Estatistica regular 11

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Estatistica regular 11

  1. 1. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO AULA 11 – NÚMEROS ÍNDICES Olá, amigos! Vamos dar seqüência ao nosso estudo, hoje, com um assunto novo – os númerosíndices – comumente presente nas diversas provas de Estatística Básica, sobretudo no AFRF. Trata-se de um assunto diferenciado de tudo o que vimos até aqui. Deixaremos detrabalhar com elementos de um conjunto dispostos em rol, dados tabulados ou distribuição defreqüências. Trabalharemos sim com dados relativos a preços e quantidades, normalmenteapresentados em uma tabela, e referentes a bens ou produtos, em diferentes épocas. A princípio, saibamos que existem números índices simples e compostos! Onúmero índice simples analisa variações de preço e quantidade, ao longo do tempo, para umúnico produto; enquanto isso, o número índice composto o faz em relação a um grupo de bens. Antes de mais nada, convém sabermos que quando tratamos de preços e quantidadesde um bem qualquer, estaremos sempre relacionando estes preços ou quantidades a duasépocas distintas! Normalmente, essas épocas são anos! Por exemplo, compararemos o preço doproduto A no ano de 1990 e no ano de 1995. Ou então, compararemos a quantidade vendida doproduto B no ano de 2002 e no ano de 2003. E assim por diante! Convencionou-se então chamar estas duas épocas, estes dois anos, pela seguintenomenclatura: ano base (que é o ano de referência!) e ano dado. E mais: doravante,adotaremos que o ano base será designado pelo símbolo (o) enquanto que o ano dado serádesignado pelo símbolo (n). Desta forma, se falarmos em preços e quantidades de um determinado bem X,nos anos de 2000 e de 2002, tomando como referência (ano base!) o ano de 2000, teremosque: po é o preço do bem no ano base (2000); pn é o preço do bem no ano dado (2002); qo é a quantidade do bem no ano base (2000); qn é a quantidade do bem ano dado (2002). # Número Índice Relativo de Preço: O primeiro número índice simples que aprenderemos é o Índice Relativo de Preço! Édesignado por po,n. Definiremos o Relativo de Preço da seguinte maneira: pn po ,n = po Onde, conforme já sabemos: po é o preço do bem no ano base; e pn é o preço do bem no ano dado. Vamos a um exemplo! Suponhamos que nos foi fornecida a seguinte tabelaabaixo, a qual expressa preços de determinados produtos em duas épocas distintas – anos de2000 e de 2002 – considerando como ano de referência o de 2000. Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 1
  2. 2. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Preço (em R$1,00) Produtos 2000 ( po ) 2002( p n ) A 15 20 B 8 8 C 12 7 Agora, vejamos como calcular o Índice Relativo de Preço de 2002, com base noano 2000, para os produtos apresentados na tabela! Faremos o seguinte cálculo: p 2002 p 2000, 2002 = p 2000 Daí, teríamos que: Para o Produto A p2000,2002=(20/15)=1,33=133,33% Para o Produto B p2000,2002=(8/8)=1,0=100,0% Para o Produto C p2000,2002=(7/12)=0,583=58,3% Feito isso, passamos à elaboração de uma nova tabela, agora utilizando osresultados encontrados nos índices relativos de preços! Teremos: Índices Relativos de Preço (%) Produtos 2000 ( po ) 2002 ( po ,n ) A 100 133,3 B 100 100 C 100 58,3 Observemos que os índices relativos dos produtos no ano base serão sempreiguais a 100! Caso contrário, não poderíamos tomar estes valores como base ou comoreferência! Confiramos novamente: Índices Relativos de Preço (%) Produtos 2000 ( po ) 2002 ( po ,n ) A 100 133,3 B 100 100 C 100 58,3 Agora vamos interpretar estes resultados! Os cálculos dos índices relativos de preçosnos informam que: Analisando o produto A, veremos o seguinte: Índices Relativos de Preço (%) Produto 2000 ( po ) 2002 ( po ,n ) A 100 133,3 O preço do bem A elevou-se 33,3% no ano de 2002, tomando por base o anode 2000! Basta fazer a subtração dos índices de preço! Vejamos: 133,3-100=33,3. Para o produto B, teremos: www.pontodosconcursos.com.br 2
  3. 3. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Índices Relativos de Preço (%) Produtos 2000 ( po ) 2002 ( po ,n ) B 100 100 O preço do produto B não sofreu qualquer variação no ano de 2002, tomandocomo referência o seu preço em 2000. Novamente, basta subtrair: 100-100=0! Para o produto C, finalmente, teremos: Índices Relativos de Preço (%) Produtos 2000 ( po ) 2002 ( po ,n ) C 100 58,3 Aqui, entenderemos que, no ano de 2002, houve uma redução no preço do bem C,em relação ao preço do mesmo bem no ano de 2000. E de quanto foi essa redução? Ora, é sósubtrair:58,3-100=-41,7. O sinal negativo no resultado da subtração nos indica que houve umaredução no preço do produto no ano dado em relação ao ano base! Observemos que estes três valores que encontramos, 33,3%, 0% e –41,7%,correspondem ao que chamamos de variação de preço! Daí, podemos ainda