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Cuaderno4eso b12 13_2
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Cuaderno4eso b12 13_2
TNeúmmae1rosreales 
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uelapealsvoalodrdeella 
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− 1 
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4.aIn)trodu 
d)( √3 2)4  
−2 g)25−1/2 h) 
−80 2.aE)xpresa 
omounaúni 
apoten 
ia: (x2y)−2 · x3 · y−2 
(x−2 · y)−1 · x2 · y 
b)(22 · 4−1)3 · 83 
(23)−2 3.aE)xpresaenformadepoten 
ia: √3 2 b)p√35 
) 1 
√4 57 
elosfa 
toresdentrode 
adaraíz: 2 √3 3 b)4 3 
3x 
8 d)3 
5.aSa) 
s 
1 
4 
√3 15 )2 
x 
s 
h)√4a2 + 4 i)4 
5 
6.Sai)mpli 
l)√625a17b10 s 
3 
25 
9 
e)2 √4 4 f)1 
5 
adelaraízlosfa 
toresquepuedas: √3 16 b)4√8 
)√1000 d)√3 8a5 e)s 
125a2 
16b 
f)s 
1 
4 
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1 
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g)s 
16 
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s 
9 
7.Ra)edu 
1 + 
16 
f)√8 625 : √4 25 j)5 p 
28 · 315(xy2)8 · z33 k)x2y3 
s 
4x3y8 
eaíndi 
e 
omúnyordenademenoramayor: z5 
8.Realizalaopera 
)iónysimpli 
b)d)√4 4, √3 3, √2 asiesposible:7 
√6, √3 4 
√4 6, √5 10 √4 72, √3 9, √6 100 alossiguientesradi 
ales: √3 24 b)√6 27 
)√3 −108 d)12 p 
64y3 e)4 
s 
81 
64
a)4√27 · 5√6 = b)2 
d)g)e)h)f)s 
= (√3 12)2 = ( √6 32)3 = √3 24 : √3 3 = √3 2 · √3 = √3 a · 3 
j)4 
3 3 · 
= p 
s 
27 
8 
= 
)√2 · 
s 
1 
8 
9.aE)xpresa 
s 
√a2b = 1 
a · √a = i)  
√6 32 
√8 
!3 
2√3 : 
p 
√3 4 = k)3 p 
3√3 · 4 p 
9√3 · 
p 
3 √4 3 = l)3 
vuut 
s 
b3 
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b5 · 4 
a · 
omounaúni 
araíz: 4 p 
√3 4 b)3 p 
2 √4 8 
)( √4 a3 · √5 a4) : √a 10.aC)al 
ulaysimpli 
a: 5√125 + 6√45 − 7√20 + 
3 
2 
√80 = b)√3 16 + 2 √3 2 − √3 54 − 
21 
5 
√3 250 = 
)√125 + √54 − √45 − √24 = d)(√2 + √3)(√6 − 1) = 11.Sai)mpli 
aalmáximolassiguientesexpresiones: 3 √3 16 − 2 √3 250 + 5 √3 54 − 4 √3 2 = b)s 
12.aE)fe 
s 
s 
2 
18 
1 
8 
− 4 
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= 
5 125 
3 
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= )7 √3 81a − 2 √3 3a4 + 
√3 3a 
5 
= d)2 
3 
s 
a3 
b − 
1 
5 
s 
a 
b3 + 
2 
9 
s 
a 
b 
túaysimpli 
a: (√3 + √2)2 − (√3 − √3)2 = b)(√6 + √5) · 2√2 = 
)(√5 + √6)(√5 − √6) = d)(2√5 − 3√2)2 = e)(√2 − 1)(√2 + 1)√3 = f)(3√3 − 2√2)2 = 1.213..aR)aR 
ioan 
aliiozanloaslsiizgaui 
enitóesndednoemidnaednoroesm:inadores 8 
√3 2 
f) b)) d) e) 1 
4 
5 
a 
√2 
√3 4 
√3 5 
√4 a3b 2 
√5 + √3 
14.aR)a 
g) h) j) 3 
3 
11 
2√3 − 3√2 
2√5 + 3 √15.aR)a 
3 + 3 
j)a + b 
√a + b i) 3 
√5 − 2 
ionaliza: 5 
√2 √4 3 
b)2√3 
√18 
)√2 − 1 
e)2√3 − 3√2 
2√3 + 3√2 8 
√2 
d)2√3 − √2 
√18 
e)√72 + 3√32 − √8 
√8 f)2√3 + √2 
√12 
g) 1 
2(√3√5) 
h)3√6 + 2√2 
3√3 + 2 
i) 2 
√2 √3 3 
ionaliza: √3 + √2 
√3 − √2 
b) 4 
8 − √2 
)3√2 + 3√5 
3√2 − 3√5 
d) 1 
√2 + 5
1.316..aR)eEduj 
f) g)h)i) j) x + y 
a 1 
√x + √y 
4 
1 
√x + √y 
√− a − 1 
√x − √y 
√18 
√3 40 eera 
ui 
niúonsi 
ovraadrii 
aald:os √3 ab2 · √ba · √4 b2a = b)s 
vuut 
e)s 
p 
a3√a3 = g)a 
b2 · 3 
√3 ab = p 
s 
b3 
a4 · 6 
a 
b 
= 
)q 
a 
p 
a√a = d)3 
q 
a 
i) vuut 
b 
a2 
√a 3 b2a = s 
a 
b 
= f)4 
s 
b2 
a 
17.aO)peraysimpli 
√a √3 p 
a √· 3 a4 
3 ab 
= = h)s 
a 
b 
√3 ab2 · 
4 p 
a 
b 
s 
b2 
s 
a · 3 
b 
a 
√b2a 
p 
ab √3 a2b 
= j)5 p 
x2 √3 x5 · √3 x7 
p 
x4 √3 x8 
a: 1 
√2 
= e) 1 
g) + 
= 7 
1 
√2 − 1 
+ 
1 
√2 + 1 
= b) 1 
√x√y 
+ 
1 
√x − √y 
= 
) 3 
√3 − √2 − 
2 
√3 + √2 
k)i)j)= p 
p 
√√a3 √6 − 27 = − 2a 4 a2 √6 a3 √+ 3a − 8 a12 = √98 − √18 
= d)√7 − √5 
√7 + √5 − 
√7 + √5 
√7 − √5 
1 
√+ 
3 
√3 
m)1 − 
1 + 
1 + √3 
1 − √3 
l)√√303 = (√2 + √3)(√6 1) = 96 · − q 
= f) 1 
√2 − 1 − 
1 
√2 + 1 
ñ)3 − √2 − 
p 
17 − 12√2)2 = ( 
1 
√3 − √2 
+ 
1 
2 − √3 
= h)5 
√6 
+ 
2 
√6 + 3√2 − 
4√2 
√3 
6 + √27 · 
p) 
p 
q 
5 + 
5 + √5 · 
5 − 
= −18 
p 
5 + √5 = n)( 
p 
17 + 12√2 + 
p 
14 + 6√5 + 
p 
14 − 6√5)2 = o)s 
1183 
25 − 5 
s 
112 
225 
+ 
1 
30 
√12348 − 10 
s 
7 
36 
s 
1 
3 
+ √147 + 30 
s 
1 
2 − 4√72 + 
20 
√2 
= q)3 √8 81 − 2 √6 27 − 2 1√0 32 + 9 
s 
1 
3 
+ 2 √4 4 − 27 
s 
1 
27 
= 
9
10
ÁBLLGOQEUBERIAI 
11
Cuaderno4eso b12 13_2
TPeomliano2mios.Fra 
ionesalgebrai 
as 
2.11..Ra)eOalipzaelrasas 
igiuoiennetesso 
poerna 
iopnoesl:inomios (x3 − 6x + 9) + 
= b)1 
e)f)) 
 
 
 
1 
x3 3x2 1 
1 
1 
− − x − 
− 
x3 d)+ 
x2 + x 
2 
4 
3 
2 
 
 
2x2 1 
3x2 1 
1 
(−+ 6x − 5) − 
(+ 1) + 
x3 3x2 x = 
2 
3 
2 
− − g)− 
4 
(−2x2 + 6x − 5)2 = (−2x2 + 6x − 5)[(3x2 + 1) + (x3 − 6x + 9)] (x − 2)3 − (x + 3)(x − 1)(x + 5) − (x − 1)(x2 + 1) − (x − 1)3 =  
1 
(4x5 − 3x3 + 2x + 1) : (2x3 − x + 2) (2x5 − x2 − x − 1) : 
x + 
3 
2.22..HaTlaeoremadelResto.Fa 
toriza 
ión  a paraqueelpolinomio3x4 − 4x3 − 5x2 + ax + 6 seadivisibleporx − 23.Hala . a paraqueelpolinomiox5 + 3x4 − 2x3 − 7x + a seadivisibleporx + 34.Hala . a yb paraqueelpolinomiox5 − ax + b seadivisibleporx2 − 45.Hala . a paraqueelpolinomio2x3 − x2 + 5x − a seadivisiblepor2x + 16.Hala . a paraqueelrestodeladivisióndelpolinomiox4 + ax3 − 3x2 − ax − 3 porx + 3 seaa + 17.Hala . a paraquealdividirelpolinomiox2 + ax + 3 entrex − 2 yx + 28.Hala ,losrestosseaniguales. a yb 
onla 
ondi 
ióndequeelpolinomioax4 + bx3 + 1 seadivisibleporx2 − 2x + 19.Cal 
ulapordospro 
edimientosdistintos,elvalornuméri 
odelpolinomiopara . x = 310.eDse 
s 
aodmapuónnoedneflao 
stporreos 
eedlipmoileinntooms.io .Indi 
a 
uál P(x) = x4 + 3x3 − 8x2 − 12x + 1611.Des 
ompónfa 
torialmenteelsiguientepolinomio . P(x) = 2x3 − 3x2 − 9x + 1012.Des 
ompónfa 
torialmenteelsiguientepolinomio . P(x) = 2x3 − x2 − 2x + 113.Halalasraí 
esenterasdelpolinomio . P(x) = x3 − x2 − 4x + 414.Halaunpolinomiode 
uartogradoqueseadivisiblepor . x2 − 4 yseanuleparax = 1 yx = 315.Halaunpolinomiode 
uartogradoquetengaporraí 
es . 
−2,03 y416.Cal 
ulalasraí 
esdelpolinomio . P(x) = x3 − 5x2 + 3x + 917.Da)es 
ompónenfa 
toreslospolinomios: . P(x) = x4 − 3x2 + 2 b)Q(x) = 4x3 − 16x2 + 9x + 9 
)R(x) = x3 − 6x2 + 12x − 8 d)S(x) = x3 + x2 − 6x 13
19. 18.Ca)al 
)a)¾Cuántohandevalerulalasraí 
esydes 
ompónenfa 
yparaquelasiguientedivisiónseaexa 
tores: b)d)ta? 
P(x) = x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 3 Q(x) = x3 + 3x2 + 4x + 12 
R(x) = 2x3 − 3x2 S(x) = 2x2 − 13x − 7 a b (x4 − 5x3 + 3x2 + ax + b) : (x2 − 5x + 1) b)¾Cuántohandevalera yb paraqueelrestodeladivisiónsea3x − 720.Bus 
aunpolinomioqueseadivisiblepor ? x − 1,porx − 3 yporx + 321.Caal) 
ulaelmáximo 
omúndivisoryelmínimo 
omúnmúltiplode 
ada.parejadepolinomios: P(x) = x2 − 4 y Q(x) = x2 − 4x + 4 b)P(x) = x4 − 7x3 + 12x2 y Q(x) = x5 − 3x4 − 4x3 
)P(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 y Q(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 22.aD)elossiguientesparesdefra 
y ionesalgebrai 
as,di 
uálessonequivalentesy 
uálesno: x − 2 
x2 − 4x + 4 
x + 2 
x2 − 4 
b)x + 1 
x − 1 
y x2 − 2x + 1 
x2 − 1 
)a + b 
a − b 
y a2 − b2 
a2 − 2ab + b2 
d) x 
x + 1 
y x3 + x2 + x 
x3 + 2x2 + 2x + 1 e)2x − 1 
3x − 2 
y 2x2 + x − 1 
3x2 + x − 2 
f) x 
x + y 
y x3 − xy2 
23.aO)peraysimpli 
a: x3 − xy2 − x2y + y3 1 
e)1 
: 
x2 − y2 x − y 
= x − 2 
= b)1 + 
x − y 
x + y 
= 
) 1 
g)1 
2(x + h) − 
2x 
xz − z 
= y2  
i)h 
=  
d) x − y 
3 
= x2 − y2 
9 
k)x2 
x − 2 
2 − x − 
x2 − 4 − 
x + 2 
=  
= f)xy − x 
y 
: 
m) 3 
x 
x − 
3 
= 2 
 
: 
 
1 
x 
+ 
1 
3 
 
= h) x + 1 
(x − 1)2 · 
x2 − 1 
x 
ñ) 1 
x + 
x 
= x 
 
: 
 
x − 
1 
x 
 
· (x − 1) = j)2 
x 
: 
 
1 
x 
: 
1 
x − 1 
 
p) x − 1 
3 
5 
+ 
x2 x − 
x − 4 
= 4x 
 
· 2x2 = l) x − 1 
(x − 2)(x − 3) 
+ 
x − 2 
(x − 1)(x − 3) 
+ 
x − 3 
(x − 1)(x − 2) 
x − 1 
+ 
x − 3 
x2 + x + 1 − 
3x2 
x3 − 1 
= n) 1 
x2 − 9x + 20 − 
1 
= 14 
x2 − 11x + 30 
+ 
1 
x2 − 10x + 24 
x3 − 1 − 
1 
x2 + x + 1 − 
x + 1 
x − 1 
= o) x2 − 1 
x2 + 4x + 4 · 
3x + 6 
x2 − 2x + 1 
x2 − 1 · 
x2 + 2x − 3 
x + 3 
= q) x + 1 
x2 − 2x + 1 
: 
x + 2 
x − 1
24.aO)peraysimpli 
a: x2 − 1 
x2 − 4 
e)x + 1 
: 
x + 2 
= x − 
= b)3 + x 
x2 : 
 
1 
x 
+ 
1 
3 
 
= 
) 
g) 1 + 
= x 
1 
x 
 
: 
 
1 − 
1 
x 
 
= d)x + 1 
3x − 2 
 
1 
x − 
4 − 5x 
x2 
 
1 
x 
i)x − 1 
x 
=  
= f) x 
1 − 
1 − x 
1 + x 
j)1 + x 
+ 
1 − x 
x 
=  
l)x 
1 + x 
1 − x − 
x 
= x3 − 1 
= h)x − 2 
x − 3 − 
x − 3 
x − 2 
1 
x − 3 − 
1 
x − 2 
1 + x 
1 − x − 
1 − x 
1 + x 
 
: 
 
1 + x 
1 − x − 1 
 
1 − 
1 
1 + x 
 
n) 
x3 − x 
x2 − x + 1 
x2 + 2x + 4 
x3 + 1 · 
: 
x2 − x 
x3 − 8 
= x + 1 
= k)a2 − 2ab + b2 
x2 − y2 : 
a − b 
x − y 
o) x : 
− 1 
x3 + 1 
x + 1 
= 1 + x 
= m) 
x2 − x + 
1 
x − 
1 
x2 
 
: 
 
x − 1 
1 
x 
 
x − 1 
+ 
1 + x2 
1 − x2 
p)1 − x 
1 + x2 
1 + x − 
1 − x2 
=  
= ñ)x2 − 
x 
1 − 
x 
x + 1 
q)1 
1 + x + 
x2 
1 − x + 
1 + x 
 
 
 
 
 
9x2 + 4 
9x2 + 4 
3x 
2 
− 2 
: 
+ 2 
· 
: 
= 6x 6x 
3x − 2 
3x + 2 
 
 
1 
x2 + 1 
1 
x2 − 1 
− 
1 
x2 − 1 
1 
x2 + 1 
 
 
· 
 
x + 1 
x − 1 
+ 
x − 1 
x + 1 
 
· 
 
x2 + 
1 
x2 − 2 
 
= 
15
16
TEe 
muaa 
3iones,ine 
ua 
ionesysistemas 
3.11..aR)eEsu 
eluveal 
asiosingueiesntdesee 
upar 
iiomnese:roysegundogrado 5(x − 2) 
d)√2x2 − 2√6x + √18 = 0 e)(x − √3)(x + √15) − x2 + 3 = (x − √3)2 f)1 
g)x 1 
6 x 
3 − 2(x + 4) − 
− = 
− 5 
15 
(x + 1)2 3x2 − 1 
+ 2 b)(x − 1)(x + 5) + 
5x 
2 
= (x + 3)2 − (x − 7) 
) 
− 
3(x − 
2 
3 
) 
3.22..Ra)eEsu 
+ 
4 
2 3x 
2 − 9 
12 
= − 3x + 6 
6 − 
3x − 
3 
2 
3 
6 
 
13 − 2x − 2(x − 3)2 
= − 
1 
3 
4 
+ 
1 
2 
 
x2 − 2 − 
1 
2 
 
= 
x 
x2 − 5 
4 
h)x2 − 1 
3 
+ (x − 2)2 = 
x2 + 2 
eluveal 
asiosingueiesntbesie 
uuaa 
idonreasdbia 
usadradas: 4x4 − 5x2 + 1 = 0 b)x4 − 10x2 + 9 = 0 
)x4 − 9x2 + 20 = 0 d)x4 − 3x2 − 4 = 0 e)x4 − 5x2 + 4 = 0 f)36x4 − 13x2 + 1 = 0 g)x4 − 5x2 − 36 = 0 h)x4 − 4x2 + 3 = 0 i)25x4 − 26x2 + 1 = 0 3.Ra)esuelvelassiguientese 
ua 
ionesbi 
uadradasin 
ompletas: 3x4 − 12x2 = 0 b)7x4 − 63x2 = 0 
)3x4 − 75x2 = 0 d)x4 − 9x2 = 0 e)7x4 − 112 = 0 f)x4 − 81 = 0 3.34..Ra)eEsu 
eluveal 
asiosingueiesntiersre 
au 
a 
iioonneasilreras 
ionales: √x2 + 7 + 2 = 2x b)x − √2x − 3 = 1 
)√4x + 5 = x + 2 d)√x + 2 = x e)x − √169 − x2 = 17 f)x − √25 − x2 = 1 g)x + √5x + 10 = 8 h)√x + 4 − √6 − x = 2 i)√2x − 3 − √x − 5 = 2 j)2√x + 4 = √5x + 4 k)√x + 4 = 3 − √x − 1 l)√x − 3 + 2 = √2x + 2 m)√x + 4 + √x + 1 = 3 n)√x + 5 + √x = 1 ñ)√x + √x + 7 = 7 17
3.45..Ra)eEsu 
eluveal 
asiosingueiesntpesoe 
ruad 
ieonse 
s:omposi 
b)iónfa 
torial (x − 1)(x + 2)x = 0 = 0 x3 − 4x2 + 4x = 0 
)(x2 − 1)(x + 3)(x + 2) = 0 d)x4 − 81x2 = 0 e)8x3 − 2x2 − x = 0 f)x4 − x2 = 0 g)x3 + 3x2 + 4x + 12 = 0 h)2x3 − 3x2 = 0 i)x3 − x2 − 12x = 0 j)x3 − 7x2 + 14x − 8 = 0 k)x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 3 = 0 l)6x3 + 7x2 − x − 2 = 0 m)6x3 − 7x2 − 20x = 0 3.56..Ra)eEsu 
eluveal 
asiosingueiesntresae 
uioa 
nioanelse:s x + 1 
x − 1 
x2 + 5(x − 2) 
x2 + x − 6 e) x2 
g)3 
x 2 
+ 
x + 1 − 
− x2 − 1 
2x − 3 
x2 − 9 x2 − 8x + 16 
= 0 b) x2 
x2 − 2x + 1 − 
2x − 3 
x − 1 
+ 1 = 0 
)x + 2 
x − 1 − 
x + 1 
x − 2 − 1 = 0 d)1 − x 
x onunain 
+ 3 
b)ógnitax2 + x x2 − 4x + 3  0 x2 + x − 6  0 
+ 
2x 
x − 2 
= 
x2 − 2x + 1 
= 
2x + 3 
x − 1 
+ 3 f)x + 1 
x − 3 
+ 
x + 2 
x + 3 
= 
x − 6 − 
x + 4 
x − 2 
= 
16 
x2 − 8x + 12 
h) 1 
x2 + 3x + 2 
= 
2 
x2 + 2x − 
1 
3.67..Ra)eIsnueelv 
eulaas 
siigounienetsesdinee 
usae 
igonuesn:dogrado 
)x2 + 2x + 3 6 0 d)x2 − 6x 6 0 e)x2 − 3x − 10  0 f)x2 − 6x + 9  0 g)x2 − 3x − 4  0 h)3x2 + 5x − 8  0 i)4x2 − 16x + 16  0 j)8x2 − 6x + 1 6 0 k)(3x − 1)2 + 2x − (2x − 1)2 6 5 l)(2x − 5)2 3.78..Ra)eIsnueelv 
eulaas 
siigounienetsesdinee 
utai 
pionoesr:a 
b) ional − 17x  (x + 1)2 + 24 2x − 1 
x 
 0 1 − 3x 
g)6 0 
x − 1 
 0 x2 − 1 
)x + 2 
x − 4 
 0 d)x + 7 
2 − 3x 
6 0 e)2x + 3 
4x + 3 
6 0 f)6x − 5 
18 3x + 2 
6 4 
x + 3 
 0 h)1 − x 
x2  0 i)x2 − 4 
x2 − 1 
 0 j)9 − x2 
x2 − 1 
6 0 k)x − 1 
x + 2 
 3 l)1 − 
x 
x + 3
3.89..aR)eIsnueelv 
) 
eulaas 
siigounienetsespineo 
rua 
dioenses 
:omposi 
iónfa 
d)b)torial 3.910..aR)eSsuiesltveelmosasisguideneteses 
x3 − x  0 isuteam 
aisodneee 
sual 
iionneesallineesales: x3 + 2x2 + x  0 
x4 − 1 6 0 x3 − 2x2 − 5x + 6  0 = 3 e) 
 
x − 1 
3 − 
y 
6 
= 1 
x 
7 
+ 4y = 25 
b) 
5(2 − x) + 8y = 3 
3x + 3(2y − 2) = 9 
) 
 
x + 1 
3 − 
y − 1 
2 
3.1110..aR)esuSeilvsetleosmsiagusiendteesseis 
= 1 
7x − 4(x + y) = 4 
2(x − 3y + 5) − (2x + y) = −2y d) 
 
x + y 
2 − 
x − y 
3 
= 3 
x + 2y 
3 − 
x − 2y 
4 
 
3x − 2y 
5 − 
2x − 4y 
3 
= 
x − y 
2 
+ 1 
21x − 15 = 13(2x − y) + 45 
f) 
 
2x + 3y 
4 − 
y + x 
3 
= x 
teumaas 
idoene 
euas 
inonoeslnionlienaealleess:  
5x + 7y = 61 
x · y = 8 
b) 
6x − 5y = 14 
x · y = 72 
) 
x − y = 2 
x · y = 48 d) 
x + xy + y = 11 
x · y = 6 
e) 
xy + 2y = 4 
3x − y = 5 
f) 
5xy − 3x = 84 
2x + 7y = 35 g) 
x2 + y2 = 25 
x + y = 1 
h) 
x2 + 3xy − 2x + y2 = 3 
2x − y = −5 
i) 
x · y = 2 
x − y = 1 j) 
2x2 + y2 = 22 
x2 − y2 = 5 
k) 
2x2 − y2 = −2 
xy = −2 
l) 
8x = y2 
2x − y = 8 m) 
x2 + y2 = 10 
x · y = 3 
n) 
x2 + y2 = 41 
xy = 20 
ñ) 
x2 + y2 = 5 
xy = 2 o) 
x − 2y + 8 = 0 
x2 − y2 + 5 = 0 
p) 
2x2 − 5y2 = 52 
3x2 − 7y2 = 80 
q) 
x2 + y2 = 100 
x − 7y = 50 r) 
x2 − y2 = 16 
3x − 5y = 0 
s) 
y2 = 4x 
x2 + y2 = 32 
t) 
x + y = 13 √x − √y = 1 19
20
TCeáml 
au4lologarítmi 
oye 
ua 
iones exponen 
iales 
4.11..aC)aCl 
uolanl 
oespsigtuoiendteeslolgoagriatmroist,maploi 
adndeoluandennúi 
imón:ero log3 9 = b)log2 1024 = 
f))d)e)log2 8 = log 1 
9 = log 100 = log 1 
8 = h)log2 1 = i)log2 0, 5 = j)log2 0,25 = k)log3 243 = l)log3 
2.Ca)al 
o)p)q)r)s)3 
= log5 125 = log√4 = log216 6 = log9 3 = log4 √2 = 2 2 
k)f)g)l)h)i)j)= log0,5 4 = log√3 = log9 1 = log 10100 = √8 = 3 log2 log3 √3 = log 1 
1024 = g)log 1 
2 
1 
9 
= m)log 1 
3 
1 
9 
= n)log 0, 01 = ñ)log8 
1 
8 
ulalossiguienteslogaritmos,apli 
andoladeni 
ión: log2 512 = b)log3 27 = 
)log 0, 001 = d)log 1 
36 = 3.Ha)alalabasedeloslogaritmosenlassiguientesigualdades: loga 4 = 2 b)loga 9 = 2 
e)f)g))2 
4.Ca)al 
h)d)loga 625 = 4 loga 243 = 5 loga 256 = 8 loga 0, 125 = 3 loga 0, 001 = −3 loga 1 = 0 2 = e)log2 
1 
64 
9 
e)f)d)= −2 logx 0, 015625 = 3 logx 125 = 3 logx 3 = 
3 = m)log25 
1 
125 
= n)log49 7 = ñ)log 1 
6 
ulalabasedelossiguienteslogaritmos: logx 3 = −1 b)logx  = 1 
)logx 
5.aA)pli 
1 
9 
1 
2 
1 
2 g)logx 
1 
4 
l)= x log343 √7 = x 
21 
= 2 h)logx 2 = 
i)j)k)l)1 
2 1 
logx 0, 04 = −2 logx 4 = − 
logx 7 = −2 logx 
√4 3 = 
2 
andoladeni 
ióndelogaritmoresuelvelossiguientesejer 
i 
ios: 2x = 16 b)2x = 32 
)31/x = 9 d)log2 64 = x e)log3 81 = x f)log101 10201 = x g)log16 0, 5 = x h)log10 0, 00001 = x i)logx 125 = 
3 
2 
j)logx 
1 
3 
= − 
1 
2 
k)log125 
1 
√5
6.aC)al 
ulaelvalorde,apli 
andoladeni 
ióndelogaritmo: xlog 2 
√4 2 = x d)x = log3(3√3) e)x = log3 
= 7 l)log2/5 x = −1 7.Ha)alaelresultadodelassiguientesexpresiones: log5 125 − log3 243 + log4 256 = b)log3 1 + log2 64 + log3 9 + log7 49 = 
)log2 4 + log3 81 − log6 216 + log4 64 = d)log3 
i)81 
j)3 
16 
= x = log√81 x = 3/3 log√3/3 
= x b)log 5 
3 
27 
125 
= x 
)log8 
  
√4 3 
9 
! f)x = log81(3) g)x = log81 
 √3 
3 
! 
= h)x = log1/9 
  
√4 3 
3 
! 
  
√4 3 
4.28..SaPbiernodpoiqeuedadesdeloslogaritmos 3 
a) b),y,halaaproximadamenteelvalorde: 1 
− log2 0, 5 = 36 log 2 ≃ 0′3010log 3 ≃ 0′4771 log 7 ≃ 0′8451log 30 log 84 
! k)logx 
 
1 
2187 
 
e)f)g))1 
− log5 0, 2 + log6 
9 9.Sabiendoquea) ,, 
d)h)log 162 log 0′128 log 14′4 log √3 12 log 25 log 0′125 log 2 ≃ 0′3010log 3 ≃ 0′4771al 
ula: log 2, 025 b)log √5 0, 02 
e)f)g))h)d)log 
log5 4 log√0, 3 log 8 log 5 log 
10.Halaelvalordea) enestasexpresionesapli 
√0, 025 
3 x 11.Sabiendoqueel8 
 
a) 
12 
log 16 log k = 14, 4 
d)5 
12.Compruebaque log1/2 x log 
andolaspropiedadesdeloslogaritmos: ln x = ln 8 + ln 2 b)log x = log 36 − log 6 
)ln x = 3 ln 2 d)ln x = ln 3 + ln 2 − ln 6 e)log x = 4 log 2 − 
, (siendo1 
2 
13.Compruebaqueen 
14.Da)esarolalassiguientesexpresionesutilizandolaspropiedadesdelosl.ogaritmos: ualquierbase'a6= 1) loga 001 + 3 loga 100 − 4 loga 10 = 0log 
log 25 f)log x = 3 log 2 − 
1 
4 
al 
ulaelvalordelassiguientesexpresiones: log 
k 
100 
b)log(0, 1k2) 
)log 3 
s 
1 
k 
1 
a 
+ log√a 
log a3 = − 
1 
6 
a2b 
c 
b)log(a2b3c) 
)log 
d)a2√3 b 
√4 q 
c3 m 3 
n4 
log 
p 
m/n 
n 
e)log2 
1 
23x 
f)logx 
√x 
√3 x2 15.Ca)omprimelasexpresionesdemodoqueellogaritmoaparez 
aunasolavez: log x4 − log√xy b)log x − 2 log y 
)3 log x + log(1 − x) d)log x 
2 
+ 
log y 
4 
e) 
−log x − log y f)log xlog x 22
16.Ea)liminaloslogaritmosenlasexpresionessiguientes: log x + log y = 1 b)log x − log y = −1 
)4 log x − 3 log y = 2 d)2 log x 
3 − 1 = log y e)log(log x) = 1 4.317..Ra)eEsu 
eluveal 
asiosingueiesnteesxep 
uoa 
nioennes 
b)eixapolenesn 
yialelso:garítmi 
as 3x = 81 42x−1 = 
)2x+1 = √3 4 d)5x = 42 e)2x = 3 f)3x = 1000 g)3x + 3x+2 = 90 h)2x−1 + 2x+1 − 2x = 12 i)10x−2 + 10x−4 + 10x−6 = 10101 j)3x2 
o)m)n)k)1 
p)4 
l)ñ)q)−2x = 1 3x + 32−x = 10 23x−1 = √4 2 32x+2 − 28 · 3x + 3 = 0 3x+1 + 3x + 3x−1 = 39 24x − 22x − 12 = 0 52x+1 5x+2 2x2 
32−x2 
− = 2500 = 5 r)x)u)s)v)y)t)w)z)1 
= 
3 22x−1 = 3 4 · 2x+3 = 
4x−1 + 2x+2 = 48 2x−1 + 2x + 2x+1 = 7 2x+1 + 4x = 80 3 · 4x+1 − 5 · 2x−1 = 182 52x − 6 · 5x + 5 = 0 4x+1 + 2x+3 − 320 = 0 81+x + 23x−1 = 
17 
16 18.Ra)esuelvelassiguientese 
ua 
ionesexponen 
iales: 102+x = 1 b)2187 = 3x 
1 
512 
d))23x+2 = 4x−1  
−5 = 81 f)41−x = 0, 125 g)22x−3 = 
h)5x + 5x−1 = 6 i)3x + 3x+2 = 30 j)5x + 5x+1 + 5x−1 = 
m)1 
x 
ñ)2 
k)l)p)n)r)3x−1 + 3x+1 − s)q)o)3x = 189 2x−1 + 4x−3 = 5 t)v)2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 480 u)2x−1 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4 = 960 2x + 2x+1 + 2x−1 = 7 4x − 5 · 2x + 4 = 0 3x − 31−x = 4 52x − 30 · 5x + 125 = 0 4x − 3 · 2x+1 + 8 = 0 2x − 4−x = 0 3x + 9−x = 0 22x + 22x−1 + 22x−2 + 22x−3 + 22x−4 = 1984  
= 16 e)3x2 
1 
8 
31 
5 
7x+y = 493 
7x−y = 49 
w) 
3x+y = 729 
3x + 3y = 90 19.Ra)esuelvelassiguientese 
ua 
ionesysistemaslogarítmi 
os: log2(x + 3) = −1 b)loga a = x 23
)log 7 = log x + log 3 d)log7 
+ log7 5 = 2 e)log 2 + log(x − 3) = log√2x f)log(3x + 5) − log(2x + 1) = 1 − log 5 g)2 log x − log(x + 6) = 0 h)log(x + 2) − log(x + 1) = 1 i)4 log 
k)x 
5 
m)j)l)= 2 log x n)2 log2 x − log2(x + 3) = 2 log(x2 − 3x + 12) = 1 log√3x + 1 + log 5 = 1 + log√2x − 3 log(25 − x3) − 3 log(4 − x) = 0 2 log x = 4 + log 
ñ) x 
4 
− log 
3 81 
 
 x 
10 
( 
p)x2 − y2 = 99 
log x − log y = 1 
= 1 ( 
o) 
 
log2 x + 4 log2 y = 6 
log2 
x 
y 
x + y = 22 
log x − log y = log 10 
q)( 
2x+3 : 2y = 8 
log(xy) = 10 r)( 
log(x + y) + log(x − y) = log 145 
2x−12y+1 = 32 
s)( 
log(x + 2y) = log 50 
log x + log y = 2 + log 2 20.Ra)esuelvelassiguientese 
ua 
ionesysistemaslogarítmi 
os: log1/3 
√3 81 = x b)log2(2x − 1) = 3 
)log x + log 50 = 3 d)2 log x = 1 + log 
 e)2 log x = 2 + log(x − 16) f)log x − 1 = log(22 − x) g)3 log x = log 6 + 2 log x h)log x + log(2x) + log(4x) = −3 i)5 log x − log 32 = log 
 
