Matematica financeira regular 9

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Matematica financeira regular 9

  1. 1. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho AULA 09 – RENDAS CERTAS Olá, amigos! Quero, de antemão, agradecer pelos muitos votos de melhora que recebi nestesúltimos dias. De fato, estou bem melhor. (Quase bom!). Infelizmente, precisei atrasar a aula deontem para hoje, por conta de mais uma daquelas intermináveis viagens que faço toda semana,de Fortaleza para o Juazeiro do Norte... quase sete horas no volante me fizeram chegar na terrado Padre Cícero muito cansado, mas sempre a tempo de trabalhar! À noite é que não deu. Mas, deixemos de conversa mole, e vamos logo dar início ao assunto de hoje, que é,por sinal, um dos mais fáceis de todo o Curso! Sim! Um dos mais fáceis! Nas últimas aulas, aprendemos bem o que fazer diante de uma única parcela, noRegime Composto. Todos lembrados? Claro! Por exemplo, se eu tenho uma parcela de R$1000,e quero projetá-la para uma data posterior, o que tenho que fazer? ??? 1.000, Ora, teremos apenas que multiplicar o mil pelo parêntese famoso! Só isso! O quecorresponde a uma operação de Juros Compostos. Assim, teríamos: 1000.(1+i)n 1.000, E se, caso contrário, quiséssemos projetar essa parcela de mil para uma data anterior?O que teríamos que fazer? ??? 1.000, www.pontodosconcursos.com.br 1
  2. 2. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Também já sabemos a resposta! Bastaria dividirmos o mil pelo parêntese famoso. Oque corresponde a uma operação de Desconto Composto por Dentro! Assim: 1000/(1+i)n 1.000, Assim, um desenho bem fácil e que praticamente resume tudo o que se pode fazercom uma parcela isolada no regime composto é o seguinte: X/(1+i)n X.(1+i)n X Agora uma pergunta diferente, ainda não analisada por nós: e se, em vez de apenasuma, houvesse uma série de parcelas de mesmo valor, dispostas em intervalos de tempoiguais, e todas sujeitas a uma taxa de juros compostos? Como faríamos para projetá-las parauma data posterior? E qual seria essa data posterior propícia? Vejamos: ??? P P P P P P O que precisamos saber são apenas duas coisas: 1º) Projetaremos todas as parcelas (P) de uma vez só para uma data futura; e 2º) A data certa para projetarmos todas elas para o futuro é exatamente a data daúltima parcela! www.pontodosconcursos.com.br 2
  3. 3. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Ok? Isto é uma operação de Rendas Certas! Dito de outra forma: operação de Rendas Certas é aquela em que projetaremos parauma data futura várias parcelas, de uma vez só, desde que estejam presentes as seguintes trêscaracterísticas: 1ª) As parcelas sejam de mesmo valor; 2ª) As parcelas estejam dispostas em intervalos de tempo iguais (exemplo: parcelasmensais, ou parcelas trimestrais, ou parcelas anuais etc). 3ª) É preciso que estejamos trabalhando com uma taxa composta! (Não existemRendas Certas no regime simples!). Portanto, taxa de juros compostos! Doravante chamaremos estas três características de pacote completo das RendasCertas! Ok? Assim, se encontrarmos numa questão de prova uma seqüência de parcelas, iremosimediatamente averiguar se está também presente o pacote completo das Rendas Certas!Convém frisar novamente: só será uma questão de Rendas Certas se estiverem presentes astrês características do pacote! Ok? Jamais esquecer: parcelas iguais; intervalos iguais; e taxacomposta! Assim, nosso desenho completo agora é o seguinte: T P P P P P P Somente para efeitos didáticos, desenharemos as parcelas P com seta para baixo, e oresultado do desenho (T) permanecerá com seta para cima. Teremos, enfim: T P P P P P P www.pontodosconcursos.com.br 3
