1. Alumnos: Mondragón Cordero Gabriela Abigail
Profesor: Luis Miguel Villarreal
Materia: Matemáticas III
“Numero Aureo y Serie de Fibonacci”
Grado y grupo: 3°“B”
Fecha: 25/Octubre/2012
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2. Índice
Índice ................................................................................................................................................... 2
Introducción ........................................................................................................................................ 3
Numero Áureo..................................................................................................................................... 4
Definición ........................................................................................................................................ 4
Relación Con Las Artes y La Naturaleza........................................................................................... 5
Serie de Fibonacci ............................................................................................................................. 10
Definición ...................................................................................................................................... 10
La regla .......................................................................................................................................... 10
Relación Con Las Artes y La Naturaleza......................................................................................... 11
Relación Entre El Número Áureo Y La Serie De Fibonacci ................................................................. 11
Actividad............................................................................................................................................ 13
Conclusión ......................................................................................................................................... 14
Fuente ............................................................................................................................................... 14
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3. Introducción
Alguna vez te preguntaste que es el numero áureo, o que tiene que ver con nuestra vida
cotidiana, si es así te sorprenderías al saber que tan seguido y presente se encuentra en
nuestra vida diaria, es cierto se encuentra en las flores, pinturas incluso en nuestra
fisionomía, es realmente increíble en donde podemos encontrarlo si esto te intereso te
invito a que leas este trabajo ya que aparte de hablar del número áureo te hablara de la
serie de Fibonacci y en que están relacionados ambos.
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4. Numero Áureo
Definición
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos
segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de
forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que
al dividir la longitud del mayor entre la del menor.
El número áureo, también conocido como "número de oro" o "divina proporción", es una
constante que percibimos a diario, aunque apenas nos demos cuenta. Aparece en las
proporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en el cuerpo humano. Un objeto
que respeta la proporción marcada por el número áureo transmite a quien lo observa una
sensación de belleza y armonía. Veamos un poco más en qué consiste.
El número áureo es el punto en que las matemáticas y el arte se encuentran. Existen en
matemáticas tres constantes que son definidas con una letra griega:
p=(3,14159…).
Pi, es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
e=(2,71828…)
e, es el límite de la sucesión de término general (1+1/n)^n. e es el único número real cuyo
logaritmo natural es 1.
F= (1,61803…).
Phi, el número de oro. Matemáticamente hablando, podemos definirlo como aquel
número al que, tanto si le sumamos uno como si lo elevamos al cuadrado, sale el mismo
resultado.
Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales
no se repiten periódicamente). Todos ellos son, por tanto, números irracionales.
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5. Se llama "Phi" en honor al escultor griego Fidias, que ya lo aplicaba en sus creaciones. El
número áureo era conocido en la antigua Grecia y se utilizó para establecer las
proporciones de las partes de los templos.
Relación Con Las Artes y La Naturaleza
Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del
matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las
proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre
perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo
adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo
a la mano es el número áureo.
A lo largo de la historia, desde pensadores hasta matemáticos o teólogos han meditado
sobre la misteriosa relación que se establece entre el número áureo y la naturaleza de la
realidad. Esta curiosa relación matemática, conocida popularmente como la
Proporción Divina o Áurea, fue definida por Euclides hace más de dos mil años a raíz de su
papel crucial en la construcción del pentagrama, al cual se le atribuyen propiedades
mágicas.
Desde entonces, ha mostrado una propensión a aparecer en una variedad de lugares de lo
más sorprendentes que veremos a continuación:
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6. Extremo áureo
Girasol
El número áureo también aparece en la
formación de los flósculos de los girasoles y en
la disposición de los pétalos de algunas plantas
como los cactus o rosas:
También rige las dimensiones y formas
de GALAXIAS que contienen billones de
estrellas y define la dinámica de los
agujeros negros. Pero también
podemos encontrar la belleza de la
espiral de Dudero en HURACANES.
El rectángulo de numerosos objetos nos
resultan especialmente armoniosos hasta
tal punto que las primeras trajetas de
crédito tenían las dimensiones de esos
rectángulos especiales ya que tienen unas
proporciones determinadas y una extraña
propiedad a la que se le atribuye el
número áureo.
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7. Curiosamente, muchos matemáticos han encontrado esa proporción divina en muchos
instrumentos (tanto en la estructura interior y exterior) como el que os mostramos a
continuación: EL VIOLÍN.
Una de las curiosas
representaciones en las que
volvemos a encontrar a Fi, es en la
formación de los copos de nieve y
su particular forma estrellada.
¿Pura casualidad? ¿O necesitamos
más ejemplos para demostrar que
muchos de los fenómenos naturales
que ocurren se pueden explicar a
base de las matemáticas?
No solo aparece en la
naturaleza, sino que también
esta proporción puede
aparecer en el ser humano, por
eso muchos matemáticos y
científicos han desarrollado
teorías sobre las modelos o la
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8. gente que nos parece atractiva, es porque en la estructura de su cuerpo aparece la divina
proporción en muchos de las partes de nuestro organismo. En el caso de la fotografía
aparece en las falanges de los dedos de una mano.