k)j)11 
x + 
10 
 log(x − 2) − 1 = log 2 − log(x − 3) log(16 − x2) 
m)ñ) 
x 
2 
n)= log 1000 log(3x − 4) 
3 log x − 4 log 2 = 3 log 3 log(x − 53) + log(x − 5) = 2 log 2 + log(11 − x2) 
= 2 l)log(35 − x3) 
log(5 − x) 
log(5 − x) 
= 2 o)( 
x + y = 22 
log x − log y = 1 p)( 
log x + log y = 1 
2 log x − 3 log y = 7 
q)( 
log(x · y) = 4 
log x − log y = 5 
24
TPermogar5esiones. 
5.11..EsS 
ruib 
eelossi 
ounaterospdrimeernosútmérmeirnoossderleaasule 
essióndetérminogeneralan = 
n + 1 
n 2.Cal 
ulalosdiezprimerostérminosdelasu 
esióndetérminogeneralan = n2 + 3 3.Dadalasu 
esiónan = 
.Cal 
ulaa1,a5 ya114.Si . an = (−1)n(n + 1).Halalostérminosa2,a7 ya105.Cal 
ulaeltérminoqueo 
upaellugarquin 
eenlasu. 
esiónan = 
2 − n2 
n2 − 1 6.Ha)alalaexpresióndeltérminogeneraldelassiguientessu 
)2n2 + 1 
n + 3 
e)b)d)esiones: 1, −3, 5, −7, 9, . . . 1, 4, 9, 16, 25, . . . 
1, 2, 4, 8, 16, . . . 1, 4, 7, 10, . . . 1 
, . . . g)2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . h)1, 
7.Dadalasu 
2 
3 
4 
, 
, 
, 
2 
3 
4 
esióndetérminogeneral5 
, . . . an = 
, . . . f)5 
3 
, 
10 
9 
, 
20 
27 
, 
40 
81 
1 
2 
, 
1 
4 
, 
1 
8 
, 
1 
16 
2n2 + n + 3 
n + 1 
,halah sabiendoqueah = 
108 
8 5.28..Ca)aPl 
urloagelrteérsmioinnoegesneararlidtem 
aédatiu 
naasdelasprogresionesaritméti 
assiguientes: 1, 6, 11, 16, . . . b)1, 5, 9, 13, . . . 
) 
−8, −5, −2, 1, . . . d)2, 0, −2, −4, . . . e)3, 8, 13, 18, . . . f)1 
, . . . 9.Cal 
ulaeltérminoa20 10.Cal 
ulaeltérmino delasu 
11.Ca)ompletalostérminosquefaltanenlassiguientessu 
12.Da)elassiguientessu 
) 
b)esiones: 5 
3 
, 
, 
2 
8 
4 
, 2, . . . 7, 10, . . . , 16, . . . , 22, 25, . . . . . . , −3, −5, −7, . . . , −11, . . . 
−5, −3, . . . , 1, . . . , 5, . . . delasu 
esiónesión5,10,15,20,. a18 1, 
)esionesindi 
a 
uálessonaritméti 
3 
2 
d)b)asy 
uálesno: 5, 7, 9, 11, . . . 2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . 
1 
1, 4, 9, 16, 25, . . . 25 
2 
4 
, 
, 1, 
, . . . 3 
3 
3
13.Haal)laEllostrtiégrémsiminooseqnueseindi 
anenlassiguientesprogresionesaritméti 
as: 1, 6, 11, 16, . . . b)Elde 
imosextoen1, 5, 9, 13, . . . 
)Elvigésimo 
uartoen 
−8, −5, −2, 1, . . . 1145..HIa 
n))atleCClraipuneao 
ltloartoéteréntmrémruinmnionaionvspoigrseoénegstnirrmteersoei3óe5nynya2ur72nit5ampértoi 
ia2. 16.Haal)laLloass2u5mparidmeelroossttéérrmmininoossddeeunaprogresiónaritméti 
garelsoisóntéarrmitimnobést)iq 
Taureesisseentédirnomdeii 
lnaponsr:imenetrreté1r2myin-o27yladiferen 
aenlossiguientes 
asos: 3, 8, 13, . . . b)Loa22primerostérminosde42, 39, 36, . . . 
)Los40primerostérminosde1 
. . . 111789...H2C¾C4aaully 
láauenlllataodlsséau 
timsémurammodai2ne6do.lseoslho1as2ympqúrulietmipeslruoomssadtreérd5me9in 
laoosmpdpreoregunrnedsaiidóponrsoaegrnriettrsmeióé1nt0i 
a0ar0itym2é0ti0 
20.rLeasuslutmadaod1e064? 0a.sabiendoqueelter 
5 
3 
, 
, 
2 
8 
4 
paraobtener 
eroes 2, 8, 14, . . . omo n 21.Shaembioensdsoumqaudeo?númerosnaturales 
onse 
utivostomadosapartirde11es1715.¾Cuántostérminos a5 = 18 yd = 222.aySreliat 
mosnuéstmii 
daae.rdaenl 
1u6atrétromyineolsdde 
eimu,nohataeprl 
raoergloareesssuióm1n8aa.rdCietamll 
oéustlia 
naul.oesvLeaexpdtririfememreeornos 
.siatéernmtrienolossddeodsie 
xhtarepmroogsreessió1n6 2243..-HdC3eaalyllpaulrolilasmostterrsreeeossisynúpúletrmliimmseeoregosruso2nss4dat.obérieemsnidingoousqaudleealeustnteaárn 
pereronogmpreresonigóornsesa2iróiuntnmaidéritatidm 
aeésst.ia 
bai,enqudeosquuesulmosatreess1p8ryimqeureoslasusmumana 5.325..aE)nP 
ureontgrar 
eusáileosndeeslasgseigouimentéestrsui 
easiosnessonprogresionesgeométri 
as: 2, 
, . . . b)12, 20, 50, . . . 
)27, 45, 75, 125, . . . 26.Halaeltérminoduodé 
imodelaprogresión2, 4, 8, . . .27.Cal 
ulaeltérminodé 
imodelaprogresión . 1 
2298..rEDelestpteéerr 
mmtiiivnnaaomlseoénspttseii.metoedperimunearopsrtoégrrmesiinóonsgdeeomunéatrip 
4 
8 
16 
, 
, 
3 
9 
27 
26 
raogvarelesió2n43gyeolmaértarzió 
ans3i.lHosaldlaoselpprirmimereorstésromni3noy.4 1 
1 
, 
, 
, . . . 1000 
100 
10
3312..IInntteerrppoollaa 
30.lDuogsartéqrumeino 
iuna 
ousp 
torotétrémrminionsosenetnrtere74yy5103demodoqueformenunaprogresióngeométri 
aonnssei 
eultpivroimsedretuérnmaipnroodgreelsaiópnroggeroemsiéótnrie 
savalen6y8respe 
tivamente.Cal 
ulael 81 
32 a. 1 
8 
3334..H¾7C,aeulláaúntlttroiemsstonéúr4mm48ienryoosssuseenshupamrnoagtr8oe8ms9iaó?dnogdeoemudénetarmip 
raoodsgoarbeqsiueiónendfoogreqmoumeenéstuurni 
sauampsraaobgeiersen2sdi6óonyqugseueoepmlrépotdrriuim 
aet.ort2é1r6m.inoes 3365..epTLlrarietmessuret 
mréeorramoy,dinee9lo6lssouésepnsstitdiiáemantdeoeeptsnérmripmmraeoiynrgooorrs.eqstiuéórenmegilnesooemsguédtnerdiu 
ona.;aHepalrlsloaegglruoenssidnóonúmegseeor3om2s.éutnrii 
daaddeesrmazaóynor3qeuse7e6l5p1r.iHmaelrloa,eyl 3378..HeEHsnaa2llllu7aanvelaoels 
pteérásronmgeglruienmlsooiesónsndeoxergt.euoon.m 
éutarid 
rai,láltoesrot,érsmisineossabperimqueeroesytádne 
einmporqougirnetsoiósnonge6omyé5tr4i, 
areyspqeu 
teivealmmeanytoer. 4309..pEtUérlnrimmpareiopnrdrooouygy 
rteleoalsditsóeéunrmlmogasiensodoemeispélroptirsrmii 
dmeaoresotriopeesrnsitem2é.re 
mCrinoia 
snlo 
otusétlrédamremliauninonrsaaozsepó,srnol2agy4r.reeaHslziaótóélnnlramgeelsioonsmiog 
éusitnearx 
41.Cal 
ulalasumadelosinnitostérminosdelaprogresióngeométri 
alio 
taoat.éelarsmi 
giuunaaorlst.aaltpéarrmteindoevligpérsimimeor 5.44432...PUmanoPrda 
44.eq¾duCuerueóodmlsaao?aaldnetnbeareilnodrr?eelpsaergtiurnsedo10a0ñoli,tr3o5s0d0eeuvrinoosaenl1n0avladseijlatse,rp 
orosorqaoulbdneaelllreaummpnraainmaddseaerua5dv0aa5lad0retisea3on1ldgd.0aao0du0sonsesuyorlodqsau,diueonr.ealafposerermgsouannrad 
apoandgoeaslr,láolas3t0ue0nr0 
eterruiaárontrsgeuasl,loetnp 
0, 1; 0, aa.lr¾adCeuulnápnartiaemxsehrilbaaisñ 
01; 0, 001; 0, 0001; oihó,an3b,2rd5á0?e . . . aerraañqou,ee 
ta 
d.a¾Cvausáinjato 
otnatrednagráa2enlistaroldsamrálas 4465..p 
eSUsueentarámsnmnadabuoane 
i 
4487..2ElUpe6anns 
taoubidesnutnoaeóesnpeo5 
peh 
qaaleaui 
llt7aor 
gdheeaa,on?spq.loua¾riCe 
truaéeábrnpmetzooiannedourenmb4o5eesrdpá 
iiouea,dantredralaosrpeaesnñlioolsisón 
.lreoeUa 
pneruee 
mpdteaeeldoalilone3vo,mar6mri,líu9amn,l.eaq.t.urpmoeieedn 
tararadoz 
saeadndehí 
aoda,yids,yat¾aqvqnuiu 
aeiéjaeul?donenlg 
liautbugedalrlotdeonsandndráoe no 
áohtsr 
aebht 
roe 
ieóloseansslat.óhñsSeaoixenystidso 
5eei1apsvelromaollpavessiniaeótbtdeaaeerr6viá0oeer.nl?0bdn0¾oeú0Qlremesuau.eélrrCaoo 
aasmd.dneiaAttiaádldra 
lbadadobetploeilaesúdnglqaeeturitmdoeroneohsseapáanyrrñebteo 
onoistolaesl,aeslylpvmoaerssáinímssdseeiuqiórsu 
aeaepsrlilaovlaaapm,amieenitenttanaerldtraieioo.dsúr¾e?.lCtpLimuraeáa 
n,itolyao; elnúmerototaldeárboles. 27
49.Unmóviltieneunavelo 
50.vDealod 
aidlaadsue 
nes1i5ónm/s.¾C 
uidáladseirnái 
laialvedleo 
1i0d0a0dmal/s 
.abCoaddaes1e0gus,nd20osyyde30fosr?mauniformedisminuyela b2 − 1 
5521..S¾lSaQeevudlaeéelnjoaaz 
ab))ECsatlu 
duauarendarpuadrlni 
udliaaeslitséertmraintaodne-éusinmaop.rogresiónaritméti 
,dondeosaamynepi 
znetauliorlyátevaee9dnr,te8ies 
ldmaeol/m 
uste.nan¾avtCoeaulbhtáouantr 
aoesgeuonmnéútrmi 
ear.onatural. lait 
b2 + 1 
b2 + 3 
, 
, 
, . . .b b 
b 
b 
53.Uanba)) 
¾¾éCCluuulááannstteaosrtei 
epémlruopldaousd 
heeabpbeorrárámaplait 
soaasbrisop 
adareaduaqnu1a0ehesoexrgiasutnaydn1o01s2:m8i 
teaio?adtaeirer4mibmpao,y 
taoernnd 
uaarndáaaevnbeolaotle 
iadsnuazbdaerdleala1ma3li7tt,ua2dramdm/esál.axSiamil 
taua?rdaaasnegteurniodro. néulutolas?s? 
28
GBELOOMQUEETRIIÍIA 
29
Cuaderno4eso b12 13_2
TTermigaon6ometría 
6.11..aE)xMpreesadriednarasdidanees:ángulos 1◦ b)120◦ 
)45◦ d)210◦ e)280◦ f)1120◦ 2.aE)xpresaengradossexagesimaleslossiguientesángulosexpresadosenradianes: 2 
3.Ordenademayoramenorlossiguientesángulos: rad. 
4.Determinaeláreadeunse 
5.Cal 
ulaengradosyenradianeselsuplementariodel 
tor 
ir 
ular 
uyoángulo 
entralmideomplementariode.unángulotoradianes3 
6.2. 6.HalaelvalordeRazonestrigonométri 
. enlossiguientestriángulosre 
as.Rela 
ionesentreelas ; /7 . PSfragrepla 
ements 33◦15′ = 2/7x rad. b)5 
4 
rad. 
)18 rad. d)1 rad. e) 
− 
 
3 
rad. f)7 
2 
1 radián;  radianes; 30◦24′; ángulore 
tángulos: 
b)45◦ 
20 
tángulo 
uxyahipotenusa 60◦ 
15 
rad 
130◦ 3/4 10 
30◦ 
78..DIamn)eiddtiee 
ram3ei 
lnm 
aulyaaxdsurrnaaonztodeneeasslutqsrui 
geaotpneeotrmotseéntmreii 
deaens1d 
ae 
dmloa.sudnoosdánegluoslossigdueiuenntterxsiáánngguulloosr:e 
)3507◦ d)11/3 rad e)7/3 rad f) 
−135◦ 9.aIn)di 
a,sin 
al 
ularsuvalor,elsignodelasrazonestrigonométri 
asdelossiguientesángulos: 179◦ b) 
−120◦ e)68◦ f)235◦ 10.Sabiendoque esunángulodel 
yal 
ulalasrestantesrazones −18◦ 
tg x = −12/5 x ∈ IV 
)342◦ d) 
uarto 
uadranteyquetg  = −211.tSraigboiennodmoéqturie 
as. , 
al 
ulalasrestantesrazones  esunángulodelsegundo 
uadranteyquesen = 1/312.tSriigonométri 
as. , 
uadrante.Halasen x ycos x13.Si . tg x = 
4 
3 
, 
al 
ulalasdemásrazonestrigonométri 
aspara  x  
3 
2 
31 .
15.Ídemsi 14.Ídemsiy . sec x = −3   x  
cotg x = − 
 x  16.Si . cosec x = −5/3 y   x  
17.Sabiendoque ,halalasrestantesrazonestrigonométri 
as. sen 5◦ = 0, 0875 trigonométri 
asde (aproxima 
18.Hlaa)asldlaelelánánguguloloddaedlop:rim.er 
3 
2 
3 
iónporredondeoalasdiezmilésimas), 
al 
ulalasrazones 4 
175◦y  
uadrante 
uyasrazonestrigonométri 
as 
oin 
idanenvalorabsoluto 
on 
b)2 
19.aH)alasin 
32 
) 
d)e)f)−86◦ 400◦ 
150◦ 230◦ 300◦ 2329◦ al 
uladora: sen 330◦ b)sen 180◦ 
)cos 330◦ d)sen(−120◦) e)sec(−270◦) f)cotg 4500◦ g)cosec 2700◦ h)sen240◦ i)tg 315◦ j)tg(−30◦) k)sec(−180◦) l)cos 1800◦ m)cos300◦ n)tg 150◦ ñ)cos 120◦ 20.Sisen = 3/4 y a) esunánguloagudo,hala: sen(90◦ − ) b)cos(180◦ − ) 
)tg(−) 21.Sicos(180◦ − ) = −1/3 y a) esunángulodelprimer 
uadrante,hala: sen b)cos(90◦ − ) 
)tg(−) 22.Dadounángulo medidoenradianesydelprimer 
a) b))uadrante,se 
ono 
ed),hala: sen  = 
cos  sen( − ) 
sen( + ) sen 
 23.Dadounángulo delsegundo 
24.Sia) ypertene 
)d)1 
4 
 
3 
sen( + ) tg ( + ) tg x = 2 x 2 −  
a) b)uadrante,se 
ono 
e,hala: 2 
cos  = − 
5 
sen cos( + ) 
ealprimer 
uadrante,hala: tg(90◦ − x) b)tg(360◦ + x) 
)tg(180◦ − x) d)tg(−x) e)tg(180◦ + x) f)tg(270◦ + x) g)tg(270◦ − x) h)tg(90◦ + x) 25.Cono 
iendosen 11◦ = 0, 19 ycos 11◦ = 0, 98a) , 
al 
ulaelseno, 
osenoytangentede:  = 79◦ b) = 101◦ 
) = 169◦ d) = 191◦ e) = 259◦ f) = 281◦ g) = 349◦ h) = 371◦ 26.Ca)ompruebalassiguientesidentidadestrigonométri 
as: sec2  + cosec2  = sec2  cosec2  b)(sen  + cos )2 = 1 + 2 tg  cos2  
)cos  + tg  
e)g)f)h) 1 + cotg2  cos2  = 
(cosec x + tg x) cos x = sen x + cotg x tg a + tg b 
sen2 a − cos2 b = sen2 b − cos2 a = tg a · tg b i)1 + tg2 x 
k) cos  tg  
1 − tg2 a sec  − cos  
= cotg  + sec  d)sen2  = 
1 
cotg2  
1 + cotg2  
cotg a + cotg b 
cotg x 
= 
tg x 
cos2 x 
j) sen a · cos a 
cos2 a − sen2 a 
= 
tg a 
cosec − sen  
= tg3  l)cos2 x − sen2 x = 
cos2 x 
1 + sen x − sen2 x 32
27.Sai)mpli 
alassiguientesexpresionestrigonométri 
as: sen3 a + sen a · cos2 a b)sen a 
)cos3 a + cos2 a · sen a + cos a · sen2 a + sen3 a d) cos2 a 
e)1 
tg a 
1 − sen a (1 − cos x)(1 + cos x) 
sen x 
f)cos4 x(1 + sen x) 
(1 − sen2 x)2 g)sen4 x − sen2 x · cos2 x 
cos4 x − cos2 x · sen2 x · cotg x h)√1 − sen a · √1 + sen a 
√1 − cos a · √1 − cos a i)(1 − tg2 a) sen a · cos2 a 
(cos2 a − sen2 a) tg a 
j) cosec a 
1 + cotg2 a k) 
sen x − 1 
cosec x 
 
+ cos2 x 
cos x + cotg x 
cos x 
 l)sec2 a + cos2 a 
sec2 a − cos2 a 6.328..HaEla 
utoado 
siloosnáensgultorsigonométri 
as x a) talesque: tg x = 1 b)cos x = −1/2 
)tg x = √3 d)sen x = √2/2 e)sen x = cos x f)sen x = 0 g)sen x = −1/2 h)cos x = −1 i)tg x = 0 j)cos x = −√3/2 k)cos x = −1 l)sen x = −√2/2 29.Ha 
iendousodela 
al 
uladorayredondeandoalosminutos,resuelvede0◦ a360◦ ea 
)ua 
ionestrigonométri 
as: lassiguientes sen x = 0, 5432 b)sen x = −0, 3714 
)cos x = 0, 7321 d)cos x = −0, 1238 e)tg x = 1/5 f)tg x = −1/3 g)sec x = 7 h)cosec x = −4 i)cotg x = −0, 3 30.Ra)esuelvelassiguientese 
ua 
ionestrigonométri 
as: sen(2x + 1) = 
 
= √3 d)sen2 x − 2 cos2 x = 1 e)sen x + cosec x = 
k)g)i)1 
f)2 
h)j)6.431..ReRsueelsveollous 
siigóuinentdesetritárngiáulnosgrue 
ltoánsgurloes 
(tángulos l)5 sec x − 4 cos x = 8 5 cos2 x + sen2 x = 2 7 sen ,x eslahipotenusa,+ 4 cos2 x − 2 = 0 2 sen2 x + cos x = 1 sen2 x − cos2 x = 1/2 3 cos2 x = sen2 x 2 sen2 x + cos2 x = 1 ysonlos 
A = 90◦a b c b)sen 
 
5x − 
 
3 
 
= − 
√3 
2 
)tg 
 
x − 
 
5 
5 
2 
atetos,B eselángulosopuestoalladob yC elánguloopuestoalladocada)tos: )delosque 
mym b)ono 
emoslossiguientes a = 10 
b = 6 
a = 15 
myB = 32◦12′ 
e))mymyd)myb = 12 
B = 72◦10′ b = 7 
C = 23◦15′ b = 15 
c = 20 
m f)Laalturarelativaalahipotenusaha = 5 
myB = 35◦20′ 33
33.CCmaaálls 
34.Desdeloaltodeunfarode35.mdealtura,seveunbar 
32.A30metrosdelpiedeuna 
35.DrCaaeytlo 
esurmldaeinllaasodllaisstloaobnnr 
uualllaatallaabaaajlltotuuurraanddáeengulaunl 
geiiateuladhlodareiqzluoaenstsoeemeesbnrd 
oehddiime 
einoe,as.idesdeelsueloyaseuvnealdaisptaunn 
himeneadefábri 
a aueeqnuterapreolybea 
obajounángulodedepresióndetiaaddeeéssutap,iebdaejo30unmá,nsgeuvleoldaeparte. 68◦42◦18◦36.áDnegsudleoldaeoriladeunrío,sevelaparte.másaltadeunárbolsituadoenlaotraorila,bajoun .sinosalejamosdelaorilaendire 
rt 
ao.unárbolde7mdealtura,silaeleva 
iónperpendi 
ular25m,elánguloesahorade 
ióndelos. 23◦25◦20◦37.Daletos.ddDeeeuutnenrbmfaairrn 
oaoslisatiutauanad 
dohousoarba1rd0e0eulmnríaod 
.eanlatil 
aodsota, 
yonenánpgeruploesnddie 
uelleavraa 
ieólnlad,esevelabaseyelpuntomás 22◦ y25◦ 3389..LCDaaestl 
edurimlaagineolanralaaledsaioldt,uelrauanadpreooltmefambrooa.myiedleánre5a2dye6u6nmo. 
tHóaglolanolorsegáunlgaurlodsey10el 
lmaddoe.lado.respe 
tivamente. 40.HalalalongituddeuntúnelAB PSfragrepla 
ements queatraviesaunamontaña,sabiendo: 
3 km 
500 m 700 m 50◦ 
B 41.D 
oomsu 
nire 
suensfedreen 
iasse 
antestienenderadios6 
my8 
m.Elánguloqueformansusdostangentes 30◦42.Desde 
iertopunto.Cdeall 
suulealolasedivsetaenl 
piaunqtuoemhaáyseanlttoredleosundaosto 
ernetrfoosrmdeanladso 
uirn 
uánnfgeurelon 
dieas.30◦ 
lahorizontal.Sinosa 
er 
amos75mha 
iaelpiedelatore,esteángulomide 
70◦ 
43.dEdeenl 
uaonnttoirnrorslet.adnetleaedraodpou,eerltoalmtímedeitarnotedeunuanaviasvuiaolnqeutaerfeogrmistaraun10á9n5gmuloddeealtitud.Elp.A 
ilHotaolavelalaatltourrrae on 44.dDiesstdane 
eilapduenltaoemroepduioerdteolvaudeilsataenl 
aipaaernattroe?dostores 
60◦81◦ 
onlaverti 
al.¾Aqué A yBsuperioresson ,losángulosdeeleva 
ióndesusextremos 30◦ y60◦ respe 
tivamente.SiA tieneunaalturade40m,halalaalturadeB distan 
iaentrelastores. yla 
34
FBULNOCQIUOENIVES 
35
Cuaderno4eso b12 13_2
TFeumna 
i7onesrealesdevariablereal 
7.11..DeClaosnsi 
gueiepntteosgdráe 
afsu,n¾ 
uáiólesndeelasno 
orespondenaunafun 
ión? 
PSfragrepla 
ements 
a) b) 
) 
d) e) f) 
g) h) i) 
1 
1 1 
1 1 1 
2.Consideremoslafun 
ióndadaporf(x) = 
a)Lasimágenespara , 
al 
ula: x = 2,x = −5 yx = 
1 1 1 
2 
5 b)Losoriginalesparay = 0 ey = 63.Si 
2x 
x − 1 
)Dominiodelafun 
ión. . f(x) = √x + 3a) ,hala: f(1),f(0),f(−2) yf 
 b)¾Cuántovalef(−4)?¾Pertene 
e 
−4 )Cal 
ulalosoriginalesde aldominiodelafun 
ión? 3,5 yde2 
d)¾Cuáleseldominiode 
− ? 26 
9 
3 37 
f
ementsd 
4.Dae)laCsasli 
b)En 
guuliaentesfun 
uentralosvaloresde ,ionesdadasporsugrá 
PSfragrepla 
,yparalosque. a: f(−3)f(0)f(4) f(3)x f(x) = 2))ECsatlu 
udliaaelald 
oomntiinniuoidyaldadimelaagefunn. 
ión. . dhgfe)))))I I I i) 1 
1 
dhgfei)))))) idoandjuyntao 
iomtaa 
gieónn,.intervalos 6. 
Dióaibn)u:jalasgrá 
1 
PSfragrepla 
emen5.tsOdaeb) 
sererv 
aimlaiesngtroáy 
da1es 
dree 
liamsiseingtuoi,enextetbsr)efmuno 
siorneleastiyvodsetyeremstiundaiasusudo 
moni 
nt)iion,u 
as1 
orespondientesalasfun 
iones1 
onlas 
ara 
terísti 
asquese 
itana 
ontinua- Dom(f) = (−∞,−2]∪[2,+∞); Im(f) = (−∞, 2]; máximosrelativosenlospuntos(−3, 2) y(3, 2)b) . Dom(f) = R; Im(f) = (−3, 2); mínimorelativoenelpunto(−2,−1) enelpunto ymáximorelativo (0, 1)) . Dom(f) = (−∞, 0); Im(f) = (1,+∞) d) yestri 
tamente 
re 
ienteentodosudominio. Dom(f) = R − {0}; Im(f) = R; estri 
7.Ca)al 
de 
re 
ienteen tamente 
re 
ienteenyestri 
tamente (−∞, 0) (0,+∞ 
ulaeldominiodelassi.guientesfun 
iones: f(x) = x3 + 3x b)f(x) = −5 
)f(x) = 2x + 4 d)f(x) = − 3 
j)2x + 3 
x2 + 2x − 3 f(x) = 
e)f(x) = 
3x − 1 
x2 − 8x 
f)f(x) = 
x2 − 3x 
x2 + 5x + 7 g)f(x) = 
3x 
x2 − 9 
h)f(x) = 
1 
x3 − 2x2 
i)f(x) = 
2x − 1 
2x + 5 
x2 − 1 
k)f(x) = 
3x + 2 
x3 + 3x2 − x − 3 
l)f(x) = 
x2 − 5 
x2 + 1 m)f(x) = √2x n)f(x) = √3x − 2 ñ)f(x) = √2 − 3x o)f(x) = √x2 + 2x − 3 p)f(x) = √x2 − 1 q)f(x) = √x2 − 2x 38
r)f(x) = √2x2 + 4x + 2 s)f(x) = √x2 + 2x − 8 t)f(x) = √x2 + 4 u)f(x) = 
x)s 
x + 4 
x − 3 
x − 2 
3x + 9 f(x) = 
v)f(x) = 
1 
√x − 1 
w)f(x) = 
s 
s 
4x + 3 
x − 1 
y)f(x) = 
s 
x2 − 25 
x + 2 
e)d)y = 2x y = − 
z)f(x) = 
√x + 2 
7.28..eaRj)eeFps:ruesnen 
tiaolnasessiguliiennteesarlee 
b)stas, 
al 
ulandodominio, 
)onjuntoimagenypuntoxs−de1 
ortes 
onlos y = −3 y = 0 
y = 
3 
dhgfe)))))a) b) 
2 
daeplaarsare 
atdaasudnelaeljaero 
ir 
dieonaandtaereinor.el 1 
4 
x f)y = −3x + 1 g)y = 2x − 4 h)y = − x + 1 
PSfragrepla 
em1en90..tsLDoraiisg 
eugnár,állea 
saplsaenspdigeiunenidetineetneetsein 
ydoirl 
araeosspridosenondnaedn 
areae 
nifeunenlt 
eoisorniogeedsnel 
idnreee 
a 
ilaeendst.aeIsun:ndai 
2 ) i) 1 
1 
11.aR)epresentagrá 
a1mentelassiguientesfun 
iones: f(x) = 
 
 
2 six ≤ 3 
x − 1 3  x ≤ 8 
7 si8  x 
b)f(x) = 
 
 
x 
2 
six ≤ 4 
−x + 3 si4  x 
)f(x) = 
 
 
x − 2 
3 
six ≤ 2 
2x si2  x ≤ 3 
0 x  3 
d)f(x) = 
 
−2 six  3 
2 12.Representaenlosmismosejeslasre 
tas x  6 y = 2x,y = 2x+2 ey = 2x−413.qdUuenerrede 
eptpaaesrntpiddaeorardleedlleanspú?mereiórdoi 
doesp 
eorbiórdai 
uonsare 
paanrttididaodsajaradzóianridaed0e,192eeuurrooss.mp¾oáCrsópumenroaiósd 
oain 
nolt.aidsapdenvdaireianbteles a)Es 
ribelafun 
iónquepermiteobtenerla 
antidada 
obrar(y) periódi 
osrepartidos enfun 
ióndelnúmerode (x)db 
)))¾SSPiiuu 
ienedrdetoía 
odrbíearpaharartue 
no1bd2rí5aadp1oe6r,1.i8ó96,d3ei2 
uoresou,sr¾?o 
su,á¾n 
tuoán 
otobsrapeersieóddií 
ao?sharepartido? 39
14.Porlaen 
uaderna 
ión e2u0ar0)o.sAEd.inRep 
neaudsrepotnoirtdnreddaleenlaalúamfsluae2snr0 
sod0iiógednpueláiieqbgpnuirántoegeasisnsnn,opaospsrseoddg 
raeuo 
nbéeatrsldaatpaesn.:rpe7 
áiegouinraoaspda 
eagdamraápusonsroelsaiin 
eerlne 
nmuúaemdneteraroneadl 
epiórpneá 
gdioienaausnntneloribiosruropedenreap0e,l0an2s- 15.Unba)dCCReauetpdoerrtaeamsheimonnraetandasadguereaám 
lodp 
neraeemxasibaeóonnnntoeo1s,e86ostfeerauuerr 
fouoessnl.. 
aióonfe.rtasiguientepor 
ab 
7.316..laRa)eFmpruoensneont 
)))hLREaaneyp 
eaurmeeesnpsettrnaretabsaalleag 
otianoílaan,seesxisgtrue 
raifádurogn 
iemunotasesdypraa 
a 
laaiumónn 
eon1qnt6ueexe%eiónsdntoae.sfIiunVndA 
ráoáttbaio 
liaóasns 
iq.ióu¾neC.eólmporea 
fieo 
taapeasgtoaramlaenfusuna 
one 
tarnosaInternet: limónenatnet,esreiogrúnyalassuhogrraás 
qau?ese .al 
ulandodominio,imagen,vérti 
eypuntosde 
ortesyestudia y = −x2 b)y = x2 − 3 
)y = x2 − 4x d)y = x2 + 4x + 1 e)y = −x2 + 4 f)y = x2 − 2x + 2 g)y = −x2 + 2x − 3 h)y = 2x2 − 10x + 8 17.Raep)resentalassiguientesfun 
iones: f(x) = x2 + 2x parax ∈ [−3, 2] b)f(x) = −2x + 1 parax ∈ (2,+∞) 
)f(x) = −3 parax ∈ [−2, 6) 18.Representagrá 
amentelafun 
iónf(x) = 2x2 a) yapartirdeelarepresenta: f(x) = 2x2 + 1 b)f(x) = 2x2 − 2 
)f(x) = 2(x − 1)2 d)f(x) = 2(x + 4)2 e)f(x) = −2x2 f)f(x) = −2x2 + 4 19.Ra)epresentagrá 
amentelassiguientesfun 
iones: f(x) = 
1 − x2 six  1 20.Halaa yb paraquelaparábolay = x2 + ax + b paseporlospuntosA(0, 4) yB(2, 2)21.lLaafuanlt 
uiróanenmetros,al 
anzadaporunobjetolanzadoverti 
almentedesdeelsuelovie.nedadapor f(t) = −10t2 + 20t,dondet ab))R¾Eenprqesueénitnastgarnáte 
aaml 
eanntzeallaafaulnt 
uiróane.mseálxtimiema?p¾oCeunásleegsuensdaoas.ltura? 
 
