MATEMATICARLOS - NÚMEROS DECIMAIS

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Apostila do Professor Carlos Eduardo Moraes Pires

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MATEMATICARLOS - NÚMEROS DECIMAIS

  1. 1. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 3 NÚMEROS DECIMAIS COPYRIGHT ® Prof. Carlos Eduardo Moraes Pires,2010 www.matematicarlos.com.brQuem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  2. 2. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 4 SUMÁRIO Definição .......................................................................................... 05 01. Ordens dos Decimais............................................................... 06 02. Leitura dos Decimais ............................................................. 07 03. Zero à Direita .......................................................................... 09 04. Vírgula Escondida .................................................................... 09 05. Comparação de Decimais ....................................................... 10 06. Usando os Sinais ...................................................................... 10 07. Reta Numérica .......................................................................... 11 08. Adição de Decimais .................................................................. 11 09. Subtração de Decimais ........................................................... 12 10. Comparação com o nosso dinheiro ........................................ 12 11. Multiplicação de Decimais ....................................................... 13 12. Comparando o Decimal com a Massa .................................... 13 13. Quanto eu pago ? ....................................................................... 14 14. Multiplicação por 10 .................................................................. 14 15. Multiplicando por 100, 1000, 10.000... ............................... 15 16. Acabando com a vírgula ............................................................ 15 17. Divisão de Decimais ................................................................... 16 18. Decimais Infinitos ..................................................................... 16 19. Dízimas Periódicas ..................................................................... 17 20. Período de uma Dízima ............................................................. 17 21. Decimais Irracionais .................................................................. 18 22. Origem das Dízimas ................................................................... 18 23. Números com Palavras ............................................................... 19 24. Há quantos Décimos ? ................................................................ 19 25. Unidade Decimal .......................................................................... 20 26. Resumo ........................................................................................... 20 27. Exercícios de Resumo ................................................................ 21 www.matematicarlos.com.brQuem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  3. 3. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 5 NÚMEROS DECIMAIS São aqueles que tem vírgula Se aprofundando... O USO DA VÍRGULA Apenas em 1617, John Napier começou a utilizar um ponto ou uma vírgula, como elemento separador da parte inteira da parte decimal. Contando uma história... Em países de língua inglesa a vírgula não é usada para expressar números decimais. Em 1585, o matemático holandês Simon Lá, as virgulas são usadas para separarStevin publicou um manual chamado O as classes do sistema de numeração.Décimo, que auxiliou bastante a prática Observe: No Brasil, 1 bilhão e 300do comércio daquele tempo. milhões é expresso como 1.300.000.000. Ele achou uma maneira de substituir as Naqueles países se expressafrações decimais, muito usadas na época, 1,300,000,000. Observe que o que separaque são os números decimais conhecidos as classes não são os pontos, mas ashoje. vírgulas. Mas a representação de Stevin era Se as vírgulas substituem os pontos,diferente, e não havia vírgula. então, nada mais justo do que os pontos Você deve estar se perguntando: Como substituírem as vírgulas. Então, se porpode escrever número decimal sem aqui nós usamos 5,3,por lá eles usam 5.3.vírgula ? Mas lembre-se, apenas por lá eles Veja como Stevin fazia: trocam as vírgulas por pontos. 