Apostila de Matemática Financeira
Conteúdo:
1. Regra de Três Simples
Cálculos de Exemplo
Diretamente Proporcional
Inversamente Proporcional
2. Diferença entre Capital e Montante
3. Definição de Juros e Prazo
4. Transformação de Taxa
5. Interpretação
6. Juros Simples
Exercícios Resolvidos De Juros Simples
7. Exercícios
Regra de Três (10)
Juros Simples (20)
8. Gabaritos
MATEMÁTICA FINANCEIRA - REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES
1. MATEMÁTICA FINANCEIRA
MATERIAL - AULA 1 por JESSYGA TAVARES
REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES
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1. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhe- cidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º passo: Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º passo: Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º passo: Montar a proporção e resolver a equação.
CÁLCULOS DE EXEMPLO
Exemplo 1
Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60 m² de parede. Quantos litros de tintas serão neces- sários para pintar 450 m², nas mesmas condições?
1º passo: Tabela
Observe que, quanto maior a área a ser pintada maior será a quantidade de tinta, então podemos dizer que a regra de três é diretamente proporcional. Nesse caso não invertemos os termos, multipli- camos cruzado, veja:
60 * x = 18 * 450 60x = 8.100 x = 8.100
60 x = 135 l
Resposta: Serão necessários 135 litros de tintas para pintar uma parede de 450 m².
Observação:
Diretamente proporcional = se a 1ª grandeza aumenta, a 2ª grandeza também aumenta; ou
se a 1ª grandeza diminui, a 2ª grandeza também diminui.
Litros
Área em m²
Litros
Área em m² 18 60
18 60
x
450
x
450
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REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES
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Exemplo 2
Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por dia. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em quanto tempo ela leria o mesmo livro?
Dias
Páginas por dia
Dias
Páginas por dia 4 15
x 15
x
6
4
6
Observe que agora a situação é a seguinte, se ela ler mais páginas por dia demorará menos tempo para ler o livro, caso ela diminua as páginas lidas por dia aumentará o tempo de leitura, nesse caso a regra de três é inversamente proporcional, então devemos inverter a coluna em que se encontra a incógnita e depois multiplicar cruzado.
6 * x = 4 * 15 6x = 60 x = 60
6 x = 10 dias Resposta: Se passar a ler 6 páginas por dia levará 10 dias para ler o livro.
Observação:
Inversamente proporcional = se a 1ª grandeza aumenta, a 2ª grandeza diminui; ou
se a 1ª grandeza diminui, a 2ª grandeza aumenta.
Tabela de Proporção Direta e Inversamente Proporcional:
1ª grandeza
2ª grandeza
proporção
Aumenta
Aumenta
Direta
Diminui
Diminui
Direta
Aumenta
Diminui
Inversa
Diminui
Aumenta
Inversa
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2. DIFERENÇA ENTRE CAPITAL E MONTANTE
CAPITAL “C”
Quando se fala em aplicação ou empréstimo em uma questão, estaremos sempre nos referindo ao CAPITAL investido ou adquirido, a mesma coisa acontece quando a questão se refere ao valor princi- pal, esta também é uma referência ao CAPITAL.
Logo, aplicação ou financiamento ou empréstimo ou valor principal = CAPITAL = C.
O Capital pode ser representado por várias siglas e sinônimos.
As representações mais usuais são: C (de Capital); P (de Principal).
Sem o CAPITAL você não tem como calcular nem o JUROS nem o MONTANTE.
MONTANTE “M”
O MONTANTE é o valor da soma total de algo ou de alguma coisa. Nesse sentido, podemos dizer que, se você tem 3 chocolates e uma pessoa lhe dá de presente mais 3 chocolates, o seu MONTANTE será de 6 chocolates, ou seja, o valor final que se obteve. Também pode ser chamado de valor de resgate, quan- do se tratar de investimento; e valor de pagamento (dívida total), quando se tratar de empréstimos. Também quando se fala em valor futuro, faz-se referência ao MONTANTE.
Logo, valor de resgate ou de pagamento ou valor futuro ou final = MONTANTE = M.
