Matematica financeira regular 1

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Matematica financeira regular 1

  1. 1. CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 AULA 01 – JUROS SIMPLES Olá, amigos! É uma alegria recebê-los hoje, para enfim darmos início ao nosso Curso! Conforme dissemos na aula de apresentação, o estudo da Matemática Financeira serefere ao comportamento dos valores monetários ao longo do tempo. Lembrados disso? Pois bem! A primeira operação que estudaremos é aquela em que haverá uma quantiaem dinheiro conhecida em determinada data, e nosso objetivo será o de descobrir o quantoaquele valor representará se projetado para uma data futura, ou seja, para uma data posterior. O exemplo clássico é aquele em que a pessoa abre uma conta de poupança no banco,depositando uma quantia em dinheiro. Obviamente que essa quantia é conhecida no dia de hoje(claro! o dinheiro está na sua mão!). Mas a pergunta é: quanto irei resgatar daqui a algunsmeses? Em outras palavras: em quanto se transformará aquele valor (que foi aplicado) numadata posterior? Essa operação, de projetar um valor conhecido para uma data futura, é a quechamaremos de Juros! São cinco os elementos de uma operação de Juros: Capital (C): é o valor monetário conhecido no dia de hoje. É o elemento que iniciaa operação de Juros; Tempo (n): obviamente que o Capital terá que ser aplicado durante um intervalode tempo qualquer, para se transformar em um valor maior. Concordam? Daí, teremos que otempo é sempre elemento de qualquer operação de matemática financeira; Montante (M): é o valor do resgate! É aquela quantia em que se transformará oCapital. É o elemento que encerra a operação de Juros. Até aqui, temos o seguinte: Se eu me dirigir a um banco, abrir uma conta de poupançadepositando R$1.000, quanto irei resgatar três meses depois? Desenhando este enunciado (incompleto!), teremos: X 1000 0 3m Por que eu disse que esse enunciado está incompleto? Por uma razão óbvia: estáfaltando uma peça no quebra-cabeça! O que é que faz com que um dinheiro aplicado numaconta de poupança aumente com o passar do tempo? Quem faz essa mágica é um elementoessencial: a taxa. A taxa é o elemento da mágica: aquele que faz com que o dinheiro nuncafique parado! Taxa (i): é um valor percentual, seguido sempre de uma unidade de tempo.Exemplos: 5% ao mês; 10% ao bimestre; 15% ao trimestre; 20% ao quadrimestre; 30% aosemestre; 60% ao ano. Recapitulando até aqui: o Capital é o valor conhecido no início da operação; esteCapital ficará aplicado durante um determinado período de tempo. Ao final deste tempo, oCapital terá se transformado em um valor necessariamente maior, chamado Montante. E o quefez com que o Capital aumentasse com o tempo? A incidência de uma Taxa na operação! www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
  2. 2. CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 2 Já estamos com quatro elementos! Mas como é mesmo o nome do assunto? Juros!Pronto: eis aí o quinto e último elemento: os Juros. (O dono do assunto). Juros (J): são a diferença entre o Montante e o Capital. Falando maissimplesmente: se eu depositei hoje na poupança uma quantia de R$1.000, e, daqui a trêsmeses, aquele Capital transformou-se em um Montante de R$1.200,00, nosso desenho será oseguinte: 1.200 1000 0 3m Os Juros são o acréscimo sofrido pelo Capital. Ou seja, o quanto aumentou o Capitalpara transformar-se no Montante. Neste caso, teremos: 1.200 1000 Juros=R$200 0 3m Pois bem! Com essa explicação ficou esclarecido do que se trata uma operação deJuros. Resta porém saber que existem dois tipos de Juros! Melhor dizendo: dois regimes deJuros, quais sejam, os Juros Simples e os Juros Compostos! O que significa isso? Significa que, embora os cinco elementos da operação de Jurossejam sempre os mesmos (Capital, Tempo, Montante, Taxa e