51 3,5 → 3 5 5 2 5 1 5 3 3,754 → 3 7 5 4 Para representar os números que hoje De olho na dica !estariam depois da vírgula, ele usava As calculadoras não têmnúmeros am cima dos algarismos, e vírgula. Por isso, usa-se onumerava todos. Logo, no 1º exemplo, ponto para representar oonde está 35 tem-se 3,5, pois o cinco está número decimal.com um número circulado, mostrando que O grande problema é que os alunosele está depois da vírgula. acabam usando o ponto para separar as Logo em seguida, veio John Napier, classes. Ex: 21.000→Não há necessidadesubstituindo o método. A partir dali, não de apertar o ponto da calculadora nesteprecisaria mais colocar número sobre os caso para não confundir ao somar.algarismos depois da vírgula, mas Então, dê olho na dica, e só aperte obastaria sublinhar ponto na calculadora no lugar da vírgula.3,6 → 3 6 2,39 → 2 39 www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  4. 4. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 6 1. Ordem dos Decimais 2. Leitura de Decimais Você por certo se lembra das classes e 2.1 - DÉCIMOSordem do sistema de numeração indo- Leia o seguinte número: 0,4.arábico, certo ? Como você leu ? Se não, vamos recordar: Aposto que você leu “zero vírgula quatro”, não foi ? Milhão Milhar Unidades Não é que esteja errado... Mas vamos simples falar mais bonitinho ? 0,4Centenas Centenas Centenas Unidades Unidades Unidades Dezenas Dezenas Dezenas Observe que o número tem 1 algarismo depois da vírgula. Ao colocar no quadro, observamos que o algarismo fica na casa dos décimos. Perceba que o exemplo acima tem três Então, lê-se: quatro décimos.classes: A primeira é a das unidadessimples e a terceira é a do milhão. Não é novidade para você saber que 0, 4 Décimos Centésimos Milésimosdepois do milhão vem o bilhão, trilhão eoutros. Leia você: Mas talvez seja novo saber que antesdas Unidade Simples existe uma classe. Isso mesmo ! 0,6 Começamos a mencionar as classessempre das Unidades Simples, mas as 0, 6 Décimos Centésimos Milésimosvezes cai no esquecimento que existemclasses antes. Seis décimos Esse é o próximo assunto. 0,9 0, 9 Décimo de Milionésimo Centésimo de Milésimo Centésimo de Milésimos Décimo de milésimo Décimos Centésimos Milésimos Nove décimos Milionésimo Centésimos MilésimosUnidades Décimos 0,1 0, 1 Décimos Centésimos Milésimos Um décimoTemos, então: Décimos, milésimos,milionésimos, bilionésimos etc... www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  5. 5. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 72.2 - CENTÉSIMOS 2.3 - MILÉSIMOS 0,16 0,106 0, 1 6 0, 1 0 6 Décimos Centésimos Milésimos Décimos Centésimos Milésimos Dezesseis centésimos Cento e seis milésimosLeia você, e não olhe a resposta !!!! 0,215 0,25 0, 2 1 5 0, 2 5 Décimos Centésimos Milésimos Duzentos e quinze milésimos Décimos Centésimos Milésimos Vinte e cinco centésimos 0,600 0,39 0, 6 0 0 Décimos Centésimos Milésimos 0, 3 9 Seiscentos milésimos Décimos Centésimos Milésimos Trinta e nove centésimos 0,001 0,05 0, 0 Décimos 0 1 Centésimos Milésimos 0, 0 5 Um milésimo Décimos Centésimos Milésimos Cinco centésimos 0,01 0, 0 1 De olho na dica ! Décimos Centésimos Milésimos Para ler, é só falar o número Um centésimo* normalmente. O que diferencia, é o “sobrenome”, que pode ser décimo,*Não se esqueça: centésimo ou milésimo.É 1 centésimo e não 1 centésimos !!! Observe, se depois da vírgula tiver 1 algarismo, lembre-se do 10, que tem 1 0,30 zero. Se tiver 2 algarismos, lembre-se do 100, que tem 2 zeros. E por fim, se tiver 3 algarismos, lembre-se do 1000, que tem 3 0, 3 0 algarismos. Décimos Centésimos Milésimos 0,154→ 3 algarismos → 1000 → Trinta centésimos milésimo 0,15 → 2 algarismos → 100 → centésimo 0,1 → 1 algarismo → 10 → décimo www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  6. 6. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 82.3 – NÚMEROS À ESQUERDA DAVÍRGULA. Até então os exemplos foram com zeroà esquerda da vírgula. Exercitando Exercitando E se não for zero ? Bem, independente de quantos 01 – Preencha a tabela com osalgarismos tiver, leia-o normalmente, números:porém o “sobrenome” será sempre“inteiros”. a) 105,761 b) 43,01 c) 1,4 c) 0,042,4 → dois inteiros e quatro décimos d) 1.058,1 e) 1.00110,4 → dez inteiros e quatro décimos. f) 44,10 g) 0,0011.000,4 → Mil inteiros e quatro décimos. UM C D U d c mLeia você, sem ver as respostas: 10,01 1 0, 1UM C D U d c m Dez inteiros e 1 décimo 266,21 02 - Escreva, por extenso, os 2 6 6, 2 1 números:UM C D U d c mDuzentos e sessenta e seis inteiros e a) 0,05 ___________________________ vinte e um centésimos b) 0,002 __________________________ 1.600,001 c) 0,5 ____________________________ 1 6 0 0, 0 0 1 d) 12,001 _________________________UM C D U d c M e) 0,20 ___________________________Mil e seiscentos inteiros e um milésimo f) 3,1 ____________________________ g) 0,100 __________________________ www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  7. 7. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 9 3. Zero à direita 4. Vírgula Escondida Pegue a sua calculadora. 5 Aperte as teclas 5 . 0 0 Você está vendo alguma vírgula no O que você vê ? (5.00) número acima ? Aperte a tecla = Apesar de você não estar vendo O que você vê ? (5) nenhuma vírgula, há uma ali, bem no Onde estão os zeros e o ponto ? cantinho do 5. Sabe por quê sumiram ? Zero à direita da vírgula não vale nada. 5,Tanto não vale, que a calculadora ignora. Todo número sem vírgula tem umaE você deve lembrar que a vírgula na vírgula invisível no cantinho. E se vocêcalculadora é um ponto... acha isso estranho, segura essa: Todo número além de ter uma vírgulaLogo: 1,2500000 é o mesmo que 1,25 invisível, tem infinitos zeros depois da 1,500 é o mesmo que 1,5 vírgula. 5,0000000000000000000000000000000 Já percebeu que você pode cortar todos Isso porque os zeros foram cortados, jáos zeros que estão a direita da vírgula, que eles à direita não vale, lembra ?certo ? E para não ficar o 5 com a vírgula sozinha, nós apagamos a vírgula. Mas tome cuidado: Isso só vale se ozero estiver nos extremos, ou seja, nas Assim: 5 é o mesmo que 5,0, que é opontas. Se tiver outro número à direita mesmo que 5,00 que é o mesmo quedele, não pode cortar. 5,000, que é o mesmo que 5,0000, que éObs: o mesmo que 5,00000 e assim vai...1,000005 → Não pode cortar os zeros, 12 → 12,0 → 12,00 → 12,000 ...pois tem o cinco na ponta. 30 → 30,0 → 30,00 → 30,000...1,000010 → Posso cortar apenas o último 1050→ 1050,0 → 1050,00 →zero. 1050,000... 5.Comparação de Decimais Que número é menor ? 2 ou 3 ? Exercitando 2. Fácil, não é ? Já com os decimais não é tão fácil03 – Escreva novamente os seguintes assim, mas também não chega a ser difícil. Basta usar uma técnica que nósnúmeros sem os zeros apresentaremos a você.desnecessários: Quem é menor ?a) 0,587000 → _____________ 0,00001 ou 0,0002. Respondeu 0,00001 ? Errou.b) 10,000518000 → _____________ Tente colocar um número embaixo do outro:c) 1.000,00005 → _____________ 0,000001 0,0002 www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  8. 8. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 10 Repare que o número de cima tem maiscasas do que o de baixo. Mas você podecompletar o de baixo com zero, afinal,zero à direita não altera nada, lembra ? 0,000001 0,000200 DE OLHO NA DICA: I Já percebeu que 1 é menor que 200 ? Observe que o sinal está apontando o biquinho para o menor número. Técnica: Para saber qual número é melhor, No exemplo a , o menor é o 8. Ocompare o primeiro número depois da biquinho está para ele, da mesma formavírgula dos dois. Esqueça os outros: que no exemplo b o biquinho está voltado 0,125 ou 0,258 ? para o outro lado, onde está o 5, que é o Temos o 1 contra o 2. O 1 é menor, menor.então, o número dele é o menor ! Lembre-se, então: “Biquinho pro Se houver empate, passe para o 2º pequenininho”.número, e assim sucessivamente. 0,125 ou 0,145 ? R: 0,125 é menor,porque 2 é menor que 4. 0,199999 ou 0,2 ? Parece que o menoré o 0,2. Mas não é. Ponha um sobre ooutro: Exercitando 0,199999 05 – Use os símbolos < , > ou =: 0,2 O 1 contra o 2. Quem é menor ? 1, a) 5 ___ 8 b) 10 ___ 15claro. Então, o número referente a ele é omenor, por mas que ele te engane ! c) 0,15000 ___ 0,1 d) 0,9 ___ 0,198700 Isso porque, se fosse completar com ozero, ficaria assim: e) 1,5 ___ 0,625 f)10, 4500 _ 10,45000 0,199999 . 0,200000 7. Reta Numérica 6. Usando os Sinais Uma reta numérica nada mais é do que uma linha cheia de traços. Cada traço é Na matemática, para abreviar as um número.palavras menor que, maior que ou igual a,usamos os símbolos: > → maior que 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9... *Observe que parece uma régua. < → menor que *Repare que os números da esquerda são SEMPRE menores que os da direita. = → igual a E os números decimais, onde entra ? Muitos alunos confundem, mas repare:a) 8 < 10 → Oito é menor que dez 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 1b) 9 > 5 → Nove é maior que cincoc) 11 = 11 → Onze é igual a onze www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  9. 9. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 11 Entre um número e outro estão os Observe que não há como errar. É sódecimais. colocar a vírgula de um em baixo da vírgula do outro, e somar normalmente. Quando faltar números nas casas, pode completar com zero. 