CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO                                          AULA 05      O...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO(TTN-94) Considere a distribuição de freqüências transcr...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO                                    1º)-3    2º)÷2      ...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO     Próximo passo: calcular a Média da Variável Transfo...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO14.   Quer-se estimar o salário médio anual para os empr...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO        3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu soma...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO                    Classes              Fac            ...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO      4º) Calcular a média da variável transformada:   Y...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO      1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio:    ...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a ...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO      3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somató...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO       Pois bem! Se já estamos diante da freqüência abso...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO       Passemos agora a mais teoria! Ainda não terminamo...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO         (Xi-2)2 = {-12, 02, 12, 22, 32} = {1, 0, 1, 4, ...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO       E se trocarmos o valor extremo 5 por, digamos, 50...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO      Isso corrobora a minha tese de que nem só de quest...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO  Moda para Distribuição de Freqüências:       Aqui esta...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO                                             Classes    ...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO       Vou frisar novamente: só usaremos o cálculo da Mo...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO      Vocês perceberam que o conjunto acima tem um númer...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO      A prova do Fiscal da Receita de 1998 cobrou uma qu...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO       No cálculo da mediana de uma distribuição de freq...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO       Traremos essa classe mediana aqui para fora, e no...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOLimites da Classe:       20                            3...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO                                           10           ...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOAssinale a opção que corresponde à estimativa da mediana...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO       Na parte de baixo do desenho, colocaremos as freq...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO      E aí? Fácil, não? Facílimo! E vai ficar ainda mais...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO03.    (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO(AFC-94 ESAF) Para a solução da questão seguinte, utiliz...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOÉ correto afirmar que:   a) 20% dos funcionários recebem...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, consi...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO(AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o ...
CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO23.   Assinale a opção que corresponde ao salário modal ...
Estatistica regular 5
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Estatistica regular 5

2.540 visualizações

Publicada em

0 comentários
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.540
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
4
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
97
Comentários
0
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Estatistica regular 5

  1. 1. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO AULA 05 Olá, amigos! Tudo bem com vocês? E tudo bem com os estudos? Espero que sim! Demos início aos trabalhos, comentando as questões pendentes do nosso... ... Dever de Casa10. (BANCO CENTRAL-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio-padrão era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O salário médio passou a ser de: a) $ 90.000,00 d) $ 99.000,00 b) $ 91.000,00 e) $ 100.000,00 c) $ 95.000,00Sol.: Eis aqui uma questão bastante simples, e que explora uma das propriedades da Média!Senão, vejamos: é dito pelo enunciado que o salário médio era de $90.000,00. Já sabemos que o salário médio corresponde à média dos salários! Após, fala-se que todos os salários – leia-se: todos os elementos do conjunto –receberam um aumento de 10%. Ora, nosso trabalho será um só: traduzir esta informação!Teremos que traduzi-la, obviamente, para uma operação matemática! Aumentar um valor em 10% significa uma operação de quê? Soma? Produto? Quem mediz? Ora, se você na hora da prova ficar na dúvida, basta fazer um teste: trabalhe com saláriosoriginais de cem, duzentos e trezentos reais, e veja no que resulta um aumento de dez porcento: R$100,00, com aumento de 10% vai para: R$110,00 R$200,00, com aumento de 10% vai para: R$220,00 R$300,00, com aumento de 10% vai para: R$330,00 Ora, qual é a mesma operação matemática que fará com que R$100 vire R$110; R$200vire R$220; e R$300 vire R$330? Resposta: multiplicar por 1,10. Assim, podemos convencionar: aumento de x% significa um produto por (1,x). Outras conclusões: Se o aumento fosse de 20%: produto por 1,20. Se o aumento fosse de 30%: produto por 1,30. Se o aumento fosse de 5%: produto por 1,05. Por outro lado, se a informação adicional fosse: Redução de 10%: produto por 0,90. (já que 1-0,10=0,90) Redução de 20%: produto por 0,80. (já que 1-0,20=0,80) Redução de 5%: produto por 0,95. (já que 1-0,05=0,95). E assim por diante! Entendido? Voltando à nossa questão: se todos os elementos do conjunto sofreram um aumento de10%, ou seja, se todos eles foram multiplicados por 1,10, teremos que, de acordo com apropriedade, a nova Média do conjunto será igual à Média anterior também multiplicada pelamesma constante (1,10). Daí: Nova Média = 90.000 x 1,10 = 99.000,00 Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 3
  2. 2. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO(TTN-94) Considere a distribuição de freqüências transcrita a seguir: Xi fi 2 |— 4 9 4 |— 6 12 6 |— 8 6 8 |— 10 2 10|— 12 111. A média da distribuição é igual a: a) 5,27 b) 5,24 c) 5,21 d) 5,19 e) 5,30Sol.: Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências! Vamos, por primeiro, investigar se éfato que todas as classes têm a mesma amplitude. É fato? Sim! Logo, concluímos: podemos usar o Método da Variável Transformada para calcular aMédia do conjunto! Não vamos perder essa oportunidade de treinar o método! Vamos a ele: 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Xi fi PM 2 |— 4 9 3 4 |— 6 12 . 6 |— 8 6 . 8 |— 10 2 . 10|— 12 1 . 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Xi fi PM (PM − 3) = Yi 2 2 |— 4 9 3 0 4 |— 6 12 . 1 6 |— 8 6 . 2 8 |— 10 2 . 3 10|— 12 1 . 4 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Xi Fi PM (PM − 3) = Yi fi.Yi 2 2 |— 4 9 3 0 0 4 |— 6 12 . 1 12 6 |— 8 6 . 2 12 8 |— 10 2 . 3 6 10|— 12 1 . 4 4 n=30 34 4º) Calcular a média da variável transformada: Y 34 Y= = 1,133 30 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações docaminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 4
