Medidas de dispersão e estatísticas de posição

CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR
PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO

AULA 07 – MEDIDAS DE DISPERSÃO – PARTE 1

Olá, amigos!
Tudo bem com vocês?
Antes de começar, preciso dizer-lhes que houve um problema de comunicação entre mim
e o pessoal do Site, que põe a aula no ar. Um equívoco que partiu de mim, na realidade. Eu
escrevi esta aula 7 de Estatística oportunamente, na semana passada. Mas ao enviar para o
Site, acabei anexando a aula 7 do outro Curso que estou escrevendo, o de Matemática
Financeira...
Enfim, peço desculpas pela ausência desta aula 7 na semana passada.
O fato é que o mundo ideal é platônico... Mas, vamos em frente! O importante é que
estudemos e aprendemos o assunto! Vou me esforçar mais para que esse fato não se repita!
Ok? Pois bem!
Vamos dar início à nossa aula de hoje, resolvendo as questões pendentes do último...

... Dever de Casa

(AFRF-2000) Para efeito das duas próximas questões faça uso da tabela de
freqüências abaixo.

Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa
Classes de Salário Freqüências
Acumuladas
( 3 ; 6] 12
( 6 ; 9] 30
( 9 ; 12] 50
(12 ; 15] 60
(15 ; 18] 65
(18 ; 21] 68

01. Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que
corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de
freqüências.
a) 12,5 b) 9,6 c) 9,0 d) 12 e) 12,1

Sol.: A questão está pedindo o salário mediano, ou seja, a Mediana do conjunto!
Seguindo os passos nossos já conhecidos, teremos: (n/2)=68/2=34. Daí:
Classes fac
3–6 12 Esta fac é ≥ 34? Não! Adiante!
6–9 30 Esta fac é ≥ 34? Não! Adiante!
9 – 12 50 Esta fac é ≥ 34? Sim!
12 – 15 60
15 – 18 65
18 – 21 68

Teremos:

www.pontodosconcursos.com.br 3


3

X

Limites da Classe: 9 Md 12
fac associadas: 30 34 50
4

20

Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte:

3 x
20 4
Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(3x4)/20 X=0,6
Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao
valor do X que acabamos de calcular. Teremos:
Md=9+0,6 Md=9,6 Resposta!

(AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue.

Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100

02. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil (= Mediana)
da distribuição de X.
a) 138,00 d) 139,01
b) 140,00 e) 140,66


c) 136,67

Sol.: Mais uma questão de Mediana! O enunciado falou em quinto decil. Por hora, basta que
você saiba que quinto decil é sinônimo de Mediana. Ok? Vamos lá! Fazendo o trabalho preliminar
para preparar esta tabela, teremos:

Classes Fac Fi fi fac
70-90 5% 5% 10 10 Esta fac é ≥ 100? Não! Adiante!
130-150 70% 30% 60 140 Esta fac é ≥ 100? Sim!
150-170 85% 15% 30 170
170-190 95% 10% 20 190
190-210 100% 5% 10 200
Total 100% n=200

Teremos:

20

X

20

60


20 x
60 20
Md=130+6,67 Md=136,67 Resposta!



(AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que
segue.

O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências
seguinte:
Classes Freqüência (f)
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10

03. Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do
atributo X.
a) 71,04 d) 68,08
b) 65,02 e) 70,02
c) 75,03

Sol.: Vocês certamente já perceberam que a Mediana é muitíssimo requerida em provas de
Estatística Básica! Aí estamos com mais uma dessas questões! Teremos:

Classes fi fac
29,5-39,5 4 4 Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante!
69,5-79,5 26 72 Esta fac é ≥ 50? Sim!
79,5-89,5 18 90
89,5-99,5 10 100
n=100

Daí:
10

X

Limites da Classe: 69,5 Md 79,5
4

26



10 x
26 4
Md=69,5+1,54 Md=71,04 Resposta!

04. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito
de Czuber.
a) 69,50 b) 73,70 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10

Sol.: Cálculo da Moda é sempre mais rápido! Teremos:
Classes fi
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26 Classe Modal (>fi)
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10
n=100

Aplicando a fórmula de Czuber aos valores da Classe Modal, teremos:

⎡ ∆a ⎤ ⎡ 6 ⎤
Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 69,5 + ⎢ .10 Mo=73,78 Resposta!
⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣6 + 8⎥
⎦

(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas duas
próximas questões e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma
amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00,
do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y
coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes F
29,5 - 39,5 2
39,5 - 49,5 6
49,5 - 59,5 13
59,5 - 69,5 23
69,5 - 79,5 36
79,5 - 89,5 45
89,5 - 99,5 50

05. Assinale a opção que corresponde ao salário modal anual estimado para o
departamento de fiscalização da Cia. X, no conceito de Czuber.
a) 94,5 d) 69,7
b) 74,5 e) 73,8
c) 71,0

Sol.: Mais uma questão de Moda! Teremos:



Classes fac fi
29,5-39,5 2 2
39,5-49,5 6 4
49,5-59,5 13 7
59,5-69,5 23 10
69,5-79,5 36 13 Classe Modal (>fi)
79,5-89,5 45 9
89,5-99,5 50 5
n=100


⎡ ∆a ⎤ ⎡ 3 ⎤
Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 69,5 + ⎢ .10 Mo=73,78 Resposta!
⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣3 + 4⎥
⎦

06. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de
um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a
tabela de freqüências seguinte:

Classe de mi fi
Preços
[ 5 – 9) 7 3
[ 9 – 13) 11 5
[13 – 17) 15 7
[17 – 21) 19 6
[21 – 25) 23 3
[25 – 29) 27 1

Deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale a
opção que melhor aproxima este valor.
a) 16 b) 19 c) 17 d) 11 e) 14,2

Sol.: Outra questãozinha de Mediana! Teremos:

Classes fi fac
[ 5 – 9) 3 3 Esta fac é ≥ 12,5? Não! Adiante!
[ 9 – 13) 5 8 Esta fac é ≥ 12,5? Não! Adiante!
[13 – 17) 7 15 Esta fac é ≥ 12,5? Sim!
[17 – 21) 6 21
[21 – 25) 3 24
[25 – 29) 1 25
n=25

Daí:



4

X

fac associadas: 8 12,5 15
4,5

7


4 x
7 4,5
Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4,5x4)/7 X=2,57
Md=13+2,57 Md=15,57 ≅ 16 Resposta!