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1 2 Exercitando 07 - Efetue: Exercitando a) 10,487 + 5,45606 - Coloque os seguintes números na b) 0,00580 + 10,1 c) 154.005,1 + 0,1257reta numérica: d) 0,0001 + 0,001 e) 9 + 0,5a) 0,5 b) 0,7 c) 0,0 d) 1,0 f) 10 + 1,570 g) 0,5 + 10 h) 10 + 10,6 + 0,1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 0 1 9.Subtração de Decimais 8.Adição de Decimais Se você não teve problemas com adição de decimais, com certeza não terá Você que já sabe somar, não terá com a subtração de decimais.dificuldades em fazê-lo com números A regra é a mesma: Vírgula em baixo dedecimais. vírgula ! A regra é: Coloque sempre a vírgula embaixo da vírgula. • 0,6 – 0,4 =Ex: • 0,5 + 0,4 = 0,6 0,5 – 0,4+ 0,4 0,2 0,9 • 0,579 – 0,1 = • 0,579 + 10,1 = 0,579 0,579 – 0,100 .+10,100 . 0,479 10,679 www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  10. 10. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 12 Exercitando Exercitando Se aprofundando...08 - Efetue: R$ 14,9 bi Como se lê esse número ? a) 5,879 – 4,528 Quatorze vírgula nove bilhões ? Pode ser. Mas vamos entender melhor: b) 10,578 – 0,1 Invés de ler 14 inteiros, você lerá 14 bilhões. Observe que para saber o c) 10,000 – 0,001 demais, eu posso acrescentar os zeros que foi tirado: d) 10 – 0,1 14,900.000,00 Como você lê ? Agora ? Isso mesmo: e) 9 – 0,0001 14 bilhões e 900 milhões. f) 100,02 – 0,00578 11.Multiplicação de Decimais 10.Comparação com o Para multiplicar decimais não precisaria colocar vírgula em baixo de vírgula, pois o nosso dinheiro que importa é a vírgula da resposta. Porém, muitos alunos confundem em Já percebeu que o nosso dinheiro é qual operação que não precisa usar essaescrito na forma decimal ? regra.0,50→ Cinqüenta centésimos = centavos Para evitar isso, use essa regra na0,40 → quarenta centavos. multiplicação também.0,05 → cinco centésimos. • 0,2 x 1,4 = Apesar de nosso sistema monetáriousar apenas duas casas depois da 0,2vírgula, é comum vermos de forma x 1,4diferente. Exemplo: 0 8 No posto de gasolina, a placa indica: R$ 2,9594. 0 2 . É claro que, na hora de pagar, ele vai 0 2 8pagar apenas 2,95. Você sabe porque eles usam mais Observe que foi resolvida a contanúmeros ? normalmente, como se não existisse Ora, se a pessoa comprar 1 litro de vírgula.gasolina, aqueles algarismos não farão O que importante é a resposta, quefalta. Mas se a pessoa comprar 100 litros, está, ainda, sem vírgula.invés de pagar 295,00, ele pagará 295,94. Como saber onde colocar a vírgula ? Observe que o dono do posto já ganhouR$ 0,94. www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  11. 11. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 13 0 , 2 → 1 casa depois da vírgulax 1 , 4 → 1 casa depois da vírgula Se temos no 1º fator 1 casa depois da Exercitandovírgula e no 2º fator também tem 1 casa,ao todo eu tenho 2 casas depois da 09 – Escreva por extenso:vírgula. Logo, a resposta deverá ter 2casas depois da vírgula. a) 5,9 bi → *Conte sempre da direita para aesquerda. 0,2 b) 110,5 mil →x 1,4 0 8 c) 5,005 trilhões →0 2 . 10 – Efetue: 0,2 8 a) 5,4 x 2,9 12. Comparando o b) 0,5 x 0,07decimal com com a massa c) 0,003 x 0,1 Você deve estar se perguntando o que d) 0,1 x 0,1é “massa”. Entenda como o “peso” deum produto. Ex: A massa (peso) de um 13. Quanto eu Pago ?pacote de arroz pode ser de 1 kg, 2 kg ou5 kg. Um pacote de biscoito custa dois Reais. Não usamos a palavra peso por motivo Se você comprar três pacotes, quantoque você saberá mais tarde, em física. você pagará ? Certo, 6 Reais ! Você já reparou nas Repare a conta que você fez: balanças que 300 Preço x quantidade gramas é representado 2 Reais x 2 na balança por 0,30 kg ? O porquê disso não é Preste atenção: Quando o produto for assunto para esta aula, de pesar, você estará resolvendo uma mas para a aula de multiplicação de decimais. trans-formação de unidades. Pingolino comprou uma O que interessa no momento, é que a penca de banana, quemassa também pode ser representada pesou 0,85 kg. Sabendopor números decimais: 15,4 kg ; 8,3 g ; que o preço é R$ 0,90,1,5 hm qual o valor a pagar ? www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  12. 12. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 14 Preço x quantidade 0,90 x 0,85 0,9 0 Exercitando x 0,8 5 4 5 0 11 - Furistreco comprou 0,75 kg de tomate, que estava em promoção: R$ 7 2 0 . 1,49 o quilo. Quanto ele pagou ? 0 0 0 . 0,7 6 5 0 O valor a pagar pelas bananas é R$0,7650. Mas como nosso sistema 12 - Efetue:monetário exige apenas 2 casas depoisda vírgula, o valor a pagar será de R$ a) 15,57 x 100,76. b) 5,5 x 10 c) 187,587 x 10 É claro que ninguém vai precisar fazer d) 157,6 x 10essa conta no açougue, no quilão, no e) 14,3 x 10supermercado, devido à exatidão da f) 10 x 15,57balança. g) 10 x 5,7 Mas saber resolver contas como essa é h) 2,1 x 10muito importante, principalmente para i) 1,0 x 10quem almeja passar em concursos ou j) 0,1 x 10vestibular. 