影響伝播モデルIDMの線形代数表現とTwitter分析への応用

影響伝播モデルIDMの線形代数表現
とTwitter分析への応用

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2010年3月16日火曜日

影響伝播モデル IDM

• 同一スレッドにおいて、メッセージ x とメッセージ y に
共通する語数 ¦ mx ∩ my ¦ を、メッセージ x がメッセー
ジ y に及ぼす影響量 ixy と定義する

A A B
B C C
mx my mz

A (ixy =1)
C (iyz =1)
B (ixz =1)
2010年3月15日∼16日第17回WI2研究会@大阪大学中之島センター
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メッセージ・投稿者・語の影響量

• メッセージ x の影響量 Ix

- Ix = Σixy, for y messages followed by x

• 投稿者 s の影響量 Jx

- Jx = ΣIm, for m messages posted by s

• 語 w の影響量 Kw

- Kw = Σixy / ¦ mx ∩ my ¦, for x messages
including w and for y messages followed by x

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メッセージの影響量

A A B
B C C
mx my mz

• メッセージ mx , my , mz の影響量 Ix, Iy, Iz はそれぞれ以
下のように求まる

• Ix = ixy + ixz = 1 + 1 = 2

• Iy = ixz = 1

• Iz = 0

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投稿者の影響量

A A B
B C C
mx my mz

• 投稿者 P が mx と my、投稿者 Q が mz を投稿したとす
ると、投稿者 P, Q の影響量 Jp, JQ はそれぞれ以下のよ
うに求まる

• Jp = Ix + Iz = 1+1 = 2

• JQ = Iy = 1

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影響伝播モデルIDM再考

• IDMは、ネットワークの構造に沿って語を重み付けしなが
ら足し合わせていることに等しく、一種の畳込み演算を
行っていると見なすことができる

• IDMのモデルを、ネットワーク構造に関する行列（再帰構
造行列）と重みに関する行列（重み行列）に分解し、それ
ぞれを求めてから、再帰構造行列を重み行列に線形写像す
ることで影響量を求めることができる

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再帰構造行列

• メッセージ i からメッセージ j への有向リンクの接続関係
を表す有向接続行列を M∈Rmxm とし、減衰係数をβとす
ると、再帰構造行列 M* は以下の式より求まる

• M* = M+βM2+β2M3+…+βn-1Mn (= M(1-βM)-1)

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重み行列

• ixy = ¦ mx ∩ my ¦ はメッセージ mx, my の特徴ベクト
ル同士の内積に等しい

• メッセージの特徴ベクトルは、メッセージx語からなる行列
A∈Rmxn の行ベクトルとして表される

• したがって、ixy は AAT∈Rmxm の (i,j) 成分として表すこ
とができる

• 重み行列 A* は以下の式より求まる

• A* = AAT

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影響量行列

• IDMでは、ネットワーク構造に沿って ixy を足し合わせる
ことで影響量を求める。これは、再帰構造行列 M* の重み
行列 A* への線形写像（シューア積）として求まる

• したがって、メッセージ間の影響量授受関係を表す影響量
行列 P∈Rmxm は以下の式より求まる

• P = M* ○ A*

- シューア積は M*=(m*ij)
、A*=(a*ij) に対して
M* ○ P*=(m*ij a*ij) で定義される

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各種影響量

• P を使った行列演算により以下の情報が求まる（詳細は予
稿集を参照してください）

- メッセージ、投稿者、語の影響量
- メッセージ、投稿者の被影響量
- メッセージ、投稿者、語の影響伝播ネットワーク
- 投稿者のプロファイル

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影響量の期待値

• メッセージ数N、リンク数L、語wの文書頻度 fw が求まれ
ば、語の影響量の期待値 Ew も求まる（ただし β は減衰係
数、RwL=(fw/N)(L/(N-1))）

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影響量のI/E比

• 出現頻度の高い語は影響量が大きくなる傾向があるので、
影響量は出現頻度に応じて正規化する必要がある

• そこで、語の影響量 Kw とその期待値 Ew を用いて、影響量
の I/E 比 (inﬂuence-to-expectation ratio) を以下のよう
に定義する

• I/E = Kw / Ew

• I/E 比は、1より大きくなるほど文脈に乗って語が伝播して
いることを表している

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Twitterの分析事例

• Twitterに投稿されたメッセージ (Tweet) のうち、2009年
11月10日∼2009年11月15日までの「domoco」を含む
5890件のTweetを分析

• NTTドコモは2009年11月10日に新商品発表会を行ったた
め、新商品についてのTweetが多く含まれている

• データは（株）ホットリンクの
より提供を受けました。記して感謝します m(_ _)m

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Tweetの前処理

• Tweet同士は、@リンク（アットマーク＋ユーザ名）によ
る返信関係と#リンク（ハッシュタグによる繋がり）を用
いて構造化

• Tweet本文については、形態素解析器MeCabを用いて名詞
と形容詞とURLを抜き出して、簡単な同義語ファイルとス
トップリストによるクリーニングを行った上で、頻度10以
上の語を抜き出した

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影響量の上位5Tweet

• 影響量1位のTweetは「スマートフォンの新しい端末がいつ
でるのか」という質問に対する投稿。影響量2位∼5位の
TweetもスマートフォンやAndroidを発売するメーカーや
発売時期に関するものであった

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影響量の上位5投稿者

• 投稿数の多いユーザの影響力が必ずしも大きくなるわけで
はない。上位20ユーザまで見ると、投稿数が5以下（投稿
数順位では79位以下）のユーザが10名ランクイン

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影響量の上位10語

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投稿者のプロファイル

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Tweet間の影響伝播ネットワーク図

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投稿者間の影響伝播ネットワーク図

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語間の影響伝播ネットワーク図

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計算量

• P = M* ○ A* の計算量を見積もる

• M* = M+βM2+β2M3+…+βn-1Mn については、平均出
リンクを k (<<0) とすると、M2 の計算量は O(km)。M
の累乗についても Mi=Mi-1M の関係を用いれば計算量は
O(km)。したがって M* の計算量は O(kmn)

• A* = AAT は疎行列の内積なので計算量は O(m2)。しか
し M* の非ゼロ要素数の最大値は (k+k2+k3+...+kn)*m
=km(1-kn)(1-k) になるので、計算量は O(mkn)

• P = M* ○ A* の計算量は O(kmn)+O(mkn) になる

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まとめ

• IDMはネットワークの再帰構造とメッセージの内容を同時
に利用するので、多様な切り口の分析ができることが特徴

• 今回、IDMの計算モデルを見直して線形代数表現に拡張す
ることでIDMの理論的背景を明らかにした

• 行列演算のみで計算できるので、実装が容易になった

• 影響量の源泉となる語を取捨選択することで、分析者の問
題設定に合わせた分析が可能になる

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感謝

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