  4. 4. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Este acima é o desenho modelo das Rendas Certas! Por que desenho modelo? Porqueele contém a informação crucial deste assunto, qual seja, a data propícia para se projetar asparcelas das Rendas Certas é a mesma data da última parcela (P)! Essa informação não poderemos esquecer de jeito algum! A próxima pergunta, obviamente, é a seguinte: como faremos para descobrir aqueleresultado (T) do desenho? A resposta é simples: aplicando a equação das Rendas Certas, que éa seguinte: T = P . Sn,i Falemos sobre cada elemento desta fórmula: O T é o Total, o resultado das Rendas Certas. Ele, sozinho, representa todas asparcelas do desenho! (E qual é a data em que ele aparece? Hein? Hein? É a mesma data daúltima parcela!). P é o valor de cada uma das parcelas. E têm que ser todas iguais! Já sabemosdisso! (Primeira característica do pacote completo)! O S sozinho não é ninguém. Ele está aí apenas para indicar que estamostrabalhando, na verdade, com um fator: o Sn,i , que será chamado por nós de Fator deRendas Certas! O nome de batismo desse fator é fator de acumulação de capital para umasérie de capitais. Um nome muito comprido. Melhor ficar mesmo apenas com Fator de RendasCertas! Combinado? O n do Fator de Rendas Certas vai representar nada menos que o número deparcelas! Só isso! Se são 5 parcelas, então n=5; se são 10 parcelas, então n=10; e assim pordiante. O i é a taxa! Taxa de juros o quê? Taxa de Juros Compostos! (Terceira característicadas Rendas Certas!). Pois bem! Aí está! Já sabemos quase tudo sobre Rendas Certas! Só falta pouca coisa! Por exemplo, falta saber que essa fórmula acima faz uma exigência! Vejamos:# Exigência da Fórmula das Rendas Certas:” É preciso que a taxa (de juros compostos) da operação esteja na mesma unidade que ointervalo de tempo entre as parcelas! Por exemplo, se as parcelas são mensais, então preciso trabalhar com uma taxa mensal;se as parcelas são semestrais, preciso trabalhar com uma taxa semestral; e assim por diante! Se a questão de prova disser que as parcelas são mensais, e fornecer uma taxacomposta de, suponhamos, 60,1032% ao ano, o que teríamos que fazer? Quem me diz?Teríamos que transformar essa taxa anual em uma taxa mensal, no intuito de cumprir aexigência da fórmula. Ora, 60,1032% ao ano já é uma taxa efetiva de juros compostos. Concordam? E qual é o conceito que se aplica sempre que se quer alterar a unidade de uma taxaefetiva de juros compostos? Qual? É o conceito de Taxas Equivalentes! Todos lembrados?Teríamos, pois, que usar este conceito, para converter a unidade da taxa! Teríamos! Mas não teremos! E por que não? Porque já sabemos decorado que, peloconceito de Taxas Equivalentes, 60,1032% ao ano = 4% ao mês! Lembrados? www.pontodosconcursos.com.br 4
  5. 5. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Foram pouquíssimas coisas que eu lhes pedi para decorar neste Curso. Uma delas foiessa! Lembraram agora? A outra foi sobre a taxa de juros compostos de 9,2727% aotrimestre! Vira quanto por cento ao mês? Vira 3% ao mês! Voltando ao exemplo, uma vez transformando 60,1032% ao ano para 4% ao mês, etendo parcelas mensais nas Rendas Certas, a única exigência já estaria cumprida, de sorte quejá poderíamos aplicar a equação, sem mais demora alguma. Mas no caso de termos, realmente, que empregar o conceito de Taxas Equivalentes,somente para relembrar, aplicaríamos a fórmula (que se confunde com o conceito): 1 + I = (1 + i)K Já tratamos detalhadamente sobre as Taxas Equivalentes! Pergunta: vocês acham que é possível, numa questão de Rendas Certas, aparecer umataxa como 36% ao ano, com capitalização mensal? O que vocês acham? Claro que sim! Por quê? Porque se trata de uma taxa nominal, e a taxa nominal indica,por sua mera presença, que estamos trabalhando no Regime Composto! E as Rendas Certas sãoquestões do Regime Composto! Assim, taxa nominal pode (e vai!) aparecer no enunciado dequestões de Rendas Certas! Se for o caso, já sabemos perfeitamente o que fazer diante de uma taxa nominal. Todoslembrados? Nós a transformaremos em taxa efetiva, por meio do conceito de taxasproporcionais! Já falamos exaustivamente sobre isso em aulas passadas! (Espero que estejamtodos estudando!). Só para não perder a viagem: nesta transformação, de taxa nominal para taxa efetiva,não podemos esquecer ainda que a unidade da taxa efetiva será sempre a mesma unidade dacapitalização. Assim, teríamos que: 36% ao ano, com capitalização mensal = (36/12) = 3% ao mês (Taxa Nominal) (Taxa Efetiva) Agora, estamos quase lá! Eu só vou precisar de três exemplos, para que vocês estejamaptos a resolver toda e qualquer questão de Rendas Certas! Adiante!