Juros), os resultados serãodiferentes, caso estejamos trabalhando em um regime ou no outro. Ora, se os resultados das operações de Juros Simples e de Juros Compostos sãodiferentes, e como só há uma resposta certa na questão, significa que é preciso ter certeza deestarmos trabalhando com o regime certo. Entendido isso? Em palavras mais fáceis ainda: se a questão é de Juros Simples e você a resolve comose fosse de Juros Compostos, você chegará a uma resposta errada. E vice-versa: se a questãofor de Juros Compostos e você trabalhá-la como se fosse de Juros Simples, também perderá oponto! Vamos, pois, ao que interessa: como saber que uma operação é de Juros Simples? Há, basicamente, dois sinais indicativos de Juros Simples. O primeiro deles é quando oenunciado falar, expressamente, a palavra “simples”. Aí não tem nem graça. A segunda regra para você identificar que a questão é de Juros Simples ocorre quandoo enunciado não disser nada acerca do regime. Tudo bem até aqui? Vamos agora entender como, efetivamente, se resolve umaquestão de Juros Simples. Aprenderemos as equações desse assunto, por meio de um esquemailustrativo. Vejamos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
  3. 3. CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 3# Esquema Ilustrativo dos Juros Simples: M C 100+i.n 100 J i.n Começamos esse esquema acima colocando os seguintes três elementos dos Juros nodesenho: Capital C (no início), Juros J (no meio, somente para efeitos didáticos) e Montante M(no final). Feito isso, cada um desses elementos será representado por algum valor: o Capital serárepresentado por 100; os Juros serão representados por taxa vezes tempo; e o Montante, por100 mais taxa vezes tempo. Somente complementando esse desenho, colocaremos um traço divisor entre o elementoe o seu número representativo. Teremos: M C 100+i.n 100 J i.n Fazendo isso, criamos agora três frações: a fração do Capital (C/100), a fração dosJuros (J/i.n) e a fração do Montante (M/100+i.n). Quando formos resolver uma questão de Juros Simples, estaremos trabalhando com doiselementos: ou Capital e Juros; ou Capital e Montante; ou Juros e Montante. Assim, bastaigualarmos as frações desses dois elementos e, com isso, estaremos diante da equação queresolverá a questão. Por exemplo, se formos trabalhar a resolução com os elementos Capital e Juros, nossa C Jequação será: = 100 i.n Se formos trabalhar com Capital e Montante, igualaremos as frações desses dois C Melementos e teremos: = 100 100 + i.n Finalmente, se usarmos Juros e Montante na nossa resolução, formaremos a equação M Jseguinte: = . 100 + i.n i.n Moral da história: não precisaremos decorar equações! Basta saber como montá-las,partindo do esquema ilustrativo! Há, contudo, uma observação importantíssima a ser feita: antes de aplicarmos os dadosda questão a qualquer destas equações que nasceram do esquema ilustrativo, teremos quecumprir uma exigência! Qual? É preciso que taxa e tempo estejam na mesma unidade! Se já estiverem, basta lançar os dados na equação. Caso contrário, precisaremos fazeralgo para tornar taxa e tempo compatíveis, ou seja, para colocá-los na mesma unidade! www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
  4. 4. CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 4 Essa exigência se repetirá ao longo de todos os assuntos do nosso Curso, de sorte quepassaremos a chamá-la de exigência universal da matemática financeira! Concluindo: são quatro as equações com as quais poderemos resolver questões de JurosSimples: três oriundas do esquema ilustrativo e uma decorrente do próprio conceito de Juros.Ei-las todas: C J C M M J = = = J=M–C 100 i.n 100 100 + i.n 100 + i.n i.n Sabendo disso, estamos aptos a começar a resolver os primeiros exemplos da nossa listade questões (apresentada na aula zero)! Vamos a elas 01.Um capital de R$1000, aplicado