FONKSİYONLARIN LİMİTİ

4. Tanım: Bir x0 ∈ A = [a,b] alalım. f : A → R ye veya f : A -{x0} → R ye bir Fonksiyon
olsun Terimleri A - {x0} Cümlesine ait ve x0’a yakınsayan her ( xn) dizisi için (f(xn))
fonksiyon değerleri dizisi daima sonlu bir L ∈ R sayısına yakınsıyorsa bu L sayısına f
fonksiyonunun x0 noktasındaki limiti denir ve lim f ( x) = L şeklinde gösterilir.
x→ 0
x
Tanımdan da görüldüğü gibi limit noktasının Fonksiyonunun tanım
cümlesine ait olma zorunluluğu yoktur yani x 0 noktasında fonksiyon
tanımsız olsa bile bu noktada limit mevcut ola bilir.
y
Yandaki şekilde x=2
1 için fonksiyon tanımsız
2
olmasına rağmen aynı
x
noktada fonksiyonun
limiti var ve 1’dir.

5. x 2 + 2 x − 15
Örnek: lim x→3 =?
x −3
Çözüm: x = 3 için f(x) tanımlı değildir. Yani x = 3 için kesrin pay
ve paydası sıfır olur ve sıfıt ile bölme tanımlanamaz, bu tanımsızlığı
ortadan kaldırdıktan sonra limite geçilir. x ≠ 3, x-3 ≠ 0
olduğundan pay ve paydayı x-3 ile bölelim.
x 2 + 2 x − 15 ( x − 3)( x + 5)
lim x→ 3 = lim x→ 3 = lim x→ 3 ( x + 5) = 3 + 5 = 8 bulunur.
x−3 x−3
Sonuç:
Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktada
limitinin olması için o nokta da tanımlı olmak zorunda
değildir.

6. y
.
.
f ( x +)
1.X değişkeni bir c noktasına azalan değerlerle L
(yani sağdan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa x
c ←x +
bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki sağdan
limiti denir ve lim x→c f ( x) şeklinde gösterilir.
y
2. X değişkeninin c noktasına artan değerlerle (yanı L
soldan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu
limite fonksiyonun x = c noktasındaki soldan limiti f ( x −)
x
denir ve lim x→c f ( x) şeklinde gösterilir.
− −
x →c
Bir f(x) fonksiyonunun limtinin olabilmesi için sağdan
ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.

7. Sağdan ve soldan limitler her zaman sürekli olmayan
aşağıdaki dört çeşit özel tanımlı fonksiyonlarda uygulanır.
1. Parçalı sürekli fonksiyonlar
2. Mutlak değer fonksiyonlar
3. İşaret fonksiyonlar
4. Tam değer fonksiyomlar
bu fonksiyonların dışındaki sürekli fonksiyonlardan sağdan
ve soldan limitler birbirine eşit olduğundan doğrudan limit
alınır.

8. ÖRNEK 1:
 x 2 + 2 , x 〉 3ise
3 x − 4 , x 〈 3ise
3- 3 3 +
f : R → R f ( x) = 

Yukardaki fonksiyonun tanımından da
görüldüğü gibi 3’ün sağında ve solunda
fonksiyon değişik değerler almıştır. Bu kritik
noktada limiti bulalım:

9. ÇÖZÜM:
lim x→ 3+ f ( x) = lim x→ 3+ ( x + 2) = 3 + 2 = 11
2 2
lim x→ 3− f ( x) = lim x→ 3− (3x − 4) = 3.3 − 4 = 5
lim x→ 3+ f ( x) ≠ lim x→ 3− f ( x) olduğundan
lim x→ 3 f ( x)' in limiti mevcut değildir.

10. ÖRNEK2:
f :R→ R
 2 x − 1, x ≠ 3
f ( x) = 
 0, x = 3
Fonksiyonunun x = 3 ve x = 4 noktalarında limitleri nedir?

11. ÇÖZÜM:
lim x→ 3+ f ( x) = lim x→ 3− f ( x) = lim x→ 3 (2 x − 1) = 2.3 − 1 = 5
lim x→ 4+ f ( x) = lim x→ 4− f ( x) = lim x→ 4 (2 x − 1) = 2.4 − 1 = 7
NOT: x’in 3 den farklı bütün değerleri için f(x) = 2x-1 olduğuna
ve limitlerinin bulunduğuna dikkat ediniz.