  3. 3. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 1º)-3 2º)÷2 Xi Yi Y = 1,133 2º)+3 1º)x2 1,133 x 2 = 2,266 e 2,266 + 3 = 5,266 ≅ 5,27 Resposta!(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 Classes de Freqüência Pontos Xi − 37 fi.di fi.di2 fi.di3 fi.di4 Idades s Médios = di (anos) (fi) (Xi) 5 19,5 |— 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162 24,5 |— 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144 29,5 |— 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23 34,5 |— 39,5 29 37 — — — — — 39,5 |— 44,5 18 42 1 18 18 18 18 44,5 |— 49,5 12 47 2 24 48 96 192 49,5 |— 54,5 7 52 3 21 63 189 567 Total 16 206 154 110612. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e)39,0 anosSol.: Esta questão é muito interessante! Uma questão para se aprender bastante! E deresolução quase imediata, conforme veremos. Primeira coisa: as classes têm mesma amplitude? Sim! Logo, usaremos o método davariável transformada para encontrar a Média. Qual o primeiro passo deste método? Encontrar os Pontos Médios! A tabela fornecida naprova já fez isso para nós? Sim. Este passo já está cumprido! E depois, o que faríamos nós? Construiríamos uma coluna de transformação davariável. A questão já fez isso para nós? Sim! A quarta coluna desta tabela é uma coluna detransformação! O detalhe é que ele, elaborador, na hora de construir essa coluna detransformação, não adotou aquela sugestão que nós demos na aula passada [(PM-1ºPM)/h]. Mas não tem problema! Se a questão já nos trouxe pronta uma transformação davariável, nós simplesmente a aceitaremos! Não importa se essa transformação não segue asugestão que aprendemos anteriormente. Essa sugestão você poderá (e deverá) usar quandofor você a construir a coluna de transformação! Entendido? Assim, a coluna de transformação já está pronta, e o Ponto Médio transformado foichamado de di pela prova. Nosso próximo passo seria construir a coluna fi.Yi. No caso, como a prova chamou avariável transformada de di, teríamos que construir a coluna fi.di e encontrar o seu somatório! Mas a tabela também já fez esse trabalho para nós! Que maravilha! Já pegamos obonde andando, e a viagem já está quase toda completa! Vamos apenas complementar nossotrabalho com os passos restantes do método! www.pontodosconcursos.com.br 5
  4. 4. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Próximo passo: calcular a Média da Variável Transformada ( d ). Considerando quen=100, valor esse obtido pela soma da coluna do fi, teremos: 16 di = = 0,16 100 Finalmente, faremos o desenho de transformação da variável e, percorrendo o caminhode volta, descobriremos a resposta: 1º)-37 2º)÷5 Xi di d = 0,16 2º)+37 1º)x5 0,16 x 5 = 0,8 e 0,8 + 37 = 37,8 Resposta! Observem que, acima da tabela, está escrito que essas idades correspondem à data de1º/janeiro/1990. Ok? Isso precisará ser lembrado na resolução da próxima questão! Vamos aela.Para efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresacontinua o mesmo em 1º/1/96.13. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 37,4 anos d) 43,8 anos b) 39,0 anos e) 44,6 anos c) 43,4 anosSol.: Essa é de graça! Ora, se a Média das idades no dia 1º/janeiro/1990 foi de 37,8 anos(resposta da questão anterior), e se foi dito que as pessoas daquele conjunto anterior sãoexatamente as mesmas, só que seis anos mais velhas, iremos concluir que os elementos donosso novo conjunto (as novas idades) foram todos adicionados à constante seis. Concordam? Assim, aplicando a propriedade da Média, teremos que: Nova Média = Média Anterior + constante Nova Média = 37,8 + 6 = 43,8 Resposta!(AFRF-2000) Para efeito da próxima questão faça uso da tabela de freqüênciasabaixo. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68 www.pontodosconcursos.com.br 6
  5. 5. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO14. Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. a) 9,93 d) 10,00 b) 15,00 e) 12,50 c) 13,50Sol.: Aqui temos mais uma questão a ser trabalhada com o Método da Variável Transformada!Porém, antes, teremos que realizar o trabalho preliminar que aprendemos no início desteCurso, com o intuito de descobrir os valores da coluna da fi (freqüência absoluta simples). Vemos, facilmente, que não há nenhum sinal indicativo de freqüência relativa nestatabela (nem no enunciado). Assim, a freqüência fornecida é absoluta! E será acumuladaporque o enunciado está dizendo isso expressamente. Ora, para saber se é acumuladacrescente ou decrescente, basta verificarmos os valores da coluna, para enfim concluirmos queestamos diante da freqüência absoluta acumulada crescente (fac). O trabalho preliminar necessário para construirmos a coluna da fi já é nosso conhecido,de sorte que, sem mais demoras, teremos: Classes de Salário fac fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 18 ( 9 ; 12] 50 20 (12 ; 15] 60 10 (15 ; 18] 65 5 (18 ; 21] 68 3 E agora, sim, aplicaremos o método da variável transformada. Teremos: 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes de fac fi PM Salário ( 3 ; 6] 12 12 4,5 ( 6 ; 9] 30 18 . ( 9 ; 12] 50 20 . (12 ; 15] 60 10 . (15 ; 18] 65 5 . (18 ; 21] 68 3 . 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes de fac fi PM (PM − 4,5) = Yi Salário 3 ( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 ( 6 ; 9] 30 18 . 1 ( 9 ; 12] 50 20 . 2 (12 ; 15] 60 10 . 3 (15 ; 18] 65 5 . 4 (18 ; 21] 68 3 . 5 www.pontodosconcursos.com.br 7
  6. 6. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes de fac fi PM (PM − 4,5) = Yi fi.Yi Salário 3 ( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 0 ( 6 ; 9] 30 18 . 1 18 ( 9 ; 12] 50 20 . 2 40 (12 ; 15] 60 10 . 3 30 (15 ; 18] 65 5 . 4 20 (18 ; 21] 68 3 . 5 15 n=68 123 4º) Calcular a média da variável transformada: Y 34 Y= = 1,81 30 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações docaminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-4,5 2º)÷3 Xi Yi Y = 1,81 2º)+4,5 1º)x3 1,81 x 3 = 5,43 e 5,43 + 4,5 = 9,93 Resposta!(AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue.Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foramexaminados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esseexercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representaintervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüênciarelativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos dasclasses. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 10015. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. a) 140,10 d) 140,00 b) 115,50 e) 138,00 c) 120,00Sol.: Nova questão para aplicarmos o Método da Variável Transformada! Aqui, novamente, oúnico diferencial é que precisaremos novamente cumprir o ritual do trabalho preliminar! Játrabalhamos, inclusive, com esta tabela. Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 8
  7. 7. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10 100% n=200 (x2) E somente agora estamos aptos a iniciar a aplicação do método da variáveltransformada. Teremos: 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes Fac Fi fi PM 70-90 5% 5% 10 80 90-110 15% 10% 20 . 110-130 40% 25% 50 . 130-150 70% 30% 60 . 150-170 85% 15% 30 . 170-190 95% 10% 20 . 190-210 100% 5% 10 . 100% n=200 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes Fac Fi fi PM (PM − 80) = Yi 20 70-90 5% 5% 10 80 0 90-110 15% 10% 20 . 1 110-130 40% 25% 50 . 2 130-150 70% 30% 60 . 3 150-170 85% 15% 30 . 4 170-190 95% 10% 20 . 5 190-210 100% 5% 10 . 6 n=200 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes Fac Fi fi PM (PM − 80) = Yi fi.Yi 20 70-90 5% 5% 10 80 0 0 90-110 15% 10% 20 . 1 20 110-130 40% 25% 50 . 2 100 130-150 70% 30% 60 . 3 180 150-170 85% 15% 30 . 4 120 170-190 95% 10% 20 . 5 100 190-210 100% 5% 10 . 6 60 n=200 580 www.pontodosconcursos.com.br 9