15. Multiplicando por 100, 1000, 10.000... 14. Multiplicação por 10 Você já percebeu que ao multiplicar por Observe a operação: 10, você pula uma casa. 1,52 x 10 = 15,2 Observe quando um número decimal é Perceba que a vírgula estava depois do multiplicado por 100:1, mas passou a estar depois do 5. Ou 15,789 x 100 = 1578,9seja, a vírgula pulou uma casa para a Pulou duas casas.direita. E se for multiplicado por 1000 ? Será que isso sempre acontece ? 15,7895 x 1000 = 15789,5 25,72 x 10 = 257,2 Pulou três casas. 1,575 x 15,75 Com isso, conclui-se, com sua boa 0,5789 x 05,789 percepção que, um número: Constatou ? Isso SEMPRE acontece. Você, então, a partir de agora, não Vezes 10 → 1 casa, pois 10 tem 1 zero.precisará fazer cálculos com multiplicação Vezes 100→ 2 casas,pois 100 tem 2de decimais por dez. É só andar uma zeroscasa. Vezes 1000→3 casas, pois tem 3 zeros. www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  13. 13. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 15 Se aprofundando... ExercitandoZEROS ESCONDIDOS 13 – Calcule: Lembre-se dos zeros escondidos a) 1,57 x 10estudado em capítulo anterior. Exemplo: 1,5 → 1,50 → 1,500 → b) 55,975 x 1001,5000 Eu posso colocar quantos zeros eu c) 1,5 x 100quiser depois da vírgula, que não mudaem nada o valor. d) 0,5 x 1000 Você precisará desse conhecimentopara dividir decimais. e) 1,7 x 10.000 Então, perceba: 1,5 x 100 → eu tenho que pular 2 f) 5,7 x 100.000casas, pois a multiplicação é por 100. Masnão tem 2 casas. Apenas uma, que é o 5. g) 0,0005 x 10 Como não tem mais casas, e eu precisodelas, eu posso acrescentar quantas eu h) 1,579 x 100quiser, sem alterar o número. Então. 1,5 → 1,50. Agora, resolva. i) 2,2 x 100.000.000 . j) 3 x 100 16.Acabando com a Vírgula k) 75 x 1000 Com o conhecimento de multiplicaçãopor 10, você consegue acabar com um l) 1 x 10.000número decimal, ou seja, acabar com asua vírgula. m) 9 x 10 1,5 → Para multiplicar por 10, n) 0,003 x 10preciso criar mais uma casa: 1,50. Agora, é só pular uma casa. Temos: o) 0,015 x 1000 15,0. Lembra que os zeros depois davírgula podem ser cortados ? p) 0,0004 x 100 Então, 15,0 = 15, = 15. q) 45.000 x 100 O segredo é multiplicar por 10. Mas atenção, dependendo do caso, r) 12 x 1000.000.000multiplicar por 10 não resolve, sendonecessário multiplicar por 100, 1000, etc.Ex: 1,55 → Para eliminar a vírgula, Confira na calculadora cada resposta.multiplico por 100, e pulo duas casas:1,55 → 155, www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  14. 14. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 16 17. Divisão de DecimaisA divisão de decimais requer um pouco Exercitandomais de habilidade. 14 - Efetue: Observe: a) 0,14 : 0,7 0,5 |0,1 . b) 0,66 : 0,2 O problema de resolver essa conta é avírgula. Então, a solução é acabar com oproblema, ou seja, acabar com as c) 14,4 ; 0,12vírgulas. Mas isso você já aprendeu. No caso acima, precisaremos multiplicaro dividendo (0,5) por 10. E, se eu d) 18,4 : 0,002multipliquei o dividendo por 10, sereiobrigado a multiplicar o divisor (0,1)também por 10. e) 1,2 ; 120,000,5 x 10 → vira 5,0 → que é 50,1 x 10 → vira 1,0 → que é 1 f) 9 : 0,9 Teremos, então: 5 |1 . A resposta será 5, pois 5:1 = 5. 18. DECIMAIS INFINITOS E a vírgula? Será colocado naresposta? Não ! A palavra infinito significa aquilo que não tem fim. O que vem a ser um decimal infinito ? 1,50 |0,3 . É o decimal que tem, depois da vírgula, infinitos algarismos. Note que eu terei que multiplicar odividendo por 100 para acabar com a Ex: 1,22222222222222222222222222...vírgula. Então, o divisor deverá ser 0,12345678912353523554535764468...multiplicado também por 100.1,50 x 100 = 150 / 0,3 x 100 = 30 As reticências no final do número significa que continua. Teremos, então: Logo, toda vez que aparecerem as 150 |30 . reticências após um número decimal, significa que ele é um decimal infinito. Ficou fácil ? Resposta: 5. www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  15. 15. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 17 Algumas dízimas enganam: 1,55555555... → esse é dízima ! 1,1234567123456712345671234567... Mas esse de cima é uma dizima ? Exercitando Parece que não, mas é !15 - Marque F para os números Finitose I para os Infinitos: Observe que esse número está se repetindo:a) 0,5555555 ( ) 1,1234567123456712345671234567...b) 1,2... ( ) Vai de 1 ao 7, e depois repete.c) 1,333333333333333333333333333 ( )d) 1,5795865464316498413216... ( )e) 1,5879 ( ) Se aprofundando...f) 125782148651876,2 ( ) DÍZIMA PERIÓDICA SEM RETICÊNCIASg) 458,29687465163... ( ) Em alguns livros é comum encontramosh) 1,1... ( ) dízimas periódicas sem reticências. É representado com um traço sobre oi) 0,5555555... ( ) algarismo que se repete. 