 
2 si
x  −1 
−2x −1 ≤ x  1 
x2 six ≥ 1 
b)f(x) = 
 
x2 six ≤ 0 
−x2 x  
)f(x) = 
 
2x2 − 2x six ≤ 2 
2x 2  x ≤ 4 
d)f(x) = 
 
 
x2 − 1 si
x  −1 
0 −1 ≤ x ≤ 1 
40
TÁelmgeab8radefun 
iones.Estudiode nuevasfun 
iones. 
8.11.. 
aRo)eFrptreue 
snoenn 
tialoosgnreájeess 
:amraendtei 
laassliegsuientesfun 
b)iones, 
al 
ulandodominio, 
onjuntoimagenypuntosde f(x) = √x f(x) = √−x 
)f(x) = √x + 3 d)f(x) = −√x e)f(x) = √x − 2 f)f(x) = √3 x g)f(x) = √3 x + 1 h)f(x) = 2 − √x − 2 i)8.22..Raas)eFípntruoestneans 
:tiaognráes 
amdeenteplraospsigourie 
ntieosnfuanl 
iiodnaesd, 
ailn 
uvlaenrdsoadominio,fi(mx)ag=en3,+pu√nxtosde 
ortesy f(x) = 
1 
x 
b)as y = log(x2 − 4) y = log(x2 − 6x + 8) 
b)f(x) = 
2 
x − 2 
)f(x) = − 1 
x + 3 d)f(x) = 
2x + 1 
x − 1 
e)f(x) = 
x + 1 
x + 3 
f)f(x) = − x 
8.33..aH)aFluanel 
dioomnineiosdeelxaspsoignuieennte 
sifaunle 
isoneys:logarítmi 
x + 2 )y = log 
1 − x 
1 + x 
d)y = log 
1 − x2 
x + 3 e)y = 
3x + 1 
e)2x + 3 
)d)y = ln(9 − x2) y = log(x2 + x − 2) y = log 
f)y = 
x − 1 
2x − 4 
g)y = 
3x − 1 
log2 x 
h)y = 
log3(x − 1) 
3x − 9 i)y = 
i)log2(2x − 4) 
2x − 16 
j)k)l)22x − 6 · 2x + 8 y = 31/x y = 3√x y = 4(x+1)/(x−1) y = 3 
j)y = 
log2 x 
log2 x − 1 4.Ha)alaeldominiodelassiguientesfun 
b)iones: x 1 
y = log(x − 3) y = ln 
− x + 2 
x2 + x − 2 
x2 + x − 6 
f)y = 
2x 
2x − 2 
g)y = 
4x−2 
16 − 4x 
h)y = 
3 
√4−x2 m)y = 
ln(x − 4) 
x − 5 
n)y = 
1 
ln x 
ñ)y = 
x + 1 
ln(x − 2) 41
5.aD)adaslassiguientesfun 
iones,halasugrá 
a: y = 2x−1 b)y = 3x−2 − 4 
)y = 1 + 2x d)y = 2−x e)= log2(x + 3) f)y = 1 + log3(x + 5) g)y = log2(x + 1) h)y = 3 + log2 x i)f(x) = 
8.46..DaOdapselarsafu 
ni 
oionneess 
si 
2x x  0 
x − 1 x  0 onfun 
iones.Composi 
ión f(x) = 
y g(x) = x − 2a)Dom , 
al 
ula: f yDomg b)f + g; f · g; 
7.Apartirdelasfun 
ionesrealesdevariablerealdenidasdelaforma: ysusdominios 
)ysudominio 
x + 3 
x2 − 1 
f 
1 
g 
f 
x −→ f(x) = 
1 
x − 1 
y x −→ f(x) = 
1 
x + 1 
aa)l 
Duolam:f yDomg b)f + g ysudominio 
)f − g d) ysudominio 3 · g ysudominio e)f · g f)f/g 8.Dadaslasfun 
ionesrealesdevariablereal f yg denidasdelaforma: 
x −→ f(x) = 
1 
x2 − 4 
y x −→ f(x) = 
x + 2 
x denelasfun 
ionesf + g,f · g yf/g 9.Dadaslasfun 
iones ysusdominios. f(x) = x2 yg(x) = √x,denelasfun 
10.Dadaslasfun 
iones iones,yysusdominios. f/g1/f 1/g 1 
f(x) = 
x2 − 1 
yg(x) = √x + 2 es 
ribelos 
riteriosydominiosdelasfun 
iones 
f · g yf/g11.Dadaslasf.un 
ionesf yg, 
al 
ulag ◦ f a) enlossiguientes 
asos: f(x) = 
13.Halala 
a) 
omposi 
1 
x − 2 
ióndelafun 
ión y,halay. g(x) = √xf ◦ g g ◦ ff(x) = 2x 
yg(x) = x + 2 b)f(x) = 
2 
1 − x 
yg(x) = 2x + 1 
)f(x) = 
onlassiguientesfun 
iones: g(x) = ln2 x b)g(x) = ln4 x 
1 
x 
14.Dadaslasfun 
a)( ionesb)(,yd),hala: g(x) = ln1/2 x f(x) = log2(x2 − 3)g(x) = 1 + 2x h(x) = log3(2x − 3)g ◦ f)(x) g ◦ h)(x) 
yg(x) = √x + 1 d)f(x) = 
3 
x 
yg(x) = 
1 
x − 3 e)f(x) = √x + 1 yg(x) = 
1 
√x + 1 
f)f(x) = 
2 
x − 1 
yg(x) = 
2 
x + 2 12.Dadaslasfun 
ionesf(x) = 
x + 3 
2x − 1 
)g(x) = ln√2x 
)(f ◦ g)(x) d)(h ◦ g)(x) e)(h ◦ f)(x) f)(f ◦ h)(x) g)(f ◦ g−1)(x) h)(h ◦ g−1)(x) 42
8.515..aD)aCdaosrlarsessigpuioenntedsefunn 
iioanesi,nhvalelarssua 
b)ooresfpuonnd 
ieinótnerer 
)eíp 
roí 
par(oo 
inaversa): f(x) = 4x + 5 f(x) = x2 + 2x − 3 
f(x) = 
g)x + 2 
x + 1 
17.aH)alalasre 
h)y = 3 − 3x+2 y = log2 x d)f(x) = 
2 − x 
x + 3 e)f(x) = √2x f)f(x) = x2 − 3x g)f(x) = √3 x − 1 h)f(x) = 
2x + 5 
x − 4 16.aD)adaslassiguientesfun 
iones,halasu 
orespondientere 
ípro 
a(oinversa): y = −1 + log2 3x b)y = 3x+2 
)y = 2 + log3 x d)y = 1 − 2x+3 e)y = 
ípro 
asdelassiguientesfun 
iones: y = log(x − 3) b)y = log2(2x + 1) 
d)log4(x − 1) 
)2 
e)y = log2/√3 x + 1 y = 2 + log3(4x2 + 1) y = 
f)y = 1 − log3 
x 
5 
m)4 − 3 log(x2 + 4) 
5 
8 y = 
f)y = 
g)j)k)h)i)l)p 
ln(x − 1) y = 1 − 4 log(1 − x2) y = 2x+1 y = 23−x 23 51−x2 
y = 2 + 10x+1 y = 3 − 2x−1 y = 
− 3 
2x+1 − 2 
n)y = 3 − 34x+1 ñ)y = ex+1 
43
44
ABpinénodmi 
ieoAdeNewton 1.aD)esarolalossiguientesbinomios: (a + 2b)4 b)(x + √2)5 
)(a1/3 + b1/3)5 2.aD)esarolalossiguientesbinomios:  
)(2xy + y3)4 3.aD)esarolalossiguientesbinomios:  
4.aD)esarolalossiguientesbinomios: 1 
2z + 
y3 
4 
b)4 (a − 1)8 (3x − 2y)4 
5 b)(x2 + y2)5 
5.aD)esarolalossiguientesbinomios: 3x2 + 2y3 
4  
4 b)  
1 
√2 
+ 
√2 
x 
!10 
) 
2x + 
y 
3 
) 
7.Halaelvalorde2 
√x 
So1l.u 
8.Halaelvalorde6.Halaelvalordex − pai)ones √√6 x − 
2 
(x + y)5 − (x − y)5 b)(1 + √y)5 (1 √y)5 )− − (3 − 2√3)3 − (3 + 2√2)3 2. a)a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4 x5 + 5√2x4 + 20x3 + 20√2x2 + 20x + 4√2 
a5/3 + 5a4/3b1/3 + 10ab2/3 + 10a2/3b + 5a1/3b4/3 + b5/3 32x5 + 20x4y3 + 5x3y6 + 
5 b) 
x3/5 − x2 
4 
) 
x2 
2 − 3y 
3. a)b))5 
x2y9 5 
1 
+ 
xy12 45 
+ 
y15 8 
128 
1024 
x10 + 5x8y2 + 10x6y4 + 10x4y6 + 5x2y2 + y10 
16x4y4 + 32x3y4 + 24x2y8 + 8xy10 + y12 81x8 + 216x6y3 + 216x4y6 + 96x2y9 + 16y12
b)1 
4. a)b))5 
45 
30 
105 
252 
420 
480 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
32 
8x 
8x2 x3 x4 x5 x6 x7 y4 a8 − 8a7 + 28a6 − 56a5 + 70a4 − 56a3 + 28a2 − 8a + 1 81x4 − 216x3y + 216x2y2 − 96xy3 + 16y4 
16 
360 
x8 + 
160 
x9 + 
32 
x10 
)16x4 + 
32 
3 
5. a)x3y + 
b))24 
8√x + x2 x − x2√x − 5x2√2 + 20x√x − 20x√2 + 20√x − 4√2 x12/5 − 4x19/5 + 6x26/5 − 4x33/5 + x8 
x12 
24 
9 
x2y2 + 
8 
27 
xy3 + 
1 
81 
6.x4 − 
8. 
7.x4y4 − 729x2y5 + 729y6 10x4y + 20x2y3 + 2y5 2 + 20y + 10y2 −156√3 
32√x 
x2 + 
64 − 
9 
16 
x10y + 
135 
16 
x8y2 − 
135 
2 
x6y3 + 
1215 
4 
46
SAopléun 
diio 
enaBrio 
B.11..a)Solu 
ionesdeltema1:Númerosreales b))1 
− 1 
2 
9 
h) 
−1 2.a) 1 
4.a)b))2 
d)5−7/4 24/3 √3 12 √3 16 
d)− 1 
9 e)1 
3.a)b)9 
b)215 21/3 35/4 
f)16 g)1 
5 
x5y4 
)s 
3 
2x d)3 
3 
25 5.a)2 √3 2 b)8√2 
)10√10 d)2a √3 a2 e)5a 
i)s 
h)2√a2 + 1 √4 25 
3 
5 
6.a)b)l)52a8b5√a 2[3]√3 √3 
e)23 f)3 
s 
s 
7.a)5 
)4 
b 
b)d)f)8.a)b)1 √4 4 = √2  √3 3 √3 4  √6 
√4 6  √5 10 √3 9  √6 100  √4 72 180√2 3√2 
f)√13 
6 
g)4 
) 
d)s 
1 
a 
a 
e) 3 
−3 √3 4 √4 4y 2 
g)h)i)d)e)f)2 √3 18 4√2 2 √1 
6 108 √a j)2 · 33xy3z6 5 p 
23x3yz3 k)2x3y7 
z2 
s 
x 
z 
4√2 
)1 
2 
9.a)b)a 
4 
b5 √6 2 1√2 128 
j)√6 3 k)3 √4 27 l)a2 12 
s 
)a 2√0 a 10.a)35√5 b) 
−22 √3 2 
)2√5 + √6 d)√3 + 2√2 47
11.a)7√3 2 b) 
12.a)13.a)b)b)) 
d)e)f)a 
b 4√6 4√3 + 2√10 
−1 38 − 12√10 √3 35 − 12√6 √√2 
4 3 4 s 
53 
2 
− 
45 
5 
14.a)i)j)3√5 + 6 2√5 − 3 5 √4 108 
)106 − 10a 
5 
√3 3a d)30ab − 9 + 10b 
45b 
s 
e)8 f)1 + 
2 
15.a)b)j)√a + b 2√16 + 2√2 
5 + 6 )2 √3 2 d)√3 25 e)√4 ab3 
f)g) 
b √2√3 + 3√2 
5 − √3 − 
2 
f)e) 
−5 + 2√6 x√x − x√y + y√x − y√y 
h)3 − √3 
2 
6 
b)√6 
3 
)2 − √2 
2 
d)√6 − 1 
3 
√6 
6 
g) 
− 
√3 + √5 
4 
h)√2 i)√6 648 
3 
f)31 
b 
a3 12 
) 
− 
7 + 2√10 
3 
d)5 − √2 
23 
1√5 x11 17.a)5√3 
x − y 
f)g)h)e)−2√35 2 3√2 4√6 
2 5 − g)√a + 1 h)x + y + 2√xy 
x − y 
i)2√2 
3 
j)√3 25 
10 16.a)ab 1√2 ab8 b) 1 
√6 a4b 
o)k)l)p)m)q)n)i)j)B.21..a)Solu 
ñ)3 √a 30 √3 + 2√p 
2 20 − √5 36 36 √7 √2 + √3 √3 )√8 a7 d)a 1√2 a e)4 
s 
s 
b7 
a2 
g)a 6 
s 
a5 
b 
h)a i) 1 
√4 a3 
j)1 
x 
2 
ionesdeltema2:Polinomios.Fra 
ionesalgebrai 
as 7 
6 
b)2√x 
x − y 
)√3 + 5√2 d) 
6 
)4x4 − 24x3 + 56x2 − 60x + 25 d) 
−2x5 + 25x3 − 71x2 + 90x − 50 e) 
−2x3 − 9x2 + x + 9 f)C(x) = 8x2 − 
g)x3 7 
35 
− 
x2 2 
− 8x + 
4 
x + 2 C(x) = 2x4 − 
b)1 
2 
x3 − 5x2 + 2x − 
37 
12 
1 
2 
, R(x) = −4x2 + 
3 
2 
2 
3 
x3 + 
2 
9 
x2 − 
29 
27 
x − 
52 
81 
,R(x) = − 
191 
243 2.a = −1 3.a = −75 4.a = 16 yb = 0 5.a = −3 6.a = 2 48
7.1890...5aa5== 03 yb = −4 P(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 2)(x + 4) 11.P(x) = 2(x − 1)(x + 2)(x − 5/2) = (x − 1)(x + 2)(2x − 5) 12.P(x) = 2(x − 1)(x + 1)(x − 1/2) = (x − 1)(x + 1)(2x − 1) 13.Raí 
essimples:1, −2, 2 14.x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 15.x4 − 5x3 − 2x2 + 24x 16.3esunaraízdobley 
−1 17.a) unaraízsimple. P(x) = (x − 1)(x + 1)(x + √2)(x − √2) b)Q(x) = 4(x − 3) 
 
x − 
3 
2 
 
x + 
1 
2 
 
= (x − 3)(2x − 3)(2x + 1) 
)R(x) = (x − 2)3 d)S(x) = x(x − 2)(x + 3) 18. a)Raí 
esrealessimples:1y3;P(x) = (x − 1)(x − 3)(x2 + 1) b)Raízrealsimple: 
−3;Q(x) = (x + 3)(x2 + 4) 
)0esunaraízdobley3/2 raízsimple;R(x) = 2x2(x − 3/2) = x2(2x − 3) d)Raí 
esrealessimples:7y 
−1/2;S(x) = 2(x − 7)(x + 1/2) = (x − 7)(2x + 1) 19.a)a = −10 yb = 2 b)a = −7 yb = −5 20..x3 − x2 − 9x + 921. a)m. 
.d. . (P(x),Q(x)) = (x − 2),m. 
.m.(P(x),Q(x)) = (x − 2)2(x + 2) b)m. 
.d.(P(x),Q(x)) = x2(x − 4),m. 
.m.(P(x),Q(x)) = x3(x − 4)(x − 3)(x + 1) 
2223..ada)))SSiissoonneeqquuiivvaalleenntteess )m. 
.d.be))NSiososonneeqquuivivaalelenntetess ,m. 
.m.f 
(P(x),Q(x)) = (x − 1)3(P(x),Q(x)) = (x − 1)4 ))SNiososonneeqquuivivaalelenntetess 1 
x + y 
d) b) ) 2x 
− 1 
x + y 
2x(x + h) 3 
x + y 
e)− 3x2 + 4x 
x2 − 4x 
f)yx(y − 1) 
z(x − 1) g)3 − x h)(x + 1)2 
x(x − 1) 
i)x2 + 1 
x + 1 j) 2 
x − 1 
k)− 2x2 − 34x + 8 
x − 4 
l) 3x2 − 12x + 14 
(x − 1)(x − 2)(x − 3) m)− 2x + 5 
x3 − 1 
n) x − 7 
(x − 4)(x − 5)(x − 6) 
ñ)− x3 − 2x2 − 2x 
x3 − 1 o) 3x + 3 
x2 + x − 2 
p) 4x 
x + 1 
q) x + 1 
x2 + x − 2 49
24.a)x − 1 
d)b))9 − x2 
x + 1 
x − 2 
3x3 
x − 1 2x + 2 
x2 
e)x + 1 f)1 + x 
2 g) 1 
2x2 − 1 
h)2x − 5 i)2 
j)k)x a b 
x − 2 − x + y 
l)x2 + x + 1 
x2 − x + 1 m)x2 − x + 1 
x 
b)−io8 nesysistemas x = −29 x = 14 
n)1 ñ) 
−x o)1 
2 
p)3x(3x − 2) 
2(3x + 2) 
q) 
B.31..a)Solu 
ionesdeltema3:E 
ua 
iones,ine 
ua 
)x = 2 d)x = √3 e)x = √3 yx = √5 f)x = 3/14 g)x1 = 0 yx2 = 1/4 h)x1 = 4 yx2 = 4/5 2.a)x1 = 1; x2 = −1; x3 = 1/2; x4 = −1/2 b)x1 = 3; x2 = −3; x3 = 1; x4 = −1 
)x1 = √5; x2 = −√5; x3 = 2; x4 = −2 d)x1 = 2; x2 = −2 e)x1 = 2; x2 = −2; x3 = 1; x4 = −1 f)x1 = 1/2; x2 = −1/2; x3 = 1/3; x4 = −1/3 g)x1 = 3; x2 = −3 h)x1 = 3; x2 = −3; x3 = 1; x4 = −1 i)x1 = 1; x2 = −1; x3 = 1/5; x4 = −1/5 3.a)x1 = 0; x2 = 2; x3 = −2 b)x1 = 0; x2 = 3; x3 = −3 
)x1 = 0; x2 = 5; x3 = −5 d)x1 = 0; x2 = 3; x3 = −3 e)x1 = 2; x2 = −2 f)x1 = 3; x2 = −3 4.a)x = 3 b)x = 2 
)x = 1, x = −1 d)x = 4 e)Notienesolu 
ión. f)x = 4 g)x = 3 h)x = 5 i)x = 6 j)x = 12 k)x = 13/9 l)x = 7 m)x = 0 n)Notienesolu 
ión. ñ)x = 9 5.a)x1 = 1; x2 = −2; x3 = 0 b)x1 = 0; x2 = 2 
)x1 = 1; x2 = −1; x3 = −3; x4 = −2 d)x1 = 0; x2 = 9; x3 = −9 e)x1 = 0; x2 = 1/2; x3 = −1/4 f)x1 = 0; x2 = 1; x3 = −1 g)x1 = −3 h)x1 = 0; x2 = 3/2 i)x1 = 0; x2 = 5/2; x3 = −4/3 j)x1 = 2; x2 = 1; x3 = 4 k)x1 = 1; x2 = 3 l)x1 = −1; x2 = −2/3; x3 = 1/2 m)x1 = 0; x2 = 5/2; x3 = −4/3 6.a)x = 0, x = −4 b)x = 2/3 d) 
)Notienesolu 
ión. x = −2 e)x = 0, x = 5/4 f)x = 0, x = −1/2 g)x = 1, x = 4 h)R − {−2,−1, 0} 50
7.a)(−∞, 1) ∪ (3,+∞) b)(−∞,−3] ∪ [2,+∞) 
d) )Notienesolu 
ión. [0, 6] e)(−∞,−2) ∪ (5,+∞) g) f)Notienesolu 
ión. (−∞,−1) ∪ (4,+∞)) h)(−8/3, 1) i)R j)[1/4, 1/2] k)[−1, 1] l)(−∞, 0) ∪ (13,+∞) 8.a)(1/3, 1/2) b)[0, 1) 
)(−2, 4) d)(−∞,−7] ∪ (2/3,+∞) e)[−3/2,−3/4) f)(−∞,−2/3) ∪ [5/6,+∞) g)(−3,−1] ∪ [1,+∞) h)(−∞, 1) i)(−∞,−2) ∪ (−1, 1) ∪ (2,+∞) j)(−∞,−3] ∪ (−1, 1) ∪ ([3,+∞) k)(−7/2,−2) l)(−∞,−9] ∪ (−3,+∞) 9.a)[−1, 0] ∪ [1,+∞) b)(0,+∞) 
)[−1, 1] d)(−∞,−2) ∪ (1, 3) 10.a)x = 7; y = 6 b)x = 3; y = 1 
)x = 8; y = 5 d)x = 8; y = 2 e)x = 365; y = 145 f)x = 1; y = 2 11.a)x1 = 1 y1 = 8; x2 = 56/5 y2 = 5/7 b)x1 = 9 y1 = 8; x2 = −20/3 y2 = −54/5 
)x1 = −6 y1 = −8; x2 = 8 y2 = 6 d)x1 = 3 y1 = 2; x2 = 2 y2 = 3 e)x1 = 2 y1 = 1; x2 = −7/3 y2 = −12 f)x1 = 7 y1 = 3; x2 = 42/5 y2 = 13/5 g)x1 = −3 y1 = 4; x2 = 4 y2 = −3 h)x1 = −1 y1 = 3; x2 = −2 y2 = 1 i)x1 = 2 y1 = 1; x2 = −1 y2 = −2 j)x1 = 3 y1 = 2; x2 = 3 y2 = −2; x3 = −3 y3 = 2; x4 = −3 y4 = −2 k)x1 = −1 y1 = 2; x2 = 1 y2 = −2 l)x1 = 8 y1 = 8; x2 = 2 y2 = −4 m)x1 = 1 y1 = 3; x2 = −1 y2 = −3; x3 = 3 y3 = 1; x4 = −3 y4 = −1 n)x1 = 5 y1 = 4; x2 = −5 y2 = −4; x3 = 4 y3 = 5; x4 = −4 y4 = −5 ñ)x1 = 2 y1 = 1; x2 = −2 y2 = −1; x3 = 1 y3 = 2; x4 = −1 y4 = −2 o)x1 = −2 y1 = 3; x2 = 22/3 y2 = 23/3 p)x1 = 6 y1 = −2; x2 = 6 y2 = 2; x3 = −6 y3 = −2; x4 = −6 y4 = 2 q)x1 = −6 y1 = −8; x2 = 8 y2 = −6 r)x1 = 5 y1 = 3; x2 = −5 y2 = −3 s)x1 = 4 y1 = 4; x2 = 4 y2 = −4 t)x1 = 9 y1 = 4 B.41..ap)oSnoelnu 
iiaolneessdeltema4:Cál 
b)ulologarítmi 
oye 
ua 
ionesex- 2 10 
m)g) 
h)n) 
i) 
)d) 
j) 
k)e)f) 
l) 
3 −2 2 −10 −3 0 −1 −2 5 −2 2 −2 ñ) 
−1 o)3 p)4 q)1/3 r)1/2 s)1/4 2.a)9 b)3 
) 
−3 d) 
−1 e) 
−6 f) 
−2 g)2 h)0 i)100 j)3/2 k)1/2 l) 
−3/2 n)1/2 ñ) 
−2 3.a)a = 2 b)a = 3 
−1/2 m) 
)a = 5 d)a = 3 e)a = 2 f)a = 0, 5 g)a = 10 h)Cualquiera  0 51
5.a)4.a)g)b)b)h)i))d)j)e)k)l)f)x = 1/3 x =  
x = 3 x = 1/4 x = 5 x = 9 x = 172 x = 4 x = 5 x = 1/16 x = 1/√7 x = √3 x = 4 x = 5 
)x = 1/2 d)x = 6 e)x = 4 f)x = 2 g)x = −1/4 h)x = −5 i)x = 25 j)x = 9 k)x = −1/6 l)x = 1/6 6.a)x = −4 b)x = −3 
7.a)g)h)b)i))j)d))e)k)d) 
f)l)x = 1/12 x = 3/2 x = −7/4 x = 1/4 x = −1/8 x = 3/8 x = −8 x = 3/2 x = 3 x = 5/2 2 10 
6 8.a)b))d) 
−2 1, 4771 1, 9242 
2, 2094 −0, 893 e)1, 1582 f)0, 3597 g)1, 398 h) 
) 
−1, 704 d)0, 8612 e) 
−0, 26145 f)0, 903 g)0, 699 h)1, 1403 10.a)x = 16 b)x = 6 
−0, 903 9.a)0, 3064 b) 
)x = 8 d)x = 1 e)x = 16/5 f)x = 4 11.a)12, 4 b)27, 8 
eeddeellaassoolluu 
iióónn.. −0, 3398 
) 
d)b)−4, 8 3, 7947 2 log a + log b − log c 2 log a + 3 log b + log c 
111342...aNN)oopprroo 
)2 log a + 
log c d)7 
 f)log2 x 16.a)x · y = 10 b)x 
d)1 
3 
 log 
log b − 
3 
4 
1 
logm + 
d)6 
6 
)x4 
= 100 √y3 3 x2 
log n e) 
−3x f) 
− 
1 
6 15.a)log 
 
x4 
17.a)√xy 
b)e)= 10 x = 1010 x = 4 x = 0 
 b)log 
 
x 
y2 
 
)log 
 
x3(1 − x) 
r)m)g) 
;n)h)s)t)i)ñ))x);y)z)u)j)d)o);p)e)k)v);l)f)18.a)b)w)q)x = −1/3 x = 2, 32 x = 1, 58 x = 6, 28 x = 2 x = 3 x = 6 x = 0x = 2 x = 1x = 2 x = 5/12 x = 1x = −2 x = 2 x = 1 x = 2 x = ±1, 52 x = ±√3 x = 1, 29 x = −14 x = 3 x = 1 x = 3 x = 2 x = 0x = 1 x = 3 x = −1 x = −2 x = 7 
4 p 
x2y 
 e)log 
 
1 
xy 
y 
= 
1 
10 
y 
k)f)o),g)p)l);h)m)q))t)Sinsolu 
ión u)v);r)i)d)n);ñ)j)e)s)x 52 
= −4 ,w)x = −4 ,x = ±3 x = 5/2 x = 0 x = 1 x = 1 x = 0 x = 4 x = 3 x = 5 x = 10 x = 1 x = 0x = 2 x = 0x = 1 x = 1x = 2 x = 1x = 2 x = 0 x = 5 x = 4y = 2 x = 4y = 2
19.a)x = −5/2 b)x = 1 
)x = 7/3 d)x = 49 e)x = 2;x = 9/2 f)x = 3 g)x = 3 h)x = −8/9 i)x = 2 j)x = 6 k)x = 1;x = 2 l)x = 13/5 m)Sinsolu 
ión n)x = 1000 ñ)x = 10;y = 1 o)x = 4;y = 2 p)x = 20,y = 2 q)x1 = 105;y1 = 105 x2 = 105;y2 = 105 r)x = 7;y = −12 s)x1 = 10;y1 = 20 x2 = 40;y2 = 5 20.a)x = −4/3 b)x = 9/2 
)x = 20 d)x = 11 e)x = 20;x = 80 f)x = 20 g)x = 6 h)x = 1/20 i)x = 2 j)x = 7 k)x = 12/5 l)x = 3,x = 2 m)x = 3/2,x = 3 p 
1/2 n)x = 55 ñ)x = 3,x = 1/3 o)x = 20;y = 2 p)x = 102;y = 10−1 q)x = B.51.. Solu 
ionesdeltema1095/2:;Py =ro10g−r1/e2siones a1 = 2,a2 = 3/2,a3 = 4/3,a4 = 5/4 2.a1 = 4,a2 = 7,a3 = 12,a4 = 19,a5 = 28,a6 = 39,a7 = 52,a8 = 67,a9 = 84, 
a10 = 103 3.a1 = 
3 
4 
,a5 = 
51 
8 
,a11 = 
243 
14 4.a2 = 3,a7 = −8,a10 = 11 5.a15 = − 223 
224 6.a)an = (−1)n+1(2n − 1) b)an = n2 
)an = 2n−1 d)an = 3n − 2 e)an = 
10.9.n 
n + 1 
3 
8 a20 = 100 a18 = 
f)an = 
5n 
3n 
g)an = n2 + 1 h)an = 
1 
2n−1 7.h = 7 8.a)an = 5n − 4 b)an = 4n − 3 
d)e)f))an = 3n − 11 1 
an = −2n + 4 an = 5n − 2 an = 
n + 
8 
19 
2 11.a)7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, . . . b) 
−1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, . . . 
) 
−5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, . . . 12.a 
))NAoritamriéttmi 
éati 
daediferen 
ia2 bd))NAoritamriétmti 
éati 
daediferen 
ia1/313.a) . a30 = 146 b)a16 = 61 
)a24 = 61 14.a20 = 45 1156..aa))9,13,17,21 b)8,5;5;1,5 
b)))7,11,15,19,23 S25 = 1575 S22 = 231 
S40 = 
235 
2 17.S12 = 540 53
18.S17 = 25075 19.n = 19 20.n = 49 21.S9 222234...2a,1 6==,1110,6.2 a16 = 17 
−4, −1, 2, 5, 8, 1125.a)Geométri 
adera.zón2/3 b)Noesprogresióngeométri 
a 
)Geométri 
aderazón5/3 26.a12 = 4096 27.a10 = 1000000 28.3, 4, 
3310..El 
29.16 
64 
256 
1024 
4096 
, 
, 
, 
, 
, . . . 3 
9 
27 
81 
243 
a1 = 1/3 uartoyelquinto. 21, 63, 189, 567, 1701 32.2, 1, 1/2, 1/4 3334..18,6y2ó2,6y18. n = 7 35.a7 = 5103 3367..16,48y44. 9◦, 27◦, 81◦, 243◦ 38.a6 = 6 · 35/7 39.8,16,32,64,128y 
−12, 36, −108, 324, −972 40.r = 2 ya6 = 26 41.S = 1/9 444234...180a0ñolsa.s. a1 = 1, a2 = 3, . . . 44445678....677a,23)011100m87m7,m5e2.t9eru0o7rso..s b)118.125euros 4590..8a5)0Pmro/gsr;e7s0ió0nma/ristmyé5t5i 
0amb/)s.an = 
b 555123...11a/4)6s4egmuentdrooss.. 2420 
élulas. b)70segundos b2 + (2n − 54 
3)
B.61..a)Solu 
ionesdeltema6:Trigonometría  
180 
2.a) rad b)b)rad 2 
120◦ 225◦ 
−60◦ f)630◦ 3. rad 
5. 4.Eláreaesaproximadamenterad3 
u.  
7 
0, 092r2 211 
rad 
) 
4 
rad d)7 
6 
rad e)14 
9 
rad f)56 
9 
)3240◦ d)57, 29578◦ e) 
 
2 
rad 30◦24′  
14 ≃ 141◦25′6.a) . x = 15 b)x = 
20√3 
3 
)x = 
20√3 
3 7.sen  = 
3√2 
4 89..ad))IIVI 
uuaaddrraanntete 1 
2√2 
1 
√3√2 
, cos  = 
, tg  be))III 
= 
, cotg  = 22, sec = 
3 
3 
2√uuaaddrraannttee 
2 
f))IIIIII 
4 
uuaaddrraannttee 
, cosec = 3 
sen(90◦ − ) = 
2√2 
3 
, cos(90◦ − ) = 
1 
3 
, tg(90◦ − ) = 2√2, cotg(90◦ − ) = 
1 
2√2 
, 
sec(90◦ − ) = 3, cosec(90◦ − ) = 
179◦ + − − − − + 
−18◦ − + − − + − 
342◦ − + − − + − 
−120◦ − − + + − − 
68◦ + + + + + + 
235◦ − − + + − − 10.sen  = − 2√5 
sen cos tg cotg sec cosec 
√5 
2 11.sen  = 
12.√5 
1 
√, cos  = 
, tg  = −2, cotg  = − 
, sec  = 5, cosec = 5 
5 
2 
− 
, cosec = 3 sen x = − 
14.1 
3 
5 
4 sen x = − 
, cos  = − √2 
4 
, tg  = − 
√3 
6 
, cotg  = −2√3, sec  = 
3√2 
4 
15.12 
13 
3√2 
4 sen x = 
ycos x = − 
5 
13 13.sen x = − 
16.4 
3 
4 
3 
5 
, cos x = − 
, tg x = 
, cotg x = 
, sec x = − 
, cosec x = 5 
5 
3 
4 
3 
− 
2√2 
1 
√√2 
, cos x = − 
, tg x = 22, cotg x = 
3 
3 
4 
5 
4 sen x = − 
5 
3 55 
, sec x = −3, cosec x = − 
4 
5 
, cos x = − 
3 
5 
, tg x = − 4 
3 
, cotg x = − 
3 
4 
, sec x = − 
5 
3 
, cosec x = 
3 
5 
, cos x = − 
4 
5 
, tg x = 
3 
4 
, cotg x = 
4 
3 
, sec x = − 
5 
4 
, cosec x = −
17.sen 175◦ = 0, 0872; cos 175◦ = −0, 9962; tg 175◦ = −0, 0878; 
18.a)19.a)b))d)e)f)cotg 175◦ = −11, 4301; sec175◦ = −1, 0038; cosec 175◦ = 11, 4737 86◦ 40◦ 
30◦ 50◦ 60◦ 11◦ − 1 
f) 
g) 
b)h) 
)i) 
d) 
j) 
e) 
√3 
√3 
0 
2 
2 
− 
2 
→ ∞ √3 
→ ∞ 
→ ∞ 
− 
2 
−1 − 
√3 
3 k) 
−1 l)1 m)1 
22.a)2 
) 
−2√2 √15 
n) 
− 
√3 
3 
ñ) 
− 
1 
2 20.a)cos  = 
√7 
4 
b) 
−cos  = − 
√7 
4 
) 
−tg  = − 
3√7 
7 21.a)2√2 
3 
e)f) 
) 
d) 
−2 −2 2 b)2√2 
3 
4 
b)1 
4 
) 
− 
1 
4 
d) 
− 
√15 
4 23.a)√21 
5 
b)2 
5 
) 
− 
√21 
5 
d) 
− 
√21 
2 24.a)1 
2 
b)2 
sen 0, 98 0, 98 0, 19 −0, 19 −0, 98 −0, 98 −0, 19 0, 19 
cos 0, 19 −0, 19 −0, 98 −0, 98 −0, 19 0, 19 0, 98 0, 98 
tg 5, 15 −5, 15 −0, 19 0, 19 5, 15 2276..aN)opro 
edelasolu 
ión. −5, 15 −0, 19 0, 19 sen a b)cos a 
− 
e)f)g) 
)d)sen a + cos a 1 + sen a sen x 1 + sen x 1 
2 
g)1 
2 
h) 
− 
1 
2 25. 
i)79◦ j)101◦ 169◦ 191◦ k)259◦ 281◦ 349◦ l)h)371◦ 
−tg x cotg a 1 + cos4 a 
cos a sen a cotg x · cos x 1 − cos4 a 28.a)x = 45◦ + 180◦k = 
+ k · 2 rad k ∈ Z e)x = 45◦ + 180◦k = 
 
