Estatistica regular 1

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Estatistica regular 1

  1. 1. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA AULA 01 Olá, amigos! Espero que estejam todos bem! E bem dispostos, a propósito! Isso porque considero esta nossa primeira aula como a mais importante delas.Conforme dito no final do encontro anterior, exploraremos hoje tudo o que pode serdito acerca de uma Distribuição de Freqüências! Sem mais delongas, demos início ao nosso estudo. A Distribuição de Freqüências é nada mais que uma tabela, por meio da qualconheceremos o resultado de uma pesquisa realizada. O exemplo mostrado na aula de apresentação contemplava um grupo deduzentas pessoas que seriam questionadas sobre o número de livros que cada umadelas lêem por ano. (Lembrados?) Assim, o resultado desta enquete foi transcritopara uma tabela, e apresentado da forma seguinte: Classes fi (número de livros (pessoas) lidos por ano) 0 !--- 5 108 5 !--- 10 72 10 !--- 15 18 15 !--- 20 2 Total 200 Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências!Trata-se, portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisarealizada. A característica marcante da Distribuição de Freqüências é que a variávelestudada estará subdivida em classes! As classes serão, portanto, as subdivisões da nossa variável. É um conceitointuitivo. Basta olharmos, e concluímos que essa Distribuição acima possui quatroclasses: 1ª Classe) Pessoas que lêem entre zero e cinco livros por ano; 2ª Classe) Pessoas que lêem entre cinco e dez livros por ano; 3ª Classe) Pessoas que lêem entre dez e quinze livros por ano; 4ª Classe) Pessoas que lêem entre quinze e vinte livros por ano; Observem que cada classe será margeada por dois limites, chamadosrespectivamente de limite inferior (linf) e limite superior (lsup). Esses limites são justamente os valores que você está enxergando no início eno fim de cada classe. Assim, teremos que: 1ª Classe) linf=0 e lsup=5 2ª Classe) linf=5 e lsup=10 3ª Classe) linf=10 e lsup=15 4ª Classe) linf=15 e lsup=20 www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 3
  2. 2. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Facilmente vocês já observaram que onde acaba uma classe, começa apróxima! Não é verdade? Ou seja, o limite superior de uma classe é igual ao limiteinferior da classe seguinte. Agora uma pergunta interessante, a qual você deverá tentar responder apenasolhando para a tabela. Ok? Uma pessoa que lê exatamente 10 (dez) livros por anoentrará na contagem da segunda classe ou da terceira? Veja a tabela novamente: Classes fi (número de livros (pessoas) lidos por ano) 0 !--- 5 108 5 !--- 10 72 10 !--- 15 18 15 !--- 20 2 Total 200 Vemos que 10 é limite superior da segunda classe e inferior da terceira. Mas, eaí? Quem lê 10 livros participará de qual das classes, segunda ou terceira? Para responder a essa pergunta, precisamos conhecer o significado deintervalo de classe! E esse conceito será definido com base no símbolo que estiverpresente entre os limites da classe. No caso do exemplo acima, o símbolo presente é este: !---- Essa simbologia tem um significado. Ampliemos o símbolo para explicarmosmelhor: Linf Lsup A presença do tracinho vertical no lado do limite inferior significa que ele estaráincluído no intervalo de classe. Falamos em intervalo fechado à esquerda. A ausência do tracinho vertical no lado do limite superior quer dizer que estelimite estará excluído do intervalo! Falaremos em intervalo aberto à direita. Daí, se analisarmos a segunda classe, teremos: 5 10 Esta classe possui como limites os valores 5 e 10. Porém, uma pessoa que lêexatamente 10 (dez) livros não entrará na contagem desta segunda classe, uma vezque 10 é limite superior desta classe, e aqui temos que o intervalo é aberto à direita.Ou seja, o limite superior está excluído desta contagem, embora faça parte da classecomo um de seus limites! Você conclui: classe é uma coisa; intervalo de classe é outra. Quem define ointervalo é a simbologia que separa os limites das classes. www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 4