# Exemplo 1) O João passou no concurso pra Fiscal da Receita! Puxa, que maravilha! Realizouseu grande sonho profissional. E agora já foi nomeado e já está trabalhando! Ao final doprimeiro mês, adivinhem?, chegou a recompensa dos justos: o primeiro contra-choque, digo,contra-cheque. Era tanto dinheiro, que o João até ficou emocionado...! E resolveu que, comaquele primeiro salário, não faria economia alguma! Iria torrar tudo em diversões e empresentes que daria a si mesmo! Vocês precisavam ver o que ele fez: comprou logo um carrãozero quilômetro! (Não estou bem certo se foi um novo Civic ou se foi um Audi A4). Depois,arranjou uma namorada (cinematográfica!), e a levou para passar um fim-de-semana na ilha deFernando de Noronha! (O que o dinheiro não faz, hein? Logo o João, feio pra burro...)! Quandovoltou da ilha, comprou um notebook de última geração, máquina fotográfica digital, máquinafilmadora digital, e mais meia dúzia de parafernálias eletrônicas. Quase esqueço: ainda trocou acozinha toda da mãe dele. Aliás, a mãe do João também é filha de Deus, e o João soubereconhecer todo o apoio que ela lhe deu quando ele estava se preparando para o concurso.Enfim. Acabou-se aquele mês, e para surpresa geral, ainda restaram mil reais do salário namão do João! Ele quase não acreditava naquilo. Minha nossa! É dinheiro demais! A experiênciamostrou ao João que ele deveria mesmo era se conformar com aquela situação degradante, eabrir uma conta de poupança em um banco qualquer. Assim ele fez: foi ao banco, abriu umaconta de poupança e resolveu que depositaria, todos os meses e na mesma data, uma quantiade mil reais. O fato é que o João fez uma seqüência de 12 depósitos mensais. Considerando quetodas as aplicações estão sujeitas a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual será ovalor a ser resgatado, em decorrência de todas essas aplicações, na data da última aplicação? www.pontodosconcursos.com.br 5
  6. 6. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio CarvalhoSol.: O humor contido neste enunciado tem um só propósito: de fazer com que vocês nãoesqueçam o assunto! (E, obviamente, que se descontraiam um pouco, uma vez quedescontração e aprendizado andam de mãos dadas e formam uma dupla infalível! Cuidado: eudisse descontração, e não desconcentração!). Uma tradução mais séria deste enunciado seria o seguinte: “Uma pessoa realizou doze aplicações iguais, mensais e sucessivas, no valor de R$1000cada uma. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, quanto irá resgatar nadata da última aplicação?”. Só isso. Por primeiro, façamos o desenho da questão. Teremos: X 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 Olhando para o desenho, vemos a presença de várias parcelas de mesmo valor. Sabendodisso, iremos imediatamente à procura das duas outras características do pacote completo!Além das parcelas iguais, há também intervalo igual entre as parcelas? Sim! Há também umataxa de juros compostos? Sim! E nosso objetivo é o de projetar todas essas parcelas para umadata futura? Sim! Ótimo! Não resta mais nenhuma dúvida: estamos diante de uma questão de RendasCertas! Uma vez reconhecido o assunto, resta-nos agora comparar o desenho da questão com odesenho modelo das Rendas Certas, para sabermos se já estão de acordo? O que você me diz?Sim ou não? Ora, o desenho modelo nos lembra que o resgate das Rendas Certas (o T dafórmula) está sempre na data da