07. (Fiscal-Campinas-2002) Dada a distribuição de freqüência abaixo, indique o
valor da Moda e Mediana, respectivamente

Classes Fi
4|—6 12
6|—8 36
8|—10 18
10|—12 4
a) 7,14 7,28 d) 5,84 7,5
b) 6,54 5,78 e) 6,24 6,78
c) 7,24 6,38

Sol.: Duas questões em uma: temos que calcular a Moda e a Mediana. Começando pela moda,
teremos:
Classes fi
4|—6 12
6|—8 36 Classe Modal (>fi)
8|—10 18


10|—12 4


⎡ ∆a ⎤ ⎡ 24 ⎤
Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 6 + ⎢ .2 Mo=7,14
⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣ 24 + 18 ⎥
⎦
Atenção: Neste instante, você vai dar uma olhadela nas opções de resposta! Por quê? Eu
nem terminei ainda de resolver a questão! Ora, pode ser que somente este primeiro resultado já
seja suficiente para você chegar à resposta. É o caso? Sim! Só há uma opção em que a Moda é
7,14. Assim: letra A Resposta!

08. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência
obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As
freqüências são acumuladas.

Classes de Salário Freqüências
(5.000-6.500) 12
(6.500-8.000) 28
(8.000-9.500) 52
(9.500-11.000) 74
(11.000-12.500) 89
(12.500-14.000) 97
(14.000-15.500) 100

Assinale a opção que corresponde ao salário mediano
a) R$ 10.250, b)R$ 8.000, c) R$ 8.700, d)R$ 9.375, e) R$ 9.500,

Sol.: Nova questão de Mediana! Teremos:

Classes fac
(5.000-6.500) 12 Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante!
(6.500-8.000) 28 Esta fac é ≥ 50? Não! Adiante!
(8.000-9.500) 52 Esta fac é ≥ 50? Sim!
(9.500-11.000) 74
(11.000-12.500) 89
(12.500-14.000) 97
(14.000-15.500) 100
Daí:
1500

X

22



24


1500 x
24 22
Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(1500x22)/24 X=1.375
Md=8.000+1.375 Md=9.375 Resposta!

(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a solução das três próximas
questões utilize o enunciado que segue.

A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário
mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200
funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classes
salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao
percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem
observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P
4 – 8 20
8 – 12 60
12 – 16 80
16 – 20 98
20 – 24 100

09. Assinale a opção que corresponde ao salário modal no conceito de Czuber.
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

Sol.: Nova questão de Moda. Teremos:
Classes Fac Fi fi
4–8 20% 20% 40
8 – 12 60% 40% 80 Classe Modal (>fi)
12 – 16 80% 20% 40
16 – 20 98% 18% 36
20 – 24 100% 2% 4
Total: 100% n=200


⎡ ∆a ⎤ ⎡ 40 ⎤
Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 8 + ⎢ .4 Mo=10,0 Resposta!
⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣ 40 + 40 ⎥
⎦

10. Assinale a opção que corresponde ao salário mediano calculado a partir de
dados agrupados por interpolação da ogiva.
a) 12 d) 10


b) 9 e) 11
c) 8

Sol.: Nova questão de Mediana! Teremos:

Classes Fac Fi fi fac
4–8 20% 20% 40 40 Esta fac é ≥ 100? Não! Adiante!
8 – 12 60% 40% 80 120 Esta fac é ≥ 100? Sim!
12 – 16 80% 20% 40 160
16 – 20 98% 18% 36 196
20 – 24 100% 2% 4 200
Total: 100% N=200

Daí:
4

X

60

80


4 x
80 60
Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4x60)/80 X=3
Md=8+3 Md=11 Resposta!

As duas próximas questões dizem respeito à distribuição de freqüências seguinte
associada ao atributo de interesse . X Não existem observações coincidentes com
os extremos das classes.
Classes Freqüências
Simples
0-10 120
10-20 90

20-30 70
30-40 40
40-50 20

11. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá a moda no conceito de Czuber.
a) 5 b) 4 c) 8 d) 10 e) 15

Sol.: Nova questão de Moda. Teremos:
Classes fi
0-10 120 Classe Modal (>fi)
10-20 90
20-30 70
30-40 40
40-50 20

Esta tabela traz uma situação curiosa e muito rara: a classe modal é a primeira classe da
Distribuição! Assim, na hora de calcularmos o ∆a, não vai haver uma fi anterior, perceberam? E
o que se faz neste caso? Nada! É como se a fi anterior fosse zero!

⎡ ∆a ⎤ ⎡ 120 ⎤
Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 0 + ⎢ .10 Mo=8,0 Resposta!
⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣120 + 30 ⎥
⎦

12. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá o valor aproximado da mediana
amostral das observações de . X
a) 20,0 b) 5,0 c) 12,0 d) 15,8 e) 15,6
Sol.: Última questão de Mediana desta lista! Teremos:

Classes fi fac
0-10 120 120 Esta fac é ≥ 170? Não! Adiante!
10-20 90 210 Esta fac é ≥ 170? Sim!
20-30 70 280
30-40 40 320
40-50 20 340
n=340

Daí:
10

X

50



90


10 x
90 50
Md=10+5,55 Md=15,55 ≅ 15,6 Resposta!

