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Qual foi a consequência?Qual foi a consequência?Mapeamento, navegação e, maisMapeamento, navegação e, maisrecentemente, a ...
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PLANO DE AULAPLANO DE AULA
TemaTemaTeorema de PitágorasTeorema de Pitágoras
Objetivo geralObjetivo geral Resolver situações-problema, sabendoResolver situações-problema, sabendoavaliar estratégias ...
Objetivos específicosObjetivos específicos Justificar um resultado a partir de fatosJustificar um resultado a partir de f...
JustificativaJustificativa O teorema de Pitágoras apresenta-se comoO teorema de Pitágoras apresenta-se comoexcelente situ...
 Com o teorema de Pitágoras, os problemasCom o teorema de Pitágoras, os problemasgeométricos ganham uma qualidadegeométri...
 Vários conceitos métricos associados aVários conceitos métricos associados apolígonos, como a determinação daspolígonos,...
Anos: 8º e 9ºAnos: 8º e 9º
Tempo estimadoTempo estimado 8º ano: 2 semanas8º ano: 2 semanas 9º ano: 3 semanas9º ano: 3 semanas
ProcedimentosProcedimentosmetodológicosmetodológicos
I) Atividades que permitirão aI) Atividades que permitirão aconstrução da lógica que servirá deconstrução da lógica que se...
1) Atividade de pesquisa sobre Pitágoras e sua1) Atividade de pesquisa sobre Pitágoras e suavisão de mundo.visão de mundo....
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Vamos provar, dedutivamente,Vamos provar, dedutivamente,que em todo triânguloque em todo triânguloretângulo, o quadrado da...
Comece desenhando e recortando umComece desenhando e recortando umtriângulo retângulo qualquer. Nãotriângulo retângulo qua...
A seguir desenhe e recorte umA seguir desenhe e recorte umquadrado, cujo lado seria igual àquadrado, cujo lado seria igual...
Finalmente, desenhe e recorte maisFinalmente, desenhe e recorte maisdois quadrados: um de lado b e outrodois quadrados: um...
Com o quadrado de lado a e os quatroCom o quadrado de lado a e os quatrotriângulos, você pode formar umtriângulos, você po...
Usando agora os mesmos quatro triângulosUsando agora os mesmos quatro triângulose os dois quadrados de lados b e c, vocêe ...
Se do primeiroquadradão vocêeliminar os quatrotriângulos, sobrará oquadrado de lado a,cuja área é igual a a2.Se do segundo...
Logo, o que sobrou do primeiro quadradãoLogo, o que sobrou do primeiro quadradãoé igual ao que sobrou do segundoé igual ao...
Construção de um quebra-cabeçaConstrução de um quebra-cabeçadiferentediferenteNo centro de uma cartolina, desenhar umaNo c...
Usando régua e lápis,prolongue a linha IC até elaencontrar a linha EA no pontoJ. Prolongue também a linhaHB até ela encont...
Ao encaixar as cinco peças no quadradão,Ao encaixar as cinco peças no quadradão,você cobriu-o por completo.você cobriu-o p...
Números pitagóricosNúmeros pitagóricosNós conhecemos um triângulo retângulo cujos lados são números inteiros:é o triângulo...
Os membros da Escola PitagóricaOs membros da Escola Pitagóricaconheciam um interessante processoconheciam um interessante ...
Em primeiro lugar note que, se m e n sãoEm primeiro lugar note que, se m e n sãonúmeros inteiros e positivos, e m > n,núme...
Na tabela seguinte você pode ver, alémNa tabela seguinte você pode ver, alémdos já conhecidos, mais algunsdos já conhecido...
Um professor de MatemáticaUm professor de Matemáticaamericano chamado Elisha Scottamericano chamado Elisha ScottLoomis col...
Para acompanhar o raciocínio de Bhaskara, utilizequatro triângulos retângulos.Desenhe e recorte umquadradinho cujolado sej...
Com os quatro triângulos eesse quadradinho, monteeste quadradão de lado aEfetuando, agora,o cálculo:a2= c2– 2bc + b2+2bcSi...
Resolução de exercícios exemplaresResolução de exercícios exemplaresque visam aplicar o teorema deque visam aplicar o teor...
1) Thiago quer descobrir a medida aproximada da parte mais1) Thiago quer descobrir a medida aproximada da parte maisextens...
2) Esta figura representa a “pipa” construída por2) Esta figura representa a “pipa” construída porCadu. Ele possui 1 metro...
3) A figura representa a planta de um terreno que3) A figura representa a planta de um terreno quetem a forma de um trapéz...
