ONDAS

Nesta parte fazemos o estudo dos fenômenos ondulatórios.  Iniciamos
com a análise do movimento harmônico simples,  ...
iviovimento
harmônico
simples (ÍVÍEÊS)

1. MOVIMENTOS PERIÓDICOS

2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)

3. ENERGIA NO MHS
...
O bloco e a mola da figura 2 constituem um conjunto denominado oscilador harmônico (reveja

Volume 1, Capítulo 15, pág.  2...
l 2. Movimento harmônico simples (MHS)

Diz-se que um ponto material efetua um movimento harmônico simples linear,  que in...
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R.  1 1 1 O ponto material da figura tem massa m =  0,2 kg e está preso à mola
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b) O periodo do MHS,  que independe da amplitude,  é dado por: 

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No MHS as energias cinética e potencial variam,  pois variam a velocidade v e a posição x do ponto
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O gráfico da energia potencial Ep em função da abscissa x é um arco de parábola com a concavidade
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b) Durante a oscilação,  a velocidade varia em módulo e sentido.  Nos extremos (figuras a,  c e e) ela é
nula,...
I 4. O MHS e o movimento circular uniforme

O MHS e o movimento circular uniforme (MCU) estão relacionados,  de modo que u...
4.2. Função da velocidade escalar do MHS

A velocidade de Q em MHS pode ser obtida a partir da
velocidade de P em MCU (fig...
Sendo assim,  quando x é positivo,  o( é negativo (ponto Q na figura 12) e,  quando x' é negativo,  a'
é positivo (ponto Q...
1 - Eixo orientado para baixo

   

t =  0 ' P
Figura 16. O bloco efetua um MHS vertical e o ponto P,  imaginário,  efetua...
d) As funções horárias da posição x,  velocidade u e
aceleração o( têm o seguinte aspecto: 

x= a-cos(u)t+(p0) v= -(pa-sen...
n Um corpo de massa m =  1 kg oscila livre-
mente,  suspenso a uma mola helicoidal
de massa desprezível (figura a).  Preso...
P.403 Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo

Ox segundo a função horária: 

x =  0,4-cos [gt + n] (xemmetems)

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 8. Pêndulo simples

Pêndulo simples é um sistema constituído por
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P409 (Unicamp-SP) Um antigo reló-

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- 5. Cordas vibrantes.  Ressonância

Considere a corda de massa m,  comprimento L

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ANTONlO iIiÍIAS VALCARCEL/  CID

 

A frequência fundamental e os harmônicos de uma corda vibrante são suas frequências na...
4. Num violão,  o ar da caixa de ressonância vibra

com frequência igual â da corda tocada,  íntensi-  VOCÊ ESTÁ OUVÍNDO
f...
q'

- Lima corda de 75 cm de comprimento e densidade linear 1,44 - 10'** g/ cm está ñxa nas extremidades.  Ao vibrar, 
ela...
P500 (Fuvest-SP) A frequência fundamental do som

emitido por uma corda vibrante é dada pela ex-
pressão: 

: LÁ , 
2Lu '
...
A frequência fundamental f,  corresponde ao comprimento de
onda X1: 4L,  em que i =  l. 
Como: 

Portanto: 

 

Nesse tubo...
É Uma proveta é enchida com água até a borda.  Em seguida,  põe-se
a vibrar um diapasão na boca da proveta,  ao mesmo temp...
r . ijnt

v5



R503

P504

P.505

c) No ponto B temos um nó da onda estacionária que se estabelece
no tubo.  Logo,  a int...
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MHS - Os fundamentos da física - 9ª edição - Editora Moderna