última parcela. Lembrados? Então nosso desenho acima jáestá de acordo com essa informação! Assim, o X do desenho da questão corresponde, sim, ao T da fórmula das RendasCertas. Estamos, pois, diante de uma questão copiar-colar. Ou seja, uma questão de aplicaçãodireta da fórmula. Teremos: T = P . Sn,i T = 1000 . S12,2% Tudo corria bem, até chegarmos neste ponto! Mas, e agora? Como calcular o valor destefator de Rendas Certas? Para isso, contaremos com um auxílio, sempre fornecido pelasprincipais bancas elaboradoras de prova: a Tabela Financeira do Sn,i. A Esaf fornece essa tabela desde 1996. Já faz dez anos, portanto, que ela nunca deixoude constar no caderno de provas. A FCC também fornece. Ok? Agora, teremos que redobrar nossa atenção! Já não dispomos apenas de uma, e sim deduas tabelas financeiras: a do parêntese famoso (1+i)n, e agora também a do Fator de RendasCertas (Sn,i). Parece inacreditável, mas o erro mais corriqueiro entre os alunos, na prova deMatemática Financeira, é sempre o mesmo: consultar a tabela financeira errada! www.pontodosconcursos.com.br 6
  7. 7. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Na hora da prova, muitas vezes apressado e nervoso, o candidato acaba se atrapalhandoe trocando de tabela. Tinha que consultar a do parêntese famoso e procura na do fator deRendas Certas. Ou vice-versa! (Na próxima aula, a coisa fica ainda mais interessante, uma vezque falaremos da terceira tabela financeira)! Enfim, cada macaco no seu galho: consultaremos a tabela do parêntese famoso quandoprecisarmos descobrir o valor do parêntese famoso! (Isso pode ser numa operação de juroscompostos, de desconto composto, ou de equivalência composta); consultaremos a tabela dofator de rendas certas quando precisarmos descobrir o valor do fator de rendas certas. Ok? É sóestar atento! A consulta à tabela das Rendas Certas é semelhante a que fazemos para o parêntesefamoso. Na linha de cima, teremos as taxas. Na coluna da esquerda, o número de parcelas (n).Assim, se precisarmos saber o quanto vale o fator S12,2%, faremos: i 1% 2% 3% 4% 5% ... 17% 18% n 1 2 3 . . . 11 12 X Esse X será exatamente o valor do fator de Rendas Certas S12,2%. Ou seja, a consulta à tabela do Sn,i é tão fácil quanto a do parêntese famoso! Consultando uma tabela de verdade, veremos: TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS (1 + i ) n − 1 s n ¬i = i i 1% 2% 3% 4% ... 9% 10% n 1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ... 1,000000 1,000000 2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 ... 2,090000 2,100000 3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 ... 3,278100 3,310000 4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 ... 4,573129 4,641000 5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 ... 5,984710 6,105100 ... ... ... ... ... ... ... ... 12 12,682503 13,412090 14,192029 15,025805 ... 20,140720 21,384284 www.pontodosconcursos.com.br 7
  8. 8. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Assim, voltando à nossa resolução, teremos que: T = 1000 . S12,2% T = 1000 x 13,412090 E: T = 13.412,09 Resposta! Passemos ao segundo exemplo.# Exemplo 2) Uma pessoa aplicou seis parcelas iguais, mensais e sucessivas, no valor deR$1000,00 cada uma. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual o valora ser resgatado quatro meses após a última aplicação?Sol.: Iniciemos com o desenho da questão. Teremos: X 1000 1000 1000 1000 1000 1000 Vou lhes ensinar duas soluções possíveis para este problema. Ok? Você, ao final, decidequal lhe parece melhor.Solução I) Acrescentar ao desenho da questão a seta do T das Rendas Certas. Essa é a proposta desta primeira solução. Se formos acrescentar ao desenho o T dasRendas Certas, onde estaria localizada esta seta? Ora, na data da última parcela de mil.Teremos: X T 1000 1000 1000 1000 1000 1000 www.pontodosconcursos.com.br 8
