LİNEER CEBİR

2. ÇIKIŞ

3. Tanım: m , n eleman pozitif doğal sayılar için, (i = 1, 2, 3, ... , m : j = 1, 2, 3, ... , n) olmak üzere, aij
reel sayılardan oluşturulan;
a11 a12 .. a1j .. a1n
a21 a22 .. a2j .. a2n
. . . .
. . . . i. satır
. . . .
ai1 ai2 .. aij .. ain
. . . .
. . . .
am1 am2 .. amj .. amn
j. sütun
Tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir
matris denir.
ÇIKIŞ KONULAR

4. A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve a ij elemanındaki i sayısına
birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. aij elemanı, A matrisinin i. Satırı ile j. Sütununun kesim
noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = [ a ij ]m x n şeklinde gösterilir.
Burada , m matrisin satır sayısını, n ise sütun sayısını gösterir.
A matrisinin, ai1, ...., aij ...., ain elemanlarına i. Satır elemanları;
a1j, ...., aij ...., amj elemanlarına da j. Sütun elemanları denir.
Örnek: Aşağıdaki matrislerin biçimlerini belirtelim.
a. 1 -2 3 b. -2 -1 3 c. -1
0 4 -1 0 2 5 4
4 -2 7
Çözüm:
a. 3 x 2 biçiminde
b. 3 x 3 biçiminde
c. 2 x 1 biçiminde
ÇIKIŞ KONULAR

5. Tanım: A= [ aij ]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi ( satır vektörü ) denir.
B1 = [ a11 a12 ... a1n ] ( 1. Satır matrisi) A matrisi satır matrisine bağlı olarak ,
B2 = [ a21 a22 ... a2n ] ( 2. Satır matrisi)
. . . B1
. . . A = [ aij ]m x n = B2 şeklinde
Bm = [ am1 am2 ... amn ] ( m. Satır matrisi) : gösterilir.
Bm
Tanım: A= [ aij ]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi ( sütun vektörü ) denir.
a11 a12 a1n A1 : birinci sütun matrisi
A1 = a21 , A2 = a22 , ...... , An = a2n A2 : ikinci sütun matrisi
: : : : : : :
am1 am2 amn An : n. sütun matrisi
A matrisi sütun matrislerine bağlı olarak, A = [ aij ]m x n = [A1 A2 A3 .... An] şeklinde gösterilir.
ÇIKIŞ KONULAR

6. KARE MATRİS:
Tanım: n x n tipindeki [ aij ]m x n matrisine, n. sıradan (basamaktan ya da mertebeden) kare
matris denir.
Örnek: 3 -4 matrisi 2. sıradan bir kare matristir.
1 5
SIFIR MATRİSi:
Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise, sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir.
Örnek: O = 0 0 0 matrisi, 2x3 tipinde bir sıfır matristir.
0 0 0 2x3
BİRİM MATRİS:
Tanım: Asal köşegen üzerendeki elemanları bir diğer elemanları sıfır olan kare matrise birim matris
denir. N x n tipindeki bir birim matris In ile gösterilir.
Örnek: 1 0 0 0
0 1 0 0 Matrisi, 4. Sıradan bir birim matristir. I4 ile gösterilir.
I4 = 0 0 1 0
0 0 0 1
Asal
ÇIKIŞ köşegen KONULAR

7. Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrislere eşit matrisler denir.
Her (i, j) eleman M x N için, aij = bij ise [ aij ]m x n = [ bij ]m x n dir.
Örnek: 5a 3a + 2b 4 x
x
A= a + 2b 5 b
ve B = y 2 olmak üzere, A = B ise, kaçtır?
y
Çözüm: A = B ise 5a 3a + 2b 4 x
Matrislerinin eşitliğinden,
a + 2b 5b y 2
5a = 4, 5b = 2, 3a + 2b = x, a + 2b = y olduğundan,
5a = 22
x
5 = 2 ise 5 = 2
b 2b 2
ise 5 = 5 den, a = 2b olur. Bulunan değer
a 2b
de yerinde yazılırsa;
y
x 3a + 2b 3(2b) + 2b 8b
2 bulunur.
y a+ 2b 2b + 2b 4b
ÇIKIŞ KONULAR

