Estatistica regular 12

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Estatistica regular 12

  1. 1. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO AULA 12 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS, ASSIMETRIA E CURTOSE Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Antes de mais nada, quero desejar a todos vocês um ano novo realmente muito feliz!Que 2007 venha cheio de renovação das nossas forças e nossas energias, e de muita saúde,sobretudo, para que tenhamos coragem de enfrentar todos os desafios da vida, e superar todasas dificuldades, com a ajuda de Deus! Aliás, 2007 está prometendo ser um ano de muitos e bons concursos públicos! Muitasvagas serão preenchidas no serviço público, e uma delas, certamente, será sua! Já pensou, quemaravilha! A fila da aprovação vai andar a passos largos no ano que está nascendo, e sua vezde passar se aproxima a cada dia! Eu não tenho nenhuma dúvida disso! Pois bem. Voltemos à Estatística. Fazendo a revisão das questões propostas para onosso Curso, tomei um susto, pois vi que houve um salto nos enunciados dos assuntos:Momentos Estatísticos, Assimetria e Curtose. Mas não tem problema: veremos agora! Na verdade, estes três assuntos foram retirados do programa do AFRF no último edital,o de dezembro de 2005. Mas, como sempre foram objeto da prova do Fiscal da Receita (em1996, 1998, 2001, 2002-1, 2002-2 e 2003), é inteiramente possível que retornem ao próximoconcurso! Nada impede! Assim, parece-me muito conveniente que aprendamos logo! Não é verdade? Sobretudoem se tratando de assuntos de compreensão tão fácil. Vamos lá, então!# Momentos Estatísticos: Quem tenta estudar esse assunto por livros acadêmicos, em geral, faz uma salada nacabeça. A primeira confusão é que o leitor acaba por não entender o que significa esse tal demomento. Ou seja, não entende para que ele serve ou a que se aplica. Então, para tentar dirimir qualquer espécie de atrapalho, simplifiquemos: o momentoestatístico é apenas uma fórmula, a qual será utilizada, eventualmente, no estudo de dois outrosassuntos: Assimetria e Curtose! Ora, quando formos estudar, ainda hoje, a Assimetria e a Curtose, você irá compreenderperfeitamente o que ambos significam. E o momento? O momento é, repito, meramente uma fórmula, que se fará necessária aoscálculos de assimetria e curtose. Resumindo: o momento é um assunto meio, para chegamos aos dois assuntos fim:assimetria e curtose. Ok? Só isso! Você não vai pegar no Momento. Não vai senti-lo. Vai simplesmente aplicá-lo.Ok? Assim, a respeito deste tema – Momentos Estatísticos – só precisaremos conhecer afórmula, e mais adiante veremos quando ela será aplicada. Mais nada! A rigor, existem três tipos de momentos estatísticos. Porém, para efeito de resolução deuma questão de prova, só iremos aplicar um deles. É o seguinte. www.pontodosconcursos.com.br 1
  2. 2. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO# Momento Centrado na Média Aritmética: É este o tipo de Momento que precisamos conhecer, e bem. Será exatamente ele queencontraremos nas nossas fórmulas de Assimetria e Curtose. Vejamos como se calcula esteMomento para rol, dados tabulados e distribuição de freqüências. Teremos: Para o rol: Usaremos o seguinte: ∑ (Xi − X ) r mr = n Se durante nossa prova precisarmos determinar o Momento de Ordem 2 Centrado naMédia, para um determinado conjunto, como ficaria nossa fórmula? Da seguinte forma: ∑ (Xi − X ) 2 m2 = n Agora olhemos bem para a fórmula acima. É semelhante a uma medida que jáconhecemos, que é justamente a Variância. Daqui, extraímos mais esta conclusão: O Momentode Segunda Ordem Centrado na Média Aritmética de um conjunto é o mesmo que a suaVariância. Em praticamente todas as questões de prova de estatística, quando eventualmenteprecisarmos trabalhar com o cálculo do Momento, o faremos quando o conjunto vierapresentado sob a forma de uma Distribuição de Freqüências. Então, vamos ganhar tempo eapresentar as outras fórmulas, deixando os exemplos para o caso da Distribuição deFreqüências. Para Dados Tabulados: Teremos que: ∑ (Xi − X ) . fi r mr = n Creio que todos já tenham percebido: da fórmula do momento para um rol para afórmula dos dados tabulados, seguimos aquela nossa velha conhecida transição! A mesmatransição que usamos para memorizar cálculos da média, do desvio absoluto, do desvio padrão,da variância etc. A mesma transição, obviamente, vai-se verificar também na transição da fórmula dosdados tabulados para a da distribuição de freqüências. Teremos: Para Distribuição de Freqüências: ∑ (PM − X ) . fi r mr = nObservação: Notemos que as fórmulas dos Momentos não sofrem a Correção de Bessel.Recordando um pouco, a correção de Bessel nada mais é do que o “menos 1”, colocado nodenominador das fórmulas do Desvio-Padrão e da Variância, quando o conjunto trazido pelaquestão representar uma amostra. Portanto, não esqueçamos disso: Correção de Bessel ésomente para Desvio Padrão (S) e para Variância (S2). www.pontodosconcursos.com.br 2
  3. 3. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOExemplo: Consideremos o conjunto abaixo. Xi fi 0 -- 4 1 4 -- 8 2 8 --12 2 12 -- 16 1 Determinemos o valor do Terceiro Momento Centrado na Média para o conjunto acima.Sol.: Para o que a questão solicitou, nossa fórmula será a seguinte: ∑ (PM − X ) . fi 3 m3 = n Ora, como o Momento será centrado na Média, o primeiro passo será, necessariamente,calcular o X. A pergunta: para essa distribuição de freqüências apresentada, precisaremos fazer contaspara determinar o valor da Média? Percebamos que se trata de uma distribuição simétrica. Daí, sem maiores dificuldades, encontramos que: X = 8 . Como próximo passo, construiremos a coluna dos Pontos Médios (PM). Teremos,portanto: Xi Fi PM 0–4 1 2 4 -- 8 2 6 8 --12 2 10 12 -- 16 1 14 Na seqüência, encontraremos a coluna (PM- X ). Teremos: Xi fi PM (PM- X ) 0 -- 4 1 2 -6 4 -- 8 2 6 -2 8 --12 2 10 2 12 -- 1 14 6 16 Prosseguindo, encontraremos a coluna [(PM- X )3]. Ficaremos com: Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )3 0 -- 4 1 2 -6 -216 4 -- 8 2 6 -2 -8 8 --12 2 10 2 8 12 -- 16 1 14 6 216 Observemos que não é preciso “decorar” esta seqüência de passos. Basta olharmos paraa fórmula – que será nossa guia – e veremos o que já dispomos e o que precisamos encontrar.Daí, saberemos imediatamente qual será nosso passo seguinte. O que nos falta agora é acharmos a coluna do [(PM- X )3.fi] e determinarmos seusomatório. Teremos, portanto: www.pontodosconcursos.com.br 3