No que nos referimos às fórmulas de juros simples e composto, temos que o MONTANTE será igual o CAPITAL + JUROS incidentes.
Fórmula do MONTANTE:
3. DEFINIÇÃO DE JUROS E PRAZO.
JUROS “j”
O JURO é a quantia que se paga além do valor principal.
Por definição, o JURO é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro.
Ao solicitar um empréstimo em uma financeira, você estará obrigado a pagar um valor maior que o va- lor que você recebeu emprestado.
Este valor pago a mais se chama JURO.
M = C + j
Onde:
M = Montante C = Capital j = juros
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É expresso como um percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros compostos. Pode ser pelo empréstimo de dinheiro, lucro de capital emprestado, atraso de pagamento, etc..
Quando se fala em rendimento em alguma questão, esta é uma referência ao valor dos JUROS cobrados.
PRAZO
Prazo tem a ver com período, assim como vencimento, que nos cálculos de juros é a mesma coisa que tempo, este sendo representado pela letra “n” ou “t”.
Logo, prazo ou período ou vencimento = TEMPO = n
MEDIDAS DE TEMPO
1 mês (comercial) = 30 dias
1 ano (comercial) = 360 dias
1 ano (normal) = 365 dias e 6 horas
1 ano (bissexto) = 366 dias
1 semana = 7 dias
1 quinzena = 15 dias
1 bimestre = 2 meses
1 trimestre = 3 meses
1 quadrimestre = 4 meses
semestre = 6 meses
1 biênio = 2 anos
1 lustro ou 1 quinquênio = 5 anos
1 década = 10 anos
1 século = 100 anos
1 milênio = 1.000 anos
Os períodos mais utilizados são os destacados na cor verde.
4. TRANSFORMAÇÃO DE TAXA
A TAXA é representada pela letra “i” e pode ser identificada em sua forma percentual e unitária.
Na forma percentual, vê-se o símbolo da porcentagem “%”.
Para transformar um valor percentual em unitário, deve-se apenas dividi-lo por 100;
E para transformar um valor unitário em percentual, deve-se multiplicá-lo por 100.
Exemplo 1
Transformar os valores a seguir para a forma unitária:
a) i = 12%
i = 12
100
i = 0,12
b) i = 145%
i = 145
100
i = 1,45
c) i = 1,7%
i = 1,7
100
i = 0,017
d) i = 0,00003%
i = 0,00003
100
i = 0,0000003
Dica: Para facilitar o cálculo, quando um número é dividido por 100, basta deslocar a vírgula duas ca- sas decimais para a esquerda. Desta forma:
a) i = 12%
i = 0, 1 2
i = 0,12
b) i = 145%
i = 1, 4 5
i = 1,45
c) i = 1,7%
i = 0, 0 1 7
i = 0,017
d) i = 0,00003%
i = 0, 0 0 00003
i = 0,0000003
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REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES
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Exemplo 2
Transformar os valores a seguir para a forma percentual:
a) i = 0,1234
i = 0,1234 * 100
i = 12,34%
b) i = 0,000671
i = 0,000671 * 100
i = 0,0671%
c) i = 3,219
i = 3,219 * 100
i = 321,9%
d) i = 0,00003
i = 0,00003 * 100
i = 0,003%
Dica: Para facilitar o cálculo, quando um número é multiplicado por 100, basta deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita. Desta forma:
a) i = 0, 1 2 34
i = 12,34%
b) i = 0, 0 0 0671
i = 0,0671%
c) i = 3, 2 1 9
i = 321,9%
d) i = 0, 0 0 003
i = 0,003%
5. INTERPRETAÇÃO
Deve-se prestar bastante atenção no enunciado das questões, por tudo é uma questão de interpretação.
Capital: Valor que está sendo emprestado ou investido.
Juro: É a remuneração paga pelo uso do dinheiro. O juro é uma forma de produção de renda, através de certo capital.
Período: É o tempo durante o qual o capital será aplicado.
Montante: É a soma do capital com o juro produzido em todo o período.