4) Uma escada está apoiada em uma parede e tem4) Uma escada está apoiada em uma parede e temseus pés a uma distância de 3 ...
II) Atividades deII) Atividades deaprofundamento e ampliação doaprofundamento e ampliação doestudo do teorema de Pitágoras...
1) Utilização de triângulos retângulos1) Utilização de triângulos retângulossemelhantes para a demonstração dassemelhantes...
2) Problemas envolvendo o cálculo de2) Problemas envolvendo o cálculo deáreas e o teorema de Pitágoras.áreas e o teorema d...
Você aprendeu que a área do quadradoVocê aprendeu que a área do quadradoconstruído sobre a hipotenusa de umconstruído sobr...
Nos desenhos seguintes, construímos outras figurasNos desenhos seguintes, construímos outras figurassobre os lados de um t...
No livro de Loomis, são apresentadas 370No livro de Loomis, são apresentadas 370demonstrações diferentes do teorema dedemo...
Raízes quadradas em espiralRaízes quadradas em espiral
3) Aplicações do teorema de3) Aplicações do teorema dePitágoras em situações-problema.Pitágoras em situações-problema.
Problema 1Problema 1O triângulo retângulo representado naO triângulo retângulo representado nafigura é isósceles e está in...
Problema 2Problema 2Um balão de propaganda flutuava a 30 m de alturaUm balão de propaganda flutuava a 30 m de alturaquando...
Problema 3Problema 3Para dar firmeza à estrutura de um portão retangularPara dar firmeza à estrutura de um portão retangul...
Problema 4Problema 4Do centro de uma sala retangular de lados de 4m e 6 mDo centro de uma sala retangular de lados de 4m e...
Problema 5Problema 5Nove caixas com a forma de um cubo de aresta 10 cmNove caixas com a forma de um cubo de aresta 10 cmfo...
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Problema 7Problema 7Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo com todas asUma caixa tem a forma de um paralelepípedo com ...
Problema 8Problema 8Hélio e Ana partiram da casa dela com destino àHélio e Ana partiram da casa dela com destino àescola. ...
Problema 9Problema 9Na casa ilustrada, a estrutura de madeira que sustenta o telhadoNa casa ilustrada, a estrutura de made...
Recursos e materiais tecnológicosRecursos e materiais tecnológicosPapel quadriculado, calculadoras,Papel quadriculado, cal...
AvaliaçãoAvaliação O tema será avaliado de forma contínua,O tema será avaliado de forma contínua,acompanhando o desenvolv...
RecuperaçãoRecuperaçãoConsiderando que algumas metas nãoConsiderando que algumas metas nãotenham sido alcançadas, será ret...
Sugestões de leituraSugestões de leitura Almanaque das curiosidades matemáticas – IanAlmanaque das curiosidades matemátic...
Teorema de pitágoras    plano de aula
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Teorema de pitágoras plano de aula

  1. 1. Teorema de PitágorasTeorema de PitágorasO que diz?O que diz?Como os três lados de um triângulo retânguloComo os três lados de um triângulo retânguloestão relacionados.estão relacionados.Por quê é importante?Por quê é importante?Fornece um elo vital entre geometria e álgebra,Fornece um elo vital entre geometria e álgebra,permitindo-nos calcular distâncias em termos depermitindo-nos calcular distâncias em termos decoordenadas. Além disso, inspirou acoordenadas. Além disso, inspirou atrigonometria.trigonometria.
  2. 2. Qual foi a consequência?Qual foi a consequência?Mapeamento, navegação e, maisMapeamento, navegação e, maisrecentemente, a relatividade especial e geralrecentemente, a relatividade especial e geral– as melhores teorias de espaço, tempo e– as melhores teorias de espaço, tempo egravitação.gravitação.
  3. 3. As equações podem. Elas têm sido umAs equações podem. Elas têm sido ummotor primordial na civilizaçãomotor primordial na civilizaçãohumana por milhares de anos. Aohumana por milhares de anos. Aolongo da história, as equações vêmlongo da história, as equações vêmmanipulando as cordas da sociedade.manipulando as cordas da sociedade.Ocultas nos bastidores, com certeza –Ocultas nos bastidores, com certeza –mas a influência sempre esteve aí, quermas a influência sempre esteve aí, quertenha sido notada, quer não.tenha sido notada, quer não.Ian StewartIan Stewart(autor de 17 equações que mudaram o mundo)(autor de 17 equações que mudaram o mundo)
  4. 4. PLANO DE AULAPLANO DE AULA
  5. 5. TemaTemaTeorema de PitágorasTeorema de Pitágoras
  6. 6. Objetivo geralObjetivo geral Resolver situações-problema, sabendoResolver situações-problema, sabendoavaliar estratégias e resultados,avaliar estratégias e resultados,desenvolvendo formas de raciocínio edesenvolvendo formas de raciocínio eprocessos, como intuição, indução,processos, como intuição, indução,dedução, analogia, estimativa, ededução, analogia, estimativa, eutilizando conceitos e procedimentosutilizando conceitos e procedimentosmatemáticos, bem como instrumentosmatemáticos, bem como instrumentostecnológicos disponíveis.tecnológicos disponíveis.
