Operações com intervalos

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Operações com intervalos

  1. 1. Intervalos ReaisProfº Ildálio Aguiar de Souza Santos
  2. 2. IntervalosNo conjunto dos números reais destacaremos algunssubconjuntos importantes, determinados pordesigualdades, na qual determinamos de intervalos
  3. 3. Intervalos Dados dois números reais a e b, com a < b, tem-se:
  4. 4. Intervalos
  5. 5. Intervalos
  6. 6. Intervalos
  7. 7. IntervalosPor exemplo, pense nos números 5 e 8. Na reta real os números compreendidos entre 5 e 8, incluindo o 5 e o 8, constituem o intervalo fechado: Se excluirmos o 5 e 8, chamados extremos do intervalo, teremos um intervalo aberto: Considerando ainda os intervalos mistos:
  8. 8. IntervalosOutros exemplos: ]5, +∞[ ] - ∞, 8[
  9. 9. Operações com intervalos
  10. 10. Intersecção deIntervalosSendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são númerosreais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos,fazer a sua intersecção.A intersecção de dois intervalos, A e B, é por definição, umconjunto constituído pelos elementos comuns a A e a B.Para melhor perceber a intersecção de intervalos estudemosalguns exemplos:
  11. 11. Intersecção deIntervalos Exemplo 1 Consideremos os intervalos A = ] − 3, 2 [ e B = ] − 1, 4 ] Vamos determinar A ∩ B começando por fazer a sua representação gráfica −∞ +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 A partir desta representação é possível observar que os elementos comuns estão entre − 1 e 2 .
  12. 12. Intersecção deIntervalos E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à intersecção? −∞ +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 Neste caso, podemos ver que nem o − 1 nem o 2 pertencem, já que − 1∉ B e 2 ∉ A Então, A ∩ B = ] − 1, 2 [
  13. 13. Intersecção deIntervalos Exemplo 2 Sejam C =  − 4, −  2  e D = [ 1, + ∞ [ Façamos a sua representação gráfica afim de determinar C ∩ D −∞ - 2 +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 Não existem elementos comuns aos dois intervalos. A intersecção é assim um conjunto vazio C ∩ D ={ } ou ∅
  14. 14. Intersecção deIntervalos Exemplo 3  1  1  Dados os intervalos E =  − ∞,   2  e F =  ,3  2  encontremos a sua intersecção. A representação gráfica é −∞ 1 +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 2 Neste caso o único elemento comum aos dois intervalos é o 1 2 Logo, 1 1  1  E∩F = , =  2 2 2 
  15. 15. Intersecção de IntervalosExemplo 4Dados os intervalos G = ] − ∞; 0, 5 ] e H = ] 0, 5; 3 ] procuremos aintersecção dos dois intervalos.A representação gráfica é −∞ +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 0, 5Agora não existem elementos que pertençamsimultaneamente aos dois intervalos já que o 0, 5 pertence a Gmas não pertence a H .Assim, G ∩ H = [ 0, 5; 0, 5 [ = { } ou ∅
  16. 16. Intersecção de IntervalosExemplo 5Dados os intervalos B = ] − 1, 4 ] e H = ] 0, 5; 3 ] procuremos aintersecção dos dois intervalos.A representação gráfica é −∞ +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 0, 5Neste caso temos H ⊂ B ,Logo, B ∩ H = HAssim, B ∩ H = ] 0,5;3]
  17. 17. Reunião de Intervalos A reunião de intervalos, A e B, é por definição um conjunto constituído pelos elementos que pertencem a A ou a B. Isto significa que para que um dado elemento pertença ao conjunto reunião basta que pertença a um dos conjuntos. Na prática, para obter a reunião de dois ou mais conjuntos o que fazemos é “juntar” os elementos dos conjuntos dados. Mais uma vez a observação de alguns exemplos pode ajudar-nos a compreender melhor a reunião de intervalos:
  18. 18. Reunião de Intervalos Exemplo 1 Consideremos os intervalos A = ] − ∞, 2 ] e B = ] − 1, 4 ] Comecemos por fazer a representação gráfica de A e B . −∞ +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 Assim, A ∪ B = ] − ∞, 4 ]
  19. 19. Reunião de Intervalos Exemplo 2 Consideremos os intervalos A = ] − ∞, 2 ] e C = [ 2, + ∞ [ Mais uma vez, vamos começar por fazer a representação gráfica, de A e C . −∞ +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 Neste caso verificamos que, unindo os elementos de A com os de C obtemos todos os elementos de R . Portanto: A ∪ C = ] − ∞, + ∞ [ = ¡
  20. 20. Reunião de Intervalos Exemplo 3 Consideremos os intervalos C = [ 2, + ∞ [ e D = [ − 3, 0 ] A representação gráfica destes dois intervalos é. −∞ +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 A intersecção dos intervalos C e D é o conjunto vazio. Não nos é possível representar esta reunião sob a forma de um único intervalo. C ∪ D = [ 2, + ∞ [ ∪ [ − 3, 0 ]
  21. 21. Reunião de Intervalos Exemplo 4 Consideremos os intervalos A = ] − ∞, 2 ] e D = [ − 3, 0 ] No nosso último exemplo pretendemos determinar a reunião de A com . D −∞ +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 Atendendo a que D ⊂ A temos que a reunião é A ∪ D = ] − ∞, 2 ] Ou seja, a reunião destes dois conjuntos é o próprio conjunto A .
  22. 22. Diferença de IntervalosSendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são númerosreais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos,fazer a sua diferença.A diferença de dois intervalos, A e B, é por definição, umconjunto constituído pelos elementos de A que não estão emB.Para melhor perceber a diferença de intervalos estudemosalguns exemplos:
  23. 23. Diferença de Intervalos Exemplo 1 Consideremos os intervalos A = ] − 3, 2 [ e B = ] − 1, 4 ] Vamos determinar A - B começando por fazer a sua A∩ B representação gráfica −∞ +∞ - 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 A partir desta representação é possível observar que os elementos que sobraram estão entre -3 e -1 .
  24. 24. Diferença de Intervalos E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à diferença? Neste caso, podemos ver que o -1 pertence e o -3 não pertence, já que − 1∉ B e

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