Sempre, quando for resolver uma questão de juro simples ou compostos, faça a identificação dos valo- res que foram dados na questão, para poder se organizar e assim descobrir qual fórmula deverá utilizar em sua resolução.
6. JUROS SIMPLES
Na modalidade de JUROS SIMPLES o cálculo do juro de cada período é sempre calculado com base no capital inicial.
Ao trabalhamos com juros, consideramos as seguintes variáveis:
C: Capital ou principal é quantia aplicada ou tomada emprestada.
n: É o período de tempo em que o capital será aplicado.
j: É o juro resultante da operação.
i: É a taxa percentual aplicada ao capital para a apuração do juro.
M: O montante é a soma do capital com o juro produzido em todo o período.
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REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES
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No caso de juros compostos, após cada período, o valor dos juros é adicionado ao capital (montante) antes do cálculo do próximo juro. Desse modo temos juros calculados sobre juros. Imagine que você tome emprestado, a juros simples, a importância de R$ 5.000,00, pelo prazo de 3 me- ses, à taxa de 5% ao mês. Qual será o valor que você deverá pagar como juro, decorrido este período de tempo? Qual o montante a ser pago? Embora você possa se utilizar de fórmulas para a resolução deste problema, o ideal é que você consiga abstrair a ideia por trás do mesmo. Vamos aos cálculos! O valor do juro em cada período será: 100 * x = 5 * 5.000 100x = 25.000 x = 25.000 100 x = R$ 250,00 Ou seja ao final de cada período, além dos cinco mil reais emprestados, você estará devendo mais R$ 250,00 correspondente ao juro do período em questão. Compreendida a esquemática por trás do cálculo dos juros, do explicado acima, podemos deduzir várias fórmulas. Quando tivermos o valor do capital, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a obtenção do juro iremos utilizar a fórmula: Quando tivermos o valor do juro, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a obtenção do va- lor do capital utilizaremos a fórmula: Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e o tempo da aplicação, para a obtenção da taxa de juros utilizaremos a fórmula: Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e a taxa de juros, para a obtenção do tempo da aplicação iremos utilizar a fórmula: Para o cálculo do montante utilizaremos a fór- mula: As suas variantes são: e Utilizando-se destas fórmulas, o problema acima pode ser resolvido da seguinte forma: Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: A calcular temos: j: O valor do juro. M: O valor do montante.
Valor
Porcentagem R$ 5.000,00 100%
x
5%
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REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES
7 Inicialmente utilizaremos a fórmula: Substituindo o valor dos termos temos: Logo: Para o cálculo do montante utilizaremos a fór- mula: Substituindo o valor dos termos temos: Portanto: Ou seja, uma importância de R$ 5.000,00 emprestada a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% a.m. resultaria em juros totais de R$ 750,00 e em um montante de R$ 5.750,00 como já havíamos apurado anteriormente.
Resposta: Juros totais de R$ 750,00
Montante de R$ 5.750,00
Para a forma de capitalização simples (juros simples), também podemos usar a fórmula de MONTANTE:
Questões resolvidas de juros simples:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS SIMPLES
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
SOLUÇÃO:
Temos: j = C*i*n
C = R$ 40.000,00
i = 36% a.a. 36÷100 = 0,36 a.a.
n = 125 dias 125÷360 = 0,347222222 ano
j = ?
j = 40000*0,36*0,347222222 = R$ 5.000,00
REGRA!
Taxa e período devem ficar sempre na mesma unidade de tempo!
Deve-se converter sempre a unidade de período “n” para a unidade da taxa “i”, pois alterações na taxa podem interferir no resultado a longo pra- zo.
M = C(1+ i*n)
Onde:
M = Montante C = Capital i = taxa
n = juro
M = C + j (1ª fórmula)
j = C*i*n (2ª fórmula)
Então podemos substituir na 1ª fórmula:
M = C + C*i*n
Colocando o C em evidência, temos M = C(1 + i*n)
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2 - Um empréstimo de R$ 8.000,00 rendeu juros de R$ 2.520,00 ao final de 7 meses. Qual a taxa de ju- ros do empréstimo?