  4. 4. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )3 (PM- X )3.fi 0 -- 4 1 2 -6 -216 -216 4 -- 8 2 6 -2 -8 -16 8 --12 2 10 2 8 16 12 -- 16 1 14 6 216 216 n=6 0 Finalmente, aplicando a fórmula do Terceiro Momento, teremos: ∑ (PM − X ) . fi 3 0 m3 = m3 = =0 Resposta! n 6Exemplo: Para o mesmo conjunto abaixo, determinemos o valor do Momento Centrado naMédia de Ordem 4. Eis o conjunto: Xi fi 0 -- 4 1 4 -- 8 2 8 --12 2 12 -- 16 1 Nossa fórmula adaptada seria a seguinte: ∑ (PM − X ) . fi 4 m4 = n Uma vez que se trata do mesmo conjunto do exemplo anterior, saltaremos aqui ospassos iniciais e apresentaremos já a coluna do (PM- X ). Teremos: Xi fi PM (PM- X ) 0 -- 4 1 2 -6 4 -- 8 2 6 -2 8 --12 2 10 2 12 -- 16 1 14 6 Na seqüência, encontraremos a coluna (PM- X )4: Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )4 0-4 1 2 -6 1296 4–8 2 6 -2 16 8 – 12 2 10 2 16 12 – 16 1 14 6 1296 E agora a coluna (PM- X )4.fi: Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )4 (PM- X )4.fi 0-4 1 2 -6 1296 1296 4–8 2 6 -2 16 32 8 – 12 2 10 2 16 32 12 – 16 1 14 6 1296 1296 n=6 2656 Daí, aplicando a fórmula, teremos o seguinte: www.pontodosconcursos.com.br 4
  5. 5. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO ∑ (PM − X ) . fi 4 2656 m4 = m4 = = 442,67 Resposta! n 6 Fizemos questão de apresentar dois exemplos, com m3 e m4 (terceiro e quartoMomentos), porque serão precisamente estes os que serão exigidos em cálculos de Assimetria eCurtose, como veremos oportunamente. Daí, conclusões finais: - Usaremos esta teoria dos Momentos como suporte para chegarmos aos valores de Assimetria e Curtose; - O momento centrado na Média de segunda ordem é o mesmo que a Variância; - Daremos ênfase ao m3 e m4 para efeito de utilização das fórmulas (que aprenderemos adiante) de Assimetria e de Curtose.# Resumo das Fórmulas de Momento: Momento Centrado na Média Aritmética: ∑ (Xi − X ) ∑ (Xi − X ) . fi ∑ (PM − X ) . fi r r r mr = ; mr = ou mr = n n n# Medidas de Assimetria: Avançaremos agora na matéria e aprenderemos a calcular os índices de Assimetria de umconjunto. Este assunto, conforme dito já hoje, não constou mais no programa do últimoconcurso do AFRF. Mas, já que estamos aqui mesmo, melhor é aprender de vez! A respeito deste assunto, já tivemos uma noção inicial, uma vez que aprendemosanteriormente que há uma relação estreita entre o comportamento da curva no tocante à suaassimetria, e entre as Medidas de Tendência Central. Naquela ocasião, vimos que existem três situações distintas sob as quais um conjuntopode apresentar-se, em termos de assimetria. E ainda, qual seria o comportamento da Média,Moda e Mediana para cada uma daquelas situações. Recordando um pouco: Distribuição Assimétrica à Direita (ou de Assimetria Positiva): Moda < Mediana < Média www.pontodosconcursos.com.br 5
  6. 6. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou de Assimetria Negativa): Média < Mediana < Moda Distribuição Simétrica: Média=Mediana=Moda Somente este conhecimento já seria suficiente para acertarmos uma questão queperguntasse apenas se o conjunto é simétrico, ou assimétrico à esquerda ou à direita. Porém, se o enunciado vier solicitando o valor do índice (ou coeficiente) deassimetria, então precisaríamos conhecer as fórmulas necessárias para chegarmos a essaresposta. Existem cinco formas distintas de determinarmos índices de Assimetria. Na questão, nossa primeira preocupação será saber qual dos métodos está sendorequerido. E a segunda, naturalmente, será conhecer a fórmula solicitada. Índice Quartílico de Assimetria: Será calculado pela fórmula seguinte: A= (Q3 + Q1 − 2Md ) (Q3 − Q1) Onde: - Q1 é o primeiro Quartil; - Q3 é o terceiro Quartil; - Md é a Mediana. Uma boa forma de memorizar esta fórmula, seria usando as seguintes etapas: www.pontodosconcursos.com.br 6
  7. 7. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 1o) Começando apenas o Q3 e o Q1: A= Q3 Q1 Q3 Q1 2o) Depois, acrescentando o “mais e menos”: Q3 + Q1 A= Q3 − Q1 3o) Completando, finalmente o numerador com o “menos duas Medianas”: Q3 + Q1 − 2 Md A= Q3 − Q1 Naturalmente que essa é apenas uma sugestão. Acerca desta fórmula, convém sabermos que se o índice der positivo, isso indica umaCurva de Assimetria Positiva (Curva Assimétrica à Direita). Se negativo, teremos uma Curva deAssimetria Negativa (Curva Assimétrica à Esquerda). No mais, precisaremos saber como calcular os Quartis, que são um tipo de MedidaSeparatriz. Adianto a vocês que as medidas separatrizes – Quartis, Decis e Percentis – sãoobtidas pelo mesmíssimo procedimento que se usa para determinar o valor da Mediana de umconjunto. A Mediana, em si, já é também uma medida separatriz. (Além de ser uma medida detendência central). Como o próprio nome sugere, medida separatriz é aquela que separa. Ela divide oconjunto em um número de partes iguais. Já sabemos que a Mediana divide o conjunto ao meio, de sorte que só existe umamediana. O Quartil, por sua vez, divide o conjunto em quatro partes. Assim, existem três quartis: oQ1 (primeiro quartil), o Q2 (segundo quartil) e o Q3 (terceiro quartil). O Decil divide o conjunto em dez partes iguais. De sorte que existem nove decis. Claro!Só precisamos marcar nove pontos em uma reta para ela seja dividida em dez partes!Concordam? Assim, haverá o D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9 e D10. Finalmente, o Percentil (ou Centil) divide o conjunto em cem partes iguais. Existem,portanto, noventa e nove percentis (P1, P2, P3, ..., P99). Vamos aprender de vez como se calculam estas medidas separatrizes. Estão todos lembrados que para calcular a Mediana de uma distribuição de freqüências,nós utilizamos uma fração logo no início do procedimento? Sim? Trata-se da fração da Mediana,que é a (n/2). Pois bem! Cada uma das demais separatrizes terá sua própria fração. E é somente isso!Conhecida a fração da medida separatriz que se deseja calcular, todo o restante doprocedimento é idêntico ao que já conhecemos para calcular a mediana! E é muito fácil saber qual é esta fração! Senão vejamos. Qual a fração do primeiro quartil (Q1)? Ora, o quartil divide o conjunto em quantas partes? Em quatro partes. Daí, faremos logo: n/4. O 1 do Q1 vai acompanhar o n do numerador. Assim, teremos: Fração do Q1 = 1n/4. Este 1 multiplicando não precisa aparecer. Então fica só (n/4) mesmo! www.pontodosconcursos.com.br 7
