El documento describe la ecuación fundamental de las turbomáquinas, la ecuación de Euler. Explica el concepto del triángulo de velocidades y cómo se utiliza para deducir la ecuación de Euler. La ecuación de Euler expresa la relación entre la altura de presión generada, las velocidades del fluido en la entrada y salida del rotor, y las dimensiones del rotor.

1. 1. ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LAS TURBOMÁQUINAS
La ECUACIÓN DE EULER es la ecuación fundamental para el estudio de las turbomáquinas,
tanto de las turbomáquinas hidráulicas como las turbomáquinas térmicas. Constituye pues, la
ecuación básica tanto para el estudio de las bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas
(turbomáquinas hidráulicas), como para el estudio de los turbocompresores, turbinas de vapor y
turbinas de gas (turbomáquinas térmicas). Es la ecuación que expresa la energía intercambiable
en el rodete de todas las máquinas.

2. 1.1 TRIÁNGULO DE VELOCIDADES (Teoría del Impulsor)
Este concepto comprende el estudio de las componentes de la velocidad del flujo, el cual
puede mejorarse recurriendo a un procedimiento gráfico en el que se usen vectores. La forma de
tal diagrama vectorial es triangular y se conoce como Triángulo de Velocidades.
Fig. 1.1 Corte transversal de Rodete de una Bomba Centrifuga. Se han dibujado los triángulos de
velocidad a la entrada y salida. En la deducción de ecuación de Euler se supone que todas las partículas
del fluido que entran en los álabes sufren una misma desviación (Método unidimensional de estudio).
Consideramos que el flujo circula del interior al exterior del rodete o Impulsor (fig 1.1). La
corriente tiene un aspecto diferente para un observador que participe del movimiento del rodete
y para un observador que esté inmovil fuera del mismo. Se llama Velocidad Absoluta a la velocidad
del fluído con respecto del observador fijo, y Velocidad Relativa, la velocidad con respecto al
observador que sigue al rodete en su movimiento. En un punto cualquiera del rodete, según la
DIN 1331, designaremos por:
u
c
w
α
β
: Velocidad periférica del impulsor ó velocidad tangencial, es decir, la velocidad con que se
mueve un punto del rodete;
: Velocidad absoluta del flujo, es decir, la velocidad respecto a lo circundante que está
inmovil;
: Velocidad relativa del impulsor, es decir, respecto al punto del álabe considerado;
: ángulo que forman las dos velcoidades “c” y “u”.
: ángulo que forma “w” con “-u”

3. Fig. 1.2 Triángulos de velocidad de entrada y salida de los álabes de un rodete de una bomba o
ventilador con la notación internacional para ángulos, velocidades y componentes de velocidades,
corrientemente empleada en el estudio de todas las turbomáquinas hidráulicas y térmicas.
La velocidad absoluta “c” resulta de la composición o adición vectorial de “w” y “u”, en
magnitud y dirección, forman un paralelogramo, que se ha dibujado en la fig. 1.1. Su diagonal
representa la velocidad absoluta “c”, y los lados, la velocidad relativa “w” y la velocidad de arrastre
“u”, en magnitud y dirección. En consecuencia, estas tres velocidades forman también los tres
lados de un triángulo. El rodete accionado por el motor de la bomba gira a una velocidad “n” o
RPM que está relacionada a la velocidad periférica
. En la fig. 1.2 se han dibujado
estos triángulos de velocidades para la entrada y la salida del rodete.
Las componentes de la velocidad absoluta normales, a la velocidad perférica, son
designadas como c1m y c2m para los diagramas de entrada y salida. Esta componente es radial o
axial, según sea el impulsor. En general, se lo llamará meridional y llevará un subíndice m.
**A menos que se especifique otra cosa, todas las velocidades se considerán como
velocidades promedio para las secciones normales a la dirección del flujo. Esta es una de las
aproximaciones hechas en los estudios teóricos y diseños prácticos, que no es exactamente
verdadera a la realidad.