Pois bem! Vamos agora dar início ao estudo das Medidas de Dispersão!
Eu lhes chamo a atenção para dizer que é um dos temas prediletos das mesas
elaboradoras! Não há prova de Estatística Básica que não cobre ao menos uma questão deste
assunto! Ok? Então vamos lá!
Medidas de Dispersão
A primeira coisa a saber é que Medida de Dispersão é a mesma coisa que Medida de
Variabilidade. Sinônimos!
O que vem a ser dispersão? Ora, dispersão é o mesmo que afastamento. Assim, ao
estudarmos a dispersão de um conjunto, estaremos investigando se os seus elementos estão
afastados ou próximos de um referencial. No mais das vezes, este referencial é a Média
Aritmética!
Em outras palavras: as Medidas de Dispersão irão nos dizer o quão próximos,ou quão
distantes, estão os elementos do conjunto em relação à Média!
Ok? Esta explicação se aplica a TODAS as Medidas de Dispersão!
Então não me venham perguntar depois “mas, professor, o que é mesmo esse desvio
padrão?” A resposta é essa, e vale, repito, para todas as medidas de dispersão: é uma medida
que serve para dizer se os elementos do conjunto estão próximos da média. Ou distantes!
Hoje estudaremos o Desvio Absoluto Médio (DAM), o Desvio Padrão (S), a Variância
(S2), e o Coeficiente de Variação (CV). Serão muitas informações, de sorte que vocês terão que
ler essa aula com muita calma e, de preferência, mais de uma vez!
Vamos lá!

# Desvio Absoluto Médio: DAM
A primeira coisa a saber é que o Desvio Absoluto Médio pode também ser chamado de:
Desvio Médio Absoluto, ou só Desvio Absoluto, ou só ainda Desvio Médio. São todos sinônimos!
Esta medida é muito pouco cobrada em prova. Pouquíssimo mesmo. Nas últimas dez
provas da Receita Federal, só foi cobrada uma única vez. Além do que, sobre ela precisaremos
conhecer, basicamente, as suas fórmulas. Não se exige nem o estudo de propriedades do DAM.
Assim sendo, vamos conhecer logo as fórmulas do Desvio Absoluto. São as seguintes:



DAM para ROL: DAM =
∑ Xi − X
n

Olha como é fácil! Basta você lembrar que o Desvio Absoluto é a única fórmula deste
nosso Curso em que aparece o módulo. Para quem está mais esquecido, módulo são esses dois
tracinhos verticais que você está vendo na fórmula. E o efeito do módulo é transformar valores
negativos em positivos. Só isso. Vamos entender melhor por meio do exemplo seguinte.
Exemplo: Considere o seguinte conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}. Calcule o Desvio Absoluto Médio.
Sol.: Nossa resolução começa por quem? Pela fórmula! É sempre assim! A fórmula será sempre
o ponto de partida da resolução! É por meio dela que definiremos nossos passos. Olhando para a
fórmula, saberemos aquilo que já dispomos, e aquilo que ainda não temos e precisamos
encontrar. Ok?

Assim, olhando para a fórmula, vemos que ela pede o conhecimento da Média ( X ). Nós
já calculamos a Média? Ainda não! Então, começaremos por ela. Para encontrá-la, somaremos
os elementos do conjunto, e dividiremos esse resultado pelo número de elementos. Lembrados?
Teremos:
15
X= = 3,0
5
Agora vejam que o numerador da fórmula pede que você construa o conjunto (Xi- X ).
Fazendo isso, teremos:

(Xi- X )=[(1-3), (2-3), (3-3), (4-3), (5-3)]=(-2, -1, 0, 1, 2)

Mas percebam que a fórmula não quer simplesmente o conjunto (Xi- X ). Ela quer o
módulo deste conjunto! Assim, aplicando o efeito do módulo, teremos:

Xi − X = (2, 1, 0, 1, 2)

Viram? Quem era negativo virou positivo!
Finalmente, o numerador da fórmula pede que somemos os elementos deste último
conjunto construído. Teremos:

Σ Xi − X = Σ (2, 1, 0, 1, 2) = 2+1+0+1+2 = 6,0

E quanto ao denominador? Ora, ele consiste no n, número de elementos do conjunto.
Neste caso, n=5.
Assim, chegamos ao seguinte resultado:
DAM=(6/5)=1,2 Resposta!

Só isso!
Agora tenho uma notícia boa para vocês! Estão lembrados de quando estudamos as
fórmulas da Média Aritmética, e eu lhes falei a respeito de uma tal de transição?
A transição, para os mais esquecidos, era uma maneira de você passar de uma fórmula
de rol, para outra de dados tabulados; e desta última para uma fórmula de distribuição de
freqüências! Era, portanto, uma maneira de ajudar a nossa memorização!
A boa notícia é que a transição que aprendemos para as fórmulas da Média valem
também aqui para quase todas as medidas de dispersão, a começar pelo Desvio Absoluto Médio!
Recordando as duas regras da transição:


1ª) Fórmula do rol para a dos Dados Tabulados: repete-se a fórmula do rol, e acrescenta-
se, sempre junto ao sinal de somatório, a fi, freqüência absoluta simples.
2ª) Fórmula dos Dados Tabulados para a da Distribuição de Freqüências: repete-se a
fórmula dos Dados Tabulados, e troca-se Xi (elemento individualizado) por PM (Ponto Médio).
E é somente isso! Você memoriza a fórmula do rol, e aplica as duas transições. E sabe o
que acontece? Você paga uma, e leva três! Um grande negócio!
Sabendo disso, vou repetir a fórmula do rol e, aplicando a transição, as fórmulas do DAM
para conjuntos apresentados nas formas de Dados Tabulados e de Distribuição de Freqüências
serão as seguintes:

DAM para ROL: DAM =
∑ Xi − X
n
1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório:

DAM para Dados Tabulados: DAM =
∑ fi. Xi − X
n
2ª transição: trocando Xi por PM:

DAM para Distribuição de Freqüências: DAM =
∑ fi. PM − X
n
A questão que eu disse que caiu numa das provas passadas de AFRF pedia o cálculo do
DAM para uma Distribuição. O ruim foi que, nesta prova, ainda não havia sido exigido o cálculo
da Média, de sorte que o primeiro trabalho era exatamente esse: descobrir o valor da média.
Para isso, você tinha que usar o método da variável transformada. Somente depois desse
trabalho, você teria condições de continuar aplicando a fórmula do DAM.
Foi uma questão trabalhosa. Mas não foi difícil. Que fique bem claro isso. Só acho que
devia ter valido dois pontos, em vez de um só. Enfim. (Essa questão vai ficar para o Dever de
Casa!).
Já sabemos tudo sobre o Desvio Absoluto Médio. Adiante!