afirmar que: Variação de preço = po ,n − 100 Daí, chegamos também ao seguinte: po,n = 100 + variação de preço Só isso! Não é fácil? Já sabemos o primeiro número índice! # Número Índice Relativo de Quantidade: O próximo número índice simples que aprenderemos é o Índice Relativo de Quantidade!Este é designado por qo,n. É praticamente a mesma coisa que o índice relativo de preços, com uma únicadiferença: em vez de tratarmos de preços, estaremos lidando com quantidades dos produtos! Calcularemos o relativo de quantidade da seguinte forma: qn qo ,n = qo Conforme já sabemos, qo é a quantidade do bem no ano base; e qn quantidade doproduto no ano dado! Suponhamos um exemplo, em que uma determinada loja conseguiu vender 300aparelhos de DVD em 2002, enquanto apenas 120 no ano de 2000. Qual seria o índice relativode quantidade em 2002, com base no ano de 2000? Teremos que: q 2002 q 2000, 2002 = q 2000 Daí: q2000,2002=(300/120)=2,5=250% www.pontodosconcursos.com.br 3
  4. 4. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Se fôssemos colocar esse resultado em uma tabela, teríamos o seguinte: Índices Relativos de Quantidade (%) Produto 2000 (qo) 2002 (qo,n) DVD 100 250,0 Concluímos, portanto, que houve uma variação de quantidade de 150%. Ouseja, fazendo a diferença entre o índice relativo de quantidade que calculamos e 100% (que é oíndice do ano-base), chegamos à variação de quantidade! Ou seja: 250%-100%=150%. Em outras palavras: em termos de quantidade, foram vendidos nesta loja 150%aparelhos de DVD a mais em 2002, em relação à quantidade vendida no ano de 2000. # Número Índice Relativo de Valor: De antemão, precisamos saber que o conceito de valor é um produto! Teremosque: valor=(preço x quantidade). E isso é bem intuitivo! Se eu comprar duas canetas, ao preçode R$10,00 cada, qual o valor que estarei pagando? É só multiplicar! Pois bem! O Índice Relativo de Valor será dado por: vn vo , n = vo E, como dissemos acima, Valor=(Quantidade.Preço). Daí: Vo= po.qo e Vn=pn.qn Daí, podemos concluir que: vn pn × qn pn qn vo , n = = = × = po ,n × qo ,n vo po × qo po qo Ou seja, o Índice Relativo de Valor pode ser decomposto em um relativo de preçoe um relativo de quantidade. Façamos um exemplo! Suponhamos que uma loja vendeu, no ano de 2000, umaquantia de 520 fogões, ao preço de R$350,00. Em 2002, essa mesma loja conseguiu venderapenas 400 fogões, ao preço de R$600,00 cada. Qual seria o índice relativo de valor, tomandopor base o ano de 2000? Se quisermos, podemos colocar os dados deste enunciado numatabela, de forma que teremos o seguinte: Preços (em R$1,00) Quantidades (unid.) Produto 2000 ( po ) 2002( p n ) 2000 (qo) 2002(qn) Fogão 350,00 600,00 520 400 Daí, faríamos: v 2002 p ⋅q 600 x 400 240.000 v 2000, 2002 = = n n = = = 1,3187 = 131,87% v 2000 p o ⋅ q o 350 x520 182.000 Traduzindo: no ano de 2002, o faturamento desta loja foi 31,87% (=131,87%-100%)maior que em 2000! Apenas isso! www.pontodosconcursos.com.br 4
  5. 5. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO # Propriedades: Passemos a algumas propriedades desses números índices já aprendidos. Propriedade da Identidade! Esta nos diz que, se o ano base e o ano dado se confundem, ou seja, se ano base e anodado são um só, então o valor do índice é 100%! Já vimos isso antes, quando construímos atabela dos relativos! Verificamos que os índices no ano base são sempre iguais a 100%.Lembrados? Quando construímos a tabela dos relativos de preço, encontramos o seguinte: Índices Relativos de Preço (%) Produtos 2000 ( po ) 2002 ( po ,n ) A 100 133,3 B 100 100 C 100 58,3 E encontramos estes valores 100 nos preços relativos de 2000, simplesmente peloseguinte: po p o ,o = = 1 = 100% po Propriedade da Reversão do Tempo! Se trocarmos os anos x e y, no cálculo dos índices, encontraremos a seguinte relação: Ix,y = (1 / Iy,x) Este “I” está substituindo o “p” (de preço), ou o “q” (de quantidade), ou o “v” (devalor)! Isso quer dizer que se tivermos, por exemplo: p2000,2002=125% Podemos afirmar imediatamente que: p2002,2000= (1/p2000,2002)=(1/125%)=80% A mesma coisa se aplica a índices relativos de quantidade e de valor! Propriedade Circular! Essa é boa e já caiu em prova recente do AFRF! Será entendida da seguinte forma: I 0,1 × I1, 2 × I 2,3 × K × I n −1,n = I 0,n Novamente aqui o “I” está em lugar de “p” (de preço), ou de “q” (de quantidade), oude “v” (de valor)! www.pontodosconcursos.com.br 5
