Este documento define las nociones básicas de esperanza y varianza para variables aleatorias discretas y continuas. La esperanza es el valor promedio esperado de una variable, mientras que la varianza mide la dispersión de sus valores alrededor de la esperanza. El documento explica cómo calcular la esperanza y varianza en cada caso, así como algunas propiedades importantes como la aditividad y que un factor constante puede sacarse del símbolo de la esperanza o varianza.
2. La esperanza matemática o simplemente la
esperanza de una variable aleatoria X, se
simboliza por E(X) y su definición es la
siguiente:
Sea X una variable aleatoria discreta, la esperanza es un
número real que se calcula según:
1. Si X toma un número finito de valores x1, x2,…, xn con
probabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…, pn=Pr(X=xn):
2. Si X toma un número infinito de valores x1, x2,… con
probabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …:
Esperanza de una variable aleatoria discreta
3. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad
es f(x), la esperanza es un número real que se calcula según:
A la esperanza también se le denomina medio poblacional o valor
esperado de la variable aleatoria y se la suele notar como μ.
Observación: si f(x) toma valores distintos de cero en un intervalo
[a, b], la esperanza se calcula como:
La esperanza posee varias propiedades,
independientes del tipo de la variable aleatoria.
Esperanza de una variable aleatoria continua
4. 1. La esperanza de una constante es el valor de la
constante:
2. Aditividad: la esperanza de la suma de dos
variables aleatorias es igual a la suma de las
esperanzas de los dos sumandos:
3. Un factor constante c se puede sacar del signo del
símbolo de la esperanza matemática:
Propiedades
5. 4. Sea y una función real, la esperanza de la
variable aleatoria Y=g(X) está definida por:
En particular si y(x) = X2 se tiene:
5. Si X y Y son dos variables aleatorias
independientes:
Propiedades
6. 1. Por las propiedades 2 y 3, si Y=aX + b, entonces:
2. Si la función de densidad es simétrica respecto a la
recta x = m, entonces E(X) = m.
3.
Dos variables aleatorias con la misma esperanza puedes
tener distribuciones diferentes. Para diferenciarlas es
necesario introducir otra característica teórica que
informa sobre la dispersión de sus posibles valores.
Observaciones
7. La idea de esperanza no indica cómo está
distribuida la masa en torno a su centro; esto se
expresa mediante la varianza de la variable
aleatoria X, que se nota Var(X) o σ2.
Definición: la varianza de una variable aleatoria X
es un número no negativo que se calcula por:
O equivalentemente por:
La Varianza
8. Según el tipo de variable aleatoria, se calcula de la
siguiente manera:
1. Para una variable aleatoria discreta que toma un
número finito de valores x1, x2,…, xn con
probabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…,
pn=Pr(X=xn):
2. Para una variable aleatoria discreta que toma un
número infinito de valores x1, x2,… con
probabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …:
La Varianza
9. 3. Para una variable aleatoria continua con función de
densidad f(x):
Observación: al igual que en la esperanza, si f(x) está
definida en [a, b]:
1. Una mayor varianza indica que los valores tienden a
estar más alejados de la media.
2. Una menor varianza indica que los valores tienden a
estar más concentrados alrededor de la media.
La Varianza
10. Definición la desviación estándar de una variable aleatoria X es
igual a la raíz cuadrada de la varianza:
Propiedades:
La varianza de una constante es cero:
Un factor constante c se puede sacar del signo del símbolo de la
varianza, elevándolo al cuadrado:
Aditividad: la varianza de la suma de dos variables aleatorias
independientes es igual a la suma de las varianzas de los dos
sumandos:
Observación: de las propiedades 1 y 2 se verifica que:
Desviación estándar