  1. 1. ONDAS Nesta parte fazemos o estudo dos fenômenos ondulatórios. Iniciamos com a análise do movimento harmônico simples, fundamental para o desenvolvimento dos demais capitulos. Após um estudo geral das características das ondas, discutimos fenômenos como a interferência e a difração, que ocorrem com a luz, o som e outros tipos de ondas. A queda de uma gota de RÍÍSHUHM superfície tranquila de um Ílhumr produz uma perturbação : mw propaga segundo circummnrwa» : a CAPÍTULO 17_ ONDAS de raios crescentes. e CAPÍTULO 16. MOVIMENTO HARMÕNICO SIMPLES (MHS) a CAPÍTULO 1a. INTERI-'ERÊNCIA m: ONDAS a CAPÍTULO 19. AS ONDAS SONORAS
  2. 2. iviovimento harmônico simples (ÍVÍEÊS) 1. MOVIMENTOS PERIÓDICOS 2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 3. ENERGIA NO MHS 4. o MHS E O MOVIMENTO CIRCULAR UNIEORME 5. GRÁFICOS cINEMATIcOs DO MHS 6. EASE INICIAL NAS FUNÇÕES HORÀRIAS 7. ASSOCIAÇÃO DE MOLAs 8. PÊNDULO SIMPLES e l U* l› s. i. Movimentos periódicos ' Para uma compreensão melhor das oscilações e ondas, estudamos, neste capítulo, o movimento harmônico simples (MHS). O MHS é um movimento periódico de velocidade e aceleração variáveis, gerado por forças do tipo das forças elásticas. Na foto estroboscópica, um urso de pelúcia oscila preso a uma mola. Um fenômeno é periódico quando se repete identicamente em intervalos de tempo iguais. 0 perío- do Té o menor intervalo de tempo para repetição do fenômeno. Exemplos: o Desprezada a resistência do ar e forças dissipativas em geral, o pêndulo da figura l oscila da posição A até a B e retorna à A, repetindo a oscilação. O fenômeno é periódico, pois se repete em intervalos de tempo iguais. O período Té o intervalo de tempo para o pêndulo ir de A a B e retornar novamente a A. Figura 1 . O período Tda oscilação é o intervalo de tempo para o pêndulo ir de A até B e retornar a A. - Desprezadas as forças dissipativas (atrito e resistência do ar), o bloco B da figura 2, preso à mola M, executa um movimento periódico cujo período é o intervalo de tempo para ir e voltar à posição (1). (1) O bloco é abandonado x : a. CAPÍTUL01Õ - MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) (2) O bloco numa posição de abscissa x. (3) Posição de equilibrio (x : O). (4) A abscissa x é negativa. (5) Posição extrema negativa x = -a. (6) O bloco retornando. (7) Completa-se um período. . .I mural ,
  3. 3. O bloco e a mola da figura 2 constituem um conjunto denominado oscilador harmônico (reveja Volume 1, Capítulo 15, pág. 289). A posição do bloco B pode ser dada com o auxñio de um eixo de abscissa Ox (figura 2) orientado da esquerda para a direita. Assim, quando o bloco está à direita de O (figura 2-2), sua abscissa x é positiva e, quando está à esquerda de O (figura 2-4), sua abscissa x é negativa. O valor máximo da abscissa x é denominado amplitude a. Nas posições extremas do bloco B em que ocorreu inversão de sentido do movimento, x = +a (figura 2-1) e x = -a (figura 2-5). Nessas posições, a velocidade é nula. Considera-se a positivo. O oscilador harmônico da figura 2 efetua u tempo para o bloco efetuar uma oscilação comp Nos fenômenos periódicos, além do período T, c Chama-se frequência o número de vezes em que o O período Te a frequência frelacionam-se da seguinte forma: n** de vezes em que o fenômeno se repete m movimento periódico cujo periodo T é o intervalo de leta (da figura 2-1 à figura 2-7). onsidera-se uma outra grandeza: a frequência f. fenômeno se repete na unidade de tempo. intervalo de tempo (período) T (unidade de tempo) 1 ? mm f(vezes) (frequência) > i (vez) Por regra de três simples e direta, temos: fT= l = › nternacional de Unidades (ciclos por segundo) é denominada fisico alemão Henrich Rudolf Hertz (l 857-1894). te k, exerce sobre o bloco B, de massa m, a força ooke, deformações elásticas). A força elástica alores de x são positivos, mas tem o mesmo A unidade de frequência no Sistema l hertz (simbolo: Hz), em homenagem ao Observe agora a figura 3. A mola M, de constan elástica f: (reveja Volume l, Capítulo l 1, pág. 196, lei de H Fe, tem sentido contrário ao do eixo orientado quando os v sentido do eixo para valores negativos de x (figuras 3b e 3c). d) la distendida, bloco na posição genérica ) mola comprimida, bloco na posição Fa_ em função de x. Figura 3. (a_)›Bloco na posição de equilíbrio x = O; (b) mo x, positiva, Fa_ tem sentido oposto ao do eixo orientado; (c genérica x, negativa, Fm_ tem o mesmo sentido do eixo orientado; (d) gráfico de Levando em conta os sinais de x e os sentidos de É” podemos expressar algebricamente a intensi- dade da força elástica assim: tem sentido contrário ao do eixo orientado. Para x > 0, resulta Fe, _ < 0, isto é, É( tem o mesmo sentido do eixo orientado. -› Para x < O, resulta Fe( > 0, isto é, Fa_ O gráfico de Fe( em função de x está representado na figura 3d.
  4. 4. l 2. Movimento harmônico simples (MHS) Diz-se que um ponto material efetua um movimento harmônico simples linear, que indicaremos simplesmente por MHS, quando, numa trajetória retilínea, oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força cuja intensidade é proporcional à distância do ponto à posição de equilíbrio (figuras 3 e 4). Essa força é sempre orientada para a posição de equilibrio e chama-se força restauradora. O movimento de um oscilador harmônico é um MHS, no qual a força elástica Fe, _ = -kx é a força restauradora (figura 3). A esfera suspensa verticalmente (figura 4) à mola efetua um MHS quando se desprezam as forças dissipativas. Como o MHS é um movimento de trajetória retilínea, a posição do móvel é dada pela abscissa x, medida num eixo orientado a partir da posição de equilibrio (O). A ampli- tude a é a distância da posição de equilibrio até o extremo da oscilação. Nos extremos da oscilação, a abscissa é x = +a (figuras 3b e 4b) ou x = ~a (figuras 3c e 4c). Nesses extremos, há inversão de sentido do movimento - ou seja, a velocidade é anulada. Durante a oscilação, o móvel passa pela posição de equilibrio com velocidade máxima em módulo. a) b) C) Figura 4. A esfera suspensa à mola efetua um MHS (desprezada a ação do ar): (a) a esfera está na posição de equilíbrio; (b) puxamos a esfera e a abandonamos; (c e d) a esfera oscila, efetuando MHS de amplitude a em torno da posição de equilíbrio O. No MHS o período Té o intervalo de tempo para o fenômeno se repetir: na figura 4 ele é o inter- valo de tempo para a esfera, abandonada na posição b, retornar novamente a essa mesma posição. Em outro intervalo igual a To fenômeno se repete. Conforme demonstraremos no item 4.3., o periodo Tdo MHS depende da massa m do ponto mate- rial e da constante elástica k da mola ligada ao ponto material. Uma vez definidos a mola (e sua constante k) e o ponto material (e sua massa m), obtém-se o período de oscilação pela fórmula: Esse periodo é um período próprio da oscilação e independe de sua amplitude. A amplitude de- pende da energia cedida ao sistema: quando puxamos o corpo para a posição mostrada na figura 4b, estamos cedendo a ele e à mola energia potencial e, consequentemente, definindo uma amplitude a para a oscilação. Se a amplitude afor maior ou menor, cederemos mais energia ou menos; em qualquer caso, porém, o período não se altera e pode ser calculado pela fórmula anterior. Devido à importância dessa fórmula, nós a usaremos desde já. As discussões sobre energia serão feitas no item 3. O período do MHS depende da massa m do ponto material em movimento e da constante elástica 1 k, mas não depende da amplitude da oscilação. ' Entre na rede No endereço eletrônico http: //br. geocitíesleont/ saladeñsicag/ labbratbrio/ oscilador/ osciladonhtm você pode determinara amplitude, a_ freqüência “e 'O _período de_um OsciladoT-massa-mola. CAPÍTULO 16 - MOVIMENTO HARMÓNICD SIMPLES (MHS) 377 o