  3. 3. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Este símbolo que vimos acima (ı----) é aquele com o qual trabalharemossempre! É, por assim dizer, a simbologia clássica! Trabalharemos sempre com essa consideração: intervalo fechado à direita eaberto à esquerda. E por que será sempre assim? Porque nossa elaboradora, a Esaf, considera queem uma Distribuição de Freqüências, trabalha-se sempre com variáveis contínuas! Todos lembrados do que é uma variável contínua? É aquela que pode assumirqualquer resultado. Em outras: entre um resultado possível e outro, não pode haverqualquer descontinuidade. E se não pode haver descontinuidade entre resultados possíveis da variável,faz-se necessário que onde termine uma classe, comece a próxima. Alguém dirá: mas professor, número de livros lidos por ano é uma variáveldiscreta! Sim. Eu sei que é. Eu só usei essa variável para ilustrar o que é umaDistribuição de Freqüências. Não fui muito rigoroso com o exemplo. Ok? Mas na prova, para efeito de uma questão teórica, fica valendo o seguinte: naDistribuição de Freqüências, trabalhamos com variáveis contínuas! Outras simbologias há na definição de outros tipos de intervalos de classe.Como não são de nosso interesse, não trataremos a seu respeito. O próximo elemento que estudaremos é a amplitude da classe. Um conceitomuito simples. Amplitude será, para nós, sinônimo de tamanho. Amplitude daclasse será, portanto, o tamanho da classe. Representaremos esse conceito com aletra h (minúscula). Observando a nossa tabela, percebemos facilmente que todas as classeapresentam a mesma amplitude (o mesmo tamanho). Senão, vejamos: Classes 0 !--- 5 h=5 5 !--- 10 h=5 10 !--- 15 h=5 15 !--- 20 h=5 Pergunta: é obrigado que todas as classes tenham a mesma amplitude? Não!Não é obrigado! Mas é isso é algo esperado. A quase totalidade das Distribuições deFreqüência trazidas em provas usa classes de mesma amplitude. Mas isso não é umaregra. É apenas o usual. Na prova do AFRF de 2005, por exemplo, a Esaf inovou eapresentou uma Distribuição em que nem todas as classes possuíam a mesmaamplitude. Oportunamente veremos os efeitos, na resolução das questões, do fato deestarmos diante de uma Distribuição de Freqüência com classes de amplitudesdiversas. Ok? A rigor, não muda quase nada. Falemos agora sobre o chamado Ponto Médio. O que vem a ser? Ora, o nomeé sugestivo: Ponto Médio (PM) é aquele valor que está rigorosamente no meio daclasse. Cada classe possui, portanto, seu próprio Ponto Médio. Às vezes é possíveldeterminar o PM de uma classe, só de olhar para ela. É o caso do nosso exemplo.Vejamos: qual é o valor que está exatamente entre 0 e 5? É 2,5. Concordam? Claro! Daí, 2,5 é o PM da primeira classe. www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 5
  4. 4. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Mas se tivéssemos uma classe com os seguintes limites: 19,5 !--- 24,5. Podeser que não seja assim tão imediata a determinação desse PM. Assim, calcularemos o PM da classe somando seus limites, e dividindo esseresultado por dois. Ou seja: PM=(Linf+Lsup)/2. Assim, para a classe 19,5 !--- 24,5 , teríamos: PM=(19,5+24,5)/2=22. Só isso! Agora voltemos a nossa Distribuição de Freqüências, e construamos acoluna dos Pontos Médios. Teremos: Classes PM 0 !--- 5 2,5 5 !--- 10 7,5 10 !--- 15 12,5 15 !--- 20 17,5 Alguém conseguiu observar uma relação qualquer entre os Pontos Médios? Sim?Vemos que a diferença entre dois pontos médios consecutivos foi sempre igual a umaconstante. Perceberam? Ou dito de outra forma: o próximo Ponto Médio é sempreigual ao anterior somado a uma constante. Neste caso, essa constante é 5. Ora, onde foi mesmo que vimos esse valor 5?Foi este também o valor da amplitude das classes! Concluiremos assim: sempre que todas as classes de uma Distribuição deFreqüências tiverem a mesma amplitude (mesmo h), observaremos que o próximoPonto Médio será igual ao anterior somado àquela amplitude. É este o primeiro atalho do nosso Curso! Um bem simples, é verdade, mas nãodeixa de ser um atalho! Assim, na hora de construirmos a coluna dos Pontos Médios,a primeira coisa a observar é se todas as classes têm a mesma amplitude. Se for ocaso, você irá apenas descobrir o valor do primeiro Ponto Médio (o PM da primeiraclasse). Daí, basta sair somar este PM com o h e prosseguir realizando essa mesmaoperação, até chegar à última classe. No nosso exemplo, sabemos que h=5, logo,teremos: Classes PM 0 !--- 5 2,5 1º PM, calculado! 5 !--- 10 (2,5+5) = 7,5 10 !--- 15 (7,5+5) = 12,5 15 !--- 20 (12,5+5)= 17,5 Pois bem! Já conhecemos quais os elementos de uma Distribuição deFreqüências. Agora precisamos saber por que essa tabela é chamada assim. O quevêm a ser essas tais freqüências? É sobre isso que falaremos a seguir. Comecemos repetindo a tabela do nosso exemplo: www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 6
