Fibonacci ve Tavşan Problemi

2. FİBONACCİ kimdir?
• Leonardo Fibonacci 12-13
üncü yüzyıllarda yaşamış bir
İtalyan matematikçisidir.
• Rönesans öncesi Avrupa'nın
en önde gelen
Matematikçisidir.
• Fibonacci için, "Matematik'i
Araplar'dan alıp, Avrupa'ya
aktaran kişi" denilebilir.

3. Hayatı
• Gerçek ismi Leonardo Pisano’dur ancak Fibonacci olarak
tanınmıştır.
• Fibonacci 'nin yaşamı hakkında matematik yazıları
dışında pek az şey bilinmektedir. İlk ve en iyi bilinen
kitabı Liber Abaci'nin yazıldığı 1202 tarihine bakılırsa,
1170 dolayında İtalya’nın Pisa kentinde doğmuş
olabileceği sanılmaktadır.
• Henüz çocuk yaştayken, Pisalı bir tüccar olan babası
Guglielmo, Pisalı tüccarların yaşadığı Bugia adlı Kuzey
Afrika limanına “Konsül” olarak atanır. (Bu liman, şimdiki
Bejaya'dır ve Cezayir'dedir.)

4. • İlk matematik bilgilerini Müslüman eğiticilerden almış
olup küçük yaşlarda onluk Arap sayı sistemini
öğrenmiştir. Ülkesi İtalya'da kullanılmakta olan Roma
sisteminin hantallığı yanında Arap sisteminin
mükemmelliğini gören Fibonacci 1201 yılında "Liber
Abaci" isimli kitabını yazmıştır.
• Fibonacci 'nin Liber Abaci adlı kitabının yayınlandığı
yıllarda, Hindu-Arap sayıları, Avrupa'da Harzemli
Muhammed Bin Musa'nın eserlerinin çevirilerini
okuyabilmiş bir kaç "aydın" dışında bilinmemekteydi.
Fibonacci, kitabında bu rakamları anlatmaya şöyle
başlar: "Dokuz Hint Rakamı 9 8 7 6 5 4 3 2 1 dir . Bu
dokuz rakama "0" işaretinin de eklenmesiyle, her hangi
bir sayı yazılabilir."
• Liber Abaci, 13.yy. Avrupasında büyük ilgi görür, çok
sayıda kopya edilir ve kilisenin yasaklamasına karşın
Arap sayıları İtalyan tüccarlar arasında yayılır.

5. • Practica Geometria “The Practice of Geometry” (1220) ,
Flos “The flower” (1225) ve Liber Quadratorum “The
Book of Square Numbers” (1225) kitapları ise matematik
alanında ele almış olduğu diğer eserlerdir. Bu kitapların
içinde en ünlü olanı, Fibonacci sayılarıyla Altın Oran’ın
anlatıldığı “Liber Abaci”dir. Kitapta karşılaşılan bir
problemin çözümünde Fibonacci dizisi anlatılmaktadır.
• Fibonacci'nin kendisi bu sayı dizisi üzerinde bir çalışma
yapmamıştır. Hatta bu sayı dizisi üzerinde 19 uncu
yüzyılın başlarına kadar ciddi bir araştırma yapılmadığı
da belirtilmektedir. Ancak bundan sonra bu dizi üzerinde
yapılan araştırmaların sayısı artmıştır. Hatta Fibonacci
Derneği bile kurulmuştur. Bu derneğin 1963 yılından
itibaren yayınladığı "The Fibonacci Quartery" dergisi bu
sayı dizisiyle ilgili ilginç araştırmalar yayınlamaktadır.

6. Tavşan Problemi
“Dört yanı duvarlarla çevrili bir yere bir çift
tavşan konmuştur. Her çift tavşanın bir ay
içinde yeni bir çift tavşan yavruladığı, her
yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay
gerektiği ve tavşanların ölmediği
varsayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın
arasında kaç çift tavşan olur?”

7. n ay sonra x[n] çift tavşan
olduğunu varsayalım.n+1
inci ayda(tavşanların
ölmedikleri varsayılarak)
x[n] çiftin yanında yeni
doğan çift de yer
alacaktır.Ancak yeni
tavşan çifti 1 aylık
olduğunda doğurabildiği
için x[n-1] çift yeni tavşan
olacaktır.
x[n+1] = x[n] + x[n-1]

8.  Yani her ay sonundaki tavşan çifti sayısı o aydan hemen
önceki iki aydaki sayıların toplamına eşit.
 Bu denklem ve özünde yatan mantık Fibonacci sayılarını
oluşturmaktadır.
 Sonsuza giden, ardışık sayıların kendisinden önce gelen
sayı ile toplanması sonucu bir sonraki sayının elde
edildiği sayı sistemi aşağıdaki gibi görülmektedir.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
100 ayın sonunda ise
354.224.848.179.261.915.075 TANE TAVŞAN
OLUŞUR....

9. FİBONACCİ DİZİSİ
Fibonacci sayılarının ilginç özellikleri vardır. Mesela n
sayısı büyüdükçe iki ardışık Fibonacci sayısının oranı
“Altın Oran”a yani 1.618... e yakınsar.

10. FİBONACCİ DİZİSİNİN
GÖRÜLDÜĞÜ VE
KULLANILDIĞI YERLER

11. FİBONACCİ SAYILARI VE
BİTKİLER
• Bir bitkinin sapındaki yaprakların,
bir ağacın dallarının üzerinde
hemen her zaman Fibonacici
sayıları bulursunuz. Eğer
yapraklardan biri başlangıç
noktası olarak alınırsa ve bundan
başlayarak, aşağıya ya da
yukarıya doğru, başlangıç
noktasının tam üstünde veya
altında bir yaprak buluncaya
kadar yapraklar sayılırsa bulunan
yaprak sayısı farklı bitkiler için
değişik olacaktır ama her zaman
bir Fibonacci sayısıdır.

12. FİBONACCİ SAYILARI VE ÇİÇEKLER
• Bir çok çiçeğin taç yaprak sayısı Fibonacci sayısıdır.
3 taç yapraklı bitkiler: zambak, iris
5 taç yapraklı bitkiler: düğünçiçeği, yabani gül, hezaren çiçeği
8 taç yapraklı bitkiler: delphinium
13 taç yapraklı bitkiler: kanaryaotu, kadife çiçeği, cineraria
21 taç yapraklı bitkiler: hindiba, yıldız çiçeği
34 taç yapraklı bitkiler: bir çeşit muz bitkisi, pirekapan
55, 89 taç yapraklı bitkiler: bir tür papatya

13. ÇAM KOZALAĞI
• Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir
noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya
doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu
taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan
sayılar, Fibonacci Dizisi'nin ardışık terimleridir.

14. Ömer Hayyam veya Pascal veya
Binom Üçgeni
• Üçgendeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp
çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi
ortaya çıkar.
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
…

15. • Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru
sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında
çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışık terimleridir.
• Tütün Bitkisi: Tütün bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir
Fibonacci Dizisi söz konusudur. Bundan dolayı tütün
bitkisi Güneş'ten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan
en iyi şekilde karbondioksit alarak fotosentezi mükemmel
bir şekilde gerçekleştirir.
• MİMAR SİNAN: Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde
Fibonacci Dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve
Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu dizi mevcuttur