12. ÖRNEK1:
f : R − 1} →
{ R
1 −x
f ( x) = +x
1 −x
Fonksiyonunun x = 1 noktasında sağdan ve soldan
limitini bulunuz.

13. ÇÖZÜM:
X -∞ 1 +∞
1-x + -
1-x -(1 - x)
lim x→1+ f ( x) = lim x→1+ (−1 + x) = −1 + 1 = 0
lim x→1− f ( x) = lim x→1− (1 + x) = 1 + 1 = 2

14. ÖRNEK2:
f : R → R, f ( x ) = x − 4 2
Fonksiyonun x = 2 noktasında sağdan ve
soldan limiti bulunuz. Bu noktadaki f(x)’in
limiti var mıdır?

15. ÇÖZÜM:
X -∞ -2 2 +∞
x2 - 4 + - +
-x2+4 x2-4
lim x →2+ f ( x) = lim x →2+ ( x 2 − 4) = 2 2 − 4 = 0
lim x →2− f ( x) = lim x →2− (− x 2 + 4) = −2 2 + 4 = 0
lim x →2+ f ( x) = lim x →2− f ( x) ⇒ lim x →2 f ( x) = 0.
x = 2 noktasında f(x)’in limiti vardır ve sıfırdır.

16. ÖRNEK1:
f : R → R, f ( x) = Sgn( x − 3) Fonksiyonunun x = 3 noktasında
limitini araştıralım.
ÇÖZÜM:
X -∞ 3 +∞
x-3 - +
-1 1

17. lim x→ 3+ f ( x) = lim x→ 3+ sgn( x − 3) = lim x→ 3+ (1) = 1
lim x→ 3− f ( x) = lim x→ 3− sgn( x − 3) = lim x→ 3− (− 1) = − 1
NOT: işaret fonksiyonların grafiklerinden de biliyoruz ki
fonksiyonlar işaret değiştirdiği kritik noktalarda soçrama
yaptığı için sağdan ve soldan limitleri farklıdır.
Dolayısıyle bu noktada limitleri yoktur.

18. ÖRNEK2:
x
lim x →0 (sgn x − )
x
Limitini hesaplayınız

19. ÇÖZÜM:
x
lim x→ 0− (sgn x − ) = − 1 − (− 1) = − 1 + 1 = 0 ⇒
x
x ‘dır.
lim x→ 0 (sgn x − ) = 0
x

20. Tam değer fonksiynu ∀ x ∈ R için x’den küçük olan en büyük tam
[ ]
sayıya tamdeğer x denir ve x sembolüyle gösterilir.
Tamdeğer fonksiyonunda limit bulunurken [[ x ]] ≤ x〈[ x ] +1 oldığundan
sağdan yaklaşırken aynı değer alınır.
Soldan yaklaşırken aynı değerin bir eksiği alınır.
NOT: Limit alınıtken önce fonksiyon limit noktasında tanımlanır.
Sonra limite geçirilir. Çünkü tamdeğer fonksiyonu sabit fonksiyondur.

21. ÖRNEK1:
lim x→ 2− 3 + [ 3 − x ] = ?
lim x→ 2− 3 + [ 3 − 1,99.. ] = lim x→ 2− 3 + [ 1,1.. ] ⇒
lim x→ 2− 3 + 1 = lim x→ 2− 2 = 2

22. ÖRNEK2:
f ( x) = x − 4 + sgn(2 − x) + [ x − 2 ] + x ⇒ lim x→ 2+ f ( x) = ?
2

23. ÇÖZÜM:
Önce fonksiyonu 2’nin sağ tarafındaki değerini bulalım.
X -2 2
x2 - 4 + - +
2-x + + -
lim f ( x ) = lim x →2 + ( x − 4 −1 + 0 + x ) ⇒
2
lim x →2 + ( x − 5 + x ) = 2 − 5 + 2 =1
2 2