  8. 8. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 4º) Calcular a média da variável transformada: Y 580 Y= = 2,9 200 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações docaminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-80 2º)÷20 Xi Yi Y = 2,9 2º)+80 1º)x20 2,9 x 20 = 58,0 e 58,0 + 80 = 138 Resposta!(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas duaspróximas questões e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes auma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações deY coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 – 39,5 2 39,5 – 49,5 6 49,5 – 59,5 13 59,5 – 69,5 23 69,5 – 79,5 36 79,5 – 89,5 45 89,5 – 99,5 5016. Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de fiscalização da Cia. X. a) 70,0 d) 74,4 b) 69,5 e) 60,0 c) 68,0Sol.: A coluna de freqüências apresentada nesta Distribuição foi, mais uma vez, a dafreqüência absoluta acumulada crescente – fac. Precisamos, assim, realizar o trabalhopreliminar, a fim de construir a coluna da fi – freqüência absoluta simples. Teremos: Classes Fac fi 29,5 – 39,5 2 2 39,5 – 49,5 6 4 49,5 – 59,5 13 7 59,5 – 69,5 23 10 69,5 – 79,5 36 13 79,5 – 89,5 45 9 89,5 – 99,5 50 5 Agora, considerando que todas as classes têm mesma amplitude (h=10), aplicaremos ométodo da Variável Transformada. Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 10
  9. 9. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes fac fi PM 29,5 – 39,5 2 2 34,5 39,5 – 49,5 6 4 . 49,5 – 59,5 13 7 . 59,5 – 69,5 23 10 . 69,5 – 79,5 36 13 . 79,5 – 89,5 45 9 . 89,5 – 99,5 50 5 . 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes Fac fi PM (PM − 34,5) = Yi 10 29,5 – 39,5 2 2 34,5 0 39,5 – 49,5 6 4 . 1 49,5 – 59,5 13 7 . 2 59,5 – 69,5 23 10 . 3 69,5 – 79,5 36 13 . 4 79,5 – 89,5 45 9 . 5 89,5 – 99,5 50 5 . 6 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes fac Fi PM (PM − 34,5) = Yi fi.Yi 10 29,5 – 39,5 2 2 34,5 0 0 39,5 – 49,5 6 4 . 1 4 49,5 – 59,5 13 7 . 2 14 59,5 – 69,5 23 10 . 3 30 69,5 – 79,5 36 13 . 4 52 79,5 – 89,5 45 9 . 5 45 89,5 – 99,5 50 5 . 6 30 N=50 175 4º) Calcular a média da variável transformada: Y 175 Y= = 3,5 50 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações docaminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-34,5 2º)÷10 Xi Yi Y = 3,5 2º)+34,5 1º)x10 3,5 x 10 = 35,0 e 35,0 + 34,5 = 69,5 Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 11
  10. 10. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a solução da próximaquestão utilize o enunciado que segue.A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo saláriomensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classessalariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se aopercentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existemobservações coincidentes com os extremos das classes. Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 10017. Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral calculado a partir de dados agrupados. a) 11,68 b) 13,00 c) 17,21 d) 16,00 e) 14,00Sol.: Vamos mais essa! O enunciado disse que a coluna de freqüências fornecida nesta tabelaé a Fac, freqüência relativa acumulada crescente. Descobrimos que é uma freqüência relativaporque foi usada a palavra percentual. Sabemos que o tipo de freqüência que expressa valorespercentuais é a freqüência relativa. E concluímos que é acumulada por dois motivos: a Factermina sempre com 100%; e o enunciado ainda disse isso expressamente! Assim, antes de aplicarmos o método da variável transformada para cálculo da Média,teremos que fazer o trabalho preliminar, a fim de chegarmos à coluna da freqüência absolutasimples – fi. Teremos: Classes Fac Fi fi 4–8 20% 20% 40 8 – 12 60% 40% 80 12 – 16 80% 20% 40 16 – 20 98% 18% 36 20 – 24 100% 2% 4 100% n=200 Agora, sim, já podemos aplicar o método da variável transformada. Façamos isso! 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes Fac Fi fi PM 4–8 20% 20% 40 6 8 – 12 60% 40% 80 . 12 – 16 80% 20% 40 . 16 – 20 98% 18% 36 . 20 – 24 100% 2% 4 . 100% n=200 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes Fac Fi fi PM (PM − 6) = Yi 4 4–8 20% 20% 40 6 8 – 12 60% 40% 80 . 12 – 16 80% 20% 40 . 16 – 20 98% 18% 36 . 20 – 24 100% 2% 4 . 100% n=200 www.pontodosconcursos.com.br 12
  11. 11. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes Fac Fi fi PM (PM − 6) = Yi fi.Yi 4 4–8 20% 20% 40 6 0 0 8 – 12 60% 40% 80 . 1 80 12 – 16 80% 20% 40 . 2 80 16 – 20 98% 18% 36 . 3 108 20 – 24 100% 2% 4 . 4 16 100% n=200 284 4º) Calcular a média da variável transformada: Y 284 Y= = 1,42 200 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações docaminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-6 2º)÷4 Xi Yi Y = 1,42 2º)+6 1º)x4 1,42 x 4 = 5,68 e 5,68 + 6 = 11,68 Resposta!A próxima questão diz respeito à distribuição de freqüências seguinte associadaao atributo de interesse . X Não existem observações coincidentes com osextremos das classes. Classes Freqüências Simples 0-10 120 10-20 90 20-30 70 30-40 40 40-50 2018. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opção que dá, aproximadamente, a média amostral de Xa) 25,00 b) 17,48 c) 18,00 d) 17,65 e) 19,00Sol.: Essa tabela nos traz uma lição importante! Olhem para os valores da coluna defreqüências que foi trazida na tabela. Os valores estão todos decrescentes, não é verdade? Eainda assim, estamos diante de uma coluna de freqüência simples (fi). Ou seja, não é pelo mero fato de as freqüências estarem sempre diminuindo, queestaremos diante de uma freqüência acumulada decrescente; assim como não será acumuladacrescente pelo mero fato de as freqüências estarem aumentando! Se não for dito que a freqüência é acumulada, resta que será freqüência simples! www.pontodosconcursos.com.br 13
  12. 12. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Pois bem! Se já estamos diante da freqüência absoluta simples e se é fato que todas asclasses têm a mesma amplitude, estamos aptos a aplicar o método da variável transformadapara descobrir o valor da Média do conjunto. Fazendo isso, teremos: 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes fi PM 0-10 120 5 10-20 90 . 20-30 70 . 30-40 40 . 40-50 20 . 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes fi PM (PM − 5) = Yi 10 0-10 120 5 0 10-20 90 . 1 20-30 70 . 2 30-40 40 . 3 40-50 20 . 4 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes fi PM (PM − 5) = Yi fi.Yi 10 0-10 120 5 0 0 10-20 90 . 1 90 20-30 70 . 2 140 30-40 40 . 3 120 40-50 20 . 4 80 n=340 430 4º) Calcular a média da variável transformada: Y 430 Y= = 1,265 340 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações docaminho de volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-5 2º)÷10 Xi Yi Y = 1,265 2º)+5 1º)x10 1,265 x 10 = 12,65 e 12,65 + 5 = 17,65 Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 14
