1. “Clúster Informático : Un resultado no planeado de las Matemáticas”
Ana Lilia Careaga Mercadillo, Abril de 2012
Abstract
The exact definition of a computer cluster will depend a little on who you ask.
However, everybody agree that it consists of a set of loosely connected computers that
work together so that in many respects they can be viewed as a single system. There
are many types of clusters including Load balancing, High Availability and High
Performance clusters. Clustering is a popular strategy for implementing parallel
processing applications because it enables companies to leverage the investment
already they made in PC´s and workstations. Many organizations use computer
clusters to maximize processing time, increase database storage and implement faster
data storing & retrieving techniques. The major advantages of using computer
clusters are clear when an organization requires large scale processing. Cluster
technology continues to evolve and can be applied to various fields of science,
engineering, economics and social well being of nations. Mathematics is seen as being
fundamental to the engineering of clusters and information technology itself.
Mathematics is a science that can be applied with information technology. There are
always new things that can be explored by researchers about mathematics and
information technology.
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Introducción
Y… ¿a ti, te gustan las Matemáticas? Seguramente es una pregunta que a
todos nos han hecho en algún momento de nuestra vida , más probablemente
durante nuestra educación básica. Sea tu respuesta positiva o negativa,
indudablemente a la mayoría de nosotros nos ha infundido alguna vez cierto
temor. Muchos jóvenes dicen que no podrían estudiar ingeniería porque “odian las
matemáticas”, pero ese odio está realmente infundado en el miedo que le han
tenido. Pero, ¿por qué dan miedo las matemáticas? Quizá porque no es fácil
perderle el miedo a pensar libremente o quizá porque nos da flojera pensar pero
en todos los casos es porque nos han acercado a ellas de manera equivocada.
Razonar no es fácil pero inculcar el goce por razonar es más difícil aún. Ojalá los
docentes nos enseñaran que las matemáticas son hermosas porque nos exigen
lo mejor de nosotros mismos y nos mandan por lugares inesperados y
maravillosos.
En este siglo XXI, las Matemáticas constituyen un parámetro para medir el
desarrollo económico de los países y son una amplia disciplina con múltiples
facetas que abarcan un extenso espectro de actividades .En un extremo, definen
las bases del cálculo, tiempo y espacio que permiten a la vida cotidiana seguir su

2. curso. Pero en el otro extremo, pueden parecer un mundo cerrado exclusivo para
mentes brillantes que diseñan acertijos de una colosal complejidad y luego
dedican años en resolverlos. Al mismo tiempo, sobre todo en tiempos de
elecciones de gobierno, los políticos insistentemente nos dicen que necesitamos
más matemáticas. Entonces….¿Para qué son las Matemáticas? En cierto
sentido ésta es una pregunta extraña. En realidad, nunca nos preguntamos “¿para
qué es la Música?” o “¿para qué es la Literatura?”. Se aceptan simplemente como
actividades del proceso del pensamiento y ejercicios de la imaginación con las
cuales el ser humano goza, ha gozado y gozará,…. y así debe ser. Si uno quiere
buscar aplicaciones, están por todas partes a nuestro alrededor, multiplicándose
día a día. Si uno quiere profundizar en todos los campos en los cuales las
matemáticas aportan conocimiento del mundo, del universo, de la naturaleza y de
las interacciones humanas, uno puede hacerlo también. Hay una inestimable
cantidad de cosas que los matemáticos pueden hacer, y han hecho, de manera
que la evolución no se detenga nunca. Pero, en su raíz, las matemáticas están
motivadas por una característica básica que define a la humanidad: la curiosidad
insaciable.
Los ingenieros sabemos que las herramientas matemáticas que empleamos
fueron desarrolladas hace muchos años, y en realidad no fueron creadas con
ninguna aplicación práctica concreta. Las matemáticas con las que convivimos hoy
tienen su raíz en una temprana e incipiente cultura numérica que comienza
alrededor del año 3000 a.C. Como era de esperar, los comienzos estaban
orientados a tratar con asuntos prácticos: problemas en el mercado, el pago de
impuestos, la medida de terrenos, la comprensión de las estrellas y los planetas o
la concepción de un calendario; todas son aplicaciones que requieren números,
cálculos y geometría rudimentaria. Pero con los egipcios, mil años después, las
sociedades comienzan a investigar las propiedades de los sistemas numéricos
más allá de las aplicaciones obvias. También empezaron a crear, por curiosidad y
placer intelectual, acertijos matemáticos, por la misma razón por la que nosotros
podemos disfrutar con el sudoku del periódico.
Las matemáticas habían empezado a mirarse a sí mismas. Había nacido el
matemático. Los griegos hicieron enormes progresos en torno al año 500 a.C.,
cuando la verdadera cultura matemática floreció. Los estudios que realizaron han
resultado influyentes a lo largo de los siglos y todavía se estudian hoy. Las
matemáticas eran consideradas como la esencia del bien supremo y eran una
parte esencial en la educación clásica. Pitágoras, Platón, Arquímedes o Euclides
son sólo algunos de los filósofos griegos que abogaron por las matemáticas y que
ejercieron una influencia cientos, incluso miles, de años después.
Sin embargo, existe actualmente un debate popular sobre las matemáticas, sobre
si necesitarlas es el origen de la invención matemática o si las matemáticas
innovadoras crean oportunidades para su aplicación. Históricamente, las
consideraciones prácticas fueron las que guiaron a las matemáticas, pero una vez
que la materia generó su propia vida interior, surgió la posibilidad de que el
pensamiento matemático “puro" pudiese por sí mismo crear un espacio para
nuevas aplicaciones. Las buenas matemáticas nunca descartan una potencial

