MÓDULO II: Fundamentos de la Lógica Difusa

1. MÓDULO II: Fundamentos de la Lógica
Difusa
Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa
Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
2. Conjuntos difusos
1. Definición
2. Tipos de funciones de pertenencia
3. Resumen
3. Relaciones difusas
1. De las relaciones clásicas a las difusas
2. Definición
4. Propiedades de los conjuntos difusos
5. Operaciones con conjuntos difusos
6. De las reglas difusas a las relaciones difusas
Índice

2. Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa
Objetivos:
Comprender el conjunto de conjunto difuso, relación difusa y
propiedades básicas asociadas: núcleo, soporte, alfa-corte,
normalidad, convexidad y altura.
Comprender el significado de las funciones de pertenencia y
cómo determinar el tipo de función de pertenencia en base al
tipo de descripción difusa asociada.
Conocer y saber utilizar las operaciones teóricas sobre
conjuntos difusos: complemento, intersección y unión, y
propiedades básicas de las mismas.
Índice
1. Introducción: de los conjuntos clásicos
a los conjuntos difusos
¿Por qué es útil la Lógica Difusa en control?
Muchos aspectos del diseño de un sistema de control
presentan incertidumbre
Control de aparcado de un coche
Control de un ascensor que minimice el tiempo de espera
Control de un metro
Control del frenado de un coche
Control de temperatura y grado de humedad
Compensación de vibraciones en una cámara
Características comunes:
Procesos complejos y dinámicos
Algunos se caracterizan fácilmente de forma lingüística
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos

3. 1. Introducción: de los conjuntos clásicos
a los conjuntos difusos
Sistemas verdadero / falso frente a sistemas graduales
Incertidumbre:
- Con información completa
- Por falta de incertidumbre
- Por ambigüedad
Lógica Difusa (Zadeh, 1965)
Fue diseñada para representar y razonar sobre
conocimiento expresado de forma lingüística o verbal
Conocimientos “vagos”, “borrosos”
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
1. Introducción: de los conjuntos clásicos
a los conjuntos difusos
Conjuntos clásicos
X: Universo de discurso
A: Un conjunto definido en ese universo de discurso
Formas de definir el conjunto A:
Enumerando elementos
Especificando una propiedad
Definiendo la función característica
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
{ }1,0: →XSµ

4. 1. Introducción: de los conjuntos clásicos
a los conjuntos difusos
Ejemplo: Conjunto de números reales en el
intervalo [0,10] comprendidos entre 5 y 8
A = [5,8], X = [0,10]
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤<
≤≤
<≤
=
108,0
85,1
50,0
)(1
x
x
x
xA
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos
2. Conjuntos difusos
2.1. Definición
Función característica Conjunto nítido
Función de pertenencia Conjunto difuso
Para cada elemento x, es el grado de
pertenencia al conjunto difuso A
2. Conjuntos difusos
2.1. Definición
{ }1,0: →XSµ
[ ]1,0: →XAµ
)(xAµ

5. 2.1. Definición
Ejemplo: Conjunto de gente joven
B = {gente joven} B = [0,20]
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤
≤≤
−
≤≤
=
10030,0
3020,
10
30
200,1
)(
x
x
x
x
xBµ
⇒
2.1. Definición
Ejemplos:
Conjunto de coches de fabricación española
Conjunto de números naturales cercanos a 6
Conjunto de personas mayores
Conjunto de números cercanos a cero
2. Conjuntos difusos
2.1. Definición

6. 2.2. Tipos de funciones de pertenencia
Funciones triangulares
2. Conjuntos difusos
2.2. Tipos de funciones de pertenencia
a b c
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤≤
−
−
≤≤
−
−
<
=
cx
cxb
bc
xc
bxa
ab
ax
ax
cbaxf
,1
,
,
,0
),,;(
2.2. Tipos de funciones de pertenencia
Funciones trapezoidales
2. Conjuntos difusos
2.2. Tipos de funciones de pertenencia
a b c
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤≤
−
−
≤≤
≤≤
−
−
<
=
dx
dxc
cd
xd
cxb
bxa
ab
ax
ax
cbaxf
,0
,
,1
,
,0
),,;(
d