  7. 7. Objetivos específicosObjetivos específicos Justificar um resultado a partir de fatosJustificar um resultado a partir de fatosconsiderados mais simples.considerados mais simples. Identificar padrões numéricos e geométricos.Identificar padrões numéricos e geométricos. Interpretar enunciados.Interpretar enunciados. Perceber a Matemática como conhecimentoPerceber a Matemática como conhecimentohistoricamente construído.historicamente construído. Reconhecer a semelhança entre os triângulosReconhecer a semelhança entre os triângulosretângulos.retângulos. Aplicar as relações métricas entre as medidas dosAplicar as relações métricas entre as medidas doselementos de um triângulo na resolução deelementos de um triângulo na resolução desituações-problema.situações-problema. Aplicar o teorema de Pitágoras na resolução deAplicar o teorema de Pitágoras na resolução desituações-problema.situações-problema.
  8. 8. JustificativaJustificativa O teorema de Pitágoras apresenta-se comoO teorema de Pitágoras apresenta-se comoexcelente situação para abordar aexcelente situação para abordar aMatemática a partir de uma perspectivaMatemática a partir de uma perspectivahistórica, o que entendemos ser uma fontehistórica, o que entendemos ser uma fontede motivação e de criação de significados.de motivação e de criação de significados.Fornece um elo vital entre geometria eFornece um elo vital entre geometria eálgebra, permitindo-nos calcular distânciasálgebra, permitindo-nos calcular distânciasem termos de coordenadas. Além disso,em termos de coordenadas. Além disso,inspirou a trigonometria.inspirou a trigonometria.
  9. 9.  Com o teorema de Pitágoras, os problemasCom o teorema de Pitágoras, os problemasgeométricos ganham uma qualidadegeométricos ganham uma qualidadediferente. A relação entre os lados dodiferente. A relação entre os lados dotriângulo retângulo permite explorar astriângulo retângulo permite explorar asfiguras geométricas de novas maneiras.figuras geométricas de novas maneiras.Vários conceitos métricos associados aVários conceitos métricos associados apolígonos, como a determinação daspolígonos, como a determinação dasmedidas da altura e das diagonais, podemmedidas da altura e das diagonais, podemser explorados de forma mais significativa.ser explorados de forma mais significativa.
  10. 10.  Vários conceitos métricos associados aVários conceitos métricos associados apolígonos, como a determinação daspolígonos, como a determinação dasmedidas da altura e das diagonais, podemmedidas da altura e das diagonais, podemser explorados de forma mais significativa.ser explorados de forma mais significativa. A aplicação do teorema de Pitágoras éA aplicação do teorema de Pitágoras émuito abrangente, podendo ser identificadamuito abrangente, podendo ser identificadana trigonometria, na geometria analítica,na trigonometria, na geometria analítica,quando são estudadas a distância entrequando são estudadas a distância entrepontos e as equações das cônicas, e napontos e as equações das cônicas, e nageometria espacial métrica.geometria espacial métrica.
  11. 11. Anos: 8º e 9ºAnos: 8º e 9º
  12. 12. Tempo estimadoTempo estimado 8º ano: 2 semanas8º ano: 2 semanas 9º ano: 3 semanas9º ano: 3 semanas
  13. 13. ProcedimentosProcedimentosmetodológicosmetodológicos
  14. 14. I) Atividades que permitirão aI) Atividades que permitirão aconstrução da lógica que servirá deconstrução da lógica que servirá dereferência para a demonstração doreferência para a demonstração doteorema de Pitágorasteorema de Pitágoras
  15. 15. 1) Atividade de pesquisa sobre Pitágoras e sua1) Atividade de pesquisa sobre Pitágoras e suavisão de mundo.visão de mundo.2) Situações-problema próximas às2) Situações-problema próximas àsenfrentadas pelos pitagóricos. Esse resgateenfrentadas pelos pitagóricos. Esse resgatecombina a história da Matemática e acombina a história da Matemática e aresolução de problemas em uma sóresolução de problemas em uma sóabordagem de ensino.abordagem de ensino.3) Criação de um esquadro de barbante. Essa3) Criação de um esquadro de barbante. Essaatividade mostra aos alunos como osatividade mostra aos alunos como osegípcios resolveram o problema de traçaregípcios resolveram o problema de traçarângulos retos na construção das pirâmides.ângulos retos na construção das pirâmides.