  13. 13. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Passemos agora a mais teoria! Ainda não terminamos o estudo das propriedades daMédia. Vamos fazer isso agora!# Outras Propriedades da Média: Vejamos logo duas propriedades irmãs: A soma dos desvios dos elementos do conjunto em torno da Média é igual azero! Como é isso? Vamos considerar o seguinte conjunto: {1, 2, 3, 4, 5} Qual é a Média desse conjunto? Faremos (1+2+3+4+5)/5=15/5 X =3. Pois bem! O que construiremos agora é o conjunto dos desvios! Desvio é sinônimo dediferença. Daí, vamos construir o conjunto formado pela diferença entre cada elemento Xi doconjunto original e a Média. Teremos: (Xi- X ) = {(1-3), (2-3), (3-3), (4-3), (5-3)} (Xi- X ) = {-2, -1, 0, 1, 2} Fazendo o somatório dos desvios em torno da média, teremos: ∑(Xi- X ) = {(-2)+(-1)+(0)+(1)+(2)}=0 Enfim, esse é o resumo da propriedade: ∑(Xi- X ) = 0 De uma forma resumida, memorizaremos: A soma dos desvios é zero! Só isso! Esta propriedade poderá ser objeto de uma questão teórica, como já foi, emprovas mais antigas. A soma dos quadrados dos desvios dos elementos do conjunto em torno daMédia é um valor mínimo! Essa é de compreensão menos imediata. Mas igualmente fácil. Tomemos novamente o conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}. Já sabemos que a Média é 3. Assim, tomando a média 3 como referência, e construindo o conjunto dos desvios emtorno da média, teremos: (Xi- X ) = {-2, -1, 0, 1, 2} Agora, se elevarmos cada um desses valores ao quadrado, teremos: (Xi- X )2 = {-22, -12, 02, 12, 22} = {4, 1, 0, 1, 4} Fazendo o somatório dos quadrados dos desvios, teremos: ∑(Xi- X ) 2 = {4+1+0+1+4}=10 Este é um valor mínimo! Mínimo por quê? Porque encontraríamos um valor maior que 10, caso percorrêssemostodo esse mesmo trajeto, tendo partido do conjunto dos desvios em torno de uma origemqualquer diferente da Média. Entenderam? Ainda não? Então, escolham um valor qualquer diferente da Média (3) doconjunto. Qualquer valor serve! Pode ser o 2, então? Ok! Lembrem-se que 2 não é a Média doconjunto! Comecemos. Vamos construir o conjunto dos desvios, em torno dessa origem 2.Teremos: (Xi-2) = {(1-2),(2-2), (3-2), (4-2), (5-2)} = {-1, 0, 1, 2, 3} Construindo os quadrados desses desvios, teremos: www.pontodosconcursos.com.br 15
  14. 14. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO (Xi-2)2 = {-12, 02, 12, 22, 32} = {1, 0, 1, 4, 9} Fazendo o somatório dos quadrados desses desvios, teremos: ∑(Xi-2) 2 = {1+0+1+4+9}=15 E 15 é maior que 10. Por quê? Porque 10 é um valor mínimo! Ficou compreendido? Professor, como é que essas duas propriedades podem ser cobradas numa prova?Basicamente, numa questão teórica. Nas provas mais antigas, nos idos dos anos noventa, eramuito comum a presença de questões mais conceituais. Hoje, são questões mais raras,embora nada impeça de você se deparar com uma delas! Então, resumindo essas duas propriedades irmãs, teremos: A soma dos desvios é igual a zero! A soma dos quadrados dos desvios é um valor mínimo! É isso! Há ainda outra propriedade importante da Média que precisamos conhecer: A Média das Médias: Essa propriedade tratará de uma situação em que haverá alguns conjuntos menores.Para cada um desses conjuntos menores, a questão fornecerá o valor do seu número deelementos, e o valor da sua Média. Assim, supondo que estejamos trabalhando com apenasdois conjuntos menores (A e B), teremos, como dados da questão, os seguintes: conjunto A: número de elementos do conjunto A (nA) Média dos elementos do conjunto A ( X A ) conjunto B: número de elementos do conjunto B (nB) Média dos elementos do conjunto B ( X B ) O que nos irá perguntar a questão da prova? Irá nos perguntar o seguinte: sejuntarmos todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, e osunirmos em um só conjunto maior, qual será a Média desse conjunto global? Responderemos a esta pergunta usando a seguinte fórmula: X GLOBAL = [(n .X ) + (n .X )] A A B B (n A + nB ) Trata-se de uma das questões mais fáceis da prova, pois se resume a aplicar a fórmulaacima. Faz-se o copiar-colar e chega-se à resposta! Ok? Virão duas questões que exploram o conhecimento desta propriedade no dever de casaque deixarei nesta aula de hoje. Existe ainda uma informação acerca da Média, e que às vezes, inclusive, é tratada comouma propriedade, que diz o seguinte: A Média é influenciada por valores extremos! O que quer dizer isso? Vejamos o conjunto abaixo: {1, 2, 3, 4, 5} A média desse conjunto, já fizemos esse cálculo hoje, é igual a 3. www.pontodosconcursos.com.br 16
  15. 15. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO E se trocarmos o valor extremo 5 por, digamos, 500? Teremos: {1, 2, 3, 4, 500} A média desse novo conjunto será, feitos os cálculos, igual 102. Houve um grande salto, não é verdade? Sim! E por quê? Porque a média é influenciadapelos valores extremos! Essa propriedade costumava ser mais exigida para efeitos comparativos com outrasmedidas estatísticas, como Moda e Mediana. Assim, mais adiante, voltaremos a falar sobre ela.Ok? Pois bem! Acho que agora já podemos passar a falar na segunda medida de tendênciacentral: a Moda!# MODA: Mo Esse é um dos assuntos prediletos das alunas! Qualquer concurseira de respeito sabeque Moda é aquilo que está em evidência. É isso mesmo? Assim na vida, assim na Estatística. Moda, em sentido estatístico, será aquele elemento que mais aparece no conjunto! Só isso! Nada mais fácil! Vamos aprender a reconhecer a moda de um rol, de dadostabulados e de uma distribuição de freqüências. Vamos lá. Moda do Rol: Analise o conjunto abaixo, e me diga qual é o elemento que se sobressai aos demais: {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 10} Facilmente se vê que o elemento de maior freqüência, aquele que mais aparece noconjunto, é o elemento Xi=3,0. Está terminado! A Moda desse conjunto é 3. Diremos: Mo=3. E não se fala mais nisso! Vocês acham, sinceramente, que a Esaf iria colocar umaquestão como essa em prova? Quem pensou que não errou! Confira a questão abaixo, extraída do AFRF-1998:(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de umaamostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. Aunidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.a) 7 b) 23 c) 10 d) 8 e) 9 Sol.: Vejam que o conjunto foi apresentado na forma de um rol. E seus elementosrepresentam preços. Daí, a questão pede que se calcule o preço modal. Se os elementos representassem salários, a questão pediria o salário modal. Se os elementos representassem pesos, a questão pediria o peso modal. Se representassem idades, a idade modal. E assim por diante! Pois bem! Aqui, usaremos a técnica milenar do dedo. Basta colocar o dedo em cima doselementos do conjunto, e contar, para descobrir aquele que aparece mais vezes que osdemais! Conclusão: o elemento Xi=8 é o que mais aparece. É aquele de maior freqüência. Logo,é a Moda desse conjunto e a resposta da questão! E acreditem: isso valeu um ponto numa prova de Auditor-Fiscal da Receita Federal. www.pontodosconcursos.com.br 17
  16. 16. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Isso corrobora a minha tese de que nem só de questões difíceis se faz uma prova! Também existem as fáceis, as muito fáceis, as facílimas, e as estupidamente bestas! E essas nós não podemos errar, nem em pesadelo. Pois bem. Mais algumas informações: Se o conjunto apresenta uma só moda, será dito conjunto modal. Mas, considere o rol abaixo: {1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9, 10} Quem é a moda desse conjunto? Não é apenas uma, mas são duas: o elemento 2 e oelemento 7. Estamos, pois, diante de um conjunto dito bimodal. E se houver três ou mais modas em um conjunto? Então estaremos diante de umconjunto multimodal. Atente agora para o seguinte conjunto: {1, 2, 3, 4, 5} Quem arrisca dizer qual é a Moda dele? Existe algum elemento que se destaca emrelação aos demais? Um elemento que aparece mais que os outros? Não! Nenhum elemento sedestaca. Daí, concluímos que não há moda neste rol, de sorte que estamos diante de umconjunto amodal. Conclusão: diferentemente da Média Aritmética, que sempre existe e é única, a Modapode existir, pode não existir e, no primeiro caso, pode haver uma, ou duas, ou várias Modasem um mesmo conjunto! Alguma dúvida para a Moda de um rol? Creio que não! Adiante. Moda de Dados Tabulados: Aqui estamos diante do que há de mais fácil neste Curso! Ora, sabemos que a Moda é o elemento de maior freqüência. Assim, diante do conjuntoseguinte, tente dizer qual é o elemento modal: Xi fi 1 2 2 3 3 7 4 5 5 1 Neste caso, de o conjunto estar apresentado na forma de Dados Tabulados, sequerprecisamos aplicar a técnica do dedo. Basta deslizar pela coluna da freqüência absolutasimples (fi), procurando pela maior fi. Ao encontrarmos, saberemos que o elemento Xi a queela se refere será a Moda do conjunto! Assim: Xi fi 1 2 2 3 3 7 4 5 5 1 A Moda do conjunto é 3. Só e somente só! Viram como é fácil? Essa aí nunca caiu em prova, até agora! www.pontodosconcursos.com.br 18
