İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

1. İKİNCİ DERECEDEN
DENKLEMLER
KONUYLA İLGİLİ:
1.TANIM
2.ÖRNEK VE ÖZEL DURUMLAR

2.  a,b,cbirer reel sayı olmak üzere
ax2+bx+c=0 biçiminde denkleme ikinci
dereceden denklemler denir.
 Bu denklemi sağlayan x1, x2 sayılarına,
denklemin kökleri denir.
 ∆=b2-4ac sayısına denklemin
diskriminantı denir.
 ax2+bx+c=0 denkleminin kökleri
aşağıdaki formül yardımıyla bulunur.
 -b±√b2-4ac
X1,2 -------------------------
2a

3. KÖKÜN DURUMU
 ∆>0 ise denklemin iki farklı kökü vardır.
 ∆=0 ise denklemin kökleri birbirine
eşittir. ve şu şekilde gösterilir.

-b
x = x = ---------- dır.
1 2
2a
 ∆<0 ise denklemin kökü yoktur. Çözüm
kümesi de yoktur.

4. ÖRNEK: X2+4X+3=0
∆= b2-4ac ∆=16-12= 4>0
-4±√4 -4 ±2
X1,2 = ------------------------- = ------------------- =
-1 ve -3
2 2
Ç={-1,-3}
ÖRNEK: X2-2X+1=0
∆= b2-4ac ∆=4-14= 0
-b -(-2) 2
x =x =
1 2
---------- = ------------- = -----------
=1
2a 2 2

5. NOT:
 ax2+bx+c=0 denkleminde a ile c ters
işaretli (ac<0)ise –4ac>0 ve ∆=b2-4ac>0
dir.
 Öyleyse, ax2+bx+c=0 denkleminde a ile
c ters işaretli ise denklemin iki kökü
vardır.
 a ile c ayrı işaretli ise, ∆ incelenerek
köklerin var olup olmadığı belirtilir.

6. ÇÖZÜM FORMÜLÜNÜN
SADELEŞTİRİLMESİ
 ax2+bx+c=0 denkleminde b birer çift
sayı ise işlemlerde kolaylık sağlaması
bakımından:
 b
b’= ---------- olmak üzere diskriminant ∆’ =(b’) 2 –ac alınır. Bu
2 durumda kökler -b± √ ∆’
X 1,2= ---------------- dır. Buna yarım
a formül denir.

7. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEME
DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKEMLER
 Bunu bir örnekle açıklayacağız.
2x 27 6
1 + ----------- + --------------- = --------------
x+4 2x2+7x-4 2x-1
paydaları eşitleyelim
2x 27 6
1 + ----------- + --------------- = --------------
x+4 2x2+7x-4 2x-1
(2x-1) (1) (x+4)

8.  2x2+7x-4+2x(2x-1)+27= 6(x+4)
 2x2+7x-4+4x2-2x+27= 6x+ 24
 6x2-x-1 = 0
 (3x+1) (2x-1) = 0
 x= -1/3 , x=½
 x= ½ paydayı sıfır yaptığı için kök olamaz. Bu yüzden
Ç={-1/3} kümesidir.

9. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERİN
KÖKLERİ ARASINDAKİ BAĞINTILARI
 ax +bx+c=0 denkleminin kökleri.
-b+ √b2-4ac -b+ √b2-4ac
x= ----------------------- y=
-----------------------
2a 2a
-b+ √b2-4ac -b+ √b2-4ac
x+y= ----------------------- + -----------------------
2a 2a
x+y= -2b/2a , x+y= -b/a

10. -b+ √b2-4ac -b+ √b2-4ac
x.y= ----------------------- . -----------------------
2a 2a
b2 - (b2-4ac)
x.y = ------------------------------
4a2
x.y= 4ac/4a2 ,
x.y = c/a

11.  Önceki iki slayttan şu bağıntılar çıkar.
 1/x + 1/y = (x+y)2 - 2xy= (-b/a)2-2c/a
 b2-2ac / a2
 1/x2+1/y2 = x2+y2 / x2.y2 = b2-2ac/ c2
 |x-y|= √ ∆ / |a|
 x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=3abc-b3/a3
eşitliklerini çoğaltmak mümkündür.

12. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN BİR
DENKLEMİN KÖKLERİ İLE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTI
 ax2+bx2+cx+d= 0
 x+y+z= -b/a
 xy+xz+yz= c/a
 xyz= -d/a

13. KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİN
YAZILIŞI
 Kökleri x1,x2,x3 .........xn olan n dereceden
bir denklem a≠0 olmak üzere:
 a(x-x1)(x-x2)(x-x3) .... (x-xn) = 0 şeklinde
yazılabilir.
 Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden
denklem a≠0 olmak üzere
 a(x-x1) (x-x2) = 0 dır

14.  Burada a=1 olarak alınıp parantezler
açılırsa denklem x2-(x1+x2)x+x1x2 = 0
 x1+x2=s
ve x1x2=p ile gösterilirse
denklem, x2-sx+p= 0 olur.