  5. 5. o* _, ___, _¡ _ _. R. 1 1 1 O ponto material da figura tem massa m = 0,2 kg e está preso à mola de constante elástica k = 0,8 a2 N/ m. Por meio de uma ação externa distende-se a mola de 3 cm, abandonando-se o conjunto, que come- ça a oscilar, efetuando um MHS na ausência de forças dissipativas. Determine: a) o periodo do movimento; b) a amplitude de oscilação; c) após quanto tempo, a contar do instante em que abandonamos o bloco em P, ele retornará a essa mesma posição. nominais» Solução: a) O período do movimento não depende da amplitude, mas da massa m e da constante elástica k. Calculando o período Tpara m = 0,2 kg e k = 0,8 nz N/ m, obtemos: T-Zrnlí: _› T"2nl008'2., =› T- ã" : › ,7l. " Tc / b) Inicialmente, o conjunto bloco e mola está em equilibrio. Dis- ~ ' tendida a mola de 3 cm (cedendo energia potencial ao sistema) O O O __ ' e abandonando-se em seguida o bloco, o conjunto vai oscilar. O O bloco oscila 3 cm de cada lado da posição de equilibrio', por- tanto, a amplitude é 3 cm. c) O intervalo de tempo para o bloco abandonado em P retornar a essa posição é igual ao período de oscilação: , pois corresponde ao tempo de repetição do fenômeno. Respostas: a) l s; b) 3 cm; c) 1 s R.1l2 Uma mola tem o comprimento de 8 cm quando não solicitada (figura a). Coloca-se em sua extremidade um corpo de massa igual a 0,1 kg e o comprimento da mola passa a ser 12 cm (ñgura b). Por meio de uma ação externa puxa-se o corpo até que o comprimen- to da mola atinja 14 cm (ñgura c), abandonando-se em seguida o conjunto, que passa a efetuar um MHS. Despreze as forças dissi- pativas e adote g = 10 m/ sz. Determine: a) a constante elástica da mola; b) o período e a frequência do MHS; c) a amplitude do MHS. Solução: a) Da figura a à ñgura b, pela ação do peso P = mg do corpo de massa m, a mola sofre a deformação x, dada por: x=12cm-8cm = > x=4cm Na figura b, o corpo está em equilíbrio após a deformação da mola. No corpo atuam: seu peso P= mg= > P=0,1-10 2 P=1N e a força elástica da mola, para cima, de intensidade Fe, = kx, em quex = 4 cm = 0,04 m. A força peso (P) e a força elástica da mola (Fa) se equilibram; logo: FC, _=P= > kx= mg : > k-0,04=1=> 378 Os FUNDAMENTOS DA FiSicA
  6. 6. b) O periodo do MHS, que independe da amplitude, é dado por: 01 27T ' r - 0,1 25 2° 5 = > “$032 a 1 1 r= _:_ r=2,5H T 0,4 3 c) Da ñgura b, posição de equilíbrio, à ñgura c, posição em que o sistema é abandonado, a mola foi distendida 2 cm. Em relação à posição de equilibrio, o sistema oscilarã 2 cm acima e abaixo; logo, a amplitude é 2 cm. Respostas: a) 25 N/ m; b) T: 0,4 s e f: 2,5 Hz; C) 2 cm 7 l T"27t : I = >T”27t R398 Determine o período, a frequência e a amplitude dos MHS indicados a seguir. A posição de equili- brio corresponde ao ponto O, sendo indicados os extremos da oscilação. Não há forças dissipa- tivas (constante da mola: k = 0,4 n* N/ m). P.399 Uma mola tem constante elástica igual a 4 N/ m e comprimento 0,80 m quando não solicitada (ñgu- ra a). Coloca-se, em sua extremidade, um corpo de massa m = 0,10 kg (ñgura b). l a) Determine a posição de equilíbrio da mola, medida em relação ao teto. b) Puxa-se o corpo 15 cm da posição de equili- I brio, abandonando-o a seguir, no instante t = 0 (ñgura c). Após quanto tempo o corpo retorna a essa posição? Qual é a amplitude de seu mo- l vimento? Qual é o comprimento minimo apre- Í N V . .l. , sentado pela mola nesse movimento? Adote g = 10 m/ sz e despreze as forças dissipativas. 3., Energia no MHS A energia mecânica pode ser dividida em duas partes: a energia cinética EC (associada à velocidade do ponto material), e a energia potencial Ep (do tipo elástica, associada à posição x do ponto material), dadas por: A Soma dessas energias é a energia mecânica Emec; Emec. z Ec + E CAPÍTULO 16 - MOVIMENTO HARMÕNICO SIMPLES (MHS) . I-. g mm¡ l
  7. 7. No MHS as energias cinética e potencial variam, pois variam a velocidade v e a posição x do ponto material. Entretanto, a energia mecânica permanece constante, uma vez que supomos inexistentes as forças dissipativas ao analisarmos o MHS. Na figura 5 reconsideramos o oscilador harmônico a partir da posição de máxima abscissa (amplitude). 2 Nas figuras 6a e 6e a energia total se reduz a energia potencial elastica Ep = 7 , em que x = :a (sendo a a amplitude). kXZ Assim, para essas posições: Emec_ = Ep = Í, em que x = ia. Portanto: Essa fórmula permite determinar a amplitude do MHS por meio da energia: A amplitude do MHS depende da energia mecânica total cedida ao sistema. v = 0 ; n!! l!! !-! -!_! _!! !l^ HH ', aI É” O X = a _ _ k Z 2 l II IIImIIIIIII ll iIi II i1: V b)EmeL: Ep+Ec= É MTV O X . Ilililililililillliliâ ullillililrllllliil [x VN. , c) Em_ : E, = _Ligie- O0 , X= k( 'll 'E ¡ v _ d) Em = E, + E, ,= x2 + m; O = o ç . ejfmwzfpz% x 2 -a O l¡l¡'l¡l¡l¡l¡l¡l¡l¡l¡l¡'lll¡l¡l¡lllljl¡l ljl¡l lli¡ ? vma f ) 5mm_ = EE t mI/ Zãsáx. o (x = 0) V = O HHHTHH I m m I *T's girmssfps? O X í ã Figura 5. Energia no MHS. Desse modo, com a mola distendida de x : +a (figura 5a), a energia potencial elástica equivale à energia mecânica total cedida ao sistema, a qual define a amplitude do MHS. Durante o movimento, a energia potencial se transforma em cinética e vice-versa, mas a energia mecânica total permanece constante, pois não estamos considerando as forças dissipativas. Observe também que, se a mola tivesse sido mais (ou menos) distendida, teríamos cedido mais (ou menos) energia ao sistema, alterando assim a amplitude de oscilação. No entanto, qualquer que fosse a deformação inicial da mola, o período de oscilação já estaria definido, pois este não depende da amplitude (T = 2a, / . Em resumo, temos: A' o A x Entre na rede 1 l I- -› , _ X : _a X z 0,77,; , X z +3 írlgçendefeço: eletrônico-litfpú/ bnágeogítieszcom/ c = 0 V) E: = f” à = , saladeñsitaB/ lalgoratqrio/ osciladorz/ 5p gi 5p : o 5P kzi ç oçsçcijladorzíbtym você pode determinar as energias , , , ' , mecãnicagcínéticae potencial elástica deum oscilador Em, Em_- kzâ' Em = ' mSssa-molàf o Ao passar pela posição de equilíbrio O, a velocidade tem módulo máximo: 0 2 2 k m . k Emec. : EC : > g : vmaxi o OS FUNDAMENTOS DA Fisica.
  8. 8. O gráfico da energia potencial Ep em função da abscissa x é um arco de parábola com a concavidade . ka¡ . voltada para cima. Para x = O, Ep = O; para x = ta, Ep = ? (figura 6a). A representação gráfica da energia cinética Ep em função de xé também um arco de parábola, porém com a concavidade voltada para baixo, mostrando que a Soma das energias potencial e cinética per- Z 2 mvmá** = [5:- (fígura 6b). Aenergia mecânica manece constante. Para x = ta, Ep = O, e para x = 0, Ep = 2 , k 2 . Empp_ = Ep + Ep e constante: Empp = -ã- (figura 6c). Figura 6. O que acontece em sistemas oscilantes reais devido à existência de forças dissipativas? Qual é a função do amortecedor de um Veículo? Leia na página 400 o texto sobre oscilações amortecidas e forçadas. ? E l , R. l 13 Um ponto material de massa m = 0,1 kg oscila em torno da posição O, realizando um MHS, na ausência de forças dissipativas. A energia total mecânica do sistema é 0,2 . I. Determine: a) a amplitude da oscilação; b) o módulo da velocidade máxima do ponto material; A constante elástica da mola é k = 40 N/ m. c) o período de oscilação. Solução: a) A amplitude depende da energia mecânica do sistema. Nos extremos da oscilação a energia mecânica é igual 2 à energia potencial [Ep = M7), em que a abscissa x tem módulo igual à amplitude. Assim: Sendo Empp_ = 0,2 . l e k = 40 N/ m, obtemos: CAPÍTULO 16 o MovIMENTo HARMÔMCO SIMPLES (MHS) 38-¡ . n, Sinval