24. LİMİT TEOREMLERİ: f : A → R, g : A → R Tanımlı iki fonksiyon ve
lim x →a f ( x) = P, lim x →a g ( x) = q olsun.
1. a)Sabit bir sayının limiti o sayıya eşittir.lim x →a c = c dir.
b)Sabit terim limitin dışına alınabilir.
i) t ∈ R lim x→ a (tx n ) = t lim x → a x n = ta n
ii) lim x →a x n = a n , lim x→ a (− x n ) = − a n
iii) lim x→ a f ( x) = (lim x→ a f ( x)) = p
n n n
2. Toplamın limiti, limitlerin toplamına eşittir.
lim x → a ( f + g ) ( x ) = lim x → a f ( x) + g ( x) ⇒ lim x → a f ( x) + lim x → a g ( x) = p + q

25. ÖRNEKLER:
lim x→ 3 (2 x − 5) = 2 lim x→ 3 x − lim x→ 3 5 = 2.3 − 5 = 1
lim x →2 7 x = 7 lim x →2 x = 7.2 = 14
lim x→ 3 ( x 2 − 3x + 1) = lim x→ 3 x 2 − 3 lim x→ 3 x + lim x→ 3 1 = 32 − 3.3 + 1 = 1
 x + 1  lim x →2 ( x + 1) 2 + 1 3
lim x →2  = = = =3
 x − 1  lim x →2 ( x − 1) 2 − 1 1

26. 1. lim x→ a sin x = sin a; lim x→ a cos x = cos a
lim x→ a tan x = tan a; (cos a ≠ 0)
lim x→ a cot anx = cot ana; (sin a ≠ 0)
sin x x
2. lim x →0 = lim x →0 =1
x sin x

27. Sonuç:
sin Px p sin px p
lim x →0 = ; lim x →0 =
qx q sin qx q
3. lim x→0 tan x = lim x→0 x = 1
x tan x
Sonuç:
tan p p tan px p
lim x →0 = ; lim x →0 =
qx q sin qx q

28. ÖRNEKLER:
sin 3 x sin 3 x
lim x →0 = 3 lim x →0 = 3. 1 = 3
x 3x
2 2 2
sin x  sin x   sin x 
lim x →0 2
= lim x →0   =  lim x →0  =1
x  x   x 
3 sin 2 x  sin 2 x 3   sin 2 x   3 
lim x→ 0 = lim x→ 0  .  =  lim x→ 0   lim x→ 0  = 2.3 = 6
x. cos 2 x  x cos 2 x   x  cos 2 x 

29. x −4 0
2
( x − 2)( x + 2)
1) lim x → 2 → = lim x→ 2
x− 2 0 ( x − 2)
= lim x→ 2 ( x + 2) = 2 + 2 = 4
2( x − 1) 0 2( x − 1)( x + 1)
2) lim x →1 → = lim x→1
x −1 0 ( x − 1)
= lim x→1 ( x + 1) = 2( 1 + 1).2.2 = 4

30. x − 27 0
3
x −3 3 3
3) lim x→ 3 → = lim x→ 3 2 2
x −9
2
0 x −3
( x − 3)( x + 3x + 9)
2
3 + 3.3 + 9
2
= lim x→ 3 =
( x − 3)( x + 3) 3+ 3
27 9 3 2
= = =
6 2 2

31. Bu tür belirsizlikleri dizilerdeki gibi sadeleştirme işlemiyle ortadan
kaldırabileceğimiz gibi aşağıda göstereceğimiz pratik yolları da kullanabiliriz
a1 x p + a2 x p −1 + ....
lim x →±∞
b1 x q + b2 x q −1 + ....
şeklindeki bir limitte
i) Eğer p=q ise yani iki polinomun dereceleri eşitse limitin a 1/b1 dir. Başka
2 x − 3x 2 3
bir deyişle limit en büyük dereceli terimlerin önündeki katsayıların oranıdır.
lim x→∞ =−
2x2 + 5 2
ÖRNEK:
3x − 1 3 +1
ii) p<q ise yani paydanın derecesi payınxderecesinden büyük ise limit sıfır
lim x →∞ 3 = 0, lim x→−∞ 2 =0
dır. x + 2x x −x
+ ∞veya − ∞
ÖRNEK: x 3 + 3x
lim x→−∞ = (−∞)3−1 = (−∞) 2 = +∞
x−3
iii) p>q ise yani payın derecesi paydanın derecesinden büyükse limit
dur. ÖRNEK:

32. ÖRNEK:
5 2
2x − 3 + x 6 + + 2
2 x − 3 + 6 x 2 + 5x + 2 x x
lim x →∞ = lim x →∞
3x − 4 3x − 4
 3 5 2 
x 2 − + 6 + + 2 
 x x x 
= lim x →∞
 4
x 3 − 
 x
2−0+ 6+0+0 2+ 6
= =
3−0 3

33. (a − b)(a + b) a 2 − b 2
Bu tür belirsizliklerin giderilmesi için a − b = = eşitliğinden
a+b a+b
yararlanacağız.
ÖRNEK:
(
lim x→ ∞ 2 x + 2 x − 2 x − 3
2 2
)
= lim x→ ∞
( 2x + 2x − 2x − 3
2 2
)( 2x + 2x + 2x − 3
2 2
)
2x + 2x + 2x − 3
2 2

34. 2 x 2 + 2 x −( 2 x 2 −3)
= lim x →∞
 2 2 3 
x 2 +  + x 2 − 2 
2
 x  x 
2 x +3
=lim x →∞
2 3
x 2+ +x 2− 2
x x
 3
x2 + 
 x
=lim x →∞
 2 3 
x
 2+ + 2− 2 

 x x 
2 +0 2 2 2
= = = =
2 +0 + 2 −0 2+ 2 2 2 2

35. lim x→ ±∞ p( x) İfadesinin limitini araştırırken önce p(x)’in derecesi
belirlenir.
i) p(x)’in derecesi çift ise lim x→ ±∞ p( x) = +∞
ii) p(x)’in derecesi tek ise
lim x→ +∞ p( x) = +∞ lim x→ −∞ p( x) = −∞
lim x→ +∞ (an x n + x n −1 + .... + a1 + a0 ) = lim x→ ±∞ an x n dir yani sadece en büyük
üslü terinim limitini
almak yeterlidir.

36. ÖRNEK:
lim x→ −∞ (3x + 2 x − x + 4) = lim x→ −∞ 3x = −∞
5 3 2 5
 2 1 4
lim x→ −∞ x  3 + 2 − 3 + 5  = −∞ .3 = −∞
5
 x x x 

37. Tanımı: f(x) fonksiyonu x = a noktasında
aşağıdaki 3 şartı sağlıyorsa o noktada
süreklidir.
i) f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı
olması
ii) = lim x→a f ( x) = L limiti olmalı
iii) lim x→a f ( x) = f (a ) = L olmalıdır.

38. f ve g fonksiyonları x = a noktsında sürekli iki fonksiyon olduğuna göre:
olmak üzere α .f fonksiyonu da x = a noktasında süreklidir.
α ∈R
1)
2) f+g, f-g, f.g fonksiyonlar da x = a noktasında süreklidir.
3) g (a ) ≠ 0 olmak üzere: f/g, 1/g, -g fonksiyonları da x = a noktasında
süreklidir.
4) fog , f , n f , f n fonksiyonlarda x = a noktasında süreklidir.

39. ÖRNEK:
f : R →R fonksiyonu Şeklinde tanımlanan f(x)
fonksiyonu x = 0
x +1, x < 0 noktasında sürekli olması
için a ne olmalıdır.

f ( x) = a, x = 0
x 3 +1, x > 0


40. ÇÖZÜM:
i) f ( x), x = 0 noktasında tanımlıdır.
ii)
lim x→ 0+ f ( x) = lim x→ 0+ ( x + 1) = 1
3
lim x→ 0− f ( x) = lim x→ 0− ( x + 1) = 1
f (0) = a = lim x→ 0 f ( x) = 1 eşitliğinde a = 1 dir.