3. aplicación, pero uno nunca sabe cuándo el momento de ésta llegará. Una afinada
comprensión quizá la saque a la luz la semana que viene, o puede que
permanezca latente durante 50 o 500 años.
La historia está repleta de ejemplos de teorías puramente matemáticas que
encuentran su vertiente práctica años posteriores. Los griegos en la Antigüedad
elaboraron una teoría de secciones cónicas que resultó ser justo lo que
necesitaban, en el siglo XVII, Johannes Kepler e Isaac Newton cuando afirmaron
que los planetas se movían en elipses. El “Álgebra de matrices” que estudiamos
ahora en Preparatoria es una teoría de números multidimensionales que se
desarrolló a mediados del siglo XIX para resolver problemas propios de las
matemáticas y fue, precisamente esto lo que era necesario en la “mecánica de
matrices” para la rápida evolución de la Teoría Cuántica 70 años más tarde.
Cuando George Boole diseñó un sistema para convertir la lógica en álgebra,
dando lugar al “álgebra booleana”, no sabía que estaba proporcionando el
lenguaje de máquina para la programación de las computadoras de un siglo
después.
Otro ejemplo que quiero compartir sobre todo con los ingenieros en
Telecomunicaciones e Informática es el “problema de las esferas que se besan”
“the kissing number problem” planteado en el siglo XVII por Isaac Newton y David
Gregory y que actualmente resuelve muchos problemas en esta rama de la
ingeniería:
“Dada una esfera, ¿cuántas esferas iguales a ésta pueden colocarse con la
condición de que toquen a la inicial?”
En una sola dimensión es evidente que sólo es posible colocar dos esferas
iguales a ésta (una a la izquierda y otra a la derecha), tal como muestra la
siguiente figura:
En dos dimensiones, también la solución resulta sencilla y es fácil de
demostrar que la respuesta es 6.Lo podemos ver en esta imagen:
Pero cuando pasamos a la tercera dimensión , o R3 como la solemos llamar,
el problema se complica cuando queremos hacer una demostración. Newton
pensaba que 12 era el número máximo en 3 dimensiones pero David
Gregory aseguraba que el número máximo era 13. Si analizamos más a

4. detalle el problema, podemos imaginar fácilmente que será relativamente sencillo
colocar 12 esferas tocando a esa esfera inicial.
Pero esta no es la única forma de colocarlas, y quizás este hecho sea lo que
provoca la dificultad de este problema. Hay más formas de colocar estas esferas.
De hecho a partir de una colocación cualquiera se pueden mover las esferas
hasta que queden colocadas sobre los vértices de un icosaedro (poliedro de 20
caras y 12 vértices) cuyo centro es el mismo que el de la esfera interior. Esta
colocación es la siguiente:
La duda aparece cuando uno analiza esta configuración y se aprecia que queda
una cierta cantidad de espacio entre las esferas. Por ello no es ni mucho menos
una locura plantearse que las esferas pueden recolocarse de tal forma que esos
huecos permitan colocar una esfera más “besando” a la interior.
Esa fue la disputa entre Newton y Gregory: el primero decía que esto no se podía
conseguir y el segundo estaba convencido de que sí.
¿Qué dicen ustedes? ¿Podremos juntar todos esos huecos en uno para
poder colocar otra esfera? Es cierto que la apuesta más segura quizás es la de
Newton, pero en cierto modo la opción Gregory es tentadora…
La demostración tuvo que esperar el trabajo de Kurt Schütte y Bartel van der
Waerden en 1953 y comprobar que Newton tenía razón. En 2003 Oleg Musin
demostró que el “número de besos” en 4 dimensiones es 24.En cinco
dimensiones sólo se sabe que se encuentra entre 40 y 44.Sabemos que la
respuesta en 8 dimensiones es 240, como lo demostró Andrew Odlyzko en
1979.Más aún, en 24 dimensiones la respuesta es 196,560. Estas últimas
demostraciones fueron más sencillas que la de 3 dimensiones y utilizan el
empaquetamiento de esferas mucho más complicados e increíblemente densos.
Como dato final, es interesante comentar que este “kissing number” muestra una
tendencia exponencial, como se puede apreciar en este gráfico.