  8. 8. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO E a fração do Q3, qual será? Ora, o quartil divide o conjunto em quatro partes. Daí, o começo da fração é: n/4. Só que estamos interessados no Q3. Assim, esse 3 vai para o numerador, acompanhar on. Ficaremos, pois, que a fração do Q3 é: (3n/4). E assim por diante! Vejamos a fração do primeiro decil D1, por exemplo. O decil divide o conjunto em dezpartes iguais. Logo, o início da fração é (n/10). O 1 do D1 vai para o numerador, e teremos:(1n/10), que fica apenas (n/10). Qual a fração do sétimo decil (D7)? Já adivinhou? Começamos com n/10, uma vez que odecil divide o conjunto em dez partes. Agora, o 7 do D7 vai para o numerador, e teremos,enfim, que a fração do D7 é (7n/10). Creio que agora tudo ficou esclarecido. Sim? Vejamos. Eu quero que você me diga qual a fração do P35 (trigésimo quinto percentil).Você saberia dizer qual é? Claro! Primeiro, pensaremos que o percentil divide o conjunto emcem partes iguais. Assim, começaremos por n/100. E agora, o 35 do P35 vai para o numerador,e teremos, finalmente, que a fração do P35 é (35n/100). Certo? Tudo entendido? Ótimo! Uma vez sabendo qual a fração que inicia o cálculo da medida separatrizdesejada, o restante, conforme dito há pouco, é só seguir a receita de bolo que aprendemospara calcular a mediana! Com o exemplo resolvido abaixo, estou certo que tudo ficará ainda mais compreendido!AFRF-2002.2: O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra detamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüênciasseguinte: Classes Freqüência (fi) 29,5 – 39,5 4 39,5 – 49,5 8 49,5 – 59,5 14 59,5 – 69,5 20 69,5 – 79,5 26 79,5 – 89,5 18 89,5 – 99,5 10Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria: a) 0,080 b) –0,206 c) 0,000 d) –0,095 e) 0,300Sol.: Comecemos pela Mediana.1o Passo) Determinamos n pelo somatório da coluna do fi e calculamos (n/2): Classes Freqüência (fi) 29,5 – 39,5 4 39,5 – 49,5 8 49,5 – 59,5 14 59,5 – 69,5 20 69,5 – 79,5 26 79,5 – 89,5 18 89,5 – 99,5 10 n=100 Daí, teremos n=100 e (n/2)=50 www.pontodosconcursos.com.br 8
  9. 9. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO2o Passo) Construiremos a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente (fac): Classes fi fac↓ 29,5 – 39,5 4 4 39,5 – 49,5 8 12 49,5 – 59,5 14 26 59,5 – 69,5 20 46 69,5 – 79,5 26 72 79,5 – 89,5 18 90 89,5 – 99,5 10 100 n=1003o Passo) Passamos às perguntas comparativas dos valores da fac com o valor de referência(n/2). Teremos: Classes fi fac↓ 29,5 – 39,5 4 4 4 é ≥ 50? Não! 39,5 – 49,5 8 12 12 é ≥ 50? Não! 49,5 – 59,5 14 26 26 é ≥ 50? Não! 59,5 – 69,5 20 46 46 é ≥ 50? Não! 69,5 – 79,5 26 72 72 é ≥ 50? SIM! 79,5 – 89,5 18 90 89,5 – 99,5 10 100 n=100 Daí, nossa Classe Mediana será a quinta classe (69,5 – 79,5). Feito isso, teremos: 10 XLimites da Classe: 69,5 Md 79,5fac associadas: 46 50 72 4 26 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 10 x 26 4 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4x10)/26 X=1,54 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana aovalor do X que acabamos de calcular. Teremos: Md=69,5+1,54 Md=71,04 www.pontodosconcursos.com.br 9
  10. 10. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Este valor vai ficar guardado, de molho, esperando o final da resolução! Adiante! Agora, vamos à procura do Primeiro Quartil – Q1:1o Passo) Determinemos o valor da fração do Q1, ou seja, de (n/4): Como n=100, teremos que (n/4)=252o Passo) Como já dispomos da coluna da fac, passamos às perguntas comparativas: Classes fi fac↓ 29,5 – 39,5 4 4 4 é ≥ 25? Não! 39,5 – 49,5 8 12 12 é ≥ 25? Não! 49,5 – 59,5 14 26 26 é ≥ 25? SIM! 59,5 – 69,5 20 46 69,5 – 79,5 26 72 79,5 – 89,5 18 90 89,5 – 99,5 10 100 n=100 Daí, a classe do Q1 é a terceira classe (49,5 – 59,5). Resta-nos fazer o desenho.Teremos: 10 XLimites da Classe: 49,5 Q1 59,5fac associadas: 12 25 26 13 14 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 10 x 14 13 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(10x13)/14 X=9,28 Somando este x com o limite inferior da classe, teremos: Q1=49,5+9,29 Q1=58,78 Este resultado também aguardará o final da resolução! Adiante! Finalmente, resta-nos encontrar o valor do Terceiro Quartil, Q3: www.pontodosconcursos.com.br 10
  11. 11. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO1o Passo) Calculamos o valor da fração do Q3, que é, conforme sabemos: (3n/4).Como n=100, teremos: (3n/4)=752o Passo) Uma vez que já temos a coluna da fac, passemos às perguntas de praxe: Classes fi fac↓ 29,5 – 39,5 4 4 4 é ≥ 75? Não! 39,5 – 49,5 8 12 12 é ≥ 75? Não! 49,5 – 59,5 14 26 26 é ≥ 75? Não! 59,5 – 69,5 20 46 46 é ≥ 75? Não! 69,5 – 79,5 26 72 72 é ≥ 75? Não! 79,5 – 89,5 18 90 90 é ≥ 75? SIM! 89,5 – 99,5 10 100 n=100 Achamos nossa Classe do Terceiro Quartil: é a penúltima classe (79,5 – 89,5). Daí,construindo o desenho, teremos: 10 XLimites da Classe: 79,5 Q3 89,5fac associadas: 72 75 90 3 18 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 10 x 18 3 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(3x10)/18 X=1,67 Somando x com o limite inferior da classe, teremos: Q3=79,5+1,67 Q3=81,17Agora, vamos relacionar os valores das medidas encontradas por nós: Q1=58,78 ; Q3=81,17 e Md=71,04 Daí, aplicando a fórmula do Índice Quartílico de Assimetria, teremos: www.pontodosconcursos.com.br 11
