Matematica financeira regular 10

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Matematica financeira regular 10

  1. 1. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO AULA 10 – AMORTIZAÇÃO Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Iniciemos os trabalhos de hoje resolvendo as questões pendentes da aula passada! Dever de Casa01. (MDIC – 2002/ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês?a) R$ 7.455,96b) R$ 7.600,00c) R$ 7.982,12d) R$ 8.270,45e) R$ 9.000,00Sol.: O importante nesta resolução é acertar o desenho! O enunciado disse que haveráaplicações de parcelas iguais em um prazo total de doze meses. Não foi isso mesmo? Pois bem!O indicado, portanto, é que desenhemos esse período completo de tempo. Teremos: Agora reparemos que a questão nos disse que essas parcelas iguais serão aplicadas aofim de cada mês! Viram isso? Essa informação consta na própria pergunta, nas duas últimaslinhas (quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês...?). Assim, desenhando as parcelas ao fim de cada período, teremos: Finalmente, onde é mesmo que a questão quer saber do resgate? Ao fim deste prazototal de doze meses. Assim, o desenho completo da nossa questão é o seguinte: 100.000, P P P P P P P P P P P P www.pontodosconcursos.com.br
  2. 2. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Agora vem a pergunta: o desenho acima já está de acordo com o desenho modelo dasRendas Certas? Ou seja, é fato que a data do resgate já coincide com a data da última parcela?Sim! Logo, já estamos prontos para aplicar a equação das Rendas Certas! Teremos: T=P.Sn,i 100.000=P . S12,2%Daí: P=100.000 / S12,2% Consultando uma tabela do fator de rendas certas, veremos que: TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS (1 + i ) n − 1 s n ¬i = i i 1% 2% 3% 4% ... 9% 10% n 1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ... 1,000000 1,000000 2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 ... 2,090000 2,100000 3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 ... 3,278100 3,310000 4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 ... 4,573129 4,641000 5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 ... 5,984710 6,105100 ... ... ... ... ... ... ... ... 12 12,682503 13,412090 14,192029 15,025805 ... 20,140720 21,384284 Assim, voltando à nossa resolução, teremos que: P = 100.000 / 13,412090 E: P = 7.455,96 Resposta!02. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês.a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00c) R$ 82.265,00Sol.: Esta questão também foi de prova recente do Fiscal da Receita. E uma questão idêntica aque resolvemos na aula passada! Com pouquíssimas diferenças, para ser mais preciso: na daaula passada, tínhamos quatro parcelas de 1000, quatro de 2000 e quatro de 3000. Nesta,teremos seis parcelas de 2000, seguidas de mais seis parcelas de 4000, e finalmente, mais seisparcelas de 6000. Mas o entendimento e a resolução são simplesmente idênticos! www.pontodosconcursos.com.br
  3. 3. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Desenhando a questão, e já criando os tracejados e estabelecendo os respectivos níveisde parcelas, teremos: X 2000 2000 4000 4000 6000 6000 Já sabemos o que fazer: uma operação de Rendas Certas para cada nível de parcelas! Se chamarmos de 1º Nível as parcelas acima do tracejado mais alto, teremos: T = P . sn¬i T’=2000 . S18¬3% 1º Nível 2º Nível serão as parcelas entre os dois tracejados. Teremos: T = P . sn¬i T’’=2000 . S12¬3% 2º Nível 3º Nível serão as parcelas abaixo do último tracejado. Teremos: T = P . sn¬i T’’’=2000 . S6¬3% 3º Nível Somando T’, T’’ e T’’’ chegaremos à resposta procurada! Se colocarmos 2000 emevidência nesta soma, teremos: X=2000.{S18¬3% + S12¬3% + S6¬3%} Fazendo as três consultas à Tabela do Fator de Rendas Certas, e complementando ascontas, teremos que: Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos: s18¬3%=23,414435 s12¬3%=14,192030 s6¬3%=6,468410 Daí: X = 2000 (23,414435 + 14,192030 + 6,468410) E, finalmente: X = 88.149,00 Resposta! www.pontodosconcursos.com.br
  4. 4. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Pois bem! Vamos agora a um assunto que é, por assim dizer, irmão das Rendas Certas!E, como não poderia deixar de ser, igualmente fácil! Trata-se da Amortização! Pelo estudo realizado por nós até aqui, já aprendemos como trabalhar no RegimeComposto, diante das seguintes situações: 1º) Uma parcela sozinha, para levá-la para uma data posterior: X.(1+i)n X 2º) Uma parcela sozinha, para levá-la para uma data anterior: X/(1+i)n X 3º) Várias parcelas iguais e periódicas, para uma data posterior: T=P.Sn,i P P P P P P A única coisa que nos resta saber, e que aprenderemos agora, é justamente comoprojetar várias parcelas iguais e periódicas, também no regime composto, para uma dataanterior! www.pontodosconcursos.com.br