  9. 9. R400 R401 b) Durante a oscilação, a velocidade varia em módulo e sentido. Nos extremos (figuras a, c e e) ela é nula, aumentando em módulo à medida que se aproxima da posição central. Nessa posição (figuras b e d) a energia potencial é nula e o sistema só possui energia cinética: a velocidade é máxima em módulo. Na posição central a energia total é igual à energia cinética. Emec. = Ee _ O luz 0,2 = v mãx. 2 mvrlm 2 v = 0 llllllllllll lllllllllllllll , p (a) o x = +a lilillllllIlildilA! ililIli| ililllllilillldrlilildil V v = O (c) X = _a O lililililililililllilllilllllilllilllllllililllilllllil . N, V” . l O v = O l llllllllllllllllllllllllllll (e) O X = +3 c) O periodo independe da amplitude e da energia e é dado por: T=2nl'¡: ' sr-zmllíà . ›T= Êg = T=% Respostas: a) 0,1 m; b) 2 m/ s; c) T2 0,3 s Exercicios propostos Um ponto material de massa m = 0,2 kg oscila em torno de uma posição de equilíbrio (posição O), com MHS. O módulo da máxima velocidade atin- gida é 1 m/ s. Sendo a constante elástica da mola k = 5 N/ m, determine: a) a energia mecânica do sistema; b) a amplitude do MHS; c) o período do movimento. Uma partícula oscila em torno de um ponto O, num plano horizontal, realizando um MHS. O gráñco representa a energia potencial acumu- lada na mola em função da abscissa x. Determine: a) a amplitude do MHS; b) a constante elástica da mola; c) a energia potencial e a energia cinética quando x = 0,1 m. Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
  10. 10. I 4. O MHS e o movimento circular uniforme O MHS e o movimento circular uniforme (MCU) estão relacionados, de modo que um pode ser estudado por meio do outro. Esse estudo possibilita-nos chegar às equações cinemáticas do MHS. Assim, Seja o ponto Pem MCU na circunferência de raio R. Os espaços s são medidos na própria circun- ferência (figura 7) e os espaços angulares (p são os ângulos centrais que determinam os arcos s. O ponto descreve a circunferência com velocidade escalar v e velocidade angular O); a aceleração centrípeta app é orientada para o centro. Se os ângulos cp estão em radianos (reveja Volume 1, Capítulo 10), temos: v2 2 v:0)R ap = -=cOR s= <pR p R Considere que, no instante inicial t = 0, o espaço inicial seja so (e (po, o espaço angular inicial), con- forme afigura 8. A função horária do MCU é: s = S0 + vt ou q) = (pp + (Ot (na forma angular) Figura 7. Figura 8. 4.1. Função horária do MHS Seja, agora, o ponto Q projeção ortogonal de P no eixo orien- tado Ox (figura 9). Enquanto o ponto P descreve a circunferência em MCU, o ponto Q se move num e noutro sentido no diâmetro horizontal orientado Ox. A posição de Q no eixo Ox é dada pela abscissa x, que pode ser obtida no triângulo destacado OPQ pela definição do cosseno: x = R - cos q) Sendo R = a, isto é, o raio da circunferência igual à amplitude a, temos: x = a - cos (p O ângulo (p é o espaço angular do ponto P que realiza MCU. Sendo (p 2 (pp + (Ot, resulta: x= a-cos<p= a-cos((p0+c0t) = > x= a-cos (mt+<Po) ® A abscissa x, que define a posição do ponto Q, é chamada elongação. Enquanto P descreve um MCU, o ponto Q oscila no diâmetro com um movimento não-uniforme, cuja função horária é cossenoidal. Movimentos com função horária idêntica à anterior são movimentos harmônicos simples, como iremos demonstrar no item 4.3, ao analisarmos a aceleração e o tipo de força que gera o movimento. Assim, P descreve a circunferência com MCU e Q oscila em torno de O com MHS. A velocidade an- gular (O do MCU é, no MHS, denominada pulsação ou frequência angular e expressa em radianos por segundo (rad/ s). O período Tdo MCU é o mesmo do MHS, pois a cada volta completa de Pna circun- ferência corresponde uma oscilação completa de Q no diâmetro horizontal. Podemos, então, escrever. Figura 9. CAPÍTULO 16 - MovIMENTo HARMÕNICO SIMPLES (MHS) . í ru . '> b »a na
  11. 11. 4.2. Função da velocidade escalar do MHS A velocidade de Q em MHS pode ser obtida a partir da velocidade de P em MCU (figura 10). No triângulo destacado ABP da figura 10, a velocidade v de Q é a projeção da veloci- dade do ponto P (vp) no eixo Ox. Como o sentido dessa velo- cidade é contrário ao sentido positivo de Ox, acrescentamos o sinal menos (-). v = ~vp - sen (p Com vp = cuR ou v, = (na e (p = (po + cut, obtemos: _ Figura 10. v = -ma - sen ((po + (nt) = > - -wa - sen (mt + (po) . @ Quando o ponto Q passa pela posição de equilíbrio O, podemos ter: a) vp P 0 (p = g rad (ñgura 11 a); como (sen É = 1), vem: v = -coa 0 (p 2 3?” rad (figura 11b); como (sen 37K = l], vem: v : +ma b) Portanto, em O, a velocidade escalar assume os valores: ><v Figura 1 1 . 4.3. Função da aceleração escalar do MHS A aceleração de Q em MHS pode ser obtida a partir da ace- leração centrípeta de P em MCU (figura 12). No triângulo des- tacado da figura 12, a aceleração a de Q é a projeção de aq, no eixo Ox. Como o sentido dessa aceleração é contrário ao sentido positivo de Ox, acrescentamos o sinal menos (-): o( = Aacp - cos (p Como a = cozR ou a = (n20 e 2 o + (nt, obtemos: cp cp o( = -coza - cos ((430 + (ot) : > o( - -oaza - cos (cat + (po) Figura 12. A fórmula (D, x = a - cos (cot + (po), substituída em (3) nos A aceleração no MHS é proporcional à abscissa que define a posição e tem sinal contrário ao desta abscissa. g 384 Os FuNoAMsNros DA Fgm.
  12. 12. Sendo assim, quando x é positivo, o( é negativo (ponto Q na figura 12) e, quando x' é negativo, a' é positivo (ponto Q' na figura 12). Na posição de equilíbrio, temos: Nos pontos de inversão do movimento: -. j amava; o x = +a e o( = -coza (valor mínimo) o x= -a e (valor máximo) 2 Nesses dois pontos a aceleração assume módulo máximo, ou seja: Ialmáx, = a) a Analisemos, agora, a força que causa essa aceleração. Da equação fundamental da Dinâmica podemos obter o valor algébrico da força resultante: F 2 mo( e, sendo o( = -w2x, vem: F = -mcozx No entanto, sendo m (massa) e w (pulsação) constantes, resulta mu? = k = constante. Portanto: F= -kx © Esse resultado significa que a força atuante em Q é do tipo elástica restauradora, isto é, está sempre agindo no sentido de reconduzir o ponto para a posição de equilibrio: quando x é positivo, F tem sentido oposto ao eixo Ox e vice-versa (figura 13), e tem intensidade proporcional à abscissa x do ponto Q em relação à posição de equilíbrio O. Assim sendo, Q executa um MHS, pois está submetido a uma força ca- racterística do MHS. Figura 1 3. Desse modo, podemos concluir que as fórmulas anteriores (D, ® e ® são as funções cinemáticas do espaço, da velocidade e da aceleração do MHS. 2 2 De k = mcoz, temos: k = m - = > = Vimos que as funções cinemáticas do MHS são: - Espaço (elongação): x = a - cos (cot + (po) - Velocidade: v = -coa - sen (mt + (po) o Aceleração: o( = -coza - cos (cut + (po) O ângulo (po é denominado fase inicial e depende das condições iniciais do movimento. No MCU, esse ângulo corresponde ao espaço angular inicial. CAPÍTULO 16 - MOVIMENTO HARMÕNICD SIMPLES (MHS) . -