  12. 12. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Q3 + Q1 − 2Md 81,17 + 58,78 − 2 x71,04 A= A= Q3 − Q1 81,17 − 58,78 E: A = −0,095 Resposta! À primeira vista, parece ser uma questão bem mais demorada do que fato é. Na hora daprova, com o candidato já bastante “treinado”, realmente não se perde muito tempo nestaresolução. Mesmo porque é um procedimento bastante repetitivo, e que deverá estar,certamente, automatizado pelo aluno.# Coeficientes de Assimetria de Pearson: Veremos agora duas outras maneiras de calcular o índice de assimetria de um conjunto,as quais envolvem as Medidas de Tendência Central. São as seguintes: Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson: Dado pela fórmula que se segue: A= (X − Mo) S Onde: - X é a Média Aritmética; - Mo é a Moda; e - S é o Desvio-Padrão do conjunto. Observando bem esta fórmula que define o Primeiro Coeficiente de Pearson, verificamosque o sinal da assimetria será definido pelo seu numerador. Assim, apenas comparando osvalores da Média Aritmética e da Moda, saberemos qual o tipo de assimetria da distribuição. Assim, de acordo com este coeficiente, teremos:→ Se X = Mo → Assimetria Nula! Ou seja, distribuição Simétrica!→ Se X > Mo → Assimetria Positiva! Curva Assimétrica à Direita!→ Se X < Mo → Assimetria Negativa! Curva Assimétrica à Esquerda. Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson: Será calculado da seguinte maneira: A= ( 3 X − Md ) S Onde: - X é a Média Aritmética; - Md é a Mediana; e - S é o Desvio-Padrão do conjunto. Aqui, para este Segundo Coeficiente de Pearson, observamos que o sinal da assimetriaserá definido apenas comparando os valores da Média Aritmética e da Mediana do conjunto.Teremos, portanto:→ Se X = Md → Assimetria Nula. Ou seja, distribuição Simétrica.→ Se X > Md → Assimetria Positiva. Curva Assimétrica à Direita.→ Se X < Md → Assimetria Negativa. Curva Assimétrica à Esquerda. www.pontodosconcursos.com.br 12
  13. 13. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Estes dois Coeficientes de Assimetria de Pearson não costumavam ser muito exigidos emprovas de Estatística Básica dos concursos. Tal foi, portanto, a surpresa dos candidatos queenfrentaram a prova do AFRF 2002.1. Vejamos a questão abaixo:AFRF-2002.1: Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foramexaminados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziua tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reaise a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentescom os extremos das classes. Classes P (%) 70 – 90 5 90 – 110 15 110 – 130 40 130 – 150 70 150 – 170 85 170 – 190 95 190 – 210 100 Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida deassimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0Sol.: Para resolvermos esta questão, precisaríamos inicialmente trabalhar com as colunas defreqüências, para chegarmos à freqüência absoluta simples – fi. O resultado desteprocedimento, já realizado para este enunciado em aulas anteriores, é o seguinte: Classes Fac↓ Fi fi 70 – 90 5% 5% 10 90 – 110 15% 10% 20 110 – 130 40% 25% 50 130 – 150 70% 30% 60 150 – 170 85% 15% 30 170 – 190 95% 10% 20 190 – 210 100% 5% 10 Agora o que nos resta é apenas recordarmos da fórmula do Primeiro Coeficiente deAssimetria de Pearson: A= (X − Mo) S Se observarmos as opções de resposta, veremos que elas vêm com o Desvio-Padrão – S– no denominador. Ou seja, só precisaremos nos preocupar com o numerador da fórmula. Na primeira questão desta prova, já havia sido exigido o cálculo da Média. Inclusive já afizemos, em oportunidade anterior, na página 6 da nossa aula 5, para ser mais preciso! Vamos transcrever aquela solução: www.pontodosconcursos.com.br 13
  14. 14. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio: Classes Fac Fi fi PM 70-90 5% 5% 10 80 90-110 15% 10% 20 . 110-130 40% 25% 50 . 130-150 70% 30% 60 . 150-170 85% 15% 30 . 170-190 95% 10% 20 . 190-210 100% 5% 10 . 100% n=200 2º) Construir a coluna de transformação da variável: Classes Fac Fi fi PM (PM − 80) = Yi 20 70-90 5% 5% 10 80 0 90-110 15% 10% 20 . 1 110-130 40% 25% 50 . 2 130-150 70% 30% 60 . 3 150-170 85% 15% 30 . 4 170-190 95% 10% 20 . 5 190-210 100% 5% 10 . 6 n=200 3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório: Classes Fac Fi fi PM (PM − 80) = Yi fi.Yi 20 70-90 5% 5% 10 80 0 0 90-110 15% 10% 20 . 1 20 110-130 40% 25% 50 . 2 100 130-150 70% 30% 60 . 3 180 150-170 85% 15% 30 . 4 120 170-190 95% 10% 20 . 5 100 190-210 100% 5% 10 . 6 60 n=200 580 4º) Calcular a média da variável transformada: Y 580 Y= = 2,9 200 5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações do caminhode volta, para chegarmos à resposta! Teremos: 1º)-80 2º)÷20 Xi Yi Y = 2,9 2º)+80 1º)x20 2,9 x 20 = 58,0 e 58,0 + 80 = 138 www.pontodosconcursos.com.br 14
  15. 15. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Agora, tudo o que temos a fazer é descobrir o valor da Moda desta distribuição defreqüências. Seguiremos os passos já nossos conhecidos para isso: Classes fi 70 – 90 10 90 – 110 20 110 – 130 50 130 – 150 60 150 – 170 30 170 – 190 20 190 – 210 101º Passo) Determinaremos da Classe Modal: Xi fi 70 – 90 10 90 – 110 20 110 – 130 50 130 – 150 60 Classe Modal! (a de maior fi) 150 – 170 30 170 – 190 20 190 – 210 10 Para a qual teremos: linf=130 e h=102º Passo) Calcularemos os elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp Xi fi 70 – 90 10 90 – 110 20 110 – 130 50 Classe Anterior: Δa=60-50 Δa=10 130 – 150 60 Classe Modal! 150 – 170 30 Classe Posterior: Δp=60-30 Δp=30 170 – 190 20 190 – 210 103º Passo) Aplicaremos a fórmula da Moda de Czuber: ⎛ Δa ⎞ Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎜ Δa + Δp ⎟ ⋅ h ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 10 ⎞ Daí: Mo = 130 + ⎜ ⎟ ⋅ 20 E: Mo=135 ⎝ 10 + 30 ⎠ Finalmente, dispondo já de todos os elementos que procurávamos, aplicaremos a fórmulado Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson. Teremos: A= (X − Mo) A= (138 − 135) S S 3 A= Resposta! S www.pontodosconcursos.com.br 15