  5. 5. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Vejamos o desenho que expressa esta situação: T P P P P P P Este desenho acima é o desenho modelo da Amortização! Normalmente, a situação do desenho acima se verifica quando se está fazendo umacompra a prazo. Assim, o valor T seria o preço do bem, à vista. Mas o comprador não iria pagarà vista, e sim iria diluir o valor do bem em várias parcelas. Usando outra palavra, o compradoriria amortizar o valor do bem em prestações! Outra situação que recairia no desenho acima é a de um empréstimo. É perfeitamentepossível que um sujeito pegue um valor qualquer emprestado no dia de hoje (seria a seta doT), e que a devolução se fizesse mediante o pagamento de diversas parcelas iguais eperiódicas! Enfim, seja como for, se encontrarmos no desenho da questão uma situação com asseguintes características: 1ª) Parcelas iguais; 2ª) Intervalos de tempo iguais entre as parcelas; 3ª) Taxa de juroscompostos; e o objetivo for o de projetar todas essas parcelas para uma data anterior,saberemos imediatamente duas coisas: 1ª) Estamos diante de uma operação de Amortização! 2ª) A data correta para projetarmos as parcelas iguais será um período antes daprimeira parcela! Vocês percebem que as características da Amortização são rigorosamente as mesmasque encontramos nas Rendas Certas! Trata-se do mesmo pacote completo! O que muda, efetivamente, é o objetivo das parcelas! E o sentido da projeção dasparcelas iguais: Nas Rendas Certas, projetamos as parcelas para a data da última parcela; Na Amortização projetaremos as parcelas para um período antes da primeira parcela! Esta é a informação crucial deste assunto: para efeito de aplicação da fórmula daAmortização, a data do T da fórmula é sempre um período antes da primeira parcela! Não podemos esquecer disso! E já que falamos em fórmula, qual será mesmo a equação da Amortização? A seguinte: T = P . An,i Falemos sobre cada elemento desta fórmula: O T é o Total, o valor que será amortizado, ou seja, que será diluído nas parcelas.Ele, sozinho, representa todas as parcelas do desenho! E estará sempre, no desenho, umperíodo antes da primeira parcela!). www.pontodosconcursos.com.br
  6. 6. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO P é o valor de cada uma das parcelas. E têm que ser todas iguais! Já sabemosdisso! (Primeira característica do pacote completo)! O A sozinho não é ninguém. Está aí apenas para indicar que estamos trabalhando,na verdade, com um fator: o An,i , o qual chamaremos apenas de Fator de Amortização!Ninguém vai esquecer (e nem confundir com o Sn,i das Rendas Certas), porque ele é escritocom A de Amortização! Ok? O n do Fator de Amortização terá o mesmo significado que teve no fator de RendasCertas, ou seja, vai representar simplesmente o número de parcelas! Ok? Só isso! O i é a taxa de juros compostos! (Terceira característica da Amortização!). Falta pouco agora para sabermos tudo de Amortização! Eu precisarei de apenas três exemplos para ilustrar (e esgotar!) o assunto. Vamos aeles.# Exemplo 1) Um computador, que custa à vista R$5.000,00 (cinco mil reais), será compradoem doze prestações iguais e mensais, vencendo a primeira delas trinta dias após a compra.Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual o valor das prestações?Sol.: O mais indicado, como sempre, é começar pelo desenho da questão. Teremos: 5.000, P P P P P P P P P P P P Olhando para este desenho, vemos de imediato a presença de parcelas iguais (1ªcaracterística do pacote completo) e periódicas (2ª característica do pacote completo).Assim, para completar a sua convicção, convém reler o enunciado, à procura da 3ªcaracterística (taxa de juros compostos)! Tem? Sim, tem! Ora, com estas três características, poderíamos tanto trabalhar uma operação de RendasCertas quanto de Amortização. O que vai definir isso é o objetivo das parcelas! Se meu objetivo fosse o de acumular, acumular, acumular, e resgatar ao final,trabalharíamos com Rendas Certas. Mas não é o caso! Aqui, o que se pretende com as parcelasiguais é diluir um valor anterior. Ou seja, pretende-se fazer uma operação de Amortização! Uma vez identificado o assunto da questão, faremos uma nova pergunta: o desenhoacima já está de acordo com o desenho modelo da Amortização? O que nos diz esse desenho modelo? Ele nos diz, em outras palavras, que a primeiraparcela deve estar ao final do primeiro período! E aí? O desenho acima já está desse jeito? Sim!Ótimo! Estamos, portanto, prontos para aplicar a fórmula da Amortização! Teremos: T = P . An¬i Daí, isolando a parcela P, teremos: P = 5000 / A12¬2% www.pontodosconcursos.com.br