  13. 13. 1 - Eixo orientado para baixo t = 0 ' P Figura 16. O bloco efetua um MHS vertical e o ponto P, imaginário, efetua o MCU contado no sentido anti-horário a partir do eixo Ox. Uma vez determinado (po, seu valor é o mesmo nas funções da posição X, velocidade v e aceleração (x. Graficamente essas funções são representadas por cossenoides ou senoides. f( 2_ R.114 Um ponto material de massa m = 0,04 kg oscila em torno da posição O de equilíbrio, com MHS. A energia me- cânica do sistema é 32 - 10" . l. *í . :w127i '“›i'*›i“s F7 W /7ÊÊ /777 : l O -› Q x (t=0) Despreze as ações dissipativas e determine: a) o período da oscilação; b) a pulsação, em radianos por segundo; c) a amplitude da oscilação; d) a função horária da posição, a da velocidade e a da aceleração, adotando-se o eixo Ox orientado para a direita e instante inicial t = 0 quando o móvel está na posição extrema Q, indicada na figura; e) o gráfico da posição x em função do tempo t, a partir de t = 0 até t = 2T, sendo T o periodo (dado: constarze elástica k = 0,16 N/ m). Solução: a) 0 período de oscilação independe da amplitude, sendo: 7:24? = › T=2nÊÁÉ = › T= n=> T=3vl4s b) A pulsação o) relaciona-se com o período pela expressão: T n c) A amplitude depende da energia mecânica total: ka? 0,16a2 = =› 32 - 10** Il CAPITULO 16 - MOVIMENTO HARMÕNICO SIMPLES (MHS) . .j arrival
  14. 14. d) As funções horárias da posição x, velocidade u e aceleração o( têm o seguinte aspecto: x= a-cos(u)t+(p0) v= -(pa-sen((pt+(p0) o: = -wza - cos (cut + (po) Nessas equações, a = 0,2 m e (p : 2 rad/ s. A fase inicial é determinada com auxílio de um MCU associado ao MHS, cujo ponto P gira no sentido anti-horário, com espaços angulares medidos a partir do eixo Ox. O exercício adota t = 0 para a posição extrema à esquerda; logo, do MCU temos: (po = 1: rad As funções ñcam: x = 0,2 - cos (2t + 1:) v = -0,4 - sen (2t + 1:) O o( = -0,8 - cos (2t + 1:) e) O gráfico da função x = f(t), desde t = 0 até t = 2T, é indicado ao lado (função cossenoidal). - 0,2 Respostas: a) = 3,14 s; b) 2 rad/ s; c) 0,2 m; d) x (t) = 0,2 - cos (2t + 1:), v (t) = -0,4 - sen (2t + 1:), o( (t) = -0,8 - cos (2t + 1:); e) gráfico acima > [(5) "4'"" *l É Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo Ox, sendo sua função horária dada por: x = 0,2-cos[1:t + para x em metros e t em segundos. Determine: a) a amplitude, a pulsação, a fase inicial e o período do movimento; b) a função da velocidade escalar. Solução: a) Comparando x 0,2 - cos [nt + com x = a - cos (cor + (pa), temos: @ñãrad 21: 21: D T = _, : T = _ T=2 e , , , , à b) Sendo v = -wa - sen (u): + (pa), resulta: 31: Respostas: a) a = 0,2 m, o) = nrad/ s, (po -0,21: - senínt + (v em m/ s e tem s) í rad eT=2s; b) v = -O,21: - sen (nt + (Uemm/ setems) E Uma partícula realiza um MHS tal que os módulos máximos de sua velocidade escalar e de sua aceleração escalar são respectivamente 3,0 m/ s e 6,0 m/ sz. Determine a amplitude e a pulsação do movimento. Solução: Os modulos máximos da velocidade e da aceleração são dados por: |u| ,,, _.-, ,_ = (na = > 3,0 = (na (D | a|, ,,, ,,_ = wza à 6,0 = (pla @ Dividindo membro a membro a equação ® pela equação (D, vem: De ®, obtemos: 3,0 = 2,0 - a = › Resposta: a = 1,5 m e u) = 2,0 rad/ s (x) = 2,0 rad/ s Os FUNDAMENTOS DA FísicA
  15. 15. n Um corpo de massa m = 1 kg oscila livre- mente, suspenso a uma mola helicoidal de massa desprezível (figura a). Preso ao corpo, há um estilete que registra num papel vertical as posições do corpo. O papel vertical envolve um cilindro que gira com velocidade angular constante. Seja 0,20 m/ s a velocidade dos pontos do papel vertical. Os dados obtidos no papel estão indicados na figura b. Determine: a) a frequência e a amplitude do movimento; b) a constante elástica da mola. Solução: a) O movimento do cilindro é uma rotação uniforme (velocidade angular constante) e, por meio da ñgura registrada no papel que o envolve, podemos determinar o período do MHS efetuado pelo corpo. Este efetua um ciclo completo quando, m passando pela posição 1 (registrada no papel), retoma novamente a ela em idênticas condições (posição 2). Nesse intervalo de tempo, o papel, àvelocidade v = 0,20 m/ s, percorre, em movimen- to uniforme de função s = vt, o espaço s = 0,10 m (posição 1 -› posição 2). Assim, para o papel que envolve o cilindro, temos: s= vt = › 0,10=O,20t : à t=0,5s Sendo esse o tempo necessário para o fenômeno se repetir, o período da oscilação será: T = 0,5 s Eafrequênciaédada por: f = à = › f = = > A amplitude é obtida da ñgura no papel: observe que, verticalmente, o corpo oscila na extensão de 0,8 m, isto é, com amplitude de 0,4 m em torno da posição de equilíbrio. Logo: b) Conhecido o período, podemos determinar a constante elástica da mola pela relação: 2 T = 24% = › 0,5 = 21g = › 0,5* = (210% = › k = 81:5 = › k=158N/ m Respostas: a) 2 Hz e 0,4 m; b) = 158 N/ m I . Exercícios propostos 15402 um ponto materia¡ de massa m = 0,1 kg oscila b) Determine as funções horãrias da posição x, 'A em torno da posição O de equilíbrio, em MHS. da Velocidade U e da aCeleração a» em hm' A constante elástica da mola é k = 0,4 N/ m. são do 'CGmPO- aÓOtaHÓO-Se 0 @hi0 0X *Hier* tado para a direita, como se indica na figura_ Adote 1 = O quando o móvel se encontra na posição R. c) Refaça o item anterior, adotando r = 0 quando o móvel se encontra na posição S, e no sentido do movimento de R aZ. d) Refaça o item b adotando t = O quando o mó vel se encontra na posição Z. a) Determine a pulsação a), em radianos por se- As posições indicadas pelas letras R e Z cor- gundo. respondem aos extremos da oscilação. CAPÍTULO 16 - MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) g
  16. 16. P.403 Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo Ox segundo a função horária: x = 0,4-cos [gt + n] (xemmetems) Determine: a) a amplitude, a pulsação, a fase inicial e o perio do do movimento; b) a velocidade escalar e a aceleração escalar nos instantest= 1 s et = 2s. P.404 A elongação de uma partícula em MHS varia com P.405 R406 o tempo segundo o gráfico abaixo. Determine: a) a amplitude, o período e a pulsação do movi- mento; b) a função horária do movimento. Na figura representam-se os pontos de inversão do Ml-lS que um bloco realiza. O período do movi- mento é 2 s. -0,5 O Determine: a) a amplitude e a pulsação do movimento; b) os valores máximos da velocidade escalar e da aceleração escalar. A elongação x de um ponto material em MHS varia com o tempo segundo o gráfico a seguir. R407 a) Determine a amplitude, a pulsação, a veloci- dade escalar máxima e à aceleração escalar máxima. b) Construa os gráficos da velocidade escalar e da aceleração escalar em função do tempo. Um corpo de massa2 kg oscila livremente, suspen- so a uma mola helicoidal de massa desprezível. As posições ocupadas pelo corpo são registradas, por meio de um estilete preso a ele, em uma fita de papel vertical que se desloca horizontalmente, com velocidade constante v = 0,20 m/ s. ; Ill VÍYIYYIIIY'YYYIVYY" zlliitiêillillisi Determine: a) a frequência e a amplitude do movimento do corpo; b) a constante elástica da mola; c) a função horária do movimento do corpo, sa- bendo que no instante t = 0 a elongaçào é nula e o corpo está subindo. Adote o sentido do eixo de ordenadas para cima.
