1. MATEMATICAS
2º Bachillerato
MaTEX
r=A+lu
Proyecto A
d
B
s=B+mv
Variables Aleatorias SOCIALES
MaTEX
Aleatorias
Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a
Variables
Directorio
• Tabla de Contenido
• Inicio Art´
ıculo
Tabla N(0,1)
c 2004 gonzaleof@unican.es Doc Doc
8 de Junio de 2004 Versi´n 1
o
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2. MATEMATICAS
2º Bachillerato
Tabla de Contenido A
r=A+lu
1. Variable Aleatoria Discreta d
1.1. Funci´n de Probabilidad
o B
s=B+mv
1.2. Funci´n de Distribuci´n
o o SOCIALES
1.3. Media o esperanza de una variable aleatoria
1.4. Varianza y desviaci´n t´
o ıpica de una variable aleatoria MaTEX
1.5. Ejercicios
Aleatorias
2. La Distribuci´n Binomial
o
Variables
• Experiencias binomiales • N´meros combinatorios
u
2.1. Distribuci´n Binomial
o
2.2. Ejercicios
3. Variable Aleatoria Continua
3.1. Funci´n de Distribuci´n
o o
4. La Distribuci´n Normal
o
4.1. La normal N (0; 1)
• Manejo de la tabla • Tipificar una variable normal
4.2. Ejercicios
Tabla N(0,1)
5. Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal
o o
5.1. Ejercicios
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests Doc Doc
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3. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 3 2º Bachillerato
r=A+lu
1. Variable Aleatoria Discreta A
Definici´n 1.1 Una variable aleatoria discreta X es una funci´n que asigna
o o d
valores num´ricos a los sucesos elementales de un espacio muestral
e B
s=B+mv
X : Ω −→ R SOCIALES
ωi −→ xi
Ejemplo 1.1. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X,
MaTEX
Aleatorias
n´mero de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener cruz, como
u
el espacio muestral es Ω = {CC, CX, XC, XX} entonces se tiene
Variables
X : Ω −→ R
CC → 2
CX → 1
XC → 1
XX → 0
Ejemplo 1.2. Lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 euro y
si sacamos cruz X pagamos 1 euro. ¿ C´mo es la variable aleatoria X que
o
mide la ganancia?.
Tabla N(0,1)
El espacio muestral es Ω = {C, X} entonces se tiene
X : Ω −→ R
C → 1
X → −1 Doc Doc
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4. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 4 2º Bachillerato
r=A+lu
1.1. Funci´n de Probabilidad
o A
Definici´n 1.2 Es la aplicaci´n que asigna a cada valor de la variable aleato-
o o d
ria discreta X la probabilidad de que la variable tome dicho valor B
s=B+mv
px : X −→ [0, 1] SOCIALES
xi −→ P (X = xi )
Ejemplo 1.3. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X,
MaTEX
Aleatorias
n´mero de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener cruz. La
u
funci´n de probabilidad de X es
o
Variables
1
px (2) = P (X = 2) = P (“CC ) =
4
2
px (1) = P (X = 1) = P (“CX, XC ) =
4
1
px (0) = P (X = 0) = P (“XX ) =
4
Es habitual expresar la funci´n de probabilidad en una tabla de la forma
o
xi 0 1 2
1 2 1
px (xi ) Tabla N(0,1)
4 4 4
Observa que se tiene que cumplir
n
px (xi ) = 1 (1) Doc Doc
i=1
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5. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 5 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 1.4. Lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 euro y A
si sacamos crus X pagamos 1 euro. Describir la funci´n de probabilidad de
o
d
la variable aleatoria X que mide la ganancia. B
xi 1 −1 s=B+mv
SOCIALES
px (xi ) 1/2 1/2
Ejemplo 1.5. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene
o
MaTEX
Aleatorias
dada por la tabla.
Variables
xi −2 −1 0 1 2
px (xi ) 0.08 0.32 0.05 a 0.32
Hallar el valor de a, P (X = 1), P (X ≥ 1) y P (X ≤ −1).
Soluci´n:
o
n
• Como px (xi ) = 1 ⇒ 0.08 + 0.32 + 0.05 + a + 0.32 = 1; a = 0.23
i=1
• P (X = 1) = px (1) = a = 0.23
• P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0.23 + 0.32 = 0.55 Tabla N(0,1)
• P (X ≤ −1) = P (X = −2) + P (X = −1) = 0.08 + 0.32 = 0.4
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6. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 6 2º Bachillerato
r=A+lu
1.2. Funci´n de Distribuci´n
o o A
Definici´n 1.3 Es la aplicaci´n FX (xi ) que asigna a cada valor xi de la
o o d
variable aleatoria discreta X la probabilidad de que la variable tome valores B
s=B+mv
menores o iguales que xi SOCIALES
FX (xi ) = P (X ≤ xi ) (2)
MaTEX
Ejemplo 1.6. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene
o
Aleatorias
dada por la tabla.
