CLASE 05 ECONOMIA PARA INGENIEROS - 2015

FACULTAD DE
INGENIERIA CIVIL
IX CICLO – 2015 - I
CLASE Nº 05
Docente: ING. MAG. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO
Email: mhamwil@gmail.com Blog: htpp:/inghamiltonwilson.blogspot.com
E - mail: mhamwil@peru.com Teléf.. (51) (056) - 225924

LAS SERIES DE GRADIENTE Y EL PRESENTE
Las series de gradiente se basan en la suposición teórica de que una cifra,
como el costo de mantenimiento de un automóvil, aumentará cada año en
una cantidad exactamente igual al periodo anterior, y que esto se mantendrá
durante cierto número de periodos.
Se dice que la situación es teórica pues en la práctica es imposible que se
puedan prever aumentos o disminuciones graduales por exactamente la
misma cantidad.
Sin embargo, se han desarrollado fórmulas especiales para resolver este
tipo de problemas.
A la cantidad igual en la cual se incrementa un flujo de efectivo se le llama
gradiente y se le representa con la letra G.
Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 2

400
350
300
250
200
150
0
1 2 3 4 5 6
P = ?
CASO 9.
Una persona adquirió un auto; espera que el costo de mantenimiento sea de
S/. 150 al finalizar el primer año y que en los subsecuentes aumente a razón
de S/. 50 anuales. Si la tasa de interés es de 8% capitalizada cada año,
¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos durante un periodo de 6
años?
SOLUCION.
Los datos del problema son: P = ?; i = 8 %; n = 6; primer pago = 150; G = 50.
El diagrama de flujo del problema es el de la gráfica.

Utilizando la fórmula básica se tiene:
En este tipo de problemas se pueden observar ciertas particularidades.
Por ejemplo, la gráfica se puede dividir en dos, como se muestra en la
siguiente gráfica;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )654321
08.01
400
08.01
350
08.01
300
08.01
250
08.01
200
08.01
150
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=P
60.1219
5869.1
400
4693.1
350
3605.1
300
2597.1
250
1664.1
200
08.1
150
=+++++=P

250
200
150
100
50
0
0
1 2 3 4 5 6 =
P "
400
350
300
250
200
150
0
1 2 3 4 5 6
P = ?
150 150 150 150 150 150
0
1 2 3 4 5 6 +
P'

A+(n-1)G
(n-1)G A+2G
2G A+G
A A A A G A
0 0 0 0
1 2 n-1 n + 1 2 3 n = 1 2 3 n
P' P " P
Al incremento constante se le denota por G, esta gráfica, en forma
generalizada y con literales, es la siguiente grafica;
Cuando se trabaja con Series Gradiente siempre se tiene:
1. Un número de A igual a n.
2. Un número de G en el mismo diagrama de (n-1) ya que en el periodo 1
todavía no existe el incremento debido a G.
3. Se pueden obtener dos presentes, P' y P ", cuya suma es la P del
diagrama original.
Para, calcular el presente P = P'+ P ", se pueden calcular P' y P " como:

Para calcular el presente P = P'+ P ", se pueden calcular P' y P " como:
La fórmula para calcular P'; y la fórmula para calcular P" sí es nueva, y no se
presenta su deducción por las razones ya expuestas con anterioridad.
En este caso, aparentemente haber dividido el problema en dos partes
parece más complicado que la solución ofrecida.
Sin embargo, si el número de n es elevado, puede ser más cómodo utilizar
las fórmulas para resolver este tipo de problemas.
( )
( ) 





+
−+
= n
n
ii
i
AP
1
11´
( )
( ) 





+






−
−+
= n
n
i
n
i
i
i
G
P
1
111"

CASO 10.
Resuélvase el caso anterior mediante el empleo de las fórmulas de
Gradiente.
SOLUCION.
Los datos del problema son: A = 150; G = 50; i = 8 %; n = 6. Sustituyendo en
las fórmulas se tiene:
( )
( )
( )
( )
60.1219
08.01
1
6
08.0
108.01
08.0
50
08.0108.0
108.01
150 6
6
6
6
=





+






−
−+
+





+
−+
=P
El uso de las fórmulas de series gradiente también es adecuado cuando éste
es decreciente.

