Cap 3 ley de gauss

www.librospdf1.blogspot.com
,
www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com

CAPíTULO 3

LEY DE GAUSS

1.1 Flujo del Campo Eléctrico

1.2 Ley de Gauss
La ley de Gauss, que se aplica a cualquie r superficie hipotética cerrada, llamada también
·Superficie Gaussiana" (S.G .), establece una relación entre Cll E para la superficie y
carga encerrada por la superficie gaussiana. El vector ds as perpendicular a la super-
ficie.

1.3 Algunas recomendaciones para la aplicación de la Ley de Gauss:
Al escoger la superficie gaussiana se debe tener en cuenta la simetrla de la distribu-
ción de carga, para poder evaluar fácilmente la integral de superticie.

Se puede establecer el ángulo formado por E y ds dibujando dichos vecloros.

La carga neta encerrada se considera con su respectivo signo.

En un conductor la carga se encuentra localizada en su superficie; lo cual quiere decir
que dentro del conductor la carga neta ( qr>Ola) es CERO, por lo tanto E '" O

1.4 Densidad de Carga:

'.4.1 En un alambre, la densidad de carga lineal es;

47
www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com

,

~ · A:~
~' m

1.4.2 En una lámina. la dens idad de carga supc rticial es:

:
e
(J :~
m

1.4.3 En un mal erial no conductor, la densidad de carg a volumétrica es :

p o:: q e
; p: '(ñT
volumen

48

www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com
, www.1FISICA.blogspot.com

= = == = == = = LEY DE GAUSS

1. Calcular $ E a través de un hemisferio de radio R. El campo E es uniforme y paralelo al
eje de la semiesfera.

Sofu ción:
Tomando nuestra superficie gaussiana al mismo
hemisferio más la tapa de la base y considerando
que (1) E en una superficie cerrada es cero cuando
no existen fu entes ni sumideros dentro de la su·
perficie cerrada ( S.G ).

Entonces e l flujo eléctrico a través de la superficie
del hemisferio es numéricamente igua l al flujo eléc-
S.G. trico a travé s de la tapa de la base {circulo de
radio R l.

. . . ( 1)

Tenemos que : Ey ds tienen la misma direcció n

Porlolanloen( l): I ([) E=E pdS =E(7tR 2)
,
2. Una red para cazar mariposas se encuentra
en un campo eléctrico uniforme, como S9 mues-
tra en la figura. El aro de la red, que es un
circulo de rad io "a", es perPendicular al cam-
==-+-/ f ,
po. Determinar el flujo eléctrico a través de la . '(,
red.

Solucl6n:
Sabemos que el flujo eléctrico en una superficie cerrada es Igual a cero cuando no hay
fuentes ni sumideros. '
Entonces el flujo eléctrico a través de la red es numéricamente Igual al flujo en el aro de
la re d. Por lo tanto:

49

Pero: ds es paralela a E

Luego: c])E""TEdS

Además E es uniforme y sale de la integral: <I)E = E f ds = E (n a 2)

I (1.l E = 71: a2 E 1

3. Calcular <IJ E en un cilindro de tal forma que su eje sea perpendicular al campo eléctrico,
E.

Solución:
Aplicando la ley de Ga uss sabemos que:
SG -
; E
r---
f' , 1
,
V ,
V donde q es la carga neta encerrada de ntro de la super-
V ficie gaussiana ( S.G. ): e n este caso no existe, por lo
tanto:

NOTA: La superf icie gaussiana es la superficie misma del cilindro .

4. En un conduct or aislado, descargado des-
de el origen se produce una separación de
carga acercando una barra cargada positi-
vamente, tal como se muestra en la figura.
¿Qué se puede decir del fl ujo, a partir de
la ley de Gauss, en las cinco superficies
gaussianas que se muestran? La carga
negativa inducida en el conductor es igual
a la carga pos itiva de la barra.

,-----------------
S olucIón:

De la figura:
La ca rga neta de la barra. es +q y la carga nel a del c onductor es cero.

Para S1 la carga neta encerrada es +q.
,----------,

50

Para 52 la carga neta encerrada es -q.

rl-"',-,-----q , o'
- - E-'

Para 5 3 la carga neta encerrada es +q .

rl-"-e-,-q-,-,-o-'
Para 54 la carga nOl a encerrada es +q - q ::: O

¡ « ) E "" O

Para Ss la carga nela encerrada es +q -q + q '" +q

I <!Ie "' q/Eo

5. Una esfera conductora cargada un iformemente y de 1,O m de diámelro tiene una densi ·
dad de carga superticial de 8,0 G/m'!. ¿Cuál es el flu jo total que salo de la superticie de la
esfera?

