1. به نام خدا

2. موضوع : اصل لانه کبوتری دبیر : افسانه احدی یگانه دبیرستان : سمیه منطقه 18

3. از نظر بعضی ریاضیات یک سری اصول محض است . اما ریاضی هر لحظه در زندگی ما کاربرد دارد . به طور مثال اصل لانه کبوتری اصل لانه کبوتری ( اصل حجره ها ) اگر m کبوتر و n لانه کبوتر داشته باشیم به طوریکه تعداد کبوترها از تعداد لانه ها بیشتر باشد آنگاه حداقل یک لانه کبوتر وجود دارد که دست کم دو و یا بیشتر کبوتر در آن قرار دارند . این اصل به ظاهر ساده کمک می کند که قبل از اقدام به کاری امکان پذیر بودن یا نبودن آن را مشخص کنیم . اغلب فهمیدن این موضوع که درکجا باید از اصل لانه کبوتری استفاده کرد کار سختی نیست، کار مشکل در این بین پ ی دا کردن کبوترها و لانه ها می ‌ باشد !

4. توجه به این نکته لازم است که خیلی از مسائل ابتدایی اصل لانه کبوتری را می توانیم با کمک تقسیم حل کنیم . در حقیقت زمانی که ما تقسیم را آموختیم بدون این که بدانیم از اصل لانه کبوتری استفاده کردیم . البته زمانی که بدترین شرایط پیش بیاید یعنی نخســـت هر خانه را با یک کبوتر پرمی شد، آنگاه آنچه باقی می ماند باید در خانه آخر قرارمی گرفت . اگرهیچ کبوتری باقی نمی ماند تقسیم ما باقی مانده نداشت که می گفتیم مقسوم بر مقسوم علیه بخش پذیر است . اما اگر کبوتری باقی می ماند که در خانه آخر قرار می گرفت، تقسیم ما باقی مانده داشت که می گفتیم مقسوم بر مقسوم علیه بخش پذیر نیست .

5. اما حالا اصل لانه کبوتر ی به ما کمک می کند تا پاسخ کامل تری بدهیم و تمام شرایط ممکن را در پاسخ خود در نظر بگیریم . درحقیقت زمانی که بتوانیم کبوتر ها و لانه ها را مشخص کنیم به راحتی می توانیم با تقسیم مسئله راحل کنیم برای نمونه چندین مساله مطرح می کنم که توانمندی این اصل را نشان می دهد .

6. 1- مدیر کارخانه تولید ظروف چینی می خواست 7 بسته 500 کیلوگرمی از محصولات کارخانه را با 6 لیفتراک که ظرفیت هریک 500 کیلوگرم است ، در ساعت 8 صبح به انبارشماره 2 منتقل کند وچون درآن انبار به لیفتراک ها نیاز دارند تا غروب آنها به انبار شماره 1 بر نمی گردند . مهندس واثقی می گفت این کار عملی نیست . به چه دلیل او این ادعا را کرد ؟ تعداد کبوتر ها = تعداد بار ها = 7 تعداد لانه ها = تعداد لیفتراک ها =6

7. مطابق اصل لانه کبوتری حداقل یک لیفتراک باید دو بسته 500 کیلوگرمی ببرد یا که با توجه به ظرفیت لیفتراک ها غیر ممکن است . 6 1 1 6 7

8. 2- سردخانه ای 10 اتاقک به ابعاد 1 متر مکعبی دارد . از آقای امینی مسئول سردخانه خواسته شده که 12 بسته ماهی به حجم 1 متر مکعبی را دراتاقکها جا دهد . آقای امینی می گوید حداقل 2 بسته فاسد می شود به چه دلیل این عقیده را دارد؟ تعداد کبوتر = تعداد بسته ها =12 تعداد لانه ها = تعداد اتاقک ها =10

9. طبق اصل لانه کبوتری حداقل در یک اتاقک باید 2 بسته قرار گیرد یا پس دو بسته فاسد می شود 12 10 1 10 2