900
850
800
750
700
650
600
550
500
450
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 =
P
CASO 11.
Una comercializadora vende computadoras personales bajo las siguientes
condiciones: Se hace un primer pago de S/. 900 un mes después de la fecha
de adquisición y nueve pagos mensuales adicionales, cada uno de los cuales
disminuye en S/. 50 el pago del mes anterior (el segundo mes se pagarán
S/. 850, el tercer mes S/. 800, etc.), Si el interés que carga la
comercializadora es de 1 % capitalizado mensualmente, ¿cuál será el valor a
pagar de contado por la compra de la PC?
SOLUCION.
En este caso existe un gradiente negativo que se representa mediante la
gráfica;
Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H.
9

900
850
800
750
700
650
600
550
500
450
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 =
P
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 =
P "
900 900 900 900 900 900 900 900 900 900
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 +
P'

SOLUCION.
Los datos son: A =900; G = 50; i = 1%; n = 10; P = P' - P"
Si se usa la fórmula básica, de la gráfica se obtiene:
( )
( )
( )
( ) 





+






−
−+
−





+
−+
= 10
10
10
10
01.01
1
10
01.0
101.01
01.0
50
01.0101.0
101.01
900P
( ) ( ) 64328431.41504713.9900 =−=P
( ) ( ) ( ) ( )
6432
01.01
450
01.01
500
.............
01.01
850
01.01
900
10921
=
+
+
+
++
+
+
+
=P

USO DE NOTACION SIMPLIFICADA Y TABLAS
DE FACTORES
Se tiene dos fórmulas básicas que se pueden reescribir como sigue:
( ) )......(....................1 AiPF
n
+=
( )
).........(....................
1
B
i
F
P n
+
=
A la porción de la fórmula dentro del paréntesis cuadrado se le llama factor;
a la de la fórmula (A) se le llamaría "factor para calcular un futuro si se
conoce el presente", o en forma simplificada (F/P, i, n ), que puede leerse
como "factor de un futuro dado un presente, a determinadas i y n".

Por lo tanto la fórmula (A) se puede anotar como sigue:
A esta última también se le numeró como (A) debido a que es exactamente
la misma fórmula original pero con notación simplificada.
Procediendo de una manera similar, al factor de la fórmula (B) se le puede
llamar "factor de un presente dado un futuro" y puede escribirse como:
( ) ( )niPFPFAiPF
n
,,/)......(....................1 =⇒+=
( )
( )niFPFPB
i
F
P n
,,/)........(....................
1
=⇒
+
=

Formula Original
Notacion
Simplificada
Nombre del
Factor
( )[ ]nn
iPF += 1 = P (F/P, i, n)
Futuro dado un
Presente
(A)
( ) 





+
= n
i
FP
1
1
= F(P/F, i, n)
Presente dado un
Futuro
(B)
( )
( ) 





−+
+
=
11
1
n
n
i
ii
PA = P (A/P, i, n)
Pago Uniforme
dado un Presente
(C)
Las Fórmulas son sólo derivaciones de las formulas básicas (A) y (B); esas
fórmulas adicionales pueden facilitar los cálculos de cierta manera y para
ellas también se ha aceptado la notación simplificada.
A continuación se presentan las fórmulas originales y su notación
simplificada, haciendo énfasis en que los factores son la parte de cada
una encerrada en el paréntesis cuadrado de la fórmula y del paréntesis de
la notación simplificada

Formula Original
Notacion
Simplificada
Nombre del
Factor
( )
( ) 





+
−+
= n
n
ii
i
AP
1
11
= A (P/A, i, n)
Presente dado un
Pago Uniforme
(D)
( )





 −+
=
i
i
AF
n
11
= A (F/A, i, n)
Futuro dado un
Pago Uniforme
(E)
( ) 





−+
=
11
n
i
i
FA = F (A/F, i, n)
Pago Uniforme
dado un Futuro
(F)
( )
( ) 