0,1&5 → o traço sobre o 5 indica que ele &&j) 157,1555... ( ) está repetindo. Logo, 0,1&5 = 0,155555555555... && 19. Dízimas Periódicas 20. Período de Uma Dízima Você já deve ter percebido que algunsdecimais infinitos repetem, outros não. O nome dos números que se repetem é Quando um decimal infinito se repete, é período.fácil descobrir qual é o algarismo O período do decimal 1,55555... é 5,seguinte. enquanto do número 1,545454... é 54. Ex:1,555... Qual é o próximo algarismo? Perceba que o período pode ter 1, 2 ou Isso mesmo: 5. mais algarismos. Mas qual é o próximo em 1,25761... ? Não há como saber. Nem sempre o algarismo que está à Percebeu como a repetição é bem direita da vírgula é um período.melhor nos decimais infinitos ? Ex: 0,1555555... O período desse Os decimais infinitos repetidos são tão número é 5. E o 1 não é período.interessantes, que foi dado um nome A esse tipo de dízima chamamos deespecial : dízima periódica. Período Composto, e período simples quando a dízima só tem período à direitaDízima periódica é um decimal infinito e da vírgula.periódico, ou seja, repetitivo. www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  16. 16. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 18PERÍODO COMPOSTO: 0,24444... À direita da vírgula tem algarismo que serepete e algarismo que não se repete.PERÍODO SIMPLES: 0,4444... À direita da vírgula só tem algarismo Se aprofundando...que se repete (pertence ao período). ORIGEM DOS DECIMAIS IRRACIONAIS De onde vem os decimais irracionais ? Eles vem, principalmente da extração de raízes não-exatas. √ 5=2,236067977499789696409173668... Exercitando √ 2 =1,41421356237309504880168872...16 - Marque um x nas dízimasperiódicas: O decimal irracional mais famoso é o π,a) 0,15764651674435136... que se lê ( pi ). No entanto, ele não tem origem em raizb) 0,155555555555555555 não-exata. A origem do π é o resultado da divisão entre o comprimento dac) 4,57832169846516348463... circunferência com o seu diâmetro. Mas isso será visto em geometria.d) 0,135791113135791113135791113...e) 0,1&5 && . 21. Decimais Irracionais 22.Origem das Dízimas Se um decimal infinito que se repete Se a origem dos decimais irracionais érecebe o nome de dízima periódica, qual uma raiz não-exata, qual será a origemserá o nome do decimal que não se das dízimas periódicas ?repete? As dízimas periódicas vêm da divisão Decimal Irracional. entre números, sendo que o divisor não pode ser múltiplo do dividendo.Decimal Irracional é aquele que é infinito Usa-se a representação de tais divisõese que não se repete: 0,1547535161... como frações. Por isso, é comum ouvirmos que decimal vem da fração, ou Mas adiante você vai entender que o seja, da divisão do numerador com onome irracional é devido a um conjunto denominador.número chamado Irracionais. Mas esse conhecimento será enfatizado na apostila sobre frações. www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  17. 17. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 19 Outros Exemplos: . 4,02 kg → 4,020 kg → quatro quilos e vinte gramas. . 13,1 kg → 13,100 kg → treze quilos e cem gramas. Exercitando . 0,3 kg → 0,300 kg → trezentos gramas.17 - Responda: . 2,055 kg → 2,055 kg → dois quilos e cinqüenta e cinco gramas.a) De onde vem a dizima periódica ? Mas não é só o kg que acompanha os números. Comumente nos jornais os números são abreviados como nesses exemplos:b) Qual a origem do decimal irracional ? . 2,4 milhões → 2,400 milhões → dois milhões e quatrocentos mil (mil porque é a classe que vem antes do milhão). . 3,12 bilhões → 3,120 bilhões → três bilhões, cento e vinte milhões (milhões porque é a classe que vem antes doc)Qual o decimal irracional mais famoso ? bilhão). . 2,7 mil → 2,700 → dois mil e setecentos. . 0,04 milhões → 0,040 milhões → 23.Números com Palavras quarenta mil. . 2,007 trilhões → 2,007 trilhões → dois trilhões e sete milhões. Você já sabe como ler um número . 1,5 bi → um bilhão e meio ou umdecimal (leia o capítulo 2). bilhão e quinhentos milhões. Agora, vamos ler os números que sãoabreviações de números grandes, por 24. Há quantos décimos ?isso, vem acompanhado com palavras. Exemplo: No número 2,42 há quantos décimos ? 2,4 kg – O kg (quilograma) está Neste caso, é só dividir o número por 1acompanhando o número. Neste caso, décimo (0,1).não leremos dois inteiros e quatro Exemplo: 2,42 : 0,1 = 24,2. Então, nodécimos. Veja o esquema: número 2,42 temos 24 décimos. *O inteiro será lido de acordo com apalavra que o acompanha: dois Outros exemplos:quilogramas. Há quantos décimos em: **O que está a direita da vírgula será . 