  16. 16. 4) Utilização de malha quadriculada para4) Utilização de malha quadriculada paraconstrução do triângulo 3, 4 e 5. O objetivoconstrução do triângulo 3, 4 e 5. O objetivodessa atividade é levar o aluno a construirdessa atividade é levar o aluno a construiruma relação entre os quadrados dosuma relação entre os quadrados dosnúmeros do triângulo 3, 4 e 5.números do triângulo 3, 4 e 5.5) Usando o método dedutivo. Com essa5) Usando o método dedutivo. Com essaatividade vamos provar, dedutivamente,atividade vamos provar, dedutivamente,que, em todo triângulo retângulo, oque, em todo triângulo retângulo, oquadrado da medida da hipotenusa é igualquadrado da medida da hipotenusa é igualà soma dos quadrados das medidas dosà soma dos quadrados das medidas doscatetos.catetos.
  17. 17. Vamos provar, dedutivamente,Vamos provar, dedutivamente,que em todo triânguloque em todo triânguloretângulo, o quadrado daretângulo, o quadrado damedida da hipotenusa é igual àmedida da hipotenusa é igual àsoma dos quadrados dassoma dos quadrados dasmedidas dos catetos.medidas dos catetos.
  18. 18. Comece desenhando e recortando umComece desenhando e recortando umtriângulo retângulo qualquer. Nãotriângulo retângulo qualquer. Nãoimportam as medidas de seus lados.importam as medidas de seus lados.Em seguida, recorte outros trêsEm seguida, recorte outros trêstriângulos iguais ao primeiro.triângulos iguais ao primeiro.
  19. 19. A seguir desenhe e recorte umA seguir desenhe e recorte umquadrado, cujo lado seria igual àquadrado, cujo lado seria igual àhipotenusa a dos triângulos retângulos.hipotenusa a dos triângulos retângulos.
  20. 20. Finalmente, desenhe e recorte maisFinalmente, desenhe e recorte maisdois quadrados: um de lado b e outrodois quadrados: um de lado b e outrode lado c.de lado c.
  21. 21. Com o quadrado de lado a e os quatroCom o quadrado de lado a e os quatrotriângulos, você pode formar umtriângulos, você pode formar umquadradão.quadradão.Note que o quadradão tem lado b + c
  22. 22. Usando agora os mesmos quatro triângulosUsando agora os mesmos quatro triângulose os dois quadrados de lados b e c, vocêe os dois quadrados de lados b e c, vocêpode construir a seguinte figura.pode construir a seguinte figura.Temos outra vez um quadradão de lado b + c.Portanto, os dois quadradões são iguais.
  23. 23. Se do primeiroquadradão vocêeliminar os quatrotriângulos, sobrará oquadrado de lado a,cuja área é igual a a2.Se do segundo quadradão, queé igual ao primeiro, vocêeliminar os mesmos quatrotriângulos, sobrarão doisquadrados de lados b e c que,juntos têm área igual a b2+ a2.
  24. 24. Logo, o que sobrou do primeiro quadradãoLogo, o que sobrou do primeiro quadradãoé igual ao que sobrou do segundoé igual ao que sobrou do segundoquadradão:quadradão:aa22= b= b22+ c+ c22Provamos assim, que:Provamos assim, que:Num triângulo retângulo, o quadrado daNum triângulo retângulo, o quadrado damedida da hipotenusa é igual à soma dosmedida da hipotenusa é igual à soma dosquadrados das medidas dos catetos.quadrados das medidas dos catetos.As afirmações que são demonstradas comoAs afirmações que são demonstradas comoverdadeiras através do método dedutivo sãoverdadeiras através do método dedutivo sãochamadaschamadas teoremasteoremas..
  25. 25. Construção de um quebra-cabeçaConstrução de um quebra-cabeçadiferentediferenteNo centro de uma cartolina, desenhar umaNo centro de uma cartolina, desenhar umafigura como esta:figura como esta:
  26. 26. Usando régua e lápis,prolongue a linha IC até elaencontrar a linha EA no pontoJ. Prolongue também a linhaHB até ela encontrar FG noponto K. Depois, desenhe alinha KL, que faz ângulo retocom BK.Numere as partes dosquadrados menores e pintede cores diferentes cadaquadrado. Recorte cadauma das partes numeradas.