10. 3- آقای حمیدی متخصص پاتولوژی ( سرطان شناسی ) است . او می خواهد یک کار تحقیقاتی روی 25 نفر از بیمارانش انجام دهد . برای هر بیمار یک پرونده درست کرده است که با توجه به گروه خونی آنها رنگ پرونده فرق می کند . رنگ پرونده گروه خونی A صورتی، گروه خونی B آبی آسمانی، گروه خونی O سبز پسته ای و گروه خونی AB زرد باشد، به نظر شما دست کم چند پرونده یک رنگ خواهد بود؟

11. گروه خونی َ A گروه خونی B گروه خونی AB گروه خونی O تعداد کبوترها = تعداد بیماران = 25 تعداد لانه ها = تعداد گروه = 4 25 نفربیماران

12. طبق اصل لانه کبوتری حداقل 7 پرونده یک رنگ هستند یا 25 4 24 1 6

13. 4- 7 اتومبیل با رنگ های سفید، سبز و آبی در خیابان پارک شده است . آقای اسدی و آقای اربابی می خواهند این اتومبیل ها را در داخل دو پارکینگ قرار دهند . آقای اسدی می گوید دو اتومبیل هم رنگ داخل یک پارکینگ قرار می گیرد . ولی آقای اربابی معتقد است حداقل دو اتومبیل هم رنگ داخل یک پارکینگ قرار می گیرند . نظر کدام یک دقیق تر است؟

14. تعداد کبوتر ها = تعداد اتومبیل ها = 7 تعداد لانه ها = تعداد پارکینگ ها =2 مطابق اصل لانه کبوتری حداقل 4 ماشین داخل یک پارکینگ قرار می گیرند .

15. اکنون پارکینگی که درآ ن چهار ماشین است در نظر می گیریم : تعداد کبوتر ها = تعدادماشین ها = 4 تعداد لانه ها = تعداد رنگ ها = 3 مطابق اصل لانه کبوتری حداقل 2 ماشین همرنگ وجود دارند .

16. 5- آقای موسوی، آقای دوستی، آقای احمدی و آقای خسروی متقاضی وام از اداره آموزش و پرورش شهرستان بابل هستند . آقای مکری در حسابداری با روش زیر ترتیب اولیت افراد را برای گرفتن وام مشخص کرد . به هر یک از آنها به طور تصادفی یک کارت که روی آن یک عدد دو رقمی نوشته شده بود داد و با توجه به باقیمانده هر عدد نوشته روی کارت بر 3 ، اولویت ها را مشخص کرد . ولی این کار باعث یک دعوا بین متقاضیان شد . می دانید چرا؟

17. 32 3 10 30 2 باقی مانده 2 باقی مانده 1 باقی مانده 0 تعداد کبوتر ها = تعداد عداد تعداد لانه ها = تعداد باقی مانده ها بر عدد سه = 3 خسروی 32 دوستی 25 احمدی 60 موسوی 44 8 1 25 24 3 32 3 10 30 32 10 30 30 32 3 10 30 2 8 60 3 20 0 60 42 44 3 14 42 2

18. مطابق اصل لانه کبوتری حداقل 2 نفر هستند که اعدادی دارند که باقی مانده های یکسانی بر 3 دارند، پس این کار امکان پذیر نمی باشد .

19. 6- درسازمان میراث فرهنگی به خاطر مشکلی که درمیدان نقش جهان اصفهان بوجود آمده بود و نامه ای که یونسکو درباره حذف این مکان از آثار تاریخی داده بود، یک جلسه برگزار شد . در پایان نهار هم داده شد . برای آماده کردن میزها دو مورد از چیزهایی که استفاده شد 2 رنگ مختلف رومیزی و 4 رنگ مختلف گل سرخ بود . اگر 9 میز آماده شده باشد، فکر می کنید دست کم دو میز بوده که رنگ رومیزی و گل هایشان یکی باشد؟

20. باتوجه به اصل ضرب تعداد کل حالات متفاوت که با استفاده از 2 رنگ رومیزی و 4 رنگ گل درست می شود برابر است با :8=2 x 4 تعدادکبوترها = تعداد میزها = 9 تعداد لانه ها = تعداد حالات مختلف =8 مطابق اصل لانه کبوتری حداقل دو میز وجود دارد که از نظر رومیزی و گل مثل هم هستند .