  17. 17. "ssa, - 8. Pêndulo simples Pêndulo simples é um sistema constituído por uma partícula de massa m, suspensa por um fio ideal (figura 20). Ao oscilar em torno de sua posição de equilíbrio O, desprezadas as resistências, o pêndulo simples reali- za um movimento periódico (figura 21). Vamos provar que: - para pequenas oscilações, de abertura não supe- rior a 10°, a esfera pendular realiza movimento harmônico simples (MHS); - o período desse MHS é T = Zn Ê, em que L é o comprimento do fio e g a aceleração local da gravidade. Na figura 22 representamos as forças que agem na esfera numa posição genérica P: o peso Fe a tra- ção T. Admitindo o ângulo de abertura bem pequeno, o arco/ Í? pode ser considerado praticamente retilíneo e, desse modo, a força resultante F›= 3+ ? tem a direção do eixo Ox e está orientada para a posição de equilíbrio O, sendo portanto uma força restaura- dora. Do triângulo destacado (figura 23) e levando-se em conta o sentido do eixo Ox, concluímos que o valor algébrico de Fé: F= -P~tg9 Para pequenos ângulos podemos escrever tgez sen 6. Sendo P = mge sen9 = vem: Sendo a intensidade da força restauradora pro- porcional à abscissa x da esfera, concluímos que esta realiza um movimento harmônico simples. Para o cálculo do período comparamos F = -kx com F = -x e concluímos que k = Sendo T = 21ml? , obtemos: Observe que o período do pêndulo simples não depende da massa da esfera pendular. Figura 20. Figura 22. 'TT 'TÍÍÍ 1 4 2* ! EDUARDO SAN-TÀALÍESTRA / cio' _____-_: '__A_í5/'” r_, _Í1“. 'i"_Ê: Íf: T_ __ ÍA<__ _ . v*- , _,525 v - , --- - - Os FUNDAMENTOS DA FÍSICA
  18. 18. ;ll ¡i. 'i . l l P409 (Unicamp-SP) Um antigo reló- m_ erníc-ios t_. ., t, proper-st P.408 Considere os sistemas representados nas figuras a e b, formados por duas molas idênticas de cons- tante elástica k. Os blocosA eB, ligados às molas, possuem mesma massa m. Despreze os atritos. 0 bloco/ l oscila com período TA, eo bloco B, com TA período TB. Calcule a relação T' . a Figuraa gio de pêndulo é calibrado no frio inverno gaúcho. Conside- rando que o período do pêndu- lo desse relógio é dado por: T=2nJE 3 em que L é o comprimento do pênduloegéaaceleração local _ da gravidade, pergunta-se: a) Esse relógio atrasará ou adiantará quando transportado para o quente verão nordestino? b) Se o relógio for transportado do Nordeste para a superfície da Lua, nas mesmas condições de temperatura, ele atrasará ou adiantará? lustíñque as respostas. P410 (F uvest-SP) 0 pêndulo de Foucault - populariza- do pela famosa obra de Umberto Eco - consistia de uma esfera de 28 kg, pendurada na cúpula do Pantheon de Paris por um fio de 67 m de com- primento. Sabe-se que o período Tde oscilação de um pêndulo simples é relacionado com o seu comprimento L e com a aceleração da gravidade gpela seguinte fórmula: T=2nF 3 Adoteg= 10 m/ sz e (U0 = ll. a) Qual é o período de oscilação do pêndulo de Foucault? Despreze as frações de segundos. b) 0 que aconteceria com o período desse pên- dulo se dobrássemos a sua massa? Z-IJLIIVJ
  19. 19. - 5. Cordas vibrantes. Ressonância Considere a corda de massa m, comprimento L < l_ - › r *› ' J. ._, T-i. e, portanto, densidade linear u = ? da figura 8, fi- L- xada nas extremidades e submetida à força de tração T. Provocando-se ondas transversais nessa corda, por exemplo, mediante uma percussão, elas se propagam com velocidade: A propagação dessas ondas e sua reflexão nas extremidades determinam a formação de ondas es- tacionárias, com nós nas extremidades. Essas ondas estacionárias provocam no ar regiões de compressão e rarefação, isto é, originam ondas sonoras. Em vista da formação de nós nas extremidades fixas (figura 8), as ondas que se propagam na corda apresen- tam comprimentos de onda iguais a: Figura 8. Ondas estacionárias em uma corda vibrante. Àl: L=>7t, =2L 2 ÂÃ= L=>~XZ= ÊÉ= ~ÀZ= L 2 2 2 3 7» ZL L -Í-Í_= >?.4:íÉÃ4=: e assim por diante. A condição de formação de nós em cada extremidade restringe, portanto, os possíveis comprimentos de onda das ondas que originam as ondas estacionárias a: A menor frequência f, de vibração da corda corresponde ao comprimento de onda À, = 2L. Fazendo n = 1 na expressão anterior, temos: Essas frequências maiores podem ser indicadas em função da menor frequência f, por: f, , = nf, (sendo n = 1, 2, 3, A vibração que corresponde à frequência f, é chamada de fundamental ou primeiro harmônico, e as vibrações de frequência fz, f3, são os harmônicos da fundamental. Então fz é o segundo harmônico, f3 é o terceiro harmônico, e assim por diante. CAPlruLo 19 o As ONDAS SONORAS
  20. 20. ANTONlO iIiÍIAS VALCARCEL/ CID A frequência fundamental e os harmônicos de uma corda vibrante são suas frequências naturais de vibração. É importante observar que, se a corda for percutida arbitrariamente, uma ou mais dessas frequências poderão ser estimuladas. Os harmônicos se superpõem, determinando a forma da onda e caracterizando o timbre do som emitido. A resistência do meio onde a corda se encontra fará com que as vibrações desapareçam aos poucos. Pode-se fazer com que as vibrações persistam percutindo-se periodicamente a corda com frequência igual a uma de suas frequências naturais. As ondas estacionárias continuarão enquanto a percussão periódica fornecer energia à corda. Qualquer fonte sonora produz no ar vibrações que estimulam oscilação em corpos situados nas pro- ximidades. Quando a frequência da fonte coincide com uma frequência natural de oscilação do corpo, a amplitude de oscilação deste atinge valores elevados, pois a fonte progressivamente cede energia ao corpo. Esse fenômeno é denominado ressonância. Um exemplo de ressonância é a quebra de uma taça de cristal quando um violino, nas proximidades, é tocado com frequência igual a uma das frequências naturais de vibração da taça. ClD z, _, .;_v. ,.___. 5_7m_ _ M. . No violino, as cordas entram em vibração ao serem friccionadas com um arco apropriado. Na harpa, as cordas mais longas emitem sons mais graves, e as mais curtas, sons mais agudos. Com a mesma corda de um violão podem-se obter notas musicais diferentes alterando-se o comprimento da parte vibrante. Outros exemplos de ressonância Sempre que um sistema vibrante recebe ener- gia periodicamente com frequência igual a uma de , - suas frequências naturais de vibração, esse siste- Í ma entra em ressonância. Portanto pode ocorrer ressonância em muitas situações, sem que ondas estejam envolvidas. t. Empurrando-se periodicamente um balanço , I com frequência igual à do balanço, este oscila com amplitudes cada vez maiores. ç _ _m 2. A ponte do rio Tacoma, nos Estados Unidos, , ruiu em 1940, quando uma ventania lhe ¡mpri- miu impulsos periódicos com frequência igual a uma frequência natural de vibração da ponte. i- ç ç . «N 5! 3. Ao sintonizar uma emissora de rádio, faze- mos com que o circuito do aparelho entre em ressonância com a frequência das ondas da emissora. . .A , ,_ . u. c . x._. ... . A destruição da ponte do rio Tacoma (Washington, Estados Unidos) é um bom exemplo de ressonância. Inaugurada em 19 dejulho de 1940, foi destruída quatro meses após, por vibração provocada pelo vento. Os FUNDAMENTOS DA FisicA JÉrFcAocE / PiióToãRÁPi-Errs CHQIÓEÍÀEWY Ilizt/ GESAVA HULTON ARCHIVE GE llY IMAGES ii, .., ,_›. . _pimiani m¡ ¡llliliil llllllli lmiizlivlnwlliilirliv wii. . lllvlilulliilhl i-i-iir
