1. ESCUELA SECUNDARIA
TECNICA 118
NOMBRE: Jimenez Perez Brisa
“NUMEROS AUREOS”
Profre: Luis Miguel Villarreal
Grupo: 3 B
Fecha: 25/10/12
Que es un numero “Áureo”…

2. INTRODUCCION
En este trabajo hablaremos
sobre los numeros Aureos su
relacion con la naturaleza y
otras aplicaciones Ya que en
cualquier cosa u objeto
podemos encontrar este numero
y lo mas importante La Serie de
Fibonnacci.

3. El número áureo o de oro (también llamado razón
extrema y media,1 razón áurea, razón dorada,
media áurea, proporción áurea y divina proporción)
representado por la letra griega φ (fi) (en
minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al
escultor griego Fidias, es un número irracional:2
Se trata de un número algebraico irracional
(decimal infinito no periódico) que posee muchas
propiedades interesantes y que fue descubierto en
la antigüedad, no como “unidad”
Sino como relación o proporción entre segmentos
de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en
algunas figuras geométricas como en la naturaleza.

4. Puede hallarse en elementos geométricos, en las
nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el
grosor de las ramas, en el caparazón de un
caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los
objetos cuyas medidas guardan la proporción
áurea. Algunos incluso creen que posee una
importancia mística. A lo largo de la historia, se ha
atribuido su inclusión en el diseño de diversas
obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos
de estos casos han sido cuestionados por los
estudiosos de las matemáticas y el arte.

5. El número áureo es el valor numérico de la
proporción que guardan entre sí dos segmentos de
recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El segmento menor es b. El cociente es el valor
del número áureo: φ.
Cálculo del valor del número áureo:
Dos números a y b están en proporción áurea si se
cumple:
Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la
igualdad será:
multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
que es el valor del número áureo, equivalente a la
relación

6. Serie Fibonacci…
Historia
La sucesión de Fibonacci en términos de conejos.
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión
de los números de Fibonacci había sido descubierta por
matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala
(antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes
habían investigado los patrones rítmicos que se formaban
con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de
tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos)
era , que produce explícitamente los números 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, etc.1
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a
un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía
una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno
desea saber cuántos son creados a partir de este par en
un año cuando es su naturaleza parir otro par en un
simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir
también".2
Parejas
Núme de
ro de Explicación de la genealogía conejo
Mes s
totales
Fin 0
del 0 conejos vivos. parejas
mes 0 en total.
Comie
1
nzo Nace una pareja de conejos
pareja
del (pareja A).
en total.
mes 1
Fin 1+0=1
La pareja A tiene un mes de edad.
del pareja
Se cruza la pareja A.
mes 1 en total.

7. Fin 1+1=2
La pareja A da a luz a la pareja B.
del parejas
Se vuelve a cruzar la pareja A.
mes 2 en total.
Fin La pareja A da a luz a la pareja C. 2+1=3
del La pareja B cumple 1 mes. Se parejas
mes 3 cruzan las parejas A y B. en total.
Fin Las parejas A y B dan a luz a D y 3+2=5
del E. La pareja C cumple 1 mes. Se parejas
mes 4 cruzan las parejas A, B y C. en total.
Fin A, B y C dan a luz a F, G y H. D y 5+3=8
del E cumplen un mes. Se cruzan A, parejas
mes 5 B, C, D y E. en total.
Fin A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L 8+5=13
del y M. F, G y H cumplen un mes. Se parejas
mes 6 cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. en total.
... ... ...
Fin
del
... ...
mes
12
Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada
mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que
hay hasta ese mes.
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su
libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades
de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por
Édouard Lucas, responsable de haberla denominado
como se la conoce en la actualidad.3
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el
matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753
que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos
se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque
a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos
de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo
límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX
especialmente en el ámbito musical, en el que

8. compositores con tanto renombre como Béla Bartók,
Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para
la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases
musicales.
Definición recursiva
Chimenea con la secuencia de Fibonacci
Los números de Fibonacci quedan definidos por las
ecuaciones
Esto produce los números
Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica,
es usual en Matemática discreta.
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Representaciones alternativas
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general,
cualquier sucesión) es conveniente obtener otras
maneras de representarla matemáticamente.
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Función generadora
Una función generadora para una sucesión cualquiera es
la función , es decir, una serie formal de potencias donde
cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los
números de Fibonacci tienen la función generadora
(4)

9. Cuando esta función se expande en potencias de , los
coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:
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Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente;
es decir que se necesitan calcular varios términos
anteriores para poder calcular un término específico. Se
puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de
Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores)
notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la
relación de recurrencia
con las condiciones iniciales
y
El polinomio característico de esta relación de recurrencia
es , y sus raíces son
De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de
Fibonacci tendrá la forma
Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces
las constantes y satisfacen la ecuación anterior cuando
y , es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci
puede ser expresado como
(5)
Para simplificar aún más es necesario considerar el
número áureo
de manera que la ecuación (5) se reduce a
(6)

10. Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es
fácilmente demostrable por inducción matemática. A
pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente
de números naturales, su fórmula explícita incluye al
número irracional . De hecho, la relación con este número
es estrecha.
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Forma matricial
Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es
considerando el sistema lineal de ecuaciones
Este sistema se puede representar mediante su notación
matricial como
Conociendo a y , al aplicar la fórmula anterior veces se
obtiene
(7)
Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la
matriz, facilitando así la operación de potenciación, y
obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión
que se especificó arriba.
y más aún
(8)
Estas igualdades pueden probarse mediante inducción
matemática.
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Propiedades de la sucesión

11. Al construir bloques cuya longitud de lado sean números
de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al
rectángulo áureo (véase Número áureo).
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas
aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en
modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar
el número de cadenas de bits de longitud que no tienen
ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos
diferentes. De hecho, existe una publicación
especializada llamada Fibonacci Quarterly4 dedicada al
estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se
trata de un tributo a cuán ampliamente los números de
Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en
otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión
son las siguientes:
La razón o cociente entre un término y el
inmediatamente anterior varía continuamente, pero
se estabiliza en el número áureo. Es decir:
Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci.
Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la
sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue
demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada
en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre
de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un
cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los
cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se
aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al
valor límite.
Cualquier número natural se puede escribir mediante la
suma de un número limitado de términos de la
sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a
los demás. Por ejemplo, , .
Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada
cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es
múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de
forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en
las congruencias módulo , para cualquier .
La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula

12. explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet).
Si y , entonces
y
Cada número de Fibonacci es el promedio del término
que se encuentra dos posiciones antes y el término
que se encuentra una posición después. Es decir
Lo anterior también puede expresarse así: calcular el
siguiente número a uno dado es 2 veces éste
número menos el número 2 posiciones más atrás.
La suma de los primeros números es igual al número
que ocupa la posición menos uno. Es decir
Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:

13. Actividad… Sopa de letras
A f t j i w d f Y c a o i u f v m
f j y M n s g r g U t m l w z x K
e r t y a u r e o h i o s a h m n
z f w r t m q p t m f d x n l p ñ
w v g i r a s o l j w y u n p y a
l c s w t y u i b m d a e f u e d
a q e v b g j 8 0 m h w o p d n z
i s u c e s i o n l u c a s j c b
d t s h s b j k e r e c v g h u y
i w r b d a s y t j a v h a s v n
g a a l e a l g o r i t m o t e r
a d f c g r y i a v z m h e t u w
n g a z x b k d e s j e z r y l a
n m s r m u l a e x p l i c i t a
a) Aureo
b) Fibonnancci
c) Formula explicita
d) Forma marcial
e) Sucesion lucas
f) Algoritmos