8. Tanım: A = [ aij ]m x n ve B = [ bij ]m x n matrisleri verilmiş olsun.
A + B = [ aij ]m x n + [ bij ]m x n matrisine , A ve B matrislerinin toplamı denir.
O halde matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.
Örnek: A matrisi, (m + 1) x 2 ; B matrisi, (n + 1) x (p –2) ve A + B matrisi 3 x k
biçiminde ise (m + p + k) kaçtır?
Çözüm: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre;
m+1=n+1 Λ p–2=2 ise m=n Λ p=4
3 x k = (m + 1) x 2 den m + 1 = 3 Λ k=2
m = n = 2, p = 4, k = 2 olmalıdır. m + p + k = 2 + 4 + 2 = 8 dir.
ÇIKIŞ KONULAR

9. Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi:
Tanım: A = [ aij ]m x n matrisi verilmiş olsun. –A = [ -aij ]m x n matrisine , A = [ aij ]m x n
matrisinin toplama işlemine göre tersi denir.
Örnek: -2 1 3 2 -1 -3
A= 4 5 -6 matrisinin toplama işlemine göre tersi, -4 -5 6 matrisidir.
ÇIKIŞ KONULAR

10. TOPLAMA İLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:
DEĞİŞME ÖZELLİĞİ:
A = [ aij ]m x n ve B = [ bij ]m x n matrisleri için,
A +B = [ aij ]m x n + [ bij ]m x n
= [ aij + bji]m x n = [ bji + aji]m x n
= B + A dır.
BİRLEŞME ÖZELLİĞİ:
A = [ aij ]m x n , B = [ bij ]m x n ve C = [ cij ]m x n matrisleri için
A + (B + C) = [ aij ]m x n + ( [ bij ]m x n + [ cij ]m x n )
= [ aij ]m x n + [ bij + cji ]m x n = [ aij + (bij + cij) ]m x n
= [ (aij + bij )+ cij ]m x n = [ aij + bij ]m x n + [cji ]m x n
= ( [ aij]m x n + [bij ]m x n ) + [cji ]m x n
= (A + B) + C olur.
ÇIKIŞ KONULAR

11. ETKİSİZ ELEMAN (SIFIR MATRİSİ) :
A = [ aij ]m x n , O = [ 0 ]mxn matrisleri için,
A + O = [ aij ]m x n + [ 0 ]mxn = [ aij + 0]m x n = [ aij ]m x n = A
O + A = [ 0 ]mxn + [ aij ]m x n = [ 0 + aij]m x n = [ aij ]m x n = A dır.
TERS MATRİS:
A + ( -A ) = [ aij ]m x n + [ -aij ]m x n = [ aij -aij ]m x n = [ 0ij ]mxn
( -A ) + A = [ -aij ]m x n + [ aij ]m x n = [ -aij + aij ]m x n = [ 0ij ]mxn dir.
ÇIKIŞ KONULAR

12. İKİ MATRİSİN FARKI:
Tanım: A = [ aij ]m x n , B = [ bij ]m x n matrislerinin farkı,
A – B = A + (-B) = [ aij ]m x n + [ -bij ]m x n = [ aij – bij ]m x n dir.
MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI:
Tanım: k skalar sayısı ve A = [ aij ]m x n matrisi verilmiş olsun.
k . A = [ aij ]m x n = [ k . aij ]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A
matrisinin çarpımı denir.
Örnek: 2 -3 Matrisi ve k = 2 sayısı için, k . A matrisini bulalım.
4 1
Çözüm: 2 -3 2 . (2) -3 . (2) 4 -6
k.A=2. Bulunur.
4 1 4 . (2) 1 . (2) 8 2
ÇIKIŞ KONULAR

