 2  f y   f i ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ثطلثط : تاقطرن حلا طرل حلنطحد اال ا طرل ر نج ا حط )21.6( نعصل أ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫(36.6) --------------------- ‪a1  a2  1, a2 p1  , a2 q11 ‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ادط مل، لعأاط نق ك تلرل احغمر‬ ‫رت‬ ‫ا طرق‬ ‫نالعظ نط ننط عصأنط أ ثال‬ ‫لنعصل أ حلثالث حأل إل، ت ال طك ح ننط ن حخرك لما 2 ‪ a‬لأعص ل أ حلثالث‬ ‫خر‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫أ‬ ‫لحنحج ثالث طرق اخحأل ،‬ ‫,1 ,‬ ‫حألخ إل حنخ 2 ‪ a‬ثالث حعحاطق‬ ‫ر‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫منل (‪ )Heun’s Method‬طرمق حلنقط حل ط (‪)Midpoint method‬‬ ‫حلحرحمو طرمق‬ ‫طرمق حل ح ل (‪. )Ralston’s method‬‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-552-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫طريقة هينز (‪)Heun’s Method‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ a1 ‬ال ثك حلح مل ح‬ ‫نلرل ل ‪ a2 ‬لنعصل أ 1 ‪, p1  1, q11 ‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi   k1  k 2  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫(46.6) -------- ‪‬‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  xi  h , yi  k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫إعرإل ص ر طرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫منل‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق‬ ‫طريقة النقطة الوسطى (‪)Midpoint Method‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ a1  0, p1  , q11 ‬ال ثك حلح مل ح‬ ‫نلرل ل 1 ‪ a2 ‬لنعصل أ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫‪yi 1  yi  k 2h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫(56.6) -----‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  x i  h , yi  k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫ي إعيرإل صي ر طرمقي ر نيج ا حيط لأرحتي‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق حلنقط حل ط‬ ‫حلثطنم‬ ‫طريقة الستون (‪)Ralston’s method‬‬ ‫ر‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪ a1  , p1 ‬ا ييل ث ييك حلح ي ي مل‬ ‫‪, q11 ‬‬ ‫‪ a2 ‬لنعص ييل أي ي‬ ‫نل ييرل ل‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫ح حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  ( k1  k 2 )h‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫(66.6) ------ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫‪k1  f  x i , yi  , k 2  f  x i  h , yi  k1h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫حلص ة حلثطلث لطرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫ر‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق حل ح ل‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-652-‬
‫الباب السادس‬ ‫ني يير 1 ‪ x ‬تا أ ام ي ي‬ ‫مثااااال (6-6): دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم ‪y   y  x‬‬ ‫1 ‪y (0) ‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أ حلص ة 1=)0(‪ y  x  y, y‬اناط ح ل ‪f ( x, y)  x  y‬‬ ‫ر‬ ‫ناحو حلا طرل‬ ‫لع تلرل ل 1.0 ‪ h ‬لنعصل أ‬ ‫منل (46.6)‬ ‫ن حخرك طرمق‬ ‫, ‪k1  f  x i , yi   k1  x i  yi‬‬ ‫‪k 2  f  x i  h , yi  k1h   k 2  x i  h  yi  k1h‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪yi 1  yi   k1  k 2  h‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ق: نر 0 ‪ ، i ‬نعصل أ‬ ‫1‪k1  f  x0 , y0   k1  x0  y0  ‬‬ ‫8.0‪k2  x0  h  y0  k1h  0  0.1  1  (1)(0.1)  ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫19.0 ‪y1  y0   k1  k2  h  1    1   0.8    0.1 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫ثطنمط : نر 1 ‪ ، i ‬نعصل أ‬ ‫18.0 ‪k1  f  x1 , y1   k1  x1  y1  0.1  0.91 ‬‬ ‫926.0‪k2  x1  h  y1  k1h  0.1  0.1  0.91  (0.81)(0.1)  ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫838.0 ‪y2  y1   k1  k2  h  0.91    0.81   0.629    0.1 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫تحا حر اط تق نعصل أ‬ ‫ر‬ ‫1 ‪y0  y (0) ‬‬ ‫8896.0 ‪y6  y (0.6) ‬‬ ‫19.0 ‪y1  y (0.1) ‬‬ ‫4496.0 ‪y7  y (0.7) ‬‬ ‫838.0 ‪y2  y (0.2) ‬‬ ‫0007.0 ‪y8  y (0.8) ‬‬ ‫4287.0 ‪y3  y (0.3) ‬‬ ‫5417.0 ‪y9  y (0.9) ‬‬ ‫6147.0 ‪y4  y (0.4) ‬‬ ‫1737.0 ‪y10  y (1.0) ‬‬ ‫0417.0 ‪y5  y (0.5) ‬‬ ‫تط ييحخرحك طرمق ي ر نييج‬ ‫م ل ي حل الل ي تييمل حلعييل حلحييطك حلعييل حلحقرمت ي‬ ‫حل ييال حلحييطل‬ ‫مأر‬ ‫منل) نالعظ ناط حلل تاثمر ال طرمق‬ ‫ا حط حلرحت حلثطنم (طرمق‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-752-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫1‬ ‫‪Exact‬‬ ‫‪Apprximated‬‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫57.0‬ ‫7.0‬ ‫56.0‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫منل، نر 1.0 ‪ h ‬تطلعل حلحطك‬ ‫شكل (6-6): اقطرن حلعل حلحقرمت تطرمق‬ ‫طييرق ( منييل - حلنقطي حل ييط - حل ييح ل )‬ ‫ر‬ ‫م لي نحييط ج حلييثال‬ ‫حلديير ل حلحييطل‬ ‫نر لمك اخحأل ال ‪h‬‬ ‫مأراال حلعل حلحطك‬ ‫اال اقطرنحاك تطرمق‬ ‫ط ل حلخط ة‬ ‫حلعل =8537.0‬ ‫‪h‬‬ ‫مأر‬ ‫منل‬ ‫حلنقط حل ط‬ ‫رل ح ل‬ ‫ح‬ ‫2.0‬ ‫4556.0‬ ‫5147.0‬ ‫5147.0‬ ‫5147.0‬ ‫1.0‬ ‫4796.0‬ ‫1737.0‬ ‫1737.0‬ ‫1737.0‬ ‫50.0‬ ‫0717.0‬ ‫1637.0‬ ‫1637.0‬ ‫1637.0‬ ‫جدول (1-6): اقطرن تمل حلطرق حلاخحأل لطرمق ر نج ا حط ال حلررد حلثطنم‬ ‫) در حلعل حلحقرمتي لأا طرلي‬ ‫عطق‬ ‫مثال (7-6) : تط حخرحك طرمق ر نج ا حط (حلثال‬ ‫حلحلطلأم 0 ‪ (1  x2 ) y  y 2  1 ‬تا أ ام 1 ‪ y(0) ‬نر 2 ‪ x ‬تط حخرحك طي ل خطي ة‬ ‫اقرح م 2.0 ،6.2 ملط 50.0 اثل حلثالث عأ ل تمطنمط.‬ ‫ر‬ ‫حلعل‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫ي ف نق ي ك تحصييامك ترنييطاج جمدييطر عييل ي ا طرل ي حلطلييأم‬ ‫معحيطج حلترنيطاج إلي‬ ‫تط يحخرحك حلصي ر حلاخحألي لطرمقي ر نيج ا حيط ايل حلرحتي حلثطنمي عمي‬ ‫ااط مأ‬ ‫إرخطل ت ل حلتمطنط‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-852-‬
‫الباب السادس‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة ‪ Step Size‬مرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخطل حلرحل ) ‪ f (x , y‬لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫لما ال ال 0 ‪. y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫‪ ‬طريقة هينز‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪k1=subs(f‬‬ ‫;‪y=Y(i)+k1*h‬‬ ‫;‪x=X(i)+h‬‬ ‫;)‪k2=subs(f‬‬ ‫;‪Y(i+1)=Y(i)+(0.5*k1+0.5*k2)*h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫منل‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (3-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫)2^‪the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫2=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫- 3000.0- 5111.0 2152.0 6034.0 2966.0 0000.1‬ ‫2533.0- 4782.0- 2232.0- 8761.0- 7190.0‬ ‫>>‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-952-‬
‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪ ‬طريقة النقطة الوسطى‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪k1=subs(f‬‬ ‫;‪y=Y(i)+0.5*k1*h‬‬ ‫;‪x=X(i)+0.5*h‬‬ ‫;)‪k2=subs(f‬‬ ‫;‪Y(i+1)=Y(i)+k2*h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق حلنقط‬ ‫ر‬ ‫برنامج (4-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حل ط‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫)2^‪the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫2=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫1162.0 2934.0 2576.0 0000.1‬ ‫4221.0‬ ‫1970.0- 5110.0‬ ‫1023.0- 9272.0- 3812.0- 6451.0-‬ ‫>>‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-062-‬
‫الباب السادس‬ ‫ طريقة الستون‬ ‫ر‬ clc clear all syms f x y h = input('step size='); f = input('the function f(x,y)='); X(1) = input('x0='); Y(1) = input('y0='); xf = input('xf='); for i=1:(xf-X(1))/h y=Y(i); x=X(i); k1=subs(f); y=Y(i)+0.75*k1*h; x=X(i)+0.75*h; k2=subs(f); Y(i+1)=Y(i)+(1/3*k1+2/3*k2)*h; X(i+1)=X(i)+h; end Y ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق حل ح ل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫برنامج (5-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ step size=0.2 the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x^2) x0=0 y0=1 xf=2 Y= 1.0000 0.6724 0.4351 0.2562 0.1170 0.0057 - 0.0853 -0.1611 -0.2252 -0.2801 -0.3276 >> h  0.2 ‫ال (7-6) حلعل حلنطحج ل حلثالث طرق تط حخرحك ط ل خط ة‬ ‫مل‬ ___________________________________________________ -261-
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية
الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية

Recomendados

المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضليةالمبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
Dr Abd Allah Mousa
 
حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات اللانهائية
حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات اللانهائيةحل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات اللانهائية
حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات اللانهائية
Dr Abd Allah Mousa
 
ورشة نجارة
ورشة نجارة ورشة نجارة
ورشة نجارة
acc
 
رسالة دكتوراة حول صيانة وترميم المبانى
رسالة دكتوراة حول صيانة وترميم المبانىرسالة دكتوراة حول صيانة وترميم المبانى
رسالة دكتوراة حول صيانة وترميم المبانى
freemadoo
 
كتاب دليل-التدريب-الميداني1-2
كتاب دليل-التدريب-الميداني1-2كتاب دليل-التدريب-الميداني1-2
كتاب دليل-التدريب-الميداني1-2
Faten Bashmakh
 
محاضرات د وحيد زكريا نظريات العمارة
محاضرات د وحيد زكريا نظريات العمارةمحاضرات د وحيد زكريا نظريات العمارة
محاضرات د وحيد زكريا نظريات العمارة
freemadoo
 
جذاذة نمطية
جذاذة نمطيةجذاذة نمطية
جذاذة نمطية
lhassandanguou
 
Applications of Bessel's Function.
Applications of Bessel's Function.Applications of Bessel's Function.
Applications of Bessel's Function.
KubraGhaffar
 

Recomendados

المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضليةالمبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
Dr Abd Allah Mousa
 
حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات اللانهائية
حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات اللانهائيةحل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات اللانهائية
حل المعادلات التفاضلية باستخدام المتسلسلات اللانهائية
Dr Abd Allah Mousa
 
ورشة نجارة
ورشة نجارة ورشة نجارة
ورشة نجارة
acc
 
رسالة دكتوراة حول صيانة وترميم المبانى
رسالة دكتوراة حول صيانة وترميم المبانىرسالة دكتوراة حول صيانة وترميم المبانى
رسالة دكتوراة حول صيانة وترميم المبانى
freemadoo
 
