Os matemáticos, desde os mais antigos até os contemporâneos, sempre desenvolveram uma apreciação estética das descobertas matemáticas ao longo de seus estudos. No entanto, tal apreciação raramente é explorada em sala de aula. Considerando que a sociedade contemporânea é imensamente influenciada pela beleza e harmonia das imagens (vide TVs em HD, uso excessivo do software Photoshop e boom fotográfico da geração Y), trazer aos alunos a Razão Áurea e sua aplicação como medidor de harmonia no corpo humano é um ato com grandes chances de motivar os discentes, despertando seu interesse pela matemática de maneira geral.

1. Especialização Novas Tecnologias no Ensino de Matemática – LANTE
Informática Educativa I – Projeto Final: Execução
Título: Medida de beleza e harmonia facial, será possível?
Aluno: Michele de Oliveira Ribeiro
Primeiro momento
O que nos leva a achar determinada obra de arte bonita e outra feia?
Existe um padrão para a harmonia de coisas belas, que nos tranquilizam e
brindam nossos olhos com sua presença? Se existe, que padrão é esse?
Há muito tempo, Euclides definiu segmentos com razões muito
interessantes. A razão do todo pela maior parte equivale a razão do maior
തതതത
஺஻
തതതത
஺஼
segmento pelo menor ቀ஺஼ = ஻஼ ቁ.
തതതത
തതതത
E, pastem! Há quem diga que essa razão, chamada de Razão Áurea –
que tem como resultado o número irracional 1,61803... – está em muitos
lugares na natureza, na música, em esculturas, pinturas e até no corpo
humano. As sementes de um girassol formam uma espiral descrita em um
retângulo com as dimensões do segmento de Euclides, o retângulo de ouro ou
retângulo áureo. A mesma espiral é
encontrada no formato da concha do
molusco Nautilus, no voo no momento de
ataque de um falcão peregrino (assim ele
desenvolve maior velocidade e mantém a
observação na presa). Nas esculturas
temos o Partenon de Atenas, do escultor
Phydeas, que foi homenageado dando a
primeira letra (grega - ߮) de seu nome
para a razão áurea, o prédio da Onu em
Nova York, a catedral de Notre Dame e
outros. Nas pinturas de Leonardo Da
Vinci, em especial, a Monalisa que pode
ser vista na figura ao lado.
Muito se questiona sobre essa proporção. As obras de arte citadas
foram feitas baseadas nessas medidas e por essa razão são belas ou

2. primeiramente buscou-se a beleza e por coincidência essas proporções
apareceram?
Pensando nisso, vamos testar essas proporções em rostos já
conhecidos buscando responder: Dá pra medir a beleza das pessoas?
Inicialmente vamos construir o retângulo áureo no software de geometria
dinâmica GeoGebra. Posteriormente, vamos sobrepor fotos de personalidades
conhecidas buscando saber se eles se encaixam nas proporções do retângulo
áureo, como a Monalisa, ou não.
Assistir o vídeo Nature by Numbers, disponível em http://vimeo.com
/9953368.
Segundo momento
Tutorial para a construção do Retângulo Áureo
(Se você já possui o software em seu computador, inicie pelo passo 3)
1) Baixe o software GeoGebra no site http://www.geogebra.org/
cms/download.
2) Instale e abra o programa.
3) Clique na área de trabalho com o botão direito do mouse e retire a
seleção “Eixos”.
4) Na barra de ferramentas, no terceiro ícone, selecione “segmento
definido por dois pontos”. Clique em algum ponto da parte superior da tela
(ponto A) e, sem se preocupar com o tamanho, clique em outro ponto abaixo
(ponto B), de modo que o segmento seja vertical.
5) No terceiro ícone, selecione a ferramenta “polígono regular” e clique
no ponto B do segmento anterior. Posteriormente, na janela que indica a
quantidade e vértices do polígono, digite 4. Formar-se-á um quadrado à
esquerda do segmento inicial de vértices BEDC.
6) No quarto ícone selecione “reta perpendicular”. Clique no segmento
തതതത e depois no ponto A. Em seguida, clique no segmento തതതത e no ponto E.
‫ܤܣ‬
‫ܧܤ‬
7) No segundo ícone selecione “interseção de dois objetos” e marque o
ponto de interseção entre as retas perpendiculares que acabou de traçar. Este
será o ponto F.
8) Com a ferramenta “segmento definido por dois pontos”, trace os
തതതത ‫ܧܨ‬
segmentos ‫ ܨܣ‬e തതതത .

