Ex 2 BAC ES Amérique du Nord 2014 -Probabilités -loi normale -intervalle de fluctuation

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MATHS-LYCEE.FR–Chapitre8:r´evisions-ex2BAC2014Am´eriqueduNORD
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TES-exercice corrig´e Chapitre 8: R´evisions
Extrait BAC ES 2014 Am´erique du NORD
MATHS-LYCEE.FR ressources pour les ´el`eves de lyc´ee
MATHS-ES.FR-TERMINALE ES : correction compl`ete sujet BAC ES Am´erique du Nord
2014 avec aide, rappels de cours et correction d´etaill´ee
Chapitre 8 : r´evisions- ex2 BAC 2014 Am´erique du NORD
EXERCICE 8-5-7 temps estim´e:20-30mn
Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l’objectif est de le louer. Pour cela, il s’int´eresse
`a la rentabilit´e locative de cet appartement.
Les trois parties peuvent ˆetre trait´ees ind´ependamment. Les r´esultats seront arrondis, si n´ecessaire, `a
10−4.
PARTIE A
On consid`ere deux types d’appartement : - Les appartements d’une ou deux pi`eces not´es respectivement
T1 et T2 ;
- Les appartements de plus de deux pi`eces.
Une ´etude des dossiers d’appartements lou´es dans un secteur ont montr´e que :
- 35% des appartements lou´es sont de type T1 ou T2 ;
- 45% des appartements lou´es de type T1 ou T2 sont rentables ;
- 30% des appartements lou´es, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables.
On choisit un dossier au hasard et on consid`ere les ´ev`enements suivants : - T : l’appartement est de
type T1 ou T2 ;
- R : l’appartement lou´e est rentable ;
- T est l’´ev`enement contraire de T et R est l’´ev`enement contraire de R.
1. Traduire cette situation par un arbre pond´er´e.
Solution:
35% des appartements lou´es sont de type T1 ou T2 donc p(T) = 0, 35
45% des appartements lou´es de type T1 ou T2 sont rentables donc pT (R) = 0, 45
30% des appartements lou´es, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables donc
pT (R) = 0, 3
On a donc l’arbre suivant :
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TES-exercice corrig´e Chapitre 8: R´evisions
2. Montrer que la probabilit´e qu’un appartement lou´e soit rentable est ´egale `a 0,3525.
Solution:
D’apr`es la formule des probabilit´es totales, on a :
p(R) = p(T ∩ R) + p(T ∩ R)
= p(T) × pT (R) + p(T) × pT (R)
= 0, 45 × 0, 35 + 0, 55 × 0, 3
= 0, 3225
donc p(R) = 0, 3225
3. Calculer la probabilit´e que l’appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu’il est rentable.
Solution:
pR(T) =
p(R ∩ T)
p(R)
=
0, 45 × 0, 35
0, 3225
≈ 0, 4884
La probabilit´e que l’appartement soit de type T, sachant qu’il est rentable est pR(T) ≈ 0, 4884.
PARTIE B
On consid`ere X la variable al´eatoire ´egale au nombre d’appartements rentables dans un ´echantillon
al´eatoire de 100 appartements lou´es.
On admet que toutes les conditions sont r´eunies pour assimiler X `a une variable al´eatoire qui suit la loi
normale de moyenne µ = 35 et d’´ecart type σ = 5.
A l’aide de la calculatrice :
1. Calculer p(25 ≤ X ≤ 35)
Solution:
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TES-exercice corrig´e Chapitre 8: R´evisions
Avec le MENU STATS puis DIST puis Norm :
p(25 ≤ X ≤ 35) ≈ 0, 4772
2. Calculer la probabilit´e qu’au moins 45 appartements parmi les 100 appartements lou´es soient rentables.
Solution:
Au moins 45 appartements parmi les 100 appartements correspond `a X ≥ 45
La probabilit´e qu’au moins 45 appartements soient rentables est 0,0228 environ.
Remarque
On peut aussi utiliser p(X ≥ 45) = 1 − p(X 45)
PARTIE C
L’investisseur se rend dans une agence immobili`ere pour acheter un appartement et le louer.
Le responsable de cette agence lui affirme que 60% des appartements sont rentables.
Pour v´erifier son affirmation, on a pr´elev´e au hasard 280 dossiers d’appartements lou´es.
Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.
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1. D´eterminer la fr´equence observ´ee sur l’´echantillon pr´elev´e.
Solution:
120 des 280 dossiers pr´elev´es correspondent `a des appartements rentables
f =
120
280
=
3
7
≈ 0, 4286
donc f =
3
7
≈ 0, 4286
2. Peut-on valider l’affirmation du responsable de cette agence ? Justifier cette r´eponse.
On pourra s’aider du calcul d’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
Solution:
On a ici un ´echantillon de 280 dossiers donc n = 280 et p =
60
100
p − 1, 96
p(1 − p)
√
n
= 0, 6 − 1, 96
√
0, 6 × 0, 4
√
280
≈ 0, 5426
p + 1, 96
p(1 − p)
√
n
= 0, 6 + 1, 96
√
0, 6 × 0, 4
√
280
≈ 0, 6574
donc IF = [0, 5426; 0, 6574]
f ≈ 0, 4286 et donc f /∈ IF
donc on ne peut pas valider l’affirmation du responsable de l’agence avec un risque d’erreur de
5%.
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