كتاب دليل-التدريب-الميداني1-2
كتاب دليل-التدريب-الميداني1-2كتاب دليل-التدريب-الميداني1-2
كتاب دليل-التدريب-الميداني1-2
Faten Bashmakh
 
محاضرات د وحيد زكريا نظريات العمارة
محاضرات د وحيد زكريا نظريات العمارةمحاضرات د وحيد زكريا نظريات العمارة
محاضرات د وحيد زكريا نظريات العمارة
freemadoo
 
جذاذة نمطية
جذاذة نمطيةجذاذة نمطية
جذاذة نمطية
lhassandanguou
 
Applications of Bessel's Function.
Applications of Bessel's Function.Applications of Bessel's Function.
Applications of Bessel's Function.
KubraGhaffar
 
Hrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريب
Hrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريبHrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريب
Hrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريب
Faten Bashmakh
 
305 خطوات تحويل المسقط المعماري الى انشائي
305 خطوات تحويل المسقط المعماري الى انشائي305 خطوات تحويل المسقط المعماري الى انشائي
305 خطوات تحويل المسقط المعماري الى انشائي
Invisible Architect
 
NUMERICAL INTEGRATION : ERROR FORMULA, GAUSSIAN QUADRATURE FORMULA
NUMERICAL INTEGRATION : ERROR FORMULA, GAUSSIAN QUADRATURE FORMULANUMERICAL INTEGRATION : ERROR FORMULA, GAUSSIAN QUADRATURE FORMULA
NUMERICAL INTEGRATION : ERROR FORMULA, GAUSSIAN QUADRATURE FORMULA
KHORASIYA DEVANSU
 
دليل المرشد الطلابي
دليل المرشد الطلابيدليل المرشد الطلابي
دليل المرشد الطلابي
Schoolalkhlij
 
Vector space - subspace By Jatin Dhola
Vector space - subspace By Jatin DholaVector space - subspace By Jatin Dhola
Vector space - subspace By Jatin Dhola
Jatin Dhola
 
Lu decomposition
Lu decompositionLu decomposition
Lu decomposition
gilandio
 
ادارة التشييد - Construction Management
ادارة التشييد - Construction Management ادارة التشييد - Construction Management
ادارة التشييد - Construction Management
Hussain Sbetan
 
مشكلات وقضايا تتعلق بالإدارة المدرسية
مشكلات وقضايا تتعلق بالإدارة المدرسيةمشكلات وقضايا تتعلق بالإدارة المدرسية
مشكلات وقضايا تتعلق بالإدارة المدرسية
3ofi
 
مقدمة في برمجة و تصميم الشبكات
مقدمة في برمجة و تصميم الشبكاتمقدمة في برمجة و تصميم الشبكات
مقدمة في برمجة و تصميم الشبكات
DrMohammed Qassim
 
عرض مشروع التعلم الالكتروني
عرض مشروع التعلم الالكترونيعرض مشروع التعلم الالكتروني
عرض مشروع التعلم الالكتروني
امل العايد
 
الميثاق الاخلاقي للتوجيه والارشاد
الميثاق الاخلاقي للتوجيه والارشادالميثاق الاخلاقي للتوجيه والارشاد
الميثاق الاخلاقي للتوجيه والارشاد
Eman Oumi
 
Linear transformations and matrices
Linear transformations and matricesLinear transformations and matrices
Linear transformations and matrices
EasyStudy3
 
مقدمة البحث
مقدمة البحثمقدمة البحث
مقدمة البحث
freemadoo
 
المسكن في العمارة الاسلامية
المسكن في العمارة الاسلاميةالمسكن في العمارة الاسلامية
المسكن في العمارة الاسلامية
freemadoo
 
اليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdf
اليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdfاليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdf
اليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdf
MohamedAbdelrehim21
 
تصميم الواقع الافتراضي Designing in Virtual Worlds
تصميم الواقع الافتراضي Designing in Virtual Worldsتصميم الواقع الافتراضي Designing in Virtual Worlds
تصميم الواقع الافتراضي Designing in Virtual Worlds
هدى الشدادي
 
مقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسية
مقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسيةمقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسية
مقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسية
alaseel56
 
Newton’s Forward & backward interpolation
Newton’s Forward & backward interpolation Newton’s Forward & backward interpolation
Newton’s Forward & backward interpolation
Meet Patel
 
خطة المعلم للقاء الأول مع الطالبات
خطة المعلم للقاء الأول مع الطالباتخطة المعلم للقاء الأول مع الطالبات
خطة المعلم للقاء الأول مع الطالبات
رؤية للحقائب التدريبية
 
هرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربي
هرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربيهرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربي
هرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربي
Abdullah Ali
 
أنظمة المعادلات الخطية
أنظمة المعادلات الخطيةأنظمة المعادلات الخطية
أنظمة المعادلات الخطية
ealjelani
 
التحليل العددي
التحليل العدديالتحليل العددي
التحليل العددي
Omer Bushara
 

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Hrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريب
Hrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريبHrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريب
Hrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريب
Faten Bashmakh
 
Lu decomposition
Lu decompositionLu decomposition
Lu decomposition
gilandio
 
ادارة التشييد - Construction Management
ادارة التشييد - Construction Management ادارة التشييد - Construction Management
ادارة التشييد - Construction Management
Hussain Sbetan
 
Linear transformations and matrices
Linear transformations and matricesLinear transformations and matrices
Linear transformations and matrices
EasyStudy3
 
مقدمة البحث
مقدمة البحثمقدمة البحث
مقدمة البحث
freemadoo
 
المسكن في العمارة الاسلامية
المسكن في العمارة الاسلاميةالمسكن في العمارة الاسلامية
المسكن في العمارة الاسلامية
freemadoo
 
اليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdf
اليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdfاليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdf
اليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdf
MohamedAbdelrehim21
 
مقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسية
مقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسيةمقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسية
مقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسية
alaseel56
 
خطة المعلم للقاء الأول مع الطالبات
خطة المعلم للقاء الأول مع الطالباتخطة المعلم للقاء الأول مع الطالبات
خطة المعلم للقاء الأول مع الطالبات
رؤية للحقائب التدريبية
 
هرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربي
هرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربيهرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربي
هرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربي
Abdullah Ali
 

Mais procurados (20)

Hrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريب
Hrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريبHrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريب
Hrdiscussion.com بحث ميداني حول الاتجاهات الحديثة في التدريب
 
305 خطوات تحويل المسقط المعماري الى انشائي
305 خطوات تحويل المسقط المعماري الى انشائي305 خطوات تحويل المسقط المعماري الى انشائي
305 خطوات تحويل المسقط المعماري الى انشائي
 
NUMERICAL INTEGRATION : ERROR FORMULA, GAUSSIAN QUADRATURE FORMULA
NUMERICAL INTEGRATION : ERROR FORMULA, GAUSSIAN QUADRATURE FORMULANUMERICAL INTEGRATION : ERROR FORMULA, GAUSSIAN QUADRATURE FORMULA
NUMERICAL INTEGRATION : ERROR FORMULA, GAUSSIAN QUADRATURE FORMULA
 
دليل المرشد الطلابي
دليل المرشد الطلابيدليل المرشد الطلابي
دليل المرشد الطلابي
 
Vector space - subspace By Jatin Dhola
Vector space - subspace By Jatin DholaVector space - subspace By Jatin Dhola
Vector space - subspace By Jatin Dhola
 
Lu decomposition
Lu decompositionLu decomposition
Lu decomposition
 
ادارة التشييد - Construction Management
ادارة التشييد - Construction Management ادارة التشييد - Construction Management
ادارة التشييد - Construction Management
 
مشكلات وقضايا تتعلق بالإدارة المدرسية
مشكلات وقضايا تتعلق بالإدارة المدرسيةمشكلات وقضايا تتعلق بالإدارة المدرسية
مشكلات وقضايا تتعلق بالإدارة المدرسية
 
مقدمة في برمجة و تصميم الشبكات
مقدمة في برمجة و تصميم الشبكاتمقدمة في برمجة و تصميم الشبكات
مقدمة في برمجة و تصميم الشبكات
 
عرض مشروع التعلم الالكتروني
عرض مشروع التعلم الالكترونيعرض مشروع التعلم الالكتروني
عرض مشروع التعلم الالكتروني
 
الميثاق الاخلاقي للتوجيه والارشاد
الميثاق الاخلاقي للتوجيه والارشادالميثاق الاخلاقي للتوجيه والارشاد
الميثاق الاخلاقي للتوجيه والارشاد
 
Linear transformations and matrices
Linear transformations and matricesLinear transformations and matrices
Linear transformations and matrices
 
مقدمة البحث
مقدمة البحثمقدمة البحث
مقدمة البحث
 
المسكن في العمارة الاسلامية
المسكن في العمارة الاسلاميةالمسكن في العمارة الاسلامية
المسكن في العمارة الاسلامية
 
اليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdf
اليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdfاليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdf
اليوم الثاني بناء المفردات الاختبارية .pdf
 
تصميم الواقع الافتراضي Designing in Virtual Worlds
تصميم الواقع الافتراضي Designing in Virtual Worldsتصميم الواقع الافتراضي Designing in Virtual Worlds
تصميم الواقع الافتراضي Designing in Virtual Worlds
 
مقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسية
مقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسيةمقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسية
مقياس اتجاهات المعلمين نحو تدريس القراءة في المواد الدراسية
 
Newton’s Forward & backward interpolation
Newton’s Forward & backward interpolation Newton’s Forward & backward interpolation
Newton’s Forward & backward interpolation
 
خطة المعلم للقاء الأول مع الطالبات
خطة المعلم للقاء الأول مع الطالباتخطة المعلم للقاء الأول مع الطالبات
خطة المعلم للقاء الأول مع الطالبات
 
هرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربي
هرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربيهرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربي
هرم ماسلو لتمكين المبيعات.. عربي
 

Destaque

أنظمة المعادلات الخطية
أنظمة المعادلات الخطيةأنظمة المعادلات الخطية
أنظمة المعادلات الخطية
ealjelani
 
أنظمة المعادلات الخطية
أنظمة المعادلات الخطيةأنظمة المعادلات الخطية
أنظمة المعادلات الخطية
Fatima Abu-baker
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويضحل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
noojy66666
 
حل المعادلات الخطية بيانياً
حل المعادلات الخطية بيانياًحل المعادلات الخطية بيانياً
حل المعادلات الخطية بيانياً
noojy66666
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضربحل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب
noojy66666
 
الانتقال والدوران
الانتقال والدورانالانتقال والدوران
الانتقال والدوران
guestcb9b63
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرححل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
noojy66666
 

Destaque (20)

أنظمة المعادلات الخطية
أنظمة المعادلات الخطيةأنظمة المعادلات الخطية
أنظمة المعادلات الخطية
 
التحليل العددي
التحليل العدديالتحليل العددي
التحليل العددي
 
ملزمة الرياضيات لشيخ الرياضيات - كامل موسى الناصري
ملزمة الرياضيات لشيخ الرياضيات - كامل موسى الناصريملزمة الرياضيات لشيخ الرياضيات - كامل موسى الناصري
ملزمة الرياضيات لشيخ الرياضيات - كامل موسى الناصري
 
أساسيات الرياضيات بأسلوب بسيط -باسم المياحي
أساسيات الرياضيات بأسلوب بسيط -باسم المياحيأساسيات الرياضيات بأسلوب بسيط -باسم المياحي
أساسيات الرياضيات بأسلوب بسيط -باسم المياحي
 
أنظمة المعادلات الخطية
أنظمة المعادلات الخطيةأنظمة المعادلات الخطية
أنظمة المعادلات الخطية
 
حل نظام من معادلتين خطيتين تاسع ف1
حل نظام من معادلتين خطيتين تاسع ف1حل نظام من معادلتين خطيتين تاسع ف1
حل نظام من معادلتين خطيتين تاسع ف1
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويضحل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض
 
حل المعادلات الخطية بيانياً
حل المعادلات الخطية بيانياًحل المعادلات الخطية بيانياً
حل المعادلات الخطية بيانياً
 