Solución :
QNo<.

/-L~,/
Aplicando la ecuación : <I) E = - -
'o
, , Tenemos :

e-- Ree mplazando valo res tenemos:
I
S.G . ./- " (1 ,/ <
" _ _
' o;!-4 ,"~( , 5;-'-,
c,'[ " 0,, 1 1
E ~ 8,85.101 2

/"-rJ~
6. La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su supertICie es aproximadamente
130 N/C y apunta hacia aba¡o. ¿Cuál es la carga de la Tierra, suponiendo que este campo
sea causado por tal carga?

Solución :

Sabemos que:

S.G.
,(, 1

51

También: (b E=pE:·dS .(2)

Igualando ( 1 1y (2): ~ = TE:· ds .. (3)

Como E y ds forman un ángulo de 1800 (vectores opuestos) te nemos en (3 ):
Q
- = -E (4 1t R2r) """> Q = - (o E ( 4 1t R2 T )
'o
Reemplazando valores: Q =.( 8,85.10.12 ) (130) [4rr (6,37. 10 6 )2J

I Q=-6.1O S
C !

7. En uno de los vértices de un cubo de arista "a~ se coloca una carga puntual "q ~. ¿Cuál
es el flujo <1lE a través de las caras del cubo? (Sugerencia: ut ilizar la ley de Gauss y
argumentos de simetrfa).

Solución:

, En primer lugar debemos observar que el fl ujo de la
carga "q" se distribuye en tres cargas del cu bo. Ade-
más imaginemos que la carga "q" mostrada, debe
quedar en el cent ro de un cubo más grande, para
lograr ésto tendrfamos que dibujar siete cubos más
aparte del que se m uestra en la figura. Por lo tanto la
carga "q~ estarla en el centro de ocho cubos co mo los
de la figura puesto que con los ejes x (+), y (+) y Z (+)
, se constru yen cuatro cubos y co n los ejes x (-l, y (o) y
z (-l los cu atro restantes.
En ,?onclusi6n al estar en el centro de los OCHO c ubos , el /lujo total es "qlco "pero como
queremos el flujo sobre un cubo,éste será la octava parte del total.

El flujo sobre el cubo de la figura será:

8. Las componentes del campo eléctrico en la figura
son E. = b. Xl12 , Ey = E, = O, en donde b =- 800 y
NI( C.m ll2). Calcular:
a) El flujo ¡PE a través del cubo . / , / ,
,
b} la carga que se encuentra dentro del cubo. ,
,
Supongase que a = 10 cm. , -- --
,,
-."...
,
Solución:

a) Sabemos : q) E '" TE. ds ..... ( 1 )
,~
, .. ,
V,

52

www.librospdf1.blogspot.com •
Ter.3mos: E '" ( E.: E, ; E, ) '" ( bX'I2; O; O ) Y

Il2
V·E = ( aOx; iJd : :1 ).(b X ;0;0)
y

V.E = ~X -V2 .... (21
2

Por el l eo rema de la divergencia de Gauss:

"' E = fE ds = Jff O E d, ..... (31
•
Reemplazando ( 2 ) en ( 3 ) tenemos: <I) e = b '2 J'J'J
o "
o o X
112dxdydz

Resolviendo: lJ) e=-
b
2 o o
2x J
'f'[ " j" 3
d y dz

= -b
2 J'
'J
, o
(2.f2a ~ 2,Ja1 dy dz

= ~(2.f2a - 2,Jala'
2

$ E= ~ (2[2 _ 2)a 5/ 2
2

Reemplazando datos obtenemos:
N m'
,
O E = 1 047 - ' -
' e

Obtenemos:

e 2 2 . 1047 N .m 2
N.m ' e

Iq r>e!a = 9 ' 266 • 10"2 e

9. Un conductor aislado tiene u'na carga lotal de + 10.10 6 C. Dentro del conductor hay una
cavidad en la cu al se encuentra una carga puntual O de +3,O.lO,e C. ¿Cuál es la carga?

al En la pared de la cavidad.
b) En la superticie externa del conductor.