  16. 16. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO# Índice Momento de Assimetria: Este é o quarto método pelo qual aprenderemos a determinar o valor do grau deAssimetria de um conjunto. Será dado pela seguinte fórmula: m3 A= S3 Onde: - m3 é o Terceiro Momento Centrado na Média Aritmética; e - S3 é o Desvio-Padrão, elevado à terceira potência. Para efeitos mnemônicos, lembraremos deste cálculo como sendo a Fórmula do 3, umavez que é o único algarismo que aparece nela. Trata-se de um índice cuja aplicação não é das mais rápidas. Vamos relembrar como secalculam os elementos deste índice. No numerador, teremos m3, que é terceiro momento (ou momento de terceira ordem),cuja fórmula aprendemos já nesta aula de hoje, e que é dado por: ∑ (PM − X ) . fi 3 m3 = n E, no denominador, o Desvio-Padrão ao cubo, que poderá ser encontrado da seguintemaneira: ∑ (PM − X ) . fi ⎟ 3 ⎛ 2 ⎞ ⎜ S =⎜ 3 ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ Daí, teremos que a fórmula completa do Índice Momento de Assimetria será: ∑ (PM − X ) . fi 3 A= n ∑ (PM − X ) . fi ⎟ 3 ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ Percebemos, portanto, que para encontrar o Índice Momento de Assimetria teríamos quetrabalhar o numerador e o denominador da fórmula isoladamente, para em seguida chegar aoresultado. Exatamente como se fossem duas questões em uma só. O que pode acontecer, é de a prova já fornecer uma tabela de freqüências bastantecompleta, de forma que já nos estivessem disponíveis todas as colunas que precisaríamos parausar na fórmula. Por exemplo, suponhamos que o enunciado da questão nos fornecesse umadistribuição nos moldes dessa abaixo: Classes fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )3 (PM- X )3.fi ... ... ... ... ... ... ... ... Σ n E F Vejam que escolhi algumas letras (E e F) para os somatórios das colunas que nosinteressarão, somente para efeitos de desenvolvermos o raciocínio a seguir. www.pontodosconcursos.com.br 16
  17. 17. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Nossa resolução, neste caso, se resumiria quase a uma transposição dos dados da tabelapara a fórmula. Teríamos, portanto: F A= n 3 ⎛ E⎞ ⎜ ⎟ ⎜ n⎟ ⎝ ⎠# Índice Decílico de Assimetria: Uma quinta e última maneira de se determinar a assimetria de um conjunto é por esteíndice decílico. Nesta fórmula, só estarão presentes decis. Vejamos: D9 + D1 − 2Md A= D9 − D1# Resumo das Fórmulas de Assimetria: Segue, abaixo, um sumário das fórmulas dos índices e coeficientes de Assimetria queaprendemos hoje, e que seguramente poderão ser, eventualmente, cobrados nas próximasprovas de estatística dos concursos. Índice Quartílico de Assimetria: A= (Q3 + Q1 − 2Md ) (Q3 − Q1) Índice Decílico de Assimetria: D9 + D1 − 2Md A= D9 − D1 Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson: A= (X − Mo) S Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson: A= ( 3 X − Md ) S Índice Momento de Assimetria: ∑ (PM − X ) . fi 3 m3 n A= A= ∑( ) 3 S3 ⎛ ⎞2 ⎜ PM − X . fi ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ www.pontodosconcursos.com.br 17
  18. 18. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO# Medidas de Curtose: Este é um assunto de fácil compreensão e muito freqüente em provas de estatística dosconcursos públicos. O que significa analisar um conjunto quanto à Curtose? Significa apenas verificar o “graude achatamento da curva”. Ou seja, saber se a Curva de Freqüência que representa o conjunto émais “afilada” ou mais “achatada” em relação a uma curva padrão, chamada curva normal. Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintespossibilidades: Curva Leptocúrtica Curva Mesocúrtica Curva Platicúrtica Logo, como vemos acima, uma curva (um conjunto) poderá ser, quanto à sua Curtose: - Mesocúrtica: ou de curtose média. “Meso” lembra meio. Esta curva está no meio termo: nem muito achatada, nem muito afilada; - Platicúrtica: é a curva mais achatada. Seu desenho lembra o de um prato emborcado. Então, “prato” lembra “plati” e “plati” lembra “platicúrtica”; - Leptocúrtica: é a curva mais afilada. Em capítulos anteriores, vimos que existe uma relação estreita entre o valor das Medidasde Tendência Central (Média, Moda e Mediana) e o comportamento da Assimetria de umconjunto. Todavia, quando se trata de Curtose, não há como extrairmos uma conclusão sobre qualserá a situação da distribuição – se mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica – apenasconhecendo os valores da Média, Moda e Mediana. Outra observação relevante, e que já foi bastante explorada em questões teóricas deprovas anteriores, é que não existe uma relação entre as situações de Assimetria e as situaçõesde Curtose de um mesmo conjunto. Ou seja, Assimetria e Curtose são medidas independentes eque não se influenciam mutuamente. Aprenderemos duas distintas maneiras de calcular o Índice de Curtose de um conjunto. Índice Percentílico de Curtose: Encontraremos este índice usando a seguinte fórmula: C= (Q3 − Q1 ) 2(P90 − P ) 10 Onde: - Q3 é o terceiro quartil; - Q1 é o primeiro quartil; - P90 é o nonagésimo percentil e - P10 é o décimo percentil. www.pontodosconcursos.com.br 18
  19. 19. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Podemos ainda, levando em consideração a relação que há entre as medidasseparatrizes, dizer que o Índice Percentílico de Curtose será dado por: C= (Q3 − Q1 ) 2(D9 − D1 )Onde: - Q3 é o terceiro quartil; - Q1 é o primeiro quartil; - D9 é o nono decil; e - D1 é o primeiro decil. Ou seja, trabalharemos aqui com duas Medidas Separatrizes – o Quartil e o Decil. Vejamos uma questão resolvida deste assunto.AFRF-2002.1: Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foramexaminados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziua tabela de freqüência abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais ea coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentescom os extremos das classes. Classes P(%) 70 – 90 5 90 – 110 15 110 – 130 40 130 – 150 70 150 – 170 85 170 – 190 95 190 - 210 100 Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medidoem relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente k = Q / (P90-P10), onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose k para a distribuiçãode X. a) 0,263 b) 0,250 c) 0,300 d) 0,242 e) 0,000Sol.: No enunciado, o elaborador tentou complicar um pouco a compreensão da fórmula doíndice percentílico de Curtose. Além disso, usou Percentis em lugar de Decis. Todavia, sabemosperfeitamente que Décimo Percentil (P10) é o mesmo que Primeiro Decil (D1), e queNonagésimo Percentil (P90) é a mesma coisa que Nono Decil (D9). Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para encontrar esta resposta, o ÍndicePercentílico de Curtose, exatamente da forma como o conhecemos: C= (Q3 − Q1 ) 2(D9 − D1 ) Aproveitaremos que todo esse trabalho de encontrar os Quartis (Q1 e Q3) e os Decis (D1e D9) já foram feitos para este mesmo enunciado, e reproduziremos aqui a resolução destaquestão. Obviamente que todos perceberam que havia um trabalho preliminar a ser realizado, queera exatamente o de chegarmos à coluna da freqüência absoluta simples – fi. www.pontodosconcursos.com.br 19