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي2017 - القطوع المخروطية
ملزمة الرياضيات السادس العلمي2017 - القطوع المخروطيةملزمة الرياضيات السادس العلمي2017 - القطوع المخروطية
ملزمة الرياضيات السادس العلمي2017 - القطوع المخروطية
 
الرياضيات للصف الثالث متوسط
الرياضيات للصف الثالث متوسطالرياضيات للصف الثالث متوسط
الرياضيات للصف الثالث متوسط
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضربحل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب
 
ملزمة الرياضيات للسادس الادبي 2017
ملزمة الرياضيات للسادس الادبي 2017ملزمة الرياضيات للسادس الادبي 2017
ملزمة الرياضيات للسادس الادبي 2017
 
ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق
ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق
ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق
 
ملزمة سادس ادبي
ملزمة سادس ادبيملزمة سادس ادبي
ملزمة سادس ادبي
 
ملزمة الرياضيات للصف الثالث متوسط
ملزمة الرياضيات للصف الثالث متوسطملزمة الرياضيات للصف الثالث متوسط
ملزمة الرياضيات للصف الثالث متوسط
 
Legendre functions
Legendre functionsLegendre functions
Legendre functions
 
التمارين العامة الرياضيات - رائد الكردي 2015
التمارين العامة الرياضيات - رائد الكردي 2015التمارين العامة الرياضيات - رائد الكردي 2015
التمارين العامة الرياضيات - رائد الكردي 2015
 
الانتقال والدوران
الانتقال والدورانالانتقال والدوران
الانتقال والدوران
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرححل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
 

Semelhante a الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية

نبذة عن مصادر التعلم بالثانوية 31من عام 1426إلى1431هـ2
نبذة عن مصادر التعلم بالثانوية 31من عام 1426إلى1431هـ2نبذة عن مصادر التعلم بالثانوية 31من عام 1426إلى1431هـ2
نبذة عن مصادر التعلم بالثانوية 31من عام 1426إلى1431هـ2
almasah428
 
ملف الانجاز
ملف الانجازملف الانجاز
ملف الانجاز
sama1387
 

Semelhante a الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية (20)

تقرير ندوة "الدراسات والبحوث البينية في العالم العربي: الفرص والتحديات"
تقرير ندوة "الدراسات والبحوث البينية في العالم العربي: الفرص والتحديات"تقرير ندوة "الدراسات والبحوث البينية في العالم العربي: الفرص والتحديات"
تقرير ندوة "الدراسات والبحوث البينية في العالم العربي: الفرص والتحديات"
 
دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة كلية الآداب جامعة مصراتة الجزء ا...
دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة كلية الآداب جامعة مصراتة الجزء ا...دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة كلية الآداب جامعة مصراتة الجزء ا...
دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة كلية الآداب جامعة مصراتة الجزء ا...
 
نشاط ذوات4 برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بج...
نشاط ذوات4 برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بج...نشاط ذوات4 برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بج...
نشاط ذوات4 برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بج...
 
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام...
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام...برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام...
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام...
 
نشاط ذوات4 1
نشاط ذوات4 1نشاط ذوات4 1
نشاط ذوات4 1
 
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام...
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام...برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام...
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام...
 
Masadr
MasadrMasadr
Masadr
 
نبذة عن مصادر التعلم بالثانوية 31من عام 1426إلى1431هـ2
نبذة عن مصادر التعلم بالثانوية 31من عام 1426إلى1431هـ2نبذة عن مصادر التعلم بالثانوية 31من عام 1426إلى1431هـ2
نبذة عن مصادر التعلم بالثانوية 31من عام 1426إلى1431هـ2
 
Masadr
MasadrMasadr
Masadr
 
Masadr
MasadrMasadr
Masadr
 
دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة كلية الآداب جامعة مصراتة الجزء ا...
دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة كلية الآداب جامعة مصراتة الجزء ا...دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة كلية الآداب جامعة مصراتة الجزء ا...
دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة كلية الآداب جامعة مصراتة الجزء ا...
 
علم التصميم التعليمي
علم التصميم التعليميعلم التصميم التعليمي
علم التصميم التعليمي
 
G6 tb arabic
G6 tb arabicG6 tb arabic
G6 tb arabic
 
دليل المعلم العلوم-التاسع الاساسي
دليل المعلم العلوم-التاسع الاساسيدليل المعلم العلوم-التاسع الاساسي
دليل المعلم العلوم-التاسع الاساسي
 
دراسة لمشروع كلية العلوم والهندسة
دراسة لمشروع كلية العلوم والهندسةدراسة لمشروع كلية العلوم والهندسة
دراسة لمشروع كلية العلوم والهندسة
 
ملف الانجاز
ملف الانجازملف الانجاز
ملف الانجاز
 
تطوير المنهج
تطوير المنهجتطوير المنهج
تطوير المنهج
 
إنجي محمد رسالة ماجستير2011
إنجي محمد رسالة ماجستير2011إنجي محمد رسالة ماجستير2011
إنجي محمد رسالة ماجستير2011
 