53

So lu ci6n :
q" La carga tolal de +10.10 6 C está distribuIda en su superticie
externa. La carga puntual colocada en el interior de la cavidad
e
de Q :. +3,0.10-6 induce en la pared de la cavidad una carga
de q' = ·3,0.10-6 C de tal forma que la carga en la superlicle
e
extema del conductor es: q" '" +13.10.6 puesto que siempre:
q' + q" = +tO.IO·e C
Por lo tanto la respue sta en: a) ·3,O. 10-6 C

10. La figura muestra una carga puntual de 1,0. 10 1C , en el
centro de una cavidad esférica de 3,0 cm de radio en una
pieza metálica. Utilizar la ley de Gauss para encontrar el
campo eléctrico.
a) En el punto "a"', que se encuentra a la mitad de la
distancia del centro de la superticie.
b) En el punto " b~.

Soluci6n:
De la ley de Gauss sabemos:

Eo fE' ds = qNETAENCERRADA •• ••• ( 1 )

Además , como Ey ds forman 0 0

pE. ds .. E( s ) '" E ( 4 1t r2)

donde E es uniforme y S es la superficie gaussiana esféri ca de ra dio r.

luego en ( 1 ):

E=-'- . q
41t C o rz ...... ( 2 )

a) Para el punlo "a": r . "" rfl., entonces

En (2):

N.m :! 1.1 0 - 7 e
Reemplazando valores: E '" 9.10~ ~ . (1,5.1 0 2)2 m 2 IE :c 4.10 6
N/e I

b) Para el punto "b": la carga "q" induce la superficie de la cavidad esférica ".q" por
lo tanto qNET AENCERHADiI == O.

Luego de ( 2 ) concluimos que:

11. La figura muestra un casquete esférico no conductor cargado con
una densidad de carga uniforme P (C/m3). Trazar una gráfica de E
como función de la distancia r, medida desde el centro de la esfera,
cuando su valor varía desde O hasta 30 cm. Supóngase que:

P =1,O.10 6 C/m J , a", 10cm y b=20cm

Solu ción :
Determinamos los va lores de "E" para las diversas distancias del centro sabiendo que:

.... ( 1 )

Para r < a:
Tomando la superticie gaussiana esférica de radio menor que "a" tenemos:

qNo1a E""o,,~da = O ~ IE = O I
Para a < r < b:
Tomando la S.G. de rad io "r"' tenemos que:

En ( t ): E---P
- 3 Eo
("-a ]
r2
'
Para b < r:
En forma análoga tene mos:
4
q=-n(b3-a~) p y S=4nr2
3

En (1): E- -
-
P(b'-a']
3 E
o
r2
E 10' N/C )
Luego la gráfica es la siguiente: 33

o 10
.,
,~.
" 30 r(cm)
u na e<..ela hUf'Cd, metálica, de paredes delgadas, descargada , liene una carga puntual
"q" en su centro. Obtener las expresiones de l campo eléctrico, ut ilizando la ley de Gau$s:
55

a) En el interior de la esfera y.
b) En el exterior de la esfera.
el ¿Altera en algo la esfera el campo debido a "q"?
d) ¿Produce la carga "q" algún efecto en la esfera?
e) Si se co loca una segunda carga en el exterior de la esfera, ¿experimenta asta carga
externa alguna fuerza?
j) ¿Siente la carga interna alguna fuerza?
g) ¿Existe, en este caso, alguna contradicción con la tercera ley de Newton?

Solución:
- - q
al Por la ley de Gauss:
f E·ds = -
,• = . entonces:

q
E( 4 11 r2 ) '" -
'.
E = - <:0 ' c'l-I
I 4 ¡¡; t

Con r < R obtenemos lo mismo que en (a) ya que E y ds
forman un ángu lo de O°.
b) Para r > R obtenemos lo mismo que en (a) ya que "q" (carga neta encerrada) es
la misma.
el No, porque no posee carga.
d) Si, se inducen cargas en las superficies.
e) Si, debido a "q".
j) No, porque no interactúa con otras cargas.
g) No, porque no existe ninguna fuerza.

13. Una esfera metálica hueca de paredes delgadas y de radio "a" tiene una carga qa.
Concéntrica con ella hay otra esfera metálica hueca de paredes delgadas de radio
b (b > a ), con una carga qb. Utilizar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico en
puntos que se encuenfran a una distancia "r" del centro de las esferas cuando:

a) r < a
b) a < r < b
e) r > b
d) ¿Cómo se distribuye la carga de cada esfera entre su superficie Intern a y externa?