SOLUÇÃO:
Temos: j = C*i*n
C = R$ 8.000,00
i = ?
n = 7 meses
j = R$ 2.520,00
2520 = 8000*i*7
2520 = 56000*i
56000i = 2520
i = 2520÷56000 = 0,045 a.m
0,045 * 100 = 4,5% a.m.
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias?
SOLUÇÃO:
Temos: j = C*i*n
C = ?
i = 1,2% a.m. = 1,2÷100 = 0,012 a.m.
n = 75 dias = 75÷30 = 2,5 mês
j = R$ 3.500,00
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses.
Logo,
3500 = C*0,012*2,5
3500 = C*0,03
0,03C = 3500
C = 3500÷0,03
C = R$ 116.666,67
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4 - Por quanto tempo um capital de R$ 11.500,00 foi aplicado para que rendesse R$ 1.725,00 de juros simples, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.?
SOLUÇÃO:
Temos: j = C*i*n
C = R$ 11.500,00
i = 4,5% a.m. = 4,5÷100 = 0,045 a.m.
n = ?
j = R$ 1.725,00
1725 = 11500*0,045*n
1725 = 517,5*n
517,5n = 1725
n = 1725÷517,5
n = 3,3333... meses
n = 3 meses + 0,3333... de um mês
n = 3 meses + 1/3 de um mês
= 3 meses e 10 dias
5 - Que capital produziu um montante de R$ 20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros simples de 12% a.a.?
SOLUÇÃO:
Temos: M = C*(1 + i*n)
C = ?
i = 12% a.a. = 12÷100 = 0,12 a.a.
n = 8 anos
M = R$ 20.000,00
20000 = C(1 + 0,12*8)
20000 = C(1 + 0,96)
20000 = C(1,96)
1,96C = 20000
C = 20000÷1,96 = R$ 10.204,08
10. MATEMÁTICA FINANCEIRA
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EXERCÍCIOS - REGRA DE TRÊS 1. Três caminhões transportam 200m³ de areia. Para transportar 1600m³ de areia, quantos ca- minhões iguais a esse seriam necessários? 2. A comida que restou para 3 náufragos seria su- ficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadan- do. Com um náufrago a menos, qual será a dura- ção dos alimentos? 3. Para atender todas as ligações feitas a uma em- presa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diá- rias. Aumentando-se para 5 o número de telefo- nistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média? 4. Um pintor, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, pinta 7.500 telhas. Quantas horas por dia deve trabalhar esse pintor para que ele pos- sa pintar 6.000 telhas em 4 dias? 5. Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operan- do durante 6 baterias de 15 minutos cada, lança 300 pedras. Quantas pedras lançará em 10 ba- terias de 12 minutos cada? 6. Dez guindastes móveis carregam 200 caixas num navio em 18 dias de 8 horas de trabalho. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 6 guindastes, trabalhando 6 horas por dia? 7. Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestio- namento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus? 8. Sabendo que os números a, 12 e 15 são direta- mente proporcionais aos números 28, b e 20, determine os números a e b. 9. Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colo- cada na vertical em relação ao chão e projetou uma sombra de 53 cm. Qual seria a sombra pro- jetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura? 10. Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco?
EXERCÍCIOS - JUROS SIMPLES 1. Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computa- dor sem os juros? 2. Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este materi- al? 3. Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.? 4. O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.? 5. Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou- o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o va- lor dos juros? 6. Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumenta- do por este investimento? 7. Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi a taxa de juros a.a. da aplicação? 8. Maria Gorgonzola realizou uma aplicação por um período de 1 bimestre. Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada? 9. Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo de 1 mês. A taxa de juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto Maria havia empres- tado?