  27. 27. Ao encaixar as cinco peças no quadradão,Ao encaixar as cinco peças no quadradão,você cobriu-o por completo.você cobriu-o por completo.Podemos, então,concluir que aárea doquadradão é asoma das áreasdas cinco peças.
  28. 28. Números pitagóricosNúmeros pitagóricosNós conhecemos um triângulo retângulo cujos lados são números inteiros:é o triângulo de lados 3, 4 e 5. Multiplicando essas medidas por 2, 3, 4, 5 e6,... Sucessivamente, conseguimos uma infinidade de triângulos cujoslados são números inteiros, semelhantes ao primeiro e portanto tambémretângulos
  29. 29. Os membros da Escola PitagóricaOs membros da Escola Pitagóricaconheciam um interessante processoconheciam um interessante processopara obter esses números.para obter esses números.Considere dois números inteirosConsidere dois números inteirospositivos m e n, com m > n.positivos m e n, com m > n.Considere, agora, os seguintesConsidere, agora, os seguintesnúmeros:números:a = ma = m22+ n+ n22b = mb = m22– n– n22c = 2 mnc = 2 mn
  30. 30. Em primeiro lugar note que, se m e n sãoEm primeiro lugar note que, se m e n sãonúmeros inteiros e positivos, e m > n,números inteiros e positivos, e m > n,então a, b e c também são númerosentão a, b e c também são númerosinteiros e positivos. Acompanhe osinteiros e positivos. Acompanhe oscálculos:cálculos:aa22= (m= (m22+ n+ n22))22= m= m44+ 2m+ 2m22nn22+ n+ n44bb22+ c+ c22= (m= (m22– n– n22) + (2mn)) + (2mn)22= m= m44– 2m– 2m22nn22++nn44+ 4m+ 4m22nn22= m= m44+ 2m+ 2m22nn22+ n+ n44Logo,Logo,aa22= b= b22+ c+ c22
  31. 31. Na tabela seguinte você pode ver, alémNa tabela seguinte você pode ver, alémdos já conhecidos, mais algunsdos já conhecidos, mais algunsexemplos de números pitagóricos:exemplos de números pitagóricos:
  32. 32. Um professor de MatemáticaUm professor de Matemáticaamericano chamado Elisha Scottamericano chamado Elisha ScottLoomis colecionou, durante muitosLoomis colecionou, durante muitosanos, demonstrações do teorema deanos, demonstrações do teorema dePitágoras. Desse trabalho resultou umPitágoras. Desse trabalho resultou umlivro contendo 370 demonstraçõeslivro contendo 370 demonstraçõesdiferentes.diferentes.Vejamos, por exemplo, a demonstraçãoVejamos, por exemplo, a demonstraçãorealizada pelo matemático Bhaskara,realizada pelo matemático Bhaskara,que viveu na Índia no século XII.que viveu na Índia no século XII.
  33. 33. Para acompanhar o raciocínio de Bhaskara, utilizequatro triângulos retângulos.Desenhe e recorte umquadradinho cujolado seja igual àdiferença entre oscatetos do triânguloretângulo, isto é, olado do quadradinhodeve ser igual a c – b
  34. 34. Com os quatro triângulos eesse quadradinho, monteeste quadradão de lado aEfetuando, agora,o cálculo:a2= c2– 2bc + b2+2bcSimplificando,obtemos:a2= b2+ c2
  35. 35. Resolução de exercícios exemplaresResolução de exercícios exemplaresque visam aplicar o teorema deque visam aplicar o teorema dePitágoras em diferentes contextos.Pitágoras em diferentes contextos.
  36. 36. 1) Thiago quer descobrir a medida aproximada da parte mais1) Thiago quer descobrir a medida aproximada da parte maisextensa de uma lagoa (BC). Como não sabe nadar, viu umaextensa de uma lagoa (BC). Como não sabe nadar, viu umaforma de resolver seu problema com o uso de seusforma de resolver seu problema com o uso de seusconhecimentos em Geometria. Lembrando dos egípcios, fixouconhecimentos em Geometria. Lembrando dos egípcios, fixoutrês estacas na margem da lagoa e esticou cordas de A até B etrês estacas na margem da lagoa e esticou cordas de A até B ede A até C. Como lhe interessa uma medida aproximada, fez ode A até C. Como lhe interessa uma medida aproximada, fez omáximo para formar, no encontro das cordas em A, ummáximo para formar, no encontro das cordas em A, umângulo reto. Medindo o comprimento dessas cordas obteve ABângulo reto. Medindo o comprimento dessas cordas obteve AB= 7 m e AC = 24 m. Construiu, então, em seu caderno um= 7 m e AC = 24 m. Construiu, então, em seu caderno umesboço da situação e a resolveu. Qual é o valor encontrado poresboço da situação e a resolveu. Qual é o valor encontrado porThiago?Thiago?
