Matematica financeira regular 7

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Matematica financeira regular 7

  1. 1. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO AULA 07 – EQUIVALÊNCIA COMPOSTA Olá, amigos! Como já é de praxe, comecemos nossa aula resolvendo as questões pendentes donosso... ... Dever de Casa01. (AFTN-85 ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de:a) $ 16.590 d) $ 16.705b) $ 16.602 e) $ 16.730c) $ 16.698Sol.: Estamos diante de um enunciado inequívoco! Ou seja, não há como não identificarmos oassunto da questão, uma vez que ele é expresso na leitura: convenção linear! Aprendemos que a convenção linear é apenas um método alternativo paratrabalharmos operações de Juros Compostos! Já conhecemos também a equação que resolveráeste problema: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) Se bem estivermos lembrados, a única exigência da fórmula acima é que as duas partesdo tempo – a inteira e a quebrada – estejam, ambas, na mesma unidade da taxa! Ora, a taxa fornecida pelo enunciado é anual (15% a.a.) e o tempo é de 3 anos e 8meses. Transformando 8 meses para a unidade anual, chegaremos a uma fração: (8/12) anos. Se quisermos ainda mais simplificar esta fração, diremos que: (8/12)=(2/3). Assim, uma vez cumprida a exigência, aplicaremos a fórmula e chegaremos ao seguinte: M=10000.(1+0,15)3.[1+0,15x(2/3)] M=16.729,63 ≅ 16.730,00 Resposta!02. (ACE MICT/1998/ESAF) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, juros compostos, do dia 10 de fevereiro ao dia 30 de maio. Obtenha os juros da aplicação, usando a convenção linear.a) R$ 110,00 d) R$ 114,58b) R$ 113,48 e) R$ 115,00c) R$ 114,47Sol.: Mais uma questão de convenção linear! O diferencial deste enunciado é que não foi fornecido (de bandeja) o tempo daaplicação. Apenas foram ditos o dia do início e o dia do final! Teremos que fazer a contagem dotempo! Já sabemos fazer isso. Vejamos: Fevereiro = 30 dias 20 dias usados na operação (30-10=20) Março = 30 dias 30 dias usados na operação (mês do miolo) Abril = 30 dias 30 dias usados na operação (mês do miolo) Maio = 30 dias 30 dias usados na operação (copiar-colar) Total: 110 dias = 3 meses e 20 dias www.pontodosconcursos.com.br
  2. 2. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Se estivermos bem lembrados, usamos acima da mesma maneira que aprendemospara contar os dias nos Juros Simples Exatos. Lembrados? A diferença é que aqui não estamosfalando em Juros Exatos, de sorte que todos os meses do ano têm 30 dias. Viram isso? Pois bem! Continuando o trabalho com a convenção linear, diremos que: 3 meses e 20 dias = 3 meses e (20/30)meses = 3 meses e (2/3) de mês. Assim, já temos definidas as duas partes do tempo (inteira e quebrada), e ambas namesma unidade da taxa, de sorte que já podemos aplicar a fórmula da Convenção Linear.Teremos: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) M=1000.(1+0,03)3.[1+0,03x(2/3)] = 1000x1,092727x1,02 M=1.114,58 Conhecendo o Montante e o Capital, já podemos dizer que: J=M-C J=114,58 Resposta!03. (Fiscal PA- 2002/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos durante dois períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Calcule o montante em relação ao capital inicial, considerando a convenção linear para cálculo do montante.a) 150% d) 160%b) 157,74% e) 162%c) 158,4%Sol.: Essa questão é de convenção linear, mas pediu o cálculo de um elemento comoporcentagem de outro. Já aprendemos qual o artifício a utilizar em casos assim: atribuiremos ovalor 100 (cem) ao elemento de referência, neste caso, o capital. Os dados da questão são, pois, os seguintes: C=100, ; n=2,5 períodos ; i=20% ao período ; M=? Uma vez que as duas partes do tempo (2 períodos + 0,5 período) já estão na mesmaunidade da taxa, resta-nos aplicar a fórmula da convenção linear. Teremos: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) M=100.(1+0,20)2.[1+0,20x0,5)] = 100x1,44x1,10 M=158,40 Como a questão quer o Montante como porcentagem do capital, e como chamamos ocapital de 100, basta dizer agora que: M=158,40% (do Capital) Resposta!04. (TRF 2006 ESAF) Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de quinze meses usando a convenção linear.a) R$ 150.108,00 d) R$ 152.223,00b) R$ 151.253,00 e) R$ 152.510,00c) R$ 151.772,00Sol.: Vocês já viram que convenção linear é um dos assuntos mais presentes em prova dematemática financeira! Não viram? Pois bem! É uma questãozinha que a gente não pode errarnem de jeito nenhum! Neste enunciado, por exemplo, tudo o que precisaríamos fazer era dizer: www.pontodosconcursos.com.br