  17. 17. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Moda para Distribuição de Freqüências: Aqui estamos diante de uma questão de prova em potencial. Há dois métodos distintos para calcularmos a Moda de uma Distribuição: A Moda deCzuber e a Moda de King. Precisamos saber que a regra é trabalharmos com o método de Czuber. Dito de outra forma: só calcularemos a Moda de uma distribuição de freqüências pelométodo de King se a questão expressamente o determinar! Ok? Consideremos o seguinte conjunto, supondo que represente os pesos de um grupo decrianças: Classes fi 0-10 2 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 Comecemos aprendendo o cálculo da Moda de Czuber. São dois passos: 1º) Identificar a classe modal. Ora, classe modal é aquela de maior freqüência absoluta simples (maior fi). Só isso!Neste caso, a maior fi é 7, de sorte que a terceira classe será a classe modal. Teremos: Classes fi 0-10 2 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 Até aqui, tudo tranqüilo? Tranqüilíssimo! Pois bem. O segundo passo consiste em: 2º) Aplicar a Equação da Moda de Czuber. É a seguinte: ⎡ ∆a ⎤ Mo = l inf + ⎢ ⎥.h ⎣ ∆a + ∆p ⎦ Observem que os elementos desta fórmula serão extraídos daquela Classe Modal queacabamos de identificar no primeiro passo. Ok? Assim, o limite inferior (linf) a que se refere aequação é o limite inferior da classe modal; a amplitude (h) a que se refere a equação é aamplitude da classe modal. E esses deltas da fórmula, significam o quê? Delta significa diferença. Quando falamos em ∆a estamos nos referindo à diferença anterior. E quando falamosem ∆p estamos nos referindo à diferença posterior. Tanto ∆a quanto ∆p serão calculados com base em um mesmo referencial: a freqüênciaabsoluta simples da classe modal. Assim: ∆a é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior; e ∆p é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe posterior. No caso do nosso exemplo teremos: www.pontodosconcursos.com.br 19
  18. 18. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Classes fi 0-10 2 10-20 4 ∆a=3 20-30 7 30-40 5 ∆p=2 40-50 2 Finalmente, resta-nos aplicar a fórmula de Czuber. E teremos que: ⎡ ∆a ⎤ ⎡ 3 ⎤ Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 20 + ⎢ .10 Mo=26 Resposta! ⎣ ∆a + ∆p ⎦ ⎣3 + 2⎥ ⎦ Pode haver questão mais fácil do que esta? Não pode! E cai na prova, exatamentedesse jeito! Um ponto garantido a mais para nós. Aprendamos agora o cálculo da Moda de King. Em dois passos: 1º) Identificar a Classe Modal. Já sabemos fazer isso: a classe modal é sempre aquela de maior freqüência absolutasimples! 2º) Aplicar a equação de King, que é a seguinte: ⎡ fp ⎤ Mo = l inf + ⎢ ⎥.h ⎣ fp + fa ⎦ Os dados da equação da Moda de King serão também extraídos da Classe Modal. Assim: linf se referirá ao limite inferior da classe modal; h é a amplitude da classemodal. E estas fp e fa, o que são? São, respectivamente: fp: freqüência absoluta simples da classe posterior à da classe modal; e fa: freqüência absoluta simples da classe anterior à da classe modal. Nesta fórmula não calcularemos deltas, ou seja, não faremos diferenças. Tomaremos aspróprias freqüências simples, a anterior e a posterior à fi da classe modal. Assim, para o nosso exemplo, teremos que: Classes fi 0-10 2 10-20 4 fa 20-30 7 30-40 5 fp 40-50 2 Daí: ⎡ fp ⎤ ⎡ 5 ⎤ Mo = l inf + ⎢ ⎥.h Mo = 20 + ⎢ .10 Mo=25,56 Resposta! ⎣ fp + fa ⎦ ⎣4 + 5⎥ ⎦ Quero chamar atenção para um detalhe: na Moda de Czuber (que é a regra!), onumerador do colchete é o ∆a, enquanto o numerador da Moda de King é a fp. Perceberamisso? Não pode errar a fórmula, senão a questão está perdida! www.pontodosconcursos.com.br 20
  19. 19. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Vou frisar novamente: só usaremos o cálculo da Moda de King se a questão mandarexpressamente. Se ela não o fizer, trabalharemos com a Moda de Czuber, que é a moda dosdeltas, que é a regra! Ok? Vamos dar uma olhadinha no rol abaixo: {1, 2, 2, 3} Quem é a Moda deste rol? É 2. Concordam? E se tomarmos cada elemento desteconjunto original e os somarmos à constante 10, por exemplo, o que ocorrerá? Passaremos ater um novo conjunto. O seguinte: {11, 12, 12, 13} Quem é a nova Moda? É 12. E nem precisávamos ter feito este cálculo, uma vez queexiste uma propriedade que afirma que: somando todos os elementos do conjunto a umamesma constante, a nova moda será a anterior também somada àquela constante! E se serve para soma, serve também para subtração! Tomemos novamente o conjunto original. E se multiplicarmos cada elemento daqueleconjunto pela constante 10, o que ocorreria? Chegaríamos ao seguinte conjunto: {10, 20, 20, 30} E a nova Moda é 20, como já poderíamos prever. Sim! Pois há uma propriedade,segundo a qual: multiplicando todos os elementos de um conjunto original por uma mesmaconstante, a nova moda será a anterior também multiplicada pela mesma constante! E se serve para multiplicação, serve também para divisão! Resumo da história: a Moda, a exemplo da Média Aritmética, também é influenciadapelas quatro operações! Agora voltemos ao nosso conjunto primeiro: {1, 2, 2, 3} Se trocarmos o elemento 3 por 300, o que ocorrerá? Teremos um novo conjunto: {1, 2, 2, 300} A Moda deste conjunto mudou, em relação a que era antes? Não, permaneceu amesma (Mo=2). Conclusão: a Moda não é influenciada por valores extremos! E nesteparticular, a Moda diferencia-se da Média, conforme já vimos anteriormente! Já podemos passar ao estudo da terceira medida de tendência central: a Mediana!Vamos a ela.# Mediana: Md Como o próprio nome pode sugerir, a Mediana é aquele elemento que estárigorosamente no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais, ou seja, em duasmetades! O cálculo da Mediana é quase sempre uma questão certa na prova! Uma questão quenão podemos e não iremos errar de jeito nenhum! Mediana para o Rol: Consideremos o seguinte conjunto: {10, 20, 30, 40, 50} Só olhando, seremos capazes de dizer qual é o elemento que está no meio desteconjunto? Claro! É o elemento 30. Concordam? Ficaram dois elementos à sua direita, e dois àsua esquerda. Ele está, portanto, no meio do conjunto. E sendo assim, é a Mediana! {10, 20, 30, 40, 50} Md=30 www.pontodosconcursos.com.br 21