نظرية أوزوبل
نظرية أوزوبلنظرية أوزوبل
نظرية أوزوبل
 
5338
53385338
5338
 

الحلول العددية للمعادلات التفاضلية العادية

  • 1.
  • 2. ‫المملكة العربية السعودية‬ ‫وزارة التعليم العالي‬ ‫جامعة الطائف‬ ‫إدارة النشر العلمي‬ ‫املعادالت التفاضلية‬ ‫النظرية والتطبيق‬ ‫الدكتور‬ ‫الدكتور‬ ‫عبد هللا عبد هللا موسى‬ ‫بخيت نفيع المطرفي‬ ‫الطبعة األولى‬ ‫1133هـ- 2312 م‬
  • 3. ‫المعادالت التفاضلية : النظرية والتطبيق‬ ‫د. بخيت نفيع مرزوق المطرفي‬ ‫د. عبد اهلل عبد اهلل محمد موسى‬ ‫© حقوق النشر محفوظة لجامعة الطائف‬ ‫جامعة الطائف- الحوية‬ ‫رمز بريدي: 21974‬ ‫المملكة العربية السعودية‬ ‫(ح) جامعة الطائف 1127هـ‬ ‫فهرسة مكتبة الملك فهد الوطنية أثناء النشر‬ ‫المطرفي، بخيت نفيع مرزوق‬ ‫المع ــادالت التفاض ــلية: النظري ــة والتطبي ــق. / بخي ــت نفي ــع م ــرزوق المطرف ــي،‬ ‫عبد اهلل عبد اهلل موسى- الطائف، 1127هـ‬ ‫091 ص، 17×24س‬ ‫ردمك : 6-99-1603-106-319‬ ‫المعادالت التفاضلية أ. موسى، عبداهلل عبداهلل (مؤلف مشارك)‬ ‫ب- العنوان‬ ‫9312/1127‬ ‫ديوي 565‬ ‫رقم اإليداع: 9312/1127‬ ‫ردمك : 6-99-1603-106-319‬ ‫التصميم المعلوماتي والج افيكي د/مجدي حسين النحيف‬ ‫ر‬ ‫الطبعة األولى: 1127ه/4704م‬
  • 4.
  • 5.
  • 6. ‫المقدمة‬ ‫مقدمــــــــة‬ ‫بســم اهلل الــرحمن الــرحيم، الحمــد هلل رب العــالمين، والص ـ و والس ـ م علــى خيــر خلــق‬ ‫اهلل أجمعــين محمــد بــن عبــد اهلل، الرســوا الصــادق الوعــد األمــين صــلى اهلل عليـ وعلــى لـ‬ ‫وصحب أجمعين .. أما بعد‬ ‫فهـ ا هــو أحــد المؤلفــات فــي سلســلة مؤلفــات عربيــة نســما اهلل أن يوف نــا إلكمالهــا وهــو‬ ‫مؤل ــف بلاتن ــا العربي ــة ، تل ــك اللا ــة الثري ــة ف ــي مفرداته ــا الاني ــة ف ــي ألفاظه ــا .. لاــة ال ــرن‬ ‫الكـريم، لاــة العــرب ولاــة العلــم. وأننــا ا ا ن ــدم هـ ا الجهــد المتواضــع الـ ي نضــيف الــى مــا‬ ‫كتــب باللاــة العربيــة فــي علــم الرياضــيات البــد أن نـ كر أن هـ ا الكتــاب ال يـ احم أقرنـ فــى‬ ‫ا‬ ‫ز‬ ‫ه ا المضمار، وانما يضيف اليهم أفكار جديدو ومتطو و، فعلى ال مم مـن وجـود العديـد مـن‬ ‫ـر‬ ‫ر‬ ‫اً‬ ‫ع ه ا المؤلف اال أننا نحسب ه ا الكتـاب قـد يسـد بعـق ال صـور‬‫الكتب العربية عن موضو‬ ‫الموجود في بعق المواضيع وكـ لك معالجـة بعـق المواضـيع األخـر التـي لـم يـتم تناولهـا‬ ‫باإلضافة الى ث ائ باألمثلة المتنوعة التي ح العديد من األفكار.‬ ‫تطر‬ ‫ر‬ ‫وب لك ظهر الكتاب في صورت ه ه والتـي نظنهـا ناقصـة وتفت ـر الـى الكمـاا والكمـاا‬ ‫هلل وحـده .. وحسـبنا أننـا حاولنـا واجتهــدنا فـي وضـع فـي صــو و الئ ـة. ومـا هـ ا الكتــاب اال‬ ‫ر‬ ‫طيل ــة س ــنوات ع ــدو‬ ‫ثمـ ـ و جه ــد دؤوب وعم ــا متواص ــا م ــن التحص ــيا والت ــدريس والبحـ ـ‬ ‫ر‬ ‫للمــؤلفين، ويعــد ه ـ ا الكتــاب مرجع ـاً هام ـاً فــي المعــادالت التفاضــلية العاديــة، وه ـ ا الكتــاب‬ ‫د‬ ‫موجـ ـ اساسـ ـاً لطـ ـ ب المرح ــا المتوس ــطة والمت ــمخ و م ــن كلي ــات الهندس ــة والمعاه ــد الفني ــة‬ ‫ر‬ ‫ا‬ ‫العليا. كما أن يتج أيضاً لط ب العلوم التطبي ية األخر من رياضيات وفيزيـاء وكيميـاء.‬ ‫ك ـ لك يتضــمن الكتــاب أج ـ اء كثي ـ و يمكــن أن تصــلم منهاج ـاً لط ـ ب الدرســات العليــا فــى‬ ‫ا‬ ‫زً ر‬ ‫التخصصات الهندسية المختلفـة وكـ لك تخصصـات العلـوم التطبي يـة. ول ـد اعينـا أن تكـون‬ ‫ر‬ ‫معالج ــة المس ــائا العلمي ــة بطري ـ ـة رتيب ــة منهجي ــة تب ــدأ بالص ــيامة والنم ج ــة ث ــم تنت ــا ال ــي‬ ‫اإلجـ ـ اءات والح ــا ث ــم أخيـ ـر تنته ــي بتفس ــير النت ــائل ومحاول ــة اعطائه ــا التفس ــير الهندس ــي‬ ‫اً‬ ‫ر‬ ‫والفيزيائي‬ ‫يبتدئ الكتاب بعرق لمفهوم المعادالت التفاضلية وتبسـيط كـا المفـاهيم الخاصـة بهـا‬ ‫ومحاولة ج ب ال ئ لها، من خ ا تحليا بسيط وتتابع شيق. فـى األبـواب الثـاني والثالـ‬ ‫ار‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫- هـ-‬
  • 7. ‫المقدمة‬ ‫والربــع تــم ت ــديم المعــادالت التفاضــلية مــن الرتبــة األولــى والدرجــة األولــى، وك ـ لك الرتــب‬ ‫ا‬ ‫العليــا وأيضــا المعــادالت التفاضــلية مــن الــدرجات العليــا وطــرق حلهــا مــع ت ــديم العديــد مــن‬ ‫التطبي ــات الفيزيائيــة والهندســية لجعــا المحتــو أكثــر تشــوي ا وأقــرب لتحليــا ومحاكــاو نظــم‬ ‫هندســية ومشــاكا واقعيــة عــن كونـ أداو لحــا مســائا رياضــية ، و يلنــا تلــك األبـواب بالعديــد‬ ‫من التمارين العامة المتنوعة.‬ ‫وقــد أع ــب لــك البــاب الخــامس وفي ـ تــم درســة حــا المعــادالت التفاضــلية بــالطرق‬ ‫ا‬ ‫الت ريبية ( استخدام المتسلس ت )، و لك عوضا عن حلها تحليليـاً، وتـم فـي البـاب السـادس‬ ‫درســة حــا المعــادالت التفاضــلية عــددياً و لــك حــين يصــعب ايجــاد حــا تحليلــي لهــا، وتــم‬ ‫ا‬ ‫توظيف برنامل "المـات ب" ‪ MATLAB‬مـن خـ ا عمـا بـ امل لحـا المعـادالت التفاضـلية‬ ‫ر‬ ‫عددياً وك لك استخدام لتوقيع تلك الحلوا بيانياً، وتـم سـرد العديـد مـن الطـرق، و يـا هـ ان‬ ‫البابان بالعديد من التمـارين العامـة المتنوعـة. و فـي البـاب السـابع واألخيـر تـم ت ـديم تحويـا‬ ‫يعــد تحويــا البـ س‬ ‫البـ س لمــا لـ مــن أهميــة بالاــة فــي حــا المعــادالت التفاضــلية، حيـ‬ ‫من أقو األدوات المسـتخدمة لحـا المعـادالت التفاضـلية الخطيـة، وتـم تـ ييا البـاب بالعديـد‬ ‫من التمارين العامة المتنوعة.‬ ‫وختمنا الكتاب بملحق يحتوي على مرشد وجيـز فـي "المـات ب" ‪ ،MATLAB‬ولـيس‬ ‫درجـات السـلم التـي البـد أن يرت يهـا‬ ‫يـر الباحـ‬ ‫ه ا سو مرشد لينير بداية الطريق بحيـ‬ ‫يريد، ونرجو أن يكون ه ا الكتاب فاتحة لسلسلة مـن المؤلفـات التـي نسـما‬ ‫ليصا الى حي‬ ‫ها خدمة للعلم واث اء للمعرفة .‬ ‫ر‬ ‫اهلل تعالى أن يساعدنا على انجاز‬ ‫واهلل تعالى من و اء ال صد .....وهو ولي التوفيق.‬ ‫ر‬ ‫المؤلفان‬ ‫الطائف – محرم 1127هـ‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫- وـ-‬
  • 9.
  • 10. ‫فهرس المحتويات‬ ‫أوًا:ًفهرسًالمحتوياتً‬ ‫ل‬ ‫هـ-ًو‬ ‫المقدمــــــــةًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫71-1ً‬ ‫البابًاألول:ً المبادىءًاألساسيةًوتصنيفًالمعادلتًالتفاضلية ً‬ ‫79-91ً‬ ‫البابًالثانى:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًاألولىًوالدرجةًاألولىًًًً‬ ‫21‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫11‬ ‫‌ لا : فصل المتغي ات )‪(Separation of variables‬‬ ‫ر‬ ‫أو‬ ‫82‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت يمكن تحويلها إلى معادلت يتم حلها بفصل‬ ‫المتغي ات‬ ‫ر‬ ‫23‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : المعادلت التفاضلية ذات المعامالت المتجانسة‬ ‫63‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت تفاضلية تؤول إلى معادلت تفاضلية متجانسة‬ ‫ر‬ ‫14‬ ‫‌ خامس ا : المعادلة التفاضلية التامة (‪)Exact‬‬ ‫54‬ ‫‌ سادسا : معادلت تفاضلية تُحول إلى تامة عن طريق عامل المكاملة‬ ‫75‬ ‫‌ سابع ـ ا : المعادلت التفاضلية الخطية‬ ‫06‬ ‫‌ ثامنـ ـ ـ ا : معادلت تؤول إلى معادلت تفاضلية خطية‬ ‫76‬ ‫‌ تاسع ا : معادلة ريكاتي‬ ‫07‬ ‫‌ عاشر : طريقة تغيير البا امت ات (‪)Variation of Parameters‬‬ ‫ر ر‬ ‫ا‬ ‫27‬ ‫‌ الحادي عشر : تبديل المتغي ات المستقلة مكان المتغي ات التابعة‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫67‬ ‫‌ الثاني عشر : تطبيقات على المعادلت التفاضلية‬ ‫971-99ً‬ ‫المعادلتًالتفاضليةًالخطيةًمنًالرتبًالعليا ً‬ ‫البابًالثالث:ً‬ ‫101‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫901‬ ‫‌ لا : المعادلت التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت الثابتة‬ ‫أو‬ ‫711‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طرق إيجاد الحل الخاص (‪) Particular Solution‬‬ ‫711‬ ‫(2-1) طريقة المؤثر التفاضلي العكسي‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫031‬ ‫(1-1) طريقة تغيير البارمت ات‬ ‫ا ر‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫141‬ ‫(3-1) طريقة المعامالت غير المحددة‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ط-‬ ‫‌‬
  • 11. ‫فهرس المحتويات‬ ‫251‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت المتغي ة‬ ‫ر‬ ‫122‬ ‫(2-3) معادلة كوشي أويلر )‪)Cauchy-Euler‬‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫522‬ ‫(1-3) معادلة ليجندر الخطية‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫602‬ ‫(3-3) طريقة التحليل )‪(Method of Factorization‬‬ ‫‌‬ ‫302‬ ‫(4-3) تخفيض الرتبة )‪(Reduction of order‬‬ ‫‌‬ ‫471‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية اآلنية‬ ‫ر‬ ‫971-181ً‬ ‫البابًال ابع:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًًاألولىًوالدرجاتًالعلياً‬ ‫ر‬ ‫382‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫481‬ ‫‌ لا : معادلت تفاضلية تُستبدل بمعادلت تفاضلية من الدرجة األولى‬ ‫أو‬ ‫681‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة إلى ‪x‬‬ ‫881‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة الى ‪y‬‬ ‫191‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلة كليرو )‪(Clairaut Equation‬‬ ‫ر‬ ‫491‬ ‫‌ خامس ا: معادلة لج انج )‪(Lagrange's Equation‬‬ ‫ر‬ ‫البابًالخامس:ً حلًالمعادلتًالتفاضليةًباستخدامًالمتسلسالتًالالنهائيةًًًً 240-771ً‬ ‫102‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫502‬ ‫‌ لا : مفكوك تيلور (‪)Taylor‬‬ ‫أو‬ ‫012‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : الحل قرب النقطة العادية‬ ‫222‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: الحل قرب النقطة الشاذة المنتظمة (فروبينيس) (‪)Frobenius‬‬ ‫البابًالسادس: ً الحلولًالعدديةًللمعادلتًالتفاضليةًالعاديةًًًًًًًًًًًً 880-140ً‬ ‫341‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫442‬ ‫‌ لا : طريقة أويلر( ‪ )Euler‬لحل المعادلت التفاضلية العادية‬ ‫أو‬ ‫352‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادلت التفاضلية‬ ‫362‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة‬ ‫ر‬ ‫172‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل مجموعة من‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫المعادلت التفاضلية ذات الرتبة األولى‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ي-‬ ‫‌‬