Variables
xi 0 1 2 3
px (xi ) 0.1 0.2 0.4 0.3
Hallar la funci´n de distribuci´n de X.
o o
Soluci´n: De la definici´n (1.3) se tiene
o o
FX (0) = P (X ≤ 0) = px (0) = 0.1
FX (1) = P (X ≤ 1) = px (0) + px (1) = 0.3
FX (2) = P (X ≤ 2) = px (0) + px (1) + px (2) = 0.7
FX (3) = P (X ≤ 1) = px (0) + px (1) + px (2) + px (3) = 1
Tabla N(0,1)
xi 0 1 2 3
Fx (xi ) 0.1 0.3 0.7 1
Doc Doc
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7. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 7 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 1.7. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene
o A
dada por la tabla.
d
xi 0 1 2 3 B
s=B+mv
px (xi ) 0.2 0.3 0.1 0.5 SOCIALES
Representar la funci´n de probabilidad y la funci´n de distribuci´n de X
o o o MaTEX
Soluci´n: Juntamos en una tabla la funci´n de probabilidad y la funci´n de
o o o
Aleatorias
distribuci´n de X
o
Variables
xi 0 1 2 3
px (xi ) 0.2 0.3 0.1 0.4
FX (xi ) 0.2 0.5 0.6 1
p(x) F(x)
1 1
0.6 0.6
0.5 0.5
0.4 0.4
0.3 0.3 Tabla N(0,1)
0.2 0.2
0.1 0.1
0 1 2 3 X 0 1 2 3 X
Doc Doc
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8. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 8 2º Bachillerato
r=A+lu
1.3. Media o esperanza de una variable aleatoria A
Definici´n 1.4 Se llama media o esperanza de una variable aleatoria X y
o d
se representa por µ al valor B
s=B+mv
n SOCIALES
µ = x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · xn · p(xn ) = xi · p(xi ) (3)
i=1 MaTEX
Aleatorias
Ejemplo 1.8. Lanzamos dos monedas. Si salen dos caras recibimos 3 eu-
Variables
ros, si sale una cara recibimos 1 euro y si no sale ninguna cara pagamos 5
euros.¿Cu´l es la ganancia media del juego?
a
Soluci´n: Hallamos la funci´n de probabilidad de la ganancia X en euros:
o o
xi 3 1 −5
px (xi ) 1/4 1/2 1/4
La ganancia media del juego es la media o esperanza de X
µ =x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + x3 · p(x3 )
1 1 1
=3 · + 1 · − 5 · = 0
4 2 4 Tabla N(0,1)
Cuando en un juego la ganancia esperada µ = 0 se llama juego justo. Si
µ > 0 es un juego con ventaja y si µ < 0 es un juego en desventaja.
Doc Doc
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9. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 9 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 1.9. Hallar la media de la variable aleatoria X, dada por la funci´n
o A
de probabilidad.
d
xi 0 1 2 3 B
s=B+mv
px (xi ) 0.1 0.2 0.4 0.3 SOCIALES
Soluci´n: De la definici´n (1.4) se tiene
o o
MaTEX
µ =x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + x3 · p(x3 ) + x4 · p(x4 )
Aleatorias
=0 · 0.1 + 1 · 0.2 + 2 · 0.4 + 3 · 0.3 = 1.9
Variables
Ejemplo 1.10. Hallar la media de la variable aleatoria X, dada por la
funci´n de probabilidad.
o
xi 0 1 2 3
px (xi ) 0.3 0.2 0.1 0.4
Soluci´n: De la definici´n (1.4) se tiene
o o
µ =x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + x3 · p(x3 ) + x4 · p(x4 )
Tabla N(0,1)
=0 · 0.3 + 1 · 0.2 + 2 · 0.1 + 3 · 0.4 = 1.6
Doc Doc
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10. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 10 2º Bachillerato
r=A+lu
1.4. Varianza y desviaci´n t´
o ıpica de una variable aleatoria A
Definici´n 1.5 Se llama varianza de una variable aleatoria X y se repre-
o d
senta por σ 2 al valor B
s=B+mv
n SOCIALES
σ 2 = x2 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · x2 · p(xn ) − µ2 = x2 · p(xi ) − µ2 (4)
1 2 n
i=1
i
MaTEX
Aleatorias
A partir de la varianza se define la desviaci´n t´
o ıpica σ como la ra´ cuadrada
ız
de la varianza.
Variables
Ejemplo 1.11. Hallar la varianza y la desviaci´n t´
o ıpica de la variable aleato-
ria X, dada por la funci´n de probabilidad.
o
xi 0 1 2 3
px (xi ) 0.1 0.2 0.4 0.3
Soluci´n: Primero se calcula la media µ
o
µ =0 · 0.1 + 1 · 0.2 + 2 · 0.4 + 3 · 0.3 = 1.9
De la definici´n (1.5) se tiene
o
σ 2 =x2 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · x2 · p(xn ) − µ2
1 2 n
Tabla N(0,1)
=02 · 0.1 + 12 · 0.2 + 22 · 0.4 + 32 · 0.3 − 1.92 = 0.89
√
σ = 0.89 = 0.94
Doc Doc
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11. MATEMATICAS
Secci´n 1: Variable Aleatoria Discreta
o 11 2º Bachillerato
r=A+lu
1.5. Ejercicios A
Ejercicio 1. La funci´n de probabilidad de una variable aleatoria discreta
o d
X es. B
s=B+mv
xi 0 1 2 3 4 SOCIALES
px (xi ) 0.1 a b c 0.2
MaTEX
Sabiendo que P (X ≤ 2) = 0.75 y que P (X ≥ 2) = 0.75, halla su esperanza
Aleatorias
matem´tica y su desviaci´n t´
a o ıpica.
Variables
Ejercicio 2. Una persona en un juego recibe 15 cts cuando saca una sota
o un caballo y recibe 5 cts si saca un rey o un as de una baraja espa˜ola
n
de 40 cartas. Si saca cualquier otra carta paga 4 cts . ¿Cu´l es la ganancia
a
esperada en este juego?
Ejercicio 3. Se tienen tres urnas: la A que contiene dos bolas negras y cuatro
rojas, la B tres negras y tres rojas; y la C con una negra y cinco rojas.
