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A Bézier triangle is a special type of Bézier surface, which is created by (linear, quadratic, cubic or higher degree) interpolation of control points. An advantage of Bézier triangles in computer graphics is, they are smooth, and can easily be approximated by regular triangles, by recursively dividing the Bézier triangle into two separate Bézier triangles, until they are considered sufficiently small, using only addition and division by two, not requiring any floating point arithmetic whatsoever.

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  1. 1. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Triangular Bézier Patch Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier Michel Alves dos Santos Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. Simões Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 Docente Responsável: Prof. Dr. Dimas Martinez {michel.mas}@gmail.com 16 de Maio de 2012 Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  2. 2. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Introdução Curvas e Retalhos Triangulares Nesta apresentação iremos fazer uma breve introdução às Curvas de Bézier e ao Retalho Triangular, porém antes faz-se necessário uma pequena discussão sobre métodos Interpolativos e Aproximativos. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  3. 3. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Interpolação X Aproximação Métodos de Interpolação e Aproximação Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  4. 4. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Interpolação X Aproximação Métodos de Interpolação e Aproximação É natural querermos modelar uma curva suave que passe por um determinado conjunto de pontos fornecido. Se a curva desejada é polinomial, chamamos o método de obtenção de tal curva de interpolação polinomial. Entretanto, o resultado nem sempre é o esperado (oscilações). Dessa maneira, é mais comum querermos curvas que ‘passem perto’ dos pontos fornecidos, isto é, com certas aproximações. Um excelente método para obtenção de curvas suaves faz uso do algoritmo criado por Paul de Faget de Casteljau e uso da formalização feita por Pierre Bézier - As Curvas de Bézier. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  5. 5. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Introduzindo as Curvas de Bézier O que são as Curvas de Bézier? Curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolação linear entre pontos representativos usualmente chamados de pontos de controle. O conjunto formado por esses pontos é denonimado polígono de controle da curva. Foram desenvolvidas como resultado do Algoritmo de De Casteljau em 1957 e formalizadas na década de 60. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  6. 6. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau O Que é o Algoritmo de De Casteljau? O Algoritmo de De Casteljau é um método recursivo para calcular polinômios na forma de Bernstein ou da Curva de Bézier. É amplamente usado, com algumas modificações, como o mais robusto e numericamente estável método para calculo de polinomiais. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  7. 7. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Caso Linear Curva de Bézier Linear Suponha que queiramos aproximar uma curva polinomial entre dois pontos P0 e P1 fornecidos. A solução natural é um segmento de reta que passa por P0 e P1 cuja parametrização mais comum é dada por P(t) = (1 − t) ∗ P0 + t ∗ P1. Podemos pensar em P(t) como uma média ponderada entre P0 e P1. Observe que os polinômios (1 − t) e t somam 1 para qualquer valor de t. Esses polinômios são chamados de funções de mistura (blending functions) Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  8. 8. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Caso Linear Curva de Bézier Linear P(t) = 1 i=0 ti (1 − t)1−i Pi P(t) = (1 − t)P0 + tP1, t ∈ [0, 1] Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  9. 9. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Caso Quadrático Curva de Bézier Quadrática Para generalizar a idéia para três pontos P0, P1 e P2 consideramos primeiramente os segmentos de reta P0P1 e P1P2 P01(t) = (1 − t)P0 + tP1 P12(t) = (1 − t)P1 + tP2 Podemos agora realizar uma interpolação entre P01(t) e P12(t). P02(t) = (1 − t)P01(t) + tP12(t) P02(t) = (1 − t)2 P0 + 2t(1 − t)P1 + t2 P2 Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  10. 10. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Caso Quadrático Curva de Bézier Quadrática Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  11. 11. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Caso Quadrático Curva de Bézier Quadrática Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  12. 12. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Caso Quadrático Curva de Bézier Quadrática P(t) = 2 i=0 2 i ti (1 − t)2−i Pi P(t) = (1 − t)2 P0 + 2t(1 − t)P1 + t2 P2 P(t) = (P0 − 2P1 + P2)t2 + (−2P0 + 2P1)t + P0, t ∈ [0, 1] Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  13. 13. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Caso Cúbico Curva de Bézier Cúbica A curva quadrática obtida pode ser entendida como a ‘mistura’ dos pontos P0, P1 e P2 por intermédio de três funções quadráticas: B02(t) = (1 − t)2 B12(t) = 2t(1 − t) B22(t) = t2 Aplicando mais uma vez a idéia podemos definir uma cúbica por 4 pontos: P02(t) = (1 − t)2 P0 + 2t(1 − t)P1 + t2 P2 P12(t) = (1 − t)2 P1 + 2t(1 − t)P2 + t2 P3 P03(t) = (1 − t)P02(t) + tP12(t) P03(t) = (1 − t)3 P0 + 3t(1 − t)2 P1 + 3t2 (1 − t)P2 + t3 P3 Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  14. 14. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Caso Cúbico Curva de Bézier Cúbica Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  15. 15. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Caso Cúbico Curva de Bézier Cúbica P(t) = 3 i=0 3 i ti (1 − t)3−i Pi P(t) = (1 − t)3 P0 + 3t(1 − t)2 P1 + 3t2 (1 − t)P2 + t3 P3 P(t) = (−P0 + 3P1 − 3P2 + P3)t3 + (3P0 − 6P1 + 3P2)t2 +(−3P0 + 3P1)t + P0, t ∈ [0, 1] Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  16. 16. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Caso Cúbico Curva de Bézier Cúbica Novamente temos uma curva dada pela soma de 4 funções de mistura (agora cúbicas), cada uma multiplicada por um dos 4 pontos B03(t) = (1 − t)3 B13(t) = 3t(1 − t)2 B23(t) = 3t2 (1 − t) B33(t) = t3 Em geral, uma curva de grau n pode ser construída da seguinte forma: Pin(t) = n i=0 Bin(t)Pi Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  17. 17. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Casos Curvas de Bézier Lineares, Quadráticas e Cúbicas Linear P(t) = (1 − t)P0 + tP1, t ∈ [0, 1] Quadrática P(t) = (1 − t)2 P0 + 2t(1 − t)P1 + t2 P2, t ∈ [0, 1] Cúbica P(t) = (1 − t)3 P0 + 3t(1 − t)2 P1 + 3t2 (1 − t)P2 + t3 P3, t ∈ [0, 1] Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  18. 18. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 O Algoritmo de De Casteljau - Generalização Curvas de Bézier Uma curva de Bézier de grau n definida por n + 1 pontos de controle é expressa como: P(t) = n i=0 Bi,n(t)Pi Onde Bi,n(t) = n i ti (1 − t)n−i , t ∈ [0, 1] Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  19. 19. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Curvas de Bézier e Polinômios de Bernstein Observações As curvas construídas pelo algoritmo de De Casteljau são conhecidas como curvas de Bézier e as funções de mistura são chamadas de base Bézier ou polinômios de Bernstein. Observamos que os polinômios de Bernstein de grau n têm como forma geral Bin(t) = Ci ti (1 − t)n−i Se escrevermos as constantes Ci para os diversos polinômios, teremos: 1o grau: 1 1 2o grau: 1 2 1 3o grau: 1 3 3 1 4o grau: 1 4 6 4 1 Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  20. 20. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Curvas de Bézier e Polinômios de Bernstein Observações Vemos que o padrão de formação corresponde ao Triângulo de Pascal e portanto, podemos escrever: Bi,n(t) = n i ti (1 − t)n−i , t ∈ [0, 1] Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  21. 21. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Propriedades das Curvas de Bézier Algumas Propriedades O grau da curva (do polinômio) é dado pelo número de pontos do polígono de controle menos 1 A curva de Bézier está contida no fecho convexo do polígono de controle (Os polinômios de Bernstein somam 1 para qualquer t). A curva interpola o primeiro e último ponto do polígono de controle. As tangentes à curva em P0 e Pn têm a direção dos segmentos de reta P0P1 e Pn−1Pn , respectivamente. De posse das noções introdutórias a respeito das Curvas de Bézier iremos agora falar sobre o Retalho Triangular de Bézier. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  22. 22. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Retalho Triangular de Bézier Definição O Retalho Triangular de Bézier é um tipo de retalho (unidade de representação de surperfícies mais elaboradas) onde o domínio são triângulos obtidos pelo algoritmo de De Casteljau. O controle agora é feito por uma estrutura em formato triangular geralmente chamada de Control Net. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  23. 23. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Retalho Triangular de Bézier - Control Net Rede ou Malha de Controle Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  24. 24. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Retalho Triangular de Bézier - Control Net Rede ou Malha de Controle - Propriedades Denotando cada ponto da Control Net por bijk , teremos que: i + j + k = n. O número de vértices será dado por: Nv = (1/2)(n + 1)(n + 2). Depois de apresentadas as propriedades da malha de controle faz-se necessário o uso de uma outra ferramenta antes da apresentação do algoritmo de De Casteljau para retalhos triangulares: as coordenadas baricêntricas! Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  25. 25. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Coordenadas Baricêntricas Coordenadas Baricêntricas em um Triângulo Considerando um triângulo de vértices a, b e c e um quarto ponto p sempre é possível escrever p como uma combinação baricêntrica de a, b e c: p = ua + vb + wc Onde u + v + w = 1 e t = (u, v, w) Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  26. 26. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 De Casteljau Para Retalhos Triangulares O algoritmo de De Casteljau Dada uma lista triangular de pontos bi ∈ 3, |i| = n e um ponto em 2 com coordenadas baricêntricas t, teremos: br i (t) = ubr−1 i+e1(t) + vbr−1 i+e2(t) + wbr−1 i+e3(t) Onde r = 1, ..., n e |i| = n − r Os vetores e1, e2 e e3 representam a base canônica. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  27. 27. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Polinômio de Bernstein Definição do Polinômio de Berstein No caso dos retalhos triangulares o polinômio Bn i de Bernstein é definido da seguinte maneira: Bn i = n i ui vj wk = n! i!j!k! ui vj wk ; |i| = n. Os pontos intermediários br i serão expressos da seguinte forma: br i (t) = |j|=r bi+j Br j (t); |i| = n − r. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  28. 28. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Exemplo de Refinamento de Retalhos Triangulares Exemplo de Refinamento de Retalhos Triangulares Exemplo de Sucessivos Refinamentos em um Retalho Triangular de Bézier. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  29. 29. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Exemplo de Junção de Retalhos Triangulares Breve Exemplo de Junção de Retalhos Triangulares Junção de Retalhos Triangulares de Bézier na composição de um objeto. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  30. 30. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Exemplo de Uso do Retalho Triangular de Bézier Utah Teapot Construído com Retalhos Triangulares À esquerda, rede de controle para o modelo Utah Teapot, constituída de 64 Retalhos Triangulares de Bézier (todos de grau 6). A direita, modelo correspondente usando Ray Tracing. Fonte: Triangular Bézier Clipping, S. H. Martin Roth, Patrick Diezi, Markus H. Gross. Techinical Report, 2000, Pacific Graphics. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  31. 31. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Exemplo de Uso do Retalho Triangular de Bézier Utah Teapot Construído com Retalhos Triangulares À esquerda, rede de controle para o modelo Utah Teapot evidenciando detalhamento da tampa. A direita, modelo correspondente usando Ray Tracing. Fonte: Triangular Bézier Clipping, S. H. Martin Roth, Patrick Diezi, Markus H. Gross. Techinical Report, 2000, Pacific Graphics. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  32. 32. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 FIM! Fonte: Triangular Bézier Clipping, S. H. Martin Roth, Patrick Diezi, Markus H. Gross. Techinical Report, 2000, Pacific Graphics. Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL
  33. 33. Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM) Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráfica Avançada (CGA) :: May 16, 2012 Agradecimentos Grato Pela Atenção! Michel Alves dos Santos - michel.mas@gmail.com Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL

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