5. Todo esto suena interesante, pero… ¿sirve de algo? .En la década de 1960 un
ingeniero llamado Gordon Lang diseñó los sistemas de comunicación para datos
empleados en los módems mediante algoritmos que se basan en estos
empaquetamientos de esferas multidimensionales. Por otra parte, sabemos que
las líneas telefónicas y enlaces inalámbricos están afectados por el ruido y que en
una conversación de voz el ruido importa poco pero en una comunicación de datos
es necesario emplear técnicas correctoras de errores. Lang utilizó estos mismos
empaquetamientos de esferas para lidiar con el ruido y aumentar el ancho de
banda (o velocidad) del canal. Para ello empleó una codificación basada en el
empaquetamiento E8 (que más tarde empleó Leech 1
).En la década de 1970 el
trabajo de Lang fue clave para el desarrollo de algunos aspectos de transmisión
de datos, detección y corrección de errores empleados en el protocolo TCP/IP o
“IP” (Internet Protocol”), empleado por supuesto en Internet.
El problema de la configuración de esferas a máxima densidad en espacios
multidimensionales reviste de gran importancia también para la transmisión de
mensajes (teoría de códigos), especialmente en la compresión de datos y la
corrección de errores(código Hamming y Reed-Solomon) indispensables en
toda red informática e indispensable también para la creación de clústeres
informáticos…
¿Quieres saber por qué?...
Continúa leyendo….
1
John Leech (21 de julio 1926 -28 de septiembre 1992 ). Educado en la Universidad Trent. Recibido B.A. de King's College
de Cambridge en 1950.

6. ¿Qué es exactamente un Clúster Informático?
Un cluster (a veces castellanizado como clúster) es un término inglés
encontrado en varios tecnicismos. La traducción literal al castellano es " racimo",
“conjunto” , "grupo" o " cúmulo"2
Un clúster informático es un conjunto de computadoras interconectadas con
dispositivos de alta velocidad que actúan en conjunto usando el poder cómputo de
varios CPUs en combinación para resolver ciertos problemas dados. Se usa un
clúster para crear una supercomputadora que puede servir como un servidor
en un sistema Cliente-Servidor, reduciéndose el costo de inversión.
Hoy en día desempeñan un papel importante en la solución de problemas de las
ciencias, las ingenierías y del comercio moderno.La tecnología de clústeres ha
evolucionado en apoyo de actividades que van desde aplicaciones de
supercómputo y software de misiones críticas, servidores web y comercio
electrónico, hasta bases de datos de alto rendimiento, entre otros usos. El
cómputo con clústeres surge como resultado de la convergencia de varias
tendencias actuales que incluyen la disponibilidad de microprocesadores
económicos de alto rendimiento y redes de alta velocidad, el desarrollo de
herramientas de software para cómputo distribuido de alto rendimiento , así como
la creciente necesidad de potencia computacional para aplicaciones que la
requieran.3
En resumen, , un clúster informático es un grupo de computadoras
unidas mediante una red de alta velocidad de tal forma que el conjunto es visto
como una única supercomputadora.
Características del clúster
De un clúster se espera que presente combinaciones de las siguientes
características4
:
1. Alto rendimiento
2. Alta disponibilidad
3. Balanceo de cargas
4. Escalabilidad
La construcción del clúster es más fácil y económico debido a su flexibilidad ya
que pueden tener todos la misma configuración de hardware y sistema operativo
(clúster homogéneo), diferente rendimiento pero con arquitecturas y sistemas
operativos similares (clúster semi-homogéneo), o tener diferente hardware y
sistema operativo (clúster heterogéneo), lo que hace más fácil y económica su
construcción. Para que un clúster funcione como tal, no basta solo con conectar
entre sí las computadoras, sino que es necesario proveer un sistema de manejo
2
Citado en http://es.wikipedia.org/wiki/Cluster
3
Citado en http://es.wikipedia.org/wiki/Cluster_(inform%C3%A1tica)
4
Citado en http://www.seccperu.org/files/Clustering%20and%20Grid%20Computing.pdf