13. SKALARLA ÇARPMANIN ÖZELLİKLERİ:
Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k1, k2 olsun.
Her A = [ aij ]m x n ve B = [ bij ]m x n matrisleri için:
1. k . (A + B) = k . A + k . B
2. (k1 + k2) . A = k1 . A + k2 . A
3. k1 . (k2 . A) = (k1 . k2) . A
ÇIKIŞ KONULAR

14. Tanım: iki matrisin çarpılabilmesi için 1. Matrisin sütun sayısı 2.
Matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. A= [ aij ]m x n B = [ bjk ]n x p
olmak üzere;
Elemanları cik = aij . b1k + ai2 . b2k +.....+ ain . bnk toplamıyla bulunan
C = [ cik ]m x p matrisine, A ve B matrislerinin çarpımları denir ve
C m x n = A m x n . B n x p biçiminde gösterilir.
Örnek:
A= 1 -2 0 , B= 1 -4 3 matrisleri için
2x3
3 4 -1 2 5 -1
3x3 -4 2 0
A . B çarpım matrisini bulalım:
BİR SONRAKİ SAYFA
ÇIKIŞ KONULAR

15. Çözüm: 1.1 + (-2) (2) + 0.(-4) 1.(-4) + (-2).5 + 0.2 1.3 + (-2).(-1) + 0.0
A.B = 3.(1) + 4.(2) + (-1).(-4) 3.(-4) + 4.5 + (-1).2 3.3 + 4.(-1) + (-1).0
A.B = 1-4 -4-10 3+2 --3 -14 5 bulunur.
3+8+4 -12+20-2 9+(-4) 15 6 5
Örnek: A = [ aij ] (m+1)x2 , B = [ bjk ] (n+1)x(p-2) , C = [ cik ]3x4 matrisleri
için A.B =C ise m + n + p = ?
Çözüm: A . B işleminin yapılabilmesi için n+1=2 olmalıdır.
Buradan n = 1 bulunur. (A . B)(m+1)x(p-2) = ( C ) 3x4 olması için
m + 1 = 3 ise m = 2 ve p - 2 = 4 ise p=6 bulunur. O halde
m + n + p = 9 olur.
ÇIKIŞ KONULAR

16. ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:
1) BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
A = [ aij]mxn, B = [ bjk]nxp, C= [ cik]pxr olmak üzere A.(B.C) = (A.B).C dir.
2) DAĞILMA ÖZELLİĞİ
Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.
3) TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE SOLDAN DAĞILMA ÖZELLİĞİ
A = [ aij]mxn, B = [ bjk]nxp, C= [ cik]pxr olmak üzere A.(B+C) = A.B + A.C dir.
BİR SONRAKİ SAYFA
ÇIKIŞ KONULAR

17. 4) TOPLAMA İŞLEMİ ÜZERİNE SAĞDAN DAĞILMA ÖZELLİĞİ
A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler;
(A.B).C = A.C + B.C olur.
( skalar sayısı içinde aynı dağılma özellikleri geçerlidir)
5) ÖZEL DURUM:
A matrisi 0’a eşit değil ve A.B = A.C iken, B = C olmayabilir.
6) BİRİM MATRİS ÇARPMA İŞLEMİNİN ETKİSİZ ELEMANIDIR
I birim matris olmak üzere; a A.I = I.A = A dır.
7) YUTAN ELEMAN
Sıfır matrisi çarpma işleminin yutan elemanıdır.
8) ÇARPMA İŞLEMİNDE DEĞİŞME ÖZELLİĞİ YOKTUR
ÇIKIŞ KONULAR