4 
g)rad,f)rad,+ k ·  k ∈ Z x = 360◦k = k · 2 k ∈ Z x = 
+ k ·  rad,k ∈ Z b)x = 
 
 
120◦ + 360◦k = 
2 
3 
+ k · 2 rad 
240◦ + 360◦k = 
4 
3 
+ k · 2 rad k ∈ Z 
)x = 60◦ + 180◦k = 
 
3 
+ k ·  rad,k ∈ Z d)x = 
 
 
45◦ + 360◦k = 
 
4 
+ k · 2 rad 
135◦ + 360◦k = 
3 
4 
 
4 
 
 
150◦ + 360◦k = 
5 
6 
+ k · 2 rad 
210◦ + 360◦k = 
7 
6 
+ k · 2 rad k ∈ 56Z
h)x = 180◦(2k + 1) = (2k + 1) ·  rad,k ∈ Z i)x = 180◦k = k ·  rad,k ∈ Z j)x = 
+ k · 2 rad k ∈ Z k)x = 270◦ + 360◦k = 
+ k · 2 rad k ∈ Z 29.a)x1 = 32◦ 54′; x2 = 147◦ 6′ b)x1 = 201◦ 48′; x2 = 338◦ 12′ 
)x1 = 42◦ 56′; x2 = 317◦ 4′ d)x1 = 97◦ 7′; x2 = 262◦ 53′ e)x1 = 11◦ 18′; x2 = 191◦ 18′ f)x1 = 161◦ 35′; x2 = 341◦ 35′ g)x1 = 81◦ 47′; x2 = 278◦ ′13 h)x1 = 194◦ 28′; x2 = 245◦ 32′ i)x1 = 106◦ 42′; x2 = 286◦ 42′ 30.a)x = 
 
 
120◦ + 360◦k = 
2 
3 
+ k · 2 rad 
240◦ + 360◦k = 
4 
3 
3 
2 
+ k · 2 rad,k ∈ Z l)x = 
 
 
225◦ + 360◦k = 
5 
4 
+ k · 2 rad 
315◦ + 360◦k = 
7 
4 
k ∈ Z d) 
 
 
 − 6 
12 
+ k ·  
5 − 6 
12 
+ k ·  
k ∈ Z b)x = 
 
 
 
3 
+ k · 
2 
5 
2 
3 
+ k · 
2 
5 
k ∈ Z 
)x = 
 
 
8 
15 
+ k · 2 
23 
15 
+ k · 2 
g)k Z 2 
∈ x = 
+ k ·  k ∈ Z e)x = 
 
 
 
6 
+ k · 2 
5 
6 
+ k · 2 
k ∈ Z f)x = 
 
 
 
3 
+ k · 2 
5 
3 
+ k · 2 
31.a) k ∈ Z l)x = k · 2 k ∈ Z c = 8 
k ∈ Z j)x = 
 
 
 
3 
+ k ·  
2 
3 
+ k ·  
k ∈ Z h)x = 
 
345◦ 31′ + k · 360◦ 
165◦ 31′ + k · 360◦ 
k ∈ Z i)x = 
 
 
2 
3 
+ k · 2 
4 
3 
+ k · 2 
k · 2 
m;C = 66◦ 45′ e)a = 25 
 
 
m;B = 36◦ 52′; C = 53◦ 8′ b)b = 7, 99 
 
+ k  
3 
· 2 
+ k ·  
3 
33332345....11270467,,725m,57m. 
m.m.. m;C = 54◦ 40′ 36.89m. 
k ∈ Z k)x = 
 
 
 
3 
+ k ·  
2 
3 
+ k ·  
m;c = 12, 69 
m;C = 57◦ 48′ 
)a = 12, 61 
m;c = 3, 86 
m; C = 17◦ 50′ d)a = 7, 62 
m;c = 3, 01 
m;B = 36◦ 52′; C = 53◦ 8′ f)a = 10, 60 
m;b = 6, 13 
m;c = 8, 65 
3387..1R62,a2,d0mi7o. 
:m13;,Á7r 
ema:;48a2p,o8te 
mma:239.Ángulos: . 103, 6◦ y51, 4◦40.l3a.6d2o1:4m2.,01m. ; 
444123...677,5.7020m0m.m.. 57 44.120my138,5m.
B.721...aN)oSsoonlufu 
n 
iioonneesslasdgreál 
taesmdealos7ap:aFrtaudnos 
i)o,nd)e,se)ryefa).lesdevariablereal f(2) = 4,f(−5) = 
3.a)b),y ,)Domy 3 f(0) = 0 f 
f = R − {1} f(1) = 2f(0) = √3f(−2) = 1 f 
b)Noexisteyportanto 
5 
3 
1 
3 f(−4) −46∈ 
y f 
 
2 
5 
 
= − 4 
 
 
3 
= 6 
4. Ga)rá 
2 
d)Domf = [−3,+∞) aI: ,noexiste, 
− y 26 
)Dom,Re 
b)f(−3) = 0f(0) f(4) = 1 f(3) = 0 f(−1) = 2 
f = [−3, 0) ∪ (0, 4]9 
Ga)rá 
)DomaI: ,,Re 
,y b)d)Continuaensudominio ,yf(−3) = 3f(0) = 2f(4) = −2 f(3) = −1 f(0) = 2f(−2) = 2 f(2) = 2 
f = Rf = [−2,+∞)  
= 
Domf 
)f(6) = 3,f(22) = 5 y f 
Ga)rá 
 
 
− 23 
2 
= 
9 
3 
f = (−2, 2) aI: d)ContinuaenR. f(−3) = −2,f(0) = 2,f(4) = 2 y f(3) = 3 b)f(x) = 2,parax ∈ [0, 2] ∪ {4} 
)Domf = [−3, 5],Re 
f = [−2, 3] 5. a)Dom d)Continuaensudominio f = [−5,+∞);Re 
b) 
ymínimosenlospuntosde 
Doonmtinuaensudominio. re 
ienteen ;Extremosrelativos:Máximosenlospuntosy;A 
;Monotonía:Cre 
ienteeny, (f) = [−2,+∞)(−5,−1)∪(0, 2)∪(4,+∞)(−1, 0) ∪ (2, 4)(−1, 2) (2, 3) (0, 1) (4, 0)ota 
ión:a 
otadainferiormente;Continuidad: f = [−3, 1] ∪ [2, 4];Re 
a 
ienteen otada;Continuidad: 
;Extremosrelativos:Mínimoenelpuntoontinuaen ;Monotonía:Cre 
ienteen;A 
,de 
re- (f) = [−1, 4](−2, 1) ∪ (3, 4)∪ 
(−3,−2) ∪ (2, 3)(3, 0)ota 
ión:está [−3,−2) ∪ (−2, 1] ∪ [2, 4])Dom . f = R;Re 
(f) = (−∞,−2] ∪ [1,+∞);Monotonía:Cre 
enelpunto ienteen ;A 
;Extremosrelativos:Máximosenelpuntoienteenymínimo ,de 
re- (−1, 0) ∪ (0, 1)(−∞,−1) ∪ (1,+∞)(1,−1) (−1, 1)ota 
ión:noestáa 
otada;Continuidad: 
ontinuaenR − {0} 
67..aN)oDproom 
edelasolu 
ión. . f = R b)Domf = R 
)Domf = R d)Domf = R − {−3/2} 
g)Dome)Domf)Domf = R − {0, 8} 
f = R f = R − {3,−3} 
j)Domh)Domi)Domf = R − {0, 2} 
f = R − {−3, 1} f = R − {1,−1} 
m)Domr)Domo)Domp)Doms)Domn)Domk)Doml)Domx)Domu)Domv)Domt)Domñ)Domy)Domq)Domf = R 1, 8. − {−3,−1} 
w)Domf = R f = [0,+∞) f = [2/3,+∞) z)Domf = (−∞, 2/3] f = (−∞,−3] ∪ [1,+∞) f = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) f = (−∞, 0] ∪ [2,+∞) f = R f = (−∞,−4] ∪ [2,+∞) f = R f = (−∞,−4) ∪ [2,+∞) 58 
f = (1,+∞) f = (−∞,−3) ∪ [3,+∞) f = (−∞,−3/4] ∪ (1,+∞) f = [−5,−2) ∪ [5,+∞) f = [−2, 1) ∪ (1,+∞)
PSfragrepla 
ementsa) b) 
) d) 
i) e) f) g) h) k) 1 
1 
e)g),Puntosde 
1 ortes:f)d)h)1 
,Puntosde 
ortes:(0, 3/2) Rec(f) = R(0, 0) Rec(f) = R(0, 0) Rec(f) = R(0, 1), (1/3, 0) Rec(f) = R(2, 0), (0,−4) Rec(f) = R1 
1 
1 
1 
• 
a)Todaslasfun 
ionessonpolinómi 
asyportantosudominioesR. Rec(f) = {−3} 
,Puntosde 
ortes:(0,−3) b)Rec(f) = {0} 
,Puntosde 
ortes: 
)m = 0,n = 3/2 d)m = 2,n = 0 e)m = −1/4,n = 0 f)m = −3,n = 1 g)m = 2,n = −4 h)m = −1/2,n = 1/2 10.a)m = −1, n = 2,de 
{(a, 0), a ∈ R} 
)Rec(f) = {3/2} 
(0, 1/2), (1, 0) 9.a)m = 0,n = −3 b)m = 0,n = 0 
11. re 
iente b),de 
re 
iente 
), 
m = −2, n = 2m = 3/2, n = 0re 
iente 
PSfragrepla 
ementsa) b) 
hkgfei)))))) 
) d) 
3 
3 
3 
4 
6 
8 
2 
59
12. 
13.aL)aspendientesdelasre 
14.d)No,porquetendríaquevender65,5periódi 
tasparalelassoniguales. b)24os 
f(x) = 0, 12x + 9 e )86periódi 
os 
a) 
15. 
 
f(x) = 
100 a) f(x) = 1, 8x + 6 x 
PSfragrepla 
emenat)s 
dhkgf 
ei))))))))b) 7 
7 six  200 
0, 02x + 7 x ≥ 200 
x 
1 
1 
1 
PSfragrepla 
emenda 
et)))s)b) hkgfi))))) 6 
) Aumentalatarifamínimaa6,96e 16.pre 
iodenitivoporhorade 
onexión. yaumentalapendientedelare 
taa2,088queesel 60
PSfragrepla 
ements 
a) b) 
) d) 
e) f) g) h) 
ki)) 1 
1 
re 
ienteen;Máximoen1 
b)Re;A 
(0,+∞)(0, 0)1 
1 1 
1 
1 
• 
aT)odRaeslasfun 
ionessonpolinómi 
asyportantosudominioesR. 
(f) = (−∞, 0]);Vérti 
e:(0, 0);Puntosde 
ortes 
onlosejes:(0, 0); Cre 
ienteen 
(−∞, 0);De 
otadasuperiormente. 
Cre 
ienteen ;Vérti 
;De 
e:;Puntosde 
ortes 
onlosejes:; (f) = [3,+∞)(0,−3)(0,−3), , (−√3, 0), (√3, 0)(0,+∞)re 
ienteen(−∞, 0);Mínimoen(0,−3))Re;A 
otadainferiormente. 
ienteen ;De 
;Vérti 
e:;Puntosde 
ortes 
onlosejes:; Cre- (f) = [−4,+∞)(2,−4)(0, 0), (4, 0)(2,+∞)re 
ienteen(−∞, 2);Mínimoen(2,−4)d)Re;A 
otadainferiormente. 
(f) = [−3,+∞);Vérti 
e:(−2,−3);Puntosde 
ortes 
onlosejes:(0, 1), (−2+√3, 0), 
e)RA 
eotadainferiormente. ; Cre 
ienteen;De 
re 
ienteen;Mínimoen; 
(−2 − √3, 0)(−2,+∞)(−∞,−2)(−2,−3)Cre 
ienteen ;Vérti 
;De 
e:;Puntosde 
ortes 
onlosejes:; (f) = (−∞, 4](0, 4)(0, 4)(−2, 0), (2, 0) (−∞, 0)re 
ienteen(0,+∞);Máximoen(0, 4)f)Re;A 
otadasuperiormente. 
(f) = [1,+∞);Vérti 
e:(1, 1);Puntosde 
ortes 
onlosejes:(0, 2); Cre 
ienteen 
g)Re;De 
re 
ienteen;Mínimoen;A 
(1,+∞)(−∞, 1)(1, 1)otadainferiormente. 
ortes 
onlosejes:(0,−3)en ; Cre 
;De 
;Vérti 
e:;Puntosde 
iente (f) = (−∞,−2](1,−2)(−∞, 1)re 
ienteen(1,+∞);Máximoen(1,−2)h)Re;A 
otadasuperiormente. 
Cre 
ienteen ;Vérti 
;De 
e:;Puntosde 
ortes 
onlosejes:; (f) = [−9/2,+∞)(5/2,−9/2)(0, 8), (1, 0), (4, 0)(5/2,+∞)re 
ienteen(−∞, 5/2);Mínimoen(5/2,−9/2)feriormente. ;A 
otadain- 
61
17. 
PSfragrepla 
ements 
a) b) 
) 
1 
1 
1 18. 
PSfragrepla 
ements 
a) b) 
) 
y = 2x2 
d) e) f) 
hgi))) 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
62
19. 
a) b) 
) 1 
d) 
hkgefi)))))) 2 
21. 
20.ya = −3 b = 4 PSfragrepla 
ements t 
1 
1 
PSfragrepla 
ements 
a) m 
ylaalturaesde10m. b) Laalturamáximaseal 
anzaparas 
10 B.81..vaSsofluun 
i 
oionnesesd.eltema8:Álgebradefun 
t = 1 1 
iones.Estudiodenue- 63
PSfragrepla 
ements 
a) b) 
) d) 
e) f) g) 
h) i) 1 
1 
1 1 1 
a)Dom(f) = [0,+∞);Rec(f) = [0,+∞);Puntosde 
1 
b) ;;Puntosde 
ortes 
onlosejes:1 
. 1 1 
(0, 0)Dom(f) = (−∞, 0])Rec(f) = [0,+∞)ortes 
onlosejes:(0, 0)) . Dom(f) = [−3,+∞);Rec(f) = [0,+∞);Puntosde 
ortes 
onlosejes:(−3, 0) y(0,√3)d) . Dom(f) = [0,+∞);Rec(f) = (−∞, 0];Puntosde 
ortes 
onlosejes:(0, 0)e) . Dom(f) = [2,+∞);Rec(f) = [0,+∞);Puntosde 
ortes 
onlosejes:(2, 0)f) . Dom(f) = R;Rec(f) = R; Puntosde 
ortes 
onlosejes:(0, 0)g) . Dom(f) = R;Rec(f) = R; Puntosde 
ortes 
onlosejes:(−1, 0) y(0, 1)h) . Dom(f) = [2,+∞);Rec(f) = (−∞, 2];Puntosde 
ortes 
onlosejes:(6, 0)i) . Dom(f) = [0,+∞);Rec(f) = [3,+∞);Puntosde 
ortes 
onlosejes:(0, 3). 
64
2. 
PSfragrepla 
ements 
a) b) 
) 
y y y 
d) e) 1 
f) 
1 
hgi))) y 
x x x 
y 
y 
;Asíntotas:x = 0 ey = 0b)ejes:notiene. ;Puntosde 
x 1 x ortes 
1 
x 
onlos Dom(f) = R−{2} 
1 
1 
1 
1 a)Dom(f) = R−{0} 
;Rec(f) = R−{0} 
;Asíntotas:x = 2 ey = 0)ejes:notiene. ;Puntosde 
;ortes 
onlos Rec(f) = R−{0} 
Dom(f) = R−{−3} 
;Asíntotas:x = −3 ey = 0d)losejes:notiene. ;Puntosde 
;ortes 
on Rec(f) = R−{0} 
Dom(f) = R−{1} 
e) ejes: . ;;Asíntotas:e;Puntosde 
ortes 
onlos Rec(f) = R−{2} 
x = 1 y = 2(−1/2, 0)Dom(f) = R−{−3} 
f) losejes: . ;;Asíntotas:e;Puntosde 
ortes 
on Rec(f) = R−{1} 
x = −3 y = 1(−1, 0)Dom(f) = R− {−2} 
3.a) onlosejes: . ;b);Asíntotas:e;Puntosde 
ortes Rec(f) = R−{−1} 
x = −2 y = −1(0, 0)Df = (−∞,−2) ∪ (2,+∞) Df = (−∞, 2) ∪ (4,+∞) 
)Df = (−1, 1) d)Df = (−∞,−3) ∪ (−1, 1) e)Df = R f)Df = R − {2} g)Df = (0, 1) ∪ (1,+∞) h)Df = (1,+∞) − {2} 
i)Df = (2,+∞) − {8} j)Df = (0,+∞) − {2} 4.a)Df = (3,+∞) b)Df = (−∞,−2) ∪ (1,+∞) 
)Df = (−3, 3) d)Df = (−∞,−2) ∪ (1,+∞) e)Df = (−∞,−3) ∪ (−2, 1) ∪ (2,+∞) f)Df = R − {1} g)Df = R − {2} 
j)k)h)i)Df = R − {1, 2} 
Df = R − {0} Df = [0,+∞) Df = R − {1} 
l)Df = [−2, 2] m)Df = (4, 5) ∪ (5,+∞) n)Df = (0, 1) ∪ (1,+∞) ñ)65 Df = (2, 3) ∪ (3,+∞)
PSfragrepla 
ements 
PSfragrepla 
ements 
5.a) 
−1 −2 b) 
1 
1 
e) 
2 1 −−2 
2 
3 
3 
4 
PSfragrepla 
ements 
PSfragrepla 
ements 
2 3 4 
−1 
−3 
4 
−f) 
3 −5 
) 
4 
1 
1 
2 
2 
3 
PSfragrepla 
ements 
−1 −2 −3 
5 
d) 
1 
1 
2 
2 
3 
3 
4 
PSfragrepla 
ements 
1 
1 
2 
2 3 
−1 
−1 
−2 
−2 
−3 
PSfragrepla 
ements 
1 
1 
2 
2 
3 
3 4 
−1 
−2 
−2 
−3 
−4 −5 
PSfragrepla 
ements 
g) 
−1 h) 
6. a)1 
1 
4 −Dom(f) = R − {−1, 1} 
2 
2 3 4 
−1 
PSfragrepla 
ements 
1 
1 
2 
2 
3 
3 
4 
4 
5 
5 i) 
1 
2 
2 
4 
−1 
−2 
−2 −3 
yDom(g) = R b)(f + g)(x) = 
7.a)x3 − 2x2 y+ 5x 
Dom(1/f) = R − {−1, 1,−3} Dom(f) = R − {1} 
x2 − 1 
e),Dom(f − g) = R − {−1} (f · g)(x) = 
,f · g = 
x2 + x − 6 
x2 − 1 
, f 
g 
(x) = 
x + 3 
x3 − 2x2 − x + 2 
, 
Dom(f + g) = Dom(f · g) = R − {−1, 1} 
8.,Dom(f/g) = R − {−1, 1} (f + g)(x) = 
yDom(f/g) = R − {−1, 1, 2} 
)(1/f)(x) = 
x2 − 1 
x + 3 
yDom(g) = R − {−1} 
b)(f + g)(x) = 
2x 
x2 − 1 
,Dom(f + g) = R − {−1, 1} 
)(f − g)(x) = 
2 
x2 − 1 
,Dom(f + g) = R − {−1, 1} 
d)(3 · g)(x) = 
3 
x + 1 
1 
x2 − 1 
,Dom(f · g) = R − {−1, 1} 
f)(f/g)(x) = 
x + 1 
x − 1 
x3 + 2x2 − 3x − 8 
x3 − 4x 
,f · g = 
1 
x(x − 2) 
, f 
g 
(x) = 
x 
(x + 2)(x2 − 4) 
, 
Dom(f + g) = Dom(f · g) = R − {−2, 2, 0} 
yDom(f/g) = R − {−2, 2, 0} 66
9.f 
=,Dom(1/g) = (0,+∞) 10.f · g = 
x2 
(x) = 
14.a)g 
√x 
, Dom(f/g) = (−2,+∞− {−1, 1}) 2 
(g ◦ f)(x) = 1 + 2log(x2,, x√1 
= xDom(f/g) = (0,+∞)f 
(x) = 
1 
x2 
,Dom(1/f) = R − {0} 
, 
1 
g 
(x) = 
e)d) x 
(h ◦ g)(x) = log3(21+2− 3) (h ◦ f)(x) = log3 
1 
√x 
√x + 2 
x−1 
,Dom(f · g) = [−2,+∞− {−1, 1}) 
g)1 
f/g = 
(x2 − 1)√x + 2 
i (f ◦ g−1)(x) = log2 
−3) = 1 + x2 − 3 = x2 − 3 b)(g ◦ h)(x) = 1 + 2log3(2x 
 
= log3(x − 4) 16.a)f−1(x) = 
)−3) 
17.a)d)g)b)e)h)f)f−1(x) = 3x−2 f−1(x) = −3 + log2(1 − x) f−1(x) = 1 + 42x f−1(x) = 5 · 31−x f−1(x) = −2 + log3(3 − x) f−1(x) = 2x f−1(x) = 3 + 10x f−1(x) = 
)(f ◦ g)(x) = log2 
 
(1 + 2x)2 − 3 
 
2log2(x2 
−3) − 3 
 
= log3(x2 − 6) f)(f ◦ h)(x) = log2 
h 
(log3(2x − 3))2 − 3 
h 
(log2(x − 1))2 − 3 
i h)(h ◦ g−1)(x) = log3 
 
2log2(x−1) − 3 
2x + 1 
− 1 d)f−1(x) = 
3 
g)j)h)e)f)i)√2 f−1(x) = 10(4−5x)/3 − 4 f−1(x) = 1 + exf−1(√x) = 1 − 10(1−x)/4 f−1(x) = −1 + log2 x f−1(x) = 3 − log2 x f−1(x) = 
b)f−1(x) = −2 + log3 x 
k)2x − 1 
l)p 
−1 + log(x − 2) f−1(x) = 1 + log2(3 − x) f−1(x) = 
m)2 
p 
1 − log5(3 − 8x) f−1(x) = −1 + log2 
)f−1(x) = 
 
2 
3 
2x 
√3x−2 − 1 
2 
 
3 + 2x 
x 
 n)f−1(x) = − 1 + log3(3 − x) 
4 
ñ)f−1(x) = −1 + ln x 
67
68
AGpeéonmdie 
terCíaplana PSfragrepla 
ements RECTASYÁNGULOSENELPLANO TiPpuonstodeánRgeu 
tlaos SemireP 
tSafragSreegpmlae 
netmoents Re 
tasse 
antes Re 
tasparalelas PSfragrepla 
ements 
ÁtánngaulilnoLelaaldlnaoons,o(:susladosCeos-nvexo Cón 
avo Re 
to Agudo Obtuso 180◦dÁi 
nugluarleos,re( 
ionesang).ulares uÁÁren 
to:lado)s.perpen- 90◦PSfragreplaCC 
OeoóAmnRnLbgv 
tleeRuaaeu 
nndxvtsteoooooosla 
nnotggoluu.lallnooo 
a.ognuvdeox:om:emneonroqruqeueel euÁÁlnnnroegg 
luultallonoooy 
)om.óbnet 
nuaosvrooq::ummeaaeylyoolrlranqqouu.ee 
PSfragreplaCC 
eoóAmnRnLgv 
leeuaae 
nndxvttooooos omplementarios:suman ; Obtuso Ángulos 
onse 
utivos Ángulosadya 
Ángulos 
omplementarios:suman;Ángulossuplementarios:suman;b b + Bb = B= AAb 
+ 90◦A b + B b ◦b b ◦ 
= 90◦ 180A + B = 18069 
entes Opuestosporelvérti 
e
eoóAmnRnLgv 
leeuaae 
nndxvttooooos omplementarios:suman ; Obtuso Ángulossuplementarios:sumOanpÁuÁnegnsutgolu;oslsops 
ooarndesyela 
v 
uéetrnitvti 
oeess 
eoóAmnRnLgv 
leeuaae 
nndxvttooooos Ángulos 
omplementarios:suman ; Obtuso Ángulossuplementarios:sumOanpÁuÁnegnsutgolu;oslsops 
ooarndesyela 
v 
uéetrnitvtio 
eess 
Mediatrizybise 
triz 
r t 
LMruoelesmadrpoiuasalntdtrmeoilzsissmddegeeomuleaennnmstseoueg:dmpiauetnnrtitzooemeqseudliadioir.set 
P 
A B 
P 
R 
S s 
atnadpeerlpoesnedxi-- PA = PB. vLBdieodilsseeápn 
autlgnruátilnzoogs:dudeloeulenanábdniosgesu 
látorniegzsueulqonsuaiidgsiuesmtaalienrsr.de 
etaloqsulaeddois- PR = PS. 
70
LospoSlíegolnaomsasepo 
llaígsion 
aonaselagúrnegeiólnnú 
emreardoaPddeeOllpaLldaonÍosGelinmO:itNadaOpoSrvariossegmentos. 
PSfragrepla 
ementsTriángulo:3lados Cuadrilátero:4lados Pentágono:5lados Hexágono:6lados Heptágono:7lados 
SeO 
l 
atsóigPo 
Snafonr:asg8eglraúedpnolassu 
esmáenngtusElonseeáng:ono:9lados De 
ágono:10ladosEnde 
ágono:1ladosDode 
ágono:12lados TodossusánPgoullíogsonsoon 
omnevneoxroesque180 Polígono 
ón 
avo ◦ Almenosunodesusángulosesmayorque180◦ PoSLlíoognsoelolnesmopesonlítrgoeosngdouesluqanurePpetoSsilfeírngaoegnnorteorpedlgaou 
selasmuresslnaotádnsnolgouslsoigsuyienlatedso:siguales. Lado: 
adaunodelosseágnmguenloto 
vseérnqratutdrie 
aioelformanel 
aádepninagogtutroeloonmaialnterior vRVapoo 
aésluí.rdgatioiloqn 
:euos:.ieeprgaumndetenotlodoseqvuuéneritóvina 
edds.eeld 
A 
upaloqtueimeral:adsoegamle 
netnotrqoudeevlapdoleílgopnuon.toSimemedpiroedees 
oesntlarododsel 
íugaolqnuoieryponlíúgomnoesDsree 
opnosleíg 
ountio- pÁÁooennnnrpssggeeeuu 
oiauogtbdiotvienoensa.del:imsaeugglmtoiepnnlita 
nlluudoottiii 
vviuneooltssnae..rtrraiaoldr::i 
ááhnnoggulualoldoofof.orrmmaaddooppoorrddoossraladdiooss SumLaadsuemlaodseálonsgánugluolossdineteruionrespdoel 
oalnqedusoeunedosvérti 
esno 
on- 180◦ ladosmenosdos,esde 
ir,sielpolígonotiene porelnúmerode n lados,lasumadelosángulosinterioresvienedadapor: 
180◦(n − 2)Lasumade.losángulos 
entralesde 
ualquierpolígonoregularesde360◦ángulo 
entraldividiendo .Portanto,podemos 
al 
ularel 360◦ Elnúmerodediagonalesde 
uaelnqturieerelponlúígmoenrooedselados. n(n − 3) 
2 
71 .
Clasi 
a 
iónsegúnsusTladRoIsÁNGULOCSlasi 
a 
iónsegúnsusángulos PSfragrepla 
ements(3lEaqduosiláigteuraoles) (2laIdsóoss 
iegluesales)(3PlaSEdfsro 
asagdlerenesopiglau 
aelems)ents(3Aá 
nugtuálnogsualgoudo)(1Ráe 
ntgáunlgourleo 
to) (1obátnugsuálnogsuolobtuso) Sumadelosángulos TeoremadePitágoras 
PSfragrepla 
ements 
PSfragrepla 
ements 
C 
a2 = b2 + c2 b A + b B + b C = 180◦ PSfragrepla 
ements a 
A B 
c 
b 
puEPMunluenonbdttadooiroaim 
dbneeleaend 
:tqioroeuorsteddeeeeilldvlieloedaltledraososae.got 
B 
G A 
C 
c 
b 
a 
ma 
mc 
mb 
PSfragrepla 
ements 
rmpaeudseeanmsttmooe.deqdiauianenavas:aebndaedroiu 
snesnevtgérmrotei. 
netoas,l 
dPAeulstnduteoruadn:eev 
B 
ha 
c 
séorrettlie 
esdeeaglmlalaesndttoroeosqpauuleetsutvroaa,so:paOersrputeopn 
a 
O hc 
rdeoinl 
outnlragora.m 
hb 
A 
C 
b 
ieónnt.e, 
PSfragrepla 
ements 
A 
B 
C 
c 
b 
a 
qEPMruluieet 
naditpr.oi 
aausdtnaer 
O ip 
ezoonrrtdtreeeolduepesnuelnsaltes 
ogetmnmretersenodmtiodoee.delsiaatl 
ariir 
r 
eeus 
n:tfaCeriperne 
PSfragrepla 
ements 
r 
upianen 
deirin 
uturnlaosr-. 
EPBánluigsniunetl 
I A 
ooetdnreteinzro 
odoteerrstouesenlddeá 
oenslngatiusgrloutoradeelseessbul.ainsae 
irst 
erumi 
neifrsee:r 
eItnna 
qieauneitndrsoi 
v.riditeau.n 
72 
B 
C 
c 
b 
a
Paralelogramos:losladosopuestosCsoUnpAaraDleloRs.ILÁTEROS Propiedades: 
Susángulosopuestossoniguales. Susladosopuestossoniguales. 
Susángulos 
• • •ontiguossonsuplementarios. 
•Lasdosdiagonalesse 
ortanensuspuntosmedios. 
PSfragrepla 
ements(ángRuel 
otsBánargesu 
eltoos)Altura (ladoRsoimgubaoles) (y22ánlagduolRososdmdebseiosgiiugduealaelse)s Trape 
ios:esun 
u(a(yd4r4iálánlatCgdeuuroolasod 
sirogainugduaodlaoelsse)sladosparalelosyotrosdosnoparalelos. PSfragrepla 
ements Trape 
ioes 
aleno Trape 
ioisós 
eles Trape 
iore 
tángulo (distintosloslaBdaossenoparalelos) (igualeslosladosnoparalelos) (dosángulosre 
tos) Altura Base 
Trapezoides:esun 
uadriláteroquenotieneningúnpardeladosparalelos. 
PSfragrepla 
ements Trapezoides 
73
CirP 
SCCufraiínrrg 
fruueelnprofle:ea 
rEneesm 
sió 
laCnírldíIn 
eeRupalla 
ConuorvUean 
nli 
eaaniapt:soyre 
NeerrrraFaddaaEyeRnpleaElnianNt 
euriyCoorsIdpeAuunntoaYs 
eiqr 
uCuidnifÍsetRraennC 
diae.UotrLolOlamado 
entro. 
pCRueanndttoiorso:d:eeselesales 
leirgp 
muuennntfeotroeC 
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eipianarteraolat 
oomdnois 
smuClaaoílr.s- 
ulo 
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d 
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Dquiioiáemnrpeeustnrotro:esdleeagtmlaiev 
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iiudalna,eepa 
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prupuenonnfrt 
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e 
euninaatldereoosns-. 
PoPsiS 
friaognreeplsa 
remeelnattsivaEsxdteeriodreoss 
ir 
unfeTraengne 
ntieass Se 
antes PSfragrepla 
ementsExteriores Tangentes Tangentesinteriores Se 
antes Interiores Con 
éntri 
as PSfragreÁplan 
gemuelnotssenla 
ir 
unferen 
ia Ángulo 
entral Ánguloins 
fieqnerunsee 
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eiailtaloa.:r:tM 
itoeiinedqneeueeelleavalébmvraétirirt 
taaeid 
eenqeuenle 
ueenlntparruo 
n.otMoqidudeee Re 
intosenel 
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ulo raETerol 
arituonsaquseemabi 
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quunefnereelnm 
iiasmeos A A 
rito PSfragrepla 
ementsSe 
O 
B C 
tor 
ir 
ularSegmento 
B 
laÁÁloabnnam 
ggri 
riuus 
amllu.oono 
doátoonss.golunolsoigáunqguauelelosas.bianrs 
ir 
ular Zona 
ir 
ular Corona 
ir 
ular Trape 
io 
ir 
ular 74
ÁREASCUYADPREADROÍMETROSDEFIGURARSECPTÁLNAGUNLOAS 
PSfragrepla 
ements l 
Área=base× altura 
S = a · b 
P = 2a + 2b PSfragrepla 
ements ROMBO ROMBOIDE l 
l 
TRAPECIO TRIÁNGULO 
Área=basealtura 
PSfragrepla 
ements × S = b · h 
P = 2a + 2b Área=lado× lado 
S = l2 
P = 4l 
PSfragrepla 
ements 
a 
b 
d 
tÁbraresee2a=mpoabryaolsareadmlitvueirndaoidromenas- 
b 
D 
POLÍGONOREGULAR CÍRCULOdoslosladossumadeto- 
Perímetrob PSfragrepla 
ements · h 
2 = L 
Área=diagonalmenor× edniatgreon2almayordividido 
doslosladPosSsfuramgaredpelato 
PerímetroD · d 
S = 
2 
P = 4l 
2 = PSfragrepla 
ements 
h 
b 
a 
h 
B 
(B + b) · h 
S = 
ir 
unfe- SECTORCIRCULAR 
l = 2r -ements h 
b 
Área=base× vididoentre2alturadi- 
S = 
A 
aÁproeate=maPdeivriídmidetoroentrpeo2r 
S Longituddelar 
= 
o·  = 
2r 
360 
Perímetro× a 
2 dPoesrímlosetlraod=PosSsfurmagardepelato 
-ements r 
S = r2 rLeonn 
giait:uddela 
PSfragrepla 
ements  
r 
S = 
r2 
360 
·  
75
76
ACpuéenrdpi 
oesDgeométri 
os pPoollígieodnroos.s:Son 
uerposgeométri 
osPliOmiLtaIdEosDpoRrOS CArmaaars.inrsa.tsasdedlepuonliepdorloiesdornolososnpololísgloandoossqdueellaosf 
oar-- Dentrodel 
Vlaoassérar 
pstao.ir 
laieesds.rEondse 
paouddnaempvéoorlstieid 
deirsot 
ionsnog 
nuuirrlr:oesnvtérretsi 
oesmdáes 1.yPrviasrmLUioanassapp:larturiusnamrlepaalroidegsemsrlarapmere 
oisstsmoulnaa 
mupeasoanldliadeodosdrit 
osoatldarimanas 
siitlaalaadseton 
etaprrraoealrsleadslsoa.stbeaprsaoellseí.gsosneoasnigrue 
atláesngyuploasr,aylelpoos,rltlaamntaodposerbpaensedsi-, 
SLDuioelslpaarepsenrs 
disaiameranlaasdssolarbetda 
eestreoaqssl.eu 
seunyloaasssobbnaassreeess 
tssáoennagnpuoltorlísigáeonnngtouoslnor 
see,gs 
usuleaardlelrasimlsáeatelprlaormsi,sampneanptroáibgsomlin 
aousso,r.eetg 
.u,laelrepsr.ismase PSfragrepla 
ementslLlaomspartisrmianasgu 
:loaaPnsteBeersuriasansumlenvaéppretonil 
luayra,s 
u 
2.tPriiárnágmuCildoarseaBs 
aadrarsansgounlator,dpasenrtea 
iteeadg 
rooonmaqlúurnee, 
tqAtouieltenuesrPeaprdiosermnoabmatrsiineaanguvunélarprtoio 
gtoánnaglu,loets 
s.elamanortoedros. 
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Cuaderno4eso b12 13_2