  6. 6. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Se tivermos na questão dados relativos a variações de índices (de preço, quantidade ouvalor) de um bem em diversos anos consecutivos, poderemos trabalhar com o uso destapropriedade! Vamos a uma questão do AFRF-2001:(AFRF-2001) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente,apresenta a seqüência de acréscimos δ1=3%, δ2=2% e δ3=2%, medidosrelativamente ao ano anterior, a partir do ano t0. Assinale a opção que corresponde aoaumento de preço do período t0+2 em relação ao período t0-1.a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11%Sol.: Vamos anotar as variações apresentadas pelo enunciado! Variações de preço: δ1=3% ; δ2=2% ; δ3=2% Vimos agora há pouco que: po,n = 100 + variação de preço O segredo agora é ter atenção! O enunciado falou que os acréscimos são medidos emrelação ao ano anterior, a partir do ano t0. Logo, o ano anterior a t0 é a ano t0-1! Daí, aprimeira variação (o primeiro δ) será exatamente a do ano t0 em relação ao ano t0-1! Teremos, portanto, os seguintes relativos de preço: pt 0−1,t 0 = 100% + 3% = 103% pt 0,t 0+1 = 100% + 2% = 102% pt 0+1,t 0+ 2 = 100% + 2% = 102% Daí, o relativo de preço em t0+2 com relação a t0-1 será o seguinte: Pt0-1,t0+2=(1,03)x(1,02)x(1,02) = 1,0716 = 107,16% Daí, restaria fazer: Variação de Preço = Pt0-1,t0+2 - 100% Daí: Variação de Preço = 7,16% Resposta! Uma outra forma de resolver esta questão, talvez até mais simples, consistia apenasem adotar o valor 100 para o primeiro preço (o preço em t0-1). Daí, faríamos as variaçõesdescritas no enunciado, até chegarmos ao preço do ano desejado, que é o t0+2. Vejamos: Pt0-1=100 A primeira variação será de 3%. Ora, 3% de 100 é 100x0,03=3. Daí, passaríamos a: Pt0=103 O próximo delta é 2%. Daí, calcularemos 2% de 103. Chegaremos a: 103x0,02=2,06.Somando este valor ao último preço, teremos: 103+2,06=105,06. Daí: Pt0+1=105,06 Finalmente, a última variação foi de 2%. Calculando 2% de 105,06, teremos:105,06x0,02=2,1012. Daí, somando este valor ao último preço encontrado, chegaremos a: Pt0+2=107,16 www.pontodosconcursos.com.br 6
  7. 7. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Pronto! Como a questão quer saber a variação do preço de Pt0+2 em relação a Pt0-1, sóteremos agora que subtrair! Daí, teremos: 107,16-100=7,16 E poderemos colocar o sinal de %, uma vez que areferência é 100. Teremos, finalmente: 7,16% Resposta!! # Índice Aritmético Simples: Designado por Ia, o Índice Aritmético Simples representa tão somente a MédiaAritmética dos índices relativos! Será calculado, portanto, da seguinte forma: Índice Aritmético Simples de Preço: Ia = ∑p o,n = p A o ,n + p B o ,n + pC o ,n + K n n Onde o numerador é a soma dos relativos de preço dos produtos apresentados numatabela, e n é o número de produtos! Vejamos um exemplo! Consideremos a tabela de índicesrelativos de preços extraída construída por nós anteriormente: Índices Relativos de Preço (%) Produtos 2000 ( po ) 2002 ( po ,n ) A 100 133,3 B 100 100 C 100 58,3 Teríamos que o índice aritmético simples de preço neste caso será igual a: Ia = ∑p o,n = 133,3 + 100 + 58,3 Daí: Ia=97,2 Resposta! n 3 Concluímos, por este cálculo, que houve uma redução de 2,8% (=100-97,2) nos preçosdos três produtos – observados conjuntamente – no ano de 2002, em relação ao ano de 2000. Índice Aritmético Simples de Quantidade: Ia = ∑q o,n = q A o ,n + q B o ,n + qC o ,n + K n n Aqui, a única diferença em relação ao índice anterior é que, em vez de trabalharmoscom preços, estaremos trabalhando com quantidades! Observemos que estes índices aritméticos são ditos “simples” justamente porquetrabalham com um único elemento: ou preço ou quantidade! O próximo número índice será dito “ponderado”, uma vez que levará em conta os doiselementos - preço e quantidade -, de modo que a quantidade será o “fator de ponderação”.Funcionará como uma espécie de “peso”. Vejamos! www.pontodosconcursos.com.br 7
  8. 8. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Índice Aritmético Ponderado: Designado por Iap, e calculado da seguinte forma: Iap = ∑ p .q = o,n p A o ,n .q A + p B o ,n .q B + pC o ,n .q C + K ∑q q A + q B + qC + ... A dica é simples: basta pensar no cálculo da média aritmética para dados tabulados!Estamos todos lembrados? Recordemos que este cálculo seria dado por: X = ∑ Xi. fi n Pois bem! Aqui, nos números índices, o Xi daria lugar aos preços, enquanto que o fidaria lugar às quantidades! Lembraremos ainda que o n da fórmula acima é dado por Σfi.Vejamos um exemplo! Consideremos a tabela abaixo, de preços e quantidades de uma série de produtos.Observemos que os preços já estão expressos como relativos de preços! Vejamos: Relativos de Preços Quantidades Produto 2002( p n ) (em %) 2002(qn) (unid.) A 125 120 B 95 200 C 110 185 Daí, o Índice Aritmético Ponderado neste caso seria dado por: Ia = (125 x120) + (95 x200) + (110 x185) = 54350 = 107,62 (120 + 200 + 185) 505 Índice Harmônico Simples: Será designado por Ih, e representa tão somente a média harmônica dos índicesrelativos. Vejamos. Índice Harmônico Simples de Preço: Aqui, repetiremos a fórmula da Média Harmônica para o rol, substituindo Xi pelosíndices relativos de preços! Apenas isso! Teremos: n n Ih = = 1 1 1 1 ∑p p Ao ,n + p Bo ,n + pCo ,n +K o ,n Vamos a um exemplo! Usando os dados da tabela da página 12, abaixo transcrita,calculemos o índice harmônico simples de preço. Índices Relativos de Preço (%) Produtos 2000 ( po ) 2002 ( po ,n ) A 100 133,3 B 100 100 C 100 58,3 www.pontodosconcursos.com.br 8