a uma taxa de juros simples de 1% ao mês, transformar-se-á, após 2 anos, num montante de:Sol.: Identificamos na leitura elementos de uma operação de Juros. Como foi ditaexpressamente a palavra simples, já sabemos qual o regime desses Juros! E sabendo que setrata de Juros Simples, aplicaremos o esquema ilustrativo. Antes de mais nada, porém, teremos a preocupação de cumprir a exigência universalda qual falamos acima. Qual é a unidade da taxa? Mensal (1% ao mês). Qual é a unidade dotempo? Anual (2 anos). Ou seja, taxa e tempo estão em unidades diferentes. Precisamos torná-las compatíveis. O que poderemos fazer? Ora, sabemos que dois anos é o mesmo que 24meses. Certo? Pronto! Resolvido. Taxa e tempo agora estão na mesma unidade, e já podemosusar o esquema ilustrativo. Teremos: M C 100+1x24 100 J 1x24 Usando a equação que envolve Capital e Juros, teremos: C J 1000 J = = J=240,00 100 i.n 100 1x 24 Vocês perceberam que ao aplicarmos a equação acima, usamos o valor 1 no lugar dataxa. Ora, a taxa é de 1% e a representamos por 1. Fizemos isso porque estamos no RegimeSimples, e quando estivermos trabalhando neste regime, usaremos sempre taxas na notaçãopercentual. O que é a notação percentual? É uma forma de apresentar a taxa, de tal maneira que seo enunciado disser que a taxa é de 1%, usaremos 1 na equação; se a questão disser que a taxaé de 5%, usaremos 5 na equação; se a questão disser que a taxa é 10%, usaremos 10 naequação, e assim por diante! E uma vez conhecendo o valor do Capital e dos Juros, faremos: J=M-C M=C+J M=1.240,00 www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
  5. 5. CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 Esse será rigorosamente o mesmo valor de Montante ao qual chegaremos casoqueiramos trabalhar com a equação que envolve diretamente Capital e Montante. Faça o teste,ok? Vejamos agora se foi cumprido o propósito desta primeira questão: Nesta questão aprendi: 1. O que é uma operação de juros simples; 2. Qual o esquema ilustrativo dos juros simples; 3. O que é uma taxa na notação percentual; 4. Qual é a exigência universal da matemática financeira. Recomendo que você vá marcando cada tópico aprendido dentro desses retângulos.Quando todos estiverem assinalados, você já saberá tudo o que precisa para fazer a prova! 02.Um capital de R$1.000, aplicado a uma taxa de 60% ao ano, produzirá, após oito meses de aplicação, juros de:Sol.: Novamente estão presentes elementos de uma operação de Juros. Este enunciado foisilente em relação ao regime, ou seja, não disse que era simples, nem composto. Daí, jásabemos, adotaremos o regime simples. Precisamos agora verificar se a exigência universal jáestá observada. É o caso? Não: a taxa apresentada é anual (60% ao ano) e o tempo está emmeses (8 meses). Se decidirmos colocar taxa e tempo na unidade mensal, precisaremos, neste caso,mexer apenas com a taxa (uma vez que o tempo já está em meses). Como faremos para alterar a unidade de uma taxa de Juros Simples? Usando o conceitode Taxas Proporcionais! O que são Taxas Proporcionais? É o conceito que usaremos sempre que precisarmos alterar a unidade de uma taxa deJuros Simples! E como funciona esse conceito? De uma forma facílima e intuitiva, por meio deoperações de produto ou divisão, da seguinte maneira: Se formos alterar a taxa de uma unidade maior para uma unidade menor,dividiremos; Se formos alterar a taxa de uma unidade menor para uma unidade maior,multiplicaremos. Dividiremos por quanto? Multiplicaremos por quanto? Basta saber quantas vezes aunidade menor cabe na maior. Exemplos: Transformar 3% ao mês numa taxa semestral: a alteração será de mês para semestre,ou seja, unidade menor para unidade maior. O que faremos? Multiplicaremos. Por quanto? Ora,cabem quantos meses em um semestre? Cabem seis. Daí, multiplicaremos por seis. Teremosque: 3% ao mês = 18% ao semestre. Transforma 48% ao ano numa taxa bimestral: alteração de ano para bimestre; maiorpara menor. Do maior para o menor, dividimos. Por quanto? Quantos bimestres cabem numano? Seis. Daí, dividiremos por 6. Teremos que: 48% ao ano = 8% ao bimestre. www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