# Desvio Padrão: S
É sinônimo de Dispersão Absoluta! (Guarde isso!).
Essa é, de longe, a medida de dispersão mais presente em prova! E por uma razão bem
simples: além da memorização das fórmulas (que são muitas!), teremos sobretudo que
conhecer com segurança as suas propriedades. Ok? Comecemos pelas fórmulas!
Aqui novamente a transição vai nos socorrer! Você só terá o trabalho de memorizar a
fórmula do Desvio Padrão para um rol. O restante das fórmulas (para Dados Tabulados e para
Distribuição de Freqüências) você leva de graça! (Pague uma e leve três!). Teremos:

∑ (Xi − X )
2

Desvio Padrão para Rol: S =
n
E agora você vai lembrar: a fórmula do Desvio Padrão é a fórmula da raiz! Ok?
E se aplicarmos aquela nossa conhecida transição? Como ficarão as outras duas
fórmulas? Vou repetir a do rol, para ajudar. Teremos:

∑ (Xi − X )
2

Desvio Padrão para Rol: S =
n



∑ fi.(Xi − X )
2

Desvio Padrão para Dados Tabulados: S =
n


∑ fi.(PM − X )
2

Desvio Padrão para Distribuição de Freqüências: S =
n

Até agora, o que temos? Temos três fórmulas. Mas atenção: o Desvio Padrão é a primeira
medida deste Curso em que haverá diferença na fórmula, caso estejamos trabalhando com um
conjunto que represente toda a população, ou apenas uma amostra! Entendido? Faz
diferença na fórmula do Desvio Padrão se o conjunto é a população ou se é uma amostra!
Essas três fórmulas que vimos acima servem para o cálculo do Desvio Padrão
Populacional. Nós as aplicaremos se o conjunto for uma população! E quando saberemos que o
conjunto da questão é a população? Quando não for dito que é uma amostra!
Ou seja, a regra é a seguinte: o conjunto da questão da prova só será uma amostra se
isso for dito pelo enunciado! Caso contrário, não será amostra: será população! Ok?
Mas, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra ou, por outra, pedir o cálculo
do Desvio Padrão Amostral? O que faremos? Ora, saberemos que amostral se refere a amostra,
de sorte que todas as três fórmulas vistas acima, que servem para o cálculo populacional, terão
que sofrer uma pequena modificação, para se adequar ao cálculo amostral. Essa pequena
modificação consiste em acrescentarmos um menos 1 no denominador. Assim, teremos:

∑ (Xi − X )
2

Desvio Padrão Amostral para Rol: S =
n −1

∑ fi.(Xi − X )
2

Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados: S =
n −1

∑ fi.(PM − X )
2

Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüências: S =
n −1

Mas, professor, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra, e eu esquecer de
colocar o menos 1 no denominador da fórmula? Bem, neste caso, você errará a questão.
Simplesmente isso! Ou seja, o menos um no denominador do desvio padrão amostral é
imprescindível! Se esquecer, erra!
Aliás, só a título de informação, esse menos um é chamado de fator de correção de
Bessel. Esse nome não é importante. Pode ser esquecido sem problemas. O que não podemos
esquecer de colocá-lo na fórmula.

Pois bem, ainda não acabou o estudo das fórmulas!
Se você reparar bem as equações que já dispomos, verá que em todas elas existe um
produto notável no numerador. Repararam? É o que está no parêntese! Esse produto notável
pode ser desenvolvido, de sorte que podemos realizar um desenvolvimento algébrico com essas
fórmulas básica, até chegarmos a novas fórmulas, que nada mais serão que as primeiras,
apresentadas de outro jeito.
Entendido? Obviamente que irei poupar a todos do tal desenvolvimento algébrico. (E nem
pense que na prova você teria tempo para fazê-lo!). O que nos interessa é o resultado. Qual é a
fórmula desenvolvida do Desvio Padrão para um rol? É a seguinte:

⎛1⎞⎡
Fórmula Desenvolvida do S para Rol: S = ⎜ ⎟.⎢∑ Xi −
2
(∑ Xi )2 ⎤
⎥
⎝n⎠⎢⎣
n ⎥
⎦
E aí? O que acharam? Ninguém se assuste, por favor! Tenho certeza que se você repetir
esta fórmula umas dez vezes, na décima vez já estará parecendo fácil.
Uma pergunta: vocês acham que se tomarmos os elementos de um mesmo conjunto, e
aplicarmos a eles as duas fórmulas do Desvio Padrão, a básica e a desenvolvida, chegaremos ao
mesmo resultado? O que você diz?
Claro que sim! Trata-se, na verdade, de uma mesma fórmula, apenas apresentada de
duas maneiras diferentes! O resultado será necessariamente o mesmo!
Então você dirá: se é assim, eu vou ficar apenas com a básica, que é menorzinha...” E eu
respondo: péssimo negócio! Haverá questões que serão imediatamente resolvidas na prova, se
você se lembrar da equação desenvolvida! Já veremos isso. Antes, porém, precisamos conhecer
também as fórmulas desenvolvidas do desvio padrão para Dados Tabulados, e para Distribuição
de Freqüências!
E como faremos isso? Aplicando a transição! Teremos:

⎛1⎞⎡
Fórmula Desenvolvida do S para Rol: S = ⎜ ⎟.⎢∑ Xi −
2
(∑ Xi )2 ⎤
⎥
⎝n⎠⎢⎣
n ⎥
⎦

Fórmula Desenvolvida do S para Dados Tabulados:

⎛1⎞⎡
S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi −
2
(∑ fi. Xi )2 ⎤
⎥
⎝n⎠⎢⎣
n ⎥
⎦

Fórmula Desenvolvida do S para Distribuição de Freqüências:

⎛1⎞⎡
S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM −
2
(∑ fi.PM )2 ⎤
⎥
⎝n⎠⎢⎣
n ⎥
⎦

Quase lá! Só resta lembrar que, essas três fórmulas desenvolvidas do desvio padrão que
vimos acima servem apenas no caso de o conjunto trabalhado representar toda a população!
Mas se a questão disser que o conjunto é uma amostra, ou exigir o cálculo do desvio padrão


amostral, então precisaremos modificar também as fórmulas desenvolvidas, acrescentando
aquele mesmo menos um no denominador.
Teremos:
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral de um Rol:

⎛ 1 ⎞⎡ (∑ Xi )2 ⎤
S= ⎜ ⎟.⎢∑ Xi − ⎥
2

⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦


Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dados Tabulados:

⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi. Xi )2 ⎤
S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − ⎥
2

⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦


Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dist. de Freqüências:

⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.PM )2 ⎤
S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − ⎥
2

⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦

E com isso, concluímos a primeira etapa do estudo do Desvio Padrão: a memorização das
fórmulas.
A rigor, se você prestar bem atenção, são doze fórmulas. Mas você pagou apenas
duas, e levou todas as outras para casa! Como foi isso? Bastou você memorizar a fórmula
básica para o rol, e a fórmula desenvolvida para o rol. Daí, aplicava-se a transição, e pronto! E
mais: se a questão disser que o conjunto é amostra, você vai e põe um menos 1 no
denominador!
Só isso!
Para estas fórmulas ficarem bem memorizadas, vou repeti-las todas na seqüência.
Teremos:

# Fórmulas do Desvio Padrão: S

Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Rol:

∑ (Xi − X )
2

S=
n
Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Dados Tabulados:



∑ fi.(Xi − X )
2

S=
n
Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Distribuição de Freqüências:

∑ fi.(PM − X )
2

S=
n
Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Rol:

∑ (Xi − X )
2

S=
n −1

Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados:

∑ fi.(Xi − X )
2

S=
n −1
Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüências:

∑ fi.(PM − X )
2

S=
n −1
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Rol:

⎛1⎞⎡
S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi −
2
(∑ fi. Xi )2 ⎤
⎥
⎝n⎠⎢⎣
n ⎥
⎦
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Dados Tabulados:

⎛1⎞⎡
S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi −
2
(∑ fi. Xi )2 ⎤
⎥
⎝n⎠⎢⎣
n ⎥
⎦
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Distribuição de
Freqüências:

⎛1⎞⎡
S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM −
2
(∑ fi.PM )2 ⎤
⎥
⎝n⎠⎢⎣
n ⎥
⎦

Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Rol:

⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi. Xi )2 ⎤
S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − ⎥
2

⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦

Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados:



⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi. Xi )2 ⎤
S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − ⎥
2

⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüências:

⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.PM )2 ⎤
S= ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − ⎥
2

⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦

Reparem nestas últimas três fórmulas, que o fator de correção (o menos 1) só entra no
denominador que fica dentro do parêntese! Ok?
Temos doze fórmulas no papel. E você só precisou memorizar duas delas! As demais
saíram por transição!
Neste momento, vou aproveitar a ótima oportunidade, e dizer a todos que a próxima
medida de dispersão que iremos estudar será a chamada Variância.
Precisamos saber, precisamente agora, que a Variância é, conceitualmente, o quadrado
do Desvio Padrão!
Ou seja: Variância = (Desvio Padrão)2
Ou seja de novo: Variância = S2
Ora, sabendo disso, e sabendo também que todas as fórmulas do desvio padrão têm raiz
quadrada, se as elevarmos ao quadrado, o que ocorrerá com todas elas? Perderão o sinal da
raiz. Só isso!
Em suma: se eu conheço as fórmulas do Desvio Padrão, então também conheço as
fórmulas da Variância: basta tirar o sinal da raiz! Assim, teremos:

# Fórmulas da Variância:

Fórmula Básica da Variância Populacional para Rol:

S 2
=∑
(Xi − X )2

n
Fórmula Básica da Variância Populacional para Dados Tabulados:

∑ fi.(Xi − X )
2

S 2
=
n
Fórmula Básica da Variância Populacional para Distribuição de Freqüências:

∑ fi.(PM − X )
2

S 2
=
n
Fórmula Básica da Variância Amostral para Rol:

∑ (Xi − X )
2

S 2
=
n −1
Fórmula Básica da Variância Amostral para Dados Tabulados:



∑ fi.(Xi − X )
2

S 2
=
n −1
Fórmula Básica da Variância Amostral para Distribuição de Freqüências:

∑ fi.(PM − X )
2

S 2
=
n −1
Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Rol:

⎛1⎞⎡
S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi −
2 2
(∑ fi.Xi )2 ⎤
⎥
⎝n⎠⎢⎣
n ⎥
⎦
Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Dados Tabulados:

⎛1⎞⎡
S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi −
2 2
(∑ fi.Xi )2 ⎤
⎥
⎝n⎠⎢⎣
n ⎥
⎦

Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Distribuição de Freqüências:

⎛1⎞⎡
S = ⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM −
2 2
(∑ fi.PM )2 ⎤
⎥
⎝n⎠⎢⎣
n ⎥
⎦
Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Rol:

⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.Xi )2 ⎤
S =⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − ⎥
2 2

⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦
Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Dados Tabulados:

⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.Xi )2 ⎤
S =⎜ ⎟.⎢∑ fi. Xi − ⎥
2 2

⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦
Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Distribuição de Freqüências:

⎛ 1 ⎞⎡ (∑ fi.PM )2 ⎤
S =⎜ ⎟.⎢∑ fi.PM − ⎥
2 2

⎝ n −1⎠ ⎢
⎣
n ⎥
⎦

Vejam que negócio da China nós fizemos: memorizamos duas fórmulas (as duas do rol),
e levamos vinte e quatro para casa! Pague duas, e leve vinte e quatro! Excelente, não acham?
Basta você lembrar de fazer a transição, e lembrar de pôr o menos 1 no denominador, se
o conjunto for uma amostra!
Pois bem! Ainda não acabamos o estudo do Desvio Padrão. Eu apenas abri um parêntese,
para aproveitar as suas fórmulas que estavam no papel, para mostrar que bastava tirar o sinal
da raiz, e já estaremos com as fórmulas da Variância.
Passemos agora ao estudo das Propriedades do Desvio Padrão.

# Propriedades do Desvio Padrão:


O desvio padrão não é influenciado por operações de soma ou subtração.
Assim, se uma questão de prova nos der o seguinte rol: (101, 102, 103, 104, 105), e
pedir que calculemos o seu desvio padrão, o que podemos fazer?
Ora, as contas seriam muito grandes para chegarmos à resposta! Mas você pode pensar
assim: já que soma e subtração não alteram o desvio padrão, eu posso pegar todos os
elementos desse conjunto original, e subtrair cada um deles de uma mesma constante. Cem,
por exemplo. E chegaremos a um novo conjunto, que é o seguinte: (1, 2, 3, 4, 5).
São valores mais baixos? Sim, consideravelmente! E se encontrarmos para este novo
conjunto o valor do Desvio Padrão, esse resultado encontrado será exatamente o mesmo Desvio
Padrão daquele outro conjunto original! O mesmo!
O desvio padrão somente é influenciado por operações de produto ou divisão:
multiplicaremos ou dividiremos pela própria constante.
Significa o quê? Significa que se conhecermos o desvio padrão de um conjunto original
(por exemplo, S=2), e se todos os elementos desse conjunto original forem multiplicados por
uma constante (por exemplo, multiplicados por 5), então chegaremos a um novo conjunto, cujo
novo desvio padrão será o S do conjunto original também multiplicado por 5.
Entendido isso?

Muitas questões de provas recentes elaboradas pela Esaf têm explorado esse
conhecimento. São questões que nos falam em variável transformada! Passemos a um exemplo.

Exemplo: Considere a seguinte transformação: (X-2)/3. Se o desvio padrão da variável
transformada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável original X?
Sol.: Sempre que o enunciado nos fornecer uma transformação da variável, já podemos, de
imediato, fazer o desenho de transformação. Esse desenho é simples, é rápido de ser feito, e
não deixará você errar a questão de jeito nenhum!
Podemos chamar a variável transformada de Y, por exemplo. Assim, nossa transformação
é a seguinte: Y=(X-2)/3. Fazendo a parte de cima do desenho, teremos:
1º)-2 2º)÷3

Xi Yi

Todos entenderam como se fez esse caminho de ida do desenho acima? Tomamos a
variável original X e, com ela, realizamos duas operações (aquelas da transformação!):
subtraímos todo mundo por 2, e depois dividimos todo mundo por 3.
E se agora resolvermos desenhar o caminho de volta, ou seja, as operações que nos
farão voltar à variável original. O que faremos? Fácil: inverteremos as operações do caminho de
ida. Só isso! Nada mais fácil. Teremos:
1º)-2 2º)÷3

Xi Yi


2º)+2 1º)x3

Observem todos que inverteu-se também a seqüências das operações: onde terminou lá
em cima, começou aqui embaixo; e onde começou lá em cima, acabou cá em baixo. Ok? Pronto!
Não dá mais para errar essa questão!
O dado fornecido pelo enunciado foi que o Desvio Padrão da variável transformada é igual
a 4. Quem é a variável transformada? É o Y. Assim, do lado do Y, teremos que:
1º)-2 2º)÷3

Xi Yi Sy=4,0

2º)+2 1º)x3

Mas o Sy não me interessa! Interessa-me o Sx. Assim, partindo do Desvio Padrão de um
lado, chegarei ao Desvio Padrão do outro! Para tanto, precisarei percorrer as operações do
caminho adequado (de cima ou de baixo), lembrando-me das propriedades do Desvio Padrão!
Façamos isso: estamos partindo com Sy=4. A primeira operação que surge no caminho
de volta (de baixo) é um produto! Você vai fazer esse produto? Claro que sim! (Desvio padrão
só não é alterado por soma e subtração!). Teremos:
4 x 3 = 12
Por enquanto, temos S=12. Na seqüência, surge uma soma (+2). Faremos essa soma? O
que vocês me dizem? Não! E por que não faremos? Porque operações de soma (ou subtração)
não alteram o desvio padrão. Passaremos direto pela soma, e teremos, enfim, que:
Sx=12,00
Entendido?
Alguém se lembra de como são as propriedades da Média Aritmética? Não? Elas cabem
todas numa única frase. Ninguém lembra? A Média é influenciada pelas quatro operações!
Assim, se a questão nos falasse sobre aquela mesma transformação da variável que
vimos acima, e dissesse ainda que a média da variável transformada é igual a Y =8,0, e pedir
que calculemos a média da variável original ( X )? Vejamos:
1º)-2 2º)÷3

Xi Yi Y =8,0

2º)+2 1º)x3

Ora, simplesmente percorreremos as operações do caminho de volta (caminho de baixo),
lembrando-nos das propriedades da Média, já que é com ela que estamos trabalhando.