  20. 20. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Vocês perceberam que o conjunto acima tem um número ímpar de elementos. Para ele,temos que n=5. Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que o conjunto tiver um número ímpar deelementos, significa que só haverá uma posição central. E o elemento que ocupar esta posição central será a própria Mediana do conjunto! Há um cálculo que podemos fazer para descobrir qual é a posição central, no caso de oconjunto apresentar um número ímpar de elementos. Este cálculo é o seguinte: Posição Central = (n+1)/2 Isto é para quando n for um número ímpar! Reparem bem que o resultado desta conta não é a Mediana do conjunto, e sim a suaposição central. O elemento que ocupar esta posição central será, este sim, a Mediana. No nosso exemplo, tínhamos n=5. (Um número ímpar, o que indica a existência deuma única posição central)! Assim, faremos: (n+1)/2=(5+1)/2=3ª Posição! Esta é a posição central do conjunto! Daí, usando novamente a técnica milenar dodedo, você vai contar as posições do conjunto, até chegar à terceira. O elemento que a ocuparserá a Mediana que estamos procurando! Teremos: {10, 20, 30, 40, 50} 3ª Posição Md=30 E se o conjunto tiver um número par de elementos? Aí a história é outra. Vejamos. Senosso conjunto for o seguinte: {10, 20, 30, 40, 50, 60} Quantos elementos há? Seis elementos. Temos, pois: n=6. Um número par deelementos! Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um número par deelementos no conjunto, significa que haverá duas posições centrais! Estas posições centrais poderão ser encontradas da seguinte forma: 1ª Posição Central: (n/2) 2ª Posição Central: a vizinha posterior. Neste caso, em que n=6, teremos: 1ª Posição Central: (n/2)=6/2= 3ª Posição! 2ª Posição Central: a vizinha posterior = 4ª Posição! As duas posições centrais estão, portanto, identificadas. Resta descobrir quais são osdois elementos que as ocupam. E vejam o que será feito para calcularmos a Mediana.Teremos: {10, 20, 30, 40, 50, 60} 4ª Posição 30 Md=(30+40)/2 Md=35, 3ª Posição 40 Ou seja, se n é um número par, descobriremos quais são os dois elementos queocupam as duas posições centrais, somaremos esses elementos e dividiremos o resultadodesta soma por dois. Assim, chegaremos à Mediana do conjunto! Ficou evidenciado neste exemplo que a Mediana não necessariamente terá que ser umdos elementos do conjunto! Viram? Esse valor 35 não é um dos elementos! E no entanto é aMediana! www.pontodosconcursos.com.br 22
  21. 21. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO A prova do Fiscal da Receita de 1998 cobrou uma questão para se determinar aMediana de um rol. Fazendo uma pequena e irrelevante adaptação, foi o seguinte:(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos deuma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valoresinternacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23Assinale a opção que corresponde à mediana:a) 9,0 b) 9,5 c) 8,0 d) 8,5 e) 10Sol.: Estamos diante de um rol de 50 elementos. Portanto, n=50, que é um número par! Se né um número par, teremos duas posições centrais, que serão, respectivamente: 1ª Posição Central: (n/2)=50/2= 25ª Posição 2ª Posição Central: a vizinha posterior = 26ª Posição Sabendo disso, e usando a milenar técnica do dedo, contaremos os elementos, parasaber quais deles ocupam estas duas posições centrais. Vamos lá: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Os dois elementos que ocupam as duas posições centrais são, ambos, iguais a 9. Nemprecisaremos perder tempo somando-os e dividindo o resultado por dois. Concordam? Basta dizer que a Mediana é igual a 9 e pronto! Daí: Md=9 Resposta! Acreditem-me: isto valeu um ponto numa prova de Fiscal da Receita! Vou dar um pequeno salto, e ensinar logo o cálculo da Mediana para uma Distribuiçãode Freqüências. Ok? Numa outra ocasião eu retorno e ensino a mediana para dados tabulados.Pode ser? (Vamos ganhar um pouquinho de tempo!).# Mediana para Distribuição de Freqüências: Esta, sim, é questão quase certa na sua prova! Consideremos o seguinte conjunto: Classes fi 0-10 2 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 Se ele representa, suponhamos, os pesos de um grupo de crianças, então a questão lhepedirá que encontre o peso mediano; se fossem idades, a questão pediria a idade mediana; sefossem salários, o salário mediano. E assim por diante! O primeiro passo é identificar a Classe Mediana! Para isso, trilharemos o seguinte caminho: Calcular a fração da Mediana: (n/2). www.pontodosconcursos.com.br 23
  22. 22. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO No cálculo da mediana de uma distribuição de freqüências, não faz nenhuma diferençase n é par ou é ímpar. Seja como for, o nosso cálculo será sempre esse mesmo: (n/2). Construirmos a coluna da fac (freqüência absoluta acumulada crescente). Compararemos os valores da fac com o resultado da fração da mediana (n/2),fazendo a seguinte pergunta: Esta fac é maior ou igual a (n/2)? Começaremos a fazer esta pergunta desde a fac da primeira classe (lá em cima) e arepetiremos, descendo fac por fac, até que a resposta seja SIM. Quando a resposta for sim, pararemos, procuraremos a classe correspondente, e estaserá a nossa Classe Mediana. Vamos fazer isso? Teremos: Classes fi 0-10 2 10-20 4 20-30 7 30-40 5 40-50 2 n=20 n/2 = 10 Agora, construindo a fac, teremos: Classes fi fac 0-10 2 2 10-20 4 6 20-30 7 13 30-40 5 18 40-50 2 20 n=20 Fazendo a pergunta, teremos: Classes fi fac 0-10 2 2 2 é maior ou igual a 10? Não! (Adiante!) 10-20 4 6 6 é maior ou igual a 10? Não! (Adiante!) 20-30 7 13 13 é maior ou igual a 10? SIM! (PARAMOS AQUI!) 30-40 5 18 40-50 2 20 n=20 E a terceira classe é a nossa classe mediana! Uma vez conhecedores da Classe Mediana, faremos com ela um desenho! Vejamos novamente nosso conjunto: Classes fi fac 0-10 2 2 10-20 4 6 20-30 7 13 Classe Mediana! 30-40 5 18 40-50 2 20 n=20 www.pontodosconcursos.com.br 24
  23. 23. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Traremos essa classe mediana aqui para fora, e nosso desenho será construído daseguinte maneira: Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites da classe. Teremos:Limites da Classe: 20 30 Até aqui, tudo bem? Na parte de baixo do desenho, colocaremos as freqüências absolutas acumuladascrescentes (fac) associadas a esses dois limites! Como assim? Vejamos: se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até olimite inferior 20, o que você responderá? Veja o conjunto novamente: Classes Fi Fac 0-10 2 2 10-20 4 6 20-30 7 13 30-40 5 18 40-50 2 20 n=20 Teremos acumulado 6 elementos, concordam? E se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o limite superior 30, oque você dirá? Vejamos no conjunto: Classes Fi Fac 0-10 2 2 10-20 4 6 20-30 7 13 30-40 5 18 40-50 2 20 Teremos acumulado 13 elementos! Conclusão: na hora de identificar as freqüências acumuladas associadas aos dois limitesda classe mediana, estas fac serão, sempre e respectivamente, a fac da classe anterior, e afac da própria classe mediana! Assim, complementando nosso desenho, teremos:Limites da Classe: 20 30fac associadas: 6 13 Faltando quase nada para terminarmos o desenho! Agora perguntaremos: qual é a posição da Mediana? É o resultado da fração (n/2).Quanto? 10. Pois bem! Esse 10 corresponde à posição, e posição corresponde à freqüênciaacumulada. Assim, localizaremos a décima posição do conjunto na parte de baixo do desenho.Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 25
  24. 24. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOLimites da Classe: 20 30fac associadas: 6 10 13 Ora, a esta décima posição corresponde qual elemento dentro da classe? Corresponde àMediana. Assim, concluiremos o desenho, fazendo:Limites da Classe: 20 Md 30fac associadas: 6 10 13 É preciso agora que você releia com calma os passos necessários à feitura destedesenho acima. À primeira vista, parece ser complicado. Mas não é! Quando nos habituarmosa trabalhar com ele, estejam certos de que se tornará facílimo! Uma vez diante deste desenho, marcaremos o pedaço da classe que vai do limiteinferior até a Mediana, e procuraremos por quatro valores. Os seguintes:Limites da Classe: 20 Md 30fac associadas: 6 10 13 Encontrando estes quatro valores, teremos: www.pontodosconcursos.com.br 26