7. del clúster, el cual se encarga de interactuar con el usuario y los procesos que
corren en él para optimizar el funcionamiento.
Un poco de Historia de los clústeres
El origen del término y del uso de este tipo de tecnología es desconocido pero se
puede considerar que comenzó a finales de los años 50 y principios de los años
60.El principal fundamento que dio origen a la existencia del clúster es la Ley de
Amdhal que describe matemáticamente cuanto se puede esperar como resultado
de hacer en paralelo una serie de tareas mediante una arquitectura que lo permita.
Dicha ley es aplicable a cualquier medio de multiprocesamiento, ya sea en
hardware (es decir, maquinas con varias CPU´s ) o entornos de redes (clústeres
de computadoras).En consecuencia, la historia de los primeros clústeres está más
o menos directamente ligada a la historia de principios de las redes, como una de
las principales motivaciones para el desarrollo de una red para enlazar los
recursos de computación.. Las redes fueron conceptualmente inventadas por la
corporación RAND 5
en 1962 .Utilizando el concepto de una red de conmutación
de paquetes, el proyecto ARPANET6
logró crear en 1969 lo que fue posiblemente
la primera red de computadoras básicas, basadas en el clúster de computadoras
por cuatro tipos de centros informáticos. El desarrollo posterior de ARPANET es lo
que dio origen a la actual Internet.
En 1995, la invención de la Beowulf -un estilo de clúster- estimuló el desarrollo
independiente de lo que se conoce como Grid Computer7
.
Clasificación de los clústeres
El término clúster tiene diferentes connotaciones para diferentes grupos de
personas. Los tipos de clústeres, establecidos en base al uso que se dé a los
clústeres y los servicios que ofrecen, determinan el significado del término para el
grupo que lo utiliza. Los clústeres pueden clasificarse con base en sus
características. Se pueden tener clústeres de alto rendimiento (HPC – High
Performance Clusters), clústeres de alta disponibilidad (HA – High Availability) o
clúster de alta eficiencia (HT – High Throughput).
Alto rendimiento: Son clústeres en los cuales se ejecutan tareas que requieren
de gran capacidad computacional, grandes cantidades de memoria, o ambos a la
vez. El llevar a cabo estas tareas puede comprometer los recursos del clúster por
largos periodos de tiempo.
5
La Corporación RAND (Research ANd Development)1
es un laboratorio de ideas (think tank) norteamericano formado, en
un primer momento, paraofrecer investigación y análisis a las fuerzas armadas norteamericanas
6
Advanced Research Projects Agency Network (ARPANET) fue creada por encargo del Departamento de Defensa de
los Estados Unidos como medio de comunicación para los diferentes organismos del país. Después se empleó para unir los
diferentes centros de investigación y es el antecesor a Internet-
7
Grid Computing es una tecnología nueva e innovadora, una nueva forma de computación distribuida, fue concebido a
mediados del año 1990 pero es a partir del 2000 que se han llevado progresos considerables en la construcción de dicha
infraestructura.

8. Alta disponibilidad: Son clústeres cuyo objetivo de diseño es el de proveer
disponibilidad y confiabilidad. Estos clústeres tratan de brindar la máxima
disponibilidad de los servicios que ofrecen. La confiabilidad se provee mediante
software que detecta fallos y permite recuperarse frente a los mismos, mientras
que en hardware se evita tener un único punto de fallos.
Alta eficiencia: Son clústeres cuyo objetivo de diseño es el ejecutar la mayor
cantidad de tareas en el menor tiempo posible. Existe independencia de datos
entre las tareas individuales. El retardo entre los nodos del clúster no es
considerado un gran problema.
Componentes de un Clúster
En general, un clúster necesita de varios componentes de software y hardware
para poder funcionar. A saber:
 Nodos
 Sistemas Operativos
 Conexiones de Red
 Middleware8
 Protocolos de Comunicación y servicios
 Aplicaciones
 Ambientes de Programación Paralela
Algunos Sistemas Clústeres Implementados
 Beowulf
8
El middleware es un software que generalmente actúa entre el sistema operativo y las aplicaciones con la finalidad de
proveer una interfaz única de acceso al sistema.Existen diversos tipos de middleware, como por ejemplo: MOSIX, Condor,
Open MOSIX, OpenSSI, entre otros.