Se a Média é influenciada pelas quatro operações, então qualquer conta que aparecer
neste caminho de volta nós teremos que realizar. Assim, teremos que:
8 x 3 = 24 e 24 +2 =26

Ou seja: X =26,0

Pois bem! Só falta misturar tudo agora com as propriedades da Variância. Vejamos quais
são elas:

# Propriedades da Variância:

A Variância não é influenciada por operações de soma ou subtração.
Mesmo entendimento que tivemos para o desvio padrão!

A Variância somente é influenciada por operações de produto ou divisão:
multiplicaremos ou dividiremos pelo quadrado da constante.

Ou seja, se a variância de um conjunto original é 2, e nós multiplicarmos todos os seus
elementos por uma constante (3, por exemplo), qual será a nova variância? A nova variância
será igual à anterior, agora multiplicada pelo quadrado da constante, ou seja, multiplicada pelo
quadrado de 3, ou seja, multiplicada por 9.
Vejamos o exemplo abaixo:
Exemplo: Considere a seguinte transformação: (X-2)/3. Se a variância da variável
transformada é igual a 5, qual será o desvio padrão da variável original X?
Sol.: Também em questões de variância poderemos trabalhar com a tal da variável
transformada. Todos viram que há uma transformação bem aí, no enunciado? Ótimo! Podemos
fazer, de pronto, o desenho de transformação. Teremos:
1º)-2 2º)÷3

Xi Yi

2º)+2 1º)x3

Mas o que nos disse o enunciado? Que a variância do lado do Y é igual a 5. Assim,
teremos:
1º)-2 2º)÷3

Xi Yi S2y=5,0



2º)+2 1º)x3

E o que faremos agora? Percorreremos as operações do caminho de volta (em vermelho),
lembrando-nos das propriedades da variância, já que agora é com ela que estamos trabalhando!
Teremos:

Logo de cara surgiu um produto! Você multiplica? Sim. Mas multiplica por 3 ou pelo
quadrado de 3? Pelo quadrado! Pois é exatamente o que reza a propriedade do produto (ou
divisão)!
Assim, teremos:
5 x (3)2 = 5 x 9 = 45
Na seqüência surge uma soma (+2). Você vai somar? Claro que não, uma vez que soma
não altera a variância! OK?
Para matarmos várias questões de provas recentes, resta-nos ainda conhecer a próxima
medida de dispersão: o coeficiente de variação. Vamos lá!

# Coeficiente de Variação: CV
O CV é também conhecido por dispersão relativa!
Conceitualmente, teremos que:
S
CV =
X
Estão lembrados que o desvio padrão também se chama dispersão absoluta?
Pois bem! O CV é dito dispersão relativa, exatamente porque ele é igual à dispersão
absoluta (o desvio padrão) em relação a alguém. E esse alguém é a Média Aritmética! Ok?
Precisamos saber ainda que o CV é uma medida adimensional, ou seja, não depende da
unidade da variável trabalhada!
Essa informação já caiu muitas vezes, em questões teóricas de provas mais antigas!
(Bons tempos aqueles!).
Mas o que significa isso? Ora, considere que estamos com um conjunto que representa os
pesos de um grupo de crianças. Ok? Assim, nossa variável é peso, e é medida na unidade
quilos. Assim, se calcularmos a Média, será um valor em kg. Se calcularmos o desvio padrão,
será um valor em Kg. Finalmente, colocando Desvio Padrão e Média na fórmula do CV, teremos
que Kg corta com Kg.
Conclusão: o CV é adimensional. (Isso não cai mais em prova há um bom tempo...)
Finalmente, vejamos o seguinte exemplo:
Exemplo: Considere a seguinte transformação: (X-2)/3. Sabendo que, para a variável
transformada, a média é igual a 8,0 e o desvio padrão é igual a 4,0, calcule o coeficiente de
variação da variável original X.
Sol.: Esta é, talvez, a mais típica das questões de uma prova de estatística básica! Cai o tempo
todo em prova! Ora, o enunciado apresentou uma transformação da variável? O que você diz?
Sim! Daí, nosso primeiro passo será desenhar essa transformação. Teremos:
1º)-2 2º)÷3



Xi Yi S2y=5,0

2º)+2 1º)x3

O que foi mais que a questão nos disse? Disse-nos que a variável transformada Y possui
dois valores já conhecidos: a média (igual a 8) e o desvio padrão (igual a 4). Teremos:

1º)-2 2º)÷3

Xi Yi Y =8,0 e Sy=4,0

2º)+2 1º)x3

E a questão pede o cálculo do CV do lado da variável X.
Ora, sabemos que CV=desvio padrão/média.
Mas não conhecemos nem o desvio padrão e nem a média, do lado do X. Mas os
conhecemos a ambos do lado do Y. Assim, tomaremos as duas medidas, uma por vez, e as
transportaremos para o lado do X.
Como faremos isso? Percorrendo as operações do caminho de volta, e recordando as
propriedades da média e do desvio padrão. Já fizemos isso agora há pouco. Teremos:
Média: 8x3=24 e 24+2=26
Desvio Padrão: 4x3=12 e só!
Assim, teremos que:
1º)-2 2º)÷3

CVx=12/26=0,461 Xi Yi Y =8,0 e Sy=4,0

2º)+2 1º)x3

Entendido?
Ótimo! Acho que por hoje já há o bastante!
Seguem as questões do Dever de Casa de hoje, e na próxima aula encerraremos o
estudo das medidas de dispersão! Ok?
Forte abraço a todos! E fiquem com Deus!