  7. 7. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Tudo corria bem até este momento! Mas, e agora, como fazer para descobrir o valor dofator An,i? Existe um auxílio para isto! Trata-se da Tabela Financeira do Fator deAmortização! A consulta a esta tabela se faz da mesma forma que já aprendemos para as duas outrasprimeiras tabelas com as quais já trabalhamos! Basta correr a vista pela linha do n (número deparcelas) e pela coluna da taxa i. Onde houver esse encontro, estaremos de posse do valor dofator An,i. Ok? Fazendo a consulta apropriada, teremos: (1 + i) n − 1TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS a n ¬i = i.(1 + i) n i 1% 2% 3% 4% 5% 6% n 1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373 5,582381 8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821 6,801692 10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 11 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886874 12 11,255077 10,575341 9,954004 9,385074 8,863251 8,383844 Assim: P = 5000 / 10,575341 E: P= 472,80 Resposta! Adiante. Vejamos o próximo exemplo.# Exemplo 2) Um computador custa à vista R$5.000,00 (cinco mil reais). Uma pessoa propõecomprá-lo pagando uma entrada de 30% (trinta por cento) do valor do bem, e o restante emcinco parcelas iguais, mensais e consecutivas, vencendo a primeira delas quatro meses após acompra. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual o valor dasprestações?Sol.: Novamente começarmos pelo desenho. Vejamos: 5.000, P P P P P 1.500, www.pontodosconcursos.com.br
  8. 8. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Observem que a entrada é sempre um pagamento realizado no ato da compra. E iremossempre desenhá-la com seta para baixo. Ok? Agora comparemos o desenho acima com o desenho modelo da Amortização! O desenho modelo admite parcela de entrada? NÃO! De jeito nenhum! No desenhomodelo, a primeira parcela deve estar ao final do primeiro período! Não se admite pagamentode entrada! Assim, nosso primeiro passo será fazer desaparecer essa entrada! E como faremos isso?Fácil: mediante uma conta de subtrair! Faremos valor à vista menos valor da entrada. E pronto!A entrada já era! Vejamos: 3.500, P P P P P E agora voltamos a comparar o desenho acima com o desenho modelo. Já estãoiguais? Ainda não, uma vez que o desenho modelo ensina: primeira parcela ao final do primeiroperíodo. E aqui, nesta questão, temos que a primeira parcela está numa data futura, bemdepois do final do primeiro período! E aí? O que fazer? Vou lhes ensinar duas soluções possíveis para esse problema. Ok? (A exemplo do que fiznas Rendas Certas!). Vejamos! 1ª Solução) Acrescentar ao desenho da questão a seta do T da fórmula deAmortização! Onde estaria esta seta? Ora, já sabemos: um período antes da primeira parcela.Teremos: T 3.500, P P P P P www.pontodosconcursos.com.br
  9. 9. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Mas, professor, ninguém sabe ainda o quanto vale esse T! Não sabia! Vai ficar sabendoagora! Basta projetar o valor conhecido (R$3500) para a data do T. E de que forma faremosisso? Já sabemos: multiplicando o 3.500 pelo parêntese famoso, o que traduz uma operação deJuros Compostos! Teremos: T = 3500 . (1+0,02)3 O valor do parêntese famoso será encontrado por meio de uma rápida consulta à tabelafinanceira do (1+i)n. Teremos que: (1+0,02)3=1,061208. Daí, teremos que: T = 3500 . 1,061208 E: T=3.714,23 Assim, o novo desenho da questão agora será o seguinte: 3.714,23 P P P P P E agora, sim! Chegamos a um desenho que está de acordo com o desenho modelo daAmortização, de sorte que já podemos aplicar a fórmula. Teremos: T = P . An¬i Daí, isolando a parcela P, teremos: P = 3.714,23 / A5¬2% Consultando a Tabela Financeira do An,i, teremos: (1 + i) n − 1TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS a n ¬i = i.(1 + i) n i 1% 2% 3% 4% 5% 6% n 1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 www.pontodosconcursos.com.br