UA = {2 N ; 4 R} UB = {3 N ; 3 R} UC = {1 N ; 5 R}
Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella. Si se saca roja se
Tabla N(0,1)
reciben 3 euros y si se saca negra no se recibe nada. ¿Cu´l es la ganancia
a
esperada?
Doc Doc
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12. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 12 2º Bachillerato
r=A+lu
2. La Distribuci´n Binomial
o A
• Experiencias binomiales d
Toda experiencia aleatoria que presenta dos resultados posibles, uno que fi- B
s=B+mv
jamos como “´xito” y lo contrario como “fracaso” se suele denominar de tipo
e SOCIALES
Bernouilli.
Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Bernouilli: MaTEX
• Jugar a cara o cruz.
Aleatorias
• El nacimiento de un ni˜o (var´n o mujer)
n o
Variables
• Obtener un “4” en el lanzamiento de un dado.
• Obtener un n´mero “par” en el lanzamiento de un dado.
u
• Obtener “copas” al extraer una carta de la baraja espa˜ola.
n
• La fabricaci´n de una pieza en un factor´ (aceptable o defectuosa).
o ıa
• El resultado de una operaci´n (´xito o fracaso).
o e
• El lanzamiento a una canasta (encestar o fallar).
• Aprobar o suspender un examen.
Tabla N(0,1)
Doc Doc
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13. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 13 2º Bachillerato
r=A+lu
Cuando se realizan n pruebas independientes de tipo Bernouilli decimos A
que es una experiencia aleatoria de tipo Binomial.
d
B
Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Binomial: s=B+mv
SOCIALES
• Jugar 10 veces a cara o cruz .
• Observar 30 nacimientos de un beb´ (ni˜a o ni˜o)
e n n MaTEX
• Obtener el “4” en el lanzamiento de 15 dados.
Aleatorias
• Obtener “copas” al extraer una carta 8 veces de la baraja espa˜ola.
Variables
n
• La fabricaci´n de 1000 piezas en un factor´ (aceptable o defectuosa).
o ıa
• El resultado de 50 operaciones (´xito o fracaso).
e
• El lanzamiento a una canasta n veces (encestar o fallar).
Tabla N(0,1)
Doc Doc
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14. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 14 2º Bachillerato
r=A+lu
• N´meros combinatorios
u A
Lanzamos una moneda 5 veces. Sea el suceso C =“sacar cara” como “´xito”,y
e d
el suceso contrario X como “fracaso”. B
¿ De cu´ntas formas se puede presentar el suceso “sacar dos caras”?
a s=B+mv
SOCIALES
Es como colocar dos C en 5 casillas. La primera C dispone de 5 sitios,
luego la segunda dispone de 4 sitios. Eso har´ 5 · 4 = 20 posibilidades. Pero
ıa
5·4
MaTEX
como las caras C son indistinguibles dividimos por 2. Eso hace = 10.
Aleatorias
2
en efecto
Variables

CCXXX XCXCX  
CXCXX XCXXC 

5·4 5
CXXCX XXCCX = = 10
 2 2
CXXXC XXCXC  

XCCXX XXXCC

5
El n´mero combinatorio
u se lee 5 sobre 2 y se calcula de la forma siguiente:
2
5 5·4
= = 10 Tabla N(0,1)
2 2·1
Las formas de obtener 3 caras en los cinco lanzamientos corresponde de forma
a an´loga a
a
5 5·4·3 Doc Doc
= = 10
3 3·2·1
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15. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 15 2º Bachillerato
r=A+lu
Las formas de obtener 4 caras en seis lanzamientos de una moneda ser´
ıa A
6 6·5·4·3
= = 15 d
4 4·3·2·1 B
s=B+mv
Las formas de aparecer 5 defectuosas en 40 piezas fabricadas ser´
ıa SOCIALES
40
5
=
40 · 39 · 38 · 37 · 36
5·4·3·2·1
= 658008 MaTEX
Aleatorias
En general las formas de obtener k ´xitos en n intentos corresponde a
e
Variables
n n · (n − 1) · · · (n − k + 1)
= (5)
k k!
Para extender la f´rmula anterior se toma 0! = 1.
o
Ejercicio 4. Calcula los siguientes n´mero combinatorios
u
Tabla N(0,1)
4 6 8 10
a) b) c) d)
1 2 3 2
5 7 9 13
e) f) g) h)
0 3 4 2 Doc Doc
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16. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 16 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.1. En el lanzamiento de un dado Considera como “´xito” ele A
suceso E =“sacar un 4” y como fracaso el suceso contrario F con p = P (E) =
d
1 5
y q = P (F ) = . Queremos hallar la probabilidad de obtener un ´xito en
e B
6 6 s=B+mv
tres dados. Esto puede ocurrir como se muestra en la tabla SOCIALES
Dado 1 Dado 2 Dado 3 Probabilidad MaTEX
1 5 5
E F F · · = p q2
Aleatorias
6 6 6
Variables
5 1 5
F E F · · = p q2
6 6 6
5 5 1
F F E · · = p q2
6 6 6
3 p q2
3
Como hay formas distintas,la probabilidad de obtener un ´xito en tres
e
1
intentos es:
3
P (X = 1) = p q2
1
Tabla N(0,1)
Si generalizamos el ejemplo anterior obtenemos la distribuci´n bimomial.
o
Doc Doc
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17. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 17 2º Bachillerato
r=A+lu
2.1. Distribuci´n Binomial
o A
Definici´n 2.1 Una variable aleatoria X se llama binomial si su valor en
o d
igual al n´mero de ´xitos que ocurren en n pruebas independientes,teniendo
u e B
s=B+mv
todas ellas la misma probabilidad de ´xito, que designamos por p. Su funci´n
e o SOCIALES
de probabilidad es
n k n−k
MaTEX
P (X = k) = p (1 − p) , para k = 0, 1, . . . , n; (6)
Aleatorias
k
Variables
Si una variable X sigue la distribuci´n binomial de par´metros n y p suele
o a
designarse como
X ∼ B(n; p)
Las constantes n y p son los par´metros de la distribuci´n; obviamente, n 0
a o
es un n´mero entero y 0 ≤ p ≤ 1. La probabilidad de obtener fracaso es 1 − p
u
y se designa con al letra q de forma que p + q = 1.