  • 12. ‫فهرس المحتويات‬ ‫372‬ ‫‌ خامس ا : طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل المعادلت التفاضلية‬ ‫ر‬ ‫من الرتبة الثانية‬ ‫082‬ ‫‌ سادس ا : طريقة الفروق المحدودة لحل المعادلت التفاضلية العادية‬ ‫933-780ً‬ ‫ًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫البابًالسابع :ً تحويالتًًلبالسًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً‬ ‫192‬ ‫‌ مقدم ـ ـ ــة‬ ‫492‬ ‫‌ لا : تحويالت لبالس لبعض الدوال‬ ‫أو‬ ‫892‬ ‫‌ ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : خواص تحويالت لبالس‬ ‫013‬ ‫‌ ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس العكسي‬ ‫523‬ ‫‌ ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس لحل المعادلت التفاضلية الخطية العادية‬ ‫ر‬ ‫ذات المعامالت الثابتة‬ ‫133‬ ‫‌ خامس ا: حل مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية‬ ‫333‬ ‫‌ سادسا : معادلة فولتر التكاملية (‪)Volterra integral equation‬‬ ‫ا‬ ‫443-733ً‬ ‫الـملحق : المرشدًالوجيزًفيً‪ًًًًًًًًًًًًًًًًً ًًًًًًًMATLAB‬‬ ‫203‬ ‫الم اجع ً‬ ‫ر‬ ‫963‬ ‫دليلًالمصطلحاتًً‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ك-‬ ‫‌‬
  • 13. ‫فهرس األشكال‬ ‫ثانيـــــــــــــً:ًفهرسًاألشكالً‬ ‫ا‬ ‫3‬ ‫شكلً(1-1): عائلة الدوال ‪ y  x 2  c‬لقيم مختلفة من الثابت ‪c‬‬ ‫12‬ ‫2‪x‬‬ ‫‪ y  ce‬لقيم 3‪ً c  1, 2, ‬‬ ‫2‬ ‫شكل(0-1):ًعائلة الدوال‬ ‫41‬ ‫شكلً(1-0): قانون نيوتن الثاني للحركةً‬ ‫01‬ ‫عة مع الزمنً‬‫شكلً(0-0): منحنى السر‬ ‫05‬ ‫شكلً(3-0): سقوط جسمً‬ ‫95‬ ‫شكلً(4-2): هبوط الجهد لكل من المكثف والملف والمقاومةً‬ ‫68‬ ‫شكلً(5-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف‬ ‫ر‬ ‫28‬ ‫شكلً(4-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة مكثف.‬ ‫ر‬ ‫18‬ ‫شكلً(9-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف.‬ ‫ر‬ ‫08‬ ‫شكلً(8-0): مشكلة تخفيف التركيز‬ ‫58‬ ‫شكلً(7-0): تحت المماس وتحت العمودى‬ ‫88‬ ‫شكلً(21-0): عائلة المنحنيات التي تمثل المعادلة ) ‪x  4(y  c‬‬ ‫2‬ ‫98‬ ‫شكلً(11-0): المسا ات المتعامدة‬ ‫ر‬ ‫29‬ ‫شكلً(01-0): تمثيل المسا ات المتعامدة‬ ‫ر‬ ‫09‬ ‫شكلً(31-0):ًدائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف‬ ‫ر‬ ‫061‬ ‫شكلً(1-5): العالقة ما بين الحل التحليلي والحل بمفكوك تيلور‬ ‫861‬ ‫شكلً(2-5): العالقة مابين الحل بالطرق العددية والحل بمفكوك تيلورً‬ ‫611‬ ‫ليجندر ) ‪Pn (x‬‬ ‫شكلً(3-5): كثي ات حدود‬ ‫ر‬ ‫241‬ ‫شكلً(1-6): الخطوة األولى باستخدام طريقة أويلر‬ ‫041‬ ‫شكلً(2-6): العالقة التكررية باستخدام طريقة أويلر‬ ‫ا‬ ‫941‬ ‫شكلً(3-6): مقارنة الحل التقريبيي عند 2.0 ‪ h ‬بالحل التام‬ ‫941‬ ‫شكلً(4-4): تأثير تغير طول الخطوة على دقة الحل باستخدام طريقةًأويل.ً‬ ‫221‬ ‫شكلً(5-4): الحل التقريبي باستخدام طريقة أويلر والحل التحليلي.‬ ‫821‬ ‫شكلً(4-4): مقارنة الحل التقريبي بطريقة هينز، عند 1.0 ‪ h ‬بالحل التام‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-س-‬ ‫‌‬
  • 14. ‫فهرس األشكال‬ ‫101‬ ‫شكلً(9-4): مقارنة الحل التقريبي للثالثة طرق بطول خطوة مقدا ه 2.0 ‪h ‬‬ ‫ر‬ ‫201‬ ‫شكلً(8-4): نتائج الحل باستخدام طريقة رونج من الرتبة ال ابعة والحل التام‬ ‫ر‬ ‫651‬ ‫شكلً(7-4): تغير درجة الحر ة بالكلفن مع الزمن‬ ‫ار‬ ‫551‬ ‫شكلً(21-4): العالقة مابين كل من ‪ y,v‬مع ‪x‬‬ ‫551‬ ‫شكلً(11-4): وصف حركة البندول‬ ‫951‬ ‫شكلً(01-6): الحركة المخمدة لحركة البندول‬ ‫281‬ ‫شكلً(31-4): عتب مثبت على دعامات‬ ‫281‬ ‫شكلً(41-4):الفروق المحدوده باستخدام طريقة التقريب الفرقي المقسم األوسط‬ ‫181‬ ‫شكلً(51-6): الفروق المحدوده من 0 ‪ x ‬إلى 57 ‪ x ‬باستخدام 52 ‪h ‬‬ ‫481‬ ‫شكلً(61-6): الفروق المحدوده من 0 ‪ x ‬إلى 1 ‪ x ‬باستخدام 52.0 ‪h ‬‬ ‫191‬ ‫شكلً(1-7): التصال المجز‬ ‫أ‬ ‫491‬ ‫شكلً(2-7): دالة خطوة الوحدة‬ ‫491‬ ‫شكلً(3-7): حالة خاصة من دالة خطوة الوحدة‬ ‫663‬ ‫شكلً(4-7): الدالة )‪ G (t‬كدالة في دالة خطوة الوحدة‬ ‫563‬ ‫شكلً(5-7): دالة دورية دورتها 0>‪ p‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫863‬ ‫شكلً(6-7): دالة دورية دورتها 1= ‪ p‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫963‬ ‫شكلً(9-9): دالة دورية دورتها ‪ p = 2‬معرفة لقيم 0> ‪t‬‬ ‫143‬ ‫شكل(م-1): ظهر أيقونة البرنامج فور إعداده‬ ‫343‬ ‫شكل(م-0): الواجهة األساسية للبرنامج فور تشغيلة‬ ‫443‬ ‫شكل(م-3): نافذة األوامرً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-4): نافذة فضاء العملً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-5): نافذة فضاء العملً‬ ‫443‬ ‫شكل(م-4): نافذة المسار الحاليً‬ ‫243‬ ‫شكل(م-9): نافذة الوامروفضاء العمل لدخال بعض المتغي اتً‬ ‫ر‬ ‫243‬ ‫شكل(م-8): التخصيصً‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ع-‬ ‫‌‬
  • 15. ‫فهرس األشكال‬ ‫043‬ ‫شكل(م-7):ًبناء دوال لالدخالً‬ ‫043‬ ‫شكل(م-21):ًبناء متجهً‬ ‫543‬ ‫شكل(م-11):ًإدخال متغيرين هما ‪a,b‬‬ ‫543‬ ‫شكل(م-01):ًنافذة الوامروفضاء العمل للمتغي اتً‬ ‫ر‬ ‫543‬ ‫شكل(م-31):ًبناء ملف بيانات وتحميلة فى فضاء العمل‬ ‫843‬ ‫شكل(م-41):ًفضاء العمل‬ ‫943‬ ‫شكل(م-51):ًعمليات غير تقليدية على المصفوفات‬ ‫623‬ ‫شكل(م-41):ًالستعانة ‪ help‬الخاص ‪matlab‬‬ ‫223‬ ‫شكل(م-91): الدالة ‪ max‬إليجاد أكبر قيمة‬ ‫323‬ ‫شكل(م-81):ًجملة ‪For‬‬ ‫323‬ ‫شكل(م-71):ًصو ة ى لجملة ‪For‬‬ ‫ر أخر‬ ‫423‬ ‫شكل(م-20): بناء مسا ات متداخلة‬ ‫ر‬ ‫423‬ ‫شكل(م-10): جملة ‪while‬‬ ‫223‬ ‫شكل(م-00): جملة ‪If‬‬ ‫523‬ ‫شكل(م-30): بناء ‪Script file‬‬ ‫823‬ ‫شكل(م-40): تنفيذ ‪Script file‬‬ ‫823‬ ‫شكل(م-50): تنفيذ ‪ Script file‬مباش ة‬ ‫ر‬ ‫923‬ ‫شكل(م-40): بناء دالة بسيطة لتقوم بإيجاد جذور معادلة تربيعية‬ ‫923‬ ‫شكل(م-90): إيجاد جذور المعادلة التربيعية 0 ‪x 2  2x  3 ‬‬ ‫603‬ ‫شكل(م-80): بناء الملف وادخال المتغي ات 3 ‪v1,v 2 ,v‬‬ ‫ر‬ ‫203‬ ‫شكل(م-70): منحنى المتغي ات 2 ‪v1,v‬‬ ‫ر‬ ‫203‬ ‫شكل(م-23):ًأستخدام المر ‪ًhold on‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-13):ًرسمً 2 ‪ v1,v‬وكذلك 3 ‪v1,v‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-03):ًأستخدام المرً‪Subplot‬‬ ‫103‬ ‫شكل(م-33):ًتقسم نافذة الرسم الى نافذتينً )2 ‪(1 ‬‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ف-‬ ‫‌‬
  • 16. ‫فهرس األشكال‬ ‫303‬ ‫شكل(م-43):ًتخصيص المتغي ات الرمزية‬ ‫ر‬ ‫403‬ ‫شكل(م-53):ًبناء دالة بإستخدام المتغي ات الرمزية‬ ‫ر‬ ‫403‬ ‫شكل(م-43):ًأيجاد التفاضل والتكامل لدالة رمزية‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ص-‬‫‌‬
  • 17. ‫فهرس الجداول‬ ‫ثالثــــــــــــــ اً:ًفهرسًالجداولً‬ ‫342‬ ‫جدولً(1-3): مجموعة الدوال األساسية لمجموعة من الدوال‬ ‫821‬ ‫جدولً(1-4): مثال على طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة‬ ‫ر‬ ‫591‬ ‫جدولً(1-9)ً:ًتحويالت لبالس لمجموعة من الدوالًً‬ ‫943‬ ‫جدول(م-1):ًالعمليات التى يمكن إج اؤها على المصفوفاتً‬ ‫ر‬ ‫623‬ ‫جدول(م-0):ًدوال تتعامل مع كميات قياسية‬ ‫223‬ ‫جدول(م-3):ًدوال تتعامل مع كميات متجهة‬ ‫123‬ ‫جدول(م-4):ًبعضًدوال المصفوفات‬ ‫023‬ ‫جدول(م-5): العالقات فى ‪Matlab‬‬ ‫023‬ ‫جدول(م-4): العالقات المنطقية فى ‪ًMatlab‬‬ ‫203‬ ‫جدول(م-9): عالمات للتحكم في ع ولون ونقشة خط الرسمً‬ ‫نو‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‬ ‫‌‌‬ ‫‌‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫-ش-‬ ‫‌‬
  • 18. ‫الباب السادس‬ ‫احللول العددية‬ ‫للمعادالت التفاضلية العادية‬
  • 19.
  • 20. ‫الباب السادس‬ ‫مقدمة‬ ‫عح ي تييطلطرق‬ ‫حلحلطلييأم تييطلطرق حلحعأمأم ي‬ ‫لييمن اييل حل ييال عييل اييل حلا ييطرق‬ ‫م ي اح أ يأ قناط م ي . لي ح اييطل قتيير اييل حلتعي‬ ‫ييل طرمييق حييرل حلعييل أ ي‬ ‫حلحقرمتمي‬ ‫لييع نيير ح ييأنط ح ي‬ ‫حلحلطلييأم ،‬ ‫ييل طييرق خ ي إل جمدييطر عأ ي ل حقرمتم ي لا ي م حلا ييطرق‬ ‫ر‬ ‫حلحقرمتي . عيير ييك حأييع حلطييرق ي طييرق حلعأي ل حل ررمي‬ ‫حلعصي ل أي عأاييط حلييرلمق‬ ‫مأي يير لعي ييل حلا ي ييطرق‬ ‫متي يير ي ي ح حلتي ييطو تحقي ييرمك طرمق ي ي‬ ‫‪ Numerical‬عم ي ي‬ ‫‪Solution‬‬ ‫حيك‬ ‫حلحلطلأم ال حلرحت حق ل ، م قو لع طرمق ر نج ا حط ال حلررد حلثطنم حل حت ي ،‬ ‫ر‬ ‫حلحلطليأم‬ ‫حلحلطلأم ال حلرحت حأل ل ، مليط عيل حلا يطرق‬ ‫ال حلا طرق‬ ‫عل ادا‬ ‫إ ييحخرحك طرمقي ي حلل يير ق حلاع يير رم لع ييل‬ ‫ا ييل حلرحتي ي حلثطنمي ي . حط ييرق حلت ييطو مل ييط إلي ي‬ ‫حخأييل ي ح حلتييطو حقييرمك حل رميير اييل حلت ي حاج حلاصيياا تتم ي‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي‬ ‫حلا ييطرق‬ ‫حلدار حلاطأ و لع طتاط.‬ ‫"حلاطحالو" لاعطاطة ا ظك طرق حلعل تاط م حر حل ل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-342-‬