En esta imagen vemos representado la famosa
espiral de Dudero (pintor renacentista) que se
forma a partir del rectángulo áureo y que
podemos encontrar en la formación de las
conchas de muchos moluscos
Al igual que en
la imagen
anterior, podemos encontrar la espiral del rectángulo
áureo en los cuernos de muchos animales como los
rumiantes.
Pirámide de Keops
El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de
Keops, que data del 2600 a.C...
Esta pirámide tiene cada una de sus caras
formadas por dos medios triángulos
áureos: la más aparente, aunque no la
única,
relación
armónica
identificable
en el análisis
de las
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9. proporciones de este monumento funerario
en apariencia simple.
El Partenón
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego
En la figura se puede comprobar que AB/CD=.
Hay más cocientes entre sus medidas que dan
el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y
CD/CA=.
El Templo de Ceres
El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo un
sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados,
sobre todo, con el orden dórico.
Para finalizar este apartado, muchos científicos incluso han sugerido que el número áureo
y sus proporciones están conectadas con el comportamiento de los mercados de valores y
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10. el crecimiento de muchos animales y plantas que mantienen la forma y conservan las
proporciones entre sus partes directamente con el número de oro.
No solo podemos encontrar el número áureo y sus propiedades y proporciones en estos
ejemplos, muchos de los objetos geométricos que hay en nuestro alrededor como los
billetes, los huevos de las gallinas, las estrellas de mar, las billeteras, todas las flores
pentagonales también contienen las características de este número mágico.
Serie de Fibonacci
Definición
La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números que, empezando por la unidad, cada
uno de sus términos es la suma de los dos anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8,13,...). Resulta
sorprendente que una construcción matemática como esa aparezca recurrentemente en
la naturaleza. La distribución de las hojas alrededor del tallo, la reproducción de los
conejos o la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos se produce siguiendo
secuencias basadas exclusivamente en estos números.
La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
El 2 se calcula sumando (1+1)
Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
Y el 5 es (2+3),
¡y sigue!
Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55
¡Así de simple!
Aquí tienes una lista más larga:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...
La regla
La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series):
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11. La regla es xn = xn-1 + xn-2
Donde:
xn es el término en posición "n"
xn-1 es el término anterior (n-1)
xn-2 es el anterior a ese (n-2)
Por ejemplo el sexto término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Relación Con Las Artes y La Naturaleza
Si. El largo de tus falanges también respeta la
sucesión de Fibonacci.
El número de conejos coincide con
cada uno de los términos de la
sucesión de Fibonacci.
Relación Entre El Número Áureo Y La Serie De Fibonacci
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12. El número áureo también está “emparentado” con la serie de Fibonacci. Si llamamos Fn al
enésimo número de Fibonacci y Fn+1 al siguiente, podemos ver que a medida que n se hace más
grande, la razón entre Fn+1 y Fn oscila, siendo alternativamente menor y mayor que la razón
áurea. Esto lo relaciona de una forma muy especial con la naturaleza, ya que como hemos visto
antes, la serie de Fibonacci aparece continuamente en la estructura de los seres vivos. El número
áureo, por ejemplo, relaciona la cantidad de abejas macho y abejas hembras que hay en una
colmena, o la disposición de los pétalos de las flores. De hecho, el papel que juega el número
áureo en la botánica es tan grande que se lo conoce como “Ley de Ludwig”. Quizás uno de los
ejemplos más conocidos sea la relación que existe en la distancia entre las espiras del interior
espiralado de los caracoles como el nautilus. En realidad, casi todas las espirales que aparecen en
la naturaleza, como en el caso del girasol o las piñas de los pinos poseen esta relación áurea, ya
que su número generalmente es un término de la sucesión de Fibonacci.
Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci
usando la razón de oro:
Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los
dos términos anteriores.
Ejemplo:
Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón aúrea)
obtuve la respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto habría dado un valor más cercano
a 8.
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13. Actividad
REALOZADO EN GEOGEBRA
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14. Conclusión
Es sorprendente el ver en que tantos lugares se presenta nuestro famoso numero áureo, pues
nadie se imaginaria el que este se encontrara ya hace cientos de años, haciendo uso de estos
principalmente Leonardo Da Vinci, con sus múltiples pinturas e inventos, además de el uso que
observamos y damos a la serie de Fibonacci y lo más sorprendente que ambas de alguna u otra
forma están relacionadas.
Fuente
http://www.monografias.com/trabajos75/numero-aureo/numero-aureo.shtml
http://www.abc.es/20100415/ciencia-tecnologia-matematicas/numero-aureo-belleza-
matematica-201004151848.html
http://www.castor.es/numero_phi.html
http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/12110839/El-numero-de-Oro-en-la-
naturaleza.html
http://www.neoteo.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html
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