El c´lculo de la media , la varianza y la desviaci´n t´
a o ıpica es algo laborioso
y resulta
Tabla N(0,1)
µ = n·p
σ2 = n · p · q (7)
√
σ = n·p·q
Doc Doc
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18. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 18 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.2. Tiramos una moneda 6 veces y contamos el n´mero de caras
u A
X. Hallar la funci´n de probabilidad y representarla.
o
d
Soluci´n: Se tiene que
o B
s=B+mv
SOCIALES
0.35
X es B(n = 6; p = 1/2)
p(X=k)
6
0.3
MaTEX
P (X = 0) = p0 q 6 = 0.0156 0.25
Aleatorias
0
0.2
Variables
6
P (X = 1) = p1 q 5 = 0.0938
1 0.15
6 0.1
P (X = 2) = p2 q 4 = 0.2344
2 0.05
6 3 3 0
P (X = 3) = p q = 0.3125 0 1 2 3 4 5 6
3 Nº de caras
6
P (X = 4) = p4 q 2 = 0.2344
4 1
µ = np = 10 =5
6 2
P (X = 5) = p5 q 1 = 0.0938 11
Tabla N(0,1)
5 σ 2 = npq = 10 = 2.5
6 22
P (X = 6) = p6 q 0 = 0.0156
6
Doc Doc
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19. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 19 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 2.3. Se extraen cinco bolas con reemplazamiento de una urna que A
tiene 6 bolas blancas y 8 negras. ¿Qu´ es mas probable, sacar 2 rojas o 3
e
d
rojas?. B
s=B+mv
Soluci´n: Sea ´xito sacar roja, con p = 6/14,
o e SOCIALES
Se tiene que
6
0.35
0.3
p(X=k) MaTEX
X es B(n = 5; p = )
Aleatorias
14 0.25
Variables
Probabilidad de sacar 2 bolas ro-
0.2
jas:
2 3 0.15
5 6 8
P (X = 2) =
2 14 14 0.1
= 0.3427 0.05
Probabilidad de sacar 3 bolas ro- 0 1 2 3 4 5
jas: Nº de bolas rojas
3 2
5 6 8
P (X = 3) = Tabla N(0,1)
3 14 14
= 0.2570
Es m´s probable obtener 2 rojas.
a
Doc Doc
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20. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 20 2º Bachillerato
r=A+lu
2.2. Ejercicios A
Ejercicio 5. La probabilidad de que cierto jugador de baloncesto enceste d
una canasta de 3 puntos es 0.3. ¿Cu´l es la probabilidad de que enceste,
a B
s=B+mv
exactamente dos canastas de cinco lanzamientos? SOCIALES
Ejercicio 6. La probabilidad de que un estudiante que ingresa en la Univer-
sidad se licencie en 5 a˜os es de 0.4. Se eligen al azar 10 estudiantes. Calcular
n
MaTEX
Aleatorias
la probabilidad de que:
Variables
a) ninguno se licencie en 5 a˜os.
n
b) todos se licencien en 5 a˜os.
n
c) un unico estudiante se licencie en 5 a˜os.
´ n
Ejercicio 7. Una m´quina produce 12 piezas defectuosas de cada mil que
a
fabrica. Hallar la probabilidad de que al examinar 40 piezas::
a) s´lo haya una defectuosa.
o
b) no haya ninguna defectuosa.
Ejercicio 8. En un grupo de 20 estudiantes de un instituto se ha comprobado Tabla N(0,1)
que cada alumno falta a clase el 4% de los d´
ıas. Calcular la probabilidad de
que en un d´ determinado:
ıa
a) no se registre ninguna falta.
b) falten a clase menos de tres estudiantes. Doc Doc
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21. MATEMATICAS
Secci´n 2: La Distribuci´n Binomial
o o 21 2º Bachillerato
r=A+lu
c) falte a clase un unico estudiante.
´ A
Ejercicio 9. En una determinada ciudad, la probabilidad del nacimiento de d
una ni˜a es del 56%. Seleccionamos una familia de cinco hijos. Calcular la
n B
s=B+mv
probabilidad de que SOCIALES
a) tenga exactamente tres ni˜as.
b) tenga al menos dos ni˜as.
n
n
MaTEX
Aleatorias
c) ¿cu´l es el n´mero medio de hijas en las familias con cinco hijos?
a u
Variables
Ejercicio 10. A una fiesta han sido invitadas 8 personas. Cada persona
puede acudir o no con independencia de que lo hagan las dem´s. Si la prob-
a
abilidad de que acuda cada una es 0.85, calcular:
a) la probabilidad de asistan todas.
b) la probabilidad de asistan m´s de 6 personas.
a
c) la probabilidad de asista al menos la mitad.
Ejercicio 11. Si el 20% de las piezas producidas por una m´quina son defec-
a
tuosas, ¿cu´l es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a
a Tabla N(0,1)
lo sumo 2 sean defectuosas?