  10. 10. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Assim: P = 3.714,23 / 4,713459 P= 788,00 Resposta! 2ª Solução) Acrescentar ao desenho da questão parcelas fictícias, no intuito de torná-lo adequado ao desenho modelo da Amortização! Fazendo isso, teremos: 3.500, P P P P P P P P Percebam que as parcelas acrescidas ao desenho (na cor verde), tornaram o desenhocompatível com o desenho modelo da Amortização. Ou seja, agora temos que a primeiraparcela (embora fictícia) está ao final do primeiro período. Tudo bem até aqui? Pois bem! Vejam que agora temos, somando as parcelas reais (em azul) e as fictícias, um total de8 (oito) parcelas! A minha pergunta para vocês é a seguinte: será que estaria correto umcálculo que fosse o seguinte: (???) 3500 = P . A8,2% O que vocês acham? Certo ou errado? Erradíssimo, pois está levando em conta algumasparcelas que não existem! São parcelas fictícias! Assim, para que este cálculo se acerte,precisaremos extrair dele um fator, referente àquelas parcelas fictícias. Teremos: 3500 = P . {A8,2% – A3,2%} E agora sim! Estamos com a equação correta! Assim, generalizaremos para dizer que afórmula desenvolvida da Amortização, com a presença de parcelas fictícias, é a seguinte: T=P.{ATOTAL,i - AFICTÍCIAS,i} Onde: TOTAL é o número que corresponde à soma do número de parcelas (reais+fictícias); e FICTÍCIAS é apenas o número de parcelas fictícias. Continuando nossa resolução, teremos: P = 3.500 / {A8,2% – A3,2%} Fazendo as devidas consultas à Tabela Financeira do An,i, teremos: www.pontodosconcursos.com.br
  11. 11. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO (1 + i) n − 1TABELA II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS a n ¬i = i.(1 + i) n i 1% 2% 3% 4% 5% 6% n 1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 2 1,970395 1,941561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 7 6,728194 6,471991 6,230283 6,002054 5,786373 5,582381 8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 Logo: P = 3.500 / {7,325481 – 2,883883} P = 3.500 / 4,441598 P = 788,00 Resposta! Como vocês puderam ver, as duas soluções apresentadas acima são igualmente válidas,fazendo-nos chegar à mesma resposta, ou seja, à resposta correta! Fica a critério de cada umadotar uma ou outra saída! Ok? Só preciso de mais um exemplo para matarmos este assunto! Vamos a ele.# Exemplo 3) João se dirige a uma concessionária. Ao encontrar o carro de sua predileção,propõe comprá-lo por meio dos seguintes pagamentos, realizados ao fim de cada mês: doprimeiro ao quarto mês, parcelas de R$3.000,00; do quinto ao oitavo mês, parcelas deR$2.000,00; do nono ao décimo segundo mês, parcelas de R$1.000,00. Considerando uma taxade juros compostos de 3% ao mês, qual seria o valor à vista do veículo que João quer comprar?Sol.: Já sabemos que vamos começar a resolução pelo desenho! Teremos:X 1000 1000 1000 1000 2000 2000 2000 2000 www.pontodosconcursos.com.br
  12. 12. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 3000 3000 3000 3000 Somente pelo que aprendemos na aula passada, de Rendas Certas, embora o assuntofosse outro, vai ser totalmente possível resolvermos também esta presente questão utilizando oartifício dos tracejados! Perceberam? Pois bem! Fazendo os tracejados e criando os três níveis de parcelas, teremos:X 1000 1000 1000 1000 2000 2000 2000 2000 3000 3000 3000 3000 Parece-me que todo mundo já está enxergando tudo, não é verdade? Nos três níveis deparcelas que se formaram com os tracejados, encontraremos, em cada um deles, as trêscaracterísticas do pacote completo (que serve tanto para rendas certas como paraamortização)! Ademais, percebemos que, para os três níveis, a primeira parcela já está ao final doprimeiro período. Concordam? Assim, resta-nos aplicar três vezes a fórmula da amortização, e depois somar essesresultados! Teremos: T = P . An¬i T’=1000 . A12¬3% 1º Nível 2º Nível serão as parcelas entre os dois tracejados. Teremos: T = P . An¬i T’’=1000 . A8¬3% 2º Nível 3º Nível serão as parcelas abaixo do último tracejado. Teremos: T = P . An¬i T’’’=1000 . A4¬3% 3º Nível Somando T’, T’’ e T’’’ chegaremos à resposta procurada! Se colocarmos 1000 emevidência nesta soma, teremos: X=1000.{A12¬3% + A8¬3% + A4¬3%} Consultando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos: A12¬3%=9,954004 www.pontodosconcursos.com.br
  13. 13. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO A8¬3%=7,019692 A4¬3%=3,717098 Daí: X = 1000.(9,954004 + 7,019692 + 3,717098) E, finalmente: X = 20.690,00 Resposta! É isso, meus amigos! Por hoje, chega de teoria! Na seqüência, apresento-lhes as questões do Dever de Casa de hoje! Forte abraço a todos! E bons estudos! Dever de Casa84. Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período doseguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6,cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juroscompostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período.a) R$ 33.448,00 d) R$ 27.286,00b) R$ 31.168,00 e) R$ 25.628,00c) R$ 29.124,00 www.pontodosconcursos.com.br

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