  25. 25. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 10 XLimites da Classe: 20 Md 30fac associadas: 6 10 13 4 7 Os quatro valores encontrados preencherão os quatro espaços de uma igualdade entreduas frações. Uma dessas frações será composta pelos valores referentes à classe inteira. E asegunda delas, pelos valores referentes à classe quebrada! Teremos: 10 x 7 4 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4x10)/7 X=5,71 Agora, resta-nos olhar para o desenho, e constataremos que para chegar à Mediana,teremos que somar o limite inferior ao X que acabamos de calcular. Teremos: Md=20+X Md=20+5,71 Md=25,71 Resposta! Façamos mais um exemplo: uma questão recente de AFRF.(AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado quesegue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra detamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela defreqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 www.pontodosconcursos.com.br 27
  26. 26. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOAssinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04 d) 68,08 b) 65,02 e) 70,02 c) 75,03Sol.: A questão pediu o cálculo da Mediana da Distribuição de Freqüências. Vamos fazer issoapenas seguindo os passos que aprendemos acima, como se estivéssemos seguindo umareceita de bolo. Não tem errada! Vamos: 1º) Encontrar o valor do n (somando a coluna da fi) e calcular a fração da Mediana(n/2). Teremos: Classes fi 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 n=100 (n/2)=50 2º) Construir a coluna da fac (freqüência absoluta acumulada crescente): Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 39,5-49,5 8 12 49,5-59,5 14 26 59,5-69,5 20 46 69,5-79,5 26 72 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100 n=100 3º) Comparar os valores da fac com o valor da fração da Mediana (n/2), fazendo avelha pergunta: esta fac é maior ou igual a (n/2)? até que a resposta seja sim! Classes fi fac 29,5-39,5 4 4 4 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!) 39,5-49,5 8 12 12 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!) 49,5-59,5 14 26 26 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!) 59,5-69,5 20 46 46 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!) 69,5-79,5 26 72 72 é maior ou igual a 50? SIM! (PARAMOS AQUI!) 79,5-89,5 18 90 89,5-99,5 10 100 n=100 Com esses passos iniciais, conseguimos identificar qual é a Classe Mediana (69,5-79,5). Resta-nos preparar o desenho, para cálculo da Mediana! Comecemos com a parte de cima do desenho, onde colocaremos os limites da ClasseMediana. Teremos:Limites da Classe: 69,5 79,5 www.pontodosconcursos.com.br 28
  27. 27. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Na parte de baixo do desenho, colocaremos as freqüências absolutas acumuladascrescentes associadas àqueles dois limites. Já sabemos: serão sempre a fac da classeanterior e a fac da própria classe mediana. Teremos:Limites da Classe: 69,5 79,5fac associadas: 46 72 Quase lá! Qual é a posição da Mediana neste conjunto? É o resultado da fração: 50.Assim, associada à posição 50 teremos a Mediana. Nosso desenho completo é o seguinte:Limites da Classe: 69,5 Md 79,5fac associadas: 46 50 72 Uma vez que o desenho já está completo, iremos à procura de quatro valores.Faremos: 10 XLimites da Classe: 69,5 Md 79,5fac associadas: 46 50 72 4 26 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 10 x 26 4 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4x10)/26 X=1,54 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana aovalor do X que acabamos de calcular. Teremos: Md=69,5+1,54 Md=71,04 Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 29
  28. 28. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO E aí? Fácil, não? Facílimo! E vai ficar ainda mais quando você praticar, resolvendo váriasquestões de provas recentes! Convém que você repita as resoluções até que esses passos fiquem todosautomatizados em sua mente. Na hora da prova, é só ligar o piloto automático e sairresolvendo a questão sem dificuldade alguma! Mais algumas informações. Considere o seguinte conjunto: {1, 2, 3} A Mediana, todos concordam, é Md=2. Se somarmos os elementos deste conjunto com a constante 10, teremos: {11, 12, 13} E a nova mediana é 12. Ou seja, valeu aqui também para a Mediana a propriedade dasoma (e da subtração)! Se multiplicarmos todos os elementos do conjunto original por 10, teremos: {10, 20, 30} A nova mediana é 20. Vale também para a Mediana a propriedade do produto (e dadivisão)! Em suma: a Mediana também é influenciada pelas quatro operações! Se você trocar 3 por 300, nosso conjunto original agora será: {1, 2, 300} E a Mediana continuará a ser 2. Ou seja, a Mediana, assim como a Moda (ediferentemente da Média), não é influenciada por valores extremos! Certo? Ótimo! Há ainda mais a se falar acerca das três medidas de tendência central. Mas eucreio que por hoje já temos um considerável número de informações para assimilar. Concordam? Fiquem então com o nosso... ... Dever de Casa:01. (AFPS-2002/ESAF) Assinale a opção que dá o valor de “a” para o qual a ∑i =1 ( xi − a) = 0 n equação é sempre verdadeira. a) A média dos valores x. b) A mediana dos valores x. c) A moda dos valores x. d) O desvio padrão dos valores x. e) O coeficiente de assimetria dos valores x.02. (TCDF-95) Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$500,00. Os salários médios pagos aos empregados dos sexos masculino e feminino são de R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Então, nessa empresa: a) o número de homens é o dobro do número de mulheres. b) O número de homens é o triplo do número de mulheres. c) O número de homens é o quádruplo do número de mulheres. d) O número de mulheres é o triplo do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. www.pontodosconcursos.com.br 30
  29. 29. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO03. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta.a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.04. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.a) 7 b) 23 c) 10 d) 8 e) 905. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) Dados os conjuntos de valores:A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10}B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9, 10}Em relação à moda, afirmamos que:I – A é unimodal e a moda é 8II – B é unimodal e a moda é 9III – C é bimodal e as modas são 4 e 9Então, em relação às afirmativas, é correto dizer que: a) Todas são verdadeiras b) Todas são falsas c) Somente I e II são verdadeiras d) Somente I e III são verdadeiras e) Somente II e III são verdadeiras06. (Controlador de arrecadação RJ 2004 FJG ) Em uma fila, oito pessoas esperaram, em minutos, os seguintes tempos para serem atendidas: 8, 11, 5, 14, 16, 11, 8 e 11. O tempo mediano de espera, em minutos, é: A) 11 B) 13 C) 15 D) 1707. (ANAL. FIN. E CONT. GDF-94) Os valores (em 1000 URVs) de 15 imóveis situados em uma determinada quadra são apresentados a seguir, em ordem crescente: 30, 32, 35, 38, 50, 58, 64, 78, 80, 80, 90, 112, 180, 240 e 333. Então, a mediana dos valores destes imóveis é: a) 78 c) 80 b) 79 d) 10008. (ESAF/TTN) Assinale a opção correta. a) A moda é uma medida de posição que permite dividir a distribuição em duas partes de igual freqüência. b) A média harmônica é a média geométrica dos inversos das determinações da variável. c) A média aritmética não é influenciada pelos valores extremos da distribuição. d) A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da distribuição. e) A moda, a mediana e a média aritmética são expressas na mesma unidade de medida da variável a que se referem. www.pontodosconcursos.com.br 31