18. 1. n. sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa.
( k.A)-1 = 1/k . A-1 dir.
2. n. Sıradan A ve B matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri A -1 ve B-1 ise
( A.B )-1 = B-1.A-1 dir.
3.
a b d -b
A= ise A-1 = 1/ ad –bc dir.
c d -c a
ÖRNEK: A, B, C kare matrisleri n. sıradan olmak üzere A kare matrisinin
çarpma işlemine göre tersi varsa; A.B = 0 ise B = 0 olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM: A-1 . A . B = A-1 . 0 ise (A-1 . A) . B = 0 ise In . B = 0
ise B = 0 olur.
ÇIKIŞ KONULAR

19. Tanım: A = [aij]mxn matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline
getirmekle elde edilen [aij]nxm matrisine A matrisinin transpozu denir ve
AT veya Ad ile gösterilir.
Örnek: -3 4 5 -3 2
A= matrisinin transpozu AT = Ad = 4 -1 dır.
2 -1 6 5 6
ÖZELLİKLER:
1) (AT)T = A , (A+B)T = AT + BT, (k.A)T = k.AT dır.
2) A ve B matrisleri için, (A.B)T = BT . AT dir.
3) A tersi olan bir matris ise (A T)-1 = (A-1)T dir.
ÇIKIŞ KONULAR

20. A kare matris olmak üzere A matrisinin determinantı A veya det(A)
biçiminde gösterilir. A matrisi n x n biçiminde ise A’ nın determinantı n.
Mertebedendir denir.
Tanım: 1 x 1 biçimindeki A matrisinin determinantı A = a 11 dir.
Örnek: A = [7] matrisi için det(A) = 7
B = [ 31/2] matrisi için det(B) = 31/2
a11 a12
Tanım: 2 x 2 biçimindeki A = a21 a22 matrisinin determinantı
a11 a12
Det(A) = a21 a22 = a11 . a22 – a12 . A21 dir.
ÇIKIŞ KONULAR

21. Tanım: a11 a12 a13
3 x 3 biçimindeki A = a21 a22 a23 matrisinin determinantı;
a31 a32 a33
a11 a12 a13
det(A) = a21 a22 a23 = (a11.a22.a33+a21.a22.a23+a31.a32.a33) -
(a13.a22.a31+a23.a32.a11+a33.a12.a21) dir.
a31 a32 a33
Örnek: -1 0 3
A= 2 1 0 olduğuna göre det(A) yı hesaplayınız.
0 5 -4
Çözüm: -1 0 3
det(A) = 2 1 0 = [(-1).1.(-4) + 2.5.3 + 0.0.0] – [3.1.0 +
0 5 -4 0.5.(-1) + (-4).0.2]
= (4+30+0) – (0+0+0) = 34 bulunur.
ÇIKIŞ KONULAR

22. Tanım: 3 x 3 türünden bütün matrislerin kümesi M 3 olsun,
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 M3 ün elemanı olmak üzere
a31 a32 a33
det(A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 ile tanımlı D: M3 R fonksiyonuna
determinant fonksiyonu denir.
-1 -3 4
2 5 8
Örnek: A = matrisi için;
-7 6 -2
a. a21 minörünü bulalım,
b. a21 kofaktörünü bulalım. BİR SONRAKİ SAYFA
ÇIKIŞ KONULAR

23. Çözüm:
-1 -3 4
-3 4
a.
A= 2 5 8 ise M21 = = 6-24=-18 bulunur.
6 2
-7 6 -2
b. A21 = (-1)2+1 M21 den, A21 = -1.(-18) = 18 bulunur.
Örnek:
3001 3003
det(A) = determinantını hesaplayalım.
2997
2999
Çözüm: 3000 = a dersek, det(A) = (a+1).(a-1) – (a-3).(a+3) = (a 2-1)-(a2-9)
= 8 bulunur.
ÇIKIŞ KONULAR