  • 1. IDEeSpaLrAtamBAenHtoÍAdeMatemáti as Curso2012-13 pCauraadde4eorMnEaoStdeOme-Oáejtpei ra ióis nioBs JSMMFMeruaaaassúnaIJFsn seeiaaJssrbú naSoevsaelinAmFeVdrerpairaVlneagBreáróelarnnaubdPsbiP eéaíozernVeroDSizñáeíÁzraárqznlavuanerozezdelosCorales
  • 3. IÍnNdÚiM EeROgSeneral 5 111...1123....NúmERRejearepo rias osin roiaeodlasiezllevaas riuóiransdodoeasndt.eenr.ioo.mr.in..ad..o..re..s............................................................................................... 7789 22..I212I...PoÁliLnTOoGepmoeErrieoaBm si.aRoFndAeresal R oeinostnpooe.lsFinaao lmtgoeirobiszraa. ii ó.an.s................................................................11111333 3333....31234.....E uaEEEE i ouuuunaaaa eiiiisoooo,nnnnieeeensssseibdp rieoru arupa dar iiodeimonsr anaeodrleemoassspy.yoss..esi gi..siuót..nned..mfoa..a g..stroa..rdi..aol.................................................................................................................. 1111177778 33333.....56789..... IIISEnnni seeeut eauuum aaai aoiiisnoooennndseeeesssreaddp ueeoioratsn iedpaigoelouesn snerodas.m ol.iipong.noerasaa.idll e.oisó.. no...fna... u...tno...ari...ainl... ó....g....ni....ta....................................................................................................................... 1111188998 3444....41123....0.Cál uSEPClir osooutnpea lmio eeipgdaotasanordedísdetesemeexdl oipeu goaolano resiyiontlnm oeeig oasaulerdnaiseot myiuloionlnnosegneaa.úslrem.íestex.mrpo..i o...ans...en.... ....ia....le....s................................................................................................ 2122211293 5555....51234.....ProgSPPPruerrrooos eiggbosrrlieneeomsseniioosae.nnsseedvssaeagrnireaioútdmmmoéseétrt.roi is .aars.sea...le...s........................................................................................................................................... 2222257556 666...I6123I....ITriGgoERMEn aeoOuzdmaoiM dneieaotssEnrtedíTraseigtRáorningÍgooAumnlooésmtr.éi t.aris. .a.Rs.ela.. ..io..ne..s..en..t..re..e..la..s..........................................................................2333391131 6.4. Resolu ióndetriángulosre tángulos...3........................... 33
  • 4. 777I7...123V....FunF UFFCiouuoNnnnne CiiseoopnnIrteeeOossadNll eieunsEaefudadSnlreeá stivói. anar.si..ab...le......re...a...l...................................................................................................3333457709 888888.....12345......ÁlgebFFFCOuuuropannnrer rediiiaooose pnnniooeeefsssnunednredsaexe ndp ipo ioo irnnnaaoeelpfeinusnos .nvri . eEaiirloo.sesnnats.ueayosl.di.dlfi.ouCoagn.doad m.riieónípt.nvmnoe.surriie s. e BBBBA...123.....SBoinluo BBBBB.....45678..... SSSSSooooollllluuuuu SSSmiooooilllnuuuo adiiiroooeinnnoeeeNsssedddweeelllttttoeeenmmmaaa123:::EPNo aaivíó.spanr...so.... fua....n.... i.....o.....ne.....s............................................................................................................... 444444111123 iiiiiooooonnnnneeeeesssssdddddeeeeelllllttttteeeeemmmmmaaaaa45678:::::FPCTÁurrálgionlg úulmiane CD..CGueoermpeotsrígaeopmlanétari eg oubrinoelroonsaimeoldosneegretaerfsuríaaí.nltem orimoonsioersse.,aFilneresa ..sioi..d u .aio. neo..esvy...aer..Ei nio.ens.eas.lgy.ebs.irs.atie. as..utbau..l ed..iioro..neade..lse...enx...upe...ovn...aes...nf ma.sa.s...................................................... ..u.ina... lei...osn...e....s.................................................. 4444557708 os 6779 5555635813 4
  • 7. TNeúmmae1rosreales 1.11..aC)aRl uelapealsvoalodrdeella susirgusioentaesnetxeprreisoiornes: 3−2 b)41/2 )(−8)−1/3 d) −3−2 e)(−3)−2 f) − 1 4 4.aIn)trodu d)( √3 2)4 −2 g)25−1/2 h) −80 2.aE)xpresa omounaúni apoten ia: (x2y)−2 · x3 · y−2 (x−2 · y)−1 · x2 · y b)(22 · 4−1)3 · 83 (23)−2 3.aE)xpresaenformadepoten ia: √3 2 b)p√35 ) 1 √4 57 elosfa toresdentrode adaraíz: 2 √3 3 b)4 3 3x 8 d)3 5.aSa) s 1 4 √3 15 )2 x s h)√4a2 + 4 i)4 5 6.Sai)mpli l)√625a17b10 s 3 25 9 e)2 √4 4 f)1 5 adelaraízlosfa toresquepuedas: √3 16 b)4√8 )√1000 d)√3 8a5 e)s 125a2 16b f)s 1 4 + 1 9 g)s 16 a3 s 9 7.Ra)edu 1 + 16 f)√8 625 : √4 25 j)5 p 28 · 315(xy2)8 · z33 k)x2y3 s 4x3y8 eaíndi e omúnyordenademenoramayor: z5 8.Realizalaopera )iónysimpli b)d)√4 4, √3 3, √2 asiesposible:7 √6, √3 4 √4 6, √5 10 √4 72, √3 9, √6 100 alossiguientesradi ales: √3 24 b)√6 27 )√3 −108 d)12 p 64y3 e)4 s 81 64
  • 8. a)4√27 · 5√6 = b)2 d)g)e)h)f)s = (√3 12)2 = ( √6 32)3 = √3 24 : √3 3 = √3 2 · √3 = √3 a · 3 j)4 3 3 · = p s 27 8 = )√2 · s 1 8 9.aE)xpresa s √a2b = 1 a · √a = i) √6 32 √8 !3 2√3 : p √3 4 = k)3 p 3√3 · 4 p 9√3 · p 3 √4 3 = l)3 vuut s b3 a4 b5 · 4 a · omounaúni araíz: 4 p √3 4 b)3 p 2 √4 8 )( √4 a3 · √5 a4) : √a 10.aC)al ulaysimpli a: 5√125 + 6√45 − 7√20 + 3 2 √80 = b)√3 16 + 2 √3 2 − √3 54 − 21 5 √3 250 = )√125 + √54 − √45 − √24 = d)(√2 + √3)(√6 − 1) = 11.Sai)mpli aalmáximolassiguientesexpresiones: 3 √3 16 − 2 √3 250 + 5 √3 54 − 4 √3 2 = b)s 12.aE)fe s s 2 18 1 8 − 4 + = 5 125 3 45 = )7 √3 81a − 2 √3 3a4 + √3 3a 5 = d)2 3 s a3 b − 1 5 s a b3 + 2 9 s a b túaysimpli a: (√3 + √2)2 − (√3 − √3)2 = b)(√6 + √5) · 2√2 = )(√5 + √6)(√5 − √6) = d)(2√5 − 3√2)2 = e)(√2 − 1)(√2 + 1)√3 = f)(3√3 − 2√2)2 = 1.213..aR)aR ioan aliiozanloaslsiizgaui enitóesndednoemidnaednoroesm:inadores 8 √3 2 f) b)) d) e) 1 4 5 a √2 √3 4 √3 5 √4 a3b 2 √5 + √3 14.aR)a g) h) j) 3 3 11 2√3 − 3√2 2√5 + 3 √15.aR)a 3 + 3 j)a + b √a + b i) 3 √5 − 2 ionaliza: 5 √2 √4 3 b)2√3 √18 )√2 − 1 e)2√3 − 3√2 2√3 + 3√2 8 √2 d)2√3 − √2 √18 e)√72 + 3√32 − √8 √8 f)2√3 + √2 √12 g) 1 2(√3√5) h)3√6 + 2√2 3√3 + 2 i) 2 √2 √3 3 ionaliza: √3 + √2 √3 − √2 b) 4 8 − √2 )3√2 + 3√5 3√2 − 3√5 d) 1 √2 + 5
  • 9. 1.316..aR)eEduj f) g)h)i) j) x + y a 1 √x + √y 4 1 √x + √y √− a − 1 √x − √y √18 √3 40 eera ui niúonsi ovraadrii aald:os √3 ab2 · √ba · √4 b2a = b)s vuut e)s p a3√a3 = g)a b2 · 3 √3 ab = p s b3 a4 · 6 a b = )q a p a√a = d)3 q a i) vuut b a2 √a 3 b2a = s a b = f)4 s b2 a 17.aO)peraysimpli √a √3 p a √· 3 a4 3 ab = = h)s a b √3 ab2 · 4 p a b s b2 s a · 3 b a √b2a p ab √3 a2b = j)5 p x2 √3 x5 · √3 x7 p x4 √3 x8 a: 1 √2 = e) 1 g) + = 7 1 √2 − 1 + 1 √2 + 1 = b) 1 √x√y + 1 √x − √y = ) 3 √3 − √2 − 2 √3 + √2 k)i)j)= p p √√a3 √6 − 27 = − 2a 4 a2 √6 a3 √+ 3a − 8 a12 = √98 − √18 = d)√7 − √5 √7 + √5 − √7 + √5 √7 − √5 1 √+ 3 √3 m)1 − 1 + 1 + √3 1 − √3 l)√√303 = (√2 + √3)(√6 1) = 96 · − q = f) 1 √2 − 1 − 1 √2 + 1 ñ)3 − √2 − p 17 − 12√2)2 = ( 1 √3 − √2 + 1 2 − √3 = h)5 √6 + 2 √6 + 3√2 − 4√2 √3 6 + √27 · p) p q 5 + 5 + √5 · 5 − = −18 p 5 + √5 = n)( p 17 + 12√2 + p 14 + 6√5 + p 14 − 6√5)2 = o)s 1183 25 − 5 s 112 225 + 1 30 √12348 − 10 s 7 36 s 1 3 + √147 + 30 s 1 2 − 4√72 + 20 √2 = q)3 √8 81 − 2 √6 27 − 2 1√0 32 + 9 s 1 3 + 2 √4 4 − 27 s 1 27 = 9
  • 10. 10
  • 13. TPeomliano2mios.Fra ionesalgebrai as 2.11..Ra)eOalipzaelrasas igiuoiennetesso poerna iopnoesl:inomios (x3 − 6x + 9) + = b)1 e)f)) 1 x3 3x2 1 1 1 − − x − − x3 d)+ x2 + x 2 4 3 2 2x2 1 3x2 1 1 (−+ 6x − 5) − (+ 1) + x3 3x2 x = 2 3 2 − − g)− 4 (−2x2 + 6x − 5)2 = (−2x2 + 6x − 5)[(3x2 + 1) + (x3 − 6x + 9)] (x − 2)3 − (x + 3)(x − 1)(x + 5) − (x − 1)(x2 + 1) − (x − 1)3 = 1 (4x5 − 3x3 + 2x + 1) : (2x3 − x + 2) (2x5 − x2 − x − 1) : x + 3 2.22..HaTlaeoremadelResto.Fa toriza ión a paraqueelpolinomio3x4 − 4x3 − 5x2 + ax + 6 seadivisibleporx − 23.Hala . a paraqueelpolinomiox5 + 3x4 − 2x3 − 7x + a seadivisibleporx + 34.Hala . a yb paraqueelpolinomiox5 − ax + b seadivisibleporx2 − 45.Hala . a paraqueelpolinomio2x3 − x2 + 5x − a seadivisiblepor2x + 16.Hala . a paraqueelrestodeladivisióndelpolinomiox4 + ax3 − 3x2 − ax − 3 porx + 3 seaa + 17.Hala . a paraquealdividirelpolinomiox2 + ax + 3 entrex − 2 yx + 28.Hala ,losrestosseaniguales. a yb onla ondi ióndequeelpolinomioax4 + bx3 + 1 seadivisibleporx2 − 2x + 19.Cal ulapordospro edimientosdistintos,elvalornuméri odelpolinomiopara . x = 310.eDse s aodmapuónnoedneflao stporreos eedlipmoileinntooms.io .Indi a uál P(x) = x4 + 3x3 − 8x2 − 12x + 1611.Des ompónfa torialmenteelsiguientepolinomio . P(x) = 2x3 − 3x2 − 9x + 1012.Des ompónfa torialmenteelsiguientepolinomio . P(x) = 2x3 − x2 − 2x + 113.Halalasraí esenterasdelpolinomio . P(x) = x3 − x2 − 4x + 414.Halaunpolinomiode uartogradoqueseadivisiblepor . x2 − 4 yseanuleparax = 1 yx = 315.Halaunpolinomiode uartogradoquetengaporraí es . −2,03 y416.Cal ulalasraí esdelpolinomio . P(x) = x3 − 5x2 + 3x + 917.Da)es ompónenfa toreslospolinomios: . P(x) = x4 − 3x2 + 2 b)Q(x) = 4x3 − 16x2 + 9x + 9 )R(x) = x3 − 6x2 + 12x − 8 d)S(x) = x3 + x2 − 6x 13
  • 14. 19. 18.Ca)al )a)¾Cuántohandevalerulalasraí esydes ompónenfa yparaquelasiguientedivisiónseaexa tores: b)d)ta? P(x) = x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 3 Q(x) = x3 + 3x2 + 4x + 12 R(x) = 2x3 − 3x2 S(x) = 2x2 − 13x − 7 a b (x4 − 5x3 + 3x2 + ax + b) : (x2 − 5x + 1) b)¾Cuántohandevalera yb paraqueelrestodeladivisiónsea3x − 720.Bus aunpolinomioqueseadivisiblepor ? x − 1,porx − 3 yporx + 321.Caal) ulaelmáximo omúndivisoryelmínimo omúnmúltiplode ada.parejadepolinomios: P(x) = x2 − 4 y Q(x) = x2 − 4x + 4 b)P(x) = x4 − 7x3 + 12x2 y Q(x) = x5 − 3x4 − 4x3 )P(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 y Q(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 22.aD)elossiguientesparesdefra y ionesalgebrai as,di uálessonequivalentesy uálesno: x − 2 x2 − 4x + 4 x + 2 x2 − 4 b)x + 1 x − 1 y x2 − 2x + 1 x2 − 1 )a + b a − b y a2 − b2 a2 − 2ab + b2 d) x x + 1 y x3 + x2 + x x3 + 2x2 + 2x + 1 e)2x − 1 3x − 2 y 2x2 + x − 1 3x2 + x − 2 f) x x + y y x3 − xy2 23.aO)peraysimpli a: x3 − xy2 − x2y + y3 1 e)1 : x2 − y2 x − y = x − 2 = b)1 + x − y x + y = ) 1 g)1 2(x + h) − 2x xz − z = y2 i)h = d) x − y 3 = x2 − y2 9 k)x2 x − 2 2 − x − x2 − 4 − x + 2 = = f)xy − x y : m) 3 x x − 3 = 2 : 1 x + 1 3 = h) x + 1 (x − 1)2 · x2 − 1 x ñ) 1 x + x = x : x − 1 x · (x − 1) = j)2 x : 1 x : 1 x − 1 p) x − 1 3 5 + x2 x − x − 4 = 4x · 2x2 = l) x − 1 (x − 2)(x − 3) + x − 2 (x − 1)(x − 3) + x − 3 (x − 1)(x − 2) x − 1 + x − 3 x2 + x + 1 − 3x2 x3 − 1 = n) 1 x2 − 9x + 20 − 1 = 14 x2 − 11x + 30 + 1 x2 − 10x + 24 x3 − 1 − 1 x2 + x + 1 − x + 1 x − 1 = o) x2 − 1 x2 + 4x + 4 · 3x + 6 x2 − 2x + 1 x2 − 1 · x2 + 2x − 3 x + 3 = q) x + 1 x2 − 2x + 1 : x + 2 x − 1
  • 15. 24.aO)peraysimpli a: x2 − 1 x2 − 4 e)x + 1 : x + 2 = x − = b)3 + x x2 : 1 x + 1 3 = ) g) 1 + = x 1 x : 1 − 1 x = d)x + 1 3x − 2 1 x − 4 − 5x x2 1 x i)x − 1 x = = f) x 1 − 1 − x 1 + x j)1 + x + 1 − x x = l)x 1 + x 1 − x − x = x3 − 1 = h)x − 2 x − 3 − x − 3 x − 2 1 x − 3 − 1 x − 2 1 + x 1 − x − 1 − x 1 + x : 1 + x 1 − x − 1 1 − 1 1 + x n) x3 − x x2 − x + 1 x2 + 2x + 4 x3 + 1 · : x2 − x x3 − 8 = x + 1 = k)a2 − 2ab + b2 x2 − y2 : a − b x − y o) x : − 1 x3 + 1 x + 1 = 1 + x = m) x2 − x + 1 x − 1 x2 : x − 1 1 x x − 1 + 1 + x2 1 − x2 p)1 − x 1 + x2 1 + x − 1 − x2 = = ñ)x2 − x 1 − x x + 1 q)1 1 + x + x2 1 − x + 1 + x 9x2 + 4 9x2 + 4 3x 2 − 2 : + 2 · : = 6x 6x 3x − 2 3x + 2   1 x2 + 1 1 x2 − 1 − 1 x2 − 1 1 x2 + 1   · x + 1 x − 1 + x − 1 x + 1 · x2 + 1 x2 − 2 = 15
  • 16. 16
  • 17. TEe muaa 3iones,ine ua ionesysistemas 3.11..aR)eEsu eluveal asiosingueiesntdesee upar iiomnese:roysegundogrado 5(x − 2) d)√2x2 − 2√6x + √18 = 0 e)(x − √3)(x + √15) − x2 + 3 = (x − √3)2 f)1 g)x 1 6 x 3 − 2(x + 4) − − = − 5 15 (x + 1)2 3x2 − 1 + 2 b)(x − 1)(x + 5) + 5x 2 = (x + 3)2 − (x − 7) ) − 3(x − 2 3 ) 3.22..Ra)eEsu + 4 2 3x 2 − 9 12 = − 3x + 6 6 − 3x − 3 2 3 6 13 − 2x − 2(x − 3)2 = − 1 3 4 + 1 2 x2 − 2 − 1 2 = x x2 − 5 4 h)x2 − 1 3 + (x − 2)2 = x2 + 2 eluveal asiosingueiesntbesie uuaa idonreasdbia usadradas: 4x4 − 5x2 + 1 = 0 b)x4 − 10x2 + 9 = 0 )x4 − 9x2 + 20 = 0 d)x4 − 3x2 − 4 = 0 e)x4 − 5x2 + 4 = 0 f)36x4 − 13x2 + 1 = 0 g)x4 − 5x2 − 36 = 0 h)x4 − 4x2 + 3 = 0 i)25x4 − 26x2 + 1 = 0 3.Ra)esuelvelassiguientese ua ionesbi uadradasin ompletas: 3x4 − 12x2 = 0 b)7x4 − 63x2 = 0 )3x4 − 75x2 = 0 d)x4 − 9x2 = 0 e)7x4 − 112 = 0 f)x4 − 81 = 0 3.34..Ra)eEsu eluveal asiosingueiesntiersre au a iioonneasilreras ionales: √x2 + 7 + 2 = 2x b)x − √2x − 3 = 1 )√4x + 5 = x + 2 d)√x + 2 = x e)x − √169 − x2 = 17 f)x − √25 − x2 = 1 g)x + √5x + 10 = 8 h)√x + 4 − √6 − x = 2 i)√2x − 3 − √x − 5 = 2 j)2√x + 4 = √5x + 4 k)√x + 4 = 3 − √x − 1 l)√x − 3 + 2 = √2x + 2 m)√x + 4 + √x + 1 = 3 n)√x + 5 + √x = 1 ñ)√x + √x + 7 = 7 17
  • 18. 3.45..Ra)eEsu eluveal asiosingueiesntpesoe ruad ieonse s:omposi b)iónfa torial (x − 1)(x + 2)x = 0 = 0 x3 − 4x2 + 4x = 0 )(x2 − 1)(x + 3)(x + 2) = 0 d)x4 − 81x2 = 0 e)8x3 − 2x2 − x = 0 f)x4 − x2 = 0 g)x3 + 3x2 + 4x + 12 = 0 h)2x3 − 3x2 = 0 i)x3 − x2 − 12x = 0 j)x3 − 7x2 + 14x − 8 = 0 k)x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 3 = 0 l)6x3 + 7x2 − x − 2 = 0 m)6x3 − 7x2 − 20x = 0 3.56..Ra)eEsu eluveal asiosingueiesntresae uioa nioanelse:s x + 1 x − 1 x2 + 5(x − 2) x2 + x − 6 e) x2 g)3 x 2 + x + 1 − − x2 − 1 2x − 3 x2 − 9 x2 − 8x + 16 = 0 b) x2 x2 − 2x + 1 − 2x − 3 x − 1 + 1 = 0 )x + 2 x − 1 − x + 1 x − 2 − 1 = 0 d)1 − x x onunain + 3 b)ógnitax2 + x x2 − 4x + 3 0 x2 + x − 6 0 + 2x x − 2 = x2 − 2x + 1 = 2x + 3 x − 1 + 3 f)x + 1 x − 3 + x + 2 x + 3 = x − 6 − x + 4 x − 2 = 16 x2 − 8x + 12 h) 1 x2 + 3x + 2 = 2 x2 + 2x − 1 3.67..Ra)eIsnueelv eulaas siigounienetsesdinee usae igonuesn:dogrado )x2 + 2x + 3 6 0 d)x2 − 6x 6 0 e)x2 − 3x − 10 0 f)x2 − 6x + 9 0 g)x2 − 3x − 4 0 h)3x2 + 5x − 8 0 i)4x2 − 16x + 16 0 j)8x2 − 6x + 1 6 0 k)(3x − 1)2 + 2x − (2x − 1)2 6 5 l)(2x − 5)2 3.78..Ra)eIsnueelv eulaas siigounienetsesdinee utai pionoesr:a b) ional − 17x (x + 1)2 + 24 2x − 1 x 0 1 − 3x g)6 0 x − 1 0 x2 − 1 )x + 2 x − 4 0 d)x + 7 2 − 3x 6 0 e)2x + 3 4x + 3 6 0 f)6x − 5 18 3x + 2 6 4 x + 3 0 h)1 − x x2 0 i)x2 − 4 x2 − 1 0 j)9 − x2 x2 − 1 6 0 k)x − 1 x + 2 3 l)1 − x x + 3
  • 19. 3.89..aR)eIsnueelv ) eulaas siigounienetsespineo rua dioenses :omposi iónfa d)b)torial 3.910..aR)eSsuiesltveelmosasisguideneteses x3 − x 0 isuteam aisodneee sual iionneesallineesales: x3 + 2x2 + x 0 x4 − 1 6 0 x3 − 2x2 − 5x + 6 0 = 3 e)  x − 1 3 − y 6 = 1 x 7 + 4y = 25 b) 5(2 − x) + 8y = 3 3x + 3(2y − 2) = 9 )  x + 1 3 − y − 1 2 3.1110..aR)esuSeilvsetleosmsiagusiendteesseis = 1 7x − 4(x + y) = 4 2(x − 3y + 5) − (2x + y) = −2y d)  x + y 2 − x − y 3 = 3 x + 2y 3 − x − 2y 4  3x − 2y 5 − 2x − 4y 3 = x − y 2 + 1 21x − 15 = 13(2x − y) + 45 f)  2x + 3y 4 − y + x 3 = x teumaas idoene euas inonoeslnionlienaealleess: 5x + 7y = 61 x · y = 8 b) 6x − 5y = 14 x · y = 72 ) x − y = 2 x · y = 48 d) x + xy + y = 11 x · y = 6 e) xy + 2y = 4 3x − y = 5 f) 5xy − 3x = 84 2x + 7y = 35 g) x2 + y2 = 25 x + y = 1 h) x2 + 3xy − 2x + y2 = 3 2x − y = −5 i) x · y = 2 x − y = 1 j) 2x2 + y2 = 22 x2 − y2 = 5 k) 2x2 − y2 = −2 xy = −2 l) 8x = y2 2x − y = 8 m) x2 + y2 = 10 x · y = 3 n) x2 + y2 = 41 xy = 20 ñ) x2 + y2 = 5 xy = 2 o) x − 2y + 8 = 0 x2 − y2 + 5 = 0 p) 2x2 − 5y2 = 52 3x2 − 7y2 = 80 q) x2 + y2 = 100 x − 7y = 50 r) x2 − y2 = 16 3x − 5y = 0 s) y2 = 4x x2 + y2 = 32 t) x + y = 13 √x − √y = 1 19
  • 20. 20
  • 21. TCeáml au4lologarítmi oye ua iones exponen iales 4.11..aC)aCl uolanl oespsigtuoiendteeslolgoagriatmroist,maploi adndeoluandennúi imón:ero log3 9 = b)log2 1024 = f))d)e)log2 8 = log 1 9 = log 100 = log 1 8 = h)log2 1 = i)log2 0, 5 = j)log2 0,25 = k)log3 243 = l)log3 2.Ca)al o)p)q)r)s)3 = log5 125 = log√4 = log216 6 = log9 3 = log4 √2 = 2 2 k)f)g)l)h)i)j)= log0,5 4 = log√3 = log9 1 = log 10100 = √8 = 3 log2 log3 √3 = log 1 1024 = g)log 1 2 1 9 = m)log 1 3 1 9 = n)log 0, 01 = ñ)log8 1 8 ulalossiguienteslogaritmos,apli andoladeni ión: log2 512 = b)log3 27 = )log 0, 001 = d)log 1 36 = 3.Ha)alalabasedeloslogaritmosenlassiguientesigualdades: loga 4 = 2 b)loga 9 = 2 e)f)g))2 4.Ca)al h)d)loga 625 = 4 loga 243 = 5 loga 256 = 8 loga 0, 125 = 3 loga 0, 001 = −3 loga 1 = 0 2 = e)log2 1 64 9 e)f)d)= −2 logx 0, 015625 = 3 logx 125 = 3 logx 3 = 3 = m)log25 1 125 = n)log49 7 = ñ)log 1 6 ulalabasedelossiguienteslogaritmos: logx 3 = −1 b)logx = 1 )logx 5.aA)pli 1 9 1 2 1 2 g)logx 1 4 l)= x log343 √7 = x 21 = 2 h)logx 2 = i)j)k)l)1 2 1 logx 0, 04 = −2 logx 4 = − logx 7 = −2 logx √4 3 = 2 andoladeni ióndelogaritmoresuelvelossiguientesejer i ios: 2x = 16 b)2x = 32 )31/x = 9 d)log2 64 = x e)log3 81 = x f)log101 10201 = x g)log16 0, 5 = x h)log10 0, 00001 = x i)logx 125 = 3 2 j)logx 1 3 = − 1 2 k)log125 1 √5
  • 22. 6.aC)al ulaelvalorde,apli andoladeni ióndelogaritmo: xlog 2 √4 2 = x d)x = log3(3√3) e)x = log3 = 7 l)log2/5 x = −1 7.Ha)alaelresultadodelassiguientesexpresiones: log5 125 − log3 243 + log4 256 = b)log3 1 + log2 64 + log3 9 + log7 49 = )log2 4 + log3 81 − log6 216 + log4 64 = d)log3 i)81 j)3 16 = x = log√81 x = 3/3 log√3/3 = x b)log 5 3 27 125 = x )log8 √4 3 9 ! f)x = log81(3) g)x = log81 √3 3 ! = h)x = log1/9 √4 3 3 ! √4 3 4.28..SaPbiernodpoiqeuedadesdeloslogaritmos 3 a) b),y,halaaproximadamenteelvalorde: 1 − log2 0, 5 = 36 log 2 ≃ 0′3010log 3 ≃ 0′4771 log 7 ≃ 0′8451log 30 log 84 ! k)logx 1 2187 e)f)g))1 − log5 0, 2 + log6 9 9.Sabiendoquea) ,, d)h)log 162 log 0′128 log 14′4 log √3 12 log 25 log 0′125 log 2 ≃ 0′3010log 3 ≃ 0′4771al ula: log 2, 025 b)log √5 0, 02 e)f)g))h)d)log log5 4 log√0, 3 log 8 log 5 log 10.Halaelvalordea) enestasexpresionesapli √0, 025 3 x 11.Sabiendoqueel8 a) 12 log 16 log k = 14, 4 d)5 12.Compruebaque log1/2 x log andolaspropiedadesdeloslogaritmos: ln x = ln 8 + ln 2 b)log x = log 36 − log 6 )ln x = 3 ln 2 d)ln x = ln 3 + ln 2 − ln 6 e)log x = 4 log 2 − , (siendo1 2 13.Compruebaqueen 14.Da)esarolalassiguientesexpresionesutilizandolaspropiedadesdelosl.ogaritmos: ualquierbase'a6= 1) loga 001 + 3 loga 100 − 4 loga 10 = 0log log 25 f)log x = 3 log 2 − 1 4 al ulaelvalordelassiguientesexpresiones: log k 100 b)log(0, 1k2) )log 3 s 1 k 1 a + log√a log a3 = − 1 6 a2b c b)log(a2b3c) )log d)a2√3 b √4 q c3 m 3 n4 log p m/n n e)log2 1 23x f)logx √x √3 x2 15.Ca)omprimelasexpresionesdemodoqueellogaritmoaparez aunasolavez: log x4 − log√xy b)log x − 2 log y )3 log x + log(1 − x) d)log x 2 + log y 4 e) −log x − log y f)log xlog x 22
  • 23. 16.Ea)liminaloslogaritmosenlasexpresionessiguientes: log x + log y = 1 b)log x − log y = −1 )4 log x − 3 log y = 2 d)2 log x 3 − 1 = log y e)log(log x) = 1 4.317..Ra)eEsu eluveal asiosingueiesnteesxep uoa nioennes b)eixapolenesn yialelso:garítmi as 3x = 81 42x−1 = )2x+1 = √3 4 d)5x = 42 e)2x = 3 f)3x = 1000 g)3x + 3x+2 = 90 h)2x−1 + 2x+1 − 2x = 12 i)10x−2 + 10x−4 + 10x−6 = 10101 j)3x2 o)m)n)k)1 p)4 l)ñ)q)−2x = 1 3x + 32−x = 10 23x−1 = √4 2 32x+2 − 28 · 3x + 3 = 0 3x+1 + 3x + 3x−1 = 39 24x − 22x − 12 = 0 52x+1 5x+2 2x2 32−x2 − = 2500 = 5 r)x)u)s)v)y)t)w)z)1 = 3 22x−1 = 3 4 · 2x+3 = 4x−1 + 2x+2 = 48 2x−1 + 2x + 2x+1 = 7 2x+1 + 4x = 80 3 · 4x+1 − 5 · 2x−1 = 182 52x − 6 · 5x + 5 = 0 4x+1 + 2x+3 − 320 = 0 81+x + 23x−1 = 17 16 18.Ra)esuelvelassiguientese ua ionesexponen iales: 102+x = 1 b)2187 = 3x 1 512 d))23x+2 = 4x−1 −5 = 81 f)41−x = 0, 125 g)22x−3 = h)5x + 5x−1 = 6 i)3x + 3x+2 = 30 j)5x + 5x+1 + 5x−1 = m)1 x ñ)2 k)l)p)n)r)3x−1 + 3x+1 − s)q)o)3x = 189 2x−1 + 4x−3 = 5 t)v)2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 480 u)2x−1 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4 = 960 2x + 2x+1 + 2x−1 = 7 4x − 5 · 2x + 4 = 0 3x − 31−x = 4 52x − 30 · 5x + 125 = 0 4x − 3 · 2x+1 + 8 = 0 2x − 4−x = 0 3x + 9−x = 0 22x + 22x−1 + 22x−2 + 22x−3 + 22x−4 = 1984 = 16 e)3x2 1 8 31 5 7x+y = 493 7x−y = 49 w) 3x+y = 729 3x + 3y = 90 19.Ra)esuelvelassiguientese ua ionesysistemaslogarítmi os: log2(x + 3) = −1 b)loga a = x 23