Dever de Casa:

54. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o
valor do desvio médio é:
a) 2,1 d) 2,8
b) 2,4 e) 3,1
c) 2,6

55. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) O desvio padrão do conjunto de dados A={2,
4, 6, 8, 10} é, aproximadamente:
a) 2,1 b) 2,4 c) 2,8 d) 3,2 e) 3,6

56. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma
amostra de dez indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho
registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6
e 10. Sendo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é:
a) 3 c) 10
b) 9 d) 30

57. (Fiscal de Rendas RJ 2003 FJG) O desvio-padrão populacional dos valores 30,
40 e 50 é igual, aproximadamente, a:
A) 8 B) 8,16 C) 10 D) 10,16

58. (AFC-94) Uma empresa que possui 5 máquinas copiadoras registrou em cada
uma delas no último mês (em 1000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias,
respectivamente. O valor da variância desta população é:
a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 25

59. (Controlador de arrecadação RJ 2004 FJG ) Os valores de uma amostra de
cinco elementos são: 4, 3, 3, 5 e 5. A variância dessa amostra é de:
A) 4,00 b) 3,00 c) 2,33 d) 1,00

60. (AFPS-2002/ESAF) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a
opção que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos.
a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0

61. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram
obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa
de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15,
16, 16, 18, 23
Os valores seguintes foram calculados para a amostra:

Σi Xi = 490 e Σi Xi2 – (Σi Xi )2/ 50 = 668

Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral,
respectivamente (com aproximação de uma casa decimal)
a) (9,0 13,6) d) (8,0 13,6)
b) (9,5 14,0) e) (9,0 14,0)

c) (8,0 15,0)

62. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma
empresa eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância
do conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é:
a) 1,1627x107 c) 1,1627x105
6
b) 1,1627x10 d) 1,1627x104

63. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio
padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento
de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de:
a) $ 10.000,00 d) $ 10.900,00
b) $ 10.100,00 e) $ 11.000,00
c) $ 10.500,00

64. (FISCAL DO TRABALHO-94) Do estudo do tempo de permanência no mesmo emprego
de dois grupos de trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguintes resultados
para as médias X a e X b e desvios-padrão Sa e Sb.
Grupo A: X a = 120 meses e Sa=24 meses
Grupo B: X b = 60 meses e Sb=15 meses
É correto afirmar que:
a) a dispersão relativa no grupo A é maior que no grupo B
b) a média do grupo B é 5/8 da média do grupo A
c) a dispersão absoluta do grupo A é o dobro da dispersão absoluta do grupo B
d) a dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão relativa do grupo B
e) a média entre os dois grupos é de 180 meses

65. (TCU-93) O quadro abaixo apresenta a renda mensal per capita das
localidades A e B:
Localidade Média Desvio Padrão
A 50 10
B 75 15

Assinale a opção correta:
a) O intervalo semi-interquartílico é dado por [10, 15]
b) A renda da localidade A é mais homogênea que a renda na localidade B
c) O coeficiente de variação é 50/75
d) A renda da localidade B é mais homogênea que a da localidade A
e) Os coeficientes de variação de renda nas localidades A e B são iguais

66. (TCDF-1995) Uma pesquisa de preços de determinado produto, realizada em
dois mercados, produziu os resultados mostrados na tabela abaixo:

Mercado Preço Médio (R$/kg) Desvio Padrão (R$/kg)
I 5,00 2,50
II 4,00 2,00

Com base nesses resultados, é correto afirmar que
a) no mercado I, a dispersão absoluta dos preços é menor que no mercado II.
b) o mercado I apresenta uma dispersão relativa (de preços) maior que a do
mercado II.
c) no mercado I, a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta.
d) no mercado I, a dispersão relativa dos preços é igual a do mercado II.
e) considerando os mercados I e II como se fossem um único mercado, a dispersão
absoluta da distribuição resultante é igual a 4,5.

67. (AFRF-2002.2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi
observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:
Grupo Média Desvio padrão
A 20 4
B 10 3
Assinale a opção correta.
a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta.
b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa.
c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo
A.
d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da
diferença de desvios padrão pela diferença de médias.
e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa
nos grupos.

68. (AFC-94) Seja X uma variável aleatória com média aritmética x = 10 e
desvio-padrão S = 3. Considere as variáveis: y = 2x +1 e z = 2x. A
única afirmação errada é:
a) as variáveis y e z tem a mesma média aritmética.
b) o desvio padrão de y é 6.
c) as variáveis y e z têm o mesmo desvio padrão.
d) a média de y é 21.
e) as variáveis x e z têm o mesmo coeficiente de variação.

69. (FTE-PA-2002/ESAF) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas,
tem média amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que
corresponde ao coeficiente de variação, para a mesma amostra, do atributo
Y = 5 + 5W.
a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2%

70. (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Aplicando a transformação
z = (x - 14)/4 aos pontos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de
1,10 salários mínimos. Assinale a opção que corresponde ao desvio padrão dos
salários não transformados.
a) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,90

71. (AFRF-2003/ESAF) O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral 20 e variância
amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação
amostral de X.
a) 12,9% d) 31,2%
b) 50,1% e) 10,0%
c) 7,7%

72. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a
receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média

amostral M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5.
Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.
a) 3,0% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0%

73. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠ 0 e desvio padrão positivo
b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta.
a) A média amostral de Z coincide com a de W.
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário.
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido.
d) A média de Z é a/b.
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem.

74. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de
um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a
tabela de freqüências seguinte:
Classe de mi fi
Preços
[ 5 – 9) 7 3
[ 9 – 13) 11 5
[13 – 17) 15 7
[17 – 21) 19 6
[21 – 25) 23 3
[25 – 29) 27 1

As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da classe de
preços i. Sabendo-se que: Σi(fi mi2) – (Σi fi mi)2 / 25 ≈ 694
assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral.

a) 0,5 (347/3)0.5
b) 6
c) 0,9 (345/3)0.5
d) 28,91
e) 8

75. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de
uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna
Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa
a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os
extremos das classes.
Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100

Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se

∑
7
f Z2
i =1 i i
= 1680 , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de
classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X.

a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30



76. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro,
numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos,
produziu a tabela de freqüências seguinte:

Classes Freqüência
(f)
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X.
a) 16,0 d) 18,1
b) 17,0 e) 13,0
c) 16,6

Bons estudos a todos! Forte abraço!


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