  37. 37. 2) Esta figura representa a “pipa” construída por2) Esta figura representa a “pipa” construída porCadu. Ele possui 1 metro de linha para reforçar aCadu. Ele possui 1 metro de linha para reforçar apipa, contornando a estrutura. Encontre opipa, contornando a estrutura. Encontre ocomprimento da linha que contorna a estrutura dacomprimento da linha que contorna a estrutura dapipa e verifique se a quantidade de fio é suficiente.pipa e verifique se a quantidade de fio é suficiente.
  38. 38. 3) A figura representa a planta de um terreno que3) A figura representa a planta de um terreno quetem a forma de um trapézio retângulo ABCD. Notem a forma de um trapézio retângulo ABCD. Nomomento de colocá-lo à venda, o proprietáriomomento de colocá-lo à venda, o proprietárioresolveu dividi-lo em duas partes, de modo queresolveu dividi-lo em duas partes, de modo queambas tivessem a mesma área. A divisão entre osambas tivessem a mesma área. A divisão entre osdois terrenos foi feita com uma cerca, indicada nadois terrenos foi feita com uma cerca, indicada nafigura por PQ, paralela ao lado AB. Encontre ofigura por PQ, paralela ao lado AB. Encontre operímetro do terreno ABPQ.perímetro do terreno ABPQ.
  39. 39. 4) Uma escada está apoiada em uma parede e tem4) Uma escada está apoiada em uma parede e temseus pés a uma distância de 3 metros da parede.seus pés a uma distância de 3 metros da parede.Sabendo que o topo da escada está a 5 metros deSabendo que o topo da escada está a 5 metros dealtura em relação ao solo, calcule o comprimentoaltura em relação ao solo, calcule o comprimentoaproximado da escada.aproximado da escada.
  40. 40. II) Atividades deII) Atividades deaprofundamento e ampliação doaprofundamento e ampliação doestudo do teorema de Pitágoras aestudo do teorema de Pitágoras apartir do reconhecimento dapartir do reconhecimento dasemelhança entre dois triângulos.semelhança entre dois triângulos.
  41. 41. 1) Utilização de triângulos retângulos1) Utilização de triângulos retângulossemelhantes para a demonstração dassemelhantes para a demonstração dasrelações métricas.relações métricas.
  42. 42. 2) Problemas envolvendo o cálculo de2) Problemas envolvendo o cálculo deáreas e o teorema de Pitágoras.áreas e o teorema de Pitágoras.
  43. 43. Você aprendeu que a área do quadradoVocê aprendeu que a área do quadradoconstruído sobre a hipotenusa de umconstruído sobre a hipotenusa de umtriângulo retângulo é igual à soma das áreastriângulo retângulo é igual à soma das áreasdos quadrados construídos sobre os catetos.dos quadrados construídos sobre os catetos.
  44. 44. Nos desenhos seguintes, construímos outras figurasNos desenhos seguintes, construímos outras figurassobre os lados de um triângulo retângulo. Verifique,sobre os lados de um triângulo retângulo. Verifique,em cada caso, se a área da figura formada sobre aem cada caso, se a área da figura formada sobre ahipotenusa é igual à soma das áreas das outras duas.hipotenusa é igual à soma das áreas das outras duas.
  45. 45. No livro de Loomis, são apresentadas 370No livro de Loomis, são apresentadas 370demonstrações diferentes do teorema dedemonstrações diferentes do teorema dePitágoras. Uma delas é a de James AbramPitágoras. Uma delas é a de James AbramGarfield, um general que foi presidente dosGarfield, um general que foi presidente dosEstados Unidos por quatro meses. GarfieldEstados Unidos por quatro meses. Garfieldgostava muito de Matemática. Sua prova foigostava muito de Matemática. Sua prova foibaseada numa figura em que três triângulosbaseada numa figura em que três triângulosretângulos formam um trapézio.retângulos formam um trapézio.Calculando as áreas dos três triângulos eCalculando as áreas dos três triângulos ecomparando-as com a área do trapéziocomparando-as com a área do trapézioformado, é possível concluir que aformado, é possível concluir que a22= b= b22+ c+ c22..