7. 2.2. Tipos de funciones de pertenencia
Funciones gaussianas
Otras: campana, S, Z, etc.
Funciones descritas mediante polígonos
Generalizan cualquier otro tipo de representación
Nivel de aproximación ajustable
2. Conjuntos difusos
2.2. Tipos de funciones de pertenencia
2.3. Conjuntos Difusos: Resumen
Aspectos importantes de los conjuntos difusos:
Representan propiedades difusas pero una vez
definida la función de pertenencia, nada es difuso.
La representación de un conjunto difuso depende del
concepto a representar y del contexto en el que se va
a utilizar.
¿Cómo determinar las funciones de pertenencia?
A través de conocimiento experto
A través de conjuntos de datos y procesos de aprendizaje
Se pueden utilizar distintas funciones de pertenencia
para caracterizar la misma descripción.
2. Conjuntos difusos
2.3. Conjuntos difusos: Resumen

8. 3. Relaciones Difusas
3.1. De las Relaciones Clásicas a las Difusas
Las relaciones determinan interacciones entre conjuntos
y se especifican de igual forma que los conjuntos
nítidos
Una relación (clásica) se puede considerar como un
conjunto de tuplas que cumplen una determinada
condición. Por ejemplo: La relación binaria “menor o
igual”
Se pueden describir mediante funciones características
3. Relaciones Difusas
3.1. De las Relaciones Clásicas a las Relaciones Difusas
{ }nmyBnAmquetalnmR ≤∈∈=≤ ,),(
⎩
⎨
⎧ ≤
=≤
casootroen
nmsi
nmf
,0
,1
),(}1,0{:),( →×≤ NNnmf
3.2. Definición
Una relación difusa que relaciona dos conjuntos difusos A y B
(cada uno de ellos incluido en su universo de discurso U y V
respectivamente) es un subconjunto difuso del producto
cartesiano U*V, caracterizado:
Por una enumeración
O por su función de pertenencia
Caso contínuo
Caso discreto
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ×∈∈
=
α
αα
gradoenPcondiciónlacumpleyx
quetalVUyxyx
R
),(
),(],1,0[),,/(
3. Relaciones Difusas
3.2. Definición
∫=
VU
R vuvuR
*
),/(),(µ
∑= VU R yxyxR *
),/(),(µ

9. 3.3. Ejemplo de relación difusa
igualmenteaproximadaR =
}3,2,1{=U
)1,3/(3.0)3,1/(3.0
)2,3/(8.0)1,2/(8.0)3,2/(8.0)2,1/(8.0
)3,3/(1)2,2/(1)1,1/(1
+
+++
+++=R
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
=
=
2||3,0
1||8,0
1
),(
yx
yx
yx
yxRµ
10,80,33
0,810,82
0,30,811
X
321
R
y
]1,0[: →×UUR
3. Relaciones Difusas
3.3. Ejemplo de relación difusa
4. Propiedades de los Conjuntos Difusos
Soporte: Es el conjunto de elementos cuyo grado de
pertenencia es distinto de cero
Altura: Es el grado de pertenencia más grande de
los elementos del conjunto
Núcleo: Es el conjunto de elementos cuyo grado de
pertenencia es igual a 1
4. Propiedades de los Conjuntos Difusos
{ }XxxxASop A ∈>= ,0)()( µ
{ }XxxhhAAltura A ∈== ),(max)( µ
{ }1)(/)( =∈= xXxANúcleo Aµ