  3. 3. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 15 meses = 12 meses + 3 meses = 2 semestres + 0,5 semestre Pronto! Só isso! E uma vez que as duas partes do tempo já estão na mesma unidade dataxa, resta-nos aplicar a equação da Convenção Linear. Teremos: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) M=100000.(1+0,18)2.[1+0,18x0,5)] = 100.000x1,3924x1,09 M=151.771,60 ≅ 151.772, Resposta!05. (AFPS – 2002/ESAF) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do montante.a) 22,5% d) 26,906%b) 24% e) 27,05%c) 25%Sol.: Nesta solução, chamaremos o capital (elemento de referência) de 100 (cem), e diremosque 15 meses é o mesmo que 2 semestres + 0,5 semestre. (Igual à questão anterior)! Fazendo isso, e aplicando a equação da convenção linear, teremos: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) M=100.(1+0,10)2.[1+0,10x0,5)] = 100x1,21x1,05 M=127,05 Mas não queremos o montante, e sim os juros! Assim: J=M-C J=27,05 E como porcentagem do Capital, diremos que: J=27,05% Resposta!06. (Analista de Compras de Recife 2003/ESAF) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos. a) R$ 11.255,00 d) R$ 11.800,00 b) R$ 11.295,00 e) R$ 12.000,00 c) R$ 11.363,00Sol.: O enunciado começa afirmando que um título foi descontado por tanto. O que vem a seresse tanto? Ora, aprendemos na aula passada que valor descontado é sinônimo de valor atual.Assim, temos que R$10.000 é o valor atual. De resto, a leitura da questão revelou-nos tudo o que precisamos saber acerca destaoperacao de desconto, ao falar em desconto racional composto! O regime é o composto, e a modalidade é o desconto por dentro! Aprendemos que a exigência das fórmulas do desconto composto é a já mais que famosaexigência universal da matemática financeira: taxa e tempo na mesma unidade. Aqui a taxafornecida é mensal (3% ao mês) e o tempo também (4 meses). Assim, aplicaremos a equaçãodo desconto composto racional, e teremos que: N=A.(1+i)n N=10000.(1+0,03)4 O parêntese acima é o famoso, cujo valor deve ser encontrado na tabela financeira.Enfim, teremos que: www.pontodosconcursos.com.br
  4. 4. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO N=10.000x1,125508 N=11.255,08 Resposta!07. (ATE–MS2001/ESAF) Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se houver). a) R$ 4.400,00 d) R$ 4.952,00 b) R$ 4.725,00 e) R$ 5.000,00 c) R$ 4.928,00Sol.: O enunciado novamente nos revelou que estamos diante de uma operação de descontocomposto por dentro. E também aqui falou-se que um título foi descontado por umadeterminada quantia. Esta será, conforme já sabemos, o valor atual. Na pergunta, a questão nos pediu que obtenhamos o valor de face. Ora, valor de face éum dos sinônimos de valor atual. Enfim, verificamos que o enunciado já nos forneceu taxa e tempo na mesma unidade,restando-nos o trabalho de aplicar a equação diretamente. Teremos: N=A.(1+i)n N=4400.(1+0,03)4 O parêntese acima é o famoso, cujo valor deve ser encontrado na tabela financeira.Enfim, teremos que: N=4.400x1,125508 N=4.952, Resposta!08. (AFTN-91) Um “comercial paper” com valor de face de $1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional. Obtenha o valor do resgate: a) $ 751.314,80 d) $ 729.000,00 b) $ 750.000,00 e) $ 700.000,00 c) $ 748.573,00Sol.: O enunciado novamente nos revelou que estamos diante de uma operação de descontocomposto por dentro. E também aqui se falou que um título foi descontado por umadeterminada quantia. Esta será, conforme já sabemos, o valor atual. A leitura também nos mostra que taxa e tempo já estão na mesma unidade. Assim,aplicando a equação do desconto composto por dentro, teremos: N=A.(1+i)n A=N/(1+i)n A=1.000.000/(1+0,10)3 A=1.000.000/1,331 Na verdade, o que essa questão está perguntando é: você sabe dividir? Sempre que o resultado de uma divisão for a resposta da questão, colocaremos um olhona conta e o outro olho nas opções de resposta! (Lembrados disso?). Teremos: A=751.314,80 Resposta! www.pontodosconcursos.com.br