  9. 9. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 3 Ih == = 86,57 Daí: Ih=86,57 1 1 1 + + 133,3 100 58,3 Segundo este cálculo, houve uma redução de 13,43% (=100-86,57) nos preços dostrês produtos – observados conjuntamente – no ano de 2002, em relação ao ano de 2000. Índice Harmônico Simples de Quantidade: Aqui, a única diferença em relação ao índice acima será que agora trabalharemos comquantidades, em vez de preços! Teremos, portanto, que: n n Ih = = 1 1 1 1 ∑q q Ao ,n + q Bo ,n + qCo ,n +K o ,n Índice Harmônico Ponderado: Designado por Ihp, e calculado da seguinte forma: Ihp = ∑q = ∑q ⎛ q ⎞ qA q q + B + C +K ∑⎜ p ⎜ ⎟ ⎟ p Ao ,n p Bo ,n pCo ,n ⎝ o ,n ⎠ Novamente a dica se repete: basta lembrarmos da fórmula da Média Harmônica paraDados Tabulados! Daí, trocaremos Xi pelos relativos de preços e trocaremos fi pelasquantidades! Vamos a um exemplo! Considerando os dados da tabela abaixo, calculemos oíndice harmônico ponderado: Relativos de Preços Quantidades Produto 2002( p n ) (em %) 2002(qn) (unid.) A 125 120 B 95 200 C 110 185 120 + 200 + 185 Ihp = Daí, feitas as contas: Ihp=106,38 Resposta! 120 200 185 + + 125 95 110 Índice Geométrico Simples: Será designado por Ig, e representa apenas a média geométrica dos índicesrelativos. Abriremos parêntese para aprender como se calcula a Média Geométrica de umconjunto! E é muito simples. Designaremos por X g ! Teremos: Média Geométrica para o Rol: Xg = n ∏ Xi www.pontodosconcursos.com.br 9
  10. 10. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO O símbolo ∏ significa “produtório”. É o irmão do somatório ∑ , com a diferença queo somatório soma, e o produtório multiplica! Daí, produtório de um conjunto de elementos Xi nada mais é que o produto desteselementos! Exemplo: Calculemos a média geométrica do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Xg = n ∏ Xi X g = 5 1x 2 x3x 4 x5 X g = 5 120 E: X g = 2,61 Média Geométrica para Dados Tabulados: Faremos a transição já nossa conhecida! Aqui, surgirá o fi. Teremos: Xg = n ∏ Xi fi Observemos que neste caso, o fi ficará no expoente do Xi! Média Geométrica para Distribuição de Freqüências: Basta substituir Xi por Ponto Médio (PM). Teremos: Xg = n ∏ PM fi Índice Geométrico Simples de Preço: Aqui, repetiremos a fórmula da Média Geométrica para o rol, trocando apenas Xi pelosrelativos de preço! Teremos: Ig = n ∏p 0,n = n p Ao ,n × p Bo ,n × pCo ,n × K Exemplo: calculemos o índice geométrico simples de preços dos dados abaixo. Índices Relativos de Preço (%) Produtos 2000 ( po ) 2002 ( po ,n ) A 100 133,3 B 100 100 C 100 58,3 Ig = n p Ao,n × p Bo,n × pCo ,n × K = 3 133,3x100 x58,3 = 3 777.139 = 91,94 Índice Geométrico Simples de Quantidade: Usaremos a fórmula do índice anterior, apenas trocando os relativos de preços porrelativos de quantidades! Teremos: Ig = n ∏q 0,n = n q Ao ,n × q Bo ,n × qCo ,n × K www.pontodosconcursos.com.br 10
  11. 11. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Índice Geométrico Ponderado: Designado por Igp, e calculado da seguinte forma: Igp = ∑ ∏p = ∑ p Ao ,t × p Bo,t × pCo ,t ×K q q q qA qB qC 0 ,t Exemplo: Calculemos o índice geométrico ponderado dos dados abaixo. Índices Complexos de Quantidade e de Preço: Estes dois índices que vamos aprender – Laspeyres e Paasche – são constantementeexigidos em provas do AFRF! São índices que envolvem preços e quantidades, simultaneamente, referentes a duasépocas distintas: ano base e ano dado! Então, o que poderia ser efetivamente mais complicadoaqui seria apenas conhecer as quatro fórmulas! Teremos duas fórmulas para Paasche e duaspara Laspeyres. Um primeiro contato com as fórmulas: Índice de Preço de Paasche: Pa = ∑ p .q n n ∑ p .q o n Índice de Quantidade de Paasche: Pa = ∑ q .p n n ∑ q .p o n Índice de Preço de Laspeyres: La = ∑ p .q n o ∑ p .q o o Índice de Quantidade de Laspeyres: La = ∑ q .p n o ∑ q .p o o É...! A primeira impressão não é das melhores! Temos que aprender um meio dememorizar estas quatro fórmulas! Vamos lá. # Memorizando Laspeyres e Paasche: 1º Passo) As quatro fórmulas começam com somatório sobre somatório! Preço de Paasche: Pa = ∑ .......... ∑ .......... Quantidade de Paasche: Pa = ∑ ........... ∑ ........... Preço de Laspeyres: La = ∑ ........... ∑ ........... Quantidade de Laspeyres: La = ∑ ........... ∑ ........... www.pontodosconcursos.com.br 11