  • 24. )log 7 = log x + log 3 d)log7 + log7 5 = 2 e)log 2 + log(x − 3) = log√2x f)log(3x + 5) − log(2x + 1) = 1 − log 5 g)2 log x − log(x + 6) = 0 h)log(x + 2) − log(x + 1) = 1 i)4 log k)x 5 m)j)l)= 2 log x n)2 log2 x − log2(x + 3) = 2 log(x2 − 3x + 12) = 1 log√3x + 1 + log 5 = 1 + log√2x − 3 log(25 − x3) − 3 log(4 − x) = 0 2 log x = 4 + log ñ) x 4 − log 3 81 x 10 ( p)x2 − y2 = 99 log x − log y = 1 = 1 ( o)  log2 x + 4 log2 y = 6 log2 x y x + y = 22 log x − log y = log 10 q)( 2x+3 : 2y = 8 log(xy) = 10 r)( log(x + y) + log(x − y) = log 145 2x−12y+1 = 32 s)( log(x + 2y) = log 50 log x + log y = 2 + log 2 20.Ra)esuelvelassiguientese ua ionesysistemaslogarítmi os: log1/3 √3 81 = x b)log2(2x − 1) = 3 )log x + log 50 = 3 d)2 log x = 1 + log e)2 log x = 2 + log(x − 16) f)log x − 1 = log(22 − x) g)3 log x = log 6 + 2 log x h)log x + log(2x) + log(4x) = −3 i)5 log x − log 32 = log k)j)11 x + 10 log(x − 2) − 1 = log 2 − log(x − 3) log(16 − x2) m)ñ) x 2 n)= log 1000 log(3x − 4) 3 log x − 4 log 2 = 3 log 3 log(x − 53) + log(x − 5) = 2 log 2 + log(11 − x2) = 2 l)log(35 − x3) log(5 − x) log(5 − x) = 2 o)( x + y = 22 log x − log y = 1 p)( log x + log y = 1 2 log x − 3 log y = 7 q)( log(x · y) = 4 log x − log y = 5 24
  • 25. TPermogar5esiones. 5.11..EsS ruib eelossi ounaterospdrimeernosútmérmeirnoossderleaasule essióndetérminogeneralan = n + 1 n 2.Cal ulalosdiezprimerostérminosdelasu esióndetérminogeneralan = n2 + 3 3.Dadalasu esiónan = .Cal ulaa1,a5 ya114.Si . an = (−1)n(n + 1).Halalostérminosa2,a7 ya105.Cal ulaeltérminoqueo upaellugarquin eenlasu. esiónan = 2 − n2 n2 − 1 6.Ha)alalaexpresióndeltérminogeneraldelassiguientessu )2n2 + 1 n + 3 e)b)d)esiones: 1, −3, 5, −7, 9, . . . 1, 4, 9, 16, 25, . . . 1, 2, 4, 8, 16, . . . 1, 4, 7, 10, . . . 1 , . . . g)2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . h)1, 7.Dadalasu 2 3 4 , , , 2 3 4 esióndetérminogeneral5 , . . . an = , . . . f)5 3 , 10 9 , 20 27 , 40 81 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 2n2 + n + 3 n + 1 ,halah sabiendoqueah = 108 8 5.28..Ca)aPl urloagelrteérsmioinnoegesneararlidtem aédatiu naasdelasprogresionesaritméti assiguientes: 1, 6, 11, 16, . . . b)1, 5, 9, 13, . . . ) −8, −5, −2, 1, . . . d)2, 0, −2, −4, . . . e)3, 8, 13, 18, . . . f)1 , . . . 9.Cal ulaeltérminoa20 10.Cal ulaeltérmino delasu 11.Ca)ompletalostérminosquefaltanenlassiguientessu 12.Da)elassiguientessu ) b)esiones: 5 3 , , 2 8 4 , 2, . . . 7, 10, . . . , 16, . . . , 22, 25, . . . . . . , −3, −5, −7, . . . , −11, . . . −5, −3, . . . , 1, . . . , 5, . . . delasu esiónesión5,10,15,20,. a18 1, )esionesindi a uálessonaritméti 3 2 d)b)asy uálesno: 5, 7, 9, 11, . . . 2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . 1 1, 4, 9, 16, 25, . . . 25 2 4 , , 1, , . . . 3 3 3
  • 26. 13.Haal)laEllostrtiégrémsiminooseqnueseindi anenlassiguientesprogresionesaritméti as: 1, 6, 11, 16, . . . b)Elde imosextoen1, 5, 9, 13, . . . )Elvigésimo uartoen −8, −5, −2, 1, . . . 1145..HIa n))atleCClraipuneao ltloartoéteréntmrémruinmnionaionvspoigrseoénegstnirrmteersoei3óe5nynya2ur72nit5ampértoi ia2. 16.Haal)laLloass2u5mparidmeelroossttéérrmmininoossddeeunaprogresiónaritméti garelsoisóntéarrmitimnobést)iq Taureesisseentédirnomdeii lnaponsr:imenetrreté1r2myin-o27yladiferen aenlossiguientes asos: 3, 8, 13, . . . b)Loa22primerostérminosde42, 39, 36, . . . )Los40primerostérminosde1 . . . 111789...H2C¾C4aaully láauenlllataodlsséau timsémurammodai2ne6do.lseoslho1as2ympqúrulietmipeslruoomssadtreérd5me9in laoosmpdpreoregunrnedsaiidóponrsoaegrnriettrsmeióé1nt0i a0ar0itym2é0ti0 20.rLeasuslutmadaod1e064? 0a.sabiendoqueelter 5 3 , , 2 8 4 paraobtener eroes 2, 8, 14, . . . omo n 21.Shaembioensdsoumqaudeo?númerosnaturales onse utivostomadosapartirde11es1715.¾Cuántostérminos a5 = 18 yd = 222.aySreliat mosnuéstmii daae.rdaenl 1u6atrétromyineolsdde eimu,nohataeprl raoergloareesssuióm1n8aa.rdCietamll oéustlia naul.oesvLeaexpdtririfememreeornos .siatéernmtrienolossddeodsie xhtarepmroogsreessió1n6 2243..-HdC3eaalyllpaulrolilasmostterrsreeeossisynúpúletrmliimmseeoregosruso2nss4dat.obérieemsnidingoousqaudleealeustnteaárn pereronogmpreresonigóornsesa2iróiuntnmaidéritatidm aeésst.ia bai,enqudeosquuesulmosatreess1p8ryimqeureoslasusmumana 5.325..aE)nP ureontgrar eusáileosndeeslasgseigouimentéestrsui easiosnessonprogresionesgeométri as: 2, , . . . b)12, 20, 50, . . . )27, 45, 75, 125, . . . 26.Halaeltérminoduodé imodelaprogresión2, 4, 8, . . .27.Cal ulaeltérminodé imodelaprogresión . 1 2298..rEDelestpteéerr mmtiiivnnaaomlseoénspttseii.metoedperimunearopsrtoégrrmesiinóonsgdeeomunéatrip 4 8 16 , , 3 9 27 26 raogvarelesió2n43gyeolmaértarzió ans3i.lHosaldlaoselpprirmimereorstésromni3noy.4 1 1 , , , . . . 1000 100 10
  • 27. 3312..IInntteerrppoollaa 30.lDuogsartéqrumeino iuna ousp torotétrémrminionsosenetnrtere74yy5103demodoqueformenunaprogresióngeométri aonnssei eultpivroimsedretuérnmaipnroodgreelsaiópnroggeroemsiéótnrie savalen6y8respe tivamente.Cal ulael 81 32 a. 1 8 3334..H¾7C,aeulláaúntlttroiemsstonéúr4mm48ienryoosssuseenshupamrnoagtr8oe8ms9iaó?dnogdeoemudénetarmip raoodsgoarbeqsiueiónendfoogreqmoumeenéstuurni sauampsraaobgeiersen2sdi6óonyqugseueoepmlrépotdrriuim aet.ort2é1r6m.inoes 3365..epTLlrarietmessuret mréeorramoy,dinee9lo6lssouésepnsstitdiiáemantdeoeeptsnérmripmmraeoiynrgooorrs.eqstiuéórenmegilnesooemsguédtnerdiu ona.;aHepalrlsloaegglruoenssidnóonúmegseeor3om2s.éutnrii daaddeesrmazaóynor3qeuse7e6l5p1r.iHmaelrloa,eyl 3378..HeEHsnaa2llllu7aanvelaoels pteérásronmgeglruienmlsooiesónsndeoxergt.euoon.m éutarid rai,láltoesrot,érsmisineossabperimqueeroesytádne einmporqougirnetsoiósnonge6omyé5tr4i, areyspqeu teivealmmeanytoer. 4309..pEtUérlnrimmpareiopnrdrooouygy rteleoalsditsóeéunrmlmogasiensodoemeispélroptirsrmii dmeaoresotriopeesrnsitem2é.re mCrinoia snlo otusétlrédamremliauninonrsaaozsepó,srnol2agy4r.reeaHslziaótóélnnlramgeelsioonsmiog éusitnearx 41.Cal ulalasumadelosinnitostérminosdelaprogresióngeométri alio taoat.éelarsmi giuunaaorlst.aaltpéarrmteindoevligpérsimimeor 5.44432...PUmanoPrda 44.eq¾duCuerueóodmlsaao?aaldnetnbeareilnodrr?eelpsaergtiurnsedo10a0ñoli,tr3o5s0d0eeuvrinoosaenl1n0avladseijlatse,rp orosorqaoulbdneaelllreaummpnraainmaddseaerua5dv0aa5lad0retisea3on1ldgd.0aao0du0sonsesuyorlodqsau,diueonr.ealafposerermgsouannrad apoandgoeaslr,láolas3t0ue0nr0 eterruiaárontrsgeuasl,loetnp 0, 1; 0, aa.lr¾adCeuulnápnartiaemxsehrilbaaisñ 01; 0, 001; 0, 0001; oihó,an3b,2rd5á0?e . . . aerraañqou,ee ta d.a¾Cvausáinjato otnatrednagráa2enlistaroldsamrálas 4465..p eSUsueentarámsnmnadabuoane i 4487..2ElUpe6anns taoubidesnutnoaeóesnpeo5 peh qaaleaui llt7aor gdheeaa,on?spq.loua¾riCe truaéeábrnpmetzooiannedourenmb4o5eesrdpá iiouea,dantredralaosrpeaesnñlioolsisón .lreoeUa pneruee mpdteaeeldoalilone3vo,mar6mri,líu9amn,l.eaq.t.urpmoeieedn tararadoz saeadndehí aoda,yids,yat¾aqvqnuiu aeiéjaeul?donenlg liautbugedalrlotdeonsandndráoe no áohtsr aebht roe ieóloseansslat.óhñsSeaoixenystidso 5eei1apsvelromaollpavessiniaeótbtdeaaeerr6viá0oeer.nl?0bdn0¾oeú0Qlremesuau.eélrrCaoo aasmd.dneiaAttiaádldra lbadadobetploeilaesúdnglqaeeturitmdoeroneohsseapáanyrrñebteo onoistolaesl,aeslylpvmoaerssáinímssdseeiuqiórsu aeaepsrlilaovlaaapm,amieenitenttanaerldtraieioo.dsúr¾e?.lCtpLimuraeáa n,itolyao; elnúmerototaldeárboles. 27
  • 28. 49.Unmóviltieneunavelo 50.vDealod aidlaadsue nes1i5ónm/s.¾C uidáladseirnái laialvedleo 1i0d0a0dmal/s .abCoaddaes1e0gus,nd20osyyde30fosr?mauniformedisminuyela b2 − 1 5521..S¾lSaQeevudlaeéelnjoaaz ab))ECsatlu duauarendarpuadrlni udliaaeslitséertmraintaodne-éusinmaop.rogresiónaritméti ,dondeosaamynepi znetauliorlyátevaee9dnr,te8ies ldmaeol/m uste.nan¾avtCoeaulbhtáouantr aoesgeuonmnéútrmi ear.onatural. lait b2 + 1 b2 + 3 , , , . . .b b b b 53.Uanba)) ¾¾éCCluuulááannstteaosrtei epémlruopldaousd heeabpbeorrárámaplait soaasbrisop adareaduaqnu1a0ehesoexrgiasutnaydn1o01s2:m8i teaio?adtaeirer4mibmpao,y taoernnd uaarndáaaevnbeolaotle iadsnuazbdaerdleala1ma3li7tt,ua2dramdm/esál.axSiamil taua?rdaaasnegteurniodro. néulutolas?s? 28
  • 31. TTermigaon6ometría 6.11..aE)xMpreesadriednarasdidanees:ángulos 1◦ b)120◦ )45◦ d)210◦ e)280◦ f)1120◦ 2.aE)xpresaengradossexagesimaleslossiguientesángulosexpresadosenradianes: 2 3.Ordenademayoramenorlossiguientesángulos: rad. 4.Determinaeláreadeunse 5.Cal ulaengradosyenradianeselsuplementariodel tor ir ular uyoángulo entralmideomplementariode.unángulotoradianes3 6.2. 6.HalaelvalordeRazonestrigonométri . enlossiguientestriángulosre as.Rela ionesentreelas ; /7 . PSfragrepla ements 33◦15′ = 2/7x rad. b)5 4 rad. )18 rad. d)1 rad. e) − 3 rad. f)7 2 1 radián; radianes; 30◦24′; ángulore tángulos: b)45◦ 20 tángulo uxyahipotenusa 60◦ 15 rad 130◦ 3/4 10 30◦ 78..DIamn)eiddtiee ram3ei lnm aulyaaxdsurrnaaonztodeneeasslutqsrui geaotpneeotrmotseéntmreii deaens1d ae dmloa.sudnoosdánegluoslossigdueiuenntterxsiáánngguulloosr:e )3507◦ d)11/3 rad e)7/3 rad f) −135◦ 9.aIn)di a,sin al ularsuvalor,elsignodelasrazonestrigonométri asdelossiguientesángulos: 179◦ b) −120◦ e)68◦ f)235◦ 10.Sabiendoque esunángulodel yal ulalasrestantesrazones −18◦ tg x = −12/5 x ∈ IV )342◦ d) uarto uadranteyquetg = −211.tSraigboiennodmoéqturie as. , al ulalasrestantesrazones esunángulodelsegundo uadranteyquesen = 1/312.tSriigonométri as. , uadrante.Halasen x ycos x13.Si . tg x = 4 3 , al ulalasdemásrazonestrigonométri aspara x 3 2 31 .
  • 32. 15.Ídemsi 14.Ídemsiy . sec x = −3 x cotg x = − x 16.Si . cosec x = −5/3 y x 17.Sabiendoque ,halalasrestantesrazonestrigonométri as. sen 5◦ = 0, 0875 trigonométri asde (aproxima 18.Hlaa)asldlaelelánánguguloloddaedlop:rim.er 3 2 3 iónporredondeoalasdiezmilésimas), al ulalasrazones 4 175◦y uadrante uyasrazonestrigonométri as oin idanenvalorabsoluto on b)2 19.aH)alasin 32 ) d)e)f)−86◦ 400◦ 150◦ 230◦ 300◦ 2329◦ al uladora: sen 330◦ b)sen 180◦ )cos 330◦ d)sen(−120◦) e)sec(−270◦) f)cotg 4500◦ g)cosec 2700◦ h)sen240◦ i)tg 315◦ j)tg(−30◦) k)sec(−180◦) l)cos 1800◦ m)cos300◦ n)tg 150◦ ñ)cos 120◦ 20.Sisen = 3/4 y a) esunánguloagudo,hala: sen(90◦ − ) b)cos(180◦ − ) )tg(−) 21.Sicos(180◦ − ) = −1/3 y a) esunángulodelprimer uadrante,hala: sen b)cos(90◦ − ) )tg(−) 22.Dadounángulo medidoenradianesydelprimer a) b))uadrante,se ono ed),hala: sen = cos sen( − ) sen( + ) sen 23.Dadounángulo delsegundo 24.Sia) ypertene )d)1 4 3 sen( + ) tg ( + ) tg x = 2 x 2 − a) b)uadrante,se ono e,hala: 2 cos = − 5 sen cos( + ) ealprimer uadrante,hala: tg(90◦ − x) b)tg(360◦ + x) )tg(180◦ − x) d)tg(−x) e)tg(180◦ + x) f)tg(270◦ + x) g)tg(270◦ − x) h)tg(90◦ + x) 25.Cono iendosen 11◦ = 0, 19 ycos 11◦ = 0, 98a) , al ulaelseno, osenoytangentede: = 79◦ b) = 101◦ ) = 169◦ d) = 191◦ e) = 259◦ f) = 281◦ g) = 349◦ h) = 371◦ 26.Ca)ompruebalassiguientesidentidadestrigonométri as: sec2 + cosec2 = sec2 cosec2 b)(sen + cos )2 = 1 + 2 tg cos2 )cos + tg e)g)f)h) 1 + cotg2 cos2 = (cosec x + tg x) cos x = sen x + cotg x tg a + tg b sen2 a − cos2 b = sen2 b − cos2 a = tg a · tg b i)1 + tg2 x k) cos tg 1 − tg2 a sec − cos = cotg + sec d)sen2 = 1 cotg2 1 + cotg2 cotg a + cotg b cotg x = tg x cos2 x j) sen a · cos a cos2 a − sen2 a = tg a cosec − sen = tg3 l)cos2 x − sen2 x = cos2 x 1 + sen x − sen2 x 32
  • 33. 27.Sai)mpli alassiguientesexpresionestrigonométri as: sen3 a + sen a · cos2 a b)sen a )cos3 a + cos2 a · sen a + cos a · sen2 a + sen3 a d) cos2 a e)1 tg a 1 − sen a (1 − cos x)(1 + cos x) sen x f)cos4 x(1 + sen x) (1 − sen2 x)2 g)sen4 x − sen2 x · cos2 x cos4 x − cos2 x · sen2 x · cotg x h)√1 − sen a · √1 + sen a √1 − cos a · √1 − cos a i)(1 − tg2 a) sen a · cos2 a (cos2 a − sen2 a) tg a j) cosec a 1 + cotg2 a k) sen x − 1 cosec x + cos2 x cos x + cotg x cos x l)sec2 a + cos2 a sec2 a − cos2 a 6.328..HaEla utoado siloosnáensgultorsigonométri as x a) talesque: tg x = 1 b)cos x = −1/2 )tg x = √3 d)sen x = √2/2 e)sen x = cos x f)sen x = 0 g)sen x = −1/2 h)cos x = −1 i)tg x = 0 j)cos x = −√3/2 k)cos x = −1 l)sen x = −√2/2 29.Ha iendousodela al uladorayredondeandoalosminutos,resuelvede0◦ a360◦ ea )ua ionestrigonométri as: lassiguientes sen x = 0, 5432 b)sen x = −0, 3714 )cos x = 0, 7321 d)cos x = −0, 1238 e)tg x = 1/5 f)tg x = −1/3 g)sec x = 7 h)cosec x = −4 i)cotg x = −0, 3 30.Ra)esuelvelassiguientese ua ionestrigonométri as: sen(2x + 1) = = √3 d)sen2 x − 2 cos2 x = 1 e)sen x + cosec x = k)g)i)1 f)2 h)j)6.431..ReRsueelsveollous siigóuinentdesetritárngiáulnosgrue ltoánsgurloes (tángulos l)5 sec x − 4 cos x = 8 5 cos2 x + sen2 x = 2 7 sen ,x eslahipotenusa,+ 4 cos2 x − 2 = 0 2 sen2 x + cos x = 1 sen2 x − cos2 x = 1/2 3 cos2 x = sen2 x 2 sen2 x + cos2 x = 1 ysonlos A = 90◦a b c b)sen 5x − 3 = − √3 2 )tg x − 5 5 2 atetos,B eselángulosopuestoalladob yC elánguloopuestoalladocada)tos: )delosque mym b)ono emoslossiguientes a = 10 b = 6 a = 15 myB = 32◦12′ e))mymyd)myb = 12 B = 72◦10′ b = 7 C = 23◦15′ b = 15 c = 20 m f)Laalturarelativaalahipotenusaha = 5 myB = 35◦20′ 33
  • 34. 33.CCmaaálls 34.Desdeloaltodeunfarode35.mdealtura,seveunbar 32.A30metrosdelpiedeuna 35.DrCaaeytlo esurmldaeinllaasodllaisstloaobnnr uualllaatallaabaaajlltotuuurraanddáeengulaunl geiiateuladhlodareiqzluoaenstsoeemeesbnrd oehddiime einoe,as.idesdeelsueloyaseuvnealdaisptaunn himeneadefábri a aueeqnuterapreolybea obajounángulodedepresióndetiaaddeeéssutap,iebdaejo30unmá,nsgeuvleoldaeparte. 68◦42◦18◦36.áDnegsudleoldaeoriladeunrío,sevelaparte.másaltadeunárbolsituadoenlaotraorila,bajoun .sinosalejamosdelaorilaendire rt ao.unárbolde7mdealtura,silaeleva iónperpendi ular25m,elánguloesahorade ióndelos. 23◦25◦20◦37.Daletos.ddDeeeuutnenrbmfaairrn oaoslisatiutauanad dohousoarba1rd0e0eulmnríaod .eanlatil aodsota, yonenánpgeruploesnddie uelleavraa ieólnlad,esevelabaseyelpuntomás 22◦ y25◦ 3389..LCDaaestl edurimlaagineolanralaaledsaioldt,uelrauanadpreooltmefambrooa.myiedleánre5a2dye6u6nmo. tHóaglolanolorsegáunlgaurlodsey10el lmaddoe.lado.respe tivamente. 40.HalalalongituddeuntúnelAB PSfragrepla ements queatraviesaunamontaña,sabiendo: 3 km 500 m 700 m 50◦ B 41.D oomsu nire suensfedreen iasse antestienenderadios6 my8 m.Elánguloqueformansusdostangentes 30◦42.Desde iertopunto.Cdeall suulealolasedivsetaenl piaunqtuoemhaáyseanlttoredleosundaosto ernetrfoosrmdeanladso uirn uánnfgeurelon dieas.30◦ lahorizontal.Sinosa er amos75mha iaelpiedelatore,esteángulomide 70◦ 43.dEdeenl uaonnttoirnrorslet.adnetleaedraodpou,eerltoalmtímedeitarnotedeunuanaviasvuiaolnqeutaerfeogrmistaraun10á9n5gmuloddeealtitud.Elp.A ilHotaolavelalaatltourrrae on 44.dDiesstdane eilapduenltaoemroepduioerdteolvaudeilsataenl aipaaernattroe?dostores 60◦81◦ onlaverti al.¾Aqué A yBsuperioresson ,losángulosdeeleva ióndesusextremos 30◦ y60◦ respe tivamente.SiA tieneunaalturade40m,halalaalturadeB distan iaentrelastores. yla 34
  • 37. TFeumna i7onesrealesdevariablereal 7.11..DeClaosnsi gueiepntteosgdráe afsu,n¾ uáiólesndeelasno orespondenaunafun ión? PSfragrepla ements a) b) ) d) e) f) g) h) i) 1 1 1 1 1 1 2.Consideremoslafun ióndadaporf(x) = a)Lasimágenespara , al ula: x = 2,x = −5 yx = 1 1 1 2 5 b)Losoriginalesparay = 0 ey = 63.Si 2x x − 1 )Dominiodelafun ión. . f(x) = √x + 3a) ,hala: f(1),f(0),f(−2) yf b)¾Cuántovalef(−4)?¾Pertene e −4 )Cal ulalosoriginalesde aldominiodelafun ión? 3,5 yde2 d)¾Cuáleseldominiode − ? 26 9 3 37 f
  • 38. ementsd 4.Dae)laCsasli b)En guuliaentesfun uentralosvaloresde ,ionesdadasporsugrá PSfragrepla ,yparalosque. a: f(−3)f(0)f(4) f(3)x f(x) = 2))ECsatlu udliaaelald oomntiinniuoidyaldadimelaagefunn. ión. . dhgfe)))))I I I i) 1 1 dhgfei)))))) idoandjuyntao iomtaa gieónn,.intervalos 6. Dióaibn)u:jalasgrá 1 PSfragrepla emen5.tsOdaeb) sererv aimlaiesngtroáy da1es dree liamsiseingtuoi,enextetbsr)efmuno siorneleastiyvodsetyeremstiundaiasusudo moni nt)iion,u as1 orespondientesalasfun iones1 onlas ara terísti asquese itana ontinua- Dom(f) = (−∞,−2]∪[2,+∞); Im(f) = (−∞, 2]; máximosrelativosenlospuntos(−3, 2) y(3, 2)b) . Dom(f) = R; Im(f) = (−3, 2); mínimorelativoenelpunto(−2,−1) enelpunto ymáximorelativo (0, 1)) . Dom(f) = (−∞, 0); Im(f) = (1,+∞) d) yestri tamente re ienteentodosudominio. Dom(f) = R − {0}; Im(f) = R; estri 7.Ca)al de re ienteen tamente re ienteenyestri tamente (−∞, 0) (0,+∞ ulaeldominiodelassi.guientesfun iones: f(x) = x3 + 3x b)f(x) = −5 )f(x) = 2x + 4 d)f(x) = − 3 j)2x + 3 x2 + 2x − 3 f(x) = e)f(x) = 3x − 1 x2 − 8x f)f(x) = x2 − 3x x2 + 5x + 7 g)f(x) = 3x x2 − 9 h)f(x) = 1 x3 − 2x2 i)f(x) = 2x − 1 2x + 5 x2 − 1 k)f(x) = 3x + 2 x3 + 3x2 − x − 3 l)f(x) = x2 − 5 x2 + 1 m)f(x) = √2x n)f(x) = √3x − 2 ñ)f(x) = √2 − 3x o)f(x) = √x2 + 2x − 3 p)f(x) = √x2 − 1 q)f(x) = √x2 − 2x 38
  • 39. r)f(x) = √2x2 + 4x + 2 s)f(x) = √x2 + 2x − 8 t)f(x) = √x2 + 4 u)f(x) = x)s x + 4 x − 3 x − 2 3x + 9 f(x) = v)f(x) = 1 √x − 1 w)f(x) = s s 4x + 3 x − 1 y)f(x) = s x2 − 25 x + 2 e)d)y = 2x y = − z)f(x) = √x + 2 7.28..eaRj)eeFps:ruesnen tiaolnasessiguliiennteesarlee b)stas, al ulandodominio, )onjuntoimagenypuntoxs−de1 ortes onlos y = −3 y = 0 y = 3 dhgfe)))))a) b) 2 daeplaarsare atdaasudnelaeljaero ir dieonaandtaereinor.el 1 4 x f)y = −3x + 1 g)y = 2x − 4 h)y = − x + 1 PSfragrepla em1en90..tsLDoraiisg eugnár,állea saplsaenspdigeiunenidetineetneetsein ydoirl araeosspridosenondnaedn areae nifeunenlt eoisorniogeedsnel idnreee a ilaeendst.aeIsun:ndai 2 ) i) 1 1 11.aR)epresentagrá a1mentelassiguientesfun iones: f(x) =   2 six ≤ 3 x − 1 3 x ≤ 8 7 si8 x b)f(x) =   x 2 six ≤ 4 −x + 3 si4 x )f(x) =   x − 2 3 six ≤ 2 2x si2 x ≤ 3 0 x 3 d)f(x) = −2 six 3 2 12.Representaenlosmismosejeslasre tas x 6 y = 2x,y = 2x+2 ey = 2x−413.qdUuenerrede eptpaaesrntpiddaeorardleedlleanspú?mereiórdoi doesp eorbiórdai uonsare paanrttididaodsajaradzóianridaed0e,192eeuurrooss.mp¾oáCrsópumenroaiósd oain nolt.aidsapdenvdaireianbteles a)Es ribelafun iónquepermiteobtenerla antidada obrar(y) periódi osrepartidos enfun ióndelnúmerode (x)db )))¾SSPiiuu ienedrdetoía odrbíearpaharartue no1bd2rí5aadp1oe6r,1.i8ó96,d3ei2 uoresou,sr¾?o su,á¾n tuoán otobsrapeersieóddií ao?sharepartido? 39
  • 40. 14.Porlaen uaderna ión e2u0ar0)o.sAEd.inRep neaudsrepotnoirtdnreddaleenlaalúamfsluae2snr0 sod0iiógednpueláiieqbgpnuirántoegeasisnsnn,opaospsrseoddg raeuo nbéeatrsldaatpaesn.:rpe7 áiegouinraoaspda eagdamraápusonsroelsaiin eerlne nmuúaemdneteraroneadl epiórpneá gdioienaausnntneloribiosruropedenreap0e,l0an2s- 15.Unba)dCCReauetpdoerrtaeamsheimonnraetandasadguereaám lodp neraeemxasibaeóonnnntoeo1s,e86ostfeerauuerr fouoessnl.. aióonfe.rtasiguientepor ab 7.316..laRa)eFmpruoensneont )))hLREaaneyp eaurmeeesnpsettrnaretabsaalleag otianoílaan,seesxisgtrue raifádurogn iemunotasesdypraa a laaiumónn eon1qnt6ueexe%eiónsdntoae.sfIiunVndA ráoáttbaio liaóasns iq.ióu¾neC.eólmporea fieo taapeasgtoaramlaenfusuna one tarnosaInternet: limónenatnet,esreiogrúnyalassuhogrraás qau?ese .al ulandodominio,imagen,vérti eypuntosde ortesyestudia y = −x2 b)y = x2 − 3 )y = x2 − 4x d)y = x2 + 4x + 1 e)y = −x2 + 4 f)y = x2 − 2x + 2 g)y = −x2 + 2x − 3 h)y = 2x2 − 10x + 8 17.Raep)resentalassiguientesfun iones: f(x) = x2 + 2x parax ∈ [−3, 2] b)f(x) = −2x + 1 parax ∈ (2,+∞) )f(x) = −3 parax ∈ [−2, 6) 18.Representagrá amentelafun iónf(x) = 2x2 a) yapartirdeelarepresenta: f(x) = 2x2 + 1 b)f(x) = 2x2 − 2 )f(x) = 2(x − 1)2 d)f(x) = 2(x + 4)2 e)f(x) = −2x2 f)f(x) = −2x2 + 4 19.Ra)epresentagrá amentelassiguientesfun iones: f(x) = 1 − x2 six 1 20.Halaa yb paraquelaparábolay = x2 + ax + b paseporlospuntosA(0, 4) yB(2, 2)21.lLaafuanlt uiróanenmetros,al anzadaporunobjetolanzadoverti almentedesdeelsuelovie.nedadapor f(t) = −10t2 + 20t,dondet ab))R¾Eenprqesueénitnastgarnáte aaml eanntzeallaafaulnt uiróane.mseálxtimiema?p¾oCeunásleegsuensdaoas.ltura?   2 si x −1 −2x −1 ≤ x 1 x2 six ≥ 1 b)f(x) = x2 six ≤ 0 −x2 x )f(x) = 2x2 − 2x six ≤ 2 2x 2 x ≤ 4 d)f(x) =   x2 − 1 si x −1 0 −1 ≤ x ≤ 1 40