SolucIón :
Para todos los casos tomamos la S.G. esférica de radio r. q.

a) Para r < a q N.E . • O ""> B
b) Para a < r < b qN.E • q. y S ", 47t r2

Luego en: f- -
E· ds .. -q. obtenemos:
'.
56


el Para r > b q ~.E' = ~ + <, y S = 4 n r2

luego: ! E. ds = q" + qb obtenemos:
r l:o

d) Esfera de radio ~a" :
superl lcie externa: q"
Esfera de radio b:
Superlicie interna: -qa }
Superlio::ie externa: qa + <, 1Carga neta", q, I

14. Una esfe ra no co nductora de radio "a" está colocada en el centro de una esfera conduc-
tora hueca cuyo radio interno es "b" y c uyo radio externo es "c', tal como se muestra on
la figura. En la esfera interna esta distribuida uniformemente una carga +Q (con una
densidad de carga · P " en C/m 3 ) . l a carga de la esfera externa es -O. Determinar Ew
al dentro de la esfera inlerna ( r < a ),
b ) entre la esfera interna V [a externa ( a < r < b 1,
e) enlre las superlicies de la eslera hueca ( b < r < e ) y
d) fuera de las esferas externa ( r > e )
el ¿Cuáles so n las cargas sobre las superficies interna y
externa de la esfera hueca?

Soluc·ión :
a) Aplica ndo la ley de Gauss para r < a:

! E. d s= Q Nela Enoerr.>da ..... ( 1 )
r &.

Pero: p=--= - - 3
o 30
4 3 4xa
3'·
Como es un ifo rme. Enlonces E tiene el rpismo valor en todos los puntos de la
superlk:ie g aussi ana y es paralelo a d S

Luego en (1 ):

¡ E .d s = p ( vofumen)
r &.

57


f Ed'=[/"~,]( 4
3',:']
El" ~) = ~ I~- 4_'_'_._d_'_~
~ L_-_
Q .(

b) Para a <: r <: b se liene:

J E.ds '" QNft U 8001'1rr3d3

r '.
Q

el Para b < r < c;

,( E.ds '" ON<>Ia E""""Ma

J '.
Pero 0Nota EOOI'IIIada es cero, porque en r '" b se tiene -O.

Enlonces: E = O
d) Para r :> e:

el La carga en la superficie interna en la esfera hueca es . Q inducida por +Q y en la
superficie externa es cero para que asl la carga neta sea . Q en la esfera hueca.

15. Un conductor de forma irregular tiene una cavidad irregular. El conductor se carg a con
+q, pero dentro de la cavidad no hay carga. Demostrar que:
al dentro de la cavidad E = O
b) no hay carga en la pared de la cavidad .
q
Sofución: +
Graficando el conduclor: +
+
+
Sabemos que en todo conducto r cargado, la carga +
se distribuye en la superficie externa.

al Para S.G. esférica de radio r t ene mos:

qN.E.= O ~ I E=O I
h) Suponiendo que existe una carga ql en la superficie de la cavídad.

58

,
1) Si ql es positivo <=:> la carga total del conductor será q + ql"
11 ) Si q, es negativo =e. la carga total del conduclor será q • q, .
De ( I ) Y ( 11 ) concluimos que q, debe ser cero ya que la carga lolal del conductor
esq.
16. la reglón esférica caracterizada por a < r < b tiene una carga por unidad de volumen
p = Alr, en donde A es una constan te. En el cen tro de la cavidad ( r". O ) hay una car-
ga puntual Q. ¿Cuál debe ser el valor de A pa ra que el campo eléctrico en la región
a < r< b tenga una magnitud constante?