+






−
−+




= n
n
i
n
i
i
i
GP
1
1111
= G (P/G, i, n)
Presente dado un
Gradiente
(G)
( )






−
−+




= n
i
i
i
GF
n
111
= G (F/G, i, n)
Futuro dado un
Gradiente
(H)
( ) 





−+
−=
11
1
n
i
n
i
GA = G (A/G, i, n)
Pago Uniforme
dado un
Gradiente
(I)
... Continuación

Por lo tanto la fórmula (A) se puede anotar como sigue:
A esta última también se le numeró como (A) debido a que es exactamente la
misma fórmula original pero con notación simplificada.
Procediendo de una manera similar, al factor de la fórmula (B) se le puede
llamar "factor de un presente dado un futuro" y puede escribirse como:
( ) ( )niPFPFAiPF
n
,,/)......(....................1 =⇒+=
( )
( )niFPFPB
i
F
P n
,,/)........(....................
1
=⇒
+
=
METODOLOGIA DE CALCULO CON EL USO DE
LA TABLA DE FACTORES

TABLAS DE FACTORES
Fórmula Original
Notación
Simplificada
Nombre del Factor
( )[ ]nn
iPF += 1 = P (F/P, i, n)
Futuro dado un
Presente
(A)
( ) 





+
= n
i
FP
1
1
= F(P/F, i, n)
Presente dado un
Futuro
(B)
( )
( ) 





−+
+
=
11
1
n
n
i
ii
PA = P (A/P, i, n)
Pago Uniforme dado un
Presente
(C)
( )
( ) 





+
−+
= n
n
ii
i
AP
1
11
= A (P/A, i, n)
Presente dado un Pago
Uniforme
(D)
( )





 −+
=
i
i
AF
n
11
= A (F/A, i, n)
Futuro dado un Pago
Uniforme
(E)
( ) 





−+
=
11
n
i
i
FA = F (A/F, i, n)
Futuro
(F)
( )
( ) 





+






−
−+




= n
n
i
n
i
i
i
GP
1
1111
= G (P/G, i, n)
Presente dado un
Gradiente
(G)
( )






−
−+




= n
i
i
i
GF
n
111
= G (F/G, i, n)
Futuro dado un
Gradiente
(H)
( ) 





−+
−=
11
1
n
i
n
i
GA = G (A/G, i, n)
Gradiente
(I)
17

( )
( )
096422.0
108.01
08.0108.0
23
23
=





−+
+
Aplicación:
Ahora bien, si se desea usar las tablas, he aquí un ejemplo de cómo hacerlo.
Supóngase que en determinado problema se desea calcular el Pago Uniforme
dado un Presente utilizando el factor (A/P, i, n) con los siguientes datos: i = 8 % y
n = 23. El cálculo es:
Presente dado un Pago Uniforme A (P/A, i, n)
Si; el Valor Presente es de S/. 1,500.00 determine la amortización A:
( )
( )
APA 096422.0
108.01
08.0108.0
23
23
=





−+
+
=
PA 096422.0= ( ) A=1500096422.0 A = 144.633
Si utilizamos las tablas de factores, localizamos primero la Tasa de interés del 8% a
continuación la columna del factor (A/P) y buscamos hacia abajo hasta intersectar con
n=23.
El Valor de la tabla es de 0.0964 y aplicamos la deducción de la formula: PA 0964.0=
A = 144.6
( )
( ) 





−+
+
=
11
1
n
n
i
ii
PA

( )
( )
096422.0
108.01
08.0108.0
23
23
=





−+
+
La notación simplificada permite el uso de las tablas de factores de interés
capitalizado que aparecen en los diferentes Textos.
Con fines didácticos y cuando sólo se cuenta con una calculadora de bolsillo
poco potente, el uso de las tablas es recomendable, sin embargo, en la
actualidad hay calculadoras de bolsillo no sólo potentes sino programables
o ya programadas para realizar cálculos de este tipo; en caso de que se
domine el concepto implícito en las fórmulas y se cuente con una buena
calculadora, será mejor usar esta última y no las tablas.
Ahora bien, si se desea usar las tablas, he aquí un ejemplo de cómo
hacerlo. Supóngase que en determinado problema se desea calcular el
factor (A/P, i, n) con los siguientes datos: i = 8 % y n = 23. El cálculo es:

DENOMINACION TABLAS DE FACTORES DE
INTERES DISCRETO
(F/P, i, n) Factor de una cantidad capitalizada
(P/F, i, n) Factor de una cantidad descontada o traída al presente
(A/P, i, n) Factor de Recuperación de Capital
(P/A, i, n) Factor de Descuento de series Uniformes
(F/A, i, n) Factor de Series Uniforme Capitalizado
(A/F, i, n) Factor de un Fondo de Series Uniformes que se capitaliza en el Futuro
(P/G, i, n) Factor para descontar series Gradiente
Nomenclatura Utilizada:

EL CONCEPTO Y USO DE EQUIVALENCIA DEL
DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO
El término equivalencia significa tener igual valor o comparar en
condiciones similares un valor.
Dado el fenómeno inflacionario presente en cualquier tipo de economía,
ya sea de un país avanzado o de uno en vías de desarrollo, una unidad
monetaria actual no tiene el mismo poder adquisitivo que tendrá dentro
de un año, es decir, no son equivalentes pues no se están comparando bajo
las mismas condiciones.
Dado que lo único que hace diferente en poder adquisitivo a esa unidad
monetaria es el tiempo, una base lógica y adecuada de comparación podría
ser medir el valor de ese dinero en un solo instante, ya sea el
día de hoy, dentro de un año o en cualquier instante, pero que sea el mismo
instante de tiempo.

80 80
70 70
60
0 1 2 3 4 5
B B
Supóngase que se originan una serie de flujos de efectivo en una empresa,
que pueden representarse como se muestra en la gráfica:
¿Se desea conocer las cantidades B?
Veamos que las cantidades de arriba del diagrama no son iguales y las de
la parte inferior, siendo iguales, no están ni en el mismo tiempo ni en
periodos consecutivos*.
*El concepto de equivalencia la tasa de interés es determinante, ya que B = 164 sólo es
cierto si la tasa de Interés es del 10 %.
24

En el diagrama de flujo de la situación bajo análisis, se puede declarar el
siguiente teorema fundamental:
Por tanto, para obtener una ecuación que resuelva
el problema de la gráfica deberán trasladarse
todos los flujos (de arriba y de abajo) a un solo
instante de tiempo (usualmente el presente o el
futuro) e igualar la ecuación que traslade los flujos
de arriba con la que traslade los flujos de abajo.
“Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en
un mismo instante”
25

Todo problema puede ser resuelto si se siguen estos pasos:
Dibújese el diagrama de flujo del problema.
a) Recuérdese que cuando dos entidades intercambian dinero, el diagrama
de flujo de una es contrario al diagrama de flujo de la otra.
b) Por ejemplo, si una persona deposita dinero en un banco, para la
persona el depósito es un flujo negativo, mientras que para el banco, es
positivo. Los flujos de efectivo se invierten cuando se hace un retiro.
c) Sin importar la referencia, considérese "ARRIBA" los flujos que hayan
quedado por encima de la línea del diagrama de flujo, y "ABAJO" los
flujos que hayan quedado por debajo de la misma línea.
d) El teorema fundamental simplemente declara que, ya obtenido el
diagrama de flujo, se iguale lo de "arriba" a lo de "abajo", tomando como
referencia cualquier periodo de tiempo, es decir, igualar a su valor
equivalente.

Para este cálculo, se utilizaron las fórmulas básicas
Este resultado ha obtener muestra que efectivamente:
“Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en un
mismo instante",
Para ser considerado como el teorema fundamental de la Ingeniería
Económica, será siempre que el diagrama de flujo sea correctamente
trazado y que se aplique sin error las fórmulas básicas:
( )n
iPF += 1
( )n
i
F
P
+
=
1
Formulas que
trasladan el
valor del dinero
a través del
tiempo, a sus
valores
equivalentes.