  20. 20. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Como já foi falado exaustivamente sobre este procedimento de usar o Caminho dasPedras para chegar às freqüências desejadas, expomos a seguir o resultado destas operações e,finalmente, a coluna da fi. Classes Fac↓ Fi fi 70 – 90 5% 5% 10 90 – 110 15% 10% 20 110 – 130 40% 25% 50 130 – 150 70% 30% 60 150 – 170 85% 15% 30 170 – 190 95% 10% 20 190 – 210 100% 5% 10 Cálculo da fração do Primeiro Quartil – Q1:1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4): Xi fi 70 !--- 90 10 90 !--- 110 20 110 !--- 130 50 130 !--- 150 60 150 !--- 170 30 170 !--- 190 20 190 !--- 210 10 n=200Daí, achamos que n=200, portanto, (n/4)=502º Passo) Construímos a fac: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 10 10 90 !--- 110 20 30 110 !--- 130 50 80 130 !--- 150 60 140 150 !--- 170 30 170 170 !--- 190 20 190 190 !--- 210 10 200 n=2003º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo a pergunta de praxe,adaptada ao primeiro quartil: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 10 10 10 é maior ou igual a 50? NÃO! 90 !--- 110 20 30 30 é maior ou igual a 50? NÃO! 110 !--- 130 50 80 80 é maior ou igual a 50? SIM! 130 !--- 150 60 140 150 !--- 170 30 170 170 !--- 190 20 190 190 !--- 210 10 200 n=200 Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a classe correspondente(110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro Quartil.4º Passo) Fazendo o desenho adequado, teremos: www.pontodosconcursos.com.br 20
  21. 21. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 20 XLimites da Classe: 110 Q1 130fac associadas: 30 50 80 20 50 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 20 x 50 20 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(20x20)/50 X=8,0 Somando x com o limite inferior da classe, teremos: Q1=110+8 Q1=118,0 Cálculo do Terceiro Quartil: Q3Sol.:1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4): Xi fi 70 !--- 90 10 90 !--- 110 20 110 !--- 130 50 130 !--- 150 60 150 !--- 170 30 170 !--- 190 20 190 !--- 210 10 n=200Daí, achamos que n=200 e, portanto, (3n/4)=1502º Passo) Já dispondo da coluna da fac, comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4),fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil: www.pontodosconcursos.com.br 21
  22. 22. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Xi fi fac↓ 70 !--- 90 10 10 10 é maior ou igual a 150? NÃO! 90 !--- 110 20 30 30 é maior ou igual a 150? NÃO! 110 !--- 130 50 80 80 é maior ou igual a 150? NÃO! 130 !--- 150 60 140 140 é maior ou igual a 150? NÃO! 150 !--- 170 30 170 170 é maior ou igual a 150? SIM! 170 !--- 190 20 190 190 !--- 210 10 200 n=200 Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170), diremos que estaserá nossa Classe do Terceiro Quartil.3º Passo) Faremos o desenho adequado para descobrir o Q3. Teremos: 20 XLimites da Classe: 150 Q3 170fac associadas: 140 150 170 10 30 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 20 x 30 10 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(20x10)/30 X=6,67 Somando x com o limite inferior da classe, teremos: Q3=150+6,67 Q3=156,67 Cálculo do Primeiro Decil: D11º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10): Daí, achamos que n=200 e, portanto, (n/10)=202º Passo) Conhecedores da coluna da fac, comparamos os valores da fac com o valor de(n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil: www.pontodosconcursos.com.br 22
  23. 23. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Xi fi fac↓ 70 !--- 90 10 10 10 é maior ou igual a 20? NÃO! 90 !--- 110 20 30 30 é maior ou igual a 20? SIM! 110 !--- 130 50 80 130 !--- 150 60 140 150 !--- 170 30 170 170 !--- 190 20 190 190 !--- 210 10 200 n=200Achamos, portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será nossa Classe do PrimeiroDecil!3º Passo) Fazer o desenho. Teremos: 20 XLimites da Classe: 90 D1 110fac associadas: 10 20 30 10 20 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 20 x 20 10 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(20x10)/20 X=10,0 Somando x com o limite inferior da classe, teremos: D1=90+10 D1=100,0 Finalmente, encontraremos o Nono Decil – D9:1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10):Daí, achamos que n=200 e, portanto, (9n/10)=180 www.pontodosconcursos.com.br 23
  24. 24. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO2º Passo) Conhecedores da coluna da fac, comparamos os valores da fac com o valor de(9n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao nono decil: Xi fi fac↓ 70 !--- 90 10 10 10 é maior ou igual a 180? NÃO! 90 !--- 110 20 30 30 é maior ou igual a 180? NÃO! 110 !--- 130 50 80 80 é maior ou igual a 180? NÃO! 130 !--- 150 60 140 140 é maior ou igual a 180? NÃO! 150 !--- 170 30 170 170 é maior ou igual a 180? NÃO! 170 !--- 190 20 190 190 é maior ou igual a 180? SIM! 190 !--- 210 10 200 n=200 Achamos, portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será nossa Classe doNono Decil.3º Passo) Faremos o desenho adequado, e teremos que: 20 XLimites da Classe: 170 D9 190fac associadas: 170 180 190 10 20 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 20 x 20 10 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(20x10)/20 X=10,0 Somando x com o limite inferior da classe, teremos: D9=170+10 D9=180,0 Agora sim! Chegou o momento de reunirmos os valores encontrados, para compormos afórmula da Curtose! Teremos, portanto: C= (Q3 − Q1 ) C= (156,6 − 118) C = 0,242 Resposta! 2(D9 − D1 ) 2(180 − 100) www.pontodosconcursos.com.br 24