4. 1.2 ECUACIÓN DE EULER:
Esta deducción se hará con relación a la misma Fig. 1.1, que representa como ya hemos
dicho, el rodete de una bomba centrífuga (o de un ventilador cetrífugo que esencialmente sólo se
diferencia de una bomba en que el fluído bombeado no es líquido, sino gas); pero todo el
razonamiento y por tanto la fórmula de Euler deducida mediante él, será válido para todas las
turbomáquinas.
La altura de presión, desarrollada por el impulsor de una máquina centrífuga, depende de
las velocidades del flujo que pasa a través del impulsor y sus dimensiones. La tarea principal de la
teoría de las turbomáquinas consiste en el establecimiento de esta dependencia.
La estructura cinemática del flujo en los canales curvilíneos rotatorios es muy compleja, y
la resolución de esta ecuación requiere de la introducción de ciertas condiciones que simplifican la
solución. El resultado obtenido de esta manera puede ser corregido mediante la introducción de
coeficientes experimentales.
Introduzcamos las siguientes admisiones:
1) El flujo tiene estructura de chorro, es decir, está compuesto por una gran cantidad de
venas, que repiten las forma geométrica de la paleta.
2) Tiene lugar la simetría axial del flujo, es decir, todas las venas, que constituyen el flujo, son
absolutamente iguales desde el punto de vista geométrico y cinemático.
3) El flujo es plano, es decir, no existe gradiente de velocidad a lo largo del eje paralelo al eje
geométrico de la máquina.
Las
dos
primeras
suposiciones
se
pueden
considerar realizables con la
condición de que la paleta no
tiene
espesor
y,
por
consiguiente, no disminuyen la
sección de paso de los canales
entre las paletas. Por esta razón,
en la exposición sucesiva los
parámetros de la máquina
calculados con las suposiciones
indicadas, se designan con el
índice “ ” y se denominan
parámetros para una cantidad
infinita de paletas.
**Esquematización del flujo en el interior de un impulsor
de una bomba centrifuga

5. Del Teorema de la Cantidad de Movimiento se deduce el Teorema del Momento Cinético o del
Momento de la Cantidad de Movimiento. En efecto esta ecuación aplicada al hilo de corriente a
que pertenece la partícula de fluido considerada, será:
̿
̅
̅
(1.1)
Tomando momentos en la ec. (1.1), según la fig. (1.1) con relación al eje de la maquina
tendremos:
̅
̅
(1.2)
Que es el Teorema del Momento Cinético.
Dónde:
dM
: Momento resultante con relación al eje de la máquina de todas las fuerzas que el rodete
ejercido sobre las partículas que integran el filamento de corriente considerado para
hacerle variar su momento cinético.
dQ
: Caudal del filamento.
: Brazos de momento de los vectores c₁ y c₂ respectivamente (véase Fig. 1.1).
Suponemos ahora que todas las partículas de fluido entran en el rodete a un diámetro D₁
con la misma velocidad c₁, y salen a una diámetro D₂ con la misma velocidad c₂ esto equivale a
suponer que todos los filamentos de corriente sufren la misma desviación, suponiendo que la
cantidad de paletas es infinita y que no existen perdidas en el proceso de transformación de la
energía mecánica. Aplicando esta hipótesis llamada Teoría Unidimensional, o Teoría del Número
Infinito de Álabes al hacer la integral de la ecuación (1.2) el paréntesis del segundo miembro será
constante, obteniéndose finalmente:
(1.2)
Dónde:
: Momento total comunicado al fluido o Momento Hidráulico.
Q
: Caudal total de la bomba.
El momento transmitido desde el motor al árbol de la máquina, es mayor que
debido
al rozamiento mecánico en los cojinetes y las empaquetaduras del árbol, la existencia de pérdidas
volumétricas y rozamiento de las superficies inactivas de la rueda contra el fluido (líquido o gas).
Introduzcamos en la ecuación (1.3) los radios constructivos
y
, donde:

6. Entonces:
(1.4)
Aquí
y
son los ángulos entre las velocidades absolutas y de traslación en la entrada
y la salida. Según la fig. 1.1:
;
Por consiguiente:
(1.5)
Este Momento multiplicado por
fluído. Por tanto:
será igual a la Potencia que el rodete comunica al
(1.6)
Recordemos que:
Entonces:
(1.7)
También:
Es decir:
(1.8)
Si suponemos que no hay pérdidas de carga entre el impulsor y el punto donde se mide la
carga dinámica total, se dispone de esta Potencia de Salida. Por otra parte:
(1.8)

7. Igualamos con las ecuaciones (1.8) y (1.9):
Simplificando obtenemos la altura teórica:
(1.10)
Las ecuaciones (1.5), (1.7) y (1.10) son las
ecuaciones principales de las turbomáquinas. La ecuación
(1.10) fue obtenida por el eminente matemático
Leonhard Euler en el año 1754 y se llama ECUACIÓN DE
EULER.
Leonhard Euler, fue un matemático
y físico suizo (1707 – 1783)
*Las Turbinas Hidráulicas, Turbinas de Vapor y Turbinas de Gas son máquinas motoras: el fluido imparte
energía al rodete. Por eso al tratar de deducir la Ecuación de Euler para las máquinas Motoras se procedería
análogamente; pero escribiendo el momento que el fluido ejerce sobre el rodete, con lo que el segundo miembro
de la Ec. 1.10 tendría los signos cambiados y lo mismo los segundos miembros de las ecuaciones 1.5 y 1.7.
De los paralelogramos en la entrada y la salida se desprende que
Una vez determinados de aquí los productos
obtenidos en la expresión (xx), obtendremos la ecuación
y
y sustituyendo los valores
(1.11)
El primer término de esta ecuación representa la presión generada por las fuerzas
centrífugas que actúan sobre las masas del líquido (gas) que viajan del diámetro
al diámetro
. El segundo es un cambio de presión debido al cambio de velocidad relativa del flujo al pasar
por el impulsor. El último muestra el cambio de energía cinética del flujo desde el ojo del impulsor
hasta la descarga del mismo. Es decir, los términos de la ecuación (1.11)
expresan
evidentemente, el incremento de la altura de presión a causa de la transformación de las energías
cinéticas de los movimientos absoluto y relativo en los canales entre las paletas.
La altura de velocidad, creada por las paletas del rodete, para las admisiones aceptadas
anteriormente, es igual a:
(1.12)