  6. 6. CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 6 Voltando agora a nossa questão, temos que o tempo de aplicação é de 8 meses e a taxaé de 60% ao ano. Transformando a taxa anual numa taxa mensal, mediante o conceito detaxas proporcionais, faremos: 60% ao ano = (60/12) = 5% ao mês. Feito isso, cumprimos a exigência universal da matemática financeira, e já podemosaplicar o esquema ilustrativo dos juros simples. Teremos: M C 100+5x8 100 J 5x8 Usando a equação que envolve Capital e Juros, teremos: C J 1000 J = = J=400,00 Resposta! 100 i.n 100 5 x8 Confira agora se os objetivos dessa resolução foram alcançados, e vá marcando noretângulo! Nesta questão aprendi: 1. Qual o regime a ser adotado no caso de enunciado omisso; 2. O que são Taxas Proporcionais e quando usar esse conceito. Propositadamente, farei uma aula mais curta hoje. Isso por um motivo bem simples:muita gente deixa para entrar no Curso depois que sabe que ele começou de fato. Então épraxe que muitos só ingressem a partir da semana que vem. Assim, achei conveniente não avançarmos muito hoje. Ninguém se preocupe: não haverá prejuízo nenhum para os que já ingressaram noCurso! Ok? Como prova disso, fica como dever de casa a resolução destas sete questões queapresento na seqüência, e que você já terá condições de resolver, senão pelo menos de tentar! Eu costumo dizer em sala de aula que tentar é mais importante que conseguir! Eisso é uma verdade! Não percam essa chance de tentar resolver essa lista. Ok? Na próxima aula, resolveremos todas elas, uma a uma, explicando tudominuciosamente! Mas não deixem de tentar! Fico hoje por aqui. Um forte abraço a todos e fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
  7. 7. CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 7 Dever de Casa03. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias.a) R$ 2.000,00 d) R$ 2.400,00b) R$ 2.100,00 e) R$ 2.420,00c) R$ 2.120,0004. (TRF 2006 ESAF) Um indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos.a) R$ 1.380,00 d) R$ 1.349,00b) R$ 1.371,00 e) R$ 1.344,0005. (CEF FCC) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00 , o prazo dessa aplicação deverá ser de :a) 1 ano e 10 meses d) 1 ano e 6 mesesb) 1 ano e 9 meses e) 1 ano e 4 mesesc) 1 ano e 8 meses06. (Contador do Recife 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros simples a uma taxa de 3% ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor inicial?a) 3 meses e meio d) 4 meses e meiob) 4 meses e) 4 meses e 20 diasc) 4 meses e 10 dias07. (AFTN-91 ESAF) Um capital no valor de 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de:a) 51 d) 53,6b) 51,2 e) 68c) 5208. (TTN 89 ESAF) Uma certa importância foi aplicada a juros simples de 48% a.a. , durante 60 dias. Findo o prazo, o montante apurado foi reaplicado por mais 120 dias, a uma taxa de 60% a.a. , mantendo-se o mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que o último montante foi de R$ 207,36 , qual foi o capital inicial da primeira operação ?a) R$ 200,00 c) R$ 160,00 e) R$ 144,00b) R$ 180,00 d) R$ 150,0009. (TTN-92 ESAF) Um fogão é vendido por $600.000,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de $542.880,00 após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operação?a) 5% d) 16%b) 12% e) 20 %c) 15%10. (AFRF 2002.2 ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período.a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00c) R$ 2.088,00 www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho

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