  21. 21. 4. Num violão, o ar da caixa de ressonância vibra com frequência igual â da corda tocada, íntensi- VOCÊ ESTÁ OUVÍNDO ficando o Som_ "SONS DO OCEANO". © NENHUMA cóargr Ê AUTORIZADA sem PERMISSAO EXPRESSA. .. PRESS SYNDlCATE 5. A concha acústica, presente em muitos audi- tórios ao ar livre, tem a função de melhorar a audição, por parte da plateia, dos sons emitidos. Seu funcionamento baseia-se no fenômeno da ressonância. As características geométricas da concha e que determinam as frequências sonoras que são intensificadas. 6. Se uma ampola contendo vapor de mercúrio for posta ao lado de uma lâmpada de vapor de mercúrio acesa, a ampola passa a emitir luz em . _ virtude da ressonância. :: o -o«uz-w-›--u-lo«m~í-9›--m 1996 WlLSON / DlST. BY ATLANTlC SYNDlCATION/ UNIVEHSAL c R. l40 Numa corda de comprimento 120 cm, as ondas formadas se propagam com velocidade de 90 m/ s. Determine o comprimento da onda e a frequência para a vibração fundamental, o segundo e o terceiro harmônico que se estabelecem nessa corda. Solução: O comprimento da corda é L = 120 cm = 1,20 m. Os comprimentos de onda obedecem à fórmula geral: 2_L H x : ri Para a vibração fundamental (n = 1): ? v1 : 2.1120 : à 7L1=2Á0m Para o 29 harmônico (n = 2): e - â? ” - Para o 39 harmônico (n = 3): r. , = 2g” = › n, =o, som Sendo u = 90 m/ s a velocidade de propagação das ondas na corda, a frequência delas será dada por: l i t_ _ í ê? U= M=›f= ã Então: ll u? ” II 9o I§= íí E = r, =112,sr-rz Respostas: 2,40 m; 1,20 m; 0,80 m; 37,5 Hz; 75,0 Hz; 112,5 Hz CAPÍTULO 19 - As ONDAS SONORAS . 1 n¡ HIHVJÍ
  22. 22. q' - Lima corda de 75 cm de comprimento e densidade linear 1,44 - 10'** g/ cm está ñxa nas extremidades. Ao vibrar, ela emite o som fundamental quando submetida a uma força de tração 10 N. 11495, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .._. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. -416 . .A a) Determine a frequência do som fundamental. b) Calcule o fator pelo qua] se deve multiplicar a intensidade da força de tração para que a frequência do novo som fundamental seja igual à do segundo harmônico do caso anterior. Solução: a) A densidade linear da corda vale: p =1,44-1o"* í = > n = cm 1,44- 1o* - í 1o** 102 m J = › p. = 1,44- 1o* kg/ m Sendo T = 10 N, as ondas se propagam na corda com velocidade dada por: , ,_ _ ll JT _ 1o 1,44- 10-5 _ 1o** 1,44 103 10* _ 144 7 v T ím/ S Sendo L = 75 cm = 0,75 m o comprimento da corda, a frequência fundamental será: 2L 12 - 2 - 0,75 A vibração da corda faz vibrar o ar adjacente, originando um som de mesma frequência. Portanto, a frequência do som fundamental emitido será: f¡ = 556 Hz b)Temos: f2=2f, = : DÊ = >U2=2U¡ 10" e _ = > f¡=5561-lz 18 Aplicando a fórmula U = para as velocidades u, e v2, obtemos: T2 Tr T2 ~2 -s ~4 _› 71-47 l, ,l, , , , , , Respostas: a) =556 Hz; b) 4 Exercícios propostos (UFU-MG) Uma corda de comprimento L = 2,0 m tem as duas extremidades fixas. Procura-se esta- belecer um sistema de ondas estacionárias com frequência igual a 120 Hz, obtendo-se o terceiro harmônico. Determine: a) o comprimento de onda; b) a velocidade de propagação; c) a distância entre um nó e um ventre consecu- tivo. f (F uvest-SP) Considere uma corda de violao com 50 cm de comprimento que está afinada para vibrar com uma frequência fundamental de 500 Hz. a) Qual é a velocidade de propagação da onda nessa corda? b) Se o comprimento da corda for reduzido à metade, qual será a nova frequência do som emitido? (UFPR) Uma onda estacionária de frequência igual a 24 Hz é estabelecida sobre uma corda vibrante ñxada nos extremos. Sabendo-se que a frequência imediatamente superior a essa, que pode ser estabelecida na mesma corda, é de 30 Hz, qual é a frequência fundamental da corda? 12.493 PLAIQQ; (UFC-CE) Duas cordas de diâmetros iguais foram construídas de um mesmo material, uma de com- primento L¡ = 60 cm e outra de comprimento L2 = 40 cm. A primeira é submetida a uma tensão T, = 40 N, e a segunda, a uma tensão T¡ = 90 N. Quando postas em oscilação, verifica-se que a de comprimento L, tem frequência fundamental de 36 Hz. A partir desses dados, determine, em Hz, para a corda L2 a sua frequência fundamental. (Vunesp) Uma corda de violão, de comprimento L e massa por unidade de comprimento igual a u. , tensionada pela força F, quando excitada, pode produzir frequências de vibração dadas F por 6,= (Ê]- í comn = 1, 2,3, 4, A velocidade de propagação da onda na corda é F u: -. ll a) Obtenha uma expressão que relacione os possi- veis comprimentos de onda com o número ri. b) Desenhe os 4 primeiros modos de vibração para a corda. Os FUNDAMENTOS DA FISICA Hnrrrnrtirçnn ¡imiliirlri Arl 134 do Código Pnnnt n I. m 9 610 rlri t9 de irwnmim rln 1996
  23. 23. P500 (Fuvest-SP) A frequência fundamental do som emitido por uma corda vibrante é dada pela ex- pressão: : LÁ , 2Lu ' em que Té a tração, u é a densidade linear e L o comprimento da corda. l Uma corda de 0,50 m com densidade linear 104 kg/ m está submetida a uma tração de 100 N. a) Calcule a frequência fundamental do som emi- tido pela corda. b) 0 que se deve fazer com essa corda para do- brar a frequência do som fundamental? P.501 P.502 (UFV-MG) A corda ré de um violão tem a densi- dade linear de 0,60 g/ m e está fixada entre o ca- valete e o extremo do braço, separados por uma distância de 85 cm. Sendo 294 l-lz a frequência da vibração fundamental da corda, calcule: a) a velocidade de propagação da onda transver- sal na corda; b) a tração na corda. Uma corda vibrante de comprimento 1 m emite o som fundamental ao ser submetida a uma força de tração de 2 kgf. Para que a mesma corda emita como som fundamental o segundo harmônico anterior, determine a nova força de tração. Considere uma fonte sonora, por exemplo um diapasão, vibrando sobre a extremidade aberta de um tubo de vidro par- cialmente preenchido com água. Em certas condições, o som emitido pelo diapasão é refor- çado, aumentando sua intensidade: quando o reservatório R da figura 9 é levantado, o nível da água no tubo sobe e verifica-se existirem determinadas posições do nível da água para as quais a coluna de ar no tubo vibrando entra em ressonância com o som emitido pelo diapasão. As ondas sonoras emitidas pelo diapasão propagam-se pelo ar no tubo e interferem com as ondas refletidas na superfície da água, originando ondas estacionárias no ar. O tubo da figura 9 terá um nó na extremidade fechada e um ventre na extremidade aberta, conforme ilustrado na figura i0. De fato, na extremidade fechada, as moléculas de ar do tubo são impedidas de se movimentarem pela superfície da água, enquanto, na extremidade aberta, elas se movimentam facilmente para o espaço aberto. Então o ar no tubo somente entra em ressonância para ondas que se encaixam no comprimento L do tubo, com um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta, como esquematizado na figura i0. Como a distância entre um nó e um ventre é igual a um quarto do comprimento de onda, têm- -se os seguintes comprimentos de onda: à = L 2 ? t1 = 4L 4 À. 4L í? ) = L 3 K3 = *í ? t 4L STS = L É ; v5 = í e assim por diante. A condição de formação de nó na extremidade fechada e de ventre na aberta restringe portanto os possíveis comprimentos de onda das ondas que originam as ondas estacionárias no tubo fechado a: 4L K, = -_ (sendo i = l, 3, 5, 7,. ..) l CAPÍTULO 19 - As ONDAS SONORAS ill-Cj! ) 6, Colunas de ar vibrante. Tubos sonoros Figura 9. Ressonância de uma coluna de ar com um diapasão. Figura 10. Modos naturais de vibração de uma coluna de ar em um tubo fechado numa extremidade. As regiões mais escuras, onde a pressão do ar é maior, correspondem aos nós. . ..i amv. :