  12. 12. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO 2º Passo) Índice de preço começa com preço, enquanto índice de quantidade começacom quantidade! Teremos: Preço de Paasche: Pa = ∑ p.q ∑ p.q Quantidade de Paasche: Pa = ∑ q. p ∑ q. p Preço de Laspeyres: La = ∑ p.q ∑ p.q Quantidade de Laspeyres: La = ∑ q. p ∑ q. p 3ºPasso) Agora, “amarraremos” as quatro fórmulas, dando um “nó” (n,o) navertical! Ficaremos com: Preço de Paasche: Pa = ∑ p .q n ∑ p .q o Quantidade de Paasche: Pa = ∑ q .pn ∑ q .po Preço de Laspeyres: La = ∑ p .q n ∑ p .q o Quantidade de Laspeyres: La = ∑ q .pn ∑ q .po 4º Passo) Agora só nos resta complementar os dois preços ou quantidades que estãofaltando em cada fórmula com os índices (o) ou (n). Saibamos que, para cada uma destasfórmulas, os índices que estão faltando são iguais, ou seja, estão faltando ou dois (o) ou dois(n). Aí, iremos nos lembrar do “bizú do pão-de-ló”. (Essa teoria, se é que podemos chamarassim, não existe em livro nenhum...é mais uma das minhas invenções malucas!). Do bizú do pão-de-ló, nós só vamos aproveitar o “ló”. O “ló” traz o “L” de Laspeyres e o“o” do índice “o”. Daí, lembraremos da frase: “Laspeyres é ló!” E se Laspeyres é ló, então osdois índices que estão faltando para concluirmos a fórmula são ambos o próprio “o”. Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 12
  13. 13. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Preço de Laspeyres: La = ∑ p .q n o (“Laspeyres é ló”!) ∑ p .q o o Quantidade de Laspeyres: La = ∑ q .p n o (“Laspeyres é ló”!) ∑ q .p o o E quanto ao Paasche? Ora, Paasche não é ló! Então, concluímos que “Paasche é n”!Teremos: Preço de Paasche: Pa = ∑ p .q n n (“Paasche é n”!) ∑ p .q o n Quantidade de Paasche: Pa = ∑ q .p n n (“Paasche é n”!) ∑ q .p o n Pronto! É só isso! Uma vez conhecendo as quatro equações acima, o que restará serfeito é apenas alimentá-las com os dados de uma tabela, a qual será fornecida na questão! Ouseja, fica faltando somente fazer o copiar-colar, e matar a questão!Importante: Os resultados de qualquer destas quatro fórmulas terão que ser, ao final,multiplicados por 100 (cem)! Vejamos resolver algumas questões de provas passadas, e entenderemos melhor comoaplicar as fórmulas de Paasche e de Laspeyres. Adiante!AFTN/94: Considere a estrutura de preços e de quantidades relativa a um conjunto de quatrobens, transcrita a seguir, para responder as três próximas questões.ANOS ANO 0 (BASE) ANO 1 ANO 2 ANO 3BENS Preços Quantidade Preços Quantidade Preços Quantidade Preços Quantidade B1 5 5 8 5 10 10 12 10 B2 10 5 12 10 15 5 20 10 B3 15 10 18 10 20 5 20 5 B4 20 10 22 5 25 10 30 5101. (AFTN/1994) Os índices de quantidade de Paasche, correspondentes aos quatro anos,são iguais, respectivamente a: a) 100,0; 90,8; 92,3; 86,4 b) 100,0; 90,0; 91,3; 86,4 c) 100,0; 90,0; 91,3; 83,4 d) 100,0; 90,8; 91,3; 82,2 e) 100,0; 90,6; 91,3; 86,4Sol.: A primeira coisa que temos que recordar é a fórmula do índice de quantidade de Paasche.Lembrando dos artifícios mnemônicos que apresentei acima, saberemos que a fórmula que nosinteressa aqui é a seguinte: www.pontodosconcursos.com.br 13
  14. 14. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Pa = ∑ q .p n n ∑ q .p o n Agora, observemos as respostas! Todas elas começam com o valor 100! Isso por quê?Porque esse primeiro índice diz respeito ao cálculo do ano zero (ano base) em relação a elepróprio! Logicamente, que dispensaremos esse cálculo! Nosso trabalho será fazer as contas restantes: Ano 1, em relação ao ano zero; Ano 2 em relação ao ano zero; e Ano 3 em relação ao ano zero! Observemos que estamos calculando tudo “em relação ao ano zero”, exatamenteporque o ano zero é o ano de referência! Antes de iniciarmos as contas, olharemos para as respostas! Qual é o segundo valorque vem nas opções de resposta? Temos 90,8 , 90,0 e 90,6. Ora, como temos valoresdiferentes, faremos esse primeiro cálculo, do índice de quantidade de Paasche do ano 1 emrelação ao ano zero! Teremos: Pa = ∑ q .p n n = (5 x8) + (10 x12) + (10 x18) + (5 x 22) = 450 = 0,900 ∑q .p o n (5 x8) + (5 x12) + (10 x18) + (10 x 22) 500 Este resultado será multiplicado por 100! Teremos: Pa=0,90x100=90,0 Agora, analisemos as opções! Com este valor 90,0 reduzimos as possibilidades deresposta às opções b e c. Quem for bom observador já viu que após o 90,0, nestas duas opções,encontraremos o mesmo valor 91,3, que corresponde ao índice de Paasche do ano 2 em relaçãoao ano zero! Como a resposta é a mesma, o “desempate” sairá mesmo com as contas do índicedo ano 3 em relação ao ano zero! É o que faremos agora! Teremos: Pa = ∑q .p n n = (10 x12) + (10 x20) + (5 x 20) + (5 x30) = 570 = 0,864 ∑q .p o n (5 x12) + (5 x20) + (10 x 20) + (10 x30) 660 Que multiplicado por 100, ficará: 0,864x100=86,4 Finalmente, chegamos à resposta! Opção B!102. (AFTN/1994) Os índices de preços de Laspeyres correspondentes aos quatro anos sãoiguais, respectivamente, a: a) 100,0; 117,7; 135,3; 155,3 b) 100,0; 112,6; 128,7; 142,0 c) 100,0; 112,6; 132,5; 146,1 d) 100,0; 117,7; 132,5; 146,1 e) 100,0; 117,7; 133,3; 155,3 Sol.: O ponto de partida aqui será também a fórmula! Sem conhecermos a fórmula,como poderemos querer acertar a questão? Não dá! Ei-la: Índice de Preço de Laspeyres La = ∑ p .q n o ∑ p .q o o Observando as respostas, vimos que todas as opções começam com o valor 100,0. Jásabemos o motivo disso: esse valor representa o índice calculado para o ano zero (ano base),em relação a ele próprio! www.pontodosconcursos.com.br 14