10. 4. Propiedades de los Conjuntos Difusos
Conjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso
cuya altura es igual a 1.
Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un
conjunto difuso creciente, decreciente o con forma de
campana
4. Propiedades de los Conjuntos Difusos
1)( =AAltura
))(),(min())1(( yxyx AAA µµλλµ ≥⋅−+⋅
[ ]1,0,, ∈∀∈∀ λXyx
4. Propiedades de los Conjuntos Difusos
Conjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso
cuya altura es igual a 1.
Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un
conjunto difuso creciente, decreciente o con forma de
campana
Convexo No convexo
4. Propiedades de los Conjuntos Difusos
1)( =AAltura
))(),(min())1(( yxyx AAA µµλλµ ≥⋅−+⋅
[ ]1,0,, ∈∀∈∀ λXyx

11. 5. Operaciones con Conjuntos Difusos
Extienden las operaciones con conjuntos clásicos
Igualdad
Inclusión
Unión
Intersección
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
XxxxBA BA ∈∀=⇔= )()( µµ
XxxxBA BA ∈∀≤⇔⊆ )()( µµ
)}(),(max{)( xxx BABA µµµ =U
)}(),(min{)( xxx BABA µµµ =I
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
Complemento
Alfa-corte
Existen generalizaciones de estas operaciones, ya que
tanto las funciones de pertenencia de los conjuntos
difusos como sus operaciones dependen del contexto.
T-normas
T-conormas
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
)(1)( xx AA
µµ −=
},)({ XxxxA A ∈>= αµα

12. 5. Operaciones con Conjuntos Difusos
T-norma: Generaliza el concepto de intersección
Conmutativa T(a,b) = T(b,a)
Asociativa T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)
Monotonía T(a,b)>=T(c,d), si a>=c y b>=d
Condiciones frontera T(a,1) = a
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
]1,0[]1,0[]1,0[: →×T
)](),([)( xxTx BABA µµµ =I
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
Ejemplos de t-normas:
Intersección estándar: T(a,b) = min (a,b)
Producto algebraico: T(a,b) = a · b
Diferencia acotada: T(a,b) = max (0, a+b-1)
Intersección drástica: T(a,b) = a, si b=1
= b, si a=1
= 0, e.o.c.
5. Operaciones con Conjuntos Difusos

13. 5. Operaciones con Conjuntos Difusos
T-conorma: Generaliza el concepto de unión
Conmutativa: S(a,b) = S(b,a)
Asociativa: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)
Monotonía: S(a,b)>=S(c,d), si a>=c y b>=d
Condiciones frontera: S(a,0) = a
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
]1,0[]1,0[]1,0[: →×S
)](),([)( xxSx BABA µµµ =U
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
Ejemplos de t-conormas:
Unión estándar S(a,b) = max(a,b)
Suma algebraica S(a,b) = a+b-a·b
Suma acotada S(a,b) = min (1, a+b)
Unión drástica S(a,b) = a, si b=0
= b, si a=0
= 1, e.o.c.
5. Operaciones con Conjuntos Difusos

14. 5. Operaciones con Conjuntos Difusos
Complemento difuso:
C(0) = 1, C(1)=0
Si a<=b, C(a)>=C(b)
C(C(a))=a
Sugeno
5. Operaciones con Conjuntos Difusos
]1,0[]1,0[: →C
)]([)( xCx AA
µµ =
),1(,
1
1
)( ∞−∈
⋅+
−
= λ
λ
λ
a
a
aC
6. De las reglas difusas a las relaciones
difusas
La regla difusa de la forma
SI X es A y Y es B ENTONCES Z es C
nos indica una dependencia del conjunto difuso de
salida C respecto a los conjuntos difusos A y B
Por tanto, esta dependencia la podemos representar
mediante una relación difusa
(se ha considerado la t-norma mínimo como operador
de conjunción e implicación)
∫ ××
=
WVU
CBA zyxzyxR ),,/())(),(),(min( µµµ
6. De las reglas difusas a las relaciones difusas

15. Bibliografía
Básica:
[kli95] G. Klir y B. Yuan. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Theory
and Applications. Prentice Hall PTR, 1995.
[wan97] L.X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control.
Prentice-Hall, 1997.
Complementaria:
[zad65] L.A. Zadeh. Fuzzy Sets. Information Control 8
(1965), págs. 338-353.
Bibliografía