  5. 5. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Classes fi (número de livros (pessoas) lidos por ano) 0 !--- 5 108 5 !--- 10 72 10 !--- 15 18 15 !--- 20 2 Total 200 Observemos que a segunda coluna nos revela o número de elementos queparticipa da classe correspondente. Ou seja, o valor 108 na primeira classe da colunado fi significa que há 108 pessoas no conjunto que lêem entre zero e cinco livros porano (cinco exclusive). Assim, concluímos: a coluna do fi, chamada freqüência absoluta simples,indica o número de elementos que faz parte da classe correspondente. Só isso. É afreqüência de mais fácil compreensão! E a mais importante delas também!Precisaremos conhecer os valores da fi para podermos resolver quase todas asquestões de uma prova. Isso nos leva a uma conclusão importantíssima: será preciso, como primeiropasso, saber reconhecer o tipo de freqüência apresentado na tabela da prova! Umavez feito esse reconhecimento, se a freqüência fornecida houver sido a fi (freqüênciaabsoluta simples), então já podemos resolver as questões. Caso contrário, se a provahouver fornecido um outro tipo de coluna de freqüência, diferente do fi, entãoprecisaremos fazer algum trabalho preliminar, no intuito de transformar a coluna defreqüência da tabela na freqüência absoluta simples fi. Ou seja, diante de uma Distribuição de Freqüências, convém seguirmos osseguintes passos: 1º) Reconhecer o tipo de freqüência fornecida na tabela; 2º-A) Se for a freqüência absoluta simples (fi), ótimo: começamos a resolver aprova; 2º-B) Se for um outro tipo de freqüência, diferente do fi, teremos que fazeralgum trabalho preliminar, no sentido de transformar a freqüência fornecida nafreqüência absoluta simples (fi). Eu lhes digo que de nada adiantará você decorar todas as fórmulas desteCurso, se não souber fazer esse tal de trabalho preliminar! Saber fazer isso setornou, por assim dizer, a alma da prova! Ok? Vamos a esse estudo. Existem seis tipos de colunas de freqüências, as quais podem estar presentesnuma Distribuição. A primeira delas já conhecemos: a fi, freqüência absoluta simples. Há ainda outros dois tipos de freqüências absolutas: a fac – freqüência absolutaacumulada crescente, e a fad – freqüência absoluta acumulada decrescente. Haverá também três tipos de freqüências relativas: a Fi, freqüência relativasimples; a Fac – freqüência relativa acumulada crescente; e a Fad – freqüênciarelativa acumulada decrescente. Relacionando-as todas, teremos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 7
  6. 6. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Freqüências Absolutas: - fi : freqüência absoluta simples; - fac: freqüência absoluta acumulada crescente; - fad: freqüência absoluta acumulada decrescente. Freqüências Relativas: - Fi : freqüência relativa simples; - Fac: freqüência relativa acumulada crescente; - Fad: freqüência relativa acumulada decrescente. A primeira delas (fi) está em destaque para que não nos esqueçamos: é a maisimportante de todas! É a imprescindível. Teremos que conhecê-la previamente, antesde começarmos a resolver a prova! Vou criar outro exemplo de Distribuição de Freqüências. Ok? Suponhamos que atabela abaixo represente os pesos de um grupo de crianças. Certo? Teremos: Classes fi (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 30 !--- 40 4 Já sabemos o significado da fi. Assim, temos que 3 crianças têm peso até 10quilos (exclusive); 6 crianças têm peso variando entre 10 e 20 quilos; 7 crianças,peso variando entre 20 e 30 quilos; finalmente, 4 crianças têm peso variando entre 30e 40 quilos. Assim, se perguntarmos quantos elementos há neste conjunto, ou seja,quantas crianças há neste grupo? Para responder isso, basta somarmos os valores dacoluna do fi. Designaremos o número total de elementos de um conjunto por um n(minúsculo). Assim, teremos: Classes fi (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 30 !--- 40 4 n=20 Será sempre assim: na tabela, o número de elementos de um conjunto seráencontrado somando a coluna do fi. Guarde isso! www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 8