  15. 15. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Antes de passarmos às próximas contas, vamos escolher com qual “ano dado” iremostrabalhar! Como escolher isso? Olhando para as respostas, e buscando aquela que, em todas asopções, há valores diferentes! Vejamos: o segundo valor das cinco opções ou serão 117,7 ou serão 112,6. Issonão é bom! Não vai nos trazer conclusão nenhuma! Já, o terceiro valor das opções – que serefere ao índice do ano dois em relação ao ano zero – nos traz um leque maior: 135,3 ou 128,7ou 132,5 ou 133,3. A única resposta que se repete é o 132,5. Ou seja, se der qualquer umadas outras respostas, já teremos “matado” a questão!! Passemos às contas: La = ∑ p .q n o = (10 x5) + (15 x5) + (20 x10) + (25 x10) = 575 = 1,353 ∑ p .q o o (5 x5) + (10 x5) + (15 x10) + (20 x10) 425 Esse valor, multiplicado por 100, resultará em: 135,3 Com isso, já chegamos à resposta! Opção A.(AFTN-1996) Para efeito das duas próximas questões, considere os seguintes dados: Artigos Quantidades (1000t) Preços (R$/t) 1993 1994 1995 1993 1994 1995 1 12 13 14 58 81 109 2 20 25 27 84 120 164103. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Laspeyres de preços, noperíodo de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. a) 100,0; 141,2; 192,5 b) 100,0; 141,4; 192,8 c) 100,0; 141,8; 193,1 d) 100,0; 142,3; 193,3 e) 100,0; 142,8; 193,7 Sol.: Bem! Aqui, se você é bom observador, já viu que só aplicaremos a fórmula umaúnica vez! Claro! Para o ano de 1995, em relação ao ano de 1993 (que é o base!). Por que isso?Porque os cinco valores, nas cinco opções de resposta, são todos diferentes! Teremos: La = ∑ p .q n o = (109 x12) + (164 x 20) = 4588 = 1,931 ∑ p .q o o (58 x12) + (84 x 20) 2376 Multiplicando esse resultado por 100, chegaremos à resposta! Portanto: La=193,1 Resposta) Opção “C”!104. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Paasche de preços, noperíodo de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993. a) 100,0; 141,3; 192,3 b) 100,0; 141,6; 192,5 c) 100,0; 141,8; 192,7 d) 100,0; 142,0; 193,3 e) 100,0; 142,4; 193,6 www.pontodosconcursos.com.br 15
  16. 16. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Sol.: Nesta questão, da mesma forma que na anterior, só precisaremos aplicar afórmula do índice uma única vez! Basta olharmos com cuidado para as opções de resposta everemos que o segundo valor de todas as opções são todos distintos. O terceiro valor também!Daí, podemos escolher, entre fazer o cálculo do ano 94 em relação a 93, ou do ano 95 emrelação a 93. Fica a gosto do freguês! Aplicaremos aqui o preço de Paasche de 1994 em relação a 1993. Teremos: Pa = ∑ p .q n n = (81x13) + (120 x 25) = 4053 = 1,420 ∑ p .q o n (58 x13) + (84 x 25) 2854 Multiplicando este valor por 100, chegaremos à resposta! Daí: 1,42x100=142,0 Resposta)Opção “D”!106. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de cincoprodutos: Ano 1960 (ano base) 1970 1979 Preço (po) Quant. (qo) Preço (p1) Preço (p2) Produto A 6,5 53 11,2 29,3 Produto B 12,2 169 15,3 47,2 Produto C 7,9 27 22,7 42,6 Produto D 4,0 55 4,9 21,0 Produto E 15,7 393 26,2 64,7 Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0 Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979com base em 1960. a) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 Sol.: Aqui temos uma questão mais fácil ainda! Observemos que o enunciado nadadispôs acerca de qual dos índices de Laspeyres deveria ser utilizado, se o de preços ou o dequantidades! Porém, analisando os dados fornecidos na tabela acima, vemos que a sua última linhaapresenta alguns resultados já em forma de somatórios! E todos eles estão iniciando com preço!Daí, concluímos: vamos trabalhar buscando o índice de preços de Laspeyres, do ano de 1979 emrelação a 1960! Teremos: La = ∑ p .q n o = 37262,0 = 4,136 ∑ p .q o o 9009,7 Multiplicando isto por 100, teremos nosso resultado final! Daí: 4,136 x 100 = 413,6 Resposta) Opção B! www.pontodosconcursos.com.br 16