Resuélvase B para cada una de las igualdades planteadas.
Resolviendo el problema planteado en la gráfica se tiene:
Abajo Periodo de referencia: año 0 Arriba
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5432131
1.01
80
1.01
70
1.01
60
1.01
80
1.01
70
1.011.01 +
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
BB
( ) ( ) ( ) ( ) ( )43212
1.01
80
1.01
70
1.01
60
1.01
80
70
1.01 +
+
+
+
+
+
+
+=
+
+
B
B
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )321
1
1
1
1.01
80
1.01
70
1.01
60
801.0170
1.01
1.01
+
+
+
+
+
+++=
+
++
B
B
28

( ) ( ) ( )
( ) ( )21
122
1.01
80
1.01
70
601.01801.01701.01
+
+
+
+++++=++ BB
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1
12313
1.01
80
701.01601.01801.01701.011.01
+
+++++++=+++ BB
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 801.01701.01601.01801.01701.011.01
123424
++++++++=+++ BB
En todas, B será igual a 164.

INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO
En este curso se ha considerado a un año como el periodo más usual en
que se puede cobrar un interés, sin embargo, en la vida cotidiana hay
periodos mucho más cortos, en los cuales es posible ganar interés.
Estos periodos pueden ser: semestrales, trimestrales, mensuales, de
acuerdo con sus necesidades.
Cuando se presentan situaciones de este tipo, puede manejarse varios
conceptos respecto de las tasas de interés.
Por ejemplo:
Un banco paga a sus depositarios 12 % de interés anual capitalizado
cada año. En este caso al 12 % se le llama tasa nominal anual y/o
tasa efectiva anual, puesto que sólo después de transcurrido un año
es posible cobrar ese interés.

Un banco paga a sus depositarios 12 % de interés anual capitalizado
cada tres meses.
En este caso, 12% sigue siendo la tasa nominal anual, pero dado que se
capitaliza en periodos menores a un año, existe una tasa efectiva por
periodo (trimestral, en este caso), y una tasa efectiva anual.
La tasa efectiva por periodo iefectiva trimestral (en este caso) se obtiene
dividiendo la tasa nominal anual entre el número de periodos que tenga el
año.
Por tanto:






=
periodosdenumero
i
i anualalno
periodoporefectiva
__
_min
__
En este caso,
03.0
4
12.0
_ =





=trimestralefectivai o sea 3%

La tasa efectiva anual se obtiene cuando se aplica la siguiente
fórmula:
En este caso seria:
( )[ ] 10011
____
___ xii
añoporperiododenumero
periodoporefectivaAnualefectiva −+=
( )[ ] %55.12100103.01
4
_ =−+= xi Anualefectiva
Obsérvese que el hecho de capitalizar en periodos menores de un año hace
que la tasa efectiva anual sea ligeramente mayor que la tasa nominal
anual.
Así, la fórmula puede reescribirse de la siguiente manera:
1001
____
1
____
_min
_ x
añoporperiodosdenumero
i
i
anualalno
Anualefectiva








−





+=
Con la fórmula se calculará el interés efectivo anual para observar cómo,
mientras el periodo de capitalización se hace más corto, el interés efectivo
anual crece.
32

Periodo de
Capitalizacion
Calculo de interes efecitvo anual
Interes
nominal
anual
Interes efectivo por periodo
Semestral %36.121001
2
12.0
1
2
=








−





+= xief 12% 06.0
2
12.0
==efsemi
Cuatrimestral %486.121001
3
12.0
1
3
=








−





+= xief 12% 04.0
3
12.0
. ==efcuati
Trimestral %551.121001
4
12.0
1
4
=








−





+= xief 12% 03.0
4
12.0
. ==eftrimi
Se toma como base el interés anual igual al 12 %. Aplicamos la
formula;

P e ri o d o d e
C a p it aliz a ci o n
C a l c u l o d e i nt er e s ef e citv o a n u a l
I nt e r e s
n o m i n al
a n u a l
I nt e r e s ef e c ti v o p o r p e rio d o
M e n s u al %683.121001
12
12.0
1
12
=