  5. 5. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO09. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00 , 60 (sessenta) dias antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final) Dados: (1,84)1/3= 1,22538514 (1,84)1/4= 1,1646742 (1,84)1/6= 1,10697115 a) $ 429.304,00 d) $ 449.785,00 b) $ 440.740,00 e) $ 451.682,00 c) $ 446.728,00Sol.: Antes de analisarmos o enunciado, uma observação importante: sempre que a questãoapresentar alguns dados adicionais (normalmente três), é quase certo que um deles seráempregado na resolução! Estou dizendo isso, porque é muito comum (muito mesmo!) que o aluno simplesmenteignore os dados adicionais, como se eles nem existissem! Existem sim! E estão ali por um bommotivo: o de facilitar na solução do problema. Agora repare: o enunciado fornece três dados adicionais, mas você só vai usar um.Mas, professor, se eu só vou usar um, por que o enunciado me dá três? Porque se ele desse sóum, você já saberia qual iria utilizar! Pois bem, passemos à análise: falou-se em desconto racional composto! Pronto! Jásabemos tudo sobre essa questão! E está-se pedindo o cálculo do valor líquido. Ora, valorlíquido é sinônimo de valor atual (assim como de valor descontado)! A equação que usaremos é a seguinte: N=A.(1+i)n Isolando o valor atual, teremos: A=N/(1+i)n O que resta ser feito é colocar taxa e tempo na mesma unidade. Agora olharemos paraos dados adicionais. Todos eles trazem um parêntese elevado a um expoente. Ora, é o parêntese famoso do denominador da fórmula. Nos três dados adicionais, temos (1,84) dentro do parêntese, e elevado a uma fração! Ora, temos que: (1,84)=(1+0,84) Vendo isso, já temos elementos suficientes para deduzir que a questão quer quetrabalhemos com a unidade anual, uma vez que a taxa da operação é de 84% ao ano! Pois bem! Transformando 60 dias para uma fração de ano, teremos que: 60 dias = 2 meses = (2/12) ano = (1/6) ano Pronto! Aplicando a fórmula, teremos: A=N/(1+i)n A=500.000/(1+0,84)1/6 A=500.000/1,106971 A=451.682, Resposta! É isso! Agora, passaremos a tratar do assunto de hoje, por sinal um assunto facílimo: aEquivalência Composta de Capitais! Adiante! www.pontodosconcursos.com.br
  6. 6. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO# Equivalência Composta de Capitais: Amigos, aqui damos início a um dos assuntos mais fáceis do nosso Curso, e também umdos mais cobrados em prova! (Já pensou? Duas notícias boas, assim, uma atrás da outra!). Pois bem! Já aprendemos, no estudo do regime simples, a identificar uma operação deEquivalência de Capitais. Estamos ainda lembrados disso? Caso tenhamos esquecido, é oseguinte: uma questão será de Equivalência quando: Houver duas formas de pagamento para um mesmo bem; Houver uma situação de empréstimo (e devolução). Basicamente isso! E se vocês estiverem reavivando a memória, existe um passo-a-passo, por meio do qualpodem ser resolvidas todas as questões de Equivalência. Outra boa notícia: a tal receita (o passo-a-passo) da Equivalência Composta é a mesmada Equivalência Simples, com alguns facilitadores! Ou seja, a resolução de um problema deequivalência composta é mais fácil ainda que uma de equivalência simples. Vamos aprender por meio de um exemplo. Ok? Vamos lá!# Exemplo: João fez uma compra hoje, comprometendo-se a pagar R$1000 (mil reais)daqui a trinta dias, e mais R$2000 (dois mil reais) daqui a sessenta dias. Por nãodispor de numerário suficiente, deseja substituir essa forma original de pagamentopor uma nova, que consiste em duas parcelas iguais, a serem pagas nas datasnoventa e cento e vinte dias. Considerando na operação uma taxa de juros compostosde 10% ao mês, determine o valor das novas parcelas.Sol.: Nosso primeiro passo será o de identificar o assunto da questão. Vemos que esteenunciado não ofereceu maiores dificuldades: havia uma forma original de pagamento de umbem, a qual será alterada por outra maneira de se pagar por aquela compra. Basta isso, paratermos certeza de estar diante de uma questão de Equivalência de Capitais. Ora, não podemos jamais começar a resolver essa questão, antes de termos certeza deestar trabalhando no regime simples ou no regime composto. Aqui não houve problema nestesentido, pois a palavra composto apareceu expressamente no enunciado! Conclusao: estamos diante de uma questão de Equivalência Composta! (Excelentenegócio para nós!). Vamos dar início ao passo-a-passo! 1º) Desenharemos a questão: 2000 X X 1000 1m 2m 3m 4m 2º) Definiremos quais as parcelas do desenho acima são referentes à primeira obrigação(primeira forma de pagamento) e quais são referentes à segunda obrigação (segunda forma depagamento). Teremos: www.pontodosconcursos.com.br
