1. Semoga Bermanfaat – http://bermanfaatsemoga.blogspot.com
Kalkulus-1 : Sistem Bilangan Real
A. Sistem Bilangan
B. Pertidaksamaan
C. Nilai Mutlak
A. Sistem Bilangan
Himpunan bilangan asli
N = {1, 2, 3, 4,...}
Himpunan bilangan bulat
I = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}
Himpunan bilangan rasional
Q={ |
1) Sifat-sifat Bilangan Real
- Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalian
- Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian
( ) ( ) ( ) ( )
- Distributif, perkalian terhadap penjumlahan
( )
- Unsur identitas
Terhadap operasi jumlah yaitu
Terhadap operasi kali yaitu
- Invers
Terhadap penjumlahan yaitu – ( )
Terhadap perkalian yaitu
2) Sifat-sifat Urutan Bilangan Real
- Trikotomi
Jika x dan y bilangan real, maka berlaku
- Transitif
Jika
- Penambahan
- Perkalian

2. Semoga Bermanfaat – http://bermanfaatsemoga.blogspot.com
Sistem Bilangan Real
Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan
sistem bilangan real
Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang:
{ | [ ] disebut selang tutup
{ | ( ) disebut selang buka
{ | [ ) keduanya disebut selang setengah buka / setengah tutup
{ | ( ]
{ | [ ) keduanya disebut selang tak terbatas
{ | ( ]
Supremum Infimum
a. Definisi unsur maksimum dan unsur minimum
-
-
b. Definisi batas atas dan batas bawah
-
-
c. Definisi supremum infimum
-
-
Supremum bisa juga disebut batas atas terkecil
-
-
Infimum bisa juga disebut batas bawah terbesar
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = (0,4) 𝐶 { 𝑛 |𝑛 𝑁 (N = bilangan Asli
Unsur maksimum = 5 Unsur maksimum = 4
Unsur minimum = 1 Unsur minimum = tak ada 𝐶 …
2 3 4
Batas atas = 𝑝 5 Batas atas 𝑝 4
Batas bawah = 𝑞 Batas bawah 𝑞 Unsur maksimum = 1
𝐴 5 𝐵 4 Unsur minimum = tak ada
𝐴 𝐵 Batas atas 𝑝
Batas bawah 𝑞
𝐵 𝑡𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
𝐵

3. Semoga Bermanfaat – http://bermanfaatsemoga.blogspot.com
B. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan tidak boleh dikalikan atau dibagi oleh suatu variabel karena variabel tersebut bisa
bernilai positif atau negatif.
Pertidaksamaan akan berubah tanda apabila variabel pengali/pembagi bernilai negatif.
Contoh pertidaksamaan
- ( ) ( )
( ) ( )
-
( ) ( )
- ( )
- ( ) ( ) ( )
Dan lain sebagainya
C. Nilai Mutlak
Definisi nilai mutlak
Nilai mutlak dengan notasi | | didefinisikan sebagai:
| |
Contoh:
- | |
- | 4| ( 4) 4 4
- | |
- | |
( )
Akibat definisi nilai mutlak
| |
| |
Sifat-sifat Nilai Mutlak
1. | | | || |
| |
2. | | | |
3. | | | | | |
4. | |
5. | | | |