1. Radicación Conceptos y propiedadesOperaciones con radicalesSimplificación de radicalesSuma y RestaMultiplicación con el mismo índiceDivisión con el mismo índiceRacionalización

2. Conceptos y Propiedades La radicación es la operación inversa de la Potenciación. La raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada. Consiste en hallar una cantidad llamada Raíz Enésima, cuya potencia enésima es el número dado.

3. El símbolo utilizado en la radicación es √. Éste signo es una variante de la letra latina r, inicial de la palabra latina radix, que significa raíz. Una determinada raíz de una cantidad dada se expresa de la siguiente forma: √a, que se llama radical, donde n es el índice de la raíz, que indica que raíz se va a obtener, y a se llama radicando o cantidad subradical, a la cual se le va extraer la raíz. El grado de un radical es el índice de la raíz. Así, √x, es un radical de segundo grado, √a es un radical de tercer grado. n 3

4. √216 Signo Radical Índice 3 Radicando o cantidad subradical

5. Así también para indicar la raíz sexta de 16 escribimos √16, o para indicar la raíz quinta de x escribimos √x. Comúnmente la raíz cuadrada de un número a se expresa sin el índice, es decir, se escribe √a, en vez de √a. 6 5 2

6. Signo de las raíces Recordemos que toda potencia con exponente par es positiva independientemente del signo de la base, por tanto, toda raíz de índice par de una cantidad positiva tiene un valor positivo y otro negativo. Por ejemplo: √25= +5 √64= +2 √81= +3 6 4

7. Vimos en la unidad anterior que las potencias con exponente impar de cantidades negativas son negativas, y las potencias con exponente par o impar de cantidades positivas son siempre positivas. Por ejemplo: (-4) = -64 (4) = 64 (-2) = -32 (2) = 32 De lo anterior podemos concluir que las raíces de índice impar de cantidades negativas son negativas, y las de cantidades positivas son positivas; es decir, el signo de las raíces de índice impar tienen el mismo signo del subradical. 3 3 5 5

8. Radicales Semejantes Los radicales semejantes son radicales del mismo grado y que tienen la misma cantidad subradical. Así, 2 √3, 5 √3, y 1/1 √3 son radicales semejantes; pero 2 √3 y 5 √2 no son semejantes porque no tienen la misma cantidad subradical aunque tengan el mismo grado.

9. Obtención de una raíz Al estudiar las potencias de cantidades utilizamos únicamente exponentes enteros. ¿Qué sucede cuando los exponentes son fraccionarios? Cuando los exponentes son fraccionarios, vamos a ver que los exponentes generan las raíces de las cantidades.

10. Factorizando 4: (4) = (2 ) Utilizando la ley de la potencia de una potencia= (2) = (2) = (2) = 2 Es decir: 4 = 2 También ya se dijo: √4= 2 Entonces se tiene que: 4 = √4= 2 1/2 2 1/2 2 .1/2 2/2 1 1/2 1/2

11. Del ejemplo anterior se concluye que: a = √a donde n es un número entero diferente de cero. En general se cumple que: a = √a donde m y n son enteros, y n es distinto de cero. n 1/n m m/n n

12. Por ejemplo: 8 = √8 8 = (2 ) = (2 ) = (2 )= 4 √8 = √64 = 4 3 2/3 2 2/3 3 2/3 3.2/3 2 3 2 3

13. Escribiendo la igualdad anterior en la forma √a = a , podemos notar que para extraer la raíz de una potencia basta dividir el exponente de la potencia entre el índice de la raíz, conservando la base. Por ejemplo: √ b = b = b √(a+b) = (a+b) = (a+b) √a = a = a = a n m/n m 3 6 6/3 2 6/2 6 3 n n n/n 1

14. Hemos visto que un radical se puede expresar como una potencia con exponente fraccionario, y mostramos que las propiedades de los signos de un radical provienen de las propiedades de los signos de las potencias. Así que, las propiedades de los radicales se suelen deducir a partir de las propiedades de los exponentes.

16. √abc= √a. √b. √c

17. √9(x+y) = √3 . √(x+y) = 3(x+y)

18. √ab= √a . √b5 5 5 5 2 2 2 n n n

20. √ =

21. √ =

22. √ = 3 3 5 6 √5 √6 3 4 X y 4 √x √y 4 n n a b √a √b n

24. (√2 )= √(2) = √8

25. (√x )= √x = x = x = x

26. (√a )= √a4 4 4 3 3 5 5 5 1 5 5/5 n m n m

29. Suma y Resta En forma análoga a la suma y resta de expresiones algebraicas racionales, al sumar cantidades con radicales sólo se pueden reducir aquellos términos que sean radicales semejantes, los cuales son aquellos que tienen radicales con el mismo índice y la misma cantidad subradical, y que pueden variar únicamente en el coeficiente.

30. Por ejemplo 3 3 3 Los radicales 3√2x, -a√2x, 7√2x son semejantes. De la misma manera que sumamos 3x + 5x= 8x, podemos sumar 3√x + 5√x= 8√x Para hallar la suma o resta de dos o más radicales semejantes, se suman algebraicamente los coeficientes y se multiplica dicha suma por el radical semejante.

31. Multiplicación con el mismo índice El producto de radicales con el mismo índice es igual a otro radical del mismo índice, cuyo subradical es el producto de los subradicales. Por ejemplo: √6a por √2a √6a . √2a= √6a . 2a= √12a 2

32. Es conveniente que el resultado se exprese lo más simple posible, de manera que el producto anterior se simplifica: √12a = √2 . 3 . a = 2a√3 2 2 2

33. División con el mismo índice Al dividir radicales con el mismo índice se obtiene otro radical del mismo índice cuyo subradical es el cociente de los subradicales. Por ejemplo: √6= 6 = √2 √3 3 3 3 √ 3 3

34. Racionalización La Racionalización consiste en transformar la fracción original en otra equivalente cuyo denominador sea racional, es decir, que no contenga radicales. Es conveniente para facilitar operaciones con expresiones que contengan denominador con radicales.

35. Por ejemplo: 3 2 √¿Cómo eliminamos el denominador del subradical? Para hacerlo se debe utilizar la propiedad del elemento neutro multiplicativo, es decir, toda cantidad multiplicada por la unidad no altera su valor. √ = √ (1) 3 2 3 2

36. Además se sabe que toda cantidad dividida entre si misma es igual a la unidad. Cómo el denominador de la fracción original es 2, conviene expresar la unidad como el cociente , para que al efectuar la multiplicación se obtenga un cuadrado perfecto, así: √ (1)= √ ( ) = √ = = 2 2 3 2 3 2 2 2 6 2 2 √6 √6 2 √2 2

37. Se puede ver que en la última expresión existe un denominador, pero el subradical es entero, es decir, se ha simplificado el radical: = = √3 3 2 √ √6 √2 2