  7. 7. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 2000 X X 1000 1m 2m 3m 4m (I) (I) (II) (II) 3º) Este passo consiste em colocar taxa e tempos na mesma unidade. Observem que, nonosso exemplo, este passo já veio pronto: a taxa é mensal (10%a.m.) e os tempos estão emmeses. 4º) Em seguida, temos que identificar o regime da operação. E nos lembraremos quetoda questão de equivalência se resolve por meio de operações de desconto! Aqui surge o primeiro facilitador deste assunto: na Equivalência Composta,trabalharemos sempre com operações de desconto composto racional (por dentro)! 5º) Finalmente, resta-nos agora localizar a data focal. E estamos diante do segundo facilitador: aqui, na Equivalência Composta, a escolha dadata focal é livre! Ou seja, diferentemente do que ocorre na equivalência simples, naequivalência composta qualquer data serve para ser a data focal. Sugestão: embora esta escolha seja livre, convém muitíssimo que você adote, comodata focal, aquela data mais à direita do desenho! E por que isso? Porque assim, trocaremos divisões por multiplicações! Assim, teremos: 2000 X X 1000 1m 2m 3m 4m (I) (I) (II) (II) DF Agora vejamos o salto da Equivalência Composta! Nosso próximo passo seria qual? Seria projetar todas as parcelas do desenho, uma poruma, para a data focal. Ora, uma vez que a data focal está localizada à direita, o que faremos para projetar umvalor qualquer para uma data posterior? Multiplicaremos este valor pelo parêntese famoso! Sóisso! (É o que equivale a uma operação de juros compostos, que, por sinal, é irmão do descontocomposto por dentro!). Sabendo disso, já podemos saltar para a Equação de Equivalência, que é nossa velhaconhecida. É a seguinte: Σ(I)df = Σ(II)df Aplicando a equação acima, teremos: 1000.(1+0,10)3 + 2000.(1+0,10)2 = X.(1+0,10)1 + X www.pontodosconcursos.com.br
  8. 8. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Uma equação e uma variável. É sempre assim que termina toda questão de equivalênciade capitais. A variável é aquilo que está sendo perguntado pelo enunciado! Teremos: X + 1,1X = 1.331 + 2.420 2,1X = 3.751 X = 1.786, Resposta! Viram como é fácil? A sugestão de adotar como data focal a data mais à direita do desenho é muitointeressante! Facilita a feitura da equação de equivalência! Basta multiplicar cada valor peloparêntese famoso, e só! Pronto! Já sabemos TUDO a respeito da Equivalência Composta de Capitais. Já estamos aptos a resolver questões de provas passadas. Ok? Seguem, portanto, as questões do nosso... ... Dever de Casa62. (TCDF-95) Um cidadão contraiu, hoje, duas dívidas junto ao Banco Azul. A primeira terá o valor de $ 2.000,00 , no vencimento, daqui a seis meses; a segunda terá o valor, no vencimento, daqui a dois anos, de $4.400,00. Considerando a taxa de juros de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente, se o cidadão optar por substituir as duas dívidas por apenas uma, a vencer daqui a um ano e meio, ele deverá efetuar o pagamento de:a) $ 6.420,00 d) $ 6.620,00b) $ 6.547,00 e) $ 6.680,00c) $ 6.600,0063. (ESAF) João tem um compromisso representado por duas promissórias: uma de $ 200.000,00 e outra de $ 150.000,00 , vencíveis em quatro e seis meses, respectivamente. Prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas, solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um único a vencer em dez meses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 5% a.m., o valor da nova nota promissória é de:a) $ 420.829, c) $ 445.723,b) $ 430.750, d) $ 450.345,64. (Fiscal de Trib.-CE) Uma dívida no valor de R$ 20.000,00 vence hoje, em quanto outra no valor de R$ 30.000,00 vence em seis meses. A taxa de juros compostos de 4% ao mês e considerando um desconto racional, obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores, com vencimento ao fim de três meses. desprezando os centavos.a) R$ 48.800,00 d) R$ 40.039,00b) R$ 49.167,00 e) R$ 50.000,00c) R$ 49.185.00 www.pontodosconcursos.com.br
  9. 9. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO65. (AFRF 2005 ESAF) Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:a) R$ 220.237,00 d) R$ 275.412,00b) R$ 230.237,00 e) R$ 298.654,00c) R$ 242.720,0066. (AFC/STN 2005 ESAF) Uma pessoa contraiu uma dívida no regime de juros compostos que deverá ser quitada em três parcelas. Uma parcela de R$ 500,00 vencível no final do terceiro mês; outra de R$ 1.000,00 vencível no final do oitavo mês e a última, de R$ 600,00 vencível no final do décimo segundo mês. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final do sexto mês o cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela. Assim, desconsiderando os centavos, o valor equivalente a ser pago será igual a:a) R$ 2.535,00 d) R$ 1.957,00b) R$ 2.100,00 e) R$ 1.933,00c) R$ 2.153,00 É isso! Um forte abraço a todos! Bons estudos! www.pontodosconcursos.com.br

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