  46. 46. Raízes quadradas em espiralRaízes quadradas em espiral
  47. 47. 3) Aplicações do teorema de3) Aplicações do teorema dePitágoras em situações-problema.Pitágoras em situações-problema.
  48. 48. Problema 1Problema 1O triângulo retângulo representado naO triângulo retângulo representado nafigura é isósceles e está inscrito em umafigura é isósceles e está inscrito em umacircunferência de raio 4 cm. Quais são ascircunferência de raio 4 cm. Quais são asmedidas dos lados desse triângulo?medidas dos lados desse triângulo?
  49. 49. Problema 2Problema 2Um balão de propaganda flutuava a 30 m de alturaUm balão de propaganda flutuava a 30 m de alturaquando foi visto do solo, simultaneamente, por Maria e porquando foi visto do solo, simultaneamente, por Maria e porJoão. Maria estava a 50 m do balão e João estava a 40 mJoão. Maria estava a 50 m do balão e João estava a 40 mdele. Qual era a distância entre João e Maria no momentodele. Qual era a distância entre João e Maria no momentoem que viram o balão?em que viram o balão?
  50. 50. Problema 3Problema 3Para dar firmeza à estrutura de um portão retangularPara dar firmeza à estrutura de um portão retangularABCD, de lados 2 m e 3 m, devem ser fixadas duas barrasABCD, de lados 2 m e 3 m, devem ser fixadas duas barrasrígidas – AC e BD – ao longo das diagonais, conformerígidas – AC e BD – ao longo das diagonais, conformemostra a figura. Para isso, dispõe-se de uma barra de 6,5mostra a figura. Para isso, dispõe-se de uma barra de 6,5m de comprimento, que será dividida em duas partesm de comprimento, que será dividida em duas partesiguais. A barra será suficiente para as duas diagonais?iguais. A barra será suficiente para as duas diagonais?
  51. 51. Problema 4Problema 4Do centro de uma sala retangular de lados de 4m e 6 mDo centro de uma sala retangular de lados de 4m e 6 mserão feitas canalizações independentes em linha reta atéserão feitas canalizações independentes em linha reta atéos quatro cantos da sala e também até o ponto médio deos quatro cantos da sala e também até o ponto médio decada um dos lados da sala, usando sempre o mesmo tipo decada um dos lados da sala, usando sempre o mesmo tipo deconduíte (cano plástico flexível). Quantos metros deconduíte (cano plástico flexível). Quantos metros deconduíte serão necessários?conduíte serão necessários?
  52. 52. Problema 5Problema 5Nove caixas com a forma de um cubo de aresta 10 cmNove caixas com a forma de um cubo de aresta 10 cmforam empilhadas conforme mostra a figura, em vistaforam empilhadas conforme mostra a figura, em vistafrontal. O ponto A é o vértice inferior esquerdo da caixa I.frontal. O ponto A é o vértice inferior esquerdo da caixa I.Calcule a distância de A até:Calcule a distância de A até:a) o vértice superior esquerdo da caixa VI.a) o vértice superior esquerdo da caixa VI.b) o vértice superior direito da caixa VIII.b) o vértice superior direito da caixa VIII.c) o centro da face visível da caixa IX.c) o centro da face visível da caixa IX.
  53. 53. Problema 6Problema 6Uma embalagem de pizza tem a forma de um prismaUma embalagem de pizza tem a forma de um prismahexagonal regular de 3 cm de altura, tendo o lado dohexagonal regular de 3 cm de altura, tendo o lado dohexágono da base 18 cm.hexágono da base 18 cm.a) Qual é o diâmetro da maior pizza circular que cabe naa) Qual é o diâmetro da maior pizza circular que cabe naembalagem?embalagem?b) Qual é a área de papelão necessária para construir ab) Qual é a área de papelão necessária para construir aparte de baixo da caixa, em que a pizza vem acomodada?parte de baixo da caixa, em que a pizza vem acomodada?
  54. 54. Problema 7Problema 7Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo com todas asUma caixa tem a forma de um paralelepípedo com todas asfaces retangulares. Suas dimensões são 20 cm, 30 cm e 40faces retangulares. Suas dimensões são 20 cm, 30 cm e 40cm. Calcule o comprimento:cm. Calcule o comprimento:a) da maior das diagonais das faces.a) da maior das diagonais das faces.b) da diagonal da caixa.b) da diagonal da caixa.