  • 21. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫أوالا : طريقة أويلر(‪ )Euler‬لحل المعادالت التفاضلية العادية‬ ‫حلحلطليأم حل طرمي حلحي حاي ل أي‬ ‫لعيل حلا يطرق‬ ‫ررمي‬ ‫طرمق‬ ‫مأر‬ ‫طرمق‬ ‫حلص ة‬ ‫ر‬ ‫‪dy‬‬ ‫)1.6( --------------- 0‪ f  x , y  , y  x 0   y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلررد ي حأل ل ي ،‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي اييل حلرحت ي حأل ل ي‬ ‫ي ت ي لع حح طاييل اييال حلا ييطرق‬ ‫حلا طرلي ي حلحلطلييأم لححنط ييو اييال حلصيي ة‬ ‫ر‬ ‫ن ي ر نييط حلحناميير نييد قت يير اييل إ ييطرة صييمطت‬ ‫مأر.‬ ‫(6.6) عح مح ن عأاط تط حخرحك طرمق‬ ‫مأر‬ ‫أ ص ة طرمق‬ ‫ر‬ ‫مثال (1-6) : احو حلا طرل حلحلطلأم حآلحم‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ 2y  e  x , y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6) ل ي ح نعييط ل إ ييطرة صييمطتحاط‬ ‫ر‬ ‫نالعييظ ل حلا طرل ي حلحلطلييأم لم ي‬ ‫لحا ل أ حلص ة (6.6) ااط مأ‬ ‫ر‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ e  x  2y, y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫تاقطرنحاط تطلص ة (6.6) ندر ل ‪f  x, y   e x  2 y‬‬ ‫ر‬ ‫مأر‬ ‫أ ص ة ا طرل‬ ‫ر‬ ‫مثال (2-6) : حاحو حلا طرل حلحلطلأم حآلحم‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ey‬‬ ‫5 ‪ x 2y 2  2Sin (3x ), y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أي ي حلصي ي ة (6.6) لي ي ح نع ييط ل إ ييطرة ص ييمطتحاط‬ ‫ر‬ ‫نالع ييظ ل حلا طرلي ي حلحلطل ييأم لم ي ي‬ ‫لحا ل أ حلص ة (6.6) ااط مأ‬ ‫ر‬ ‫2 ‪dy 2Sin (3x )  x 2y‬‬ ‫‪‬‬ ‫5 ‪, y  0 ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ey‬‬ ‫2 ‪2Sin (3x )  x 2y‬‬ ‫‪ f  x , y  ‬حآلل ي ي ي ي ي ي يينعط ل‬ ‫تاقطرنحاط تطلص ة (6.6) ندر ل‬ ‫ر‬ ‫‪ey‬‬ ‫حلحلطلييأم حل طرم ي ، تلييرل ل عييل حلا طرل ي‬ ‫مأيير لعييل حلا ييطرق‬ ‫حعأمييل رر ي طرمق ي‬ ‫ح‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-442-‬
  • 22. ‫الباب السادس‬ ‫ل 0‪ y  y‬ن ي يير‬ ‫محلي ي ي‬ ‫ي ي ي حلرحلي ي ي ) ‪ y(x‬اا ي ييط حي ي ي حل ي ييال (6-6) عمي ي ي‬ ‫حلحلطل ي ييأم‬ ‫أي ي إححي ي حل ل 0 ‪ . x 0 ‬تاي ي ح حي ي ل حلام ييل لي ييأرحل ) ‪ y(x‬ي ي ‪، f  x , y ‬‬ ‫ر‬ ‫0‪. x  x‬‬ ‫إل اييال اييل‬ ‫ع ييو حل الل ي (6.6) تا ي ح ح ي ل حلامييل نيير 0 ‪ x  x‬ي ‪ f  x 0 , y0 ‬عم ي‬ ‫0‪. y  x 0   y‬‬ ‫0‪ y0 ، x‬ا أ ا ال حل رط حقتحرح‬ ‫مأر‬ ‫شكل (1-6) : حلخط ة حأل ل تط حخرحك طرمق‬ ‫0‪y1  y‬‬ ‫حلح ي ن ييحطمال‬ ‫أ ي حلص ي ة‬ ‫ر‬ ‫ي‬ ‫اييل حل ييال نديير ل حلامييل نيير 0 ‪x  x‬‬ ‫0 ‪x1  x‬‬ ‫اناط حلعص ل أ حل الل‬ ‫0‪y1  y‬‬ ‫‪f  x 0 , y0  ‬‬ ‫‪ y1  y0  f  x 0 , y0  x1  x 0 ‬‬ ‫0 ‪x1  x‬‬ ‫أ إ حتطر ننط لانط تح ام 0‪ x1  x‬تط ل حلخطي ة مرايل ليد تيطلرال ‪ ، h‬لنعصيل أي‬ ‫حل الل‬ ‫)2.6( --------------------- ‪y1  y0  f  x 0 , y0  h‬‬ ‫1‪ y‬ح تر يل حلقماي حلحقرمتمي (‪ )approximate value‬ل ي ) ‪ y(x‬نير 1‪x  x‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫(‪ ،)Predicted value‬لع ييطو 2 ‪y‬‬ ‫حلاح ل ي ي‬ ‫عمطنييط مطأ ييق أماييط حلقماي ي حلحنتؤم ي‬ ‫لي ) ‪ y(x‬نر 2 ‪x  x‬‬ ‫حلقما حلحقرمت‬ ‫)3.6( --------------------- ‪y2  y1  f  x1, y1  h‬‬ ‫‪x 2  x1  h‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫حل الل حل طا‬ ‫ح حاطرح أ اط تق ال حل اللحمل (6.6) (3.6) ماال حلح صل إل‬ ‫حلحطلم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-542-‬
  • 23. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪y(xi 1 )  y(xi )  f  xi , yi  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xi 1  xi  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حلح ماال إخحصطر احطتحاط أ حل ال حلحطل‬ ‫ح‬ ‫‪yi 1  y  xi   f  xi , yi  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)4.6( ---------------- ‪‬‬ ‫‪xi 1  xi  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫مأر ا‬ ‫أماط‬ ‫عمطنط مطأق‬ ‫مأر،‬ ‫حل الل حلحاررم (4.6) تطرمق‬ ‫ح‬ ‫ح ا‬ ‫(‪ )Euler-Cauchy method‬حل ال حلحطل م ل حأع حل الل حلحاررم‬ ‫ح‬ ‫مأر‬ ‫شكل (2-6) : حل الل حلحاررم تط حخرحك طرمق‬ ‫ح‬ ‫ني يير 1 ‪ x ‬تا أ ام ي ي‬ ‫‪y  y  x‬‬ ‫مثااااال (3-6) : دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم‬ ‫1 ‪y(0) ‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫حلرردي‬ ‫ي ا طرلي حلطليأم خطمي اييل حلرحتي حأل لي‬ ‫ل حأييع حلا طرلي‬ ‫ايل حل حلي‬ ‫ليع اايط حي حلتيطو حلثيطن‬ ‫ن حطمال عأاط أ إ حتطر ناط ا طرل حلطلأم خطم‬ ‫حأل ل‬ ‫ما ل عأاط أ حل ال حلحطل‬ ‫)5.6( ------------------------ ‪y( x)  x  1  2e x‬‬ ‫يل‬ ‫ا رحي ايرإل رلي حأيع حلطرمقي ،‬ ‫حآلل نق ك تعأاط ررمط لحنامر ح طلمي حلطرمقي‬ ‫ماال لمطرة حلرل لاط امف ماال لع ؟‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-642-‬
  • 24. ‫الباب السادس‬ ‫يال ا طرلي‬ ‫أي‬ ‫نق ك تلرل حل 2.0 ‪ h ‬نق ك ت لال حلا طرل حلحلطلأم‬ ‫ح حلترحم‬ ‫أ حلص ة‬ ‫ر‬ ‫مأر لحصت‬ ‫‪y  y  x  y  x  y‬‬ ‫تا ح ح ل ‪ f (x, y )  x  y‬حلح مل ح حل الل (4.6) نعصل أ‬ ‫)2.0( ‪yi 1  yi  f  xi , yi  h  yi 1  yi   xi  yi ‬‬ ‫اناط نعصل أ حل الل حلحطلم‬ ‫‪yi 1  0.8yi  (0.2)  xi ‬‬ ‫‪, i  0,1, 2, 3, 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1 ‪y(0) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حآلل ن ل ل 4 ,3 ,2 ,1,0 ‪ i ‬ح حل الل حل طتق لنعصل أ‬ ‫8.0 ‪y1  (0.8)y 0  (0.2)x 0  (0.8)(1)  (0.2)(0) ‬‬ ‫86.0 ‪y 2  (0.8)y1  (0.2)x1  (0.8)(0.8)  (0.2)(0..2) ‬‬ ‫426.0 ‪y3  (0.8)y 2  (0.2)x 2  (0.8)(0.68)  (0.2)(0.4) ‬‬ ‫916.0 ‪y 4  (0.8)y3  (0.2)x 3  (0.8)(0.624)  (0.2)(0.6) ‬‬ ‫556.0 ‪y5  (0.8)y 4  (0.2)x 4  (0.8)(0.691)  (0.2)(0.8) ‬‬ ‫تا ح ح ل حلعل حل رري لأا طرل حلحلطلأم تا أ ام 2.0 ‪h ‬‬ ‫1 ‪y ( x  0) ‬‬ ‫8.0 ‪y ( x  0.2) ‬‬ ‫86.0 ‪y ( x  0.4) ‬‬ ‫426.0 ‪y ( x  0.6) ‬‬ ‫916.0 ‪y ( x  0.8) ‬‬ ‫556.0 ‪y ( x  1) ‬‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6) عم ي‬ ‫ر‬ ‫حآلل يينق ك تحصييامك ترنييطاج جمدييطر عييل ي ا طرل ي حلطلييأم‬ ‫ااط مأ‬ ‫إرخطل ت ل حلتمطنط‬ ‫معحطج حلترنطاج إل‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة مرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخطل حلرحل ) ‪ f (x , y‬لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫لما ال ال 0 ‪. y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-742-‬
  • 25. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪Y(i+1)=Y(i)+h*subs(f‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫مأر‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (1-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫‪the function f(x,y)=x-y‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫1=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫0086.0 0008.0 0000.1‬ ‫0426.0‬ ‫2916.0‬ ‫4556.0‬ ‫>>‬ ‫حل طرمي اايط حير‬ ‫حلقمك حلح عصأنط أمايط ايل حلع يطتط‬ ‫نالعظ نط ل لمك حلرحل ‪y‬‬ ‫حلدايير حل ل ي . حل ييال (3-6) م ل ي حلعييل حل ييرري حلحقرمت ي (‪ )Approximate‬حلعييل‬ ‫اط حاثأ حلا طرل (5.6)‬ ‫حلحطك (‪ )Exact‬لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-842-‬
  • 26. ‫الباب السادس‬ ‫1‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫‪y‬‬ ‫57.0‬ ‫‪Exact solution‬‬ ‫7.0‬ ‫56.0‬ ‫)2.0=‪approximated solution(h‬‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫نر 2.0 ‪ h ‬تطلعل حلحطك لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫شكل (3-6): اقطرن حلعل حلحقرمتم‬ ‫حآلل نق ك تحغممر لما ط ل حلخط ة ‪ h‬لا رح ارإل حنثمر ط أ حلعل حلي ي عصيأنط‬ ‫لييمك ي 6.2 ، 6.2 ، 52.2 حييك حلعص ي ل أ ي‬ ‫ط ي ل حلخط ي ة ثييال‬ ‫أم يد، ليير خ ي‬ ‫ليع ااييط حي حل ييال‬ ‫حيك حي لم اك أي نليين حلاعيط ر‬ ‫حليثال‬ ‫حلعيل حي اييل ايل حلعييطق‬ ‫ي عييل حقرمت ي ( ت ميير‬ ‫(4-6)، اييط ح نالعييظ اييل ي ح حل ييال ؟ حلعييل نيير 2.0 ‪ h ‬ي‬ ‫نير 50.0 ‪، h ‬‬ ‫ل لما حلعيل حلحيطك) حي عيمل ل ليرتاك لأعيل حلحيطك ي حلعيل حلحقرمتي‬ ‫لرو اط ما ل لأعيل‬ ‫تاط م ن اأاط صغر لما ط ل حلخط ة ‪ h‬اأاط اطل حلعل حلحقرمت‬ ‫حلصييلر ح ي ل حلعييل حلحقرمت ي محقييطرو اييل حلعييل‬ ‫نييد نييراط حييؤ ل ‪ h‬إل ي‬ ‫ي ح م ني‬ ‫حلحييطك،‬ ‫حلحطك.‬ ‫1‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫‪y‬‬ ‫57.0‬ ‫‪Exact solution‬‬ ‫7.0‬ ‫)50.0=‪(h‬‬ ‫56.0‬ ‫)1.0=‪(h‬‬ ‫)2.0=‪(h‬‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫مل.‬ ‫شكل (4-6): حنثمر حغمر ط ل حلخط ة أ رل حلعل تط حخرحك طرمق‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-942-‬