41. SORULAR:
 3
lim x → 1 5 −  =?
−
 x

42.  3
lim x → 1 5 −  =?
−
 x
 3 3
lim x→−1  5 −  = 5 − = 5+3 = 8
 x (−1)

43.  x − 7 x + 10 
2
lim x →2 
 =?

 x−2 

44.  x −7 x +10  2
lim x →2 
  =?

 x −2 
x 2 −7 x +10 2.2 −7.2 +10 0
lim x→2 = →
x −2 2 −2 0
Belirsizlik olduğundan çarpanlara ayırarak belirsizlikten kurtaralım.
( x −2)( x −5)
lim x→2 = lim x→2 ( x −5) = 2 −5 = −3
( x −2)

45.  2 +
x 1
 x − , x〈
1
1


f ( x ) =, x =
1 1 İse lim x→1 ifadesinin değeri nedir?
 + , x〉
x 1 1




46.  2 +
x 1
 x − , x〈
1
1


f ( x ) =, x =
1 1 İse lim x→1 ifadesinin değeri nedir?
 + , x〉
x 1 1



- →1 ← +
1
x2 −1 x +1
f ( x) →
x −1
lim x→1+ f ( x) = lim x→1+ ( x + 1) = 1 + 1 = 2
( x − 1)( x + 1)
lim x→1− f ( x) = lim x→1− = 1+1 = 2
( x − 1)
X = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri eşit olduğundan
lim x→1 f ( x) = 2

47. 3 −4 x
lim x→∞ =?
2 x +7

48. 3 −4 x
lim x→∞ =?
2 x +7
3  3
x − 4  −4 −4
3 − 4x x = ∞
lim x→ ∞ = lim x→ ∞ = = −2
2x + 7  7 2+ 7 2
x 2 + 
 x ∞
II .Yol : n → ∞ İken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak
limitin değeri ;eşit dereceli terimlerin katsayılarının
oranıdır. Yani -4/2 =-2’dir

49.  2 x + x 
lim   = ?
x → 0 +
 − 3 x 
2 x 

50.  2 x + x 
lim   = ?
x → 0 +
 − 3 x 
2 x 
 2x + x  2x + x
lim x→0+   = lim +
 2 x − 3x  =
 
x→0
2 x + 3x
3x
= lim x→0+ = lim x→0+ (−3) = −3
x

51. sin [ x − ]
1
lim x→ =?
1−
[ sin( x −2) ]

52. sin [ x − ]
1
lim x→ =?
1−
[ sin( x −2) ]
sin [ x −1 ]
lim x→ 1
−
[ sin( x −1) ]
x → −iken[ x −1 ] →− ⇒Sin( − ) = −Sin1' dir.
1 1 1
x → −iken −1 < Sin( x −1) < 0
1
[ Sin( x −1) ] = −1Bunagöre
Sin[ x −1 ] −Sin1
lim x→− = = Sin1
1
[ Sin( x −1) ] −1

53.  4 − x 2 sgn( x − 2) 
lim x→2−  + 2
+ 3x = ?
 x−2 x +[ x] 
 

54.  4 − x 2 sgn( x − 2) 
lim x→ 2−  + 2
+ 3x = ?
 x−2 x +[ x] 
 
  4 − x2  − 1 
= lim x→ 2−   +
 x − 2  x + 1 + 3x  =
2
  
 (2 − x)(2 + x) 1 2
= lim x→ 2−  − + 3x  =
 ( x − 2) x+1 
 1 2  1  23
lim x→ 2−  x + 2 − + 3x  =  − ( 2 + 2) − + 3. 4  =
 x+1   2+1  3

55.  1 
lim x→1 =?
x − 
1

56.  1 
lim x→1 =?
x − 
1
y
1
f ( x) =
x − 1 fonksiyonunun grafiği
yanda görülmektedir. Buna göre
lim x→ 1+ f ( x) = + ∞ , lim x→ 1− f ( x) = − ∞ 1
olduğundan, yani f(x) fonksiyonun
x = 1 noktasında sağdan ve soldan -1 x
limitleri farklıdır,dolayısıyla x = 1
noktasında f(x)’in limiti yoktur.

