Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos gráficos, la regla de Cramer, eliminación de incógnitas, Gauss simple, Gauss-Jordan, y Gauss-Jordan con pivoteo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y diagramas para ilustrar los pasos de resolución.

1. Sistema de ecuaciones lineales Mónica Yamile Camacho 2010

3. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo Existen barios métodos para resolver sistemas de ecuaciones aquí mencionaremos algunos de ellos.

5. 1- Si ambas rectas se cortan , las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y . Sistema compatible determinado. 2- Si ambas rectas son coincidentes , el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado . MÉTODO GRAFICO L1 L2 L1 L2 x1 x2

6. 3 - Si ambas rectas son paralelas , el sistema no tiene solución. Sistema incompatible . 4 – si la franja la toman en una zona no en un punto , encontramos un sistema mal condicionado . MÉTODO GRAFICO L1 L2 x2 x1 L1 L2 x1 x2

7. Ejemplo 1: Resolver por método grafico el siguiente sistema de ecuaciones. X+y=5 ; 2x+y=9 Sln. Para la primera ecuación se tiene que: x=5-y tal que Para la segunda ecuación se tiene que: x=9-y/2 MÉTODO GRAFICO 1 2 3 4 y 4 3 2 1 x 1 3 5 7 y 4 3 2 1 x

8. MÉTODO GRAFICO Solución {4.1} y x solución X+y=5 2x+y=9

10. Si graficamos las dos funciones encontramos que se van a cortar en los puntos (x,y), como lo muestra la figura. REGLA DE CRAMER f1 f2 xx y

11. REGLA DE CRAMER Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones: Ejemplo x + y + z = 1 x - 2y + 3z = 2 x + + z = 5

12. REGLA DE CRAMER Solución: 1 1 1 1 -2 3 1 0 1 1 1 1 2 -2 3 5 0 1 1 1 1 1 2 3 1 5 1 1 1 1 1 -2 2 1 0 5 Δ = 2 Δ 1 = 21 Δ 2 = -8 Δ 3 = -11 X= 21 2 X= -11 2 y= = -4 -8 2

13. ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos. Los métodos de eliminación son: 1º. Por adición o sustracción. 2º. Por igualación. 3º. Por sustitución.

15. ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS Ejemplo Resolver el sistema x – 2y =9 2x + 8y = -12 Solución : multiplíquese ambos miembros de por 2, se obtiene: 2x – 4y = 18 Réstese de , desaparecen los términos “x” 12y = -30 Se obtiene y= -5/2 Remplaza “y” en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese “x” x – 2y =9 x – 2(-5/2) = 9 x= 9 - 5 x = 4 1 2 1 3 2 3

17. ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS Ejemplo Resolver el sistema x – 2y =9 2x + 8y = -12 Solución : despéjese “x” de y , se tiene: x = 9 + 2y x = -6 – 4y Iguálense las dos ecuaciones que representan el valor de “x” 9 + 2y = -6 – 4y Resuélvase 9 + 2y = -6 – 4y 2y + 4y = -6 – 4 6y = -15 y = -5/2 Sustituyendo en el valor de “y” , tenemos que: x = 4 por tanto: x = 4 ; y = -5/2 . 1 2 4 3 3 1 2

19. ELIMINACIÓN DE INCÓGNITAS Ejemplo Resolver el sistema x – 2y =9 2x + 8y = -12 Solución : Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en : x = 9 + 2y Sustitúyase en : 2(9 + 2y) + 8y = -12 18 + 4y + 8y =-12 6y = -15 y = -5/2 Sustitúyase en el valor hallado para "y". x = 9 + 2(-5/2) x = 4 1 2 1 3 2 3 3

20. GAUSS SIMPLE GAUSS, CARL FRIEDRICH Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

22. GAUSS SIMPLE Eliminación de las incógnitas hacia delante: tiene el objetivo de reducir el sistema original a una forma triangular superior. Para resolver una matriz por el método de gauss simple:

23. Obteniendo el valor de x3= l/i x2=(k-f*x3)/e x1=(j-c*x3-b*x2)/a GAUSS SIMPLE R1 R2 R3 R3 R3-(h/e)*R2 a b c 0 e f 0 h i j l k R1 R2 R3 R2 R2-(d/a)*R1 R3 R3-(g/a)*R1 a b c d e f g h i j l k R1 R2 R3 a b c 0 e f 0 0 i j l k

24. GAUSS SIMPLE Ejemplo: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones: 3X1-2X2-6X3=10 8X1+4X2-X3=6 X1 +4X2-2X3=20 Solución: A= B= -2 2 1 -1 4 8 -6 -2 3 22 6 10 22 -2 2 1 6 -1 4 8 10 -6 -2 3

25. GAUSS SIMPLE 18,6666667 0 2,66666667 0 -20,6666667 15 9,33333333 0 10 -6 -2 3 24,5714286 -4,28571429 0 0 -20,6666667 15 9,33333333 0 10 -6 -2 3 -5,73333333 x3= 7 x2= -3,46666667 x1= solución

26. GAUSS - JORDAN Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria.

27. Para resolver un sistema de ecuaciones por Gauss Jordan debemos tener en cuenta que es una continuación del método de Gauss Simple: Esta es la matriz que obtenemos con Gauss simple según lo expuesto anteriormente, luego se debe: R1 R1-(c/i)*R3 R2 R2-(f/i)*R3 GAUSS - JORDAN R1 R2 R3 a b c 0 e f 0 0 i j l k R1 R2 R3 a b c 0 e f 0 0 i j l k

28. R1 R1-(b/e)*R2 Con el método de Gauss Jordan se pretende llegar a esta matriz de manera que se puedan obtener los valores de x1 x2, x3 de una manera mas sencilla. GAUSS - JORDAN R1 R2 R3 a b 0 0 e 0 0 0 i j l k R1 R2 R3 a 0 0 0 e 0 0 0 i j l k

29. GAUSS - JORDAN Ejemplo: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones: 10X1-5X2-2X3=19 5X1+4X2-2X3=9 4X1 -3X2+5X3=24 Solución: 24 5 -3 4 9 -2 4 5 19 -2 -5 10 16,4 5,8 -1 0 -0,5 -1 6,5 0 19 -2 -5 10

30. GAUSS - JORDAN 16,3230769 5,64615385 0 0 -0,5 -1 6,5 0 19 -2 -5 10 16,3230769 5,64615385 0 0 2,39100817 0 6,5 0 24,7820163 0 -5 10 16,3230769 5,64615385 0 0 2,39100817 0 6,5 0 26,6212534 0 0 10 2,89100817 x3= 0,36784741 x2= 2,66212534 x1=

31. GAUSS - JORDAN CON PIVOTEO El sistema consiste en tomar de un sistema de ecuaciones dado una ecuación como pivote con el objetivo de darle forma de matriz idéntica al sistema de ecuaciones. Cuando se elimina una incógnita en una ecuación, Gauss –Jordan elimina esa incógnita en el resto de las ecuaciones. El elemento delantero de cada fila diferente de cero, es llamado "pivote" éstos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

32. GAUSS - JORDAN CON PIVOTEO R1/a R2/e R3/i Se comienza resolviendo la matriz de la misma forma que se ha venido trabajando en el método anterior, y luego continuamos dividiendo cada fila en su respectivo pivote como se muestra a continuación: R1 R2 R3 a 0 0 0 e 0 0 0 i j l k pivote1 pivote2 pivote3

33. De modo que: la matriz de coeficientes se ha transformado en la matriz identidad y la solución se obtiene en el vector del lado derecho. Observe que no se requiere la sustitución hacia atrás para llegar a la solución. GAUSS - JORDAN CON PIVOTEO R1 R2 R3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 j l k j l k

