MATEMATICARLOS - FRAÇÃO

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Mais uma apostila do professor Carlos Eduardo Moraes Pires

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MATEMATICARLOS - FRAÇÃO

  1. 1. FRAÇÃOCOPYRIGHT ® Prof. Carlos Eduardo M.Pires,2012 – 5ª edição
  2. 2. CARLOS EDUARDO MORAES PIRES1 – DEFINIÇÃO 5 – FRAÇÃO DECIMAL / FRAÇÃO–fração é a representação de uma parte do ORDINÁRIAtodo.-É uma expressão da divisão FRAÇÃO DECIMAL: -É aquela cujo denominador é potência de2 – NUMERADOR / DENOMINADOR 10. -Não podemos dizer que são múltiplos de 10,-A parte de cima é chamada de numerador, e pois o 20 não vale.a parte de baixo é chamada de denominador. -Assim, será a fração que tiver como denominador o número 10, 100, 1000,3 – VALOR DE UMA FRAÇÃO 10.000...Ao dividir uma fração encontramos um Exemplos:número decimal ou um número inteiro. 1/10 - 1/100 - 1/1000.Ex: 4/2 = 2 (número inteiro) 1/2 = 0,5 (número decimal) ORDINÁRIA:Assim para transformar uma fração em -São as fração que não são decimais.número decimal ou natural, basta dividir o -Assim, será ordinária qualquer fração quenumerador pelo denominador. não tiver denominador 10, 100, 1000... 6 – FRAÇÕES PRÓPRIA / IMPRÓPRIA /4 – LEITURA DE FRAÇÕES APARENTE-Lê-se o numerador como cardinal: um, dois, PRÓPRIA:três... -A fração será própria quando o numerador for menor que o denominador (Numerador <Já o denominador deverá ser lido como Denominador)mostra os exemplos abaixo: Ex:2 → meio 2/4 (o numerador 2 é menor que o3 → terço denominador 4)4 → quarto5 → quinto IMPRÓPRIA:6 → sexto -Quando o numerador for maior que o7 → sétimo denominador (Numerador > Denominador)8 → oitavo Ex:9 → nono 4/2 (o numerador 4 é maior que o denominador 2)10 → décimoDo 11 em diante você lê na forma cardinal + APARENTE:avos -É um caso especial de fração imprópria.11 → onze avos -O Numerador é um múltiplo do12 → doze avos Denominador, resultando sempre num inteiro.13 → treze avos Ex. 8/4 é aparente, pois 8 é múltiplo de 4.14 → quatorze avos 12/6 é aparente, pois 12 é múltiplo de 6. Observe que as frações aparentes sempreObserve: a exceção vai para o 100 e o 1000. resultarão em um número inteiro, ou seja,Neste caso, devemos ler como ordinal. sem vírgula.100 → centésimo1000 → milésimo www.matematicarlos.com.br 2
  3. 3. FRAÇÃO7 – COMPARANDO FRAÇÕES 6 :2 3 = 2 :2 1-Para comparar uma fração é necessáriodividir o numerador pelo denominador, Ao dividir o numerador e o denominador portransformando-o em números decimais. 2, obtivemos a fração equivalente 3/1.Ex: Que fração é maior: 4/2 ou 8/8 ? Assim, se temos uma fração, podemos-Divido 4 por 2, tenho 2. Logo, a fração 4/2 multiplicar ou dividir por um mesmo númerovale 2. que o valor não muda.-Divido 8 por 8, tenho 1. Logo, a fração 8/8 Isso não acontece com a adição e subtração.vale 1. 9 – SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES-Se a fração 4/2 vale 2 e a fração 8/8 vale 1,então, a fração 4/2 é maior que 8/8. -Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e denominador por um número-Podemos representar com os sinais > que seja divisor dos dois (processo(maior) ou < (menor). semelhante ao feito anteriormente)-Então, 4/2 > 8/8 ou 8/8 < 4/2. Ex: A fração 12/18 ode ser simplificada. Observe que tanto o 12 quanto o 18 podem ser divididos naturalmente (sem sobrar resto)8 – FRAÇÕES EQUIVALENTES por 2. Assim,-São frações que tem o mesmo valor. 