Un petit exercice pour montrer comment peut-on élaborer une forme récursive d'un problème donné

1. NB : Téléchargez la présentation pour voir l’animation

2.  Ecrire une fonction récursive en C qui
permet de convertir un entier en binaire
 L’astuce est la suivante : Soit 42 est l’entier à
convertir, sa conversion binaire est 101010

3.  Soit:
42 2
210 2
1 10
0
2
5
1
2
2 2
21
0
1 0
Le résultat de 42 est 101010 (lecture
inverse des restes)
1 – La première étape pour établir une
forme récursive est de chercher une
condition d’arrêt : Quand dois-je
m’arrêter? Sinon l’appel récursif sera
infini ou finira avec une erreur!

4.  Dans ce cas, la condition d’arrêt est lorsque
je trouve un « 0 » comme quotient
42 2
210 2
1 10
0
2
5
1
2
2 2
21
0
1 0

5.  Ainsi la première forme de notre fonction
récursive est la suivante
int Binaire (int nbre_a_convertir){
if(nbre_a_convertir / 2 == 0)
return nbre_a_convertir % 2;
}
 La question qui se pose maintenant est :
comment atteindre cette condition d’arrêt?

6.  Il faut trouver un lien entre le nombre à
entrer au départ et la condition d’arrêt.

7.  Dresser l’arbre de dépendance entre les
appels récursifs
Binaire(42)
Binaire(21)
Binaire(10)
Binaire(5)
Binaire(2)
Binaire(1)

8.  Dresser l’arbre de dépendance entre les
appels récursifs
Binaire(42)
Binaire(21)
Binaire(10)
Binaire(5)
Binaire(2)
Binaire(1) Retourne 1 : le reste
Fait appel à Binaire(1)
Fait appel à Binaire(2)
Fait appel à Binaire(5)
Fait appel à Binaire(10)
Fait appel à Binaire(21)
Pour passer de
42 à 21 il faut
prendre le
quotient de 42/2
La même chose pour les
autres : pour passer d’un appel
à un autre il faut passer le
quotient du nombre courant

9.  Ca veut dire
Binaire(42)
Binaire(21)
Binaire(10)
Binaire(5)
Binaire(2)
Binaire(1) Retourne 1 : le reste
Fait appel à Binaire(2 DIV 2)
Fait appel à Binaire(5 DIV 2)
Fait appel à Binaire(10 DIV 2)
Fait appel à Binaire(21 DIV 2)
Fait appel à Binaire(42 DIV 2)

10.  Ainsi la nouvelle forme de la méthode
récursive est
int Binaire (int nbre_a_convertir){
if(nbre_a_convertir / 2 == 0)
return nbre_a_convertir % 2;
else
return Binaire(nbre_a_convertir/2);
}

11.  Testez votre méthode : le résultat de 42 sera
1 .. Où sont passés les autres chiffres?
 Tel qu’on a écrit la méthode, nous ne
sommes pas entrain de sauvegarder les
résultats des états intermédiaires avant
d’atteindre la condition d’arrêt

12.  Pour ne pas les perdre, on suggère de
multiplier par 10 l’appel récursif
 Pourquoi?
› On remarque que le premier nombre à être
retourné est celui de la condition d’arrêt et c’est
bien le premier nombre à gauche du résultat soit
101010
› Voyons comment le résultat se forme

13.  Dresser l’arbre de dépendance entre les
appels récursifs
Binaire(42)
Binaire(21)
Binaire(10)
Binaire(5)
Binaire(2)
Binaire(1) Retourne 1 : le reste
Fait appel à Binaire(1)*10 et retourne 1*10=10
Fait appel à Binaire(2)*10 et retourne 10*10=100
Fait appel à Binaire(5)*10 et retourne
100*10=1000
Fait appel à Binaire(10)*10 et
retourne 1000*10=10000
Fait appel à Binaire(21)*10 et
retourne 10000*10=10000

14.  Chouette ! On a pu décaler le 1 à gauche
mais le résultat est à côté de la plaque …
 Que faire?
› Ici il faut remarquer une nouvelle caractéristique
(pour la découvrir il faut tester sur votre brouillon
la conversion de plusieurs nombres pour pouvoir
la détecter)

15.  Remarquez le lien entre 4DIV2=2 et 4
› 10 et 100 (10*10=100)
 Remarquez le lien entre 8DIV2=4 et 8
› 100 et 1000 (100*10=1000)
 Remarquez le lien entre 16DIV2=8 et 16
› 1000 et 10000 (1000*10=10000)
› On peut dire que si j’ai le nombre binaire d’un
nombre entier pair alors il suffit de le multiplier par 10
pour trouver le nombre binaire de son double

16.  Remarquez le lien entre 5DIV2=2 et 5
› 10 et 101 (10*10 +1 =101)
 Remarquez le lien entre 7DIV2=3 et 7
› 11 et 111 (11*10+1=111)
 Remarquez le lien entre 9DIV2=4 et 9
› 100 et 1001 (100*10+1=1001)
› On peut dire que si j’ai le nombre binaire d’un
nombre entier impair, il faut prendre le nombre
binaire du quotient de sa division par 2 le multiplier
par 10 et le rajouter 1

17.  La forme finale de notre méthode est :
int Binaire (int nbre_a_convertir){
if(nbre_a_convertir / 2 == 0)
return nbre_a_convertir % 2;
else if (n % 2 == 0) // n est pair
return Binaire(nbre_a_convertir/2)*10;
else
return Binaire(nbre_a_convertir/2)*10+1;
}
else
return Binaire(nbre_a_convertir/2);
}

18.  Übung macht den Meister !
› En s’exerçant on devient « maître »
› Pour comprendre la récursivité, défiez-vous avec
plusieurs exercices
› Bon courage!