−





+= xief 1 2 % 01.0
12
12.0
. ==efmensi
S e m a n al %734.121001
52
12.0
1
52
=








−





+= xief 1 2 % 0023.0
52
12.0
==efsemanali
D i a ri o %7447.121001
365
12.0
1
365
=








−





+= xief 1 2 % 000328.0
365
12.0
==efdiai
C a d a 8 h o r a s %748.121001
3365
12.0
1
3365
=








−





+= x
x
i
x
ef 1 2 % 000109.0
1095
12.0
.8 ==hsefi
........ Continua;

INTERÉS CONTINUO
Si se continuaran haciéndose cálculos sobre periodos cada vez más cortos,
por ejemplo, capitalización cada hora, cada minuto..., se llegaría a un
límite que se puede escribir como:
Limite iefectivo cuando numero de periodos por año → ∞
1001
____
1
____
_min
_ x
añoporperiodosdenumero
i
i
anualalno
Anualefectiva








−





+=
y esto a su vez puede escribirse como:
( )( )
[ ] 1001_min_
_ xei nanualalnoi
Anualefectiva −= donde n = número de
años

calculando para:
¡nominal anual = 12 % y n = 1 (un año) se tiene:
Con las fórmulas anteriores se comprueba que, conforme se reduce el
periodo de capitalización, la tasa efectiva anual aumenta hasta un límite
que es la capitalización continua, calculada con la fórmula.
[ ] %74968.121001112.0
_ =−= xei x
Anualefectiva

CONCLUSIONES
Se han presentado los conceptos fundamentales dé la ingeniería
económica, de hecho, existen dos fórmulas básicas, e incluso se puede
afirmar que es una sola fórmula la que gobierna el traslado del dinero a
través del tiempo.
La demostración es tan clara que las demás fórmulas son derivaciones de
ésta.
Así, es posible resolver cualquier tipo de problemas con esta fórmula básica
y con la aplicación del teorema fundamental: lo que está arriba es igual a
lo que está abajo comparado en un solo instante.
Traducido a un lenguaje económico, el teorema fundamental significaría: lo
que yo debo, es exactamente igual a lo que debo pagar.

Si pago de contado, las cantidades son exactamente las mismas; si lo hago
a plazos, las cantidades parecerán distintas por los intereses que se
pagarán, pero, nuevamente, si esas cantidades con intereses se trasladan
a un solo instante de tiempo, como el presente, las cantidades que se
deben y que se pagarán, serán exactamente las mismas.
Una violación de este teorema fundamental implicaría pagar más de lo que
debemos, o bien, que nos cobrarán menos de nuestra deuda.
Por tanto, el teorema es inviolable, como justos deben ser los cobros de
una deuda como esperan todos los que piden prestado en la vida real*.
*Al margen de lo anterior cabe mencionar que en los diagramas
propuestos para solucionar los ejemplos, el sentido de las flechas
podría invertirse, con lo que se mostraría el punto de vista del
comprador o de la contraparte que ejecuta la acción económica del
problema.
.......... Continua:

0
1 2 3 4 5
P
PROBLEMA Nº 01
Determine el valor de P en la grafica mostrada, si la i = 10%.
SOLUCION.
P = ?;
i = 10 %;
n = 5
( )n
iPF += 1
( )n
i
F
P
+
=
1
Formulas que
trasladan el
valor del dinero
a través del
tiempo, a sus
valores
equivalentes.

SOLUCION 1A.
Aplicamos llevar directamente y por separado las cantidades de los
periodos 4 y 5 hasta el periodo cero.
P= 30 (P/F, 10%, 4) + 40 (P/F, 10%, 5)
( ) 





+
= n
i
FP
1
1
F (P/F, i, n)
Formula simplificada
del calculo del
Presente dado un
Futuro
( ) ( ) ( ) ( )
32.45
1.01
40
1.01
30
10.01
1
40
10.01
1
30 5454
=
+
+
+
=





+
+





+
=P
Reemplazando;
P = 45.32

44

45

47

52
! GRACIAS POR SU ATENCION !
!Seguimos trabajando hasta
la Próxima Clase!

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