Oscilações

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Oscilações

  1. 1. Oscilações eRessonância
  2. 2. Oscilador Harmônico Simples 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 Para este modelo, iremos supor que a mola não possuí massa e a Força Restauradora é 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 diretamente proporcional à posição em relação ao ponto de equilíbrio 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 = −𝒌𝒙 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕
  3. 3. Segunda Lei de Newton 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 Força Resultante Força Restauradora
  4. 4. 𝑑 2 𝑥(𝑡)𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
  5. 5. 𝑑 2 𝑥(𝑡)𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
  6. 6. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
  7. 7. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)• Duas constatações óbvias • Esta é uma equação diferencial • A solução dela é uma função x(t) que satisfaça a equação anterior
  8. 8. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)• Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t), obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante• Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!
  9. 9. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)• Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t), obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante• Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?! • 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡 • λ é alguma constante
  10. 10. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)• Vamos colocar essa possível solução na equação diferencial e ver o que acontece • 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡
  11. 11. 𝑑 2 𝑒 λ𝑡 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚
  12. 12. 2 λ𝑡𝑑 𝑒 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚
  13. 13. 2 λ𝑡𝑑 𝑒 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚
  14. 14. 2 λ𝑡 𝑑 𝑒 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚 2 λ𝑡 𝑘 λ𝑡λ 𝑒 =− 𝑒 𝑚
  15. 15. 2 λ𝑡 𝑘 λ𝑡𝑚λ 𝑒 =− 𝑒 𝑚
  16. 16. 2 𝑒 λ𝑡 𝑘 λ𝑡𝑚λ =− 𝑒 𝑚
  17. 17. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡λ 𝑒 =0 𝑚
  18. 18. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡λ 𝑒 =0 𝑚
  19. 19. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡λ 𝑒 =0 𝑚• Fatorando 𝑒 λ𝑡
  20. 20. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡λ 𝑒 =0 𝑚• Fatorando 𝑒 λ𝑡 𝑘 λ𝑡 2 + )𝑒(λ =0 𝑚
  21. 21. 𝑘 λ𝑡 2 + )𝑒(λ =0 𝑚
  22. 22. 2 𝑘 λ𝑡(λ + )𝑒 = 0 𝑚
  23. 23. 𝑘 λ𝑡 2+ ) 𝑒 = 0(λ 𝑚 =0 ≠0
  24. 24. 𝑘 λ𝑡 2+ ) 𝑒 = 0(λ 𝑚 =0 ≠0
  25. 25. 2 𝑘(λ + ) = 0 𝑚
  26. 26. 2 𝑘 (λ + ) = 0 𝑚• Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos como raízes 𝑘 𝑘 −𝑖 tλ = −𝑖 𝑥1 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 𝑚E 𝑘 𝑘λ= 𝑖 𝑖 t 𝑚 𝑥2 𝑡 = 𝑐2 𝑒 𝑚
  27. 27. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a soma das soluções independentes 𝑘 𝑘 −𝑖 t 𝑖 t 𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚
  28. 28. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a soma das soluções independentes 𝑘 𝑘 −𝑖 t 𝑖 t 𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚• Usando a fórmula de Euller 𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
  29. 29. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a soma das soluções independentes 𝑘 𝑘 −𝑖 t 𝑖 t 𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚• Usando a fórmula de Euller 𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥• Reorganizando tudo, chegamos em....
  30. 30. 𝑥 𝑡 = 𝑐1 cos 𝑘 𝑘 𝑚 𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑡
  31. 31. Oscilador Forçado e Amortecido 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 𝑑𝑡 + 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡Força Força Força ForçaResultante Restauradora Dissipativa Externa
  32. 32. Efeito de Ressonância• Força externa do tipo 𝐹 𝑡 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡) 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Força Força Força Força Resultante Restauradora Dissipativa Externa
  33. 33. Efeito de Ressonância• Força externa do tipo 𝐹 𝑡 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡) 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Força Força Força Força Resultante Restauradora Dissipativa Externa
  34. 34. Efeito de Ressonância 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Força ForçaForça Força Restauradora ExternaResultante Dissipativa
  35. 35. Efeito de Ressonância• Não vou resolver essa equação diferencial, mas tá resolvida AQUI
  36. 36. Efeito de Ressonância

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