Solución:
,,'
,'~ '. ~
'" , Q
,

.' .
Aplicando la ley de Gauss: ',', SG
. ','
-- Q- " , ,
f E·ds = - -
'o
,, ¡IY

E es radial puesto que la distribución de carga también es radial luego E y ds tienen
el mismo sentido; además E tiene el mismo valo r a una distancia "r" por depender s610
de .'".
En segundo lugar la carga neta ence rrada por la superficie gaussiana es:

0 Nti...'" O +
5'"
,..
P dv

A
donde: p = - dv '" 4 1t r2 dr y O carga ubicada en el eenl ro ( r '" O , .
r

Luego en ( 1 ): E{ 4 1t r2) '"

E •

E •
O+ 41tA r' a '
( "2-2
1
41t Ecr2
Ahora como E debe ser constante en toda región' donde ( a < r < b ) entonces se debe
cumplir que E( •• a) . E(, . b) , de donde se tiene que:
2 2
O O + 4 1t A ( b ;a )

41t Eo a 2 = 4 1tE o b 2

59

Operando tenemos que:

17. Una esfera sólida. no conduClora, l lene una carga por unidad de volumen uniforme
Sea r el vector que va del cen tro de la esfera a un punto arbitrario P dentro de la misma.
a) Demostrar que el campo eléctrico e n P está dado por E = P rl ( 3 Eo l.
b) En la esfera se practica una "cavidad" esférica como se muestra en la fig ura.
Demostrar utilizando los concep tos de superposición, que el campo eléctrico en todos
los puntos de la cavidad es:
E = P al (3 (o ) (un campo uniforme), en donde a es el vector que va del cent ro de
la esfera al cen tro de la cavidad. Nótese que los dos re sultados son independientes

o
de los rad ios do la esfera y de la ca vidad .

Solución :
a)
SG ~ , ~ -~ , R
Ap licando la ley de Gaus se tiene :
' ;~'"
, , ¡, - - ", -....,
p ~' , ! _ , ' r E.ds Q -
'o
Pero como r es unilorma, Etambién lo es en todos los puntos de la superficie gaussiana
y para lolo a ds , luego:

EI 4 .~) =

b) Al practicar una cavidad esférica de ra dio ro. Podemos determi-
nar la contribución al campo eléctrico de la esfe ra de radio r~ y ,
densidad volumétrica unllorme p.
,
( ,

Aplicando la l ey de Gauss idént ico al caso ( a ) se obtiene :

E ' . -P- ' r '
3 '0
luego por superposición el campo en la cavidad estérlca practicada es:

Eo = E· E' .. _P- tr · r' )
. 3 Eo

pero: r - r' '"' a distancia del centro d.3 la eslera al cen tro de la cavidad.

Finalmente: 1 Eo = ~.a I

Como a es constante, entonces Ea es uniforme.

60

18, La figura muestra la sección de un tubo metálico largo, de paredes delgadas y de radio R,
que en su supcrt,cia una carga por unidad de longitud ).. Encontrar una expresión de E
para diferentes distancias r medidas desde el eje, considerando tanto que:
al r:> R como,
b) r < A
Representar gráficamente los resul tados en el in-
terv alo que va de r ", O hasta r '" 5 cm, suponiendo
que: l. :lE 2.0.10-11 G/m y que R '" 3,0 cm.
+:~+ +
+
So lu ció n: + +
Tomamos la S.G. cil!nd rica de radio r concéntrica + R +
+ +
al tubo y aplicando : +
'----------"~~
+~++
r E d S = q NE·
'o
... . . (I)

al r :> R:
En ( 1 ): (o f E' ds:; q N.E ;; 1.. L

Co E (21tr ) L = I. L

b ) r < A:
qN,E. '" O

Entonces en ( 1 ):
B
Graflcand o: E

19.

3 5
,
En la figura se muestra la secclOn transversal de
'

un cilindro conducl or largo con una carga l olal +q,
rodeado por un tubo cilfndrico Con una carg a total
-2q. Utilizar la ley de Gauss para encontrar:
a) el campo eléctrico en aquellos puntos luera del
tubo ciHndrlco,
b) la distribuci6n de carga en el tubo cilíndrico y
c) el campo eléctrico en la reg i6n Intermedia entre los<
cilindros. .

Solucl6 n:

S:'pcniendo la longUue! de los condu::tores l , tom3.mos la S.G. clUndrica de radio · r~ y
longitud l concéntri ca a ambos conductores.
61


qN,¡;= q·2q "' -q

Luego: Eo f E·ds::: - q =::> [o (2 1t r ll :::- q

lE . 2':0 " 11.): md;almenle hac;a adenlm.

b) En la superficie interior es inducida: -q, en la superficie exterior es: -q, ya que la
carga neta del tubo cilfndrico es -2q.

c) r1 < r < r2 :
qNE '" +q

luego: [o §E.d$" '" + q ={) [o (2 n r l) = + q

I E= ":0"
20. l os radios de dos cilindros concéntricos cargados son 3,0 y 6,0 cm. La carga por unidad
de longitud del cilindro inlerno es da 5,0.1 0-6 Glm y la del cilindro externo es de -7,0. 10-6
e/m Encontrar el campo eléctrico en:
al r '" 4,0 cm y
b) r = 8.0 cm.