Ejercicio 12. La probabilidad de que un esquiador debutante se caiga en la
pista es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que se caiga al
menos 3 veces. Doc Doc
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22. MATEMATICAS
Secci´n 3: Variable Aleatoria Continua
o 22 2º Bachillerato
r=A+lu
3. Variable Aleatoria Continua A
Diremos que una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier d
valor en un intervalo. Por ejemplo, el peso o la altura de una persona. Para B
s=B+mv
concretar, consideremos que representamos en un histograma las medida de SOCIALES
la alturas X de los chicos de 15 a˜os. Si tomamos m´s y m´s observaciones
n a a
y haciendo clases cada vez m´s finas, el histograma tender´ a una curva
a a MaTEX
que describir´ el comportamiento de la variable estudiada, como muestra la
a
Aleatorias
figura.
Variables
Eso hace pensar en una funci´n matem´tica f (x) que modelice la frecuen-
o a
cia relativa de la altura para la poblaci´n de los chicos de 15 a˜os.
o n
A dicha funci´n f (x) se le llama funci´n de densidad.
o o
y
f (x)
Tabla N(0,1)
1.53 1.83 x
altura Doc Doc
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23. MATEMATICAS
Secci´n 3: Variable Aleatoria Continua
o 23 2º Bachillerato
r=A+lu
Definici´n 3.1 Una variable aleatoria X se dice que es continua cuando
o A
tiene asociada una funci´n de densidad f (x) que cumple
o
d
1. f (x) ≥ 0 para todos los valores donde est´ definida.
a B
s=B+mv
∞
SOCIALES
2. f (x) dx = 1. (El ´rea bajo la curva es uno)
a
−∞
La probabilidad se determina con MaTEX
Aleatorias
b
P (a x b) = f (x) dx (8)
Variables
a
que corresponde al ´rea de la regi´n limitada por f (x), el eje x y las rectas
a o
x=ayx=b
y
f (x)
Tabla N(0,1)
a b x
P (a x b) Doc Doc
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24. MATEMATICAS
Secci´n 3: Variable Aleatoria Continua
o 24 2º Bachillerato
r=A+lu
3.1. Funci´n de Distribuci´n
o o A
Definici´n 3.2 Es la aplicaci´n FX (x) que asigna a cada valor x de la vari-
o o d
able aleatoria continua X la probabilidad de que la variable tome valores B
s=B+mv
menores o iguales que x SOCIALES
FX (x) = P (X ≤ x) (9)
MaTEX
Ejemplo 3.1. Hallar la funci´n de distribuci´n de la variable aleatoria con-
o o
Aleatorias
tinua X que tiene por funci´n de densidad.
o
Variables
2x 0 x 1
f (x) =
0 en el resto
Soluci´n: De la definici´n (9) se tiene
o o
x f(x)
F (x) =P (X ≤ x) = 2x dx 2
0
x · 2x
=´rea del tri´ngulo gris =
a a = x2 2x
2
F (x) = x2 0x1 Tabla N(0,1)
x 1 X
Doc Doc
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25. MATEMATICAS
Secci´n 3: Variable Aleatoria Continua
o 25 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.2. La variable aleatoria X del ejemplo anterior tiene como funci´n
o A
de distribuci´n
o
d
F (x) = x2 0x1 B
s=B+mv
Hallar las siguientes probabilidades: SOCIALES
a) P (x 0.5) b) P (x 0.2) c) P (0.2 x 0.5)
d ) P (x 0.5) e) P (x 0.2) f ) P (0.1 x 0.8) MaTEX
Aleatorias
Soluci´n:
o
Variables
a) P (x 0.5) = F (0.5) = 0.52 = 0.25
b) P (x 0.2) = F (0.2) = 0.22 = 0.04
c) P (0.2 x 0.5) = F (0.5) − F (0.2) = 0.25 − 0.04 = 0.21
d ) P (x 0.5) = 1 − F (0.5) = 1 − 0.25 = 0.75
e) P (x 0.2) = 1 − F (0.2) = 1 − 0.04 = 0.96
f ) P (0.1 x 0.8) = F (0.8) − F (0.1) = 0.64 − 0.01 = 0.63
Para hallar P (a x ≤ b) utilizamos la expresi´n:
o Tabla N(0,1)
P (a x ≤ b) = FX (b) − FX (a) (10)
Doc Doc
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26. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 26 2º Bachillerato
r=A+lu
4. La Distribuci´n Normal
o A
La funci´n de distribuci´n normal juega un papel central en la estad´
o o ıstica ya d
que, adem´s de sus interesantes propiedades de reproductividad y de aprox-
a B
s=B+mv
imaci´n de otras distribuciones, sirve para modelizar una gran cantidad de
o SOCIALES
situaciones pr´cticas.
a
Definici´n 4.1 Distribuci´n Normal. Una variable aleatoria X se dice
o o MaTEX
que tiene una distribuci´n de probabilidades normal con media µ y varianza
o
Aleatorias
σ 2 y se denomina N (µ, σ 2 ) si su funci´n de densidad es de la forma:
o
Variables
(x − µ)2
1 −
f (x) = √ e 2σ 2 , −∞ x ∞.
σ 2π
La media y varianza de una variable normal coinciden con los par´metros µ
a
y σ 2 de la misma.
En la figura se muestra la
funci´n de densidad y se
o
aprecia que es sim´trica re-
e
specto de x = µ y los Tabla N(0,1)
puntos de inflexi´n de la
o
funci´n de densidad se en-
o
cuentran a una distancia σ µ−σ µ µ+σ z
de la media.