  9. 9. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Assim, o primeiro passo desta resolução é descobrir o valor do T que acabamos dedesenhar acima. Faremos isso, aplicando a fórmula das Rendas Certas. Teremos: T = P . Sn,i T = 1000 . S6,2% Consultando a tabela do fator de Rendas Certas, teremos que: TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS (1 + i ) n − 1 s n ¬i = i i 1% 2% 3% 4% ... 9% 10% n 1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ... 1,000000 1,000000 2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 ... 2,090000 2,100000 3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 ... 3,278100 3,310000 4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 ... 4,573129 4,641000 5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 ... 5,984710 6,105100 6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 ... 7,523334 7,715610 Assim, teremos que: T = 1000 . S6,2% T = 1000 x 6,308121 T= 6.308,12 Mas esta ainda não será nossa resposta! E por que não? Porque o enunciado estápedindo um resgate numa data futura, posterior à data da última parcela! (Quatro mesesapós!). Ora, esse valor T que acabamos de calcular representa todas as parcelas de mil dodesenho. Concordam? Assim, uma vez conhecido o valor do T, nosso novo desenho da questãoagora é o seguinte: X 6.308,12 O que temos aqui? Uma parcela única, conhecida, no regime composto, e que seráprojetada para uma data posterior! Como faremos isso? Já vimos no começo desta aula dehoje: multiplicando pelo parêntese famoso! Ou seja, faremos uma operação de JurosCompostos! Teremos: M=C.(1+i)n Assim: M=6.308,12.(1+0,02)4 www.pontodosconcursos.com.br 9
  10. 10. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Aqui cabe uma rápida consulta à Tabela Financeira do parêntese famoso. Teremos que: Tabelas Financeiras TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 Assim, concluindo os cálculos desta operação de Juros Compostos, teremos que: M=6.308,12.(1+0,02)4 M=6.308,12 x 1,082432 E: M=6.828,11 Resposta! Passemos à outra solução possível.Solução I) Acrescentar ao desenho da questão parcelas fictícias, no intuito de tornar odesenho da questão de acordo com o desenho modelo das Rendas Certas. Vejamos o desenho original da questão: X 1000 1000 1000 1000 1000 1000 Este desenho está de acordo com o desenho modelo das Rendas Certas? Não! Mas sequiséssemos acrescer a ele algumas parcelas fictícias de R$1000, até adequá-lo ao desenhomodelo, como ficaria este desenho? Ficaria assim: www.pontodosconcursos.com.br 10
  11. 11. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho X 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 Todos concordam que com o acréscimo destas quatro parcelas fictícias (em verde),nosso desenho agora ficou compatível com o desenho modelo das Rendas Certas? Sim? Ótimo!Agora temos a data do resgate coincidindo com a data da última parcela (embora fictícia)! Vejam que agora temos, no total, 10 (dez) parcelas (sendo seis reais e quatro fictícias)! Vou fazer uma pergunta, e você vai pensar antes de responder. Se eu dissesse que aquele X (o resgate) é igual a: X=1000.S10,2% ... ... vocês acham que este cálculo estaria correto? Ou seja, você acha que este X seria aresposta da questão? Claro que não! Percebam que neste cálculo acima, estamos considerando um resgateque seria alcançado se houvesse, de fato, dez parcelas! Mas ocorre que quatro delas nãoexistem: são parcelas fictícias! Assim, para este cálculo ficar correto, precisaremos retirar dele um fator referente àsparcelas fictícias. E são quantas mesmo estas parcelas fictícias? São quatro. Assim, teremos: X=1000.{S10,2% - S4,2%} Agora, sim! Esse X é a resposta que procuramos! E em um só passo! Fazendo as devidas consultas à Tabela Financeira do Fator das Rendas Certas, teremos: TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS (1 + i ) n − 1 s n ¬i = i i 1% 2% 3% 4% ... 9% 10% n 1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ... ... ... ... ... ... ... ... 4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,573129 4,641000 ... ... ... ... ... ... ... ... 9 9,368527 9,754628 10,159106 10,582795 13,021036 13,579477 10 10,462212 10,949721 11,463879 12,006107 15,192930 15,937424 www.pontodosconcursos.com.br 11