3. 9) Esconda as retas perpendiculares clicando sobre elas, uma por vez,
com o botão direito e retirando a seleção “exibir objeto”.
10) No segundo ícone, selecione “ponto médio ou centro” e clique no
ponto B e posteriormente no ponto C determinando o ponto G. Em seguida,
faça o mesmo sobre os pontos D e E e determine o ponto H.
11) Com a ferramenta “segmento definido por dois pontos”, trace o
segmento തതതത e തതതത .
‫ܦܩ ܪܩ‬
12) No sexto ícone, selecione “Círculo dados centro e um de seus
pontos”, clique no ponto G e depois no ponto D.
13) Selecione “interseção de dois objetos” e marque o ponto I encontro
തതതത
da circunferência com o segmento ‫. ܤܣ‬
14) Esconda a circunferência em “exibir objeto”.
തതതത
15) Trace uma reta perpendicular a ‫ ܤܣ‬que passe por I.
16) Marque o ponto de interseção desta reta perpendicular e o segmento
തതതത , ponto J.
‫ܨܧ‬
ഥ
17) Trace o segmento ‫.ܬܫ‬
ഥ
18) Esconda a reta suporte do segmento ‫.ܬܫ‬
തതത ‫ܦܥ ܧܤ ܬܧ‬
19) Trace os segmentos ‫ , ܫܤ‬തതത, തതതത e തതതത .
തതതത
തതത
തതതത
20) Esconda o segmento ‫ , ܤܣ‬clicando no segmento ‫ .ܣܫ‬Esconda ‫, ܨܧ‬
തതതത തതതത
തതതത
തതത
clicando em ‫ . ܨܬ‬Esconda ‫ ܦܩ , ܨܣ‬e ‫ . ܪܩ‬Esconda F, G, H e A. Esconda o
quadrado.
O retângulo traçado é o retângulo áureo!
Terceiro momento
Análise de fotos
Em “Editar”, “inserir imagem de” e “arquivo” é possível escolher a foto de
alguma personalidade, que ficará abaixo do retângulo construído. Essa foto
pode ser retirada do Google Imagens e salva no computador para que seja
encontrada em “arquivo”.
Se quiser aumentar a espessura do segmento para visualizar melhor,
basta clicar nele com o botão direito do mouse, ir em “propriedades”, abrir a
aba “estilo” e modificar a espessura da linha.

4. Será necessário redimensionar a imagem e/ou o retângulo para que o
retângulo contorne com maior exatidão possível o rosto da pessoa na foto em
busca de uma melhor análise. Para isso, use as ferramentas “mover”, no
primeiro ícone, ou “mover janela de visualização”, último ícone.
Para que as proporções faciais da pessoa sejam comparadas à
proporção áurea, a linha dentro do retângulo deverá estar próxima à área dos
olhos e sobrancelha. Ou se girarmos o retângulo 180° esta linha deve coincidir
,
com a posição do nariz. Caso isso não seja observado e existir uma distorção
muito grande, diz-se que essa pessoa não possui um formato de rosto
harmônico, belo. Será verdade?
Faça sua análise!
Sugestão de imagens:

8. Espera-se que com essa atividade o aluno seja capaz de perceber as
simetrias faciais de rostos belos com a razão áurea – através do retângulo
áureo – e a ausência da proporção em rostos de pessoas consideradas menos
harmônicas.
A sugestão de avaliação dessa atividade é que seja realizada de forma
continuada e os principais pontos a serem analisados são: conhecimento
prévio dos alunos para compreender o tutorial, processo de construção, final da
construção, análise das fotos e suas conclusões.
Bibliografia e sites de apoio
Google imagens. Acessado em 12 de outubro de 2013.
LIVIO, Mario. Razão Áurea: a história de Fi, um número surpreendente.
– 2ª ed. – Rio de Janeiro: Record, 2007.
Software gratuito de Geometria Dinâmica GeoGebra, disponível em
http://www.geogebra.org/cms/download.
Vídeo: Nature by number, disponível em http://vimeo.com/9953368.
Acessado em 05 de outubro de 2013.
Este trabalho encontra-se no link:
http://www.slideshare.net/micheleoliveira9678/projeto-final-execuo