  24. 24. A frequência fundamental f, corresponde ao comprimento de onda X1: 4L, em que i = l. Como: Portanto: Nesse tubo só podemos estabelecer harmônicos de fre- quências ímpares da frequência fundamental, isto é, o terceiro har- mônico fg = 3f1, o quinto harmônico g = 522, e assim por diante. Conhecendo-se a frequência do diapasão, a ressonância no tubo da figura 9 pode ser usada para medir a velocidade de pro- pagação v do som no ar. Os tubos sonoros fechados funcionam de modo idêntico à coluna de ar vibrando no tubo que acabamos de estudar (figura i0). Em vez da fonte sonora, a vibração do ar é estimulada so- prando-se em um dispositivo especial, denominado emboca- dura (figura ll), no qual sempre se forma um ventre. Nos tubos sonoros abertos, a extremidade oposta à em- bocadura é aberta e as ondas estacionárias apresentam ventres em ambas as extremidades (figura 12). Em razão de se formarem ventres nas extremidades (figura i2), as ondas que se propagam no tubo têm comprimentos de onda iguais a: h= L:À¡=2L 2 22LÀ= L=>X2=L 3h: L:À3=2L É e assim sucessivamente. Portanto, os possíveis comprimentos de onda são dados por: _2L An_- n (sendo n = 1, 2, 3, . ..) A frequência fundamental correspondente a n = 1 é dada por: V fíí 1 ? t1 Generalizando, para um harmônico qualquer de ordem n a frequência será dada por: rn_ _› ç_ às ç_nà”í(sendon=1,2,3,. ..) n ou f, ,=nf¡ (sendon=1,2, 3, . ..) Portanto, nos tubos sonoros abertos, todos os harmônicos podem estar presentes, à semelhança do que ocorre com as cordas vibrantes. A Os instrumentos de sopro, como a clarineta, têm seu funcionamento baseado na vibração de colunas de ar. lato de ar Figura 1 1 . Na embocadura dos tubos sonoros (e demais instrumentos de sopro), o ar assoprado é forçado a um turbilhonamento que faz vibrar todo o conteúdo do tubo, produzindo o som. f, A X. ,=L Figura 12. Modos naturais de vibração de uma coluna de ar num tubo aberto. A natureza longitudinal é sugerida pelas regiões mais escuras. Onde a pressão do ar é maior formam-se os nos. L Os FUNDAMENTOS DA Fisica CID
  25. 25. É Uma proveta é enchida com água até a borda. Em seguida, põe-se a vibrar um diapasão na boca da proveta, ao mesmo tempo em que se faz a água escoar lentamente, mediante a abertura da torneira T. Quando o nivel da água na proveta atinge a distância x = 20 cm da borda, ouve-se pela primeira vez um aumento na intensidade do som. O meio acima da água é o ar, onde o som se propaga com velocidade 340 m/ s. a) Como explicar fisicamente o aumento na intensidade do som do diapasão? b) Qual é o comprimento de onda no ar do som que o diapasão emite? c) Qual é a frequência do som do diapasão? Solução: a) A explicação fisica para o aumento na intensidade do som é que a coluna de ar acima da água entrou em ressonância com o som emitido pelo diapasão. b) Na coluna de ar de comprimento x = 20 cm, formam-se ondas estacionárias como se representa esquematicamente na figura ao lado. Como o modo de vibração é o fundamental (i = 1), vem: ? t=4x= >7t=4-20=> ou À= c) Sendo v = 340 m/ s a velocidade do som no ar do tubo, podemos calcular a frequência por: r= Ê=›r=34_°= › f=425Hz À 0,8 r n n u I l | l Chegariamos ao mesmo resultado aplicando a fórmula f = i - 4L' comi=1: f =1-?4:0 = > f=425Hz 4-0,2 Respostas: a) ressonância; b) 80 cm ou 0,8 m; c) 425 Hz E Um alto-falante é colocado no ponto A, emitindo um som de frequência 100 Hz. Ao longo do tubo AB, fechado em B, é deslocado um microfone ligado a um aparelho capaz de medir a intensidade sonora. Verifica-se A que, a partir de A, e a cada 1,75 m, ouve-se uma intensidade máxima e, a meia distância desses pontos, nada se ouve. . Y Microfone a) Calcule o comprimento de onda do som emitido. b) Calcule a velocidade de propagação do som no meio considerado. c) Que intensidade indicaria o microfone colocado em B? d) Calcule o menor comprimento que o tubo AB deverá ter para se rem mantidas as condições observadas. e) Se o tubo fosse aberto em B, qual seria o menor comprimento para que novamente as condições observadas fossem mantidas? l Alto-falante Solução: a) No interior do tubo temos a formação de uma onda estacionária, › 1,75 m « conforme a figura ao lado. m" Então, temos: à = 1,75m 2 A . B b) Sendo f= 100 Hz e À = 3,50 m, temos: FCC" U = M: 3,50 - 100 = > U = 350 m/ s intensidade intensidade máxima máxima V intensidade nula CAPÍTULO 19 - A5 ONDAS SONORAS g
  26. 26. r . ijnt v5 R503 P504 P.505 c) No ponto B temos um nó da onda estacionária que se estabelece no tubo. Logo, a intensidade indicada pelo microfone e nula. d) Para serem mantidas as condições observadas, a onda estacio- nãria no interior do tubo deve obedecer à figura ao lado. O menor comprimento do tubo será: X X À. ,43=_ _ . -__ AB: 4+2=>AB 34=> à AB=2,62m e) Se o tubo fosse aberto em B, as ondas estacionárias obedece- riam ao novo esquema ao lado. O menor comprimento do tubo = > A'B' = 1,75 m seria então: 3,50 A'B' = Ã = › A'B' = 2 3 - 3,50 : D L À B Máxima Nula Máxima Nula 4 2 ' Respostas: a) 3,50 m; b) 350 m/ s; c) nula; d) 22,62 m; e) 1,75 m i ereicíos X ¡ , _ _P439- Uma proveta tem 60 cm de profundidade e recebe a maior quantidade de água possivel para que o ar restante entre em ressonância com o som emitido por um diapasão. Esse diapasão emite ondas de 100 cm de comprimento no ar. Calcule a altura da água na proveta. Um diapasão emite som de certa frequência. Ele e colocado sobre um tubo de vidro que contém água, conforme a ñgura. O nível de água pode ser variado no tubo e observa-se que, para certos comprimentos x da coluna de ar no tubo, a inten- sidade do som é muito maior do que para outros. Esses comprimentos em que hã ressonância são x, = 11 cm; x2 = 33 cm e x3 = 55 cm. Calcule o comprimento de onda da onda sonora emitida pelo diapasão. No exercício anterior, sendo u = 330 m/ s a ve- locidade do som na coluna de ar acima do nivel da água, determine a frequência do som emitido pelo diapasão. P.506 R507 P.508 R509 R510 (FEI-SP) A ñgura representa uma onda estacio- nária que se forma em um tubo sonoro fechado. A velocidade do som no ar é 340 m/ s. Calcule a frequência do som emitido pelo tubo. '< í -›' Um tubo aberto de 50 cm de comprimento entra em ressonância com um som cuja frequência é de 1.360 Hz. A velocidade do som no ar é 340 m/ s. Calcule a que harmônico corresponde o som emitido. Três frequências sucessivas de um tubo de ór- gão aberto em ambas as extremidades são as seguintes: 222 Hz, 296 Hz e 370 Hz. Determine a frequência (em Hz) do harmônico fundamental. (UFC-CE) Considere um tubo sonoro aberto de 40 cm de comprimento, cheio de ar, onde as ondas sonoras se propagam com velocidade de 340 m/ s. Sabendo-se que a capacidade de audição de uma pessoa vai de 20 Hz a 20.000 Hz, determine quantos e quais harmônicos produzidos no tubo essa pessoa pode ouvir. Qual é o menor comprimento de um tubo aberto e de outro fechado para que entrem em ressonância com um diapasão de frequên- cia f : 400 Hz? Suponha que os tubos estejam preenchidos por um gás no qual a velocidade do som é v = 500 m/ s. Os FUNDAMENTOS DA FisicA Ppgliünll-itllvlll Ia i . .lava ; ... .r. ,.. ¡.. 1mm liln N¡ Ill-l . im

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