  • 27. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫مثااال (4-6) : تط ييحخرحك ط ي ل خط ي ة 50.0، ديير حلعييل حل ييرري لأا طرل ي حلحلطلييأم‬ ‫أمييد ايال حلعييل‬ ‫مأيير، ليطرل حلعيل حلي ي عصيأ‬ ‫حلحطلمي لقيمك 1 ‪ 0  x ‬تط ييحخرحك طرمقي‬ ‫2 ‪ y  x‬لأا طرل حلحلطلأم‬ ‫حلحعأمأ‬ ‫0 ‪y  e y - e x  2x , y(0) ‬‬ ‫2‬ ‫حلعل‬ ‫ل‬ ‫أ حلص ة (6.5) تا ن‬ ‫ر‬ ‫حلا طرل حلحلطلأم‬ ‫‪y   e y - e x  2x‬‬ ‫2‬ ‫ندر ل 0 ‪y0  0 ، x 0 ‬‬ ‫ال حل رط حقتحرح‬ ‫ل عر ر حلاحغمير ‪ x‬ي 6 تايط‬ ‫حلاطأ و ع طو لما حلعل ح حللح ة 1 ‪ 0  x ‬تا ن‬ ‫ر‬ ‫م ن حل حلاحغمر 1 ‪xf ‬‬ ‫حآلل نق ك تححلم حلترنطاج حل طتق اال ت ل حلح رمل لمق ك تطلر ك .‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪Y(i+1)=Y(i)+h*subs(f‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪plot (X,Y,'r.') % numerical solution‬‬ ‫;2^.‪Y1=X‬‬ ‫‪hold on‬‬ ‫‪plot (X,Y1,'b*') % analytical solution‬‬ ‫مأر اال‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (2-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫اقطرنحد تطلعل حلحعأمأ‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-052-‬
  • 28. ‫الباب السادس‬ ‫مقي ك حلترنيطاج‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطحي ة حلحطلمي‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫تح لمال حل ال (5-6)‬ ‫50.0=‪step size‬‬ ‫‪the function f(x,y)=exp(y)-exp(x^2)+2*x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫0=0‪y‬‬ ‫1=‪xf‬‬ ‫>>‬ ‫1‬ ‫‪Anlytical solution‬‬ ‫9.0‬ ‫‪Numerical Solution‬‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫‪y‬‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫‪x‬‬ ‫مأر حلعل حلحعأمأ .‬ ‫شكل (5-6): حلعل حلحقرمت تط حخرحك طرمق‬ ‫ن يير 2 ‪t ‬‬ ‫حلحلطل ييأم حآلحمي ي‬ ‫مثاااال (5-6) : د يير حلع ييل حلحقرمتي ي لادا ي ي حلا ييطرق‬ ‫مأر تط ل خط ة 5.0‬ ‫تط حخرحك طرمق‬ ‫‪dx‬‬ ‫, ‪y‬‬ ‫1 ‪x (0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫,‪ 0.5x  0.5y‬‬ ‫2 ‪y(0) ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫مأ يير أي ي حلنعي ي‬ ‫مأ يير(4.5) أي ي حلا ييطرلحمل نعص ييل أي ي ا ييطرق‬ ‫تحطتمي يق ا طرلي ي‬ ‫حلحطل‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-152-‬
  • 29. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪xi 1  xi  hyi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  h  0.5xi  0.5yi  ‬‬ ‫‪ti 1  ti  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ق : نر 0 ‪ i ‬ح ل 2 ‪ x 0  1, y0 ‬اناط ح ل‬ ‫2 ‪x1  x 0  0.5y0  1  0.5(2) ‬‬ ‫57.1 ‪y1  y0  0.5  0.5x 0  0.5y0  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 5.0 ‪t ‬‬ ‫1‪x1, y‬‬ ‫إل‬ ‫عم‬ ‫ثطنمط : نر 1 ‪ i ‬ح ل 57.1 ‪ x1  2, y1 ‬اناط ح ل‬ ‫578.2 ‪x 2  x1  0.5y1 ‬‬ ‫5218.1 ‪y2  y1  0.5  0.5x1  0.5y1  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 1 ‪t ‬‬ ‫إل 2‪x 2 , y‬‬ ‫عم‬ ‫ثطلثط : نر 2 ‪ i ‬ح ل 587.2 ‪ x 2  2.875, y 2 ‬اناط ح ل‬ ‫52187.3 ‪x 3  x 2  0.5y2 ‬‬ ‫521870.2 ‪y3  y2  0.5  0.5x 2  0.5y2  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 5.1 ‪t ‬‬ ‫إل 3‪x 3 , y‬‬ ‫عم‬ ‫حت ط : نر 3 ‪ i ‬ح ل 521870.2 ‪ x3  3.78125, y 3 ‬اناط ح ل‬ ‫ر‬ ‫3028.4 ‪x 3  x 3  0.5y3 ‬‬ ‫9305.2 ‪y4  y3  0.5  0.5x 3  0.5y3  ‬‬ ‫حلقمك حلحقرمتم لي ‪ x , y‬نر 2 ‪t ‬‬ ‫إل 4‪x 4 , y‬‬ ‫عم‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-252-‬
  • 30. ‫الباب السادس‬ ‫ثانيا : طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادالت التفاضلية‬ ‫ررمي‬ ‫طرمق‬ ‫طرمق ر نج ا حط ال حلرحت حلثطنم (‪)Runge-Kutta 2nd Order‬‬ ‫ح يحخرك لعيل حلا يطرق‬ ‫مرال لاط تطلرال 2‪ RK‬حلح‬ ‫حلحلطلأم حل طرم‬ ‫لعل حلا طرق‬ ‫أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫حلحلطلأم‬ ‫‪dy‬‬ ‫0‪ f  x , y  , y  0   y‬‬ ‫)6.6( ------------‬ ‫‪dx‬‬ ‫حلص ي ة‬ ‫ر‬ ‫ااييط نالعييظ قتيير ل ححع ي ل حلا طرل ي حلحلطلييأم حل طرم ي اييل حلرحت ي حأل ل ي إل ي‬ ‫مأر.‬ ‫لع ح طرمق‬ ‫(6.6) ااط تق ح لم‬ ‫إل‬ ‫حلصي ي ة ‪ yi 1  yi  f  xi , yi  h‬عمي ي‬ ‫ر‬ ‫أي ي‬ ‫مأ يير ي ي‬ ‫حي ي ار ل ا طرلي ي‬ ‫يينقرك إ ييحنحطدط‬ ‫‪ ، h  xi 1  xi‬لاي ي نلا ييك ا ييط ي ي طرمقي ي ر ن ييج ا ح ييط لأرحتي ي حلثطنمي ي‬ ‫لع ااط مأ‬ ‫مأر تط حخرحك الا ع حمأ ر )‪)Taylor Expansion‬‬ ‫لطرمق‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪1 d y‬‬ ‫2‬ ‫‪yi 1  yi ‬‬ ‫‪ xi 1  xi  ‬‬ ‫‪ xi 1  xi ‬‬ ‫2‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫2 ‪2 ! dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫‪1 d 3y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi 1  xi ‬‬ ‫... ‪‬‬ ‫3‬ ‫3 ‪3 ! dx‬‬ ‫‪ xi ,yi ‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫نعصل أ‬ ‫عم إل ‪ f  x , y ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪ yi  f (xi , yi )  xi 1  xi   f '(xi , yi )  xi 1  xi   ...‬‬ ‫2‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫)7.6( --- ‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫... ‪ yi  f  xi , yi  h  f   x i , yi  h ‬‬ ‫2‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ااط نالعظ ند ت اطل حلعر ر إتحرحءح ال حلعر حلثطل ، نعصل أ حلا طرل حلحطلم‬ ‫‪yi 1  yi  f  xi , yi  h‬‬ ‫ناييط طرمق ي ر نييج ا حييط لأرحت ي‬ ‫مأيير أ ي‬ ‫مأيير ت ي لع مااييل ح ييام طرمق ي‬ ‫ي ا طرل ي‬ ‫ي ايل حلعير ر حلحي‬ ‫ي م حلطرمقي‬ ‫حأل لي (‪ )Runge-Kutta 1st order‬ماي ل حلخطين حي‬ ‫حك ع حاط‬ ‫3 ‪f   xi , yi  2 f   xi , yi ‬‬ ‫‪Et ‬‬ ‫‪h ‬‬ ‫... ‪h ‬‬ ‫)8.6( -----------‬ ‫!2‬ ‫!3‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-352-‬
  • 31. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫نعصييل أ ي‬ ‫ي ف ننخ ي عييرح حلييطحمط تا ن ي‬ ‫جظاييطر طرمق ي ر نييج ا حييط لأرحت ي حلثطنم ي‬ ‫ثالث عر ر اطلحطل‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  f  x i , yi  h ‬‬ ‫‪f   x i , yi  h 2 ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫)9.6( --------- ‪‬‬ ‫2 1‬ ‫‪‬‬ ‫1‪yi ‬‬ ‫‪ yi  hf i  h f i ‬‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫اأا ييط، تل ييرل‬ ‫أي ي اث ييطل ييرري لنح ييرف أي ي املمي ي‬ ‫ر ن ييط حآلل نن ييطلل حأ ييع حلطرمقي ي‬ ‫حلا طرل حلحلطلأم حلحطلم‬ ‫‪dy‬‬ ‫5 ‪ e 2 x  3y, y  0  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫انا ي ييط ماي ي ي ل ‪ f  x , y   e 2x  3y‬نالع ي ييظ ل ‪ f  x , y ‬رحلي ي ي حي ي ي ‪ x , y‬حاي ي ي ل‬ ‫حلا حق حأل ل لاط أ حلنع حلحطل‬ ‫‪f  x , y  f  x , y  dy‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)01.6( ------------‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ثك تطلح مل تقما حلرحل ‪f  x , y   e 2 x  3y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e 2x  3y    e 2x  3y  e 2x  3y ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2e 2 x  (3) e 2 x  3y   5e 2 x  9y‬‬ ‫تطلح مل تطلا حق حأل ل ح حل الل (9.6) نعصل أ‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  e 2 xi  3yi h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫!2‬ ‫‪‬‬ ‫2 ‪5e 2 xi  9yi h‬‬ ‫‪‬‬ ‫لأعصي ل‬ ‫تا ح عصأنط أ حل الل حلاطأ تي ، لايل يل قعظي اقرح حلا يق حلحي تي ل‬ ‫ذ‬ ‫ر‬ ‫ليع اايط‬ ‫ل صمطت ال لحأيع حل اللي‬ ‫أ حلا حق حأل ل ‪ ، f   x , y ‬ل ح نتع‬ ‫مأ :‬ ‫أ حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫ماال احطت حلا حق حأل ل‬ ‫‪f  x , y  f  x , y  dy‬‬ ‫‪ dy ‬‬ ‫‪f   x, y  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f   f x  fy ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ dx ‬‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-452-‬
  • 32. ‫الباب السادس‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ f   f x  f y f‬تيطلح مل نايط‬ ‫نعصيل أي‬ ‫تط حخرحك حل الل ‪ f  x , y ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ح حل الل (6.6) لنعصل أ‬ ‫‪h  f x  fy f‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 1‬ ‫‪yi 1  yi  hf i ‬‬ ‫!2‬ ‫‪i‬‬ ‫حلص ة حلحطلم‬ ‫ر‬ ‫حلح ححع ل إل‬ ‫2‪h‬‬ ‫2‪h‬‬ ‫‪yi 1  yi  hf i ‬‬ ‫)11.6( --------- ‪ f x i   f y i f i‬‬ ‫!2‬ ‫!2‬ ‫نق ك تلرل حلا طرل حلحطلم لحاثل ا طرل ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫حآلل‬ ‫‪yi 1  yi  a1k1  a 2k 2  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(66.6) --- ‪‬‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  xi  p1h , yi  q11k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫حلص ة )21.6(‬ ‫ر‬ ‫نعط ل لال حلا طرل )11.6( أ‬ ‫ء حلحطل‬ ‫ح حلدل‬ ‫ق: ر نط حآلل نق ك تلع حلاقرحر 2 ‪ k‬تط حخرحك الا ع حمأ ر‬ ‫‪k2  f  xi  p1h , yi  q11 k1  h   f i  p1h  f x i  q11  f i  h  f y ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ثطنمط : تطلح مل ل لما 2 ‪ k‬ح حلا طرل (66.6) نعصل أ‬ ‫‪yi 1  yi  a1k1  a 2k 2  h  yi 1  yi  a1 k1  h  a 2 k 2  h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  a1  f i  h  a 2 f i  p1h  f x i  q11  f i  h  f y  h‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  a1  a 2  h  f i   a 2 p1h 2  f x i  a 2q11h 2  f y   f i ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ثطلثط : تاقطرن حلا طرل حلنطحد اال ا طرل ر نج ا حط )21.6( نعصل أ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫(36.6) --------------------- ‪a1  a2  1, a2 p1  , a2 q11 ‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ادط مل، لعأاط نق ك تلرل احغمر‬ ‫رت‬ ‫ا طرق‬ ‫نالعظ نط ننط عصأنط أ ثال‬ ‫لنعصل أ حلثالث حأل إل، ت ال طك ح ننط ن حخرك لما 2 ‪ a‬لأعص ل أ حلثالث‬ ‫خر‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫أ‬ ‫لحنحج ثالث طرق اخحأل ،‬ ‫,1 ,‬ ‫حألخ إل حنخ 2 ‪ a‬ثالث حعحاطق‬ ‫ر‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫منل (‪ )Heun’s Method‬طرمق حلنقط حل ط (‪)Midpoint method‬‬ ‫حلحرحمو طرمق‬ ‫طرمق حل ح ل (‪. )Ralston’s method‬‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-552-‬