  30. 30. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO(AFC-94 ESAF) Para a solução da questão seguinte, utilize a série estatísticaabaixo: 2 5 7 13 3 6 9 13 3 6 11 13 4 6 11 13 4 7 12 1509. Os valores da mediana e da moda da série são, respectivamente: a) 4 e 15 b) 7 e 12 c) 6 e 13 d) 7 e 13 e) 9 e 1310. (TTN-94) Marque a alternativa correta: a) O intervalo de classe que contém a moda é o de maior freqüência relativa acumulada (crescentemente). b) A freqüência acumulada denominada “abaixo de” resulta da soma das freqüências simples em ordem decrescente. c) Em uma distribuição de freqüências existe uma freqüência relativa acumulada unitária, ou no primeiro, ou no último intervalo de classe. d) O intervalo de classe que contém a mediana é o de maior freqüência absoluta simples. e) Os intervalos de classe de uma distribuição de freqüência têm o ponto médio eqüidistante dos limites inferior e superior de cada classe e sua amplitude ou é constante ou guarda uma relação de multiplicidade com a freqüência absoluta simples da mesma classe.11. (ESAF/TTN) Dado o gráfico abaixo, onde fi é a freqüência simples ou absoluta da i-ésima classe, então: fi 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 idades a) a moda se encontra na 4o classe e é igual a 9; b) o número de observações é 42; c) como a distribução é assimétrica, moda=média=mediana; d) a freqüência acumulada crescente da 3ª classe é 20; 7 e) ∑ fi = 48 . i =112. (FISCAL DO TRABALHO-94) O levantamento de dados sobre os salários de 100 funcionários de uma determinada empresa forneceu os seguintes resultados: Quantidade de Quantidade de salários mínimos funcionários 2 |— 4 25 4 |— 6 35 6 |— 8 20 8 |— 10 15 10|— 12 5 Total 100 www.pontodosconcursos.com.br 32
  31. 31. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOÉ correto afirmar que: a) 20% dos funcionários recebem acima de 6 salários mínimos b) a mediana é 7 salários mínimos c) 60% dos funcionários recebem menos que 6 salários mínimos d) o salário médio é de 7 salários mínimos e) 80% dos funcionários recebem de 6 a 8 salários mínimos(TTN-94) Considere a distribuição de freqüências transcrita a seguir: Xi fi 2 |— 4 9 4 |— 6 12 6 |— 8 6 8 |— 10 2 10|— 12 113. A mediana da distribuição é igual a: a) 5,30kg b) 5,00kg c) um valor inferior a 5kg d) 5,10kg e) 5,20kg14. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) As distâncias, em milhares de quilômetros, percorridas em um ano pelos 20 táxis de uma empresa, estão representadas no quadro seguinte: Distâncias Número de Táxis 45 |— 55 3 55 |— 65 7 65 |— 75 4 75 |— 85 5 85 |— 95 1 TotalNestas condições, é correto afirmar que a mediana dessa distribuição, emmilhares de quilômetros é: a) 57 b) 61 c) 65 d) 69 e) 7315. (AFTN/1994) Com relação à distribuição de freqüências abaixo, podemos dizer que a mediana e a moda: classes fi 2 |— 4 7 4 |— 6 9 6 |— 8 18 8 |—10 10 10 |— 12 6 Total a) Têm valor superior ao da média aritmética b) Têm valor inferior ao da média aritmética c) Têm o mesmo valor d) Diferem por um valor igual a 10% da média aritmética e) Diferem por um valor superior a 10% da média aritmética. www.pontodosconcursos.com.br 33
  32. 32. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 Classes de Freqüência Pontos Xi − 37 fi.di fi.di2 Fi.di3 fi.di4 Idades s Médios = di (anos) (fi) (Xi) 5 19,5 |— 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162 24,5 |— 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144 29,5 |— 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23 34,5 |— 39,5 29 37 — — — — — 39,5 |— 44,5 18 42 1 18 18 18 18 44,5 |— 49,5 12 47 2 24 48 96 192 49,5 |— 54,5 7 52 3 21 63 189 567 Total 16 206 154 110616. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 35,49 anos b)35,73 anos c) 35,91 anos d)37,26 anos e)38,01 anos17. Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 1º/1/90. a) 35,97 anos d) 37,03 anos b) 36,26 anos e) 37,31 anos c) 36,76 anosPara efeito das duas questões seguintes, sabe-se que o quadro de pessoal daempresa continua o mesmo em 1º/1/96.18. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/96. a) 35,49 anos c) 41,49 anos e) 43,26 anos b) 36,44 anos d) 41,91 anos(AFRF-2000) Para efeito das duas próximas questões faça uso da tabela defreqüências abaixo. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 6819. Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências. a) 12,50 d) 12,00 b) 9,60 e) 12,10 c) 9,00 www.pontodosconcursos.com.br 34
  33. 33. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO(AFRF-2002) Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue.Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foramexaminados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esseexercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representaintervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüênciarelativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos dasclasses. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 10020. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil (= Mediana) da distribuição de X. a) 138,00 d) 139,01 b) 140,00 e) 140,66 c) 136,67(AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado quesegue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra detamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela defreqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 1021. Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. d) 71,04 d) 68,08 e) 65,02 e) 70,02 f) 75,0322. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a) 69,50 b) 73,70 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas duaspróximas questões e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes auma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações deY coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 - 39,5 2 39,5 - 49,5 6 49,5 - 59,5 13 59,5 - 69,5 23 69,5 - 79,5 36 79,5 - 89,5 45 89,5 - 99,5 50 www.pontodosconcursos.com.br 35
  34. 34. CURSO ONLINE REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO23. Assinale a opção que corresponde ao salário modal anual estimado para o departamento de fiscalização da Cia. X, no conceito de Czuber. a) 94,5 d) 69,7 b) 74,5 e) 73,8 c) 71,024. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de freqüências seguinte: Classe de mi fi Preços [ 5 – 9) 7 3 [ 9 – 13) 11 5 [13 – 17) 15 7 [17 – 21) 19 6 [21 – 25) 23 3 [25 – 29) 27 1Deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinalea opção que melhor aproxima este valor.a) 16 b) 19 c) 17 d) 11 e) 14,225. (Fiscal-Campinas-2002) Dada a distribuição de freqüência abaixo, indique o valor da Moda e Mediana, respectivamente Classes Fi 4|—6 12 6|—8 36 8|—10 18 10|—12 4 a) 7,14 7,28 d) 5,84 7,5 b) 6,54 5,78 e) 6,24 6,78 c) 7,24 6,3826. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas. Classes de Salário Freqüências (5.000-6.500) 12 (6.500-8.000) 28 (8.000-9.500) 52 (9.500-11.000) 74 (11.000-12.500) 89 (12.500-14.000) 97 (14.000-15.500) 100Assinale a opção que corresponde ao salário mediano a) R$ 10.250, b)R$ 8.000, c) R$ 8.700, d)R$ 9.375, e) R$ 9.500,(Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a solução das trêspróximas questões utilize o enunciado que segue.A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo saláriomensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classessalariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se aopercentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existemobservações coincidentes com os extremos das classes. www.pontodosconcursos.com.br 36

×