  17. 17. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO# Mudança de Base: O último ponto teórico do programa do AFRF e, portanto, deste nosso Curso, estáinserido no contexto dos Números Índices, e é chamado de Mudança de Base! Trata-se do assunto o mais fácil de todos! Na questão de “mudança de base”, seráfornecida uma tabela muito simples, com duas linhas: na de cima, uma seqüência de épocasdistintas; na de baixo, índices que representam geralmente preços de um determinado produto! Em suma, teremos preços de um bem em diferentes anos! Nesta tabela, apenas um dos valores da segunda linha será igual a 100. Este ano será,portanto, chamado ano base (ou ano de referência)! Todos os demais índices de preços podemser imediatamente “comparados” de forma percentual ao preço do ano base, uma vez que esteúltimo é igual a 100! Por exemplo, consideremos a tabela abaixo: Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Índice 75 88 92 100 110 122 Aqui, nosso ano base é 1984, pois é o único que traz o índice igual a 100. (Ficou fácilenxergar isso, pelo destaque que eu dei na tabela acima). Se quisermos comparar o que houvecom o preço desse produto no ano de 1985, diremos sem dificuldades que ocorreu um aumentode 10%. Claro! (110-100=10). Pois bem! O problema agora é o seguinte: queremos mudar a base dessa tabela! Ouseja, queremos que o ano base deixe de ser 1984 e passe a ser outro qualquer! Por exemplo,queremos que o ano base passe a ser o de 1981. O que faremos? Ora, se a nova base vai ser o ano de 1981, naturalmente que o índice deste ano teráque assumir o valor de 100. A pergunta: qual é seu valor atualmente? É 75! Então, teremos quefazer uma operação matemática, para que 75 transformem-se em 100! Basta, para tanto, dividirmos por 0,75. Vejamos: 75 75 ⎛ 100 ⎞ = = 75 x⎜ ⎟ = 100 0,75 ⎛ 75 ⎞ ⎝ 75 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠ Pronto! Com isso, nosso índice que antes era 75, agora passou a 100! Era isso oque queríamos fazer! O que nos resta agora é apenas saber que, a mesma operação que foi realizadacom o índice da nova base será também feita com todos os outros índices da tabela! Ou seja, não vai mudar só o índice do ano-base: mudará toda a tabela! E a operaçãoserá a mesma: dividir por 0,75. Teremos, portanto: Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Índice 100 88/0,75 92/0,75 100/0,75 110/0,75 122/0,75 Chegaríamos a: Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Índice 100 117,33 122,67 133,33 146,67 162,67 www.pontodosconcursos.com.br 17
  18. 18. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Esta é nossa nova tabela, cuja nova base é o ano de 1981! Naturalmente que, na prova, não iremos construir toda a nova tabela! Iremos nosfixar apenas no que for solicitado pelo enunciado! Uma questão versando sobre esse assuntocaiu na prova do AFRF-98, e pegou muita gente! Vejamos essa questão!(AFTN-1998) A tabela seguinte dá a evolução de um índice de preço calculado com base noano de 1984. Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Índice 75 88 92 100 110 122 No contexto da mudança de base do índice para 1981 assinale a opção correta: a) Basta dividir a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova base c) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série de preços na nova base d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de preços,mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória. e) Basta multiplicar a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00 Sol.: Essa tabela fornecida na questão já é nossa conhecida: é exatamente o exemploque acabamos de trabalhar! Daí, já sabemos que nossa operação, para passarmos o ano basede 1984 para 1981 será aquela de dividir os índices por 0,75. Agora, reparemos melhor as opções b e d: b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova base. d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série de preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação. A mim, muito me parece que ambas estão corretas! Inclusive eu fiz essa prova, naépoca, (minha primeira tentativa!), e embora pensando que estavam as duas opçõesperfeitamente corretas, já tinha conhecimento das “malícias” da ESAF. Daí, pensando nisso,marquei a letra D e acertei a questão! Daí, faremos o caminho inverso: aprenderemos pela resposta! Doravante,entenderemos que, no pensamento da ESAF, a divisão por 0,75 é um procedimento que conduza uma aproximação. Li vários livros sobre o assunto, e nenhum deles falou dessa forma. Mas,como nosso objetivo aqui é um ponto a mais na prova, eu, se fosse vocês, aceitaria esseentendimento como se fosse lei! Para fechar esta aula de hoje, vou resolver mais duas questões de Números Índices quenem estão previstas na relação do nosso Curso, mas que eu não queria deixar de resolver.Foram cobradas recentemente em concursos do AFRF. Vamos a elas!(AFRF-2000) Uma empresa produz e comercializa um determinado bem X. A empresa queraumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende atingir este objetivo aumentando o preçodo produto e a quantidade produzida em 20%. Supondo que o mercado absorva o aumento deoferta e eventuais acréscimos de preço, qual seria o aumento de preço necessário para que afirma obtenha o aumento de faturamento desejado?a) 25,3% b) 20,5% c) 33,3% d) 40,0% e) 35,6%Sol.: Uma questãozinha que se resolve só pela álgebra! Só precisamos saber que faturamento équantidade vezes preço! Ou seja: Faturamento = Quantidade x Preço www.pontodosconcursos.com.br 18