Doc Doc
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27. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 27 2º Bachillerato
r=A+lu
En la figura se muestran dos distribuciones normales, con media µ = 0 y A
desviaciones t´
ıpicas σ = 1 y σ = 0.5. Como las dos tienen la misma media
d
µ = 0, la funci´n roja es mas alargada pues tiene menos variabilidad que la
o B
azul. s=B+mv
SOCIALES
MaTEX
Aleatorias
Variables
Tabla N(0,1)
-3 -2 -1 0 1 2 3 Doc Doc
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28. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 28 2º Bachillerato
r=A+lu
4.1. La normal N (0; 1) A
Primero estudiaremos la normal t´ ıpica, que tiene media µ = 0 y desviaci´n
o d
t´
ıpica σ = 1, N (0; 1) y se designa con la letra z. B
s=B+mv
SOCIALES
Para calcular las probabilidades
P (Z ≤ z0 ) = Φ(z0 ) MaTEX
se dise˜a una tabla que pro-
n Φ(z0 )
Aleatorias
porciona las respectivas probabil-
Variables
idades. z0 z
• Manejo de la tabla
A partir de este momento cuando necesites calcular probabilidades con la
normal N (0; 1), pulsa en el icono de la derecha
Tabla N(0,1)
y luego regresas al lugar donde estabas con el icono de la derecha
Volver Tabla N(0,1)
Ahora vas a aprender a a manejar la tabla N (0; 1).
Doc Doc
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29. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 29 2º Bachillerato
r=A+lu
Caso I P (Z ≤ z0 ) y z0 es positivo. A
Para calcular P (Z ≤ 1.25) = Φ(1.25), procedemos de la siguiente forma.
d
Buscamos en la tabla de la N (0; 1) el valor 1.25. En la primera columna B
de la tabla se busca el valor 1.2 y en esta fila nos desplazamos hasta la s=B+mv
SOCIALES
columna con cabecera 0.05, obteniendo el valor 0.8944.
Caso II P (Z ≤ −z0 ) y −z0 es negativo. MaTEX
Se utiliza por simetr´ la siguiente propiedad
ıa
Aleatorias
P (Z ≤ −z0 ) = Φ(−z0 ) = 1 − Φ(z0 )
Variables
Para calcular P (Z ≤ −1.34) = 1 − Φ(1.34), procedemos de la misma
forma. Buscamos en la tabla de la N (0; 1) el valor 1.34. En la primera
columna de la tabla se busca el valor 1.3 y en esta fila nos desplazamos
hasta la columna con cabecera 0.04, obteniendo el valor 0.9099. Luego
P (Z ≤ −1.34) = 1 − Φ(1.34) = 1 − 0.9099 = 0, 0901
Caso III P (z0 ≤ Z ≤ z1 )
Se calcula Φ(z1 ) y Φ(z0 ) y se restan, por la f´rmula
o
P (z0 ≤ Z ≤ z1 ) = Φ(z1 ) − Φ(z0 ) Tabla N(0,1)
As´ por ejemplo
ı
P (1.25 ≤ Z ≤ 1.34) = Φ(1.34) − Φ(1.25) = 0.9099 − 0.8944 = 0, 0155
Doc Doc
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30. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 30 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.1. Si z es normal Nz (0; 1) hallar: A
P (z ≤ 0) P (z ≤ 1) P (z ≤ 2) d
B
Soluci´n:
o s=B+mv
SOCIALES
Utiliza la Tabla N(0,1) MaTEX
Aleatorias
Variables
P (z ≤ 0) = Φ(0) = 0.5
Φ(0)
0 z
P (z ≤ 1) = Φ(1) = 0.8413
Φ(1)
1 z
P (z ≤ 2) = Φ(2) = 0.97725 Tabla N(0,1)
Φ(2)
2 z Doc Doc
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31. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 31 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.2. Si z es normal Nz (0; 1) hallar: A
P (z ≤ −1) P (z 1) P (z 2) d
B
Soluci´n:
o s=B+mv
SOCIALES
Utiliza la Tabla N(0,1) MaTEX
Aleatorias
Φ(−1)
Variables
P (z ≤ −1) = Φ(−1) = 1−Φ(1) = 0.1587
−1 z
P (z 1) = 1 − Φ(1) = 0.1587
Φ(1)
1 z
P (z 2) = 1 − Φ(2) = 0.02275 Tabla N(0,1)
Φ(2)
2 z Doc Doc
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32. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 32 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.3. Si z es normal Nz (0; 1) hallar: A
P (−1 z 1) P (0 z 2) P (1 z 2) d
B
Soluci´n:
o s=B+mv
SOCIALES
Utiliza la Tabla N(0,1) MaTEX
Aleatorias
Variables
P (−1 z 1) =Φ(1) − Φ(−1)
=2 Φ(1) − 1
=0, 6826
−1 1 z
P (0 z 2) =Φ(2) − Φ(0) =
=0.97725 − 0.5
=0, 47725
0 2 z
Tabla N(0,1)
P (1 z 2) =Φ(2) − Φ(1)
=0, 13595
1 2 z Doc Doc
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33. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 33 2º Bachillerato
Ahora vas a manejar la tabla en forma inversa. Nos dan la probabilidad
r=A+lu
A
y calculamos el valor de la variable z0 que acumula dicha probabilidad.