21. 7- مدیر مدرسه ی سمیه مسئول بردن گروهی از راهیان نور به منطقه جنگی جنوب شده است . او برای این که بتواند بهتر با بچه ها همراه شود بعضی کارهای را که مشاور مدرسه گفته بود انجام داد . مثلا مشخص کردن دوستان هر نفر در گروه یکی از این کارها بود . فکر می کنید حداقل دو نفر پیدا شوند که تعداد دوستان آنها برابر باشد؟

22. توضیح : تعداد دوستان هرفرد برابر با یکی از اعداد 0 و 1 و 2 و 3 و .....1- n است . اکنون n لانه به شماره 0 و 1 و 2 و ... و 1- n در نظر می گیریم توجه به این نکته لازم است که ممکن نیست هم زمان (( کسی وجود داشته باشد که هیچ دوستی نداشته باشد و کسی که بجز خودش با بقیه (1- n نفر ) دوست باشد )) پس دست کم یکی از لانه های شماره ی 0 و 1- n خالی می ماند . در این صورت تعداد لانه ها 1- n خواهد بود تعداد دوست n-1 تعداد دوست 0 تعداد دوست 1

23. اگر فرض کنیم n نفر در گروه شرکت کرده اند (2< (n تعدادکبوترها = تعداد افراد گروه = n تعدادلانه ها = تعداد دوستان فرد = 1- n مطابق اصل لانه کبوتری در یکی از لانه ها دست کم دو اسم نوشته می شود . یعنی دست کم دو نفر تعداد دوستانشان در گروه یکی است .

24. 8- به خانم امینی سفارش ساختن 322 برچسب از اعداد چهار رقمی یا کمتر با اعداد 1 , 2 , 5 , 6 از طرف کارخانه طبرستان شده است البته خواسته شده که هیچ دو برچسبی یکی نباشد . با شرط این که تکرار ارقام مجاز باشد، فکر می کنید خانم امینی سفارش را قبول می کند؟

25. با توجه به قوانین آنالیز ترکیبی تعداد کل اعداد چهار رقمی یا کمتر که با 1 و 2 و 5 و 6 می توان نوشت . برابر است با تعداد کبوتر ها = تعداد برچسب های سفارش داده شده تعداد لانه ها = تعداد اعداد ی که می توان نوشت ( حالات محاسبه شده ) مطابق اصل لانه کبوتری حداقل 3 عدد یافت می شود که تکراری هستند . پس خانم امینی با شرط گفته شده این سفارش را قبول نخواهد کرد، مگر این که شرط را حذف کند .

26. 9- خانم مسطور در کلاس سوم ریاضی که 21 نفر دانش آموز دارد تدریس می کند . او می خواهد در جلسه بعد یک آزمون مستمر چهار گزینه ای که شامل 5 سوال است به عمل آورد، طوری که به ازای هر پاسخ درست، غلط و نزده به ترتیب چهار نمره ، یک نمره منفی و صفر نمره منظور کند . خانم مسطور برای نمرات اول، دوم و سوم جایزه تهیه کرده است . شما فکر می کنید آیا قبل از تصحیح برگه ها می توان با اطمینان گفت فقط سه جایز لازم است؟

27. توضیح فرض کنید تعداد جواب های درست A و تعداد جواب های غلط B باشد . واضح است که مجموع نمرات هر برگه برابراست با : A-B 4 توجه به این نکته لازم است که ( چرا؟ ) هیچ گاه مجموع نمرات یعنی A-B 4 نمی تواند اعداد 9 و 13 و 14 و 17 و 18 و 19 باشد ( چرا؟ ) پس A-B 4 می تواند بقیه اعداد را انتخاب کند (( اعدادصحیح کوچکتر یا مساوی 20))