  25. 25. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Interpretação do Resultado do Índice Percentílico de Curtose: A questão acima foi resolvida pela mera aplicação da fórmula do índice percentílico.Todavia, questões haverá que solicitarão não apenas o resultado do índice, mas questionarão asituação de curtose em que se encontra aquele conjunto. Ou seja, desejarão saber se adistribuição será Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica. Daí, teremos que saber interpretar o resultado do índice de Curtose. No caso deste Índice Percentílico, a leitura que faremos do resultado é a seguinte: Se C<0,263 A distribuição é LEPTOCÚRTICA; Se C=0,263 A distribuição é MESOCÚRTICA; Se C>0,263 A distribuição é PLATICÚRTICA. Para a questão que resolvemos acima, por exemplo, tendo encontrado C=0,242,concluiríamos que se tratava de uma distribuição Leptocúrtica, caso isso estivesse sendoperguntado pela questão.# Índice Momento de Curtose: Será dado pela seguinte fórmula: m4 C= S4Onde: - m4 é o Momento de 4a Ordem Centrado na Média Aritmética; e - S4 é o Desvio-Padrão do conjunto, elevado à quarta potência. Como só aparece número “4” nesta fórmula, lembraremos dela como sendo a fórmula do4. Esta nos parece tão trabalhosa quanto a primeira (a do índice percentílico). Pois, naverdade, teríamos que encontrar isoladamente o valor do numerador (que já é uma questão emsi) e depois o valor do denominador. As fórmulas seriam as seguintes: O numerador (m4): Quarto Momento Centrado na Média: ∑ (PM − X ) . fi 4 m4 = n O denominador (S4): Quarta potência Desvio-Padrão: ( ) 2 ⎡ ∑ PM − X . fi ⎤ 2 S4 = S( )2 2 =⎢ ⎥ ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ Como vimos acima, a quarta potência do Desvio-Padrão é a mesmíssima coisa que oquadrado da Variância. Então, nossa fórmula completa do índice momento de Curtose seria a seguinte: www.pontodosconcursos.com.br 25
  26. 26. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO ∑ (PM − X ) . fi 4 C= n ( ) 2 ⎡ ∑ PM − X . fi ⎤ 2 ⎢ ⎥ ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ Questão de prova que venha a exigir o cálculo deste índice Momento de Curtose deverá,naturalmente, fornecer uma tabela já bastante completa, de modo que, apenas pelas colunasfornecidas na distribuição, já tivéssemos condições chegar ao resultado. Caso a prova nos dê na questão apenas uma tabela com a coluna das classes e a colunada freqüência absoluta simples, teríamos que fazer um trabalho bastante demorado parachegarmos à resposta. Vejamos um exemplo ilustrativo dos passos que precisaríamos seguir. A tabela abaixo representa os dados fornecidos pelo enunciado: Classes fi ... ... Daí, como primeiro passo, teríamos que encontrar o valor da Média do conjunto.Provavelmente, seria mais rápido determinarmos o X se utilizarmos o método da VariávelTransformada. Então, construiríamos a coluna dos Pontos Médios – PM: Classes fi PM ... ... ... Em seguida, a Coluna de Transformação da Variável: Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi h ... ... ... ... Daí, faríamos a coluna do (Yi.fi): Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi h ... ... ... ... ... E aplicaríamos a fórmula da Média da Variável Transformada: Y= ∑ Yi. fi n E, com este resultado, percorreríamos o Caminho de Volta da transformação, fazendo: ( Y x h ) e {( Y x h)+ 1ºPM} = X Neste ponto, construiríamos a coluna (PM- X ): Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi PM- X h ... ... ... ... ... ... www.pontodosconcursos.com.br 26
  27. 27. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO E a coluna (PM- X )2 : Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi PM- X (PM- X )2 h ... ... ... ... ... ... ... E a coluna [(PM- X )2.fi]: Xi fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi h ... ... ... ... ... ... ... ... E a coluna (PM- X )4 : (Desaparecerão aqui a coluna de transformação e a coluna do(Yi.fi) apenas por uma questão de espaço). Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )4 ... ... ... ... ... ... ... E, finalmente, a coluna [(PM- X )4.fi]: Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )4 (PM- X )4.fi ... ... ... ... ... ... ... ... Daí, vamos designar nomes aos somatórios das colunas que nos interessam, só paraenxergarmos melhor como será nossa conclusão: Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )4 (PM- X )4.fi ... ... ... ... ... ... ... ... n E F Para concluir a questão, aplicaríamos a fórmula do 4: ∑ (PM − X ) . fi 4 C= n ( ) 2 ⎡ ∑ PM − X . fi ⎤ 2 ⎢ ⎥ ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦E encontraríamos que: ⎛F⎞ ⎜ ⎟ C = ⎝ ⎠2 n Resposta da Questão! ⎛E⎞ ⎜ ⎟ ⎝n⎠ Aprenderemos, na seqüência, como interpretar o resultado do índice Momento deAssimetria e, após, faremos uma questão extraída da prova do AFRF-2002.2, para termos umanoção mais precisa de como este assunto tem sido cobrado. Interpretação do Resultado do Índice Momento de Curtose: Novamente aqui precisaremos conhecer como analisar o resultado do índice de Curtose, afim de podermos definir nossa distribuição como Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica. www.pontodosconcursos.com.br 27