12 : 2 6 =Ex. 1/2 vale 0,5 e 2/4 vale 0,5 também. As 18 : 2 9duas frações são equivalentes, pois tem omesmo valor. Assim, simplificando 12/18, temos a fração (que é equivalente) 6/9.-Para obter uma fração equivalente, bastamultiplicar o denominador e o numerador por A fração 6/9, por sua vez, pode serum mesmo número qualquer. simplificada novamente.Ex.O valor da fração 6/2 é 3. Para achar outra O 6 pode ser divido por 2. Mas o 9 não pode.fração que dê 3, basta multiplicar o Então, tentamos dividir pelo próximo númeronumerador e denominador por um mesmo primo, que é o 3.número. O 6 pode ser dividido por 3. O 9 tambémVou escolher o 4. pode. Então, dividimos o numerador e o denominador por 3.6 x4 24 = 6 :3 22 x4 8 = 9 :3 3Assim, criei uma fração equivalente a 6/2,que é a fração 24/8, que também dá 3, pois A simplificação da fração 6/9 é a fração 2/3.24 dividido por 8 dá 3. Observe que o 2 e o 3 não tem divisor em comum para continuar a simplificação.-Isso funciona, também, com a divisão: Paramos por aqui. www.matematicarlos.com.br 3
  4. 4. CARLOS EDUARDO MORAES PIRESAssim, simplificar frações é dividir o Ex. 4/3 x 3/4 = 12/12 = 1numerador e denominador por um mesmo 1/3 X 3/1 = 3/3 = 1número que seja divisor dos dois. Isso será 4/6 x 6/4 = 24/24 = 1feito até chegar a uma fração que não poderáser mais dividida por nenhum divisor comumaos dois. 13 – ADIÇÃO DE FRAÇÕES10 – FRAÇÃO IRREDUTÍVEL -Antes de somar duas ou mais frações, devemos ver se os denominadores são- Vimos no exemplo anterior que ao iguais.simplificar uma fração, chegaremos a uma -Se os denominadores forem iguais,fração que não poderá mais ser simplificada. repetimos esse denominador e somamos os numeradores.- A fração que não pode mais ser simplificada Ex.é chamada de fração irredutível. 2 1 3 + = 5 5 5-Assim, fração irredutível e aquela que nãopode mais ser reduzida, ou seja, simplificada. -Se os denominadores forem diferentes, devemos tirar o MMC (menor múltiplo-Ex: A fração irredutível de 12/18 é 2/3. comum). Ex. 2 111 – REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA DE + = 4 8UMA NÚMERO NATURAL Qual é o MMC entre 4 e 8?–Número natural é aquele que não tem 4 , 8 | 2vírgula e não é negativo (0,1,2,3,4,5,6,7,8...) 2 , 4 | 2 1 , 2 | 2-Todo número natural pode ser representado 1 , 1 |por uma fração de denominador 1, semperder o seu valor. O MMC será a multiplicação dos números à direita. Neste caso, 2 x 2 x 2, que dá 8.-Isso porque todo número dividido por 1 seráele mesmo. Como o MMC entre os denominadores 4 e 8 é 8, então, o denominador da resposta seráEx: 2 pode virar 2/1; 4pode virar 4/1. 8. 2 1 + =12 – FRAÇÃO INVERSA 4 8 8-Para achar a fração inversa, basta trocar o Vamos, agora, definir os dois numeradores.numerador com o denominador. Primeiro o da 1ª fração:-Assim, a inversa da fração 2/5 é 5/2; a a) Divide o MMC 8 com o denominador (queinversa da fração 2/7 é 7/2. é 4) dessa fração: 8 : 4 = 2. b) Pega essa resposta (2) e multiplica pelo-Ao multiplicar uma fração por sua inversa, numerador (que é 2) da mesma fração: 2 x 2teremos sempre o resultado 1. =4 c) Pronto! Esse é o primeiro numerador. www.matematicarlos.com.br 4
