El documento presenta 5 teoremas sobre probabilidad: 1) la probabilidad de un evento vacío es cero, 2) la probabilidad del complemento de un evento es 1 menos la probabilidad del evento, 3) si un evento incluye a otro, su probabilidad es mayor o igual, 4) la probabilidad de la intersección de dos eventos es la probabilidad de uno menos la de su unión, y 5) la probabilidad de la unión de dos eventos es la suma de sus probabilidades individuales menos la de su intersección. También explica la probabilidad condicional y el teorema

1. TEOREMAS
TEOREMA 1. Si es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra
debe ser cero.
p( )=0
Ejemplo : La probabilidad de que un estudiante sea mujer es "1 menos la probabilidad
de que no sea varón".
DEMOSTRACIÓN:
Si sumamos a un evento A cualquiera, como y A son dos eventos mutuamente
excluyentes, entonces p(A )=p(A) +p( )=p(A). LQQD
TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser,
p(Ac)= 1 – p(A).
DEMOSTRACIÓN:
Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego
=A Ac, por tanto p( )=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p( )=1,
por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD
TEOREMA 3. Si un evento A B, entonces la p(A) p(B).
DEMOSTRACIÓN:
Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B A (B menos
A), por tanto, B=A (B A) y p(B)=p(A) +p(B A), luego entonces si p(B A) 0
entonces se cumple que p(A) p(B). LQQD
TEOREMA 4. La p( A B )= p(A) – p(A B)
DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se
puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A B) y A B, por tanto, A=(A
B) (A B), luego p(A)=p(A B) + p(A B), entonces, p(A B) = p(A) – p(A B).
LQQD
TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(A B)=p(A) + p(B) – p(A B).
DEMOSTRACIÓN:
Si A B = (A B) B, donde (A B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo
que p(A B) = p(A B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A B) = p(A) –
p(A B), por tanto, p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B). LQQD
Teorema de Bayes

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En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por
Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento
aleatorioA dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento
B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme
relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B
dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se
tiene gripe, se podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener gripe si
se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema
en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con
la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes
y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero
(0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades
condicionales . Entonces, la probabilidad viene dada por la
expresión:
donde:
son las probabilidades a priori.
es la probabilidad de en la hipótesis .
son las probabilidades a posteriori.
ndependencia (probabilidad)
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En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes
entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro
suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.
Definición formal
Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos
simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de
ellos, es decir, si

3. Motivación de la definición
Sean y dos sucesos tales que , intuitivamente A es independiente de B
si la probabilidad de Acondicionada por B es igual a la probabilidad de A. Es decir si:
De la propia definición de probabilidad condicionada:
se deduce que y dado que
deducimos trivialmente que .
Si el suceso A es independiente del suceso B, automáticamente el suceso B es
independiente de A.
robabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un eventoA, sabiendo que
también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee
«la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en
el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa
o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones
que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no
dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
Índice
1Definición
2Interpretación
3Propiedades
4Independencia de sucesos
5Exclusividad mutua
6La falacia de la probabilidad condicional
7Problemas de ejemplo
Definición
Dado un espacio de probabilidad y dos eventos (o sucesos) con
, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

4. se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la
fracción en los que también se cumple A.
Interpretación
se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la
fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe,
y el evento A es tener dolor de cabeza, sería la probabilidad de tener dolor
de cabeza cuando se está enfermo de gripe.
Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los
mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio
en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en
los que se tiene gripe y dolor de cabeza . En este caso , es
decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe,
sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los
mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el área verde
representa y el área de B representa a , formalmente se tiene que:
Propiedades
1.
2.
3.

5. La proporción de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la
misma forma, la proporción de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el
espacio. Son sucesos dependientes.
Independencia de sucesos
Artículo principal:Independencia (probabilidad).
Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:
O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, ó
puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales.
Equivalentemente:
En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B
es simplemente la probabilidad de A y viceversa.
Exclusividad mutua
Los conjuntos A y B no intersecan. Son mutuamente excluyentes.

6. Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si . Entonces,
.
Además, si entonces es igual a 0.
La falacia de la probabilidad condicional
La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a
P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este
error muy común cometido por personas que desconocen la probabilidad.
La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:
(Teorema de Bayes)