8. Porque la velocidad absoluta del flujo es aumentada por la rueda desde
esta razón, la altura estática teórica constituirá
hasta
. Por
(1.13)
**Sin embargo, en la práctica no se conocen las verdaderas velocidades y sus direcciones.
Lo que se hace es dibujar los Triángulos de velocidad sobre los ángulos de las aspas y por medio de
la ecuación 1.1 se calcula la carga teórica. Esta carga es un poco mayor que la real, y no es posible
calcular con ella la verdadera Potencia Hidráulica.
La altura de presión real, desarrollada por el impulsor, es menor que la teórica para una
cantidad infinita de paletas,
. Esto se explica por el hecho de que, en primer lugar,
parte la energía, recibida por el flujo en los canales entre las paletas, se disminuye en vencer la
resistencia hidráulica de la cavidad conductora de la maquina (esta circunstancia se tiene en
cuenta introduciendo en el cálculo el rendimiento hidráulico
,que valora el perfeccionamiento
de la cavidad conductora de la maquina ) y, en segundo lugar, la Ecuación de Euler (1.10) se ha
obtenido con la suposición de la simetría axial del flujo , es decir, para el valor medio constante de
en la salida de los canales entre las paletas . No obstante, en realidad las velocidades
están
distribuidas irregularmente por la sección de salida de la rueda de trabajo, por lo cual el paso de
a
se puede realizar por la fórmula:
(1.14)
Donde
es el Coeficiente de Corrección, que tiene en cuenta un número finito de
paletas. La Ecuación de Euler proporcionaría un valor preciso de
en el caso cuando al
componer la ecuación de partida (1.1) la cantidad de movimiento del flujo se calculara no por el
valor medio de ω₂ = const, y tomando en consideración la distribución real de las velocidades en la
sección de salida del impulsor.
A base de lo expuesto el cálculo de la altura real de presión se realiza valiéndose de la
fórmula:
(1.15)
(*) Extraído del Libro: Bombas Ventiladores Compresores. Autor: V.M. Cherkasski.
Para las maquinas centrifugas modernas
(*)
De la serie de relaciones para determinar el coeficiente de corrección
hace uso de la fórmula del Profesor Checo Stodola:
con frecuencia se
(1.16)

9. Donde z es la cantidad de paletas de la rueda de trabajo de la bomba. La Fórmula de
Stodola proporciona resultados prácticos satisfactorios. En los cálculos aproximados se toma
.
**En el laboratorio de pruebas, de una unidad para bombeo de petróleo crudo en Libia.
Caudal de 7000 m3/hr. Carga 132 m. Potencia 4330CV. Extraído del libro Bombas: Teoría,
Diseño y Aplicaciones, Autor: Viejo Zubicaray.

10. 1.3 INFLUENCIA DEL ANGULO
MÁQUINA CENTRÍFUGA
SOBRE LA ALTURA DE PRESIÓN DESARROLLADA POR LA
Primero deduciremos la ecuación de la altura teórica para poder graficarla. Del plano de
las velocidades en la salida (véase la fig. 1.2) tenemos que:
,
De donde:
,
Donde
es la componente radial de la velocidad absoluta a la salida, reemplazamos en:
Y obtenemos:
,
O bien:
(1.17)
Tres tipos de paletas de la rueda de trabajo. En las estructuras de las máquinas centrífugas de
distintas destinaciones se encuentran paletas dobladas hacia atrás, radiales y dobladas hacia
adelante. El ángulo de paleta , como se ve en la fig. 1.3, determina el tipo de paleta: si
la paleta está doblada hacia adelante, para
la paleta es radial y con
la paleta
está doblada hacia atrás. En todos los casos el ángulo en la entrada es menor que
.
Fig. 1.3 Tipos de paletas de trabajo de una máquina centrífuga: a.-Paletas dobladas hacia atrás;
b.- Paletas Radiales; c.- Paletas dobladas hacia adelante.