29. 10- آن روز تولد مریم بود . مریم 7 ساله شده بود و مادر مریم کیکی به صورت شش ضلعی منتظم که هر ضلع آن 20 سانتی متر بود سفارش داد . مریم نمی خواست کیکش خراب شود، چون دور کیک خامه خورده بود . از مادرش خواست که در حاشیه کیک شمع نگذارد . اما وقتی مادرش می خواست شمع ها را داخل کیک بگذارد به طوریکه هر یک از دیگری 20 سانتی متر فاصله داشته باشد، نتوانست . می دانید چرا؟

30. تعداد کبوترها = تعداد شمع ها = 7 تعداد لانه ها = تعداد مثلث های متساوی الاضلاع به ضلع 20 سانتی متر = 6 A B

31. مطابق اصل لانه کبوتری حداقل 2 شمع داخل یک مثلث قرار می گیرند . اگر این 2 شمع را A و B بنامیم و از A به B وصل کنیم با توجه به این که بلندترین طول در هر مثلث طول ضلع است . بنابراین فاصله A تا B از طول ضلع کمتر خواهد بود . چون مثلث، مثلث متساوی الاضلاع به ضلع 20 سانتیمتر است پس فاصله A و B کمتر از 20 سانتی متر است .

32. 11- مینا می خواهد 10 گل را به باغچه اش اضافه کند . باغچه او به صورت یک مربع به ضلع 3 متر است، اما به خاطر خصوصیت گل ها باید از یکدیگر حداقل 5/1 متر فاصله داشته باشند . مینا فکر می کند بتواند . شما چه فکر می کنید؟

33. تعداد کبوترها = تعداد گل ها =10 A B C تعداد لانه ها = تعداد مربع های کوچک به ضلع 1 متر =9

34. مطابق اصل لانه کبوتری حداقل 2 گل باید در یک مربع قرار بگیرند . مانند 2 نقطه A , B که می توان با آن مثلث قائم الزاویه ABC را درست کرد . می دانیم که در مثلث قائم الزاویه می توان رابطه فیثاغورس را نوشت پس : لذا این عمل امکان پذیر نیست .

35. 12- مدیر یک موزه می خواست نمای زیباتری به موزه اش بدهد . خانم مرتضوی مسئول یکی از بخش های موزه پیشنهاد کرد در محوطه جلوی موزه در زمینی که به شکل مثلث متساوی الاضلاع , که طول هر ضلع آن 6 مترباشد مجسمه های نسب کنند . ولی باغبان گفته بخاطر درخت ها نباید فاصله مجسمه ها از هم کمتر از 2 متر باشد . خانم مرتضوی عهده دار این کار شد . زمان تحویل مجسمه ها از انبار 10 مجسمه تحویل داده شد ولی خانم مرتضوی یکی را پس داد . فکر می کنید کار درستی کرد؟

36. تعداد کبوترها = تعداد مجسمه ها =10 A B تعداد لانه ها = تعداد مثلث های متساوی الاضلاع به ضلع 2 متر =9

37. مطابق اصل لانه کبوتری حداقل 2 مجسمه داخل یک مثلث قرار می گیرند . اگر این 2 مجسمه را A و B بنامیم . از A به B وصل می کنیم می دانیم که بلندترین طول در هر مثلث طول ضلع است . بنابراین فاصله A تا B از طول ضلع کمتر خواهد بود . چون مثلث , مثلث متساوی الاضلاع به ضلع 2 متر است . پس فاصله A و B کمتر از 2 متر است .