  • 33. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫طريقة هينز (‪)Heun’s Method‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ a1 ‬ال ثك حلح مل ح‬ ‫نلرل ل ‪ a2 ‬لنعصل أ 1 ‪, p1  1, q11 ‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi   k1  k 2  h‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫(46.6) -------- ‪‬‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  xi  h , yi  k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫إعرإل ص ر طرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫منل‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق‬ ‫طريقة النقطة الوسطى (‪)Midpoint Method‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ a1  0, p1  , q11 ‬ال ثك حلح مل ح‬ ‫نلرل ل 1 ‪ a2 ‬لنعصل أ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫‪yi 1  yi  k 2h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫(56.6) -----‬ ‫‪k1  f  xi , yi  , k 2  f  x i  h , yi  k1h  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫ي إعيرإل صي ر طرمقي ر نيج ا حيط لأرحتي‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق حلنقط حل ط‬ ‫حلثطنم‬ ‫طريقة الستون (‪)Ralston’s method‬‬ ‫ر‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪ a1  , p1 ‬ا ييل ث ييك حلح ي ي مل‬ ‫‪, q11 ‬‬ ‫‪ a2 ‬لنعص ييل أي ي‬ ‫نل ييرل ل‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫ح حلا طرل (21.6) لنعصل أ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫‪yi 1  yi  ( k1  k 2 )h‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫(66.6) ------ ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫‪k1  f  x i , yi  , k 2  f  x i  h , yi  k1h ‬‬ ‫‪‬‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫حلص ة حلثطلث لطرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم‬ ‫ر‬ ‫ح ا حأع حلطرمق تطرمق حل ح ل‬ ‫ر‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-652-‬
  • 34. ‫الباب السادس‬ ‫ني يير 1 ‪ x ‬تا أ ام ي ي‬ ‫مثااااال (6-6): دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم ‪y   y  x‬‬ ‫1 ‪y (0) ‬‬ ‫حلع ييل‬ ‫أ حلص ة 1=)0(‪ y  x  y, y‬اناط ح ل ‪f ( x, y)  x  y‬‬ ‫ر‬ ‫ناحو حلا طرل‬ ‫لع تلرل ل 1.0 ‪ h ‬لنعصل أ‬ ‫منل (46.6)‬ ‫ن حخرك طرمق‬ ‫, ‪k1  f  x i , yi   k1  x i  yi‬‬ ‫‪k 2  f  x i  h , yi  k1h   k 2  x i  h  yi  k1h‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪yi 1  yi   k1  k 2  h‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ق: نر 0 ‪ ، i ‬نعصل أ‬ ‫1‪k1  f  x0 , y0   k1  x0  y0  ‬‬ ‫8.0‪k2  x0  h  y0  k1h  0  0.1  1  (1)(0.1)  ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫19.0 ‪y1  y0   k1  k2  h  1    1   0.8    0.1 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫ثطنمط : نر 1 ‪ ، i ‬نعصل أ‬ ‫18.0 ‪k1  f  x1 , y1   k1  x1  y1  0.1  0.91 ‬‬ ‫926.0‪k2  x1  h  y1  k1h  0.1  0.1  0.91  (0.81)(0.1)  ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫1‪‬‬ ‫1‬ ‫‪‬‬ ‫838.0 ‪y2  y1   k1  k2  h  0.91    0.81   0.629    0.1 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫تحا حر اط تق نعصل أ‬ ‫ر‬ ‫1 ‪y0  y (0) ‬‬ ‫8896.0 ‪y6  y (0.6) ‬‬ ‫19.0 ‪y1  y (0.1) ‬‬ ‫4496.0 ‪y7  y (0.7) ‬‬ ‫838.0 ‪y2  y (0.2) ‬‬ ‫0007.0 ‪y8  y (0.8) ‬‬ ‫4287.0 ‪y3  y (0.3) ‬‬ ‫5417.0 ‪y9  y (0.9) ‬‬ ‫6147.0 ‪y4  y (0.4) ‬‬ ‫1737.0 ‪y10  y (1.0) ‬‬ ‫0417.0 ‪y5  y (0.5) ‬‬ ‫تط ييحخرحك طرمق ي ر نييج‬ ‫م ل ي حل الل ي تييمل حلعييل حلحييطك حلعييل حلحقرمت ي‬ ‫حل ييال حلحييطل‬ ‫مأر‬ ‫منل) نالعظ ناط حلل تاثمر ال طرمق‬ ‫ا حط حلرحت حلثطنم (طرمق‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-752-‬
  • 35. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫1‬ ‫‪Exact‬‬ ‫‪Apprximated‬‬ ‫59.0‬ ‫9.0‬ ‫58.0‬ ‫8.0‬ ‫57.0‬ ‫7.0‬ ‫56.0‬ ‫0‬ ‫1.0‬ ‫2.0‬ ‫3.0‬ ‫4.0‬ ‫5.0‬ ‫6.0‬ ‫7.0‬ ‫8.0‬ ‫9.0‬ ‫1‬ ‫منل، نر 1.0 ‪ h ‬تطلعل حلحطك‬ ‫شكل (6-6): اقطرن حلعل حلحقرمت تطرمق‬ ‫طييرق ( منييل - حلنقطي حل ييط - حل ييح ل )‬ ‫ر‬ ‫م لي نحييط ج حلييثال‬ ‫حلديير ل حلحييطل‬ ‫نر لمك اخحأل ال ‪h‬‬ ‫مأراال حلعل حلحطك‬ ‫اال اقطرنحاك تطرمق‬ ‫ط ل حلخط ة‬ ‫حلعل =8537.0‬ ‫‪h‬‬ ‫مأر‬ ‫منل‬ ‫حلنقط حل ط‬ ‫رل ح ل‬ ‫ح‬ ‫2.0‬ ‫4556.0‬ ‫5147.0‬ ‫5147.0‬ ‫5147.0‬ ‫1.0‬ ‫4796.0‬ ‫1737.0‬ ‫1737.0‬ ‫1737.0‬ ‫50.0‬ ‫0717.0‬ ‫1637.0‬ ‫1637.0‬ ‫1637.0‬ ‫جدول (1-6): اقطرن تمل حلطرق حلاخحأل لطرمق ر نج ا حط ال حلررد حلثطنم‬ ‫) در حلعل حلحقرمتي لأا طرلي‬ ‫عطق‬ ‫مثال (7-6) : تط حخرحك طرمق ر نج ا حط (حلثال‬ ‫حلحلطلأم 0 ‪ (1  x2 ) y  y 2  1 ‬تا أ ام 1 ‪ y(0) ‬نر 2 ‪ x ‬تط حخرحك طي ل خطي ة‬ ‫اقرح م 2.0 ،6.2 ملط 50.0 اثل حلثالث عأ ل تمطنمط.‬ ‫ر‬ ‫حلعل‬ ‫أ ي حلص ي ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫ي ف نق ي ك تحصييامك ترنييطاج جمدييطر عييل ي ا طرل ي حلطلييأم‬ ‫معحيطج حلترنيطاج إلي‬ ‫تط يحخرحك حلصي ر حلاخحألي لطرمقي ر نيج ا حيط ايل حلرحتي حلثطنمي عمي‬ ‫ااط مأ‬ ‫إرخطل ت ل حلتمطنط‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-852-‬
  • 36. ‫الباب السادس‬ ‫إرخطل لما ط ل حلخط ة ‪ Step Size‬مرال لاط تطلرال ‪h‬‬ ‫إرخطل حلرحل ) ‪ f (x , y‬لأا طرل حلحلطلأم ت ر ل اط أ حلص ة (6.6)‬ ‫ر‬ ‫لما ال ال 0 ‪. y 0 ، x‬‬ ‫إرخطل حل رط حقتحرح‬ ‫إرخطل لما ‪ x‬حلاطأ و نر ط ع طو لما ‪ y‬نرال لاط تطلرال ‪xf‬‬ ‫‪ ‬طريقة هينز‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪k1=subs(f‬‬ ‫;‪y=Y(i)+k1*h‬‬ ‫;‪x=X(i)+h‬‬ ‫;)‪k2=subs(f‬‬ ‫;‪Y(i+1)=Y(i)+(0.5*k1+0.5*k2)*h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫منل‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق‬ ‫ر‬ ‫برنامج (3-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫)2^‪the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫2=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫- 3000.0- 5111.0 2152.0 6034.0 2966.0 0000.1‬ ‫2533.0- 4782.0- 2232.0- 8761.0- 7190.0‬ ‫>>‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-952-‬
  • 37. ‫حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية‬ ‫‪ ‬طريقة النقطة الوسطى‬ ‫‪clc‬‬ ‫‪clear all‬‬ ‫‪syms f x y‬‬ ‫;)'=‪h = input('step size‬‬ ‫;)'=)‪f = input('the function f(x,y‬‬ ‫;)'=0‪X(1) = input('x‬‬ ‫;)'=0‪Y(1) = input('y‬‬ ‫;)'=‪xf = input('xf‬‬ ‫‪for i=1:(xf-X(1))/h‬‬ ‫;)‪y=Y(i‬‬ ‫;)‪x=X(i‬‬ ‫;)‪k1=subs(f‬‬ ‫;‪y=Y(i)+0.5*k1*h‬‬ ‫;‪x=X(i)+0.5*h‬‬ ‫;)‪k2=subs(f‬‬ ‫;‪Y(i+1)=Y(i)+k2*h‬‬ ‫;‪X(i+1)=X(i)+h‬‬ ‫‪end‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق حلنقط‬ ‫ر‬ ‫برنامج (4-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حل ط‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ ‫2.0=‪step size‬‬ ‫)2^‪the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x‬‬ ‫0=0‪x‬‬ ‫1=0‪y‬‬ ‫2=‪xf‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫1162.0 2934.0 2576.0 0000.1‬ ‫4221.0‬ ‫1970.0- 5110.0‬ ‫1023.0- 9272.0- 3812.0- 6451.0-‬ ‫>>‬ ‫___________________________________________________‬ ‫-062-‬
  • 38. ‫الباب السادس‬ ‫ طريقة الستون‬ ‫ر‬ clc clear all syms f x y h = input('step size='); f = input('the function f(x,y)='); X(1) = input('x0='); Y(1) = input('y0='); xf = input('xf='); for i=1:(xf-X(1))/h y=Y(i); x=X(i); k1=subs(f); y=Y(i)+0.75*k1*h; x=X(i)+0.75*h; k2=subs(f); Y(i+1)=Y(i)+(1/3*k1+2/3*k2)*h; X(i+1)=X(i)+h; end Y ‫أ حلص ة (6.6) تط حخرحك طرمق حل ح ل‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫برنامج (5-6): عل ا طرل حلطلأم‬ ‫حتط ط ااط مظار ح حلنطح ة حلحطلم‬ ‫نر حنلم حلترنطاج نق ك ت رخطل حلتمطنط‬ step size=0.2 the function f(x,y)=-(1+y^2)/(1+x^2) x0=0 y0=1 xf=2 Y= 1.0000 0.6724 0.4351 0.2562 0.1170 0.0057 - 0.0853 -0.1611 -0.2252 -0.2801 -0.3276 >> h  0.2 ‫ال (7-6) حلعل حلنطحج ل حلثالث طرق تط حخرحك ط ل خط ة‬ ‫مل‬ ___________________________________________________ -261-