  55. 55. Problema 8Problema 8Hélio e Ana partiram da casa dela com destino àHélio e Ana partiram da casa dela com destino àescola. Ele foi direto de casa para a escola e elaescola. Ele foi direto de casa para a escola e elapassou pelo correio e depois seguiu para a escola,passou pelo correio e depois seguiu para a escola,como mostra a figura.como mostra a figura.De acordo com osDe acordo com osdados apresentados, adados apresentados, adistância percorridadistância percorridapor Ana foi maior quepor Ana foi maior quea percorrida por Hélioa percorrida por Hélioemema)a) 200 m200 mb)b) 300 m300 mc)c) 600 m600 md)d) 800 m800 m
  56. 56. Problema 9Problema 9Na casa ilustrada, a estrutura de madeira que sustenta o telhadoNa casa ilustrada, a estrutura de madeira que sustenta o telhadoapoia-se na laje. Devem dispor caibros (peças de madeira) na vertical,apoia-se na laje. Devem dispor caibros (peças de madeira) na vertical,indo da laje ao ponto mais alto do telhado, como a peça BD daindo da laje ao ponto mais alto do telhado, como a peça BD dailustração. Devido à presença da caixa d´água, essas peças sãoilustração. Devido à presença da caixa d´água, essas peças sãocortadas com dois metros de comprimento e postas a meia distânciacortadas com dois metros de comprimento e postas a meia distânciadas extremidades A e C da laje. Assim, ABD é um triângulo retângulodas extremidades A e C da laje. Assim, ABD é um triângulo retângulode catetos quatro metros e dois metros.de catetos quatro metros e dois metros.O comprimento da peça de madeira com extremidades em A e em B é, aproximadamente, dea) 20 metros b) 8 metros c) 6 metros d) 4,5 metros
  57. 57. Recursos e materiais tecnológicosRecursos e materiais tecnológicosPapel quadriculado, calculadoras,Papel quadriculado, calculadoras,cartolinas coloridas, canetas coloridas,cartolinas coloridas, canetas coloridas,EVA, livro paradidático “DescobrindoEVA, livro paradidático “Descobrindoo teorema de Pitágoras” de Luizo teorema de Pitágoras” de LuizMárcio Imenes, internet.Márcio Imenes, internet.
  58. 58. AvaliaçãoAvaliação O tema será avaliado de forma contínua,O tema será avaliado de forma contínua,acompanhando o desenvolvimento pessoal eacompanhando o desenvolvimento pessoal ecoletivo da turma na resolução das atividadescoletivo da turma na resolução das atividadespropostas, individualmente ou em grupo.propostas, individualmente ou em grupo. Exploração de uma nova situação deExploração de uma nova situação dedemonstração figurativa no sentido de apreenderdemonstração figurativa no sentido de apreendercomo os alunos estão analisando uma situação ecomo os alunos estão analisando uma situação ecomo argumentam em sua demonstração.como argumentam em sua demonstração. Proposição de problemas semelhantes aosProposição de problemas semelhantes aostrabalhados, resolvidos individualmente e emtrabalhados, resolvidos individualmente e empequenos grupos.pequenos grupos.
  59. 59. RecuperaçãoRecuperaçãoConsiderando que algumas metas nãoConsiderando que algumas metas nãotenham sido alcançadas, será retomado ostenham sido alcançadas, será retomado osaspectos essenciais do processo deaspectos essenciais do processo dedemonstração do teorema e propostos umdemonstração do teorema e propostos umconjunto de exercícios de contexto queconjunto de exercícios de contexto quepermitam a identificação da hipotenusa epermitam a identificação da hipotenusa edos catetos e a aplicação do teorema na suados catetos e a aplicação do teorema na suasolução.solução.
  60. 60. Sugestões de leituraSugestões de leitura Almanaque das curiosidades matemáticas – IanAlmanaque das curiosidades matemáticas – IanStewartStewart Deus é matemático? – Mario LivioDeus é matemático? – Mario Livio 17 equações que mudaram o mundo – Ian Stewart17 equações que mudaram o mundo – Ian Stewart Matemática... cadê você? – Adrián PaenzaMatemática... cadê você? – Adrián Paenza Temas e problemas elementares – Elon LagesTemas e problemas elementares – Elon LagesLima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; EduardoLima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; EduardoWagner; Augusto César MorgadoWagner; Augusto César Morgado Várias faces da Matemática – Geraldo ÁvilaVárias faces da Matemática – Geraldo Ávila

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