  12. 12. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Assim, retornando aos cálculos, teremos que: X=1000.{S10,2% - S4,2%} X=1000.{10,949721 – 4,121608} X=1000 x 6,828,11 E: X=6.828,11 Resposta! Rigorosamente a mesma resposta da primeira solução! E nem poderia ser diferente! Em salas de aula de todo o Brasil, os alunos são praticamente unânimes em preferir estaúltima solução! Mas eu penso que as duas são igualmente fáceis, e acho conveniente vocêsficarem com estas duas cartas na manga! Não é verdade? Claro! Quem sabe duas soluções estáduas vezes melhor do que quem sabe apenas uma! E infinitamente melhor do que quem nãosabe nenhuma! Ainda fazendo alusão a esta segunda solução, a das parcelas fictícias, podemosgeneralizar a fórmula desenvolvida das Rendas Certas, dizendo que: T=P.{STOTAL,i - SFICTÍCIAS,i} Onde: TOTAL é o número que corresponde à soma do número de parcelas (reais+fictícias); e FICTÍCIAS é apenas o número de parcelas fictícias. Esta é, portanto, a fórmula desenvolvida das Rendas Certas, para o caso de você adotara solução das parcelas fictícias! Ok? Só preciso de mais um exemplo para matarmos este assunto! Vamos a ele.# Exemplo 3) Uma pessoa faz um contrato com um banco para aplicar mensalmenteR$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês,R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicaçõessão feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando umataxa de juros compostos de 2% ao mês.Sol.: A parte mais importante desta resolução será nada menos que acertar o desenho! Sedesenharmos a questão corretamente, o resto é resto! Para acertamos o desenho, vamos reler o enunciado, para descobrir qual é o período detempo total em que vão ser feitas as diversas aplicações. Qual é o tempo total? É um prazototal de um ano. Daí, desenharemos logo este período de doze meses. Teremos: Percebam que um mês não é um tracinho! Um mês é espaço entre dois tracinhos.Confere? Vejamos: Final do primeiro mês www.pontodosconcursos.com.br 12
  13. 13. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Começo do primeiro mês Pela leitura do enunciado, percebemos que haverá não apenas um, mas três grupos deaplicação! É dito que, entre o primeiro e o quarto mês, haverá parcelas de R$1.000,00. Dizainda que, entre o quinto e o oitavo mês, as aplicações serão de R$2.000,00. Por fim, entre onono e o décimo segundo mês, as parcelas serão no valor de R$3.000,00. Sabendo disto, podemos agora dividir o nosso desenho que temos até aqui em trêspartes, de acordo com o que acabamos de ler! Fazendo isso, teremos: Parcelas de R$1000 Parcelas de R$2000 Parcelas de R$3000 Agora já está quase! Só temos que atentar para mais um pequeno (mas fundamental)detalhe: as aplicações das parcelas (de R$1000, R$2000 e R$3000) serão feitas quando? Noinício ou no final de cada mês? O enunciado responde: “...as aplicações são feitas ao fim de cada mês...”. Pronto! Agoraé só obedecer ao que manda a questão. Desenhemos logo as parcelas de R$1000. Teremos: 1000 1000 1000 1000 Percebam que a primeira parcela de R$1000 está ao final do primeiro mês; a segundaestá ao final do terceiro mês; a terceira ao final do terceiro mês e finalmente a quarta parcelade R$1000 está ao final do quarto mês. Tudo isso está absolutamente de acordo com o que dizo enunciado: as parcelas de R$1000 estarão entre o primeiro e o quarto meses, sempre ao fimde cada mês! Certo? Desenhemos agora as parcelas de R$2000 e R$3000. Teremos: 1000 1000 1000 1000 2000 2000 2000 2000 3000 3000 3000 3000 Está quase concluído o desenho! www.pontodosconcursos.com.br 13