38. 13- خانم دهقان در یک شرکت تبلیغاتی کار می کند و می خواهد یک پوستر تبلیغاتی برای مهد کودک گلها درست کند . مسئول مهد می خواهد او از 5 نقاشی که در مسابقه نقاشی به عنوان نقاشی برتر انتخاب شدند حتما استفاده کند . خانم دهقان می خواهد این نقاشی ها را داخل در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ( با وتری به طول 40 سانتی متر ) قراردهد و روی اضلاع مثلث را با درخت تزیین کند . نمی خواهد هیچ تابلوی روی درخت ها قرار بگیرد و از طرف دیگر چون کار های گرافیکی هم انجام می دهد،نباید فاصله نقاشی ها از هم کمتر از 20 سانتی متر باشد . فکر می کنید با این شرایط پوستر آماده می شود؟

39. تعداد کبوترها = تعداد تابلوها =50 ِ D F E C A B تعداد لانه ها = تعداد مثلث های قائم الزاویه متساوی الاضلاع به وتر 20 سانتی متر =4

40. مطابق اصل لانه کبوتری حداقل 2 تابلو باید در یک مربع قرار بگیرند . مانند 2 نقطه A , B که می توان با آن مثلث قائم الزاویه ABC را درست کرد . می دانیم که در مثلث قائم الزاویه می توان رابطه فیثاغورس را نوشت پس : لذا این عمل امکان پذیر نیست .

41. 14- در دبیرستان سمیه نمایشگاهی از دست سازه های ریاضی دانش آموزان بر پا خواهد شد . خانم خلیلی مسئول این نمایشگاه است . آماده سازی مدرسه برای بازدید کنندگان راهم او به عهده دارد . او تعدادی مقوای رنگی به شکل لوزی به قطرهای 30 , 40 سانتیمتر تهیه کرده است و می خواهد در لوزی ها 5 کلمه زیبا بنویسد . چون برای نصب این لوزی ها می خواهد از پونز های رنگی استفاده کند که روی قطر های لوزی ها زده می شود . نباید هیچ حرفی روی قطرها نوشته شود . از طرفی نباید فاصله هر دو کلمه از یکدیگر کمتر از 25 سانتی متر باشد . آیا او به این صورت می تواند لوزی ها را آماده کند؟ ََ

42. تعداد کبوتر ها = تعداد کلمات =5 حوصله پیروزی امید صبر تلاش َ A B C تعداد لانه ها = تعداد مثلث های قائم الزاویه که اضلاع زاویه قائمه آن ها 15 و 20 سانتی متراست =4

43. مطابق اصل لانه کبوتری حداقل 2 کلمه باید در یک مثلث قائم الزاویه قرار بگیرند . مانند 2 نقطه A , B که می توان با آن مثلث قائم لزاویه ABC را درست کرد . می دانیم که در مثلث قائم الزاویه می توان رابطه فیثاغورس را نوشت پس : لذا این عمل امکان پذیر نیست .

44. 15- در یک نمایشگاه کتاب کودک , کانون پرورش فکری می خواست 5 غرفه بر پا کند . کانون باید غرفه ها را در یک زمین دایره ای شکل به شعاع 300 متر که برای جذابیت بیشتر روی قسمت هایی از محیط آن تابلوهایی برای خاطره نوشتن بچه ها درباره نمایشگاه قرارداده شده بودند بر پا می کرد . ولی بخاطر یکسری کارهای نمایشگاه مثل راحتی بازدیدکنندگان نباید فاصله غرفه ها از هم کمتر از 420 می شد . در نهایت کانون مجبور شد یک غرفه را کم کند . به چه دلیل نتوانست غرفه پنجم را بر پا کند؟

45. ََ A C B تعداد کبوتر ها = تعداد غرفه ها =5 تعداد لانه ها = تعداد قطاع ها با زاویه 90 درجه =4

46. مطابق اصل لانه کبوتری حداقل 2 غرفه داخل یک قطاع قرار می گیرد . مانند 2 نقطه A , B که می توان با آن مثلث قائم الزاویه ABC را درست کرد . می دانیم که در مثلث قائم الزاویه می توان رابطه فیثاغورس را نوشت پس : از طرف دیگرمی دانیم بلند ترین فاصله در این قطاع برابر است با DE که بارابر است با پس با این شرایط غرفه پنجم قابل نصب نیست D E