  • 41. TÁelmgeab8radefun iones.Estudiode nuevasfun iones. 8.11.. aRo)eFrptreue snoenn tialoosgnreájeess :amraendtei laassliegsuientesfun b)iones, al ulandodominio, onjuntoimagenypuntosde f(x) = √x f(x) = √−x )f(x) = √x + 3 d)f(x) = −√x e)f(x) = √x − 2 f)f(x) = √3 x g)f(x) = √3 x + 1 h)f(x) = 2 − √x − 2 i)8.22..Raas)eFípntruoestneans :tiaognráes amdeenteplraospsigourie ntieosnfuanl iiodnaesd, ailn uvlaenrdsoadominio,fi(mx)ag=en3,+pu√nxtosde ortesy f(x) = 1 x b)as y = log(x2 − 4) y = log(x2 − 6x + 8) b)f(x) = 2 x − 2 )f(x) = − 1 x + 3 d)f(x) = 2x + 1 x − 1 e)f(x) = x + 1 x + 3 f)f(x) = − x 8.33..aH)aFluanel dioomnineiosdeelxaspsoignuieennte sifaunle isoneys:logarítmi x + 2 )y = log 1 − x 1 + x d)y = log 1 − x2 x + 3 e)y = 3x + 1 e)2x + 3 )d)y = ln(9 − x2) y = log(x2 + x − 2) y = log f)y = x − 1 2x − 4 g)y = 3x − 1 log2 x h)y = log3(x − 1) 3x − 9 i)y = i)log2(2x − 4) 2x − 16 j)k)l)22x − 6 · 2x + 8 y = 31/x y = 3√x y = 4(x+1)/(x−1) y = 3 j)y = log2 x log2 x − 1 4.Ha)alaeldominiodelassiguientesfun b)iones: x 1 y = log(x − 3) y = ln − x + 2 x2 + x − 2 x2 + x − 6 f)y = 2x 2x − 2 g)y = 4x−2 16 − 4x h)y = 3 √4−x2 m)y = ln(x − 4) x − 5 n)y = 1 ln x ñ)y = x + 1 ln(x − 2) 41
  • 42. 5.aD)adaslassiguientesfun iones,halasugrá a: y = 2x−1 b)y = 3x−2 − 4 )y = 1 + 2x d)y = 2−x e)= log2(x + 3) f)y = 1 + log3(x + 5) g)y = log2(x + 1) h)y = 3 + log2 x i)f(x) = 8.46..DaOdapselarsafu ni oionneess si 2x x 0 x − 1 x 0 onfun iones.Composi ión f(x) = y g(x) = x − 2a)Dom , al ula: f yDomg b)f + g; f · g; 7.Apartirdelasfun ionesrealesdevariablerealdenidasdelaforma: ysusdominios )ysudominio x + 3 x2 − 1 f 1 g f x −→ f(x) = 1 x − 1 y x −→ f(x) = 1 x + 1 aa)l Duolam:f yDomg b)f + g ysudominio )f − g d) ysudominio 3 · g ysudominio e)f · g f)f/g 8.Dadaslasfun ionesrealesdevariablereal f yg denidasdelaforma: x −→ f(x) = 1 x2 − 4 y x −→ f(x) = x + 2 x denelasfun ionesf + g,f · g yf/g 9.Dadaslasfun iones ysusdominios. f(x) = x2 yg(x) = √x,denelasfun 10.Dadaslasfun iones iones,yysusdominios. f/g1/f 1/g 1 f(x) = x2 − 1 yg(x) = √x + 2 es ribelos riteriosydominiosdelasfun iones f · g yf/g11.Dadaslasf.un ionesf yg, al ulag ◦ f a) enlossiguientes asos: f(x) = 13.Halala a) omposi 1 x − 2 ióndelafun ión y,halay. g(x) = √xf ◦ g g ◦ ff(x) = 2x yg(x) = x + 2 b)f(x) = 2 1 − x yg(x) = 2x + 1 )f(x) = onlassiguientesfun iones: g(x) = ln2 x b)g(x) = ln4 x 1 x 14.Dadaslasfun a)( ionesb)(,yd),hala: g(x) = ln1/2 x f(x) = log2(x2 − 3)g(x) = 1 + 2x h(x) = log3(2x − 3)g ◦ f)(x) g ◦ h)(x) yg(x) = √x + 1 d)f(x) = 3 x yg(x) = 1 x − 3 e)f(x) = √x + 1 yg(x) = 1 √x + 1 f)f(x) = 2 x − 1 yg(x) = 2 x + 2 12.Dadaslasfun ionesf(x) = x + 3 2x − 1 )g(x) = ln√2x )(f ◦ g)(x) d)(h ◦ g)(x) e)(h ◦ f)(x) f)(f ◦ h)(x) g)(f ◦ g−1)(x) h)(h ◦ g−1)(x) 42
  • 43. 8.515..aD)aCdaosrlarsessigpuioenntedsefunn iioanesi,nhvalelarssua b)ooresfpuonnd ieinótnerer )eíp roí par(oo inaversa): f(x) = 4x + 5 f(x) = x2 + 2x − 3 f(x) = g)x + 2 x + 1 17.aH)alalasre h)y = 3 − 3x+2 y = log2 x d)f(x) = 2 − x x + 3 e)f(x) = √2x f)f(x) = x2 − 3x g)f(x) = √3 x − 1 h)f(x) = 2x + 5 x − 4 16.aD)adaslassiguientesfun iones,halasu orespondientere ípro a(oinversa): y = −1 + log2 3x b)y = 3x+2 )y = 2 + log3 x d)y = 1 − 2x+3 e)y = ípro asdelassiguientesfun iones: y = log(x − 3) b)y = log2(2x + 1) d)log4(x − 1) )2 e)y = log2/√3 x + 1 y = 2 + log3(4x2 + 1) y = f)y = 1 − log3 x 5 m)4 − 3 log(x2 + 4) 5 8 y = f)y = g)j)k)h)i)l)p ln(x − 1) y = 1 − 4 log(1 − x2) y = 2x+1 y = 23−x 23 51−x2 y = 2 + 10x+1 y = 3 − 2x−1 y = − 3 2x+1 − 2 n)y = 3 − 34x+1 ñ)y = ex+1 43
  • 44. 44
  • 45. ABpinénodmi ieoAdeNewton 1.aD)esarolalossiguientesbinomios: (a + 2b)4 b)(x + √2)5 )(a1/3 + b1/3)5 2.aD)esarolalossiguientesbinomios: )(2xy + y3)4 3.aD)esarolalossiguientesbinomios: 4.aD)esarolalossiguientesbinomios: 1 2z + y3 4 b)4 (a − 1)8 (3x − 2y)4 5 b)(x2 + y2)5 5.aD)esarolalossiguientesbinomios: 3x2 + 2y3 4 4 b) 1 √2 + √2 x !10 ) 2x + y 3 ) 7.Halaelvalorde2 √x So1l.u 8.Halaelvalorde6.Halaelvalordex − pai)ones √√6 x − 2 (x + y)5 − (x − y)5 b)(1 + √y)5 (1 √y)5 )− − (3 − 2√3)3 − (3 + 2√2)3 2. a)a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4 x5 + 5√2x4 + 20x3 + 20√2x2 + 20x + 4√2 a5/3 + 5a4/3b1/3 + 10ab2/3 + 10a2/3b + 5a1/3b4/3 + b5/3 32x5 + 20x4y3 + 5x3y6 + 5 b) x3/5 − x2 4 ) x2 2 − 3y 3. a)b))5 x2y9 5 1 + xy12 45 + y15 8 128 1024 x10 + 5x8y2 + 10x6y4 + 10x4y6 + 5x2y2 + y10 16x4y4 + 32x3y4 + 24x2y8 + 8xy10 + y12 81x8 + 216x6y3 + 216x4y6 + 96x2y9 + 16y12
  • 46. b)1 4. a)b))5 45 30 105 252 420 480 + + + + + + + + 32 8x 8x2 x3 x4 x5 x6 x7 y4 a8 − 8a7 + 28a6 − 56a5 + 70a4 − 56a3 + 28a2 − 8a + 1 81x4 − 216x3y + 216x2y2 − 96xy3 + 16y4 16 360 x8 + 160 x9 + 32 x10 )16x4 + 32 3 5. a)x3y + b))24 8√x + x2 x − x2√x − 5x2√2 + 20x√x − 20x√2 + 20√x − 4√2 x12/5 − 4x19/5 + 6x26/5 − 4x33/5 + x8 x12 24 9 x2y2 + 8 27 xy3 + 1 81 6.x4 − 8. 7.x4y4 − 729x2y5 + 729y6 10x4y + 20x2y3 + 2y5 2 + 20y + 10y2 −156√3 32√x x2 + 64 − 9 16 x10y + 135 16 x8y2 − 135 2 x6y3 + 1215 4 46
  • 47. SAopléun diio enaBrio B.11..a)Solu ionesdeltema1:Númerosreales b))1 − 1 2 9 h) −1 2.a) 1 4.a)b))2 d)5−7/4 24/3 √3 12 √3 16 d)− 1 9 e)1 3.a)b)9 b)215 21/3 35/4 f)16 g)1 5 x5y4 )s 3 2x d)3 3 25 5.a)2 √3 2 b)8√2 )10√10 d)2a √3 a2 e)5a i)s h)2√a2 + 1 √4 25 3 5 6.a)b)l)52a8b5√a 2[3]√3 √3 e)23 f)3 s s 7.a)5 )4 b b)d)f)8.a)b)1 √4 4 = √2 √3 3 √3 4 √6 √4 6 √5 10 √3 9 √6 100 √4 72 180√2 3√2 f)√13 6 g)4 ) d)s 1 a a e) 3 −3 √3 4 √4 4y 2 g)h)i)d)e)f)2 √3 18 4√2 2 √1 6 108 √a j)2 · 33xy3z6 5 p 23x3yz3 k)2x3y7 z2 s x z 4√2 )1 2 9.a)b)a 4 b5 √6 2 1√2 128 j)√6 3 k)3 √4 27 l)a2 12 s )a 2√0 a 10.a)35√5 b) −22 √3 2 )2√5 + √6 d)√3 + 2√2 47
  • 48. 11.a)7√3 2 b) 12.a)13.a)b)b)) d)e)f)a b 4√6 4√3 + 2√10 −1 38 − 12√10 √3 35 − 12√6 √√2 4 3 4 s 53 2 − 45 5 14.a)i)j)3√5 + 6 2√5 − 3 5 √4 108 )106 − 10a 5 √3 3a d)30ab − 9 + 10b 45b s e)8 f)1 + 2 15.a)b)j)√a + b 2√16 + 2√2 5 + 6 )2 √3 2 d)√3 25 e)√4 ab3 f)g) b √2√3 + 3√2 5 − √3 − 2 f)e) −5 + 2√6 x√x − x√y + y√x − y√y h)3 − √3 2 6 b)√6 3 )2 − √2 2 d)√6 − 1 3 √6 6 g) − √3 + √5 4 h)√2 i)√6 648 3 f)31 b a3 12 ) − 7 + 2√10 3 d)5 − √2 23 1√5 x11 17.a)5√3 x − y f)g)h)e)−2√35 2 3√2 4√6 2 5 − g)√a + 1 h)x + y + 2√xy x − y i)2√2 3 j)√3 25 10 16.a)ab 1√2 ab8 b) 1 √6 a4b o)k)l)p)m)q)n)i)j)B.21..a)Solu ñ)3 √a 30 √3 + 2√p 2 20 − √5 36 36 √7 √2 + √3 √3 )√8 a7 d)a 1√2 a e)4 s s b7 a2 g)a 6 s a5 b h)a i) 1 √4 a3 j)1 x 2 ionesdeltema2:Polinomios.Fra ionesalgebrai as 7 6 b)2√x x − y )√3 + 5√2 d) 6 )4x4 − 24x3 + 56x2 − 60x + 25 d) −2x5 + 25x3 − 71x2 + 90x − 50 e) −2x3 − 9x2 + x + 9 f)C(x) = 8x2 − g)x3 7 35 − x2 2 − 8x + 4 x + 2 C(x) = 2x4 − b)1 2 x3 − 5x2 + 2x − 37 12 1 2 , R(x) = −4x2 + 3 2 2 3 x3 + 2 9 x2 − 29 27 x − 52 81 ,R(x) = − 191 243 2.a = −1 3.a = −75 4.a = 16 yb = 0 5.a = −3 6.a = 2 48
  • 49. 7.1890...5aa5== 03 yb = −4 P(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 2)(x + 4) 11.P(x) = 2(x − 1)(x + 2)(x − 5/2) = (x − 1)(x + 2)(2x − 5) 12.P(x) = 2(x − 1)(x + 1)(x − 1/2) = (x − 1)(x + 1)(2x − 1) 13.Raí essimples:1, −2, 2 14.x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 15.x4 − 5x3 − 2x2 + 24x 16.3esunaraízdobley −1 17.a) unaraízsimple. P(x) = (x − 1)(x + 1)(x + √2)(x − √2) b)Q(x) = 4(x − 3) x − 3 2 x + 1 2 = (x − 3)(2x − 3)(2x + 1) )R(x) = (x − 2)3 d)S(x) = x(x − 2)(x + 3) 18. a)Raí esrealessimples:1y3;P(x) = (x − 1)(x − 3)(x2 + 1) b)Raízrealsimple: −3;Q(x) = (x + 3)(x2 + 4) )0esunaraízdobley3/2 raízsimple;R(x) = 2x2(x − 3/2) = x2(2x − 3) d)Raí esrealessimples:7y −1/2;S(x) = 2(x − 7)(x + 1/2) = (x − 7)(2x + 1) 19.a)a = −10 yb = 2 b)a = −7 yb = −5 20..x3 − x2 − 9x + 921. a)m. .d. . (P(x),Q(x)) = (x − 2),m. .m.(P(x),Q(x)) = (x − 2)2(x + 2) b)m. .d.(P(x),Q(x)) = x2(x − 4),m. .m.(P(x),Q(x)) = x3(x − 4)(x − 3)(x + 1) 2223..ada)))SSiissoonneeqquuiivvaalleenntteess )m. .d.be))NSiososonneeqquuivivaalelenntetess ,m. .m.f (P(x),Q(x)) = (x − 1)3(P(x),Q(x)) = (x − 1)4 ))SNiososonneeqquuivivaalelenntetess 1 x + y d) b) ) 2x − 1 x + y 2x(x + h) 3 x + y e)− 3x2 + 4x x2 − 4x f)yx(y − 1) z(x − 1) g)3 − x h)(x + 1)2 x(x − 1) i)x2 + 1 x + 1 j) 2 x − 1 k)− 2x2 − 34x + 8 x − 4 l) 3x2 − 12x + 14 (x − 1)(x − 2)(x − 3) m)− 2x + 5 x3 − 1 n) x − 7 (x − 4)(x − 5)(x − 6) ñ)− x3 − 2x2 − 2x x3 − 1 o) 3x + 3 x2 + x − 2 p) 4x x + 1 q) x + 1 x2 + x − 2 49
  • 50. 24.a)x − 1 d)b))9 − x2 x + 1 x − 2 3x3 x − 1 2x + 2 x2 e)x + 1 f)1 + x 2 g) 1 2x2 − 1 h)2x − 5 i)2 j)k)x a b x − 2 − x + y l)x2 + x + 1 x2 − x + 1 m)x2 − x + 1 x b)−io8 nesysistemas x = −29 x = 14 n)1 ñ) −x o)1 2 p)3x(3x − 2) 2(3x + 2) q) B.31..a)Solu ionesdeltema3:E ua iones,ine ua )x = 2 d)x = √3 e)x = √3 yx = √5 f)x = 3/14 g)x1 = 0 yx2 = 1/4 h)x1 = 4 yx2 = 4/5 2.a)x1 = 1; x2 = −1; x3 = 1/2; x4 = −1/2 b)x1 = 3; x2 = −3; x3 = 1; x4 = −1 )x1 = √5; x2 = −√5; x3 = 2; x4 = −2 d)x1 = 2; x2 = −2 e)x1 = 2; x2 = −2; x3 = 1; x4 = −1 f)x1 = 1/2; x2 = −1/2; x3 = 1/3; x4 = −1/3 g)x1 = 3; x2 = −3 h)x1 = 3; x2 = −3; x3 = 1; x4 = −1 i)x1 = 1; x2 = −1; x3 = 1/5; x4 = −1/5 3.a)x1 = 0; x2 = 2; x3 = −2 b)x1 = 0; x2 = 3; x3 = −3 )x1 = 0; x2 = 5; x3 = −5 d)x1 = 0; x2 = 3; x3 = −3 e)x1 = 2; x2 = −2 f)x1 = 3; x2 = −3 4.a)x = 3 b)x = 2 )x = 1, x = −1 d)x = 4 e)Notienesolu ión. f)x = 4 g)x = 3 h)x = 5 i)x = 6 j)x = 12 k)x = 13/9 l)x = 7 m)x = 0 n)Notienesolu ión. ñ)x = 9 5.a)x1 = 1; x2 = −2; x3 = 0 b)x1 = 0; x2 = 2 )x1 = 1; x2 = −1; x3 = −3; x4 = −2 d)x1 = 0; x2 = 9; x3 = −9 e)x1 = 0; x2 = 1/2; x3 = −1/4 f)x1 = 0; x2 = 1; x3 = −1 g)x1 = −3 h)x1 = 0; x2 = 3/2 i)x1 = 0; x2 = 5/2; x3 = −4/3 j)x1 = 2; x2 = 1; x3 = 4 k)x1 = 1; x2 = 3 l)x1 = −1; x2 = −2/3; x3 = 1/2 m)x1 = 0; x2 = 5/2; x3 = −4/3 6.a)x = 0, x = −4 b)x = 2/3 d) )Notienesolu ión. x = −2 e)x = 0, x = 5/4 f)x = 0, x = −1/2 g)x = 1, x = 4 h)R − {−2,−1, 0} 50
  • 51. 7.a)(−∞, 1) ∪ (3,+∞) b)(−∞,−3] ∪ [2,+∞) d) )Notienesolu ión. [0, 6] e)(−∞,−2) ∪ (5,+∞) g) f)Notienesolu ión. (−∞,−1) ∪ (4,+∞)) h)(−8/3, 1) i)R j)[1/4, 1/2] k)[−1, 1] l)(−∞, 0) ∪ (13,+∞) 8.a)(1/3, 1/2) b)[0, 1) )(−2, 4) d)(−∞,−7] ∪ (2/3,+∞) e)[−3/2,−3/4) f)(−∞,−2/3) ∪ [5/6,+∞) g)(−3,−1] ∪ [1,+∞) h)(−∞, 1) i)(−∞,−2) ∪ (−1, 1) ∪ (2,+∞) j)(−∞,−3] ∪ (−1, 1) ∪ ([3,+∞) k)(−7/2,−2) l)(−∞,−9] ∪ (−3,+∞) 9.a)[−1, 0] ∪ [1,+∞) b)(0,+∞) )[−1, 1] d)(−∞,−2) ∪ (1, 3) 10.a)x = 7; y = 6 b)x = 3; y = 1 )x = 8; y = 5 d)x = 8; y = 2 e)x = 365; y = 145 f)x = 1; y = 2 11.a)x1 = 1 y1 = 8; x2 = 56/5 y2 = 5/7 b)x1 = 9 y1 = 8; x2 = −20/3 y2 = −54/5 )x1 = −6 y1 = −8; x2 = 8 y2 = 6 d)x1 = 3 y1 = 2; x2 = 2 y2 = 3 e)x1 = 2 y1 = 1; x2 = −7/3 y2 = −12 f)x1 = 7 y1 = 3; x2 = 42/5 y2 = 13/5 g)x1 = −3 y1 = 4; x2 = 4 y2 = −3 h)x1 = −1 y1 = 3; x2 = −2 y2 = 1 i)x1 = 2 y1 = 1; x2 = −1 y2 = −2 j)x1 = 3 y1 = 2; x2 = 3 y2 = −2; x3 = −3 y3 = 2; x4 = −3 y4 = −2 k)x1 = −1 y1 = 2; x2 = 1 y2 = −2 l)x1 = 8 y1 = 8; x2 = 2 y2 = −4 m)x1 = 1 y1 = 3; x2 = −1 y2 = −3; x3 = 3 y3 = 1; x4 = −3 y4 = −1 n)x1 = 5 y1 = 4; x2 = −5 y2 = −4; x3 = 4 y3 = 5; x4 = −4 y4 = −5 ñ)x1 = 2 y1 = 1; x2 = −2 y2 = −1; x3 = 1 y3 = 2; x4 = −1 y4 = −2 o)x1 = −2 y1 = 3; x2 = 22/3 y2 = 23/3 p)x1 = 6 y1 = −2; x2 = 6 y2 = 2; x3 = −6 y3 = −2; x4 = −6 y4 = 2 q)x1 = −6 y1 = −8; x2 = 8 y2 = −6 r)x1 = 5 y1 = 3; x2 = −5 y2 = −3 s)x1 = 4 y1 = 4; x2 = 4 y2 = −4 t)x1 = 9 y1 = 4 B.41..ap)oSnoelnu iiaolneessdeltema4:Cál b)ulologarítmi oye ua ionesex- 2 10 m)g) h)n) i) )d) j) k)e)f) l) 3 −2 2 −10 −3 0 −1 −2 5 −2 2 −2 ñ) −1 o)3 p)4 q)1/3 r)1/2 s)1/4 2.a)9 b)3 ) −3 d) −1 e) −6 f) −2 g)2 h)0 i)100 j)3/2 k)1/2 l) −3/2 n)1/2 ñ) −2 3.a)a = 2 b)a = 3 −1/2 m) )a = 5 d)a = 3 e)a = 2 f)a = 0, 5 g)a = 10 h)Cualquiera 0 51
  • 52. 5.a)4.a)g)b)b)h)i))d)j)e)k)l)f)x = 1/3 x = x = 3 x = 1/4 x = 5 x = 9 x = 172 x = 4 x = 5 x = 1/16 x = 1/√7 x = √3 x = 4 x = 5 )x = 1/2 d)x = 6 e)x = 4 f)x = 2 g)x = −1/4 h)x = −5 i)x = 25 j)x = 9 k)x = −1/6 l)x = 1/6 6.a)x = −4 b)x = −3 7.a)g)h)b)i))j)d))e)k)d) f)l)x = 1/12 x = 3/2 x = −7/4 x = 1/4 x = −1/8 x = 3/8 x = −8 x = 3/2 x = 3 x = 5/2 2 10 6 8.a)b))d) −2 1, 4771 1, 9242 2, 2094 −0, 893 e)1, 1582 f)0, 3597 g)1, 398 h) ) −1, 704 d)0, 8612 e) −0, 26145 f)0, 903 g)0, 699 h)1, 1403 10.a)x = 16 b)x = 6 −0, 903 9.a)0, 3064 b) )x = 8 d)x = 1 e)x = 16/5 f)x = 4 11.a)12, 4 b)27, 8 eeddeellaassoolluu iióónn.. −0, 3398 ) d)b)−4, 8 3, 7947 2 log a + log b − log c 2 log a + 3 log b + log c 111342...aNN)oopprroo )2 log a + log c d)7 f)log2 x 16.a)x · y = 10 b)x d)1 3 log log b − 3 4 1 logm + d)6 6 )x4 = 100 √y3 3 x2 log n e) −3x f) − 1 6 15.a)log x4 17.a)√xy b)e)= 10 x = 1010 x = 4 x = 0 b)log x y2 )log x3(1 − x) r)m)g) ;n)h)s)t)i)ñ))x);y)z)u)j)d)o);p)e)k)v);l)f)18.a)b)w)q)x = −1/3 x = 2, 32 x = 1, 58 x = 6, 28 x = 2 x = 3 x = 6 x = 0x = 2 x = 1x = 2 x = 5/12 x = 1x = −2 x = 2 x = 1 x = 2 x = ±1, 52 x = ±√3 x = 1, 29 x = −14 x = 3 x = 1 x = 3 x = 2 x = 0x = 1 x = 3 x = −1 x = −2 x = 7 4 p x2y e)log 1 xy y = 1 10 y k)f)o),g)p)l);h)m)q))t)Sinsolu ión u)v);r)i)d)n);ñ)j)e)s)x 52 = −4 ,w)x = −4 ,x = ±3 x = 5/2 x = 0 x = 1 x = 1 x = 0 x = 4 x = 3 x = 5 x = 10 x = 1 x = 0x = 2 x = 0x = 1 x = 1x = 2 x = 1x = 2 x = 0 x = 5 x = 4y = 2 x = 4y = 2
  • 53. 19.a)x = −5/2 b)x = 1 )x = 7/3 d)x = 49 e)x = 2;x = 9/2 f)x = 3 g)x = 3 h)x = −8/9 i)x = 2 j)x = 6 k)x = 1;x = 2 l)x = 13/5 m)Sinsolu ión n)x = 1000 ñ)x = 10;y = 1 o)x = 4;y = 2 p)x = 20,y = 2 q)x1 = 105;y1 = 105 x2 = 105;y2 = 105 r)x = 7;y = −12 s)x1 = 10;y1 = 20 x2 = 40;y2 = 5 20.a)x = −4/3 b)x = 9/2 )x = 20 d)x = 11 e)x = 20;x = 80 f)x = 20 g)x = 6 h)x = 1/20 i)x = 2 j)x = 7 k)x = 12/5 l)x = 3,x = 2 m)x = 3/2,x = 3 p 1/2 n)x = 55 ñ)x = 3,x = 1/3 o)x = 20;y = 2 p)x = 102;y = 10−1 q)x = B.51.. Solu ionesdeltema1095/2:;Py =ro10g−r1/e2siones a1 = 2,a2 = 3/2,a3 = 4/3,a4 = 5/4 2.a1 = 4,a2 = 7,a3 = 12,a4 = 19,a5 = 28,a6 = 39,a7 = 52,a8 = 67,a9 = 84, a10 = 103 3.a1 = 3 4 ,a5 = 51 8 ,a11 = 243 14 4.a2 = 3,a7 = −8,a10 = 11 5.a15 = − 223 224 6.a)an = (−1)n+1(2n − 1) b)an = n2 )an = 2n−1 d)an = 3n − 2 e)an = 10.9.n n + 1 3 8 a20 = 100 a18 = f)an = 5n 3n g)an = n2 + 1 h)an = 1 2n−1 7.h = 7 8.a)an = 5n − 4 b)an = 4n − 3 d)e)f))an = 3n − 11 1 an = −2n + 4 an = 5n − 2 an = n + 8 19 2 11.a)7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, . . . b) −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, . . . ) −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, . . . 12.a ))NAoritamriéttmi éati daediferen ia2 bd))NAoritamriétmti éati daediferen ia1/313.a) . a30 = 146 b)a16 = 61 )a24 = 61 14.a20 = 45 1156..aa))9,13,17,21 b)8,5;5;1,5 b)))7,11,15,19,23 S25 = 1575 S22 = 231 S40 = 235 2 17.S12 = 540 53
  • 54. 18.S17 = 25075 19.n = 19 20.n = 49 21.S9 222234...2a,1 6==,1110,6.2 a16 = 17 −4, −1, 2, 5, 8, 1125.a)Geométri adera.zón2/3 b)Noesprogresióngeométri a )Geométri aderazón5/3 26.a12 = 4096 27.a10 = 1000000 28.3, 4, 3310..El 29.16 64 256 1024 4096 , , , , , . . . 3 9 27 81 243 a1 = 1/3 uartoyelquinto. 21, 63, 189, 567, 1701 32.2, 1, 1/2, 1/4 3334..18,6y2ó2,6y18. n = 7 35.a7 = 5103 3367..16,48y44. 9◦, 27◦, 81◦, 243◦ 38.a6 = 6 · 35/7 39.8,16,32,64,128y −12, 36, −108, 324, −972 40.r = 2 ya6 = 26 41.S = 1/9 444234...180a0ñolsa.s. a1 = 1, a2 = 3, . . . 44445678....677a,23)011100m87m7,m5e2.t9eru0o7rso..s b)118.125euros 4590..8a5)0Pmro/gsr;e7s0ió0nma/ristmyé5t5i 0amb/)s.an = b 555123...11a/4)6s4egmuentdrooss.. 2420 élulas. b)70segundos b2 + (2n − 54 3)
  • 55. B.61..a)Solu ionesdeltema6:Trigonometría 180 2.a) rad b)b)rad 2 120◦ 225◦ −60◦ f)630◦ 3. rad 5. 4.Eláreaesaproximadamenterad3 u. 7 0, 092r2 211 rad ) 4 rad d)7 6 rad e)14 9 rad f)56 9 )3240◦ d)57, 29578◦ e) 2 rad 30◦24′ 14 ≃ 141◦25′6.a) . x = 15 b)x = 20√3 3 )x = 20√3 3 7.sen = 3√2 4 89..ad))IIVI uuaaddrraanntete 1 2√2 1 √3√2 , cos = , tg be))III = , cotg = 22, sec = 3 3 2√uuaaddrraannttee 2 f))IIIIII 4 uuaaddrraannttee , cosec = 3 sen(90◦ − ) = 2√2 3 , cos(90◦ − ) = 1 3 , tg(90◦ − ) = 2√2, cotg(90◦ − ) = 1 2√2 , sec(90◦ − ) = 3, cosec(90◦ − ) = 179◦ + − − − − + −18◦ − + − − + − 342◦ − + − − + − −120◦ − − + + − − 68◦ + + + + + + 235◦ − − + + − − 10.sen = − 2√5 sen cos tg cotg sec cosec √5 2 11.sen = 12.√5 1 √, cos = , tg = −2, cotg = − , sec = 5, cosec = 5 5 2 − , cosec = 3 sen x = − 14.1 3 5 4 sen x = − , cos = − √2 4 , tg = − √3 6 , cotg = −2√3, sec = 3√2 4 15.12 13 3√2 4 sen x = ycos x = − 5 13 13.sen x = − 16.4 3 4 3 5 , cos x = − , tg x = , cotg x = , sec x = − , cosec x = 5 5 3 4 3 − 2√2 1 √√2 , cos x = − , tg x = 22, cotg x = 3 3 4 5 4 sen x = − 5 3 55 , sec x = −3, cosec x = − 4 5 , cos x = − 3 5 , tg x = − 4 3 , cotg x = − 3 4 , sec x = − 5 3 , cosec x = 3 5 , cos x = − 4 5 , tg x = 3 4 , cotg x = 4 3 , sec x = − 5 4 , cosec x = −
  • 56. 17.sen 175◦ = 0, 0872; cos 175◦ = −0, 9962; tg 175◦ = −0, 0878; 18.a)19.a)b))d)e)f)cotg 175◦ = −11, 4301; sec175◦ = −1, 0038; cosec 175◦ = 11, 4737 86◦ 40◦ 30◦ 50◦ 60◦ 11◦ − 1 f) g) b)h) )i) d) j) e) √3 √3 0 2 2 − 2 → ∞ √3 → ∞ → ∞ − 2 −1 − √3 3 k) −1 l)1 m)1 22.a)2 ) −2√2 √15 n) − √3 3 ñ) − 1 2 20.a)cos = √7 4 b) −cos = − √7 4 ) −tg = − 3√7 7 21.a)2√2 3 e)f) ) d) −2 −2 2 b)2√2 3 4 b)1 4 ) − 1 4 d) − √15 4 23.a)√21 5 b)2 5 ) − √21 5 d) − √21 2 24.a)1 2 b)2 sen 0, 98 0, 98 0, 19 −0, 19 −0, 98 −0, 98 −0, 19 0, 19 cos 0, 19 −0, 19 −0, 98 −0, 98 −0, 19 0, 19 0, 98 0, 98 tg 5, 15 −5, 15 −0, 19 0, 19 5, 15 2276..aN)opro edelasolu ión. −5, 15 −0, 19 0, 19 sen a b)cos a − e)f)g) )d)sen a + cos a 1 + sen a sen x 1 + sen x 1 2 g)1 2 h) − 1 2 25. i)79◦ j)101◦ 169◦ 191◦ k)259◦ 281◦ 349◦ l)h)371◦ −tg x cotg a 1 + cos4 a cos a sen a cotg x · cos x 1 − cos4 a 28.a)x = 45◦ + 180◦k = + k · 2 rad k ∈ Z e)x = 45◦ + 180◦k = 4 g)rad,f)rad,+ k · k ∈ Z x = 360◦k = k · 2 k ∈ Z x = + k · rad,k ∈ Z b)x =   120◦ + 360◦k = 2 3 + k · 2 rad 240◦ + 360◦k = 4 3 + k · 2 rad k ∈ Z )x = 60◦ + 180◦k = 3 + k · rad,k ∈ Z d)x =   45◦ + 360◦k = 4 + k · 2 rad 135◦ + 360◦k = 3 4 4   150◦ + 360◦k = 5 6 + k · 2 rad 210◦ + 360◦k = 7 6 + k · 2 rad k ∈ 56Z
  • 57. h)x = 180◦(2k + 1) = (2k + 1) · rad,k ∈ Z i)x = 180◦k = k · rad,k ∈ Z j)x = + k · 2 rad k ∈ Z k)x = 270◦ + 360◦k = + k · 2 rad k ∈ Z 29.a)x1 = 32◦ 54′; x2 = 147◦ 6′ b)x1 = 201◦ 48′; x2 = 338◦ 12′ )x1 = 42◦ 56′; x2 = 317◦ 4′ d)x1 = 97◦ 7′; x2 = 262◦ 53′ e)x1 = 11◦ 18′; x2 = 191◦ 18′ f)x1 = 161◦ 35′; x2 = 341◦ 35′ g)x1 = 81◦ 47′; x2 = 278◦ ′13 h)x1 = 194◦ 28′; x2 = 245◦ 32′ i)x1 = 106◦ 42′; x2 = 286◦ 42′ 30.a)x =   120◦ + 360◦k = 2 3 + k · 2 rad 240◦ + 360◦k = 4 3 3 2 + k · 2 rad,k ∈ Z l)x =   225◦ + 360◦k = 5 4 + k · 2 rad 315◦ + 360◦k = 7 4 k ∈ Z d)   − 6 12 + k · 5 − 6 12 + k · k ∈ Z b)x =   3 + k · 2 5 2 3 + k · 2 5 k ∈ Z )x =   8 15 + k · 2 23 15 + k · 2 g)k Z 2 ∈ x = + k · k ∈ Z e)x =   6 + k · 2 5 6 + k · 2 k ∈ Z f)x =   3 + k · 2 5 3 + k · 2 31.a) k ∈ Z l)x = k · 2 k ∈ Z c = 8 k ∈ Z j)x =   3 + k · 2 3 + k · k ∈ Z h)x = 345◦ 31′ + k · 360◦ 165◦ 31′ + k · 360◦ k ∈ Z i)x =   2 3 + k · 2 4 3 + k · 2 k · 2 m;C = 66◦ 45′ e)a = 25   m;B = 36◦ 52′; C = 53◦ 8′ b)b = 7, 99 + k 3 · 2 + k · 3 33332345....11270467,,725m,57m. m.m.. m;C = 54◦ 40′ 36.89m. k ∈ Z k)x =   3 + k · 2 3 + k · m;c = 12, 69 m;C = 57◦ 48′ )a = 12, 61 m;c = 3, 86 m; C = 17◦ 50′ d)a = 7, 62 m;c = 3, 01 m;B = 36◦ 52′; C = 53◦ 8′ f)a = 10, 60 m;b = 6, 13 m;c = 8, 65 3387..1R62,a2,d0mi7o. :m13;,Á7r ema:;48a2p,o8te mma:239.Ángulos: . 103, 6◦ y51, 4◦40.l3a.6d2o1:4m2.,01m. ; 444123...677,5.7020m0m.m.. 57 44.120my138,5m.