11. Aclaremos la influencia de este ángulo sobre las componentes estática y de velocidad de la
altura de presión teórica con arreglo a los tres tipos principales de paleta de trabajo.
Para simplificar el análisis supongamos que el rodete tiene Entrada Radial y que la
componente radial de la velocidad absoluta en la salida es igual a la velocidad en la entrada a los
canales entre las paletas
. Esta expresión es la más
forma más corriente de ecuación fundamental de las bombas centrifugas y de los
turbocompresores. La ecuación 1.10 se reduciría a:
(1.18)
Hagamos uso de la relación conocida:
(1.19)
A base de la condición aceptada
) y la fórmula (1.12), obtenemos:
(1.20)
De las relaciones trigonométricas (véase la fig. 1.2), se desprende que:
Sustituyendo el valor de
en la ecuación (1.20), obtenemos:
(1.21)
En virtud de la ecuación (1.19) la altura estática se determina como la diferencia entre las
alturas teóricas total (1.18) y de la velocidad (1.21):
Transformando esta expresión, después de la sustitución obtenemos:
(1.22)

12. Fig. 1.4 Diagrama de 𝐻 𝑡
𝑓 𝛽
y 𝐻 𝑒𝑠𝑡
𝐹 𝛽 .
𝑡
Haciendo uso de las ecuaciones (1.17), (1.21), (1.22) se pueden trazar los diagramas de la
altura total y sus componentes en función del ángulo β2. En la figura 1.4 se dan los diagramas:
y
los cuales muestran evidentemente que la disminución del
ángulo β2 conduce a la disminución de la altura total desarrollada por el rodete de la máquina
centrífuga.
En la ecuación (1.22) se ve que
se hace igual a “0” cuando:
Lo cual es posible si:
(
El máximo de
) ;
tendrá lugar cuando
(
)
.

13. La variación de la altura de velocidad teórica en la figura 1.4 está representada como la
variación de la diferencia de las ordenadas de las curvas
y
. El
mayor valor de
en el caso de las paletas dobladas hacia adelante, será para
(
)
Al disminuir el ángulo
la altura teorica de la velocidad disminuye ininterrumpidamente,
alcanzando el valor igual a cero, para
(
)
De lo expuesto se deduce que las paletas dobladas hacia adelante le transmiten al flujo
mayor cantidad de energía en comparación de las paletas de otras formas. Pero en la cantidad
total de energía, transmitida por estas paletas, predomina la energía de velocidad. Al contrario, en
la energía total, transmitida por las paletas dobladas hacia atrás, predomina la energía potencial
(altura estática). La capacidad de las paletas de trabajo de desarrollar altura estática se caracteriza
corrientemente por el Grado de Reactividad de la rueda de trabajo.
El Grado de Reactividad (ρ) es igual a la relación de la altura estática teórica a la altura
teórica total desarrollada por las paletas de la rueda de trabajo de la maquina:
(1.23)
Haciendo uso de las ecuaciones (1.17) y (1.22), podemos escribir
(1.24)
De donde después de las transformaciones, obtenemos:
(
)
Para las paletas dobladas hasta el límite hacia adelante, para:
(
)
(1.24)
(
)

14. Para las paletas radiales
por eso:
⁄
Para las paletas dobladas hasta el límite hacia atrás, para:
(
)
De esta manera, el grado de reactividad caracteriza el tipo constructivo de las paletas de la
máquina con respecto a la altura estática que ellas desarrollan.
Las paletas con pequeño grado de reactividad desarrollan habitualmente altura de
velocidad y, por consiguiente, tienen altas velocidades de salida. Para transformar la altura de
velocidad en estática las maquinas con semejantes paletas van dotadas de dispositivos difusores
que poseen bajo rendimiento. Por esta razón, el rendimiento de una máquina de pequeño grado
de reactividad ordinariamente es menor que el rendimiento de una máquina que posee alto grado
de reactividad.
Conclusiones:
a. Las paletas dobladas hasta el límite hacia delante desarrollan, para los valores dados
y
, la mayor altura teórica total en forma de altura de velocidad. Al disminuir el ángulo
la altura teórica total disminuye; al mismo tiempo aumenta el grado de reactividad y se
eleva la altura estática. Para
el grado de reactividad es igual a 0,5 y la altura
teórica total consta de iguales alturas de velocidad y estática.
b.
Con la fig. 1.4 entendemos mejor el comportamiento de la Bomba de Vacío, pues al tener
los álabes hacia adelante, según nos indica la curva, la Presión Estática disminuye
generando así el Vacío, este es el principal concepto de cómo funciona nuestra Bomba de
vacío de Anillo Líquido en estudio.