Solu ción:
al Aplicando la ley de Gauss para: a < r < b

b " .. '
~- - -- -----------,1-;-,
>
~-
.. ,
, ,
,
.
",, ----- ----..l¡-..l-- ' Pero: 0Netl'" i... ( i ) Y E es un iforme y parale-
J
lo a ds por ser J.... constante .
A.Il)
Entonces: E
f 2n: rd/ = - -
'o
E(21'C f l )'-' -
A. -1') ~
'o
Reemplazando valores para r • 4 cm, se tiene:

5,O .10 -t
E·21t( 4 .1O - 2) ( 8 ,85. 10-12)

62


I E = 22.48.10 5 N/e

b) Aplicando la ley de Gauss para (r > b):

1(_""-_+_ "C
' Á, 1-,-1_'
E (2 11 r 1) '" 1'
-

"

Reemplazando valores para r = 8 cm se tiene:

I{S.10 S ~ 710 6 )1
E=
211 Ea (8.10 '2 )

E = 4,5.10 5 N/e

2 1. La figura muest ra la sección de dos cilindros concéntricos largos de radios a y b. Los
cilindros tienen cargas po r unidad de longitud A , iguales y opuestas Uti lizando la ley de
Gauss demostra r:
al que E == O si r > b Y si r <: a y
b) que el valor de E ent re los c ilindros está dado por:

1
E - --
Á
~ -" ~
- 2

Soluc ió n :
Jl lOo ""i
+ ,

..
//a~ ,',
" + l'
. . _ . ,I0b+!,'
,:+ ' .
, "

"' +_ +J
".
.

Sabemos que por la ley de Gauss: ro pE ds -'" qNt¡ta
a) Para r > b:

Como: Aa = - Ab ---::> =--

De donde: qa = -qlJ

luego la carga neta encerrada es: qa + qb = O

Para r < a:
La carga neta encerrada es ce ro:

b) Para a <: r <: b :

La carga neta es qa = A. f

63

Además: Eo fEd S ,," A f

'
IE -- ~
~ 2 It (' o r 1

22, A lo largo de un cilindro infinito de radio R se distribu ye uniformemente una carga.
a) Demostrar que E, para distancias r medidas desde el eJo del cilindro (r < R l. está
dada por:

en donde P es la densidad de carga.
b) ¿Cuál seria el resultado esperado para r > R?

Solución:

Graflcando el cilindro:

Superfi cie Gaussiana: cilindro concentrico de radio r.

al Sabemos que: Eo f E ds '" qr-.O!a .¡1 I

Además: p = __
q =:,;. q "' pn: r 2 ¡, ¡ RI
n r2 /

En ( 1 ):

b) Pa ra r > A la carga neta es: q :: p re R 2 I

Luego en ( 1 ): Eo E(2nr f ) = pr.:R 2 ¡ ->

23. Dos grandes láminas metálicas están colocadas como se muestra en la figura y sus
superficies Internas están cargadas con una densidad do carga superficial + (J y - (J,

respectivamente. c,Cuál es el valor de E en los puntos que se encuentran:
a) A la izquierda de las láminas,
b) entre ellas y
c) a la derecha de las láminas.

No se consideran los puntos cercanos a las orillas de las láminas.
sólo aquellos cuya distancia a la lámina es pequeña en comparación
con las dimensiones de ésta. -o +0

64

,
Solución:

al Por la ley de Gauss: . .... ( 1 )

Pero o '" O en las superficies exteriores de las placas :

Luego en ( 1 ): Ea f E·dS
Ea y ds no pueden ser cero. entonces concluimos que:

b) Como E es uniforme, tenemos que'

t: o f EdS ~ o.S f o E.S == 0.$

hacia la izqu ierda

24. Dos grandes láminas no conductoras con carga positiva estan colocadas como S8
muestra en la fi gura. ¿Cuál es el valor de E en los punlos que se encuentra:
a) a la izquierda de las láminas . + +
b) entre las láminas y
c) a la derecha de las láminas? + +
+ +
Supóngase que las dos láminas l lenen la misma densidad superficial
de carga o. No se consideren punlos que se encuentren cerca de las + +
orillas de las láminas y sólo aquellos cuya d istancia a la lámina es + +
poqueña en comparación con las dimensiones de ésta. (Sugerencia: E
en un punto cualquiera es la suma vectoria l de los campos eléctricos individuales debidos
a cada una de las láminas).