  14. 14. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Vamos tentar identificar o assunto da questão, ok? O que você vê? Há parcelas demesmo valor? Sim! Como não? Se olharmos apenas para as parcelas de R$1000, então háparcelas de mesmo valor! Se olharmos só para as de R$2000, também! E se olharmos só paraas de R$3000, idem! Outra coisa: o intervalo entre as parcelas é o mesmo? Sim! São todas elas parcelasmensais! Terceiro: a taxa da operação é de juros compostos? Sim! O enunciado disse issoexpressamente: “... taxa de juros compostos de 2% ao mês...”. O que a questão quer que nós calculemos? Ela diz assim: “...calcule o Montante ao fimdos doze meses.” Ou seja, o enunciado pede que nós calculemos o valor que irá representartodas as parcelas do desenho, lá no final do último mês! Então, para deixar o desenho completo, em definitivo, faremos o seguinte: X 1000 1000 1000 1000 2000 2000 2000 2000 3000 3000 3000 3000 Nosso objetivo é descobrir o valor daquele X. Já vimos acima que estão presentes nesta questão aquelas três características daoperação de Rendas Certas, desde que nós consideremos, em separado, só as parcelas deR$1000, ou só as parcelas de R$2000 ou só as de R$3000. Não é assim? Daí, já percebemosque não vai ser possível trabalhar a questão em um único passo! Em vez disso, utilizaremos umartifício, que nos fará resolvê-la facilmente. O artifício é o seguinte: faremos no desenho acima alguns tracejados, que irão dividiras parcelas em diferentes níveis! Ora, se temos parcelas de três valores distintos, então haverátrês níveis de parcelas, sendo que o primeiro deles corresponde às parcelas de menor valor, ouseja, às parcelas de R$1000,00. Daí, esse primeiro tracejado será feito começando da primeira parcela de R$1000, e seestenderá até chegarmos à data do resgate! O segundo tracejado começará pela primeira parcela do segundo “bloco”, ou seja,começará pela primeira parcela de R$2000 e se estenderá até a data do resgate! www.pontodosconcursos.com.br 14
  15. 15. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Finalmente, o terceiro e último tracejado, começando da primeira parcela de R$3.000, ese estendendo até a data do resgate! Desenhando esses três tracejados, teremos: X 1º Nível 1000 1000 1000 1000 2º Nível 2000 2000 2000 2000 3º Nível 3000 3000 3000 3000 Pronto! Agora que já fizemos os tracejados e dividimos nosso desenho em três níveis,nossa resolução será quase que imediata! Trabalharemos cada nível separadamente! Vamos fazer um esforço visual, e tentar enxergar apenas as parcelas do primeironível. Enxergaram? Quantas são? São 12. E todas no mesmo valor? Sim! Todas as doze novalor de R$1000. Daí, se nós “esquecermos” que existem o 2º e o 3º níveis, ou seja,considerando apenas o primeiro nível, nosso desenho seria o seguinte: T’ 1º Nível1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 www.pontodosconcursos.com.br 15
  16. 16. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Ou seja, considerando apenas o primeiro nível, enxergamos que há doze parcelas(n=12), todas no valor de R$1000,00 (P=1000), aplicadas em intervalos de tempo iguais(parcelas mensais), tudo isso sujeito a uma taxa de juros compostos (2% ao mês). Vemos ainda que a data do resgate coincide com a data da última parcela de R$1000.Daí, se aplicarmos diretamente a fórmula das Rendas Certas, encontraremos o valor que iremoschamar T’, que irá representar todas as parcelas do primeiro nível. Teremos que: T = P . sn¬i T’=1000 . s12¬3% 1º Nível Esse resultado ficará guardado, “de molho”, para o final da questão! Vamos trabalhar agora somente com as parcelas do 2º nível. Aqui, faremos novoesforço visual, para enxergarmos apenas os “pedaços” que compõem o segundo nível. Teremos,então, que: T’’ 2ºNível 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 Todos enxergaram que nesse segundo nível estão presentes oito parcelas (n=8), e quesão parcelas mensais, e que a taxa é composta (i=2% ao mês) e que o resgate coincide com adata da última parcela? Ótimo! Então, resta-nos calcular o valor de T’’, o qual será o resultado do 2º nível.Apliquemos novamente as Rendas Certas. Teremos: T = P . sn¬i T’’=1000 . s8¬3% 2º Nível Esse resultado também ficará guardado, “de molho”, para o final da questão! Lembre-seque já havia um resultado aguardando o final da questão (o T’). Para finalizar, trabalharemos com as parcelas do terceiro nível. Se enxergarmos só asparcelas (os pedaços) que compõem esse terceiro nível, teremos o seguinte: T’’’ 3º Nível 1000 1000 1000 1000 www.pontodosconcursos.com.br 16