  7. 7. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Suponhamos agora que precisamos construir a coluna da fac (freqüênciaabsoluta acumulada crescente). Neste caso, devemos saber do seguinte: 1º) A fac é construída diretamente a partir da fi. (São freqüências irmãs!) 2º) A fac será construída de cima para baixo, uma vez que seus valores sãocrescentes, partindo da primeira classe; 3º) A fac e a fi apresentam o mesmo valor naquela classe em que a faccomeça a ser construída, ou seja, são iguais na primeira classe. 4º) Os demais valores da fac serão obtidos somando-se o valor da fac anteriorcom a fi da diagonal. (Isso será mais bem esclarecido quando virmos o exemplo). Voltemos à tabela do nosso exemplo e sigamos os passos acima: Classes fi fac (pesos, em Kg) Iguais na primeira 0 !--- 10 3 3 classe 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 30 !--- 40 4 n=20 E para construir os demais valores da fac, seguiremos o comando de somarcom a diagonal. Teremos: Classes fi fac (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 3 10 !--- 20 6 9 (=3+6) 20 !--- 30 7 30 !--- 40 4 N=20 E depois: Classes fi fac (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 3 10 !--- 20 6 9 20 !--- 30 7 16 (=9+7) 30 !--- 40 4 n=20 www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 9
  8. 8. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA E finalmente: Classes fi fac (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 3 10 !--- 20 6 9 20 !--- 30 7 16 30 !--- 40 4 20 (=16+4) n=20 Observação importante: a fac termina sempre com o mesmo valor de n(número de elementos do conjunto)! É isso! Aprendemos a construir a coluna da fac, a partir da freqüência absolutasimples (fi). Todos entenderam? Basta lembrar: # De fi para fac: fi e fac são freqüências irmãs! fi e fac são iguais na primeira classe; o resto da fac se constrói somando com a diagonal. E se for preciso fazer o caminho inverso? Ou seja, se quisermos construir a fipartindo da fac? Como se fará isso? Vejamos: 1º) fac e fi são iguais na primeira classe. Teremos: Classes fi fac (pesos, em Kg) Iguais na primeira 0 !--- 10 3 3 classe 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 30 !--- 40 4 n=20 2º) O restante da coluna da fi será construída subtraindo a próxima fac da facanterior. Vejamos como se faz isso: Classes fi fac (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 3 10 !--- 20 (9-3=) 6 9 20 !--- 30 16 30 !--- 40 20 www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 10
  9. 9. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA E depois: Classes fi fac (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 3 10 !--- 20 6 9 20 !--- 30 (16-9=) 7 16 30 !--- 40 20 n=20 E finalmente: Classes fi fac (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 3 10 !--- 20 6 9 20 !--- 30 7 16 30 !--- 40 (20-16=) 4 20 n=20 Daí, concluímos, que: # De fac para fi: fi e fac são freqüências irmãs! fi e fac são iguais na primeira classe; o resto da fi se constrói subtraindo a próxima fac da fac anterior. Passemos a uma outra situação. Suponhamos que agora conhecemos a colunada freqüência absoluta simples fi e pretendemos construir a coluna da fad –freqüência absoluta acumulada decrescente. A primeira coisa a saber é que fi e fad são freqüências irmãs, ou seja, sãoconstruídas uma por meio da outra. A fad, por sua vez, será construída começando pela última classe. E lá, nestaúltima classe, fad e fi terão o mesmo valor! O restante da coluna da fad seguirá um comando já conhecido nosso. Qual?Somar com a diagonal. Vejamos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 11
  10. 10. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA1º) fad e fi são iguais na última classe. Teremos: Classes fi fad (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 Iguais na última 30 !--- 40 4 4 classe n=202º) Subindo e somando com a diagonal, teremos: Classes fi fad (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 11 (=4+7) 30 !--- 40 4 4 n=20E depois: Classes fi fad (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 10 !--- 20 6 17 (=11+6) 20 !--- 30 7 11 30 !--- 40 4 4 n=20E, finalmente: Classes fi fad (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 20 (=17+3) 10 !--- 20 6 17 20 !--- 30 7 11 30 !--- 40 4 4 n=20 www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 12
  11. 11. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Entendido? E se for preciso fazer o caminho de volta? Ou seja, se precisarmosconstruir a coluna da freqüência absoluta simples fi a partir do conhecimento dafreqüência absoluta acumulada decrescente fad, como fazê-lo? Simples. Basta lembrar que: 1º) fi e fad são iguais na última classe; 2º) Orestante da coluna da fi será construída fazendo próxima acumulada menosacumulada anterior. Vejamos: 1º) fad e fi são iguais na última classe. Teremos: Classes fi fad (pesos, em Kg) 0 !--- 10 20 10 !--- 20 17 20 !--- 30 11 Iguais na última 30 !--- 40 4 4 classe 2º) O restante da coluna da fi será construída subindo e subtraindo a próximafad da fad anterior. Vejamos como se faz isso: Classes fi fad 0 !--- 10 20 10 !--- 20 17 20 !--- 30 (11-4=) 7 11 30 !--- 40 4 4 E depois: Classes fi fad 0 !--- 10 20 10 !--- 20 (17-11=) 6 17 20 !--- 30 7 11 30 !--- 40 4 4 E finalmente: Classes fi fad 0 !--- 10 (20-17=) 3 20 10 !--- 20 6 17 20 !--- 30 7 11 30 !--- 40 4 4 É isso! www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 13
  12. 12. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Se tentarmos esquematizar o que vimos até aqui, podemos fazê-lo da seguinteforma: De simples para acumulada: somar com a diagonal fac (iguais na primeira classe) fi fad (iguais na última classe) De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anterior Agora passamos a falar sobre as Freqüências Relativas! A primeira coisa a saber é que as freqüências relativas dizem respeito a valorespercentuais, ou seja, a porcentagens de elementos! Ok? Essa é a diferença entrefreqüências absolutas e relativas: Freqüências Absolutas: dizem respeito a número de elementos; Freqüências Relativas: dizem respeito a porcentagem de elementos. Se quisermos construir a coluna da Freqüência Relativa Simples Fi, partindo doconhecimento da freqüência absoluta simples fi, faremos apenas o seguinte: 1º) Compararemos os somatórios das duas colunas (fi e Fi), sabendo que: a soma da freqüência simples é sempre n (número de elementos doconjunto); e a soma da freqüência relativa simples é sempre 100%. 2º) Estabeleceremos uma relação (de produto ou divisão) entre estes doissomatórios. Ou seja, compararemos n com 100%, e descobriremos qual a relaçãoentre esses dois valores. (Vocês vão já entender isso melhor!) Voltemos ao nosso exemplo. Teremos: Classes fi Fi 0 !--- 10 3 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 30 !--- 40 4 n=20 100% 1º) Qual a relação que se verifica entre 20 e 100%? Ora, com 20 é menor doque 100, então multiplicaremos! (Se fosse o contrário, dividiríamos). Pois bem:multiplicaremos por quanto? Por 5, já que 20x5=100. Uma vez estabelecida esta relação entre os somatórios destas duas colunas defreqüências (fi e Fi), teremos enfim que repetir essa mesma relação com os demaisvalores da freqüência conhecida, e teremos construído a coluna desconhecida! Vejamos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 14
  13. 13. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Classes fi Fi 0 !--- 10 3 15% (=3x5) 10 !--- 20 6 30% (=6x5) 20 !--- 30 7 35% (=7x5) 30 !--- 40 4 20% (=4x5) n=20 100% (x5) A mesma lógica se utiliza para fazer o caminho inverso, ou seja, para seconstruir a coluna da fi partindo do conhecimento da Fi. Teremos: Classes fi Fi 0 !--- 10 15% 10 !--- 20 30% 20 !--- 30 35% 30 !--- 40 20% n=? 100% Neste instante, teremos que reler o enunciado, para ver se foi revelado o valordo n (número de elementos do conjunto). Caso, eventualmente, a questão não reveleo valor do n, adotaremos que n=100. Ok? (Isso foi feito na prova do AFRF de 2003)! Suponhamos aqui, em nosso exemplo, que o enunciado tenha dito que n=20elementos. Teremos: Classes fi Fi 0 !--- 10 3 (=15÷5) 15% 10 !--- 20 6 (=30÷5) 30% 20 !--- 30 7 (=35÷5) 35% 30 !--- 40 4 (=20÷5) 20% n=20 100% (÷5) Lembrem-se apenas de pôr o sinal de porcentagem % nas freqüências relativase de não colocá-lo nas freqüências absolutas! Resta agora aprendermos como construir as colunas das freqüências relativasacumuladas (Fac e Fad). Para construí-las, partiremos de um mesmo lugar: dafreqüência relativa simples Fi. E o faremos seguindo o mesmo esquema utilizado nas transformações entre asfreqüências absolutas. Teremos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 15
  14. 14. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA De simples para acumulada: somar com a diagonal Fac (iguais na primeira classe) Fi Fad (iguais na última classe) De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anteriorVejamos estas transformações:# De Fi para Fac: Classes fi Fi Fac 0 !--- 10 3 15% 15% 10 !--- 20 6 30% 45% (=15%+30%) 20 !--- 30 7 35% 80% (=45%+35%) 30 !--- 40 4 20% 100% (=35%+20%) n=20 100%# De Fac para Fi: Classes fi Fi Fac 0 !--- 10 3 15% 15% 10 !--- 20 6 30% (=45%-15%) 45% 20 !--- 30 7 35% (=80%-45%) 80% 30 !--- 40 4 20% (=100%-80%) 100% n=20 100%# De Fi para Fad: Classes fi Fi Fad 0 !--- 10 3 15% 100%(=85%+15%) 10 !--- 20 6 30% 85% (=55%+30%) 20 !--- 30 7 35% 55% (=20%+35%) 30 !--- 40 4 20% 20% n=20 100% www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 16
  15. 15. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA # De Fad para Fi: Classes fi Fi Fad 0 !--- 10 3 15% (=100%-85%) 100% 10 !--- 20 6 30% (=85%-55%) 85% 20 !--- 30 7 35% (=55%-20%) 55% 30 !--- 40 4 20% 20% n=20 100% Certamente vocês observaram que a coluna da Freqüência Relativa AcumuladaCrescente Fac termina sempre com 100%. E a da Freqüência Relativa AcumuladaDecrescente começa sempre com 100%. Será sempre assim! Anote: Fac: apresenta 100% na última classe! Fad: apresenta 100% na primeira classe! Vocês perceberam também que as duas freqüências absolutas acumuladas (face fad) nascem da freqüência absoluta simples (fi). E viram que as duas freqüênciasrelativas acumuladas (Fac e Fad) nascem da freqüência relativa simples (Fi). Podemos, assim, unir os dois esquemas de transformação em um só, echegaremos ao seguinte: De simples para acumulada: somar com a diagonal fac (iguais na primeira classe) fi fad (iguais na última classe) (comparam-se os dois somatórios) Fac (iguais na primeira classe) Fi Fad (iguais na última classe) De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anterior Meus queridos, conhecer bem este trabalho de transformar uma coluna defreqüências em outra, até chegar à freqüência absoluta simples fi, é algosimplesmente fundamental. www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 17
  16. 16. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Nas últimas provas de AFRF, por pelo menos três ocasiões a Esaf forneceuDistribuições de Freqüências com as quais se precisaria fazer o trabalho preliminar dedescobrir qual a freqüência daquela tabela e, a partir daquela freqüência, construir afi. Vejamos abaixo duas destas Distribuições. Vamos a elas.# (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue. Classes de Salário Freqüências Acumuladas ( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68Sol.: O primeiro passo nosso será descobrir que freqüência foi essa trazida na tabela.A primeira conclusão a tomar é se se trata de uma freqüência absoluta ou de umafreqüência relativa. Será Freqüência Relativa em três casos: 1º) Se o enunciado o disser expressamente; 2º) Se houver um sinal de porcentagem (%) no cabeçalho da coluna; 3º) Se houver sinais de porcentagem nos valores da coluna. Nesta tabela, nenhum sinal indicativo de freqüência relativa esteve presente, oque nos leva a concluir que estamos diante de uma coluna de freqüências absolutas. Sabendo disso, resta-nos uma segunda decisão a tomar: que tipo de freqüênciaabsoluta é essa? Há três tipos: fi (freqüência absoluta simples), fac (freqüênciaabsoluta acumulada crescente) e fad (freqüência absoluta acumulada decrescente). Ora, foi dito expressamente (no cabeçalho da coluna) que se trata de umafreqüência acumulada. Logo, restam-nos duas possibilidades: fac ou fad. Para decidirse a freqüência é acumulada crescente ou decrescente, basta observar os seusvalores: começamos com 12; e aumentamos para 30, para 50, para 60 etc. Ou seja,estamos diante de uma freqüência absoluta acumulada crescente (fac). Feita esta descoberta, concluímos pela necessidade de realizar um trabalhopreliminar, no sentido de construir agora a coluna da freqüência absoluta simples fi. Já sabemos fazer isso. Teremos: Classes fac fi ( 3 ; 6] 12 12 ( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) ( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) (12 ; 15] 60 10 (=60-50) (15 ; 18] 65 5 (=65-60) (18 ; 21] 68 3 (=68-65) Somente então seria possível começar a resolver a prova! Vamos ao próximo exemplo. www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 18
  17. 17. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA# (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributofinanceiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de umaempresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classesrepresenta intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüênciarelativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos dasclasses. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100Sol.: Comecemos identificando a coluna de freqüência fornecida. O cabeçalhoapresenta um sinal de porcentagem. Daí, concluímos que se trata de uma freqüênciarelativa, e é muito conveniente que coloquemos logo o sinal de porcentagem em todosos valores desta coluna. Teremos: Classes P (%) 70-90 5% 90-110 15% 110-130 40% 130-150 70% 150-170 85% 170-190 95% 190-210 100% Ora, aprendemos que as duas freqüências relativas acumuladas começarão outerminarão com 100%. Lembrados? Daí, consultaremos imediatamente essas duasclasses: a primeira e a última. Encontramos 100% por lá? Sim! Na última classe!Conclusão: trata-se de uma freqüência relativa acumulada. Mas será acumulada crescente ou decrescente? Ora, basta verificar os seusvalores. Começou com 5%; cresceu para 15%; cresceu para 40%; e assim por diante. Conclusão: estamos diante da coluna da freqüência relativa acumuladacrescente, Fac. No intuito de construir a coluna da freqüência absoluta simples (fi),construiremos, como primeiro passo, a coluna da freqüência relativa simples (Fi).Teremos: Classes Fac Fi 70-90 5% 5% 90-110 15% 10% (=15%-5%) 110-130 40% 25% (=40%-15%) 130-150 70% 30% (=70%-40%) 150-170 85% 15% (=85%-70%) 170-190 95% 10% (=95%-85%) 190-210 100% 5% (=100%-95%) www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 19
  18. 18. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA Daí, finalmente, faremos a transformação da freqüência relativa simples para afreqüência absoluta simples. Ou seja, passaremos de simples para simples. Nestecaso, conforme aprendemos, iremos nos concentrar apenas nos somatórios destasduas colunas de freqüências. Precisamos reler o enunciado, para sabermos qual o número de elementos doconjunto n. A questão disse que foram examinados 200 itens... Traduzindo: n=200.Daí, teremos: Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10 Total 100% n=200 (x2) E somente neste momento a tabela estaria pronta para deixar você começar aresolver a prova! Amigos, o objetivo desta aula de hoje está, creio, alcançado. Na seqüência,deixarei alguns exercícios, algumas Distribuições de Freqüências, para que vocêsprocurem identificar a necessidade de fazer o trabalho preliminar com as colunas defreqüências, e em caso afirmativo, que vocês encontrem a coluna da freqüênciaabsoluta simples. Ok? Outra coisa: revisem esta aula com carinho! Valorizem estaaula: ela é importantíssima! Eu fico hoje por aqui (dez para quatro da manhã!), e os deixo com o dever decasa de hoje. Um forte abraço a todos e fiquem com Deus! Dever de Casa Identificar a coluna de freqüência fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer otrabalho necessário para chegar aos valores da freqüência absoluta simples fi.01. (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências Acumuladas (%) 2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100 www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 20
  19. 19. CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA02. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe Freqüência Acumulada 129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 10003. (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado quesegue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra detamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela defreqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 1004. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo,não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe Freqüência Acumulada 129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100 www.pontodosconcursos.com.br – Prof. Sérgio Carvalho 21

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