24. SARRUS (SARUS) TEOREMİ:
Üçüncü mertebeden bir matrisin determinantı Sarus
kuralına göre de hesaplanır, bu kural det(A) nın alt tarafına iki
satır veya sağ tarafına iki sütun yazılarak aşağıdaki gibi
hesaplanır:
İlk iki satır tekrar edilerek açılırsa,
a11 a12 a13
det(A) = a21 a22 a23
- a31 a32 a33 +
- a11 a12 a13 +
- a21 a22 a23 +
Det(A) = (a11a22a33+a21a32a13+a31a21a23) - (a13a22a31+a23a32a11+a33a12a21)
dir. ÖRNEK
ÇIKIŞ KONULAR

25. Örnek: 4 -5 1
C= 0 1 2 matrisinin determinantını bulalım:
1 0 -1
4 -5 1 4 5
0 1 2 0 1 1 0
-1 1 0
- - - + + +
Det(C) = -4-10+0-1+0+0 = -15 bulunur.
ÇIKIŞ KONULAR

26. DETERMİNANT FONKSİYONU:
Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi M3 olsun.
a22 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
: : : Mn in elemanı olmak üzere,
an1 an2 ... ann
Det(A) = a11 . A11 + a12 . A12 +.....+ a1n . A1n ile tanımlı D:Mn
R fonksiyonuna determinant fonksiyonu; D(A) = det(A) ifadesine
de A matrisinin determinantı denir.
ÇIKIŞ KONULAR

27. 1. Bir kare matrisin determinant değeri ile devriğinin determinant değeri
eşittir.
2. Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise bu
matrisin
determinantının değeri sıfırdır. (ya da iki satır veya sütun aynı ise determi
–
nantın değeri sıfırdır)
3. Bir kare matrisin her hangi bir satır veya sütununda bulunan tüm terim-
ler sıfır ise determinantın değeri sıfırdır.
4. Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki ya da altındaki tüm elemanlar
sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da
bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.
5. Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse
ÇIKIŞ KONULAR

28. 6. Bir determinantın bir satırı veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa
determinantın değeri de k katına çıkar.
7. Bir determinantın her hangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm
elemanların k katı alınarak başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla
toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.
8. Bir determinantın her hangi bir satırında veya sütunundaki her eleman
iki terimin toplamından oluşuyorsa bu determinant aynı sıradan iki
determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.
9. Bir determinantın herhangi bir satır veya sütununa ait terimler bir başka
satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve
çarpımlar toplanırsa toplam sıfır olur.
10. n. Mertebeden A ve B matrisleri için det(A.B) = det(A) . det(B) dir.
ÇIKIŞ KONULAR

29. Tanım: n. Mertebeden A kare matrisi verilmiş olsun. a ij elemanının
kofaktörü Aij ise [Aij]T matrisine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile
gösterilir.
a11 a12 a13
Örnek:
A = a21 a22 a23 matrisinin ek matrisi bulunurken tanıma
a31 a32 a33
göre matriste her elemanın yerine
kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır.
a11 a12 a13 T a a a 11 21 31
Ek(A) = a21 a22 a23 = a12 a22 a32
a31 a32 a33 a13 a23 a33
-4 5
Örnek: A = 6 7
matrisinin ek matrisini bulalım. A = 7 , A = -6
11 12
Çözüm: Önce her elemanın kofaktörlerini hesaplarız.
7 -6 7 -6 A21 = -5 , A22 = -4
Ek(A) = -5 -4 T = -5 -4 bulunur.
ÇIKIŞ KONULAR

30. EK MATRİS ÖZELLİĞİ
A . Ek(A) = Ek(A) . A = det(A) . I
a b
Yukarıdaki özelliği A = matrisi için gösterelim:
c d
ad - bc -ab+ab
1 0
a b d -b
c d
. -c a
= cd - cd -bd+ad = (ad-bc) 0 1 = det(A) . I2 dir.
ÇIKIŞ KONULAR

31. * M.E.B YAYINLARI LİSE 3 DERS KİTABI
* TÜMAY YAYINLARI MATEMETİK SET’İ
ÇIKIŞ KONULAR