34. GAUSS - JORDAN CON PIVOTEO Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: -11X1-4X2+5X3=25 3X1+10X2-15X3=12 -7X1 +3X2+24X3=8 Solución: 8 24 3 -7 12 -15 10 3 25 5 -4 -11

35. GAUSS - JORDAN CON PIVOTEO Pivote Pivote -7,90909091 20,8181818 5,54545455 0 18,8181818 -13,6363636 8,90909091 0 25 5 -4 -11 -19,622449 29,3061224 0 0 18,8181818 -13,6363636 8,90909091 0 25 5 -4 -11 -19,622449 29,3061224 0 0 9,68770575 0 8,90909091 0 28,3478412 0 -4 -11 -19,622449 29,3061224 0 0 9,68770575 0 8,90909091 0 32,6974234 0 0 -11

36. GAUSS - JORDAN CON PIVOTEO Divídase cada ecuación en su respectivo pivote para obtener De modo que: la matriz de coeficientes se ha transformado en la matriz identidad y la solución se obtiene en el vector del lado derecho. Observe que no se requiere la sustitución hacia atrás para llegar a la solución. -0,66956825 1 0 0 1,08739554 0 1 0 -2,97249304 0 0 1 -0,66956825 x3= 1,08739554 x2= -2,97249304 x1=

37. FACTORIZACION LU Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender el por qué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.

38. Esquemáticamente se busca lo siguiente: FACTORIZACION LU Originalmente se tenia Debido a que A=L*U al encontrar L y U a partir de A no se altera en nada la ecuación y se tiene que : A= L*U 1 0 0 d 1 0 g h 1 a b c 0 e f 0 0 i L= U= a b c d e f g h i A= 1 0 0 d 1 0 g h 1 a b c 0 e f 0 0 i a b c d e f g h i = *

41. FACTORIZACION LU 1. Se halla “U” U = U = 10 -0,2 0,3 -0,3 7 0,1 -0,2 -0,1 3 70,615 10,02 -0,19 0 -19,5616667 -0,29333333 7,00333333 0 7,85 -0,2 -0,1 3 70,0842932 10,0120419 0 0 -19,5616667 -0,29333333 7,00333333 0 7,85 -0,2 -0,1 3

42. 2. Se halla “L” FACTORIZACION LU L = L = 10 -0,2 0,3 -0,3 7 0,1 -0,2 -0,1 3 10 -0,2 0,3 0 6,994 0,03076923 0 -0,104 3,006 10 -0,2 0,3 0 6,994 0,03076923 0 0 3,00645754

43. 3. Se verifica L*U = A FACTORIZACION LU X 10,0120419 0 0 -0,29333333 7,00333333 0 -0,2 -0,1 3 10 -0,2 0,3 0 6,994 0,03076923 0 0 3,00645754 10 -0,2 0,3 -0,3 7 0,1 -0,2 -0,1 3

44. FACTORIZACION LU 4. Se despeja “Y” de L*Y = b Y1 Y2 Y3 10 -0,2 0,3 0 6,994 0,03076923 0 0 3,00645754 71,4 -17,158 9,02286245 70,2304564 Y3= -19,311487 Y2= 2,61104636 Y1=

45. FACTORIZACION LU 5. Se despeja “X” de U*X = Y X1 X2 X3 70,0842932 10,0120419 0 0 -19,5616667 -0,29333333 7,00333333 0 7,85 -0,2 -0,1 3 7,14 -2,75950815 2,61104636 9,0459498 X3= -2,76332892 X2= 0,86847937 X1=

46. http://www.galeon.com/student_star/ecuacio.html http://www.uv.es/diaz/mn/node30.html http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad6/Matrices/u6matte20.pdf http://www.cramster.com/reference/wiki.aspx?wiki_name=Band_matrix BIBLIOGRAFÍA http://www.scribd.com/doc/555933/Descomposicion-LU-y-el-Metodo-de-GaussSeidel