  • 58. B.721...aN)oSsoonlufu n iioonneesslasdgreál taesmdealos7ap:aFrtaudnos i)o,nd)e,se)ryefa).lesdevariablereal f(2) = 4,f(−5) = 3.a)b),y ,)Domy 3 f(0) = 0 f f = R − {1} f(1) = 2f(0) = √3f(−2) = 1 f b)Noexisteyportanto 5 3 1 3 f(−4) −46∈ y f 2 5 = − 4 3 = 6 4. Ga)rá 2 d)Domf = [−3,+∞) aI: ,noexiste, − y 26 )Dom,Re b)f(−3) = 0f(0) f(4) = 1 f(3) = 0 f(−1) = 2 f = [−3, 0) ∪ (0, 4]9 Ga)rá )DomaI: ,,Re ,y b)d)Continuaensudominio ,yf(−3) = 3f(0) = 2f(4) = −2 f(3) = −1 f(0) = 2f(−2) = 2 f(2) = 2 f = Rf = [−2,+∞) = Domf )f(6) = 3,f(22) = 5 y f Ga)rá − 23 2 = 9 3 f = (−2, 2) aI: d)ContinuaenR. f(−3) = −2,f(0) = 2,f(4) = 2 y f(3) = 3 b)f(x) = 2,parax ∈ [0, 2] ∪ {4} )Domf = [−3, 5],Re f = [−2, 3] 5. a)Dom d)Continuaensudominio f = [−5,+∞);Re b) ymínimosenlospuntosde Doonmtinuaensudominio. re ienteen ;Extremosrelativos:Máximosenlospuntosy;A ;Monotonía:Cre ienteeny, (f) = [−2,+∞)(−5,−1)∪(0, 2)∪(4,+∞)(−1, 0) ∪ (2, 4)(−1, 2) (2, 3) (0, 1) (4, 0)ota ión:a otadainferiormente;Continuidad: f = [−3, 1] ∪ [2, 4];Re a ienteen otada;Continuidad: ;Extremosrelativos:Mínimoenelpuntoontinuaen ;Monotonía:Cre ienteen;A ,de re- (f) = [−1, 4](−2, 1) ∪ (3, 4)∪ (−3,−2) ∪ (2, 3)(3, 0)ota ión:está [−3,−2) ∪ (−2, 1] ∪ [2, 4])Dom . f = R;Re (f) = (−∞,−2] ∪ [1,+∞);Monotonía:Cre enelpunto ienteen ;A ;Extremosrelativos:Máximosenelpuntoienteenymínimo ,de re- (−1, 0) ∪ (0, 1)(−∞,−1) ∪ (1,+∞)(1,−1) (−1, 1)ota ión:noestáa otada;Continuidad: ontinuaenR − {0} 67..aN)oDproom edelasolu ión. . f = R b)Domf = R )Domf = R d)Domf = R − {−3/2} g)Dome)Domf)Domf = R − {0, 8} f = R f = R − {3,−3} j)Domh)Domi)Domf = R − {0, 2} f = R − {−3, 1} f = R − {1,−1} m)Domr)Domo)Domp)Doms)Domn)Domk)Doml)Domx)Domu)Domv)Domt)Domñ)Domy)Domq)Domf = R 1, 8. − {−3,−1} w)Domf = R f = [0,+∞) f = [2/3,+∞) z)Domf = (−∞, 2/3] f = (−∞,−3] ∪ [1,+∞) f = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) f = (−∞, 0] ∪ [2,+∞) f = R f = (−∞,−4] ∪ [2,+∞) f = R f = (−∞,−4) ∪ [2,+∞) 58 f = (1,+∞) f = (−∞,−3) ∪ [3,+∞) f = (−∞,−3/4] ∪ (1,+∞) f = [−5,−2) ∪ [5,+∞) f = [−2, 1) ∪ (1,+∞)
  • 59. PSfragrepla ementsa) b) ) d) i) e) f) g) h) k) 1 1 e)g),Puntosde 1 ortes:f)d)h)1 ,Puntosde ortes:(0, 3/2) Rec(f) = R(0, 0) Rec(f) = R(0, 0) Rec(f) = R(0, 1), (1/3, 0) Rec(f) = R(2, 0), (0,−4) Rec(f) = R1 1 1 1 • a)Todaslasfun ionessonpolinómi asyportantosudominioesR. Rec(f) = {−3} ,Puntosde ortes:(0,−3) b)Rec(f) = {0} ,Puntosde ortes: )m = 0,n = 3/2 d)m = 2,n = 0 e)m = −1/4,n = 0 f)m = −3,n = 1 g)m = 2,n = −4 h)m = −1/2,n = 1/2 10.a)m = −1, n = 2,de {(a, 0), a ∈ R} )Rec(f) = {3/2} (0, 1/2), (1, 0) 9.a)m = 0,n = −3 b)m = 0,n = 0 11. re iente b),de re iente ), m = −2, n = 2m = 3/2, n = 0re iente PSfragrepla ementsa) b) hkgfei)))))) ) d) 3 3 3 4 6 8 2 59
  • 60. 12. 13.aL)aspendientesdelasre 14.d)No,porquetendríaquevender65,5periódi tasparalelassoniguales. b)24os f(x) = 0, 12x + 9 e )86periódi os a) 15. f(x) = 100 a) f(x) = 1, 8x + 6 x PSfragrepla emenat)s dhkgf ei))))))))b) 7 7 six 200 0, 02x + 7 x ≥ 200 x 1 1 1 PSfragrepla emenda et)))s)b) hkgfi))))) 6 ) Aumentalatarifamínimaa6,96e 16.pre iodenitivoporhorade onexión. yaumentalapendientedelare taa2,088queesel 60
  • 61. PSfragrepla ements a) b) ) d) e) f) g) h) ki)) 1 1 re ienteen;Máximoen1 b)Re;A (0,+∞)(0, 0)1 1 1 1 1 • aT)odRaeslasfun ionessonpolinómi asyportantosudominioesR. (f) = (−∞, 0]);Vérti e:(0, 0);Puntosde ortes onlosejes:(0, 0); Cre ienteen (−∞, 0);De otadasuperiormente. Cre ienteen ;Vérti ;De e:;Puntosde ortes onlosejes:; (f) = [3,+∞)(0,−3)(0,−3), , (−√3, 0), (√3, 0)(0,+∞)re ienteen(−∞, 0);Mínimoen(0,−3))Re;A otadainferiormente. ienteen ;De ;Vérti e:;Puntosde ortes onlosejes:; Cre- (f) = [−4,+∞)(2,−4)(0, 0), (4, 0)(2,+∞)re ienteen(−∞, 2);Mínimoen(2,−4)d)Re;A otadainferiormente. (f) = [−3,+∞);Vérti e:(−2,−3);Puntosde ortes onlosejes:(0, 1), (−2+√3, 0), e)RA eotadainferiormente. ; Cre ienteen;De re ienteen;Mínimoen; (−2 − √3, 0)(−2,+∞)(−∞,−2)(−2,−3)Cre ienteen ;Vérti ;De e:;Puntosde ortes onlosejes:; (f) = (−∞, 4](0, 4)(0, 4)(−2, 0), (2, 0) (−∞, 0)re ienteen(0,+∞);Máximoen(0, 4)f)Re;A otadasuperiormente. (f) = [1,+∞);Vérti e:(1, 1);Puntosde ortes onlosejes:(0, 2); Cre ienteen g)Re;De re ienteen;Mínimoen;A (1,+∞)(−∞, 1)(1, 1)otadainferiormente. ortes onlosejes:(0,−3)en ; Cre ;De ;Vérti e:;Puntosde iente (f) = (−∞,−2](1,−2)(−∞, 1)re ienteen(1,+∞);Máximoen(1,−2)h)Re;A otadasuperiormente. Cre ienteen ;Vérti ;De e:;Puntosde ortes onlosejes:; (f) = [−9/2,+∞)(5/2,−9/2)(0, 8), (1, 0), (4, 0)(5/2,+∞)re ienteen(−∞, 5/2);Mínimoen(5/2,−9/2)feriormente. ;A otadain- 61
  • 62. 17. PSfragrepla ements a) b) ) 1 1 1 18. PSfragrepla ements a) b) ) y = 2x2 d) e) f) hgi))) 1 1 1 1 1 1 1 62
  • 63. 19. a) b) ) 1 d) hkgefi)))))) 2 21. 20.ya = −3 b = 4 PSfragrepla ements t 1 1 PSfragrepla ements a) m ylaalturaesde10m. b) Laalturamáximaseal anzaparas 10 B.81..vaSsofluun i oionnesesd.eltema8:Álgebradefun t = 1 1 iones.Estudiodenue- 63
  • 64. PSfragrepla ements a) b) ) d) e) f) g) h) i) 1 1 1 1 1 a)Dom(f) = [0,+∞);Rec(f) = [0,+∞);Puntosde 1 b) ;;Puntosde ortes onlosejes:1 . 1 1 (0, 0)Dom(f) = (−∞, 0])Rec(f) = [0,+∞)ortes onlosejes:(0, 0)) . Dom(f) = [−3,+∞);Rec(f) = [0,+∞);Puntosde ortes onlosejes:(−3, 0) y(0,√3)d) . Dom(f) = [0,+∞);Rec(f) = (−∞, 0];Puntosde ortes onlosejes:(0, 0)e) . Dom(f) = [2,+∞);Rec(f) = [0,+∞);Puntosde ortes onlosejes:(2, 0)f) . Dom(f) = R;Rec(f) = R; Puntosde ortes onlosejes:(0, 0)g) . Dom(f) = R;Rec(f) = R; Puntosde ortes onlosejes:(−1, 0) y(0, 1)h) . Dom(f) = [2,+∞);Rec(f) = (−∞, 2];Puntosde ortes onlosejes:(6, 0)i) . Dom(f) = [0,+∞);Rec(f) = [3,+∞);Puntosde ortes onlosejes:(0, 3). 64
  • 65. 2. PSfragrepla ements a) b) ) y y y d) e) 1 f) 1 hgi))) y x x x y y ;Asíntotas:x = 0 ey = 0b)ejes:notiene. ;Puntosde x 1 x ortes 1 x onlos Dom(f) = R−{2} 1 1 1 1 a)Dom(f) = R−{0} ;Rec(f) = R−{0} ;Asíntotas:x = 2 ey = 0)ejes:notiene. ;Puntosde ;ortes onlos Rec(f) = R−{0} Dom(f) = R−{−3} ;Asíntotas:x = −3 ey = 0d)losejes:notiene. ;Puntosde ;ortes on Rec(f) = R−{0} Dom(f) = R−{1} e) ejes: . ;;Asíntotas:e;Puntosde ortes onlos Rec(f) = R−{2} x = 1 y = 2(−1/2, 0)Dom(f) = R−{−3} f) losejes: . ;;Asíntotas:e;Puntosde ortes on Rec(f) = R−{1} x = −3 y = 1(−1, 0)Dom(f) = R− {−2} 3.a) onlosejes: . ;b);Asíntotas:e;Puntosde ortes Rec(f) = R−{−1} x = −2 y = −1(0, 0)Df = (−∞,−2) ∪ (2,+∞) Df = (−∞, 2) ∪ (4,+∞) )Df = (−1, 1) d)Df = (−∞,−3) ∪ (−1, 1) e)Df = R f)Df = R − {2} g)Df = (0, 1) ∪ (1,+∞) h)Df = (1,+∞) − {2} i)Df = (2,+∞) − {8} j)Df = (0,+∞) − {2} 4.a)Df = (3,+∞) b)Df = (−∞,−2) ∪ (1,+∞) )Df = (−3, 3) d)Df = (−∞,−2) ∪ (1,+∞) e)Df = (−∞,−3) ∪ (−2, 1) ∪ (2,+∞) f)Df = R − {1} g)Df = R − {2} j)k)h)i)Df = R − {1, 2} Df = R − {0} Df = [0,+∞) Df = R − {1} l)Df = [−2, 2] m)Df = (4, 5) ∪ (5,+∞) n)Df = (0, 1) ∪ (1,+∞) ñ)65 Df = (2, 3) ∪ (3,+∞)
  • 66. PSfragrepla ements PSfragrepla ements 5.a) −1 −2 b) 1 1 e) 2 1 −−2 2 3 3 4 PSfragrepla ements PSfragrepla ements 2 3 4 −1 −3 4 −f) 3 −5 ) 4 1 1 2 2 3 PSfragrepla ements −1 −2 −3 5 d) 1 1 2 2 3 3 4 PSfragrepla ements 1 1 2 2 3 −1 −1 −2 −2 −3 PSfragrepla ements 1 1 2 2 3 3 4 −1 −2 −2 −3 −4 −5 PSfragrepla ements g) −1 h) 6. a)1 1 4 −Dom(f) = R − {−1, 1} 2 2 3 4 −1 PSfragrepla ements 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 i) 1 2 2 4 −1 −2 −2 −3 yDom(g) = R b)(f + g)(x) = 7.a)x3 − 2x2 y+ 5x Dom(1/f) = R − {−1, 1,−3} Dom(f) = R − {1} x2 − 1 e),Dom(f − g) = R − {−1} (f · g)(x) = ,f · g = x2 + x − 6 x2 − 1 , f g (x) = x + 3 x3 − 2x2 − x + 2 , Dom(f + g) = Dom(f · g) = R − {−1, 1} 8.,Dom(f/g) = R − {−1, 1} (f + g)(x) = yDom(f/g) = R − {−1, 1, 2} )(1/f)(x) = x2 − 1 x + 3 yDom(g) = R − {−1} b)(f + g)(x) = 2x x2 − 1 ,Dom(f + g) = R − {−1, 1} )(f − g)(x) = 2 x2 − 1 ,Dom(f + g) = R − {−1, 1} d)(3 · g)(x) = 3 x + 1 1 x2 − 1 ,Dom(f · g) = R − {−1, 1} f)(f/g)(x) = x + 1 x − 1 x3 + 2x2 − 3x − 8 x3 − 4x ,f · g = 1 x(x − 2) , f g (x) = x (x + 2)(x2 − 4) , Dom(f + g) = Dom(f · g) = R − {−2, 2, 0} yDom(f/g) = R − {−2, 2, 0} 66
  • 67. 9.f =,Dom(1/g) = (0,+∞) 10.f · g = x2 (x) = 14.a)g √x , Dom(f/g) = (−2,+∞− {−1, 1}) 2 (g ◦ f)(x) = 1 + 2log(x2,, x√1 = xDom(f/g) = (0,+∞)f (x) = 1 x2 ,Dom(1/f) = R − {0} , 1 g (x) = e)d) x (h ◦ g)(x) = log3(21+2− 3) (h ◦ f)(x) = log3 1 √x √x + 2 x−1 ,Dom(f · g) = [−2,+∞− {−1, 1}) g)1 f/g = (x2 − 1)√x + 2 i (f ◦ g−1)(x) = log2 −3) = 1 + x2 − 3 = x2 − 3 b)(g ◦ h)(x) = 1 + 2log3(2x = log3(x − 4) 16.a)f−1(x) = )−3) 17.a)d)g)b)e)h)f)f−1(x) = 3x−2 f−1(x) = −3 + log2(1 − x) f−1(x) = 1 + 42x f−1(x) = 5 · 31−x f−1(x) = −2 + log3(3 − x) f−1(x) = 2x f−1(x) = 3 + 10x f−1(x) = )(f ◦ g)(x) = log2 (1 + 2x)2 − 3 2log2(x2 −3) − 3 = log3(x2 − 6) f)(f ◦ h)(x) = log2 h (log3(2x − 3))2 − 3 h (log2(x − 1))2 − 3 i h)(h ◦ g−1)(x) = log3 2log2(x−1) − 3 2x + 1 − 1 d)f−1(x) = 3 g)j)h)e)f)i)√2 f−1(x) = 10(4−5x)/3 − 4 f−1(x) = 1 + exf−1(√x) = 1 − 10(1−x)/4 f−1(x) = −1 + log2 x f−1(x) = 3 − log2 x f−1(x) = b)f−1(x) = −2 + log3 x k)2x − 1 l)p −1 + log(x − 2) f−1(x) = 1 + log2(3 − x) f−1(x) = m)2 p 1 − log5(3 − 8x) f−1(x) = −1 + log2 )f−1(x) = 2 3 2x √3x−2 − 1 2 3 + 2x x n)f−1(x) = − 1 + log3(3 − x) 4 ñ)f−1(x) = −1 + ln x 67
  • 68. 68
  • 69. AGpeéonmdie terCíaplana PSfragrepla ements RECTASYÁNGULOSENELPLANO TiPpuonstodeánRgeu tlaos SemireP tSafragSreegpmlae netmoents Re tasse antes Re tasparalelas PSfragrepla ements ÁtánngaulilnoLelaaldlnaoons,o(:susladosCeos-nvexo Cón avo Re to Agudo Obtuso 180◦dÁi nugluarleos,re( ionesang).ulares uÁÁren to:lado)s.perpen- 90◦PSfragreplaCC OeoóAmnRnLbgv tleeRuaaeu nndxvtsteoooooosla nnotggoluu.lallnooo a.ognuvdeox:om:emneonroqruqeueel euÁÁlnnnroegg luultallonoooy )om.óbnet nuaosvrooq::ummeaaeylyoolrlranqqouu.ee PSfragreplaCC eoóAmnRnLgv leeuaae nndxvttooooos omplementarios:suman ; Obtuso Ángulos onse utivos Ángulosadya Ángulos omplementarios:suman;Ángulossuplementarios:suman;b b + Bb = B= AAb + 90◦A b + B b ◦b b ◦ = 90◦ 180A + B = 18069 entes Opuestosporelvérti e
  • 70. eoóAmnRnLgv leeuaae nndxvttooooos omplementarios:suman ; Obtuso Ángulossuplementarios:sumOanpÁuÁnegnsutgolu;oslsops ooarndesyela v uéetrnitvti oeess eoóAmnRnLgv leeuaae nndxvttooooos Ángulos omplementarios:suman ; Obtuso Ángulossuplementarios:sumOanpÁuÁnegnsutgolu;oslsops ooarndesyela v uéetrnitvtio eess Mediatrizybise triz r t LMruoelesmadrpoiuasalntdtrmeoilzsissmddegeeomuleaennnmstseoueg:dmpiauetnnrtitzooemeqseudliadioir.set P A B P R S s atnadpeerlpoesnedxi-- PA = PB. vLBdieodilsseeápn autlgnruátilnzoogs:dudeloeulenanábdniosgesu látorniegzsueulqonsuaiidgsiuesmtaalienrsr.de etaloqsulaeddois- PR = PS. 70
  • 71. LospoSlíegolnaomsasepo llaígsion aonaselagúrnegeiólnnú emreardoaPddeeOllpaLldaonÍosGelinmO:itNadaOpoSrvariossegmentos. PSfragrepla ementsTriángulo:3lados Cuadrilátero:4lados Pentágono:5lados Hexágono:6lados Heptágono:7lados SeO l atsóigPo Snafonr:asg8eglraúedpnolassu esmáenngtusElonseeáng:ono:9lados De ágono:10ladosEnde ágono:1ladosDode ágono:12lados TodossusánPgoullíogsonsoon omnevneoxroesque180 Polígono ón avo ◦ Almenosunodesusángulosesmayorque180◦ PoSLlíoognsoelolnesmopesonlítrgoeosngdouesluqanurePpetoSsilfeírngaoegnnorteorpedlgaou selasmuresslnaotádnsnolgouslsoigsuyienlatedso:siguales. Lado: adaunodelosseágnmguenloto vseérnqratutdrie aioelformanel aádepninagogtutroeloonmaialnterior vRVapoo aésluí.rdgatioiloqn :euos:.ieeprgaumndetenotlodoseqvuuéneritóvina edds.eeld A upaloqtueimeral:adsoegamle netnotrqoudeevlapdoleílgopnuon.toSimemedpiroedees oesntlarododsel íugaolqnuoieryponlíúgomnoesDsree opnosleíg ountio- pÁÁooennnnrpssggeeeuu oiauogtbdiotvienoensa.del:imsaeugglmtoiepnnlita nlluudoottiii vviuneooltssnae..rtrraiaoldr::i ááhnnoggulualoldoofof.orrmmaaddooppoorrddoossraladdiooss SumLaadsuemlaodseálonsgánugluolossdineteruionrespdoel oalnqedusoeunedosvérti esno on- 180◦ ladosmenosdos,esde ir,sielpolígonotiene porelnúmerode n lados,lasumadelosángulosinterioresvienedadapor: 180◦(n − 2)Lasumade.losángulos entralesde ualquierpolígonoregularesde360◦ángulo entraldividiendo .Portanto,podemos al ularel 360◦ Elnúmerodediagonalesde uaelnqturieerelponlúígmoenrooedselados. n(n − 3) 2 71 .
  • 72. Clasi a iónsegúnsusTladRoIsÁNGULOCSlasi a iónsegúnsusángulos PSfragrepla ements(3lEaqduosiláigteuraoles) (2laIdsóoss iegluesales)(3PlaSEdfsro asagdlerenesopiglau aelems)ents(3Aá nugtuálnogsualgoudo)(1Ráe ntgáunlgourleo to) (1obátnugsuálnogsuolobtuso) Sumadelosángulos TeoremadePitágoras PSfragrepla ements PSfragrepla ements C a2 = b2 + c2 b A + b B + b C = 180◦ PSfragrepla ements a A B c b puEPMunluenonbdttadooiroaim dbneeleaend :tqioroeuorsteddeeeeilldvlieloedaltledraososae.got B G A C c b a ma mc mb PSfragrepla ements rmpaeudseeanmsttmooe.deqdiauianenavas:aebndaedroiu snesnevtgérmrotei. netoas,l dPAeulstnduteoruadn:eev B ha c séorrettlie esdeeaglmlalaesndttoroeosqpauuleetsutvroaa,so:paOersrputeopn a O hc rdeoinl outnlragora.m hb A C b ieónnt.e, PSfragrepla ements A B C c b a qEPMruluieet naditpr.oi aausdtnaer O ip ezoonrrtdtreeeolduepesnuelnsaltes ogetmnmretersenodmtiodoee.delsiaatl ariir r eeus n:tfaCeriperne PSfragrepla ements r upianen deirin uturnlaosr-. EPBánluigsniunetl I A ooetdnreteinzro odoteerrstouesenlddeá oenslngatiusgrloutoradeelseessbul.ainsae irst erumi neifrsee:r eItnna qieauneitndrsoi v.riditeau.n 72 B C c b a
  • 73. Paralelogramos:losladosopuestosCsoUnpAaraDleloRs.ILÁTEROS Propiedades: Susángulosopuestossoniguales. Susladosopuestossoniguales. Susángulos • • •ontiguossonsuplementarios. •Lasdosdiagonalesse ortanensuspuntosmedios. PSfragrepla ements(ángRuel otsBánargesu eltoos)Altura (ladoRsoimgubaoles) (y22ánlagduolRososdmdebseiosgiiugduealaelse)s Trape ios:esun u(a(yd4r4iálánlatCgdeuuroolasod sirogainugduaodlaoelsse)sladosparalelosyotrosdosnoparalelos. PSfragrepla ements Trape ioes aleno Trape ioisós eles Trape iore tángulo (distintosloslaBdaossenoparalelos) (igualeslosladosnoparalelos) (dosángulosre tos) Altura Base Trapezoides:esun uadriláteroquenotieneningúnpardeladosparalelos. PSfragrepla ements Trapezoides 73
  • 74. CirP SCCufraiínrrg fruueelnprofle:ea rEneesm sió laCnírldíIn eeRupalla ConuorvUean nli eaaniapt:soyre NeerrrraFaddaaEyeRnpleaElnianNt euriyCoorsIdpeAuunntoaYs eiqr uCuidnifÍsetRraennC diae.UotrLolOlamado entro. pCRueanndttoiorso:d:eeselesales leirgp muuennntfeotroeC qnuiu ryi eaauunednsfieessrteieaelnnm eipianarteraolat oomdnois smuClaaoílr.s- ulo iqdqCCsaeuuoaumsiideeeaarriraa rdd.i draiCoáe :smauls.adneeag tfmeri roru eeuendnrntidv ofeaiidraqedesuni.eva d rueiaeándrmtdiroeaotro Posi Dquiioiáemnrpeeustnrotro:esdleeagtmlaiev niatro suqndufeeeruernn eei ad.tosapyunt oisr uualnesf-eren iiudalna,eepa aairsla aduno ndsirfoe prupuenonnfrt eoieraseln e euninaatldereoosns-. PoPsiS friaognreeplsa remeelnattsivaEsxdteeriodreoss ir unfeTraengne ntieass Se antes PSfragrepla ementsExteriores Tangentes Tangentesinteriores Se antes Interiores Con éntri as PSfragreÁplan gemuelnotssenla ir unferen ia Ángulo entral Ánguloins fieqnerunsee ntrr eiailtaloa.:r:tM itoeiinedqneeueeelleavalébmvraétirirt taaeid eenqeuenle ueenlntparruo n.otMoqidudeee Re intosenel ír ulo raETerol arituonsaquseemabi airr quunefnereelnm iiasmeos A A rito PSfragrepla ementsSe O B C tor ir ularSegmento B laÁÁloabnnam ggri riuus amllu.oono doátoonss.golunolsoigáunqguauelelosas.bianrs ir ular Zona ir ular Corona ir ular Trape io ir ular 74
  • 75. ÁREASCUYADPREADROÍMETROSDEFIGURARSECPTÁLNAGUNLOAS PSfragrepla ements l Área=base× altura S = a · b P = 2a + 2b PSfragrepla ements ROMBO ROMBOIDE l l TRAPECIO TRIÁNGULO Área=basealtura PSfragrepla ements × S = b · h P = 2a + 2b Área=lado× lado S = l2 P = 4l PSfragrepla ements a b d tÁbraresee2a=mpoabryaolsareadmlitvueirndaoidromenas- b D POLÍGONOREGULAR CÍRCULOdoslosladossumadeto- Perímetrob PSfragrepla ements · h 2 = L Área=diagonalmenor× edniatgreon2almayordividido doslosladPosSsfuramgaredpelato PerímetroD · d S = 2 P = 4l 2 = PSfragrepla ements h b a h B (B + b) · h S = ir unfe- SECTORCIRCULAR l = 2r -ements h b Área=base× vididoentre2alturadi- S = A aÁproeate=maPdeivriídmidetoroentrpeo2r S Longituddelar = o· = 2r 360 Perímetro× a 2 dPoesrímlosetlraod=PosSsfurmagardepelato -ements r S = r2 rLeonn giait:uddela PSfragrepla ements r S = r2 360 · 75
  • 76. 76
  • 77. ACpuéenrdpi oesDgeométri os pPoollígieodnroos.s:Son uerposgeométri osPliOmiLtaIdEosDpoRrOS CArmaaars.inrsa.tsasdedlepuonliepdorloiesdornolososnpololísgloandoossqdueellaosf oar-- Dentrodel Vlaoassérar pstao.ir laieesds.rEondse paouddnaempvéoorlstieid deirsot ionsnog nuuirrlr:oesnvtérretsi oesmdáes 1.yPrviasrmLUioanassapp:larturiusnamrlepaalroidegsemsrlarapmere oisstsmoulnaa mupeasoanldliadeodosdrit osoatldarimanas siitlaalaadseton etaprrraoealrsleadslsoa.stbeaprsaoellseí.gsosneoasnigrue atláesngyuploasr,aylelpoos,rltlaamntaodposerbpaensedsi-, SLDuioelslpaarepsenrs disaiameranlaasdssolarbetda eestreoaqssl.eu seunyloaasssobbnaassreeess tssáoennagnpuoltorlísigáeonnngtouoslnor see,gs usuleaardlelrasimlsáeatelprlaormsi,sampneanptroáibgsomlin aousso,r.eetg .u,laelrepsr.ismase PSfragrepla ementslLlaomspartisrmianasgu :loaaPnsteBeersuriasansumlenvaéppretonil luayra,s u 2.tPriiárnágmuCildoarseaBs aadrarsansgounlator,dpasenrtea iteeadg rooonmaqlúurnee, tqAtouieltenuesrPeaprdiosermnoabmatrsiineaanguvunélarprtoio gtoánnaglu,loets s.elamanortoedros. lbíeglio duneoola upaiorlrqátumoieeiddrraeo.ypor aPrraissmalahteexraagloensalregular Laalturadelapirámideesladistan ia7d7elvérti ealplanodelabase.
  • 78. Unapirámideesregular eLEgluanl soeuspnnitiarsráóopmsid rieeádlmeeesssiedisgeepuoralelllaígegmuso.lnaaLnora.,sttro aiadultnaaugsnrudalalosasrdlaeaesrb,ilsoa tssuaesatredlisaráatnuengnrguauplloeloasslrísgseoeosn,nlopiagemruneaatgalnueglsaaornypayollateesesl.m v.aé.arrsastesig dúleeanstleeaqrpuaprelieorsáyemles opitndoaeltís.groioábnnroe- PSfragrepla ements delabaseseauntriángulo,un Vérti uadrilátero,unpentágono,et . BAaClsteuarraalateral e Pirámide uadrangularre ta apotemaAdpeotleambaasdeelapirámide Pirámidehexagonalre ta Tron odepirámide 3.ePlomliiesITOdm e orottosraasnaeeúerddmderrgreooour::o:lfafofdororerermmms a:aaadrsddaoooosnp.ppaoHooqrraru8y2e40lt ltroitrnisrái áin áonugngpuygualouolslolsioes sedaeqrreqouaqussiuliálsiráloteátegnterueroprlosaoo..r.lEíeEgEsnno:nn o aaasdddraaaegvvvuééérrlratttiir i e eese y oooennnn uu urrarrrdreeeannnv345é r taaairr raaeasss ...on uren DHoexdaee daerodroo: fuobrmo:adfoormpoardo12pporen6tá guoandorsa.dEosn. Eanda avdéartvi éert oen uornr eunr3en a3ra sa.ras. PSfragrepla ements Tetraedro O taedro Hexaedroo ubo I osaedro Dode aedro SPuripsmeÁrarse aielasteyraVl:oPleúrmímeetnroesdelabase Áreatotal:Árealateral altura. +2× Volumen:Áreadelabase áreadelabase. PirámÁirdeeaslateral: laaltura. 1 Áreatotal:Árealateral × Volumen: Perímetrodelabase apotema. × áreadelabase. (2 × )+ 1 3 Áreadelabase × laaltura. 78
  • 79. Spelanlaamalare 1E.nCtrielienLldloarsso,bsv:aaSsmeeosgsdeaneevureanrn: duedeorprodeduenreejev.oClu UióEnRalPosO uSerpDosEgeoRméEtrVi oOsqLueUseCgIeÓnerNanha ihlian diernodroe gtiorasronun írre utláons.guLlaodailsrteadne dioarednetruenloasdbeassuesslsaedlolas.maaltura. iendogirarunagura PSfragrepla ements r r h h 2r base base Árealateral:2r × h Áreatotal:Árealateral+2× áreadelabase= 2rh + 2r2 Volumen:Áreadelabase laaltura= r2h 2.ConoLsa:aseltoubrtaienesenlahda isiteannd oiagidraelrvuénrttir ieánaglualobraes et.áEnlguselogmalernedtoedordeunodelos dtSáoins gopurlltaoan)morsoes sieubnlelae mlonanootmrpobonrre uodnedpgelaen nooenrpaoat.rrailze.loalabase,el atetos. PSfragrepla ements × g uerpo(gheiopmotéetnrui soaodbetlentriidáongeunltorerelo s- avlétrutria ebase generatriz altura base generatriz g tron ode ono Árealateral:h Áreatotal:Árealateralg g áreadelabaseg r Volumen:r r r r × g + = rg + r2 1 h h r′ 2r 3 Áreadelabase × laaltura= 1 3 79 r2h
  • 80. 3.EsferUUannsa: sazesoqgnueaneeetresafneésrhfi éaa riie enosdleoasgp iaardratareuudnneasledameelisa fíesrr paual rootemaslprderedenleaddeoidsrfaedreeanstdureetdediráommsiepntlaradona.opsosre uanntpelsanpoarsael ealnoste.. PSfragrepla ements r h h vérti e Casqueteesféri o Zonaesféri a EsfEEellrÁváaroreeluaam:deenladseuplaeres feieraesefsérigi uaalesaidguosaltearl áioresadlealtveoralulmdeeln dileinld riloinqdureoeqnuveulealveenvaulealvees.fera. 4r2 Volumen:4 CasqÁureetae:esféri ZonaÁeresafé:ri (o r3 2rh r a 3 (eselradiodelaesferaquelo eselradiodelaesferaquelo ontiene) ontiene) 2rh r 80