  28. 28. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHOInterpretaremos o Índice Momento de Curtose da seguinte maneira: Se C > 3 A distribuição é LEPTOCÚRTICA; Se C = 3 A distribuição é MESOCÚRTICA; Se C < 3 A distribuição é PLATICÚRTICA. É, portanto, de suma importância que tenhamos bem memorizados estes valores dereferência, a partir dos quais poderemos dizer em qual das situações de Curtose se encontradeterminado conjunto. Passemos à questão.AFRF-2002-2: O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra detamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüênciasseguinte: Classes Freqüência (fi) 29,5 – 39,5 4 39,5 – 49,5 8 49,5 – 59,5 14 59,5 – 69,5 20 69,5 – 79,5 26 79,5 – 89,5 18 89,5 – 99,5 10Para a distribuição de freqüências do atributo X, sabe-se que: ∑ (Xi − X ) . fi = 24.500 ∑ (Xi − X ) . fi = 14.682.500 2 4 eNessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e X a média amostral.Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nosmomentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional. a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica. b) A distribuição do atributo X é platicúrtica. c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose. d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base nos momentos centrados de X. e) A distribuição de X é normal.Sol.: A questão foi bastante clara, ao definir que o índice de curtose a ser empregado será oíndice Momento. Daí, teremos que relembrar a fórmula: ∑ (PM − X ) . fi 4 m4 n C= C= S4 ( ) 2 ⎡ ∑ PM − X . fi ⎤ 2 ⎢ ⎥ ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ Agora, reparemos nos dados fornecidos pelo enunciado. Observemos que o que elechamou de Xi é o nosso Ponto Médio, que chamamos de PM. Daí, não resta dúvida: já nos foramfornecidos o numerador do m4 e o numerador do S4. www.pontodosconcursos.com.br 28
  29. 29. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Ora, o n – número de elementos do conjunto – será obtido somando a coluna da fi. Echegaremos ao valor de n=100. Daí, concluímos: já dispomos de todos os elementos dafórmula. Resta-nos transpô-los. Assim, teremos: ∑ (PM − X ) . fi 4 14.682.500 C= n C= 100 C = 2,44 ( ) 2 2 ⎡ ⎡ 24.500 ⎤ ∑ PM − X . fi ⎤ 2 ⎢ ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ E agora passamos à interpretação do resultado. Se utilizamos o índice Momento deCurtose, e encontramos que C=2,44 (portanto, um valor menor que 3) concluímos que adistribuição é platicúrtica! Logo: Opção b Resposta da Questão! É isso! Esta aula já se tornou por demais repleta de informações! Foi nosso penúltimo encontro! Na próxima aula, que será a última do nosso Curso,resolverei as questões que ficarão pendentes de nosso dever de casa de hoje, e falarei sobremais alguma coisa que tenha sido esquecida. Ok? Forte abraço a todos! E fiquem com Deus! Dever de Casa84. (AFPS-2002/ESAF) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três μ3 . Assinale a opção correta.a) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relaçãoà média.b) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios emrelação à média.c) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relaçãoà média.d) O valor de μ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos das observações.e) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relaçãoà média.85. (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado forneceram os seguintes sumários: média aritmética = $1,20 , mediana = $0,53 e moda = $0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta:a) A distribuição é assimétrica à direita.b) A distribuição é assimétrica à esquerda.c) A distribuição é simétrica.d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a melhor medida de tendência central.e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25. www.pontodosconcursos.com.br 29
  30. 30. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO86. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23Pode-se afirmar que:a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativab) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positivac) a distribuição amostral dos preços é simétricad) A distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub- populações com assimetria negativae) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços87. (AFTN-98) Pede-se a um conjunto de pessoas que executem uma tarefa manual específica que exige alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma leva para executar a tarefa. Assinale a opção que, em geral, mais se aproxima da distribuição amostral de tais observações. a) Espera-se que a distribuição amostral de T seja em forma de U, simétrica e com duas modas nos extremos. b) Espera-se que a distribuição amostral seja em forma de sino. c) Na maioria das vezes a distribuição de T será retangular. d) Espera-se que a distribuição amostral seja assimétrica à esquerda. e) Quase sempre a distribuição será simétrica e triangular.88. (AFTN-94) Assinale a alternativa correta:a) Toda medida de posição ou de assimetria é um momento de uma variável aleatória.b) A média aritmética é uma medida de posição, cuja representatividade independe da variação da variável, mas depende do grau de assimetria da distribuição de freqüência.c) Em qualquer distribuição de freqüência, a média aritmética é mais representativa do que a média harmônica.d) A soma dos quadrados dos resíduos em relação à média aritmética é nula.e) A moda, a mediana e a média aritmética são medidas de posição com valores expressos em reais que pertencem ao domínio da variável a que se referem.89. (AFTN-94) Indique a opção correta:a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor do que o coeficiente de curtose.b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no intervalo [-3, 3].c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três vezes o quadrado da variância da distribuição.d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão.e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo.90. (AFTN-98) Assinale a opção correta.a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetria negativa.b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que as observações amostrais são medidas.c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido.d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos dois desvios padrões e a média mais dois desvios padrões.e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose excessiva. www.pontodosconcursos.com.br 30
  31. 31. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO91. (AFPS-2002/ESAF) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências 4-9 5 9-14 9 14-19 10 19-24 15 24-29 12 29-34 6 34-39 4 39-44 3 44-49 2Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale aopção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado namédia, na mediana e no desvio padrão.a) -0,600 c) 0,709 e) -0,610b) 0,191 d) 0,603 www.pontodosconcursos.com.br 31

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