11. MATEMÁTICA FINANCEIRA
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REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES
11 10. Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de juros ao aplicar R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação em meses? 11. Calcule o montante e os juros referentes a um capital de R$ 45.423,50 investido a 0,3% a.d., durante 1,5 anos. 12. Gusmão tomou emprestado R$ 32.000,00, pa- gando durante 2 anos, à taxa de juros simples de 2,54% a.t. Qual o juro resultante após os 2 anos? 13. Para reformar o seu carro, um taxista realizou um empréstimo a uma taxa de juros simples de 2,64% a.m. A duração do empréstimo foi de 220 dias, qual o juro pago para o empréstimo de R$ 7.000,00? 14. Qual o valor dos juros e do montante resultan- tes de um empréstimo de R$ 15.478,50 feito pelo prazo de 5 bimestres, à taxa de 7,5% a.b.? 15. Qual o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R$ 37.200,00 realizado pelo prazo de 3 bimestres, à taxa de 91,2% a.a.? 16. Minha irmã, ao todo, pagou R$ 322.800,00 por sua casa. Sei que de juros ela pagou R$ 172.800,00. A taxa foi de 1,2% a.m. Por quantos anos ela pagou pelo imóvel? Qual o preço da casa sem os juros? 17. Comprei uma joia a prazo, pagando um total de R$ 9.825,20. O seu valor à vista era de R$ 7.700,00 e a taxa de juros é de 4,6% a.m. Por quantos semestres eu fiquei com esta dí- vida? 18. Marcinha retirou de uma aplicação o total R$ 80.848,00, após decorridos 5 trimestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 15.648,00. Qual a taxa de juros a.b.? 19. O valor principal de uma aplicação é de R$ 10.000,00. Resgatou-se um total de R$ 19.000,00 após 1 semestre. Qual o valor da taxa de juros a.d.? 20. Pedro pagou mensalmente, pelo período de 3 semestres, por um equipamento que custa R$ 5.300,00, a uma taxa de juros simples de 1,89% a.m. Qual o valor total pago? Qual o va- lor dos juros?
12. MATEMÁTICA FINANCEIRA
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REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES
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GABARITOS
GABARITO - REGRA DE TRÊS
1. 24 caminhões
2. 18 dias
3. 75 ligações
4. 16 horas
5. 400 pedras
6. 75 caixas
7. 60 Km / h
8. 16
9. 371 cm
10. 40 latas
GABARITO - JUROS SIMPLES 1. O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos. 2. Eu ficarei pagando pelo material da reforma por 1,5 anos. 3. 4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Aninha investiu. 4. A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d. 5. O valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80. 6. Com investimento o capital aumentou R$ 4.326,00. 7. 32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação. 8. A aplicação de Maria Gorgonzola foi realizada à uma taxa de juros simples de 37,2% a.a. 9. Maria havia emprestado R$ 160.000,00, pelo qual recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 37,5% a.a. pelo período de 1 mês. 10. O prazo da aplicação foi de 4 meses. Aplicação esta que rendeu a Ambrózio R$ 1.049,60 de juros ao investir R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. 11. Ao aplicarmos um capital de R$ 45.423,50 investido a 0,3% a.d., durante 1,5 anos, obteremos um ju- ro total de R$ 73.586,07 e um montante de R$ 119.009,57. 12. Ao tomar emprestado R$ 32.000,00 à taxa de juros simples de 2,54% a.t., por 2 anos Gusmão pagará de juros um total de R$ 6.502,40. 13. O capital de R$ 7.000,00 emprestado a 2,64% a.m., durante 220 dias resultou em um juro total de R$ 1.355,20. 14. O valor dos juros será de R$ 5.804,44, resultante do empréstimo de R$ 15.478,50 à taxa de 7,5% a.b., pelo prazo de 5 bimestres. O montante será de R$ 21.282,94. 15. O valor dos juros será de R$ 16.963,20, correspondente ao empréstimo de R$ 37.200,00 à taxa de 91,2% a.a., pelo prazo de 3 bimestres. 16. O valor da casa sem os juros era de R$ 150.000,00 e o prazo de pagamento foi de 8 anos. 17. Eu fiquei pagando tal dívida por 1 semestre. 18. 3,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Marcinha aplicou. 19. A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,5% a.d. 20. O valor dos juros foi de R$ 1.803,06, que acrescentado ao preço do equipamento de R$ 5.300,00, to- talizou R$ 7.103,06.