  5. 5. FRAÇÃOAgora, vamos definir o numerador da 2ª -Tanto nas frações com denominadoresfração: iguais quanto nas frações com Divide o MMC pelo denominador e multiplica denominadores diferentes, o método será opelo numerador da 2ª fração: 8 : 8 =1. 1x1=1. mesmo: multiplica numerador comLogo, temos: numerador e denominador com denominador. 2 1 4 +1 EX. + = . Como 4 + 1 = 5, então, 4 8 8 2 3 6 x = 5 4 4 16temos como resposta. 8 2 1 2 x =Em resumo, 4 5 20ADIÇÃO COM DENOMINADORES IGUAIS-Repete o denominador e soma osnumeradores. 16 – DIVISÃO DE FRAÇÕESCOM DENOMINADORES DIFERENTES -Para dividir duas frações usaremos um-Tira o MMC, divide pelo denominador e artifício que é trocar a divisão por umamultiplica pelo numerador de cada fração e multiplicação, ou seja, fazer a divisão virardepois soma. uma multiplicação. -Para isso,basta inverter a 2ª fração.14 – SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES EX:Para subtrair frações, o procedimento é 2 3semelhante ao da adição, com uma : = 4 4diferença: subtrai os dois valores ao invés desomar. 2 4EX: x = 4 3 2 1 4 −1 3 − = = 4 8 8 8 Observe que a 2ª fração foi invertida, ou seja, o numerador virou o denominador e vice-OBS: Se os denominadores forem iguais, versa.repete o denominador e SUBTRAI osnumeradores. Assim feito, basta, agora, multiplicar as frações:ATENÇÃO: 2 4 8Tanto a adição quanto a subtração de x = 4 3 12denominadores iguais pode ser resolvido coma técnica do MMC também. Entretanto, ATENÇÃO:entendemos que repetir o denominador e Você pode multiplicar cruzado e fazer direto,somar ou subtrair os numeradores é um se preferir.processo mais rápido. 2 3 numerador 1 x denominador 2 8 x = =15 – MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES 4 4 denominador 1 x numerador 2 12-Na multiplicação não há a necessidade de Perceba que a resposta é a mesma.tirar MMC. www.matematicarlos.com.br 5
  6. 6. CARLOS EDUARDO MORAES PIRES17 - A/B DE CERTA QUANTIDADE 18 – DENOMINADOR DIFERENTE DE ZERO-É muito comum se deparar com exercíciospara calcular a/b de uma certa quantidade. -O denominador é o divisor de uma divisão.EX: Assim, 2/5 é o mesmo que 2 : 5.Quanto é 2/5 de 100 reais?Quanto é 1/3 de 60km ? -Vimos na apostila das 4 operações que não podemos dividir nenhum número por zero.-Para calcular conta como essas, devemos Assim, não pode ter nenhum denominadornos lembrar que fração é uma parte de um zero.todo, ou seja, eu divido algo e pego algumaparte. -Logo, não existe 4/0 ; 2/0 ; 8/0.-O denominador indica em quantas partes eu Lembre-se: O ZERO NUNCA PODERÁdividi, enquanto o numerador indica quantas FICAR NO DENOMINADOR.partes eu peguei.-Assim, 2/5 de 100 reais é o mesmo quedividir 100 reais em 5 partes (porque é o 19 – FRAÇÃO PARA NÚMERO DECIMALdenominador), que dá 20 reais cada parte.Como o numerador é 2, eu peguei partes. Se -Podemos transformar uma fração emcada parte é 20 reais, logo, 2 partes dará 40 número decimal. Basta pegar o numerador ereais. dividir pelo denominador. EX:Assim, 2/5 de 100 reais é 40 reais. 2/5 = 2 dividido por 5, que dá 0,4.-Da mesma forma, 1/3 de 60 km é o mesmoque pegar os 60 km e dividir por 3 emultiplicar por 1. Assim, 60 dividido por 3 dá 20 – POTENCIAÇÃO DE FRAÇÃO20. 20 vezes 1 dá 20. Logo, 1/3 de 60km dá20 km. -Lembre-se que potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.ATENÇÃO:Se preferir, você pode fazer direto com 2 2 2 2 2 4técnicas: -Assim,   = x = 5 5 5 251ª técnica:Divide o valor pelo denominador e multiplica Observe que você repetiu a fração 2 vezes,com o numerador. porque o expoente é 2. Se o expoente fosse 3, repetiria 3 vezes.2/5 de 100 = 100 dividido por 5 vezes 2. Como você já aprendeu a multiplicação,2ª técnica: então, basta multiplicar todos os de cima eMultiplica os numeradores e divide pelo depois multiplicar todos os denominadores.denominador; -Caso o expoente seja negativo, é só inverter2/5 de 100 = 2 vezes 100 dividido por 5. a fração na resposta.Observe que o resultado é o mesmo. www.matematicarlos.com.br 6
  7. 7. FRAÇÃOEX: EX:2 −2 2 2 4 25 0,4 – Como temos 1 casa à direita da vírgula,  = x = → o denominador será 10. Apagando a vírgula,5 5 5 25 4 fica 04, que é o mesmo que 4. Assim, a geratriz de 0,4 é 4/10.-Mas se o sinal negativo estiver na base, Da mesma forma, a geratriz de 0,15 é 15/100você deverá usar as regras de sinal: e de 0,006 é 6/1000. 2 2 2 2 4−  = − x − = + 22 – NÚMEROS MISTOS 5 5 5 25Observe que menos vezes menos dá mais. –São números inteiros “misturados” com frações.Claro que se o expoente for par, a resposta EX:será positiva. Se o expoente for ímpar, a 3 2resposta será igual à base. 5-Para explicação mais detalhada, ler a -Lê-se: “dois inteiros e três quintos”apostila de potenciação. -Se você quiser transformar número misto em fração, poderá usar uma das técnicas a21 – DECIMAL PARA FRAÇÃO seguir:-Podemos, também, voltar um número TÉCNICA I:decimal para a fração. -Multiplique a parte inteira pelo denominador e depois some com o numerador. Essa-Esse processo se chama “achar a resposta será o numerador e o denominadorGERATRIZ” de um número decimal. serão mesmo do número misto. EX:-Para transformar um número decimal em 3 2 → 2 x 5 + 3 = 13fração, faça o seguinte: 5 3a) Conte quantas casas temos à direita da Achei 13, então o número mito 2 vira a 5vírgula. 13 fraçãoSe tiver 1 casa, seu denominador será 10 5(porque só tem 1 zero).Se tiver 2 casas, seu denominador será 100 TÉCNICA II:(porque tem 2 zeros) -Transforme o número inteiro em fração comSe tiver 3 casas, seu denominador será 1000 numerador igual ao denominador.e assim sucessivamente. EX. 3 2 temos 2 inteiros. Logo, trocaremos dóib) Apague a vírgula e coloque o número que 5ficou sem a vírgula no numerador. 5 inteiros por 2 frações de . 5 www.matematicarlos.com.br 7
  8. 8. CARLOS EDUARDO MORAES PIRESIsso por que 5/5 dá 1. Se temos 2 frações5/5, temos dois 1, que dá 2 inteiros.Fica assim: 3 5 5 32 = + + 5 5 5 5Observe que a fração 3/5 permaneceu.Após trocar o número inteiro pela(s)fração(ões), some tudo.Outro exemplo: 1 4 4 4 1 133 → + + + = 4 4 4 4 4 4-Para transformar uma fração imprópria(numerador maior que o denominador) emnúmero misto, basta dividir o numerador pelodenominador. O resto será o numerador e oquociente será o número inteiro.EX: 13 → 13: 4 = 3 e sobra 1. A sobra é o 4 1numerador,então fica 3 . 4 www.matematicarlos.com.br 8

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