3,45 → 3,45 : 0,1 = 34,5, então, há 34completado com zero até ficar com 3 décimos.dígitos: 2,400 kg. . 14,235 → 14,235 : 0,1 = 142,35, ***Ele não será lido como milésimo. No então, há 142 décimos.caso de “peso” (massa), será grama: - Dois quilogramas e quatrocentos Da mesma forma, ao perguntargramas. (pode-se ler ao invés de quantos centésimos, nós dividimos por 1quilograma, apenas “quilo”, como n odia- centésimo (0,01) e quantos milésimos pora-dia) 1 milésimo (0,001). www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  18. 18. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 20 Exemplos: Há quantos centésimos em: . 4,324 → 4,324 : 0,01 = 432,4, então,há 432 centésimos. .12,47 → 12,47 : 0,01 = 1247, então,há 1247 centésimos. Exercitando Há quantos milésimos em: 18 - Há quantos décimos em: a) 2,457 b) 12,45 . 2,457 → 2,457 : 0,001 = 2457, então, c) 3,125 d) 0,235há 2457 milésimos. . 0,43 → 0,43 : 0,001 = 430 , então, há 19 – Há quantos centésimos em:430 milésimos. a) 14,2 b) 4,572 . 0,2 → 0,2 : 0,001 = 200, então, há c) 4,598 d) 0,458200 milésimos. . 45,02 → 45,02 : 0,001 = 45.020, 20 – Há quantos milésimos em 2,458 ?então, há 45.020 milésimos. . 2 → 2 : 0,001 = 2.000, então, há 25 - Unidade Decimal2.000 milésimos. Unidade, como você já sabe, é algo que tem a quantidade 1. A unidade decimal também tem a quantidade 1, porém como decimal. Essa unidade pode ser de ordem 1,2,3,4,5... DE OLHO NA DICA: I A origem deles são frações decimais, Para saber quantos décimos um que serão abordadas na apostila sobrenúmero tem, basta apagar todas as frações.ordens após o décimo e tirar a vírgula: .0,453 → apagando a vírgula fica 0453. • Unidade de 1ª ordem: 0,1 0453 riscando as ordens após odécimo fica 0453. Se ficou o número 4, • Unidade de 2ª ordem: 0,01então, 0,453 tem 4 décimos. • Unidade de 3ª ordem: 0,001 .2,257 → apagando a vírgula fica 2257. 2257 riscando as ordens após o • Unidade de 4ª ordem: 0,000 1décimos fica 2257. Se ficou o número 22,então, em 2,257 há 22 décimos. • Unidade de 5ª ordem: 0,000 01 . Quantos centésimos tem em 4,573 ? • Unidade de 6ª ordem: 0,000 001 Apagando a vírgula fica 4573. Riscando as ordens após oscentésimos fica 4573. Se ficou o número • Unidade de 7ª ordem: 0,000 000 1457, então em 4,573 há 457 centésimos. • Unidade de 8ª ordem: 0,000 000 01 . Quantos milésimos há em 13,457 ? Apagando a vírgula fica 13457. • Unidade de 9ª ordem: 0,000 000 001 Não há ordem para riscar após omilésimo, logo, o que sobrou é 13457. E assim sucessivamente...Então, em 13,457 há 13.457 milésimos. www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  19. 19. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 21 26. Resumo Exercícios de Resumo:1 – Número decimal é aquele que tem 1. O que são números decimais?vírgula2 – A ordem dos decimais é: décimo,centésimo e milésimo 2. Quais são as três primeiras ordens do dos números decimais ?3 – Zero à direita da vírgula pode sercortado 3. escreva por extenso:4 – Todo número sem vírgula pode serescrito com vírgula e zeros. a) 0,15 – Para somar e subtrair decimais deve- b) 0,02se colocar a vírgula de um númeroembaixo da vírgula do outro número. c) 0,0056 – Para multiplicar não é necessário d) 2,05colocar vírgula sobre vírgula. Deve-secontar quantas casas tem à direita davírgula em cada fator, e somar as casas. 4. Preencha a lacuna com < , > ou =.O resultado será a quantidade de casasque deverá pular na resposta. a) 0,4 ____ 0,57 – Para dividir decimais, deve-se eliminar b) 0,15 ____ 0,2as vírgulas, multiplicando por 10, 100,1000... c) 0,0005 ____ 0,000458 – Decimais infinitos e repetidos d) 2,1 ____ 0,664recebem o nome de dízimas periódica e) 2,500 ____ 2,59 – decimais infinitos e não repetidosrecebem o nome de decimais irracionais f) 2,05 ____ 1,0510 – Uma dízima vem de frações, e umdecimal irracional vem de extração de 5. Corte os zeros possíveis.raízes não-exatas. a) 0,0000511 – Quando um número decimal tiveracompanhado por palavras, deve-se ler o b) 02,004000inteiro de acordo com a palavra e asordens devem ser acrescentadas com c) 500000zeros até ficar com 3 dígitos. d) 1,00000100012 – Para saber a quantidade dedécimos, centésimos ou milésimos, deve- e) 2,0se dividir por 0,1; 0,01 ou 0,001respectivamente. f) 05 www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  20. 20. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 226. Represente os números abaixo na reta: f) 2,5 x 1,4a) 2,2b) 0,5 g) 0,15 x 2,50c) 0,15d) 0,01 8. Calcule o valor de:7. Resolva: a) 0,15kg de melancia a R$ 0,99 o quiloa) 2,4 + 3,7 b) 0,05 kg de alho a R$ 5,99 o quilob) 1,03 + 10,2 c) 0,25 kg de presunto a R$ 12,55 o quiloc) 0,31 + 2 9. Calcule as divisões:d) 0,005 – 0,0002 a) 0,15 : 0,15e) 2 – 0,003 b) 0,5 : 0,15 www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  21. 21. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 23c) 0,32 : 0,8 e) 0,333... f) 0,444d) 1,44 : 0,0012 g) 0,222... h) 2,155510. Marque um x nas dízimas periódicas.a) 0,44444 12.De onde vem os decimais irracionais ?b) 0,1111...c) 0,151515d) 0,454545... 13. De onde vem as dízimas periódicas ?e) 2,13333...f) 0,15453... . 14. Qual é o valor de pi ?g) 0,2h) 0,0001 15. No número 4,32 há quantos:11. Determine a geratriz de cada valorabaixo. a) décimos ?a) 0,5 b) centésimos ?b) 0,02c) 0,015 c) milésimos ?d) 2,45 www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  22. 22. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 2416. Escreva por extenso: 10.Devem ser marcadas as letras b,c,e,g.a) 2,4 kg 11. a) 5/10 b) 2/100 c) 15/1000 d) 245/100 e) 3/9 f) 444/1000 g) 2/9 h) 21555/10.000b) 0,05 kg 12. Vem das raízes não-exatas.c) 2,05 milhões 13. Das frações 14. 3,14...d) 2,1 bilhões 15. a) 43 décimos b) 432 centésimose) 0,2 mil c) 4320 milésimos 16. Escreva por extenso: a) dois quilos e quatrocentos gramasRespostas: b) cinqüenta gramas c) dois milhões e cinqüenta mil1. São números que tem vírgula. d) dois bilhões e cem milhões e) duzentos2. Décimos, centésimos e milésimos.3. a) um décimob) dois centésimosc) cinco milésimosd) dois inteiros e cinco centésimos4. a) < b) < c) > d) > e) = f) >5. a) 0,00005 b) 02,004 c) 500000 d) 1,000001 e) 2 f) 57. a) 6,1 b) 11,23 c) 2,31 d) 0,0048 e) 1,997 f) 3,5 g) 0,3758. a) R$ 0,14 b) R$ 0,29 c) R$ 3,139. a) 1 b) 3,333... c) 0,4 d) 1200 www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  23. 23. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 25 BIBLIOGRAFIAANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS,Maria José. Praticando Matemática, 6ª Maria José. Praticando Matemática, 7ªsérie. São Paulo, Editora do Brasil, série. São Paulo, Editora do Brasil,2002. 2002.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é DANTE, Luiz Roberto. Tudo éMatemática: 6ª série: livro do professor. Matemática: 7ª série: livro do professor.São Paulo, Ática, 2005. São Paulo, Ática, 2005.BONGIOVANNI, Vincenzo; LEITE, BONGIOVANNI, Vincenzo; LEITE,Olímpio Rudinin Vissoto; LAUREANO, Olímpio Rudinin Vissoto; LAUREANO,José Luiz Tavares. Matemática & Vida, José Luiz Tavares. Matemática & Vida,6ª série. São Paulo, Ática, 2001. 7ªsérie. São Paulo, Ática, 2001.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI,Benedito. A Conquista da Matemática: Benedito. A Conquista da Matemática:Teoria e Aplicação, 6ª série. São Paulo, Teoria e Aplicação, 7ª série. São Paulo,FTD, 1985. FTD, 1985.IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo;MACHADO, Antônio. Matemática e MACHADO, Antônio. Matemática eRealidade: 6ª série. São Paulo, Atual, Realidade: 7ª série. São Paulo, Atual,2005. 2005.JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo JAKUBOVIC, José; LELLIS, MarceloCestari. Matemática na Medida Certa, 6ª Cestari. Matemática na Medida Certa, 7ªsérie. São Paulo, Scipione, 1995. série. São Paulo, Scipione, 1995.MATSUBARA, Roberto; ZANIRATTO, MATSUBARA, Roberto; ZANIRATTO,Ariovaldo Antônio. Big Mat: Matemática: Ariovaldo Antônio. Big Mat: Matemática:história: evolução: conscientização, 6ª história: evolução: conscientização, 7ªsérie. 2 ed. São Paulo, IBEP, 2002. série. 2 ed. São Paulo, IBEP, 2002.NAME, Miguel Asis. Vencendo com a NAME, Miguel Asis. Vencendo com aMatemática, 6ª série.São Paulo, Editora Matemática, 7ª série.São Paulo, Editorado Brasil, 2005. do Brasil, 2005.NAME, Miguel Asis. Tempo de NAME, Miguel Asis. Tempo deMatemática, 6ª série. São Paulo, Editora Matemática, 7ª série. São Paulo, Editorado Brasil, 1996. do Brasil, 1996.REGO, Ana Lúcia Gravato Bordeaux; REGO, Ana Lúcia Gravato Bordeaux;RUBINSTEIN, Cléa; BORGES, ElizabethMaria França; MARQUES, ElizabethOgliari; PORTELA, Gilda Maria Quitete. RUBINSTEIN, Cléa; BORGES, ElizabethMatemática na Vida & na Escola, 6ª Maria França; MARQUES, Elizabethsérie. São Paulo, Editora do Brasil, Ogliari; PORTELA, Gilda Maria Quitete.1999. Matemática na Vida & na Escola, 7ª série. São Paulo, Editora do Brasil, 1999. www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !
  24. 24. COM O PROFESSOR CARLOS EDUARDO MORAES PIRES 26PIRES, Carlos Eduardo Moraes. MATEMATICARLOS – Números Decimais – 4ªedição - MATEMATICARLOS : Espírito Santo, 2010.® Marca Registrada – É expressamente proibida a reprodução deste material sem a autorização do prof. Carlos Eduardo Moraes Pires. www.matematicarlos.com.br www.matematicarlos.com.br Quem passa por aqui, passa em qualquer prova ! Pode contar com a gente !

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