MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1. MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE (MAS)
Lic. Gladys Ofelia Cruz Villar

2. POSICIÓN DE
EQUILIBRIO (RESORTE
COMPRIMIDO)
POSICIÓN DE
EQUILIBRIO (RESORTE
NORMAL)
POSICIÓN DE
EQUILIBRIO (RESORTE
ELONGADO)

3. - (A)
+(A)

4. OSCILACIÓN
• Movimiento repetido de un lado a otro en torno a una
posición central, o posición de equilibrio.
• ELEMENTOS
–
–
–
–
–
O: Posición de Equilibrio
F: Fuerza Restauradora
k: constante del resorte
m: masa del bloque
A: Amplitud A

5. TÉRMINOS PARA ANALIZAR
MOVIMIENTOS PERIÓDICOS
• AMPLITUD (A): Magnitud máxima del desplazamiento.
Se mide en metros
• CICLO: Vibración completa
• PERÍODO (T): Tiempo que tarda un ciclo. Se mide en
segundos
• FRECUENCIA (f): Número de ciclos en un segundo, se
mide en Hertz (Hz)= 1 ciclo por segundo=1/s
• FRECUENCIA ANGULAR (ω) : Es 2π veces la
frecuencia , se mide en radianes por segundo= rad/s
f
1
T
T
1
f
2
f
2
T

6. EJEMPLO 01
A= 6 cm
T= 5 s
f=1/5 Hz=0.2 Hz
ω=2πf=1.26 rad/s

7. Ejemplo 2

8. Solución
• Calculando la constante del
• Calculando la frecuencia:
resorte:
• Calculando el período
• Hallando la velocidad angular

9. La fuerza de restitución
de un resorte idealizado
es
directamente
proporcional
al
desplazamiento. Ésta es
la ley de Hooke, Fx=-kx.
La oscilación con una
fuerza de restitución que
obedece la ley de
Hooke se denomina
movimiento
armónico
simple (M.A.S)

10. SIMILITUD DEL MAS Y EL
MOVIMIENTO CIRCULAR
• La bola en el punto Q gira
en movimiento circular
uniforme antihorario. Su
sombra en el punto P se
mueve
con
M.A.S.
exactamente igual que un
cuerpo oscila en un
resorte ideal. Esto es, el
M.A.S. es la proyección
del movimiento circular
uniforme
sobre
un
diámetro.

11. SIMILITUD DEL MAS Y EL
MOVIMIENTO CIRCULAR
VQ=ωA
Vx= -ωA.senθ
ax= -ω2A.cosθ

12. MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE (MAS)
• Fuerza de restitución del
resorte ideal:
• Fx=-kx
– k, se mide en N/m o kg/s2
• Si la fuerza de restitución es
directamente proporcional al
desplazamiento respecto al
equilibrio, la oscilación se
denomina
MOVIMIENTO
ARMÓNICO SIMPLE (MAS),
cuya aceleración “a” está dada
por la ecuación.
2
k
dt
a
d x
m
x
Esta aceleración NO ES
CONSTANTE.
Un cuerpo que está en MAS se
denomina oscilador armónico.

13. MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE (MAS)
k
m
1
f
2
2
k
m

14. DESPLAZAMIENTO EN EL MAS
• Desplazamiento x:
• t: tiempo
• Φ: ángulo de fase, nos dice en
qué punto el ciclo del
movimiento estaba en t=0
• Si la posición en t=0, es xo
• xo=Acos Φ

15. VARIACIONES DEL MAS

16. VARIACIONES DEL MAS

17. VARIACIONES DEL MAS

19. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN
EL MAS
• Derivando una vez el desplazamiento x,
obtenemos, la velocidad:
• Derivando dos veces el desplazamiento x,
obtenemos, la aceleración:

20. Gráficas
(a) Gráfica de x contra t para MAS.
En esta gráfica Ф=π/3.
(b) Gráfica de vx contra t para el mismo
movimiento.
Esta
curva
esta
desplazada ¼ de ciclo respecto a la
de x-t.
(c) Gráfica de ax contra t para el mismo
movimiento.
La gráfica x-t está desplazada ¼ de
ciclo respecto a la de vx –t y ½ ciclo
respecto a la de ax –t .

21. Obtención del ángulo de fase Φ y
la amplitud A
• En t= 0
• Luego:
• Por lo tanto el ángulo
de fase será:

22. EJEMPLO 03
• Del ejemplo 2, con k= 200 N/m, ω=20
rad/s y m=0.50 kg, si tenemos ahora un
desplazamiento inicial x0=+0.015 m, y una
velocidad inicial de v0=+0.40 m/s.
Determinemos la amplitud y ángulo de
fase, escriba las ecuaciones para el
desplazamiento, velocidad y aceleración
en función del tiempo.

23. SOLUCIÓN
• Determinando la amplitud
• Determinando el ángulo de
fase:
• Las ecuaciones quedarían así:

24. Energía en el MAS
• La energía mecánica en el
MAS queda expresada como:
• La velocidad vx en un
desplazamiento x queda:
• En x=0 tenemos la velocidad
máxima

25. EJEMPLO 04
• Del ejemplo 2, con k= 200 N/m, ω=20
rad/s y m=0.50 kg, y la masa oscilante se
suelta del reposo en x=0.020 m. a)Calcule
las velocidades máxima y mínima que
alcanza el cuerpo. b) La aceleración
máxima c) La velocidad y aceleración a la
mitad del camino hacia el centro de su
posición inicial d) Determine las energías
potencial, cinética y total en esa posición.

26. SOLUCIÓN
• Velocidad máxima y mínima
• Aceleración máxima

27. SOLUCIÓN
• Velocidad a la mitad del
camino
• Aceleración a la mitad del
camino

28. SOLUCIÓN
• Energía Total
• Energía Potencial:

29. SOLUCIÓN
• Energía Cinética