57.  3 − x,− 2 < x < 1

f : [ − 2,3) → R, f ( x) =  0, x = 1 ⇒ lim x→ 1+ f ( x) − lim x→ 1− f ( x) = ?
 2 x − 1,1 < x < 3


58.  3 − x,− 2 < x < 1

f : [ − 2,3) → R, f ( x) =  0, x = 1 ⇒ lim x→ 1+ f ( x) − lim x→ 1− f ( x) = ?
 2 x − 1,1 < x < 3

→1 ←
-2 3
3
3-x 2x-1
lim x→1+ f ( x) = lim x→1+ (2 x − 1) = 2.1 − 1 = 1
lim x→1− f ( x) = lim x→1− (3 − x) = 3 − 1 = 2
lim x→1+ f ( x) − lim x→1− f ( x) = 1 − 2 = −1

59. sin x − 2
lim x→+ =?
2
sin( x − )
2

60. sin x − 2
lim x→+ =?
2
sin( x − )
2
Sin x − 2 0
lim x→ 2+ → =
sin( x − 2) 0
sin x − 2 ( x − 2)
= lim x→ 2+ . =
x−2 sin( x − 2)
sin x − 2 x−2
= lim x→ 2+ . lim x→ 2+ =
x−2 sin( x − 2
 sin x − 2  x−2
= lim x→ 2+ 

. lim +
 = 1. 1 = 1' dir
 x−2  x→ 2
sin( x − 2)
sin x x
(lim x→0 = lim x→0 = 1)
x sin x

61. 2 x + 1, x < 0

f : R → R, f ( x) = 0, x = 0 ⇒ lim x→0 f ( x) = ?
 x 2 + 1, x > 0


62. 2 x + 1, x < 0

f : R → R, f ( x) = 0, x = 0 ⇒ lim x→0 f ( x) = ?
 x 2 + 1, x > 0

- →0← +
0
f ( x) → 2 x + 1 x2 + 1
lim x→0+ f ( x) = lim x→0+ ( x 2 + 1) = 02 + 1 = 1
lim x→0− f ( x) = lim x→0− (2 x + 1) = 2.0 + 1 = 1
lim x→0 f ( x) = 1

63. lim x→3+ ( 2 x − [ x ]) = ?
3

64. lim x→3+ ( 2 x − [ x ]) = ?
3
lim x→3+ ( 2 x + [ x ]) = lim x→3+ ( 2 x − 3) =
3 3
= ( 2.3 − 3)3 = 33 = 27' dir.
( x →3+ iken[ x ] = 3 Olduğuna dikkat ediniz.

65. x + 2 x −3
2
lim x→∞ =?
x − x +4
3

66. x + 2 x −3
2
lim x→∞ =?
x − x +4
3
 2 3 2 3
2
x 1 + − 2  1 + −
lim x→∞  x x  = ∞ ∞ =
2 1 4 1 4
x x− + 2  ∞− +
 x x  ∞ ∞
1+ 0 − 0 1
= = = 0' dir.
∞−0+0 ∞

67. x
3,x <1

f : R → R, f ( x) =  0, x = 1 ⇒ lim x→1+ f ( x) + lim x→1− f ( x) = ?
1
 ,x >1
3

68. x
3,x <1

f : R → R, f ( x) =  0, x = 1 ⇒ lim x→ 1+ f ( x) + lim x→ 1− f ( x) = ?
1
 ,x >1
3
1 1
lim x→ 1+ f ( x) = lim x→ 1+ =
3 3
x 1
lim x→ 1− f ( x) = lim x→ 1− =
3 3
1 1 2
lim x→1+ f ( x) + lim x→ 1− + =
3 3 3

69. f ( x −h) − f ( x)
f ( x) = x − x...limh →0
2 İfadesinin eşiti
nedir?
h

70. f ( x −h) − f ( x)
f ( x) = x − x...limh →0
2 İfadesinin eşiti
nedir?
h
f ( x ) = x 2 − x,
f ( x − h) = ( x − h) 2 − ( x − h)
lim h→0
f ( x − h) − f ( x )
= lim h→0
[ ]
( x − h) 2 − ( x − h) − ( x 2 − x )
=
h h
x 2 − 2 xh + h 2 − x + h − x 2 + x  h 2 − 2 xh + h 
= lim h→0 = lim h→0 
  = lim h→0 (h − 2 x + 1) =

h  h 
= 0 − 2 x + 1 = −2 x + 1' dir.