9. Fue diseñado por Donald Becker y Thomas Sterling en 1994 y construido con
16 computadores personales con procesadores Intel DX4 de 200 MHz, que
estaban conectados a través de un switch Ethernet. El rendimiento teórico era
de 3.2 GigaFlops.(Los flops son las operaciones de coma flotante por
segundo y son una medida del rendimiento de una computadora).
 Berkeley NOW
El sistema NOW de Berkeley estuvo conformado por 105 estaciones de trabajo
Sun Ultra 170, conectadas a través de una red Myrinet. Cada estación de
trabajo contenía un microprocesador Ultra1 de 167 MHz, caché de nivel 2 de
512 KB, 128 MB de memoria, dos discos de 2.3 GB, tarjetas de red Ethernet y
Myrinet. En abril de 1997, NOW logró un rendimiento de 10 GFlops.
 Google
Durante el año 2003, el clúster Google llegó a estar conformado por más de
15.000 computadores personales. En promedio, una consulta en Google lee
cientos de megabytes y consume algunos billones de ciclos del CPU.
 Cluster PS2
En el año 2004, en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, Estados
Unidos, se exploró el uso de consolas Play Station 2 (PS2) en cómputo
científico y visualización de alta resolución. Se construyó un clúster
conformado por 70 PS2; utilizando Sony Linux Kit (basado en Linux Kondora y
Linux Red Hat) y MPI.
Clústeres Informáticos en México
De acuerdo al CANIETI (Cámara Nacional de la Industria Electrónica ,de
Telecomunicaciones y de Tecnologías de Información), en México hay más de dos
mil empresas de tecnología aglutinadas en 38 clústeres distribuidos en 28 estados
de la República.
Estos clústeres concentran a compañías, emprendedores y academia para
generar innovación en Tecnologías de la Información (TI) como software,
hardware, apps móviles, consultoría y animación digital. Su número está en
constante crecimiento debido a la llegada de inversión y la conformación de
nuevas alianzas entre empresas, gobiernos y universidades. Datos de la Cámara
indican que en el País existen 900 mil empleos relacionados con la industria de
Tecnologías de la Información y gran parte son ofrecidos en estos clústeres, los
cuales han crecido como polos de atracción de emprendedores que fundan
nuevas empresas y generan más empleos9
.
9
González, Alejandro.”Hay 38 clústeres mexicanos”, Periódico Reforma.Sección Interfase Abril 9, 2012

10. Fuente:
http://www.canieti.org/noticias/vista/12-0409/Hay_38_cl%C3%BAsteres_mexicanos.aspx
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Conclusiones
Hace tan sólo poco más de 60 años, el influyente matemático inglés G. H. Hardy
escribió que ejerció las matemáticas sin sentir la obligación de tener que dotar a
sus ideas alguna “relevancia práctica”. Es más, se reconfortaba en la teoría de
números remotamente ligada a aplicaciones prácticas. No podría celebrar su
aislamiento hoy en día, no en un mundo donde su tipo de matemática pura es una
de las de mayor importancia cuando nos referimos a la seguridad informática.
Actualmente, la matemática pura y matemática aplicada prolongan su
relación simbiótica, algo que nunca ha sido más cierto que en la industria
electrónica. Sin matemáticas, las computadoras serían inútiles, la fotografía digital
sería imposible y los teléfonos móviles permanecerían en silencio. Por otra parte,
resulta que la investigación “pura” de matemáticos profesionales es
significativamente poderosa gracias a la capacidad de cómputo de manera que “lo
aplicado” alimenta también a “lo puro” en este caso.
Pero las matemáticas tienen también una cara más tímida, su parte reflexiva
desde un punto de vista filosófico. Su historia muestra un movimiento que se aleja
de la hipótesis de la Antigüedad, que aseguraba que los matemáticos sacaban a la
luz verdades preexistentes, y se dirige a una concepción con matices mucho más
precisos, en la que interviene la creatividad y la imaginación. Ojalá podamos
acercarnos también a esta arista de las matemáticas quizá más tímida pero no
menos importante.
“A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are
more permanent than theirs, it is because they are made with ideas” G. H. Hardy “A
Mathematician’s Apology “