  19. 19. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO Como o enunciado vem falar em aumentos percentuais, um ótimo artifício seriaestabelecer os valores inicias de preço e quantidade como sendo iguais a 100. Daí, teríamos: 10.000 (fat.) = 100 (q) x 100 (p) Daí, a questão quer aumentar o faturamento em 60% e a quantidade em 20%.Teríamos, portanto: 16.000 (fat.) = 120 (q) x preço Daí: preço = 16.000 / 120 E: preço=133,3 Ora, se partimos de um preço igual a 100, e passamos a 133,3 , concluímos que oaumento foi apenas dessa diferença. Ou seja: Aumento do preço = 133,3 – 100 = 33,3 E como o valor de referência é igual a 100, podemos colocar o sinal de % no resultado.Teremos: Aumento do preço = 33,3% Resposta!(AFRF-2002) A inflação de uma economia, em um período de tempo t, medida por um índicegeral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que dá a desvalorização da moeda dessaeconomia no mesmo período. a) 30,00% b) 23,08% c) 40,10% d) 35,30% e) 25,00% Sol.: Esta questão, que foi cobrada no primeiro concurso de 2002, exigiu oconhecimento de um índice que, certamente, não estava (e nunca esteve!) no programa. Trata-se do índice deflator, ou índice de desvalorização da moeda! Seu cálculo é dado pelo seguinte: 1 desvalorização = −1 IPo ,t Onde IPo,t significa exatamente o índice de preço, e será calculado com base no valorda inflação do período, da seguinte forma: IPo,t=INFLAÇÃO+100% Esta inflação foi fornecida pelo enunciado como sendo igual a 30%. Daí, teremos: IPo,t=30%+100%=130%=1,30 Agora, é só aplicar a fórmula do deflator. Teremos: ⎛ 1 ⎞ desvalorização = ⎜ ⎟ − 1 = −0,2308 = −23,08% ⎝ 1,30 ⎠ O sinal negativo apenas indica que o dinheiro se desvalorizou naquele período. Daí,chegamos à nossa resposta: Desvalorização = 23,08% Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 19
  20. 20. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO É isso! Vou deixar a modéstia de lado e dizer o seguinte: você, meu caro aluno online,dificilmente vai encontrar uma aula de Números Índices como esta. Nem no meu livro (“Estatística Básica”, Ed. Campus) o capítulo dos números índicesestá assim tão bem explicado. E como vocês mesmo puderam ver, eu resolvi quase todas as questões do nossomaterial que tratam deste assunto, de sorte que ficou apenas uma para você resolver em casa.Assim, aí vai: Dever de Casa 107. (AFRF-2005) Considerando-se os dados sobre os preços e as quantidades vendidas de dois produtos em dois anos consecutivos, assinale a opção correta: Produto I Produto II Ano P11 Q11 P21 Q21 1 40 6 40 2 2 60 2 20 6 a) O índice de Laspeyres indica um aumento de 50% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 50%. b) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Laspeyres são 80 para o preço relativo do produto 1 e 240 para o preço do produto 2. c) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 75%. d) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Paasche são 240 para o preço relativo do produto 1 e 80 para o preço relativo do produto 2. e) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preço dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 25%. Antes de encerrar nosso encontro, duas palavrinhas. Estamos chegando ao final das resoluções previstas para este Curso. Depois desta aulade hoje, fica faltando resolvermos o exercício final, que são as questões da prova do últimoAFRF, e uma ou outra questão que tenha sido, eventualmente, saltada. Então, na nossa próxima aula, farei um pente fino em todas as questões do nossomaterial, procurando ver se alguma delas deixou de ser resolvida, e trarei também a resoluçãoda prova do AFRF 2005. Estou em falta com vocês com as perguntas do fórum. O motivo desta falta é o mesmoque apresentei no início da aula de hoje. Quero me redimir com vocês! Vou pedir ao Site quemantenha o Curso aberto por pelo menos mais duas semanas, até que eu tenha condições detentar dirimir todas as dúvidas que estão lá pendentes, e mais aquelas que vierem a serpostadas nos próximos dias. Ok? Se me permitem uma confissão, eu sempre fui um professor meio vaidoso, no sentido denunca querer que alguém diga que fiz um trabalho mal feito. Sempre gostei de ver todossatisfeitos com minhas aulas, sejam escritas, sejam presenciais. Esse é mais um motivo peloqual fiquei imensamente contrariado por ter atrasado estas últimas aulas. Sei que ninguémgosta de atraso, tampouco eu. Assim, pela enésima vez, quero lhes pedir que me perdoem. Outro pedido: leiam com calma a aula de hoje (sobretudo Laspeyres e Paasche).Números Índices é sempre uma questãozinha sagrada na prova de Estatística Básica! Ok? É isso! Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 20

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