Solución:
A nalicemos una de las láminas. considerando la S. G. un cilindro para aprovechar su
simetría.
- - q
De: f E d s =-
"
- (js,
podemos expresarlo así: dS J :=--
.. . . ( 1 )
"
de la figura: S, '" S2'" área de la base del ci-
s, 0 0 0 lindro.
s,
S3 = área lateral del cilindro.
:.E.. E 0
Entonces: E . ds = o
0 0
0 Luego e n ( 1 ):

65


E.S 1 + ES! = O . S,
-- ~
" ~
Juntando las dos láminas, tendremos:

E- -
o o
- + -- - -
o
hacia la izq uierda , , ,
1- 2 f 2 Eo (e
- .-
o o o
E =--+--- hacia la derec ha.
I11 2( 0 2f o tOo

25. Una placa no conductora do espesor ~d ' l ieno una densidad dc carga volumétrica P
unllorme. Determinar la magmtud dcl campo eléctrico'
a) dentro.
b) l uera de la placa

So lu ci ó n:
a) Grallcando la placa:
Aplicamos la ley dc Gauss para el interior de la placa:

-- f ; rAd'
P :- SG
, -
E n d s "" L-_ _ '-L
f , '-
, ñ

,
0-- ' ->0
E ( $) "" p.A.x . - - d- -H
E
"
Notar Que para x = d '

b)
'-i'"'-'cY-"c-,.,-, Aplicamos la ley de Gauss para puntos exteriores a la placa:
5.G - :
, l' :r --
¡ E n ds + f-- pd A
E n d s = _.-.-
c,
-E :
~ ,-
E

E A + E. A o- p. d .A ....:.>

~d_1
"
26. Una pequeña eslera cargada de masa "m· y carga "q" está suspendido de un hilo de
seda que lonna un ángulo ·0" con respecto de una gran superlicie conduclora , plana y

66

cargad a, tal como se muestra en la figura Determinar la densidad super-
ficial de carga (J de la lámina.

Solución:
O.C.L. de la esfera:
Sabemos que de la placa:

E- ~
,, ( 1)

y para la esfera:
F = q.E .... (2)

De ( 1 ) Y ( 2 ):

..(3I

DeIO.C. L. :
F
Tg O = - '-.> F = mg . Tg O (4 )
mg

Reemplazando ( 4 ) en ( 3 ): I O c mgc~ T9 0

27 Demostrar que es imposible lograr el eqUilibrio estable por la acción única de fuerzas
electrostáticas. (Sugerencia : Supongase que al colocar una carga +q en cierto punto P en
un campo E, ésta queda en equ ilibrio estable -lo cual ocurre-o Trace una superficie
gaussiana esférica en torno a P; imagínese el sentido en el que debe apuntar E sobre
esta superficie y aplíquese la ley de Gauss).

Solucióll:
¡
Recordemos el concep to de equilibrio estable' "Cuando un •
,
cuerpo en equilibrio es desplazado ligeramente, los valores, ,
sentidos y líneas de acción de las fuerzas que actúan sobre él
pueden cambiar.
>
Si las fue rzas en la posición desplazadas son tal es que hacen SG .r ~

volver al cuerpo a su posic ión inicial, el equilibno es estable".

Ahora al colocar la carga +q en el punto P del campo E, inicialmente. ésta queda en
equilibrio estable, luego al aplica r la ley de Gauss. a ésta carga. hallamos que:

q
f
c C

fo Eds = q =-) E= 2
4 r.: 100 r

Entonces. debe existir un campo "restituyente" lo cual es imposible crear, por lo que es
imposible lograr el equ ilibrio estable por la acción única de fuerzas electrostáticas.

67

Cap 3 ley de gauss

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (6)

Semelhante a Cap 3 ley de gauss

Semelhante a Cap 3 ley de gauss (20)

Mais de Moisés Galarza Espinoza

Mais de Moisés Galarza Espinoza (20)

Cap 3 ley de gauss