  17. 17. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Ou seja, neste terceiro nível, nós temos quatro parcelas (n=4) de R$1000 cada uma(P=1000), e são parcelas mensais sujeitas a uma taxa composta (i=2% ao mês). De quebra, adata do resgate coincide com a data da última parcela. Então, para calcular o T’’’, que será oresultado do terceiro nível, aplicaremos mais uma vez a fórmula das Rendas Certas. Teremos: T = P . sn¬i T’’’=1000 . s4¬3% 3º Nível Ora, vimos que ao dividirmos as parcelas em três níveis, não restou nenhum pedaço (denenhuma delas) que tenha deixado de estar presente nesses níveis! Dessa forma, sesomarmos os resultados finais dos três níveis (T’, T’’ e T’’’), chegaremos à resposta da questão! Faremos, portanto: X = T’+T’’+T’’’ = 1000 . s12¬3% + 1000 . s8¬3% + 1000 . s4¬3% Vamos colocar o valor 1000 em evidência: X = 1000 ( s12¬3% + s8¬3% + s4¬3% ) Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos: s12¬3%=13,41209 s8¬3%=8,582969 s4¬3%=4,121608 Daí: X = 1000 (13,41209 + 8,58269 + 4,12160) E, finalmente: X = 26.116,38 Resposta! Esta questão caiu numa prova recente de Fiscal da Receita. E repetiu-se, tal e qual, nosdois concursos seguintes para o mesmo cargo! Ou seja, já esteve muito na moda esseenunciado que explora blocos de parcelas, nas Rendas Certas! Viram todos como fica fácil a resolução, desde que apliquemos este artifício de fazer ostracejados e criar níveis de parcelas? Moleza! Eu diria que já estamos aptos a resolver qualquer coisa de Rendas Certas. Mas, porém, contudo, todavia e não obstante, vamos agir como pessoas extremamenteprevenidas, e vamos propor uma situação muitíssimo, muitíssimo, muitíssimo remota: e se aelaboradora da prova não fornecer a tabela financeira do fator de rendas certas? O que faremospara calcular esse fator? Neste caso, e não esperamos absolutamente que isso seja necessário na sua prova, vocêterá (ou teria) que conhecer a fórmula do Sn,i. É a seguinte: ⎡ (1 + i )n − 1⎤ Sn, i = ⎢ ⎥ ⎣ i ⎦ É de fácil memorização esta fórmula. Veja que ela começa com o parêntese famoso nonumerador. Feito isso, só restam mais duas providências: menos 1 e sobre i. Pronto! Assim, se quiséssemos calcular o fator S10,2%, faríamos: ⎡ (1 + 0,02)10 − 1⎤ S10, 2% = ⎢ ⎥ ⎣ 0,02 ⎦ www.pontodosconcursos.com.br 17
  18. 18. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR Prof. Sérgio Carvalho Observem que este parêntese famoso do numerador tem expoente elevado! Levaríamosmuito tempo para calculá-lo. Concordam? Conclusão: ao menos a tabela financeira doparêntese famoso tem que ser fornecida na prova! E assim, teríamos condições de concluir o cálculo acima! Certo? Mas ninguém tenha medo, que já faz dez anos que essa tabela sempre éfornecida. Não é possível que vocês sejam assim tão pé frio...! Claro que não! Pois bem! Agora, sim. Pode bater no peito e dizer: eu sei tudo de Rendas Certas! E para provar que é verdade, seguem as questões do nosso Dever de Casa de hoje: Dever de Casa01. (MDIC – 2002/ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês?a) R$ 7.455,96b) R$ 7.600,00c) R$ 7.982,12d) R$ 8.270,45e) R$ 9.000,0002. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês.a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00c) R$ 82.265,00 É isso, meus amigos! Releiam esta aula com cuidado, ok? Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 18

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