47. 16- هیات مدیره کارخانه پیچ کوبان می خواهد محوطه جلوی کارخانه را گل کاری کند . از باغبان خواسته شده در قسمت جلوی در ورودی یک زمین مربع شکل به ضلع 4 متردر نظر بگیرد و با کمک شمشاد ها آن را به صورت یک جدول 8 x 8 در آورد و یکی از هفت رنگ گل سرخ را در هر خانه آن بکارد . اگر در سطر یا ستونی دست کم دو خا نه هم رنگ بود . می تواند این سطر یا ستون را به رنگ این خا نه درآورد . به پسرش به او گفته تمام زمین را یک رنگ گل بکارد . به . نظر شما با این کار آنچه هیات مدیره خواستند رعایت می شود؟

48. تعداد کبوتر ها = تعداد خانه هاهر سطر =8 تعدادلانه ها = تعدادرنگ گل =7

49. مطابق اصل لانه کبوتری در هر سطر دست کم دو خانه هم رنگ وجود دارد . پس می توان هر سطر جدول را به یک رنگ در آورد .

50. تعدادلانه ها = تعدادرنگ گل =7 تعداد کبوتر ها = تعداد سطر =8

51. مطابق اصل لانه کبوتری دست کم دو سطر هم رنگ وجود دارد . پس می توان تمام سطر های جدول را به یک رنگ در آورد .

52. 17- مژگان می خواهد از کشویی که در آن یک جفت دستکش زرد، یک جفت دستکش صورتی و یک جفت دستکش بنفش است یک جفت دستکش بردارد؛ اما اتاق آنقدر تاریک است که قادر به تشخیص رنگ دستکش ها نیست . حداقل چند لنگه دستکش باید بردارد تا مطمئن شود که یک جفت دستکش از یک رنگ برداشته است؟ تعداد کبوتر ها = تعداد لنگه های دستکش تعداد لانه ها = تعداد رنگ ها مطابق اصل لانه کبوتری باید تعداد لنگه های دستکش بیشتر از تعداد رنگ ها باشد تا دست کم یک جفت دستکش هم رنگ انتخاب شود . پس باید حداقل 4 لنگه دستکش انتخاب شود .

54. تعداد کبوترها = تعداد افراد = 33 تعدادلانه ها = تعداد حروف الفبای فارسی = 32 مطابق اصل لانه کبوتری حداقل یک خانه وجود دارد که در آن دو اسم قرار دارد

55. تعداد کبوترها = تعداد افراد تعداد لانه ها = تعداد ماه های سال =12 19- مدیر مدرسه به هر یک از دانش آموزان در روز تولدشان کارت تبریک می دهد . او می خواهد بداند دست کم چند دانش آموز باید در یک کلاس باشند،اگر حداقل 3 نفر از دانش آموزان در یکی از ماه های سال به دنیا آمده باشد؟ دانش آموز : اول دوم ........................................................................... دوازدهم فروردین ماه اردیبهشت ماه اسفند ماه

56. اگر حداقل 13 نفر باشند، دست کم دو نفر در یکی از ماه های سال متولد شده اند . پس اگر تعداد افراد 25=13+12 نفر باشد حداقل 3 نفر در یک ماه به دنیا آمده اند . لذا باید 25 کارت تهیه کند .

57. 20- تاسی را حداقل چند بار بریزیم تا مطمئن باشیم دست کم دو نتیجه یکسان بدست آمده است ؟ می دانیم هر بار که تاس را می ریزیم یکی اعداد 1 ، 2 ، 3 ، ... ، 6 می آید . تعداد کبوتر ها = تعداد دفعات ریختن تاس تعداد لانه ها = تعداد اعداد نوشته شده روی تاس =6 باید تعداد دفعات ریختن تاس بیشتر از تعداد اعداد روی تاس باشد تا دست کم دو بار تاس یک عدد را نشان دهد . لذا باید حداقل 7 بار تاس بریزیم .

58. پایان