d
Ejemplo 4.4. Hallar z0 de la normal Nz (0; 1) en cada caso: B
s=B+mv
SOCIALES
P (z z0 ) = 0.7019 P (z z1 ) = 0.8997 P (z z2 ) = 0.9625
Soluci´n:
o MaTEX
Utiliza la Tabla N(0,1)
Aleatorias
Variables
• Φ(z0 ) = 0.7019, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1)
la probabilidad 0.7019, observando su fila 0.5 y su columna 0.03, luego
Φ(z0 ) = 0.7019 =⇒ z0 = 0.53
• Φ(z1 ) = 0.8997, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1)
la probabilidad 0.8997, observando su fila 1.2 y su columna 0.08, luego
Φ(z1 ) = 0.8997 =⇒ z1 = 1.28
• Φ(z2 ) = 0.9625, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1)
la probabilidad 0.9625, observando su fila 1.7 y su columna 0.08, luego
Tabla N(0,1)
Φ(z2 ) = 0.9625 =⇒ z2 = 1.78
Doc Doc
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34. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 34 2º Bachillerato
r=A+lu
• Tipificar una variable normal A
Cuando tenemos una variable normal N (µ; σ), para calcular las probabil- d
idades se efect´a un cambio de variable que la convierte en una del tipo
u B
s=B+mv
N (0; 1): SOCIALES
X −µ
X ∼ N (µ; σ) =⇒ Z = ∼ N (0; 1)
σ
A esta variable se la llama normalizada o tipificada. De esta forma, s´lo es
o
MaTEX
Aleatorias
necesario disponer de la tabla correspondiente a la N (0, 1) para realizar un
c´lculo dado, ya que
a
Variables
x0 − µ
PX (X ≤ x0 ) = PZ Z ≤ .
σ
Ejemplo 4.5. Si X es normal N (5; 2) hallar P (X 8).
Soluci´n:
o
Tipificamos
X −5 8−5
P (X 8) =P
2 2 Tabla N(0,1)
=P (z 1.5) = Φ(1.5)
=0.9332 5 8 X
Doc Doc
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35. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 35 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.6. Si X es normal N (5; 2) hallar: Utiliza la Tabla N(0,1) A
P (X 8) P (X 2) P (2 X 8) d
B
s=B+mv
Soluci´n:
o SOCIALES
P (X 8) =P
X −5
8−5 MaTEX
2 2
Aleatorias
=P (z 1.5) = Φ(1.5)
Variables
=0.9332 5 8 X
X −5 2−5
P (X 2) =P
2 2
=P (z −1.5)
=1 − Φ(1.5) = 0.0668
2 5 X
2−5 8−5
P (2 X 8) =P z
2 2
=P (−1.5 z 1.5)
Tabla N(0,1)
=Φ(1.5) − Φ(−1.5)
=0.8664
2 5 8 X
Doc Doc
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36. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 36 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 13. En una distribuci´n normal N (18; 4), hallar las siguientes
o A
probabilidades:
d
a) P (x 18)
B
b) P (x 20) s=B+mv
SOCIALES
c) P (x 16, 5)
d) P (x 11)
e) P (19 x 23)
MaTEX
f ) P (11 x 25)
Aleatorias
Variables
Utiliza la Tabla N(0,1)
Ejercicio 14. En la distribuci´n normal Nz (0; 1), hallar el valor de z0 en
o
cada caso
a) P (z z0 ) = 0.50
b) P (z z0 ) = 0.8729 Tabla N(0,1)
c) P (z z0 ) = 0.3300
d) P (z z0 ) = 0.9015
e) P (z z0 ) = 0.9971
f ) P (z z0 ) = 0.1190 Doc Doc
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37. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 37 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 4.7. Si la estatura X de 500 estudiantes es normal de media 172 A
cm y desviaci´n t´
o ıpica 5 cm, hallar el n´mero de estudiantes con estatura
u
d
a) entre 170 y 175 cm b) mayor de 180 cm B
s=B+mv
SOCIALES
Soluci´n:
o
Por comodidad, tipificamos los valores que vamos a usar
170 − 172 175 − 172 180 − 172
MaTEX
z1 = = −0.4 z2 = = 0.6 z3 = = 1.6
Aleatorias
5 5 5
Variables
P (170 X 175) =P (−0.4 z 0.6)
=Φ(0.6) − Φ(−0.4)
=0.3811
N = 500 × 0.3811 ≈ 190 estudiantes −0.4 0.6 z
P (X 180) =P (z 1.6)
=1 − Φ(1.6) Tabla N(0,1)
=0.0548
N = 500 × 0.0548 ≈ 27 estudiantes 1.6 z
Doc Doc
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38. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 38 2º Bachillerato
r=A+lu
4.2. Ejercicios A
Ejercicio 15. La temperatura T durante el mes de mayo est´ distribuida de
a d
forma normal con media 21o y desviaci´n t´
o ıpica 4o . Hallar el n´mero de d´
u ıas B
s=B+mv
esperados en que haya una temperatura entre 19o y 23o . SOCIALES
Ejercicio 16. El tiempo en d´ de duraci´n de los focos producidos por una
ıas o
empresa, es una variable normal de media 780 y desviaci´n t´
o ıpica de 40 d´ıas.
MaTEX
Aleatorias
Calc´lese el porcentaje de focos con una duraci´n superior a 800 d´
u o ıas.
Variables
Ejercicio 17. Los pesos de los individuos de una poblaci´n se distribuyen
o
normalmente con media 70 kg y desviaci´n t´
o ıpica 5 kg. Calcular:
a) La probabilidad de que el peso de un individuo est´ comprendido entre
e
65 y 80 kg.
b) La probabilidad de que un individuo pese m´s de 100 kg.
a
Ejercicio 18. En una panader´ se cortan panecillos con un peso que se
ıa
ajusta a una variable normal de media 100 g y desviaci´n t´
o ıpica 9 g. ¿Cu´l a
es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la
media? Tabla N(0,1)
Ejercicio 19. La distribuci´n de la duraci´n de un embarazo en mujeres
o o
es aproximadamente normal con media 266 d´ y desviaci´n t´
ıas o ıpica 16 d´
ıas.
Calcular:
Doc Doc
a) La probabilidad de que un embarazo dure m´s de 242 d´
a ıas.
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39. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 39 2º Bachillerato
r=A+lu
b) El 20% de los embarazos duran menos de ¿cu´ntos d´
a ıas? A
c) El 50% de los embarazos duran menos de ¿cu´ntos d´
a ıas? d
B
Ejercicio 20. Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas. La du- s=B+mv
SOCIALES
raci´n de una bombilla sigue una distribuci´n normal con media 302 d´ y
o o ıas
desviaci´n t´
o ıpica 40 d´
a
ıas. Calcular:
a) ¿Cu´ntas bombillas se espera que se fundan antes de 365 d´
ıas?
MaTEX
Aleatorias
b) ¿Cu´ntas bombillas durar´n m´s de 400 d´
a a a ıas?
Variables
Ejercicio 21. Una compa˜´ de autobuses conoce que el retraso en la llegada
nıa
sigue una ley normal con media 5 minutos, y que el 68.26% de los autobuses
llega con un retraso comprendido entre los 2 y los 8 minutos:
a) ¿Cu´l es la desviaci´n t´
a o ıpica?.
b) ¿Cu´l es la probabilidad de que un autob´s llegue antes de la hora?.
a u
c) ¿Cu´l es la probabilidad de que un autob´s se retrase de m´s de 10
a u a
minutos?.
Ejercicio 22. Cierto tipo de bater´ dura un promedio de 3 a˜os, con una
ıa n
Tabla N(0,1)
desviaci´n t´
o ıpica de 0,5 a˜os. Suponiendo que la duraci´n de las bater´ es
n o ıas
una variable normal:
a) ¿Qu´ porcentaje de bater´ se espera que duren entre 2 y 4 a˜os?.
e ıas n
b) Si una bater´ lleva funcionando 3 a˜os, ¿ cu´l es la probabilidad de
ıa n a Doc Doc
que dure menos de 4,5 a˜os?
n
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40. MATEMATICAS
Secci´n 4: La Distribuci´n Normal
o o 40 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 23. En un examen de matem´ticas, en el que se ha evaluado de
a A
0 a 20 puntos, el 67% de los alumnos ha obtenido una puntuaci´n igual o
o
d
menor que 12,2 y el 9% ha obtenido puntuaci´n superior a 16,7. Suponiendo
o B
que la distribuci´n de las puntuaciones sea normal, calcular su media y su
o s=B+mv
SOCIALES
desviaci´n t´
o ıpica.
Ejercicio 24. Un estudio de un fabricante de televisores indica que la du- MaTEX
raci´n media de un televisor es de 10 a˜os, con una desviaci´n t´
o n o ıpica de
Aleatorias
0,7 a˜os. Suponiendo que la duraci´n media de los televisores sigue una
n o
Variables
distribuci´n normal,
o
a) Calcula la probabilidad de que un televisor dure m´s de 9 a˜os.
a n
b) Calcula la probabilidad de que dure entre 9 y 11
Tabla N(0,1)
Doc Doc
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41. MATEMATICAS
Secci´n 5: Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal
o o o 41 2º Bachillerato
r=A+lu
5. Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal
o o A
Supongamos que X en una variable aleatoria con distribuci´n de probabil-
o d
idad binomial B(n, p) y que el par´metro n tiende a infinito mientras que
a B
s=B+mv
el par´metro p permanece constante. Entonces, puede demostrarse que la
a SOCIALES
funci´n de distribuci´n 1 de la variable aleatoria
o o
Z=
X − np
(11)
MaTEX
np(1 − p)
Aleatorias
Variables
tiende a la funci´n de distribuci´n normal est´ndar. Esto justifica que, si
o o a
np 5 y np(1 − p) 5, se use la aproximaci´n
o
x − np
FX (x) Φ , para x = 0, 1, . . . , n. (12)
np(1 − p)
La aproximaci´n (12) puede mejorarse con la llamada correcci´n por con-
o o
tinuidad, de forma que
x − np + 0.5
FX (x) Φ , para x = 0, 1, . . . , n. (13)
np(1 − p)
Tabla N(0,1)
1 Doc Doc
Debe notarse que la funci´n de probabilidad binomial no tiende a la funci´n de den-
o o
sidad normal est´ndar.
a
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42. MATEMATICAS
Secci´n 5: Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal
o o o 42 2º Bachillerato
r=A+lu
A
El gr´fico muestra como se
a 0.35
aproxima la binomial a la 0.3
n=12 d
normal, a medida que n au- n=18
B
s=B+mv
0.25
menta n=24
SOCIALES
0.2
0.15
n=30 MaTEX
n=60
Aleatorias
0.1
Variables
0.05
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1
Ejemplo 5.1. Sea X binomial B 100; que tiene de media µ = np = 50
2
√ 1 1
yσ= npq = 100 · · = 5. Si aproximamos por una normal N (50; 5),
2 2
se tiene
• Con la Binomial el valor exacto es P (X ≤ 55) = 0.8644
Tabla N(0,1)
• Con la aproximaci´n por la normal el valor es
o
55.5 − 50